A = {a 1,a 2,...,a n } a ij = (a i,a j ) α, 1 i,j n.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "A = {a 1,a 2,...,a n } a ij = (a i,a j ) α, 1 i,j n."

Transkriptio

1 Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ È ÙÐ Ò ÁÐÑÓÒ Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÝØØÝØÝÑ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼

2

3 Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ ÁÄÅÇÆ Æ È ÍÄÁÁÆ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÝØØÝØÝÑ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÂÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ) α, i,j n. Ë Ó Ò ÀÓÒ Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝ ØØÚØ ÖØ Ð ÝÑÔØÓØ ¹ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ Ð Ö Ò Ñ ØÖ ¹ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ º Ä ÖØ Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ n Ú Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò ÙÙÖ º Ì ØÙØ ÐÑ ÝÚ ÒÒÝØÒ Ý ØÝ Ó Ø Ø ÖØ Ð Ò ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ ØÓ ØÙ Òº

4 Ú

5 Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾ ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÅÖ Ø ÐÑ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ä Ù Ø Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ½ ¾º½ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ýع ØÝØÝÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ º º ¼ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ø Î ØØ Ø Ä Ø ¼ ¾ Ú

6 Ú

7 ÂÓ ÒØÓ Ì ØÙØ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ð ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ¹ ¹Ñ ØÖ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º Ë Ì¹ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ø Ö ÑÖ Ø ÐÑ Ø ØÒ Ð ÐÙÚÙ ½º¾ºµ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ë Ì¹ Ñ ØÖ Ò Ð ØØÝÚ ØÙØ ÑÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ò Ø È ÒØØ À Ù Ò Ò Á ÑÓ ÃÓÖ¹ ÂÙ Ë ÐÐ ÒÔº Á ÑÓ ÃÓÖ Ø Ö Ø Ð ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ø Ö Ø ØÙ ¹ Ú Ø Ö Ò ÇÒ Å Ø Ò ÂÓ Ò Å ØÖ Ó Ø Û Ø ÁÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð Ø ÓÖ ØØ ÓÑ Ò ÙÙ º Ì ØÙØ ÐÑ ¹ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ó Ò ÀÓÒ Ò Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝÒ ÖØ Ð ÝÑÔØÓع Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ ØØÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó Ú ØÙÐÓ º ÌÙØ ÐÑ ÝÚ ÒÒÝØÒ Ý ØÝ Ó Ø Ø ÖØ Ð Ø ØØÝ Ò Ð Ù ¹ Ò Ò Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÙØ ÐÑ Ó ØØÙÙ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ô Ö Ò ÑÙØØ Ø Ö¹ Ø ÐÙ ÝØ ØÒ ÑÝ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø ØÓ º ÌÑÒ ÚÙÓ ¹ ÐÙ ÐÐ ØÙÐ ÓÐÐ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø ØÓ Ò Ð Ò ÐÝÝ Ò Ð Ò Ö Ð¹ Ö Ò ØÙÒØ ÑÙ Ø º ÃÝ Ø Ò ÝÑÑÖØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ú Ú ØØÓÑ Ø ÐÙ Ò ØÙÐ Ó Ø Ö ¹ ØÝ Ø Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÓØ ØÙÒØ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ð Ò¹ Ø Ò Ð ØØÝÚØ ÝÐ ÑÑØ ØØ Øº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø Ð ¹ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÒØ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÔÓÓ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ØÙÒØ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÐ Ò Ý Ø Ý Òº ÄÙ ¹ Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ó Ú Ò Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓغ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø Ó Ø ÐÙ Ò ØÙÐ ÐÐ Ø Ö ØÝ Ø Ö ¹ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐѺ Ä ÐÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø ÙÒ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒÓ Ó ÓÒÓ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÓÒÓ Ú Ò Ú ÓÒÓ ÙÔÔ Ò ¹ Ú ÓÒÓ ÒØÙÚ ÓÒÓ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÒÓ Ö Ö Ò ÙÑÑ ÙÔÔ Ò Ú Ö ÒØÙÚ Ö º ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÐÙ ÐÐ ØÙØØÙ º ÄÙ ÙØ ÓÖ Ò Ó ¹ ÐÙ ÐØ ÐÙ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ØÙØÙ ØÙÒÙØ Ð ÙÐÙ Ù Ò ÔÓ ¹ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÒÓÒ Ò Ð ÙØ ØÝ Òº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ØØÝÚØ ØØ Ø ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ö Ð Ø Ó Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø ÓÙ ÓÒ Ñ Ø ÚÙÙ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÙÐ ØØÙ ÓÙ Ó Ø ÙÐ ØØÙ ÓÙ Óº ½

8 ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø Ö Ø ÐØ Ú ØÙÐÓ Ø ØÒ Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ¹ ØØ º ÄÙÚÙ ½ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ¾ ØÓ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ð Ù Ø º ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò ØÙØ ÐÑ ÝØ ØØÚ Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ø ØÒ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ º Ä Ø ØÒ ØÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ò ØÙØ Ð¹ Ñ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ù Ø º ½º½ Å Ö ÒØ Ì Ð ÐÙÚÙ ÖÖÓØ Ò ØÙØ ÐÑ ÝØ ØØÚ Ø Ñ Ö ÒÒ Øº ÌÙØ ÐÑ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ a,b,c,... a,a 2,...,b,b 2,... Ó ÓÒ µðù Ù º Ð ÙÐÙ Ù Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ p,p,p 2,... Á Ó ÐÐ Ö¹ Ñ ÐÐ A,B,C,... Ñ Ö ØÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó º Å Ö ÒÒÐÐ R Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ C Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒØ F ÝØ ØÒ ÓÙ Ó Ø Ó ÓÒ Ú ØÓ ØÓ Ø Ó Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº Å Ö ÒÒÐÐ Z Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z + ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ P Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒÒÐÐ a Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ a Ø ¹ ÖÚÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ A Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ñ Ø ÚÙÙØØ º Å Ö ÒÒÐÐ Ñ ÒA Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò ÒØ Ð ÓØ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ñ ÜA Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ ÒØ Ð ÓØ º Å Ö ÒÒÐÐ ā Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ a ÓÑÔ¹ Ð ÓÒ Ù ØØ º Å Ö ÒÒÐÐ a Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÙÙÖ ÒØ Ñ ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ ÐÙ Ù a a º È Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ x,y,z,... Ñ Ö ØÒ Ú ØÓÖ Ø Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ X,Y,Z,... Ñ ØÖ º ÂÓ Ñ ØÖ Ò X i. Ú Ö Ú Ò j. ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ð Ó ÓÒ a ij ÚÓ Ò Ñ Ö Ø X = [a ij ]º Ä Ñ Ö ØÒ X = [ a ij ]. Å Ö ÒÒÐÐ E n Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ó Ò Ò Ð Ó ÓÒ ½º Å Ö ÒÒÐÐ I Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý Ø ÝØ Ò ÓÔ Ú Ò Ó Ó Ø ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Å Ö ÒÒй Ð (a,a 2,...,a n ) Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ii = a i ÙÒ i nº Å Ö ÒÒÐÐ ØX Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ º Å ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ð ÐÐ Ö Ñ Ð¹ Ð λ µ γº Å Ö ÒÒÐÐ X T Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X ØÖ Ò ÔÓÓ Ú ¹ Ø Ú Ø Ñ Ö ÒÒÐÐ x T Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ò x ØÖ Ò ÔÓÓ º Å Ö ÒÒÐÐ X Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X ÓÒ Ù ØØ ØÖ Ò ÔÓÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ x Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò Ú ØÓÖ Ò x ÓÒ Ù ØØ ØÖ Ò ÔÓÓ º ¾

