Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

Transkriptio

1 Y56 Keät Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin ja oppia muodostamaan yrityksen ongelma ja ratkaisemaan yrityksen tuotantopäätös. Olkoon kilpailullisen yrityksen kokonaiskustannusfunktio jossa Q on tuotettu määrä. TC c Q F Q Q Q, 3 ( ) Yrityksen myymän hyödykkeen hinta on p = 30. a) Mikä on rajakustannus MC? Entä keskimääräiset muuttuat kustannukset? b) Oleta, että lyhyellä aikaälillä on kiinteitä kustannuksia: F = 80. Mikä on oiton maksimoia tuotantomäärä Q*? Muistutus: Jos on olemassa kiinteitä kustannuksia F, on kannattaampi tuottaa määrä nolla kuin jokin positiiinen tuotantomäärä q > 0, kun F py c ( y) F 0 py c ( y) py c ( y) p Sen sijaan, jos kiinteät kustannukset F oat kaikki ei-uponneita (ts. oat realisoitaissa rahaksi esim. pidemmällä aikaälillä), on kannattaampi tuottaa nolla, kun 0 py c ( y) F py c ( y) F p AC Ratkaisu: dtc a) MC 3Q 1Q 15 dq TVC ja Q 6Q 15 Q b) max TR TC Q0 pq c( Q) 30Q ( Q 3 6Q 15Q) Ensimmäisen kertaluun ehto maksimioitolle saadaan laskemalla oittofunktion ensimmäinen deriaatta ja asettamalla se nollaksi eli

2 Y56 Keät 010 FOC 30 (3Q 1Q 15) Q 1Q Q 1Q Q 1Q 15 0 Q 4Q 5 0 Q ( 4) ( 4) (1) 4(1)( 5) SOC Lasketaan toisen kertaluun ehto, eli lasketaan oittofunktion toinen deriaatta. Toisen kertaluun ehdon mukaan maksimioitto on Q:n arolla, jolla 6Q 1 0 ja ensimmäinen deriaatta on nolla. Tämä on totta, kun Q = 5, koska 6(5) Vaikka negatiiinen tuotantomäärä olisi mahdollinen (mitä se ei ole), ratkaisu Q = -1 ei oi identifioida maksimia. Koska: kun Q = - 1 toisen deriaatan aro on positiiinen: 6( 1) Voiton maksimoia tuotanto on siis Q = 5. (Toinen ratkaisutapa On myös mahdollista laskea oittofunktion toinen deriaatta ja sitten ratkaista Q:n suhteen 6Q 1 0 eli Q >. Kuitenkin tällöin pitäisi ielä todeta, että oittofunktio on ylöspäin kupera, kun Q >, eli Q = 5 maksimoi oiton, kun sen kohdalla oittofunktion ensimmäinen deriaatta on nolla ja toinen deriaatta negatiiinen.) SHUT-DOWN EHTO Tarkistetaan shut-down ehto olettaen, että kiinteät kustannukset F = 80 oat kokonaan uponneita. Silloin on kannattaampi tuottaa nolla kuin positiiinen tuotantomäärä q > 0, kun F py c ( y) F 0 py c ( y) py c ( y) p 5 p (5 ) 15(5)

3 Y56 Keät epäyhtälö on siis epätosi, eli positiiinen tuotanto on kannattaaa kunhan hinta kattaa keskimääräiset muuttuat kustannukset, eli kunhan ain hinta on p 10. MC,, p MC p (5) = 10 5 Q

4 Y56 Keät Vielä kertauksen uoksi SOC:n merkityksestä: Funktion ääriarojen määrittäminen: toisen deriaatan testi Funktion maksimi- ja minimikohdat oidaan määrittää toisen deriaatan aulla: 1. Jos f ( x 0 ) 0 ja f ( x 0 ) 0, niin x0 on funktion minimikohta.. Jos f ( x 0 ) 0ja f ( x 0 ) 0, niin x0 on funktion maksimikohta. Perustelu kohdalle 1. Käyrä kupera alaspäin Käyrä on kupera alaspäin älillä ] a, b [, jos osaälin jokaiseen pisteeseen piirretty tangentti on käyrän alapuolella. Alaspäin kuperan käyrän tangenttien kulmakertoimet kasaat muuttujan x kasaessa, joten funktion deriaatta on aidosti kasaa älillä ] a, b [. Jotta funktion deriaatta f (x) on aidosti kasaa, on funktion toinen deriaatta f (x) > 0 älillä ] a, b [. Alaspäin kupera (conex) f ( x 0 ) 0, Perustelu kohdalle. Käyrä kupera ylöspäin Funktiota f sanotaan älillä ] a, b [ ylöspäin kuperaksi, jos osaälin jokaiseen pisteeseen piirretty tangentti on käyrän yläpuolella. Ylöspäin kuperan käyrän tangenttien kulmakertoimet pieneneät muuttujan x kasaessa, joten funktion deriaatta on aidosti äheneä älillä ] a, b [. Jotta funktion deriaatta f (x) on aidosti äheneä, on funktion toinen deriaatta f (x) < 0 älillä ] a, b [.

