Harjoitus 7: vastausvihjeet

Transkriptio

1 Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2. (a) Mieti ensin onko f on jatkuva ja konkaavi ja onko rajoitejoukko konveksi. Eli riittävätkö pelkästään ensimmäisen kertaluvun ehdot? (Vihje: intuitiivinen vastaus riittää, miettikää vaikkapa f:n kuvaajaa ja rajoitejoukon muotoa x y koordinaatistossa.) Vastaus. f on lineaarisena funktiona sekä jatkuva että konkaavi. Rajoitejoukko on x 2 + y 2 2, joka on ympyrä, joten se on konveksi. (b) Kirjoita ylös ensimmäisen kertaluvun ehdot ja ratkaise funktion f (x, y) maksimi annetulla rajoitteella g (x, y). Vastaus. Ensimmäisen kertaluvun ehdot: L (x, y, λ) = 6x + 4y λ ( x 2 + y 2 2 ). L = 6 2λx = 0, x L = 4 2λy = 0, y λ (x 2 + y 2 2) = 0, (complementary slackness); x 2 + y 2 2, (käypyys); λ 0, (duaalikäypyys). Ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä havaitaan että λ 0. (Muutoin nämä molemmat ehdot eivät toteudu.) Näistä samoista ehdoista voidaan ratkaista x = 3y. 2 Sijoittamalla tämä kolmanteen ehtoon saadaan y 8 = 13 x 18 =, joten 13 λ = Koska (x 2 + y 2 2) 0 kaikilla (x, y) 0, NDCQ-ehto pätee. 2. (Monopolin screening -ongelma, esimerkki on hinnoittelukurssilta.) Kuluttajia on kahta tyyppiä, θ i {θ H, θ L }, joille pätee θ H > θ L > 0. Todennäköisyydellä α kuluttaja on korkeaa tyyppiä (θ H ) ja todennäköisyydellä (1 α) matalaa tyyppiä (θ L ). Kuluttajan tuotteesta saama hyöty riippuu tyypistä ja ostetusta määrästä q i : u i (θ i, q i, t i ) = θ i q i t i, 1

2 missä t i on kuluttajan monopolille maksama hinta määrästä q i. Kuluttajat voivat myös olla ostamatta tuotetta, jolloin he saavat hyödyksi nollan. Monopoli ei pysty päättelemään kuluttajien tyyppiä muuten kuin heidän valinnoistaan. Monopolin ongelmana on siten suunnitella sellaiset hinta-määrä parit (t i, q i ), että korkean tyypin kuluttajat valitsevat parin (t H, q H ) ja matalan tyypin kuluttajat parin (t L, q L ). Kustannusfunktio on c(q i ) = 1 2 q2 i. Monopolin ongelma voidaan kirjoittaa muodosssa max α(t H 1 t H,t L,q H,q L 2 q2 H) + (1 α)(t L 1 2 q2 L) rajoitteilla θ H q H t H θ H q L t L θ L q L t L 0 Ensimmäinen rajoite varmistaa, että korkean tyypin kuluttajat valitsevat parin (t H, q H ) ja toinen rajoite varmistaa, että matalampi tyyppi saa vähintään nollahyödyn. (a) Kirjoita monopolin ongelma Lagrangen funktiolla ja ota ensimmäisen kertaluvun ehdot. (b) Ratkaise optimaaliset hinta-määrä parit (t H, q H ) ja (t L, q L ). Voit olettaa, että yllä määritellyt rajoitteet pätevät yhtäläisyydellä. Ratkaisu. Lagrangen funktio on L(t H, q H, t L, q L, λ 1, λ 2 ) =α(t H 1 2 q2 H) + (1 α)(t L 1 2 q2 L) Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat λ 1 (θ H q L t L θ H q H + t H ) λ 2 ( θ L q L + t L ) L th = α λ 1 = 0 L qh = αq H + λ 1 θ H = 0 L tl = (1 α) + λ 1 λ 2 = 0 L ql = (1 α)q L λ 1 θ H + λ 2 θ L = 0 λ 1 (θ H q L t L θ H q H + t H ) = 0 λ 2 ( θ L q L + t L ) = 0 λ 1, λ 2, q L, q H, t L, t H 0 (complementary slackness) (complementary slackness) (duaalikäypyys, käypyys) Tehtävässä oli annettu vinkiksi, että ehdot pätevät yhtäsuuruudella, eli siis λ 1, λ 2 > 0. Käytetään tätä hyväksi, toisesta ehdosta saamme t L = θ L q L. Sijoitetaan se ensimmäiseen rajoitteeseen: θ H q L θ L q L θ H q H + t H = 0 t H = θ H q H (θ H θ L )q L Nyt olemme ratkaisseet hinnat määrien funktiona, joten meidän täytyy vielä löytää määrät. Ensimmäinen ehto antaa λ 1 = α, jolloin kolmas ehto antaa λ 2 = 1. Toinen ehto on siis αq H + αθ H = 0 q H = θ H 2