9 ÌÙØ ÐÑ Ñ Ö ÒÒÐÐ R m n Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð Ð Ó Ø Ò m n¹ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒØ R n Ø Ö Ó ØØ n¹ Ð Ó Ø Ò Ö Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÙ Ó º Å Ö Ò¹ ÒÐÐ Θ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý Ø ÝØ Ò ÓÔ Ú ÒÓÐÐ ¹ Ð ÓØ º Å Ö ÒÒÐÐ a(p) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð ÙÐÙÚÙÒ p ÔÓØ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙÚÙÒ a ÒÓÒ Ð ÙØ ØÝ º Ë ÐÙÚÙÒ a ÒÓÒ Ò Ò Ð ÙØ ¹ ØÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ p P pa(p). Å Ö ÒÒÐÐ (a,b) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ò a b ÙÙÖ ÒØ Ý Ø Ø Ø º Ë Ð Ý Ò ÚÙÓ ÒÒÙ Ø Ò ØÑ ØÙØ ÐÑ Ò Ó Ò Ó ÓÒ ÔÓ ØØÙ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐÐ Ø ØÝ Ø Ñ Ö ÒÒ Øº ÃÝ Ó Ñ Ö ÒØ ÓÒ Ý Ø Ý Ø ÐÚ Ø ÓÒ Ð Ø ØØÝ Ö Òº ½º¾ ÅÖ Ø ÐÑ Ñ Ö Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ØÙØ ÐÑ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö º Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ø ØÝÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A = {a,a 2,a 3,...,a n } Ö Ø¹ Ø ÑÐÐ Ö Ø ØÝÐÐ ÓÙ ÓÐÐ B = {b,b 2,b 3,...} Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ ÐÙ Ù¹ ÓÙ Ó Ó Ò Ð ÓØ ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ ¹ Òº ÂÓ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÔÓ Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ØØÙ Ö Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ º ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ñ Ò Ø ØÓ Ò ÓÚ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø Ñ ØÖ Ø ÓÙ ÓÒ F m n Ð Ó Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º à º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö¹ Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ (A) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ), i,j n. ÃÓ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù º Ñ Ö ½º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2, 4, 6} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò (, ) (, 2) (, 4) (, 6) (A) = (2, ) (2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, ) (4, 2) (4, 4) (4, 6) = (6, ) (6, 2) (6, 4) (6, 6) 2 2 6

10 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º à º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ) α, i,j n. ÃÙÒ A ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ö Ð ÐÙ Ù α = Ò Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ (A)º ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù º ÌÑÒ ÚÙÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò ÓÙ ÓÒ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ÚÓ ¹ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÔÓØ Ò ÐÐ α Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ì ØÙØ ÐÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÔÓØ Ò ÐÐ º Ñ Ö ¾º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2, 4, 6} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò (A 2 ) = (, ) 2 (, 2) 2 (, 4) 2 (, 6) 2 (2, ) 2 (2, 2) 2 (2, 4) 2 (2, 6) 2 (4, ) 2 (4, 2) 2 (4, 4) 2 (4, 6) 2 (6, ) 2 (6, 2) 2 (6, 4) 2 (6, 6) 2 = = ÅÖ Ø ÐÑ º à º º ½½ ºµ Å ØÖ X ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò Y Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØÝÚ Ñ ØÖ Z ØØ X = ZY Z. ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X Y. ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ º ºµ ÃÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó x Xx > 0 Ó ÐÐ x C n \ {Θ}.

11 Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÒØÝÚº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÂÓ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x C n \ {Θ} Ñ Ö ¹ ØÒ Xx = y, Ò Ò x X Xx = (Xx) Xx = y y. Å ØÖ X ÓÒ ÒØÝÚ ÓØ Ò Xx = y Θ. ÌØ Ò y y > 0. Å ØÖ X X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ º ºµ ÃÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó x Xx 0 Ó ÐÐ x C n \ {Θ}. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X n m¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ÓÒ Ù¹ ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ º ÂÓ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x C n \ {Θ} Ñ Ö ØÒ Xx = y, Ò Ò x X Xx = (Xx) Xx = y y. ÃÓ y y 0, Ò Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º Ã Ö Ð Ð Ó Ø ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÑÝ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ º ÂÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ò ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ú Ø ÑÙ Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ø ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ø ÑÙ ÐÐ Ýѹ Ñ ØÖ ÝÝ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ º ¼ ºµ Ê Ð Ð Ó Ò Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X > 0. Î Ø Ú Ø Ö Ð Ð Ó Ò Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X 0. ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ì Ø Ù¹ Ö ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ø Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÑÝ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÑÝ ¹Ò Ø Ú Ò Òº

12 ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ Ù Ò Ñ ØÖ Y Ó ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ º ¼ ºµ Å ØÖ X ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ X Y 0. X Y. ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò X Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ X = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ}. ÅÖ Ø ÐÑ º à º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X = [a ij ] R m n Y R k l º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò X Y ÃÖÓÒ Ö Ò ØÙÐÓ X Y ÓÒ Ñ ØÖ a Y a n Y º º R mk nl. a m Y a mn Y Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X = [ ] Y = 0 º ÌÐÐ Ò [ Y 2Y X Y = 3Y 4Y Y X = X X X 0X X X ] = = ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÃÖÓÒ Ö Ò ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÒÒ Ò Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò ÓÙ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ º

13 ÅÖ Ø ÐÑ ½¼º à º º ºµ ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ a b ÓÚ Ø Ù Ø ÐÐ Ð Ù¹ ÐÙ Ù Ó (a,b) =. Ñ Ö º ÄÙ Ù Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø (4, 9) = ÓØ Ò ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÄÙÚÙØ ÚØ Ù Ø Ò Ò ÙÑÔ Ò ÓÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÅÖ Ø ÐÑ ½½º à º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓØ A = {a,a 2,...,a n } B = {b,b 2,...,b m } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó Ò A B ÙÓÖ ØÙÐÓ A B ÓÒ Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó A B = {a b,...,a b m,a 2 b,...,a 2 b m,...,a n b,...,a n b m }. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓØ A = {, 2} B = {, 2, 4} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò A B = {, 2, 4, 2, 2 2, 2 4} = {, 2, 4, 2, 4, 8} B A = {, 2, 2, 2 2, 4, 4 2} = {, 2, 2, 4, 4, 8}. ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ñ Ö Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ ÚÐ ¹ Ò Ò ÙÓÖ ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÒÒ Ò Òº Ä ÙÓÖ ØÙÐÓ ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ ÓÙ Ó Ð Ó Ò Ö ØÝ ÚÐØØÑØØ ÒÓÙ Ø ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ ¹ Ö ØÝ Øº Ë ÙÖ Ú Ø Ø ØÒ Ö ØÑ ØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ø ØØÝ Ö ØÑ ØØ ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ø ÝØ ØÒ Ð ÐÙÚÙÒ ¾º ØÓ ¹ ØÙ º Ã Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½ ¹¾½ Ø ØØÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ¹ ÐÝ ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óºµ ÅÖ Ø ÐÑ ½¾º à º º ºµ ÙÐ Ö Ò Ú Ó C ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ( C = lim + n ). n log n ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g ÙÑÑ f + g ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº (f + g)(n) = f(n) + g(n), ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g ØÙÐÓ fg ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº (fg)(n) = f(n)g(n),