5 Y56 Keät Ylöspäin kupera (concae) f ( x 0 ) 0, Harjoitus. Yrityksen tarjonta Taoitteena on oppia ratkaisemaan yrityksen tarjontapäätös ottamalla huomioon kolme positiiisen tarjonnan määrittäää ehtoa. Kilpailullisen yrityksen kokonaiskustannukset, kun tuotettu määrä on y, oat c ( y) 3y 19. Lopputuotteen markkinahinta on p = 36. a) Mikä on yrityksen optimaalinen tuotannon taso lyhyellä aikaälillä, jos yrityksen taoitteena on maksimoida oittoa? Ratkaisu: max TR TC py c( y) max 36y (3y y FOC 36 MR MC 36 6y 0 6y 36 y 6 6 SOC - 6 < 0 => max. y 19) Shut-down ehto: jos > p, tällöin y = 0, joten tarkistetaan: ( 6) 3(6) Lyhyellä aikaälillä optimaalinen tuotantomäärä on 6. b) Millä hinnalla yrityksen on kannattaaa pitää tuotantoseisokki (= tuottaa määrä nolla) lyhyellä aikaälillä? ( 6) 3(6) 18 p. Jos hinta laskee alle 18 euron, on kannattaaa tuottaa määrä nolla.

6 Y56 Keät Harjoitus 3. Yrityksen oitonmaksimointi ja tuotantopäätös lyhyellä aikaälillä Luennolla emme kerranneet Y55-kurssilta tuttuja oiton, tappion ja nollaoiton käsitteitä graafisesti (ks. luentomoniste 3). Tehtään taoitteena on kerrata nämä asiat. Alla oleat kolme kuaajaa haainnollistaat kilpailullisen yrityksen kustannuskäyrät. 1. Merkitse kuhunkin kuaajaan, mikä on optimaalinen tuotantomäärä ja yrityksen saama oitto tai tappio.. Kerro myös, mikä on yrityksen päätös tuotantonsa suhteen lyhyellä aikaälillä kussakin kuassa. 3. Haainnollista lisäksi alimmassa kuassa toisella ärillä, miten markkinoiden hinta muuttuu ja miten yrityksen tilanne muuttuu kilpailullisilla markkinoilla pitkällä aikaälillä allitsean free entryn ja exitin seurauksena. Kilpailullisen yrityksen kustannuskäyrät a MC AC MC, ATC,, P tappio tappio p AFC Q* fig Tuotanto (Q) Lyhyellä aikaälillä yritys tuottaa positiiisen määrän tappiosta huolimatta, koska hinta kattaa kuitenkin yrityksen keskimääräiset muuttuat kustannukset.

7 Y56 Keät Kilpailullisen yrityksen kustannuskäyrät b MC AC MC, ATC,, P AFC p Q*=0 fig Tuotanto (Q) Tappio on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kiinteät kokonaiskustannukset. Markkinahinta ei pysty kattamaan tämän yrityksen tuotantorakenteen edes keskimääräisiä kiinteitä kustannuksia. Yrityksen kannattaa pitää tuotannonseisaus lyhyellä aikaälillä. Kilpailullisen yrityksen kustannuskäyrät c MC AC MC, ATC,, P oitto p p AFC fig Tuotanto (Q) Q* Q Tämä yritys tuottaa oittoa, jolloin on selää, että yritys tuottaa positiiisen määrän. Kilpailullisilla markkinoilla allitsee kuitenkin apaa pääsy ja poistuminen markkinoilla, joten oitot houkutteleat toimialalle uusia yrittäjiä. Lisääntyneen tarjonnan seurauksena markkinahinta laskee (punainen iia, p ), jolloin iimeinen markkinoilla olea kannattaa yritys tuottaa nollaoittoja (aihtoehtoinen tulkinta on, että yritykset oat kaikki täsmälleen identtisiä, jolloin kaikki saaat nollaoittoja) eli p = MC = AC.