3 Neljännestä ehdosta saamme (1 α)q L αθ H + θ L = 0 q L = θ L αθ H 1 α jotta määrä on positiivinen meillä täytyy päteä θ L αθ H > 0. Oletetaan niin. Voimme vielä sijoittaa nämä hintoihin, jolloin saamme: 3. (Robinson Crusoe-ongelma): t H = θ 2 H (θ H θ L ) θ H αθ L 1 α t L = θ L θ H αθ L 1 α (a) Kuluttaja maksimoi hyötyään annetuilla rajoitteilla. Kirjoitetaan ongelma ensin standardimuotoon. Ongelmana on max x,y U(x, y) = xy 3 rajoitteilla g 1 (x, y) = x 2 + y g 2 (x, y) = x + y 20 x 0 y 0 Lagrangen funktio tälle ongelmalle on: L(x, y, λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 ) = xy 3 λ 1 (x 2 + y 2 200) λ 2 (x + y 20) + λ 3 x + λ 4 y Ja ongelman ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat: L x = y 3 2λ 1 x λ 2 + λ 3 = 0 (1) L y = 3xy 2 2λ 1 y λ 2 + λ 4 = 0 (2) λ 1 (x 2 + y 2 200) = 0 (comp slack) (3) λ 2 (x + y 20) = 0 (comp slack) (4) λ 3 x = 0 (5) λ 4 y = 0 (6) x, y, λ i 0 (7) (b) Ongelman ratkaisemiseksi meidän tulee selvittää optimissa sitovat rajoitteet, ts. kertoimet λ i ja tietenkin päätösmuuttujat (x, y). Aloitetaan ei-negatiivisuusrajoitteista. 3

4 Mikäli optimissa joko λ 3 > 0 tai λ 4 > 0 tai kummatkin, tällöin jomman kumman tai kummankin hyödykkeen tuotanto on optimissa nollassa. Kuluttajan saama hyöty tällaisesta kulutuskorista on myös nolla (huomatkaa hyötyfunktion tulomuoto), joten etsitään ensin sisäpisteratkaisuja. Ongelman sisäpisteratkaisut toteuttavat ehdon x > 0, y > 0, jolloin vastaavasti ensimmäisen kertaluvun ehdoista (5) ja (6) nähdään, että λ 3 = 0 ja λ 4 = 0 Tällöin rykelmä ensimmäisen kertaluvun ehtojamme sievenee huomattavasti, ja kiinnostuksen kohteinamme ovat enää ensimmäiset kaksi epäyhtälörajoitetta g 1 ja g 2 ja niitä vastaavat Lagrangen kertoimet λ 1 ja λ 2. Alamme käydä mahdollisuuksia läpi kohta kohdalta. 1: λ 1 > 0, λ 2 > 0 : Jos olemme tässä tapauksessa, silloin rajotteiden g 1, g 2 on kummankin pakko olla aktiivisia optimipisteessä. Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa yhtälöparin x + y = 20 x 2 + y 2 = 200 Ratkaisemalla ylemmästä yhtälöstä muuttujan x ja sijoittamalla sen alempaan yhtälöön, saamme y = 10 ja x = 10 Tämä piste toteuttaa kummatkin epäyhtälörajoitteemme, mutta koska nyt sitovien rajoitteiden lukumäärä m = 2, NDCQ-ehto sanoo, että rajoitteiden Jacobin matriisin aste optimipisteessä pitäisi myös olla 2, muuten olemme rajoitteen kriittisessä pisteessä. Sitovien rajoitteiden Jacobin matriisi on: ja pisteessä x : D(g(x)) = [ ] 2x 2y 1 1 D(g(x )) = [ ] ja tämän matriisin aste on selkeästi enintään 1, täten tämä piste ei toteuta NDCQ-ehtoa, joten hylkäämme tämän kandidaatin. 4