14 ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g Ö ØÐ Ø³Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó f g ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ (f g)(n) = ( n f(d)g, d) d n ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º ½¼ º ¼ ºµ ÇÐ ÓÓØ m n ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ó f() = Ò ÙÒ (m,n) =. f(mn) = f(m)f(n) ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º º ºµ ÇÐ ÓÓÒ g(x) > 0 ÙÒ x a. ÌÐÐ Ò Ñ Ö ÒØ f(x) = O(g(x)) Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó M ØØ f(x) Mg(x), x a. Å Ö ÒØ f(x) = h(x) + O(g(x)) Ø Ö Ó ØØ ØØ f(x) h(x) = O(g(x)). ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º Ö Ú Ø º ¾ ºµ Å Ù Ò ÙÒ Ø Ó µ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ ÂÓ n = Ò Ò µ(n) =. ÂÓ n > Ò Ò Ø ØÒ n Ð ÙÐÙ Ù Ò ØÙÐÓÒ n = p a p a 2 2 p a k k. ÌÐÐ Ò { µ(n) = µ(p a p a 2 2 p a k k ) = ( ) k, Ó a = a 2 = = a k =, 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½ º à º ½¼ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ α Ö Ð ÐÙ Ùº ÙÒ Ø Ó N α ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ ÙÖ Ú Ø N α (n) = n α. ÃÙÒ α = Ò Ò Ñ Ö ØÒ N α = N.

15 Ñ Ö º à º ½¼ º ¾ ºµ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ N(n) = n = n N 0 (n) = n 0 = ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÑ ¾¼º à º ½¼ Ö Ú Ø º ¾ ºµ ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ϕ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ ϕ(n) = {a a n, (a,n) = }. Ñ Ö º Ë ÐÚ Ø ϕ() =, ϕ(2) = ϕ(n) 2 ÙÒ n > 2. ÅÖ Ø ÐÑ ¾½º à º ½¾ º ½ ºµ ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÂÓÖ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α ÓÒ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α = µ N α. ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾º à º ½¾ º ½ ºµ Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ζ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÂÓ 0 < s < Ò Ò ( ) ζ(s) = lim x n x s. s s n x ÂÓ s > Ò Ò ζ(s) = n= n s. ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ê ¹ Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ÖÓ Ú ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ º ½º Ä Ù Ø Ñ Ö Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ¾ ØÓ ØÙ ÔÙÒ Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ù Ø º Ç Ð Ù Ø ØÓ Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ù Ø ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ Ú ØØ Ù Ø Ò ÑÙ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó Ø º Ä Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ýع Ø ÐÔÓ ÙÙØØ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö º Ë ÙÖ Ú Ø ØØÚØ Ð Ù Ø Ð ØØÝÚØ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ Òº

16 Ä Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò (A α ) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÓ ØÙ º à º º ¾ ¾ º Ä Ù ¾º à º ½ º ¼ Ø ØÚ ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X R n n ÒØÝÚ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ y R n \ {Θ} Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ ¹ Ò Ú ØÓÖ ÓÐÐÓ Ò Xy = λy. ÃÓ Ñ ØÖ X ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò Ø ØÒ ØØ λ 0. ÆÝØ X Xy = X λy, ÓØ Ò X y = λ y. Ä Ù º Ë Ñ Ð Ö ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÓ ØÙ º à º ½ º º [ ] [ ] 2 4 Ñ Ö ½¼º ÇÐ ÓÓÒ X = Y = º Æ Ò Ð¹ 0 3 ÔÓ Ø ØØ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ ØÖ Ò X Ò ÖØ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÂÓ Ø ØÒ ØØ Ñ ØÖ Y ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò X Ò ÚÓ Ò Ø Ø Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÔØ ÐÐ ØØ ÑÝ Ñ ØÖ Ò Y Ò ÖØ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ½º ÂÓ ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ Ø ØÝ ÐÐ Ñ Ð Ö ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓØ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ð ÙÑÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ Ö Ò Ù Ò Ó Ó ØØ Ñ ØÖ Ø Ñ Ð Ö º Ä Ù º ÈÓ Ø Ú Ø Ö Ð ÐÙ Ù º Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú ÌÓ ØÙ º à º ½ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ x ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò 0 < x Xx = x λx = λx x. ÃÓ x x > 0 Ò ÙÒ x C n \ {Θ} Ò Ò λ > 0. ½¼

17 ÃÙÒ ØÙÒÒ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÐ Ò Ò Ù Ò Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ø ØÒ ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø ¹ Ò ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÒØÝÚº Ä Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ó Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò 0. ÄÙÚÙ ¾º Ø ØÒ ØØ Ô Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ð Ö º Ä Ù º ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÓ ØÙ º à º ½ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ x ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò 0 x Xx = x λx = λx x. ÃÓ x x > 0 Ò ÙÒ x C n \ {Θ} Ò Ò λ 0. Ä Ù º ÂÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ n ÔÓ Ø ¹ Ú Ø ÚÐØØÑØØ Ö ÙÙÖØ µ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó ÐÐ ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ n ¹Ò Ø Ú Ø ÚÐØØÑØØ Ö ÙÙÖØ µ ÓÑ Ò ÖÚÓ º ÌÓ ØÙ º à º ½ º ½ ¾ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ n n¹ñ ØÖ Ø X Y ÐÐ ØØ X Y ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º ÇÐ ÓÓØ λ λ 2 λ n Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ µ µ 2 µ n Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò λ i µ i, i n. ÌÓ ØÙ º à º ½ º ½ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X,Y R n n º ÂÓ X Y Ò Ò max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ }. ÌÓ ØÙ º à º ½ º ½ º ½½

18 Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X R n n Y R m m º ÂÓ {λ,λ 2,...,λ n } ÓÒ Ñ ØÖ Ò X {µ,µ 2,...,µ n } Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ò Ò ØÐÐ Ò {λ i µ j i n, j m} ÓÒ Ñ ØÖ Ò X Y ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Óº ÌÓ ØÙ º à º ½ º ¾ º Ä Ù ½¼º ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ m ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ m n. ÇÐ ÓÓÒ Y Ñ ØÖ Ò X ÐÐ Ò Ò m m¹ Ð Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø X ÔÓ Ø Ñ ÐÐ n m Ö Ú Ò Ø Ú Ø Ú Ø Ö Øº ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÐ ÓÓØ λ λ 2 λ n µ µ 2 µ m Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ l ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ l m. ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º à º ½ º ½ º λ l µ l λ l+n m. Ä Ù ½½º ÇÐ ÓÓØ X Y n n¹ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ a ÓÑÔÐ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ½º XY X Y ¾º ax = a X. ÌÓ ØÙ º à º ½ º ¾ ¼ º ¾ º ¾ º º Ä Ù ½¾º à º ½ º ½¾ Ø ØÚ ½½ºµ ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò X X = X X. ½¾

