1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

Transkriptio

1 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat seuraavat yhtälöt: f x = 40x+0y = 0, f y = 0x+0y = 0. Ratkaisuja on yksi ja se on (0,0). Hessen matriisi on ja sen johtavat pääminorit ovat 40 ja 00. Molemmat ovat aidosti positiivisia, joten funktio on aidosti konveksi. Näin ollen kriittinen piste on globaali minimipiste (ja tietenkin myös paikallinen). (b.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat seuraavat yhtälöt: f x = 8x y + = 0, f y = 4y x+ = 0. Ratkaisuja on yksi ja se on (, 5 ). Hessen matriisi on 8 4 ja sen johtavat pääminorit ovat 8 ja. Näin ollen funktio on aidosti konkaavi ja kriittinen piste on globaali maksimipiste (ja tietenkin myös paikallinen).. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 00(x+0) +50(y 0) (b.) f(x,y) = x xy +y y (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat seuraavat yhtälöt: f x = 00(x+0) = 0, f y = 500(y 0) = 0. Ratkaisuja on yksi ja se on ( 0,0). Hessen matriisi on ja sen johtavat pääminorit ovat 00 ja Näin ollen funktio on aidosti konveksi ja kriittinen piste on globaali minimipiste (ja tietenkin myös paikallinen). (b.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat seuraavat yhtälöt: f x = x y = 0, f y = x+y = 0. Toisen yhtälön perusteella y = x+. Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan x x.

2 Tämän yhtälön ratkaisut ovat (+ 7) ja ( 7). Sijoittamalla nämä vuorotellen yhtälöön y = x+ ja sieventämällä, saadaan kriittisiksi pisteiksi 4 4 ( 4 (+ 7), ) 8 (9+ 7) ja ( 4 ( 7), ) 8 (9 7). Hessen matriisi on H(x,y) = x, ja sen johtavat pääminorit ovat x ja 4x. Funktio ei ole koko määrittelyjoukossaan konkaavi (eikä konveksi). Tutkitaan, jos kriittiset pisteet ovat paikallisia maksimi- tai minimipisteitä. Sijoittamalla ensimmäinen piste Hessen matriisiin (tai suoraan johtavien pääminoreiden lausekkeisiin), saadaan johtaviksi pääminoreiksi tässä pisteessä 4 (+ 7) > 0 ja 7 > 0. Molemmat ovat aidosti positiivisia, joten tämä kriittinen piste on paikallinen minimipiste. Toinen kriittinen piste on satulapiste, koska Hessen matriisi on siinä indefiniitti: Sen johtavat pääminorit ovat siinä pisteessä 4 ( 7) < 0 ja erityisesti 7 < 0.. Yrityksen tuotantoteknologiaa kuvataan tuotantofunktiolla f(x,y) = x y, jolloin lopputuotteen määrä, q, on tuotantofunktion arvo. Muuttujat x ja y ovat tuotantopanosten määrät. Lopputuotteen hinta on 0 ja panosten hinnat ovat 4 ja 6, jolloin yrityksen voitto panosmäärien funktiona on π(x,y) = 0x y 4x 6y. Yritys maksimoi voittoa, joten sen tehtävä on () max π(x,y). Ratkaise maksimointitehtävä (). Voit edetä kahdessa vaiheessa: (a.) Laske voittofunktion kriittinen piste. (b.) Perustele miksi kriittinen piste on maksimipiste. (Perustelu saa olla lyhyt. Voit tietenkin käyttää luentojen tietoja hyväksi vastauksessa.) Funktion π kriittinen piste ratkaisee yhtälöparin () () 0 x y 4 = 0, 0 x y 6 = 0. Siirretään vakiot 4 ja 6 yhtälöiden toiselle puolelle ja jaetaan yhtälöt puolittain, jolloin saadaan yhtälö 0 x y 0 x y = 4 6, Mitä tässä oikeastaan tehdään?