5 2: λ 1 = 0, λ 2 = 0 : Jos sisäpisteoptimissa kummatkin kertoimet ovat nollia, silloin ehdoista (1), (2) saadaan että x = 0, y = 0 mutta tästä seuraa, että kertoimet λ 3, λ 4 > 0, eli saamme jälleen ristiriidan. 3: λ 1 = 0, λ 2 > 0 : Ratkaistaan ensimmäisen kertaluvun ehdosta (1): Sijoitetaan ehtoon (2): λ 2 = y 3 3xy 2 y 3 = 0 y 2 (3x y) = 0 koska vaadimme, että y > 0 (sisäpisteratkaisu), tällöin x = y 3 Sijoittamalla tämä sitovaan rajoitteeseen x + y = 20, voidaan ratkaista y = 15 ja x = 5. Tällöin rajoite g 2 sitoo, mutta sijoittamalla saamamme kandidaatti rajoitteeseen g 1 saadaan = 250 > 200 jolloin meillä on taas ristiriita, eikä piste voi olla optimaalinen sillä se ei toteuta vaadittuja rajoitteita. 4: λ 1 > 0, λ 2 = 0 : Nyt meillä on tapaus, jossa rajoite g 1 sitoo, mutta rajoite g 2 ei sido. Ratkaistaan kerroin λ 1 käyttämällä ehtoa (1): Sijoitetaan tämä ehtoon (2): λ 1 = y3 2x 5

6 3xy 2 y3 x y = 0 3x2 y 2 y 4 = 0 y 2 (3x 2 y 2 ) = 0 ja koska olemme sisäpisteessä, jossa x, y > 0: Sijoitetaan tämä rajoitteeseen g 1 : 3x 2 = y 2 y = 3x (8) 3x 2 + x 2 = 200 x = 5 2 ja y = 5 6. Nyt meillä on ääriarvopiste ( 5 2, 5 6 ). Tämä piste toteuttaa kaikki meille annetut rajoitteet, joten ongelman ratkaisu on: ( 5 2, 5 6 ) Asiasta kiinnostuneet voivat vielä tarkastaa ongelman toisen kertaluvun ehdot, jotka tässä tapauksessa ovat varsin mutkattomat tarkastaa. NDCQ-ehto täyttyy, sillä optimissa vain rajoite g 1 sitoo, ja tämän rajoitteen Jacobin matriisi (rivivektori) ei ole nollavektori. 4. (Intertemporaalinen kuluttajan ongelma): (a) (Budjettijoukon kuvaaja piirretään harjoitusluennolla) Budjettirajoitteesta c 1 (1 + r)(w 0 c 0 ) on helppo nähdä, että (c 0, c 1 ) -tasoon piirrettynä käypä joukkomme on koordinaattiakselien ja suoran c 1 = (1+r)(w 0 c 0 ) välinen (kompakti ja konveksi) joukko. Suoran voi piirtää niin, että ensin ajattelee kuluttajan käyttävän koko varallisuutensa periodilla 0, jolloin c 0 = w 0, c 1 = 0. Jos taas varallisuus kulutetaan kokonaisuudessaan ainoastaan periodilla 1, tällöin c 0 = 0, c 1 = (1 + r)w 0. Näistä saadaan budjettirajoite. Tämän suoran kulmakerroin käyttämässämme esityksessä on selvästi (1 + r). Tällöin p 0 = 1 p 1 = r (b) Ratkaistaan kuluttajan ongelma. Oletamme sisäpisteoptimin, ts. että c 0, c 1 > 0 ja c 0 < w 0. Kuluttajan ongelma on max U(c 0, c 1 ) = u(c 0 ) + δu(c 1 ), s.t. c 0,c 1 c 1 (1 + r)(w 0 c 0 ) c 0 w 0 c 0, c 1 0 6