19 ÌÓ ØÙ º ËÔ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ñ Ö Ò Ð Ù Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ X X = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò XX ÓÑ Ò ÖÚÓ} Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = (Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ}) 2 = Ñ Ü{λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò (X X) (X X) ÓÑ Ò ÖÚÓ} = X X. Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º à º ½ º ¾ º λ X. Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÓÒÓ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒØÙÑ Ø Ó Ú Ð Ù Ø º Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ (a i ) i= Ú Ò Ú Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÐÐ Ò (a i ) i= ÙÔÔ Ò º ÌÓ ØÙ º à º ½ º º Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÙ Ù ÓÒÓÒ (a i ) i= Ó ÓÒÓº ÂÓ (a i ) i= ÙÔÔ Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ a Ò Ò ÓÒÓ (b i ) i= ÙÔÔ Ò ÑÝ Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ aº ÌÓ ØÙ º à º ½ º ¼ º ½

20 Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë Ö i= a i ÙÔÔ Ò Ó Ú Ò Ó Ö ÙÔÔ Ò º i=n a i ÌÓ ØÙ º à º ½ º ½ º Ä Ù ½ º ÈÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ò Ö i= Ó Ó ÙÔÔ Ò Ø ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø Òغ ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ½ º Ä Ù ½ Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö Ø µº ÇÐ ÓÓØ a i i= a i i= b i ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ a i b i ÐÐ i Z + º ÌÐÐ Ò Ó Ö ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø ÒØ Ò Ò Ö i= a i b i i= ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø ÒØ ÑÝ º ÌÓ ØÙ º à º ½ º º Ä Ù ½ Ð Ø ØÝ Ð Ù µº ÎÖغ º ½¼ ºµ ÇÐ ÓÓØ a i, i= i= b i ½ i= c i

21 ÐÐ Ö Ó ØØ a i c i b i ÐÐ i Z + º ÌÐÐ Ò Ó Ö Ø ÙÔÔ Ò Ú Ø Ò Ò ÑÝ Ö ÙÔÔ Ò ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ i= a i a i = i= i= b i b i = L, i= i= c i c i = L. i= n a i = l a (n), i= n b i = l b (n) i= n c i = l c (n). i= ÇÐ ÓÓÒ ε Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ n a n b ØØ ÙÒ n > n a Ò Ò ÙÒ n > n b Ò Ò l a (n) L ε, l b (n) L ε. ÇÐ ÓÓÒ n c = Ñ Ü{n a,n b }. ÆÝØ ÙÒ n > n c Ò Ò ÓØ Ò ÙÒ n > n c Ò Ò Ë ε + L l a (n) l c (n) l b (n) ε + L, l c (n) L ε. c i = L. i= ½

22 Ä Ù ¾¼º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò a b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ (a,b) = p P p min{a(p),b(p)}. ÌÓ ØÙ º à º º ½ º Ä Ù ¾½º ÇÐ ÓÓØ a b c ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ½º (a,a) = a ¾º (a,b) = (b,a) º (ca,cb) = c(a,b). ÌÓ ØÙ º à º º º ½ º Ä Ù Ò ¾½ Ó Ø ¾ ÙÖ ØØ Ó Ò Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ó Ò Ò Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº Ñ Ö ½½º ÄÙÚÙØ ¾ ÓÚ Ø Ð ÙÐÙ Ù ÓØ Ò Ø ØÒ ØØ (2, 3) = º ÃÓ 26 = = 3 3 Ò Ò Ð Ù Ò ¾½ ÒÓ ÐÐ (26, 39) = 3 (2, 3) = 3 = 3. Ä Ù ¾¾º ÎÖغ º ¾½ Ø ØÚ ¾ºµ ÇÐ ÓÓØ a b c d Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò (ab,cd) =. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº ÆÝØ Ð Ù Ø ¾¼ Ø ØØ a b c d ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù ÙÖ ØØ Ñ Ò{(ab)(p), (cd)(p)} = Ñ Ò{a(p) + b(p),c(p) + d(p)} = 0. ÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¼ ÒÓ ÐÐ (ab,cd) =. Ä Ù ¾ Ö Ð Ø³Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ a Ó ÓÒ ÐÙ Ù b ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ (a,b) =. ÌÐÐ Ò Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù º ÌÓ ØÙ º à º º ½ º A = {a,a + b,a + 2b,a + 3b,...} ½

23 Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ a Ó ÓÒ ÐÙ Ù b ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ (a,b) =. ÇÐ ÓÓØ Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º à º º º A = {a,a + b,a + 2b,a + 3b,...} B = {p p A p P} = {p,p 2,p 3,...} i= p i =. Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ º Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓØ f g ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó f g ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÌÓ ØÙ º à º ½¼ º ¼ º ÙÒ Ø ÓØ µ N α ÓÚ Ø ÐÚ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Òº Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ f ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÂÓ Ò Ò ÌÓ ØÙ º à º º ¾ ¼ º lim p n f(pn ) = 0, lim f(n) = 0. n Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ n Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÌÓ ØÙ º à º ½¼ º º ϕ(n) = n p n,p P ( p ). Ä Ù ¾ º à º º Ø ØÚ ½ ºµ ÇÐ ÓÓÒ n Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÂÓÖ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α (n) = n α ( p α). p n,p P ½

24 ÌÓ ØÙ º ÂÓ n =, Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø ÙÒ ÙÓÑ Ó Ò ØØ ØÝ ØÙÐÓ ÓÒ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n >. Ö ØÐ Ø³Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ J α (n) = µ N α (n) = ( n ) µ(d)n α. d d n ÌÑ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó ( n ) µ(d)n α = d d n d n µ(d) nα d α = nα d n µ(d) d α. ÇÐ ÓÓØ q,q 2,...,q l ÐÙÚÙÒ n Ö ÙÙÖ Ø Ð ÙÐÙ ÙØ Øº ÌÐÐ Ò p n,p P ( l p α) = ( i= q α i ). Ì Ö Ó Ø ØØ ÓÓÒ Ñ Ö ÒÒÐÐ (q i q j ) α ÐÐ Ø ÙÑÑ Ó ØÙÐÓ q i q j ÓÓ ¹ ØÙÙ Ò Ø ÐÙÚÙÒ n Ö Ð ÙÐÙ ÙØ Ø ÖÖ ÐÐ Òº ÃÝØ ØÒ Ú ¹ Ø Ú ÒÐ Ø Ñ Ö ÒØ ÙÒ ØÙÐÓÒ Ø Ø ÓÒ Ù ÑÔ ºµ ÌÐÐ Ò l ( qi α i= ) = q α i ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ + (q i q j ) α (q i q j q k ) α + + ( ) l (q q 2 q l ) α. q α i + (q i q j ) α (q i q j q k ) α + + ( ) l (q q 2 q l ) α = d n µ(d) d α. Ë n α p n,p P ( p α) = nα d n µ(d) d α = d n ( n ) µ(d)n α = J α (n). d Ñ Ö ½¾º ÇÐ ÓÓÒ α =. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ¾ ÒÓ ÐÐ J α = ϕ. ½

