Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Transkriptio

1 Vaasan yliopisto, kvät 206 Talousmatmatiikan prustt, ORMS harjoitus, viio Malliratkaisut. Yrityksn rään tuotlinjan kysyntäfunktio on p ja vastaava kustannusfunktio on C Millä tuotannon määrällä voitto on suurin mahdollinn. Mikä on maksimivoitto? Ratkaisu:Slvittään nsin rajatuotto ja rajakustannus: p 20 0,030 R 20 0,030 2 MR 20 0,06 C 0, MC 0, Optimissa: MC MR 0, ,06 0, opt 50 P opt P50 R50 C , , Vastaus: Voitto on suurin mahdollinn, kun valmisttaan 50 tuottta jaksossa ja voitto on silloin 975/jakso. 2. Thdas valmistaa viikossa tuottta määrän ja myy sn hintaan p uroa/tuot. Kysyntäfunktio on p Tuottn valmistaminn aihuttaa kustannuksia,5 uroa/tuot ja valmistusmäärästä riippumaton kiintä kustannus on 230 uroa/viio. Yrityksn tuotantokapasittti on 50 tuottta/viio. Yritys voi ylittää kapasitttinsa, jos s tttää kapasittin ylittävän osan tuottista ylityönä. Ylityönä thdyn tuottn valmistuskustannus on,6 uroa/tuot. Jos ylityötä thdään on kiintä kustannus 250 uroa/viio. Millä valmistusmäärällä yritys nyt saa suurimman voiton voitto myyntitulo kustannukst? Ratkaisu:Slvittään nsin tuotto ja kustannus: p 5 0,0 R 5 0,0 2 C {, , kun 50,5 50 +, , kun > 50 {, , kun 50, , kun > 50

2 { P R C 5 0,0 2, , 50, , > 50 { 3,5 0, , 50 3,4 0, , > 50 Tutkitaan voittofunktion kulkua riksn tapauksssa 50 ja ja riksn tapauksssa > > 50 P 3,5 0, P 3,4 0, P 3,5 0,02 P 3,4 0,02 P 0 75 P 0 70 P P P 50 P 50 Tapaus 50 Voittofunktio P on kasvava koko välillä 0 50, jotn suurin voitto tällä välillä thdään, kun valmisttaan 50 tuottta viikossa. Tapaus > 50 Voittofunktio P on kasvava valmistusmäärään 70 saaa ja sn jälkn voittofunktio on vähnvä. Jos siis thdään ylityötä > 50, niin suurin voitto saadaan, kun valmisttaan 70 tuottta viikossa. Näistä kahdsta tapaus-optimista pitää nyt vilä valita parmpi. Sitä vartn lasktaan voitot kummassakin tapauksssa. P50 3,5 50 0, parmpi P70 3,4 50 0, Vastaus: Voitto on suurin mahdollinn, kun valmisttaan 50 tuottta viikossa. Ei siis thdä ylityötä. 3. Tuottn A kysyntäfunktio on p A A ja tuottn B kysynnän ja hinnan välistä yhtyttä kuvaa yhtälö B 6000/p 2 B. a Piirrä kummankin tuottn kysyntäfunktion kuvaaja muodossa p f. Lask kummankin tuottn kysynnän hintajousto, kun 20, 2 2. c Lask kummankin tuottn kysynnän hintajousto, kun 80, 2 8. kysynnän hintajousto 2 p 2 p p, p f, p 2 f 2 Ratkaisu: a

3 p A 20 0,2 f A B 6000 p 2 B p 2 B 6000 p B B 6000 f B p 30,00 25,00 20,00 5,00 0,00 5,00 0, p B p A p A 20 } 20 0,2 20 6,00 p A ,2 2 5,80 kh-jousto A 20 p B 20 } 6000/20 7,3205 p B /2 6,903 kh-jousto B 20 p A ,0 4,0 20 p B ,32 2, 20 c p A 80 } 20 0,2 80 4,00 p A ,2 8 3,80 kh-jousto A 80 p B 80 } 6000/80 8,6603 p B /8 8,6066 kh-jousto B 80 p A ,0 80 0,25 p B ,6603 2,0 80

4 4. Erään tuottn kysynnän hintajousto on,75. Tuottn hinta on nyt 2,50/kpl ja sn kysyntä on 200kpl/. a Mitn muuttuu tuottn kysyntä, jos tuottn hintaa lasktaan yhdllä urolla? Mitn muuttuu myyntitulo, jos tuottn hintaa lasktaan yhdllä urolla? c Tuottn rajakustannus on 8,00/kpl. Kannattaako laska myyntihintaa urolla? Ratkaisu:a p 2,50 /kpl p,00 /kpl 200 kpl/ x jousto,75 jousto x /kpl 2,50/kpl 200kpl/,75,75 200kpl/ x 2,50 68 kpl alussa R 2,50 kpl kpl alnnuksn jälkn R 2,50 kpl kpl muutos R R 2 R 732 c Nyt MC 8,00/kpl annttu thtävässä ja MR p + 2,50 kh jousto kpl + 5,36,75 kpl Koska MR < MC, tuotantoa i kannata laajntaa hintaa i kannata laska. Vastaus: a Myynti lisääntyy 68 tuottta kuukaudssa, myyntitulo tuotto kasvaa 732 uroa kuukaudssa, c hinnan alnnus i kannata, koska kustannukst kasvavat nmmän kuin tuotot. 5. Yritys valmistaa tuottita ja myy n kappalhintaan 25 uroa. Rajakustannus on 6 uroa/tuot ja kysynnän hintajousto on η.2. Kannattaako yrityksn laajntaa vai supistaa tuotantoaan? Ohj: MR p + η. Ratkaisu: MR p + 25,00 + 4,7 kh jousto kpl,2 kpl Koska MR < MC, tuotantoa kannattaa supistaa. 6. Erään tuottn kysynnän hintajousto on 2.. Tuottn hinta on nyt /kpl ja sn kysyntä on 50kpl/. a Mitn muuttuu tuottn kysyntä, jos tuottn yksiöhintaa alnntaan urolla? Mitn muuttuu myyntitulo R p, kun yksiöhintaa alnntaan urolla? c Kannattaako dllä kuvattu hinnan alntaminn urolla, jos tuottn valmistuskustannus on C , d Voiko saman asian todta rajatuoton ja rajakustannustn avulla?

5 Ratkaisu: c p 20,50 /kpl p,00 /kpl 50 kpl/ x jousto 2, jousto x /kpl 20,50/kpl 50 kpl/ 2, x 2, 50kpl/ 20,50 5,4 kpl alussa R 20,50 kpl kpl ,00 / alnnuksn jälkn R 2 9,50 kpl kpl 65, ,30 / muutos R R 2 R 50,30/ alussa C , , ,00/ alnnuksn jälkn C ,00 65,4 + 0,0 65, ,37/ muutos R R 2 R 233,37/ voitto alussa P R C 3075,00/ 2325,00/ 750,00/ voitto alnnuksn jälkn P 2 R 2 C ,30/ 2558,37/ 666,93/ muutos P P 2 P 83,07/ Siis hinnan alntaminn i kannata, koska voitto pinn. d C , MC 2,00 + 0,02 MC50 2,00 + 0, ,00/kpl MR50 20,50 + 0,74 /kpl kpl 2, Koska MC > MR tuotantoa i kannata laajntaa hintaa i kannata laska. Kaavoja: Kysynnän hintajousto: jousto, MR p + kysynnän hintajousto