8 Y56 Keät Harjoitus 4. Toimialan tarjonta lyhyellä aikaälillä Luennolla emme käsitelleet tarkemmin koko toimialan tarjonnan määräytymistä (ks. luentomoniste 3). Taoitteena on oppia muodostamaan koko toimialan tarjonta. Olkoon toimialalla 00 identtistä yritystä. Olkoon yksittäisen yrityksen käänteistarjonta muotoa p y i, jossa p on hinta ja yi on yrityksen i tuotannon taso. Laske koko toimialan käänteistarjontafunktio. (Lähde: Frank 008, 344) Ratkaisu: Muodostetaan ensin käänteistarjonnasta tarjonta: p 100 p p yi 1000yi p 100 yi yi Summataan (aggregoidaan) yli 00 identtisen yrityksen eli kerrotaan edellä laskettu tuotannon määrä 00:lla ja muodostetaan jälleen käänteistarjonta: p 1 p p Y 00yi 00( ) Y 0 Y 0 p 5Y Harjoitus 5. Monopolin tehokkuustappio Taoitteena on oppia muodostamaan ja ratkaisemaan monopolin ongelma sekä ymmärtää ero täydellisen kilpailun tilanteeseen nähden. Olkoon monopolin kohtaama käänteiskysyntäkäyrä p = 400 y ja monopolin tuotantokustannukset TC y 40y. Laske monopolin optimaalinen tuotannon taso: kuinka paljon monopoli tuottaa? Millä hinnalla? Kuinka suuri on monopolin tehokkuustappio? Laske tehokkuustappio ja haainnollista se kuaajalla. Ratkaisu: Monopoli tasapaino Ratkaistaan monopolin maksimointiongelma: max TR TC p( y) y c( y) max (400 y) y ( y y FOC 360 MR MC 400 y 40 y 360 4y y 90 4 SOC 4 0 max y 40y ) Tasapainohinta saadaan sijoittamalla: p Monopolitasapaino on siis tuotetun määrän ja hinnan pari: (90, 310).

9 Y56 Keät Kilpailullinen tasapaino Jotta oimme ratkaista monopolin aiheuttaman tehokkuustappion, on selitettää ensin kilpailullisten markkinoiden tasapaino. Kilpailullisen tuotannon taso löytyy pisteessä, jossa p = MC eli 40 + y = 400 y 360 = 3y eli y = 360/3=10 Tasapainohinta on tällöin: p = = 80. Kilpailullinen tasapaino on siten pisteessä: (10, 80). MC (y) = 40 +y p (y) = y 40 MR (y) = y Tehokkuustappio on siten laskettaissa: DWL 0.5(310 0)(10 90) Harjoitus 6. Hintadiskriminaatio. Taoitteena on oppia ratkaisemaan kolmannen asteen hintadiskriminaatio. Erään teatterin lippujen kysyntä on q 500 5p taalliselle yleisölle ja q 00 4p opiskelijoille. Jos oidaan asettaa eri hinta opiskelijoille p S ja taalliselle yleisölle p, niin mitkä hinnat maksimoiat teatterin oiton? Teatterin rajakustannus MC = 0. S

10 Y56 Keät Ratkaisu: Muodostetaan annetuista tiedoista käänteiskysynnät: 1 q500 5p p100 q 5 1 qs 00 4 p p 50 q 4 S Jos teatteri pystyy asettamaan eri hinnat kummallekin kuluttajaryhmällä, niin se maksimoi oittojaan seuraaasti: 1 1 maxtr (100 q) q (50 qs) qs TC { q, q s } 5 4 FOCs q : n ja q : n suhteen: s q MC q 0 0 q q qs MC 0 50 qs 0 0 qs q S SOCs: 1 0ja 0 max 5 5 Ryhmille tarjotut hinnat oat siten: 1 1 p100 q p p ps 50 qs ps ps Opiskelijahinta on p = 35 S Hinta taalliselle yleisölle on p = 60 On hyä harjoitus laskea mikä on ero siihen tilanteeseen nähden, että teatterilla ei olisi mahdollisuutta hintadiskriminointiin aan se oisi asettaa ain yhden yhtäläisen hinnan kummallekin kuluttajaryhmälle (ks. luentomonisteen esimerkki!)