25 Ñ Ö ½ º ÎÖغ ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø J α () =. ÃÙÒ Ø ØÒ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ð Ù ¾ ÓÐ Ú ÑÙÓ Ó Ò Ò ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ J α (n), n 2. Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ s > ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ζ(s) = p P ( p s) ÌÓ ØÙ º à º º ¾ ½ º Ä Ù ¼º ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Óº ÌÐÐ Ò p P,p x ÌÓ ØÙ º à º º ¾ º ( ( p ) = e C ) log x + O log 2. x ¾ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ÖÚ Ó Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÒØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ñ ØÖ ¹ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º ¾º½ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓÒ Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØØ ÑÒ ÓÒÓÒ ÐÐ Ø Ö ÐÐ Ø Ó ¹ ÓÒÓ Ø ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÒÒ Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÝÑÑ ØÖ º Ì Ö Ø ÐÙ ÐÓ Ø Ø Ò Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ýѹ Ñ ØÖ Ñ ØÖ º ½

26 ÔÙÐ Ù ½º ÎÖغ ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓØ a,a 2,...,a n ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù ØØ Ó Ò Ò a i, ÙÒ i nº ÌÐÐ Ò a a 2 º º º a n = + n i= a a i a a 2 a n a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ a X = a 2 º º º a n Y = + n i= a a i a a 2 a n a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÌÐÐ Ò XY = a a 2 º º º a n + n i= a i a a 2 a n a a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n = + n + n i= + n i= i= n a i n a i i= º n a i i= i= a i + a a + a n a n + a a i a + a a a + a n a n º º + an a i a n + a a a + an a n a n ¾¼

27 = , º º ÓØ Ò X = Y º ÔÙÐ Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ b >. ÇÐ ÓÓÒ X = E n + (0,b,b 2,...,b n ) = b b 2 0 º º º º º º b n = b b 2 º º º b n. ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º Ä Ó ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò X Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ò λ λ 2 λ n µ µ 2 µ n λ i µ n i+ =, i n. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ º Ë ÐÚ Ø X = X T Ð Ñ ØÖ X ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ ¾½

28 ÌÐÐ Ò x = c c 2 º c n Cn \ {Θ}. x Xx = [ ] c c 2 c n (En + (0,b,b 2,...,b n )) = [ ] c c 2 c n En c c 2 º c n + [ ] c c 2 c n (0,b,b 2,...,b n ) = [ n i= c i n i= c i n i= c i ] + [ 0 c 2 (b ) c n (b n ) ] = = = n c i i= n i= c i n c i + i= n c i + i= n c i 2 + i= n (b i )c i c i i=2 n (b i )c i c i i=2 n (b i ) c i 2 > 0. i=2 Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ λ i µ n i+ =, ÙÒ i nº c c 2 º c n c c 2 º c n c c 2 º c n c c 2 º c n ¾¾

29 Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÙÙ¹ Ö ÑÔ Ö Ð ÐÙ Ù ÓØ Ò ÒØ Ñ ØÖ X ÓÒ ÓÐ Ñ º ÂÓ λ λ 2 λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ X ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ò ØÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌØ Ò λ n λ λ i µ n i+ = λ i λ i =, i n. ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a >. ÇÐ ÓÓÒ n 2 ÓÐ ÓÓÒ X = E n + (0,a,a 2,...,a n ) = a a 2 0 º º º º º º a n = a a 2 º º º a n ÓÐ ÓÓÒ µ n ÒØ Ñ ØÖ Ò X ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò µ n > + n i= a i. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ + n i= a i a a n a Y = 0 0 º º º a n 0 0. ¾

30 ÌÐÐ Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ø(λI Y ) = Ø λ n a i i= a a 2 a n a λ 0 0 a 2 0 λ 0 º º º º a n 0 0 λ = (λ n i= a i ) Ø λ λ º º λ º λ a Ø a 2 a n 0 λ 0 0 a 0 0 λ 0 º º º º λ + a 2 Ø a 2 a n λ a 0 0 λ 0 º º º º λ a n Ø a 2 a n λ a 0 λ 0 0 º º º 0 0 λ 0 = (λ n i= a i )λn (a ) 2λn 2 ¾

31 (a 2 ) 2λn 2 (a n ) 2λn 2 = λ n 2 (λ 2 ( + n i= n a i )λ i= ). (a i ) 2 ÃÙÒ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò ØÓ Ñ Ñ ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ù Ò ÐÐ Ô ÝØÒ Ñ Ò ØÙÐÓ Òº ÌØ Ò Ñ ØÖ Ò Y Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ k(λ) = λ n 2 (λ 2 ( + n i= n a i )λ i= ), (a i ) 2 ÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Y ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò p(λ) = λ 2 ( + n i= n a i )λ i= (a i ) 2 ÒÓÐÐ Ó Øº ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(λ) ÑÙÙØØÙ Ò λ ÓÐÐ Ò Ò Ú Ø Ò ØØ p( + = ( + n i= n i= a i ) + n a i )2 ( + i= n = (a i ) < 0. 2 i= n i= a i, n a i )( + i= n a i ) i= (a i ) 2 ÃÓ p(λ) ÓÒ ØÓ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö¹ ÖÓ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ò ÐÐ Ø ÙÖ ØØ Ñ ØÖ Ò Y ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ n > + n i= a i. ÔÙÐ Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÒØ Ñ ØÖ ¾

32 X = + n i= a i a a 2 a n a a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÇÐ ÓÓÒ Z = (,,..., ) R n n º Ë ÐÚ Ø Ñ ØÖ Z ÓÒ ÒØÝÚ Z = Zº ÃÓ ZY Z = ZY Z = º n i= a i a a n a 0 0 º º º a n º 0 0 = º n i= a i a a n a 0 0 º º º a n 0 0 = + n i= a i a a n a 0 0 º º º a n 0 0 = Y Ð ZX Z = ZX Z = º n i= a a i º 0 a n a n a 0 a º 0 a n º 0 0 ¾

33 = º n i= a i a º 0 a n a a n a 0 º 0 a n = + n i= a a i a a n a 0 º 0 a n º 0 a n = X, Ò Ò Y ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò Y X ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò X Ò º ÌØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Y Y ÓÒ ÒÒ Ñ Ø ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ X X ÓÒ ÒÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓغ ÃÓ Ð ÔÙÐ Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù Ó X Y Ò Ò ÒÝØ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ }. ÐÐ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò Y ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ n > + n i= a i, ÓØ Ò Ø Ø ÙÖ ÐÐ Ò ØØ ÒØ Ñ ØÖ Ò X ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ n > + n i= a i. ¾

34 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a > =. a i ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò i= X(n) = E n + (0,a,a 2,...,a n ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò lim λ (n) = 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÔÙÐ Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÐÙ Ù 0 ÓÐ Ñ ØÖ Ò X(n) ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓº ÌØ Ò ÒØ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ µ n (n) ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ò X(n) ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò λ (n) = µ n (n) < λ (n) = µ n (n). µ n (n) > + n i= + n i= a i, a i < + n i= ÌÓØ ÑÑ ØØ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ 0 < λ (n). Ë ÃÓ Ò Ò ÒÝØ 0 < λ (n) < lim n ÌØ Ò Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò i= + n i= a i =, + n i= lim λ (n) = 0. n = 0. a i. a i. a i ¾

35 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ b =. b i ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò i= Y (n) = E n + (b,b 2,...,b n ) ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ Å ØÖ lim λ (n) = b. n Y (n) = E n + (b,b 2,...,b n ) ( ) = (b )I + E n + 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ). ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ B = {b 2 b +,b 3 b +,b 4 b +,...} ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÙ Ó ØØ ÇÐ ØÙ Ø ÙÖ ÑÝ ØØ ÓØ Ò Ó Ò Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ b 2 b + >. b i b + b i, i=2 i= b i =, b i b + =. ÇÐ ÓÓÒ ( ) Z(n) = E n + 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ) ¾