3 joka sievennettynä on y =. Tällöin x = y. Sijoittamalla tämä esimerkiksi x yhtälöön () saadaan yhtälö 0 ( y y) = 6. Laskemalla saadaan 0 ( y ( ) ) y = 6 y = 8 0 ( 8 y = 0 ( 8 y = 0 ) ) = = Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön () ja ratkaisemalla, saadaan x = 5 Kriittinen piste on siis ( 5, 5) Kriittinen piste on globaali maksimipiste, koska funktio π on konkaavi muuttujien x ja y suhteen (katso monisteen esimerkit.6 ja.7!). 4. (Tämä on kirjasta EMEA.) Yritys tuottaa kahta lopputuotetta määrät x ja y, ja sen kustannusfunktio on C(x,y) = ax + by, jossa a ja b ovat aidosti positiivisia vakioita. Lopputuotteiden hinnat ovat vakiot p ja q, jolloin yrityksen voitto lopputuotemäärien funktiona π on π(x,y) = px+qy (ax +by ). Etsi lopputuotemäärät, jotka maksimoivat voittoa. Sijoita sitten saamasi optimaaliset lopputuotemäärät funktion π lausekkeeseen. Saat optimoidun voiton määrän, jota voit merkitä π (p,q,a,b). Laske osittaisderivaatta π p. Funktio π on aidosti konkaavi lopputuotemäärien [ suhteen, koska ] Hessen matriisi a 0 on negatiivisesti definiitti (Hessen matriisi on ). Tällöin kriittinen 0 b piste ja tehtävän ratkaisu toteuttaa yhtälöt Yhtälöiden ratkaisu on ( p sieventelyn jälkeen a, q b π x = p ax = 0, π y = q by = ). Sijoitetaan ne funktion π lausekkeeseen. Saamme π( p a, q b ) = p p a +q q b a ( p a) b ( q b = p 4a + q 4b. Merkitään π (p,q,a,b) := p 4a + q 4b. Tällöin π p = p 4a = p a, joka on yhtä suuri kuin optimaalinen lopputuotteen määrä x. Huomaa, että funktio π riippuu muuttujien x ja y lisäksi myös parametreistä p, q, a ja b. Funktion π π osittaisderivaatta p:n suhteen,, on juuri x. Tämä ei ole sattumaa. Katso p lisätietoja EMEA luku.7 Comparative statics and the envelope theorem. 5. Käytä tässä tehtävässä Lagrangen menetelmää ja reunustettua Hessen matriisia. )

4 4 (a.) Ratkaise maksimointitehtävä max (b.) Ratkaise minimointitehtävä min (a.) Lagrangen funktio on Sen kriittinen piste toteuttaa yhtälöt 5xy siten että x+4y =. 4x +y siten että x+y = 0. L(x,y,λ) = 5xy λ(x+4y ). L x = 5y λ = 0, L y = 5x 4λ = 0, L λ = (x+4y ) = 0. Kriittinen piste on(,, 5 ) Piste(, ) on ehdokas tehtävän ratkaisuksi. Tarkistetaan, että se on (paikallinen) rajoitettu maksimipiste reunustetun Hessen matriisin 4 8 avulla. Nyt H(x,y,λ) = , ja sen determinantti on 80. Koska determinantti on suurempi kuin nolla, on ( 4, 8 ) paikallinen rajoitettu maksimipiste. (b.) Kyseessä on minimointitehtävä, mutta Lagrangen menetelmä toimii siihenkin. Lagrangen funktio on Sen kriittinen piste toteuttaa yhtälöt L(x,y,λ) = 4x +y λ(x+y 0). L x = 8x λ = 0, L y = y λ = 0, L λ = (x+y 0) = 0. Kriittinen piste on ( 6, 6, 6). Piste (6, 6 ) on ehdokas tehtävän ratkaisuksi. Tarkistetaan, että se on (paikallinen) rajoitettu minimipiste reunustetun Hessen mat- 5 5 riisin avulla. Nyt H(x,y,λ) = 0 8 0, 0 ja sen determinantti on 50. Koska determinantti on pienempi kuin nolla, on ( 6, 6 ) paikallinen rajoitettu minimipiste Käytä tässä tehtävässä Lagrangen menetelmää ja kirjan EMEA lausetta 4.5. (tai monisteen lausetta.6). (a.) Ratkaise maksimointitehtävä (b.) Ratkaise minimointitehtävä maxx +y siten että x+y =. min x y +x siten että x+y = 0.

5 (a.) Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = x +y λ(x+y ). Koska sen Hessen matriisi (muuttujien x ja y suhteen) on H(x,y) = 4 x 0 0, 4 y Lagrangen funktio on aidosti konkaavi (valinta)muuttujien x ja y suhteen (laske johtavat pääminorit itse ja varmistu, että H on negatiivisesti definiitti). Näin ollen Lagrangen funktion kriittisen pisteen valintamuuttuja-osa antaa globaalin rajoitetun maksimipisteen. Lasketaan se yhtälöistä L x = x λ = 0, L y = y λ = 0, L λ = (x+y ) = 0. Kriittinen piste on ( 6,, 6 ), ja tehtävän globaali maksimipiste on ( 6, ). (b.) Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = x y +x λ(x+y). Koska sen Hessen matriisi (muuttujien x ja y suhteen) on Lagrangen funktio on konveksi (valinta)muuttujien x ja y suhteen (H on positiivisesti semidefiniitti). Näin ollen Lagrangen funktion kriittisen pisteen sen valintamuuttuja-osa antaa globaalin rajoitetun minimipisteen. Lasketaan se: L x = x+ λ = 0, L y = λ = 0, L λ = (x+y) = 0. Toisesta yhtälöstä saadaan λ =, ja sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan x =. Näin ollen viimeisen yhtälön perusteella saadaan y = 6. Kriittinen piste on (,6, ), ja tehtävän globaali minimipiste on (,6). Olisiko Lagrangen funktion konkaavisuuden/konveksisuuden tutkimisesta ollut hyötyä tehtävässä 5? 5