7 Lagrangen funktio on L(c i, λ i ) = u(c 0 ) + δu(c 1 ) λ 1 [c 1 (1 + r)(w 0 c 0 )] λ 2 [c 0 w 0 ] + λ 3 c 0 + λ 4 c 1 Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat: L c0 = u (c 0 ) λ 1 (1 + r) λ 2 + λ 3 = 0 (9) L c1 = δu (c 1 ) λ 1 + λ 4 = 0 (10) λ 1 [c 1 (1 + r)(w 0 c 0 )] = 0 (comp. slack) (11) λ 2 [c 0 w 0 ] = 0 (comp. slack) (12) λ 3 c 0 = 0 (13) λ 4 c 1 = 0 (14) λ i, c i 0 (15) Koska etsimme sisäpisteoptimia silloin c i > 0, ja tiedämme että λ 3, λ 4 = 0. Koska oletimme myös, että c 0 < w 0, silloin myös λ 2 = 0. Sijoitetaan nämä ensimmäiseen ehtoon ja ratkaistaan λ 1 : λ 1 = r u (c 0 ) Sijoitamme tämän toiseen ehtoon ja saamme δu (c 1 ) r u (c 0 ) = 0 Josta voimme ratkaista makrotaloustieteessä eteen tulevan nk. Euler-yhtälön ongelmallemme. Euler on u (c 0 ) = δ(1 + r)u (c 1 ) (16) Meidän piti ratkaista MRS(c 0, c 1 ). Rajasubstituutioaste on: ja sijoittamalla yhtälöstä (16): MRS(c 0, c 1 ) = U c 0 U c1 = u (c 0 ) δu (c 1 ) u (c 0 ) δu (c 1 ) = δ(1 + r)u (c 1 ) u (c 1 ) = (1 + r) = p 0 p 1 Koska ratkoimme kulutuksen hinnat a-kohdassa, ja koska budjettirajoite sitoo, voimme helposti ratkoa 7

8 c 1 = (1 + r)(w 0 c 0 ) r c 1 + c 0 = w 0 p 1 c 1 + p 0 c 0 = w 0 Optimaalinen kulutuspolku määräytyy yhtälön (16) perusteella. Jos tarkastelemme yhtälöä, näemme että optimissa yhtälön vasemmalla puolella on termi u (c 0 ), jonka voi tulkita hyödyn menetykseksi siitä, jos kuluttaja kuluttaa yhden yksikön vähemmän tänään ja siirtää kulutustaan huomiseen, kun taas oikealla puolella on yhden lisäyksikön huomenna tuottama hyöty = δ(1 + r)u (c 1 ). Optimissa nämä ovat yhtäsuuret. (c) Ongelmamme käypä joukko on selkeästi kompakti, konveksi joukko, joten jos hyötyfunktio u(c i ) on konkaavi funktio, on löytämämme optimi lokaali ja globaali. 8