36 ÓÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò Z(n) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ x R n Ø Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò = = Y (n)x ( (b )I n + E n + ( 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ) )) x ( ) (b )I n + Z(n) x = (b )I n x + Z(n)x = (b )x + µ (n)x = (b + µ (n))x. Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò lim µ (n) = 0, n lim λ (n) = b. n ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ º Æ Ø Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÝØ ØÒ ÝÚ ÙÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÑÝ Ø ÖÖÝØÒ ØÙØ Ñ Ò Ø ¹ ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ø Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ö Ýع ØÝØÝÑ Øº Ä Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α, ÓÐ ÓÓÒ a ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù (a i,a j ) = a, i j, i= a i =. ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,a 3,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A ÐÙ¹ ÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò lim n λ (n) = a α a α. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ b i ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ a i = ab i ÙÒ i Z +. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾½ Ó Ò ÒÓ ÐÐ a = (a i,a j ) = (ab i,ab j ) = a(b i,b j ), ¼

37 ÓØ Ò ÃÓ Ò Ò ÓØ Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ ÇÐ ÓÓÒ (b i,b j ) =, i j. a i b i, i Z +, a i b i, i Z +, i= b i =. B = {b,b 2,b 3,...,b n } ÓÐ ÓÓÒ (B α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò (B α ) = E n + (b α,b α 2,b α 3,...,b α n ). ÇÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò (B α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ c i = b α i, i Z +. ÃÓ 0 < α Ó b i ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÙÒ i Z + Ò Ò ÓØ Ò ÆÝØ Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ c i b i, i Z +, c i b i, i Z +. i= c i =. ÃÓ Ð Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ c = b α, lim µ (n) = c. n ÃÓ (A) α = a α (B α ), ½

38 Ò Ò ÒÝØ lim λ (n) = a α lim µ (n) n n = a α (c ) = a α c a α = a α b α a α = (ab ) α a α = a α a α. ¾º¾ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÓÒÓ Ò Ð Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ¹ Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º Ì Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÒ ØÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò (λ m (n)) n=m lim λ m(n) 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ Ä Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ ÓÒÓ (λ m (n)) n=m ÓÒ Ú Ò Ú Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÙÔÔ Ò º Ä Ù Ø ½ ÙÖ ØØ λ m (n) > 0 ÙÒ n Z +, ÓØ Ò lim n λ m(n) 0. ¾

39 ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓØ n m ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓØ A = {a,a 2,...,a n } B = {b,b 2,...,b m } ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ØØ ÓÙ ÓÒ A Ð ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù ÓÙ ÓÒ B Ð ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø Ð¹ Ð Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ Ø Ø Ò Ð Ú Ð ØØ ÓÙ Ó Ò A B Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (A α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (B α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ((A B) α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ((A B) α ) = (A) α (B α ). ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ (A) α = a α a α 2 º º a α n (B α ) = b α b α 2 º º. b α m ÇÐ ÓÓØ i,j n k,l mº ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾½ ¾¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò, Ó i j k l a (a i b k,a j b l ) = i, Ó i = j k l b k, Ó i j k = l a i b k, Ó i = j k = l,

40 ((A B) α ) = = = (a b,a b ) α (a b,a b m ) α (a b,a n b ) α (a b,a n b m ) α º º º º (a b m,a b ) α (a b m,a b m ) α º º º (a b m,a n b m ) α º º (a n b,a b ) α º (a n b,a n b ) α (a n b,a n b m ) α º º º º (a n b m,a b ) α (a n b m,a b m ) α (a n b m,a n b ) α (a n b m,a n b m ) α a α (B α ) (B α ) (B α ) (B α ) a α 2(B α ) º º (B α ) (B α ) (B α ) a α n(b α ) a α a α 2 º º (Bα ) a α n = (A) α (B α ). ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ A = {, + a, + 2a,..., + (n )a} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ Ö Ð Ø³Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó {, + a, + 2a, + 3a,...} ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó B = {p,p 2,p 3,...}

41 Ò Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÃÓ 0 < α Ò Ò i= ÌØ Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ p i =., i Z p i p α +. i p α i= i =. ÇÐ ÓÓÒ q i = p m +i ÙÒ i Z +. ÌÐÐ Ò k q α i= i = k+m i=m p α i, k Z +. ÐÐ ØÓØ ÑÑ ØØ p α i= i ÓØ Ò ÒÝØ Ð Ù Ò ½ ½ ÒÓ ÐÐ q α i= i =, =. ÇÐ ÓÓÒ l 2 ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓØ C = {,p,p 2,...,p m } D = {,q,q 2,...,q l } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÇÐ ÓÓÒ (C α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (D α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ D ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ((C D) α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ C D ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÂÓÙ ÓÒ C D Ð Ó Ò Ö ØÝ ÚÐع ØÑØØ ÒÓÙ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ Øº Ð ÓØ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ø Ø Ô Ù Ö Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÐÐ Ð Ó Ò ÙÙ ÐÐ Ò Ö ØÑ Ò Ò Ú ÙØ Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Òºµ

42 ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ((C D) α ) = (C α ) (D α ). ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (C α ) µ (m) µ m (m) γ (l) γ l (l) Ñ ØÖ Ò (D α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ Ó {µ i (m)γ j (l) i m, j l} ÓÒ Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓØ k r ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ( + ka)( + ra) = + ka + ra + kra 2 = + (k + r + kra)a ÑÓ a), ÓØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó {, + a, + 2a, + 3a,...} ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌØ Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ C D Ð Ó ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ {, + a, + 2a, + 3a,...} Ð Óº ÇÐ ÓÓÒ ÌÐÐ Ò Ö ØÝ Ø n s = p m q s a n l = p m q l a +, s 2. ( pm q l ) + (n l )a = + + a = + p m q l = p m q l, a + ÓØ Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ C D Ð Ó ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ E = {, + a, + 2a, + 3a,..., + (n l )a}

43 Ð Óº ÌØ Ò Ñ ØÖ ((C D) α ) ÓÒ Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ E ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑÒ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò (E α ) Ð Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ η (ml) η ml (ml) Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ λ m (n s ) η m (ml). ÃÓ Ð Ò Ò ÌØ Ò µ (m)γ (l) µ m (m)γ (l), η m (ml) µ m (m)γ (l). λ m (n s ) µ m (m)γ (l). ÆÝØ Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ú Ð ØØ a = a = a i = q i ÙÒ i 2 ÔØ lim γ (l) = 0. l ÃÓ Ð Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÓÒÓÒ (λ m (n)) n= Ó ÓÒÓ (λ m (n s )) s= ÙÔ¹ Ô Ò lim s λ m(n s ) 0, Ò Ò Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò ÌØ Ò Ð Ù Ò ½ ¾ ÒÓ ÐÐ lim λ m(n s ) = 0. s lim λ m(n) = 0. n ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÔÙÐ Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ø Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ñ Ö ØØÚ Òº Ë Ø ØÒ ÙÖ Ú º

44 Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ d 0 Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a + db,a + (d + )b,a + (d + 2)b,...,a + (d + n )b} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ l ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ l(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ Ó ÓÒÓ º ¼ ºµ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ò ÓÒÓÒ (a + ib) i=d (a + (d + (a + bd)i)b) i=0 = (a + db + (a + bd)ib) i=0 = (( + ib)(a + db)) i=0. ÇÐ ÓÓÒ B = {a + db, ( + b)(a + db), ( + 2b)(a + db),...,( + (m )b)(a + db)} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (B α ) ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (B α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ µ (m) µ m (m) C = {, + b, + 2b,..., + (m )b} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (C α ) ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (C α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ Ë ÐÚ Ø γ (m) γ m (m) (B α ) = (a + db) α (C α ), ÓØ Ò ÌØ Ò Ö ØÝ Ø µ j (m) = (a + db) α γ j (m), ÙÒ j m. µ l (m) = (a + db) α γ l (m).

45 ÇÐ ÓÓÒ ÌÐÐ Ò m n = + n a + db. a + (d + n )b ( + (m n )b)(a + db), ÓØ Ò (B α ) ÓÒ Ñ ØÖ Ò (A α ) Ð Ñ ØÖ º Î Ð Ø Ò n Ø Ò ØØ m n l. ÆÝØ Ð Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ λ l (n) µ l (m n ). ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò λ l (n) µ l (m n ) = (a + db) α γ l (m n ). lim γ l(m) = 0, m lim γ l(m n ) = 0. n ÌØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò lim n λ l(n) = 0. Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ d 0 Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (c i ) i= ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÓÒÓ ((a + ib)) i=d ÓÒ Ò Ó ÓÒÓº ÇÐ ÓÓÒ C = {c,c 2,...,c n } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (C α ) ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (C α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ¼ ºµ Î Ø ÙÖ Ð Ù Ø ½¼ ¾ º

46 Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2,...,n} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ½ ºµ Î Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ð Ù Ø º ¾º Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØݹ ØÝÑ Ò Ò Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ñ¹ ÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ ÐÐ Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ë Ì¹Ñ ØÖ º Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÙ Ð ÒÒ Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó ¹ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ¹ Òº ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÓÒÓ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ ¹ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ Ä Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ (A α ) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø ¹ Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ i (n) > 0 ÙÒ i nº Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓÒ λ (n) Ð Ö Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØݹ ØÝÑ Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º à º ½¾ º ½ ºµ ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ B = {b,b 2,...,b m } ¼

47 ÐÐ Ò Ò Ø ÙÐ ØØÙ Ö Ø ØØÝ ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø¹ Ø A Bº ÇÐ ÓÓÒ J α ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ Y = [c ij ] ÐÐ Ò Ò n m¹ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó { Jα (b j ), Ó b j a i, c ij = 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ÌÐÐ Ò (A α ) = Y Y T. ÌÓ ØÙ º à º ½½ º ½ º ÇÐ ÓÓÒ K(n) ÐÐ Ø Ò n n¹ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò ÓÙ Ó Ó Ò Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ð Ó ÓÒ ½ Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò Ð Ó ÓÒ ¼ Ø ½º Ë ÐÚ Ø ÓÙ Ó K(n) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓ Ò ÓÙ ÓÓÒ K(n) ÙÙÐÙÚ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò ÒÓ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ½ ÓØ Ò ÓÙ ÓÒ K(n) Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒØÝÚ Ñ Ø¹ Ö º Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ Ó L(n) = {ZZ T Z K n } ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ n n¹ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ L µ (n) = {µ (n) ZZ T L(n) µ (n) ÓÒ Ñ ØÖ Ò ZZ T Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ}. Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ ÓÒ L µ (n) Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ë L µ (n) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓ ¹ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø n Ö ÔÔÙÚ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó v n = Ñ ÒL µ (n). ( ) à º ½¾ º ½ ºµ Î ÓÒ v n ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ J α ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ Ð Ö Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ λ (n)º à º ½¾ º ¾ ºµ Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. ½

48 ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ Y ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ n m¹ Ñ ØÖ º ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ (A α ) = Y Y T. ÇÐ ÓÓÒ P Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÑ ØÖ º ÌÐÐ Ò (A α ) = Y Y T = Y IY T = Y (PP T )Y T = (Y P)(P T Y T ) = (Y P)(Y P) T. Å ØÖ Ò Y Ö Ø ÚÓ Ò ØØ Ò Ô ÖÑÙØÓ Ú Ô Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ b i = a i, i n. Ø ØÒ ÒÝØ Ñ ØÖ Y ÑÙÓ Ó Y = [W V ], Ó W ÓÒ n n¹ñ ØÖ V ÓÒ n (m n)¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ÇÐ ÓÓØ [ W Y Y T = [W V ][W V ] T T ] = [W V ] = WW T + V V T. V T Ñ ØÖ Ò WW T ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÃÓ γ (n) γ n (n) V V T = Y Y T WW T Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ V V T ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ i (n) γ i (n), i n. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ W = [d ij ]º ÆÝØ { Jα (a j ), Ó a j a i, d ij = 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº Å ØÖ W ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ð Ó d ii = J α (a i )º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø U D Ø Ò ØØ Ñ ØÖ Ò U = [u ij ] Ð Ó D = ( J α (a ), J α (a 2 ),, J α (a n )) u ij = {, Ó a j a i, 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ¾

49 Å ØÖ W ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó W = UD. ÆÝØ WW T = (UD)(UD) T = (UD)(D T U T ) = U(DD T )U T = U(DD)U T = UD 2 U T, ÓØ Ò (WW T ) = (UD 2 U T ) = (U T ) (D 2 ) U. Ë ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ø U W ÓÚ Ø ÒØÝÚ ÓØ Ò Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ UU T WW T ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò UU T WW T ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÑÒ ÚÙÓ Ñ ØÖ Ò UU T WW T Ø ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò UU T Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÐ ÓÓÒ β = (D 2 ) = ( J α (a ), J α (a 2 ),, J α (a n ) ) = Ñ Ü{ J α (a i ) i n} = Ñ Ò{J α (a i ) i n}. ÆÝØ Ð Ù Ò ½½ ÒÓ ÐÐ (WW T ) = (U T ) (D 2 ) U (U T ) (D 2 ) U = β (U T ) U. Ä Ù Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò (UU T ) = (U ) T U = (U T ) U, (WW T ) β (UU T ). Å ØÖ UU T ÓÒ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÓØ ÑÑ ÐÐ ØØ Ò ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÑÒ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ (UU T ) = µ (n). ÆÝØ (WW T ) β µ (n).

50 Å ØÖ UU T ÓÒ ÐÚ Ø ÓÙ ÓÒ L µ (n) Ð Ó ÓØ Ò µ (n) v n. ÌØ Ò ÆÝØ β µ (n) β v n = (WW T ) Ä Ù Ò ¾ ½ ÒÓ ÐÐ ÃÓ Ò Ò ØØ Ò λ (n) γ (n) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. (WW T ) γ (n). λ (n) γ (n), (WW T ) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A) ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n Ñ Ò{ϕ(a i ) i n}. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÃÓ Ñ Ö Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ J (a) = ϕ(a) ÙÒ a ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ð Ó Ò Ò ÓÒÓ ØØ a = ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n.

51 ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÃÓ Ñ Ö Ò ½ ÒÓ ÐÐ J α () = J α (a) ÙÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù a 2, Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,a 3 } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ λ 2 λ 3 Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò Ó ( ) ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ó v 3 > 0.98 º Ð Ø µ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > Ñ Ò{0.98 J α (a ), 0.98 J α (a 2 ), 0.98 J α (a 3 )}. ÂÓ α =, Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > Ñ Ò{0.98 ϕ(a ), 0.98 ϕ(a 2 ), 0.98ϕ(a 3 )}. ÂÓ a =, Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a > ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ Ø α δ Ö ÔÔÙÚ ÙÒ Ø Ó g ÓÐÐ ÔØ lim n g(n) = ØØ ½º jos α >, niin J α (a) aα ζ(α) ; ¾º jos α =, niin J (a) a ( e C k ) ; log a log a º jos 0 < α <, niin J α (a) = a α( δ) g(a); º jos α > 0, niin lim a J α (a) =. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÃÙÒ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ( J α (a) = a α ), p α p P, p a

52 ÓØ Ò ÙÒ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò J α (a) a α p P ÃÙÒ α > Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ p P ( p α ). ( p α ) = ζ(α). ÌØ Ò Ó α >, Ò Ò J α (a) aα ζ(α). ÃÙÒ α =, Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò Ä Ù Ò ¼ ÒÓ ÐÐ p P, p a J (a) = a J (a) a p P, p a p P, p a ( ), p ( ). p ( ) ( ( = e C )) + O, p log a log a ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó k > 0, ØØ p P, p a ( ) ( e C k ). p log a log a ÌØ Ò Ó α =, Ò Ò J (a) a ( e C k ). log a log a ÇÐ ÓÓÒ 0 < α <. ÇÐ ÓÓÒ f(n) = nα( δ) J α (n). Ç Ó Ø Ø Ò ØØ lim f(n) = 0. n

53 ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÐÚ Ø ÑÝ f ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø Ú Ò Òº Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ lim p n f(pn ) = 0. ÃÓ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ( lim p n f(p n ) = lim p n pnαδ ) =, p α Ò Ò lim f(n) = 0. n ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ g = f. ÌÐÐ Ò J α(a) = a α( δ) g(a) lim g(n) =. n ÌØ Ò Ó 0 < α < Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó δ, 0 < δ <, ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ Ø α δ Ö ÔÔÙÚ ÙÒ Ø Ó g ÓÐÐ ÔØ lim x g(x) = ØØ J α (a) = a α( δ) g(a). Ì ØÒ ØØ º ¾ º ½ µ lim x x log x =, ÓØ Ò Ð Ù Ò Ú Ñ Ò Ò Ó Ø ÙÖ ÐÐ Ø Ó Ø Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ¹ Ø ØØ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ a >, ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Ó ÓÐ ÓÓÒ g ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ØØ ½º jos α >, niin λ (n) v n a α ζ(α) ; { ai e C ( ¾º jos α =, niin λ (n) v n Ñ Ò k ) } i n ; log a i log a i º jos 0 < α <, niin λ (n) v n Ñ Ò{a α( δ) n i g(a n i ) i n}.

54 ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ Î Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a >, ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓØ m n ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ n > mº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ 2 (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Ó ÓÐ ÓÓÒ g ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ØØ ½º jos α >, niin λ n m+ (n) v m aα n m+ ζ(α) ; { an i e C ( k ) } ¾º jos α =, niin λ n m+ (n) v m Ñ Ò 0 i m ; log a n i log a n i º jos 0 < α <, niin λ n m+ (n) v m Ñ Ò{a α( δ) i g(a i ) 0 i m }; º jos α > 0, niin lim n λ n m+ (n) =. ÌÓ ØÙ º à º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ B = {a n m+,a n m+2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (B α ) ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ µ (m) µ 2 (m) µ m (m) Ñ ØÖ Ò (B α ) ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÇÐ ÓÓÒ v m Ó ( ) ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Óº Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ µ (m) v m Ñ Ò{J α (a n i ) 0 i m }. Ä Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ Ë λ n m+ (n) µ (m). λ n m+ (n) v m Ñ Ò{J α (a n i ) 0 i m }.

55 ÌØ Ò ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ú Ø ØØ ÓÚ Ø ØÓ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ä Ù Ò Ú Ñ Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÐÐ Ø Ó Ø ÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ¹ Ø ØØ º Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ø ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ë Ó Ò ÀÓÒ Ò Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝÒ ÖØ Ð ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú¹ ÓÖ Å ØÖ ØØÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØݹ ØÝÑ Ø Ó Ú ØÙÐÓ º ÌÓ ÒÒ Ø Ð ØÙÐ Ú ÙÙ Ý ØÒ Ø¹ ØÑÒ Ø Ö ÑÔ ÖÚ Ó Ø Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÌÙÐ Ú ¹ ÙÙ Ò ØÒ Ò ÑÝ È Å¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ÑÓÒ Ö¹ Ø ¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ÚÓ ¹ Ò ÓØØ Ñ Ö ÑÝ ÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ó Ð Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Ò Ò ÝÐ Ø ÙÙ¹ Ö ÒØ Ý Ø Ø Ø º Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ø Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ¹ Ò Ð ØØÝÚ ØÙØ ÑÙ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØÙÐ Ú ÙÙ ÓÑ Ò ÖÚÓ¹ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ý ØÙØ ÑÙ ÐÙ º

56 Î ØØ Ø ½ Ñ ÊÓ ÖØ º ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ò ÁÒº ÌÓÖÓÒØÓ ¾¼¼ º ¾ Ñ ÊÓ ÖØ º ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ ËØÙ ÒØ ËÓÐÙØ ÓÒ Å Ò٠к È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ò ÁÒº ÌÓÖÓÒØÓ ¾¼¼ º ÔÓ ØÓÐ ÌÓÑ Åº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ò ÐÝØ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÁÒº ½ º ÓÙÖÕÙ Ã Ø ² Ä ËØ Ú Å ØÖ Ó Ø Û Ø Ö Ø Ñ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ º Ä Ò Ö Ò ÅÙÐØ Ð Ò Ö Ð Ö º ÎÓк º ½ µ ¾ ½ ¾ º ÍË ½ º Ú ÒÔÓÖØ À ÖÓÐ ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÆÙÑ Ö Ì ÓÖݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÁÒº ½ ¼º Ø Ò ÖÖ ØØ À ÐÐ Ò Ö ² Ë Ð Ë ØÙÖÒ ÒÓ ÐÙÐÙ ÇÒ Ò Ë Ú Ö Ð Î Ö Ð º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ¾¼¼ º Ö Ö ËØ Ô Ò Àº ÁÒ Ð ÖÒÓРº ² ËÔ Ò Ä ÛÖ Ò ºº Ä Ò Ö Ð Ö º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÁÒº ¾¼¼ º À Ö Ý Ó Ö Ý ² ÏÖ Ø Û Ö Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÆÙÑ Ö º ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º ÀÓÒ ÃÓÒ ½ º À Ù Ò Ò È ÒØØ Ð Ö ½ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º ØØÔ»»ÑØкÙØ º»ÇÔ ÐÙ» Ð Ö ½ º º¾¼¼ µº ½¼ À Ù Ò Ò È ÒØØ ÄÙ ÙØ ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º ØØÔ»»ÑØкÙØ º»ÇÔ ÐÙ» Ð Ö» ÄÙ ÙØ ÓÖ ½ º º¾¼¼ µº ½½ ÀÓÒ Ë Ó Ò ÓÙÒ ÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ñ ØÖ Ó Ø Û Ø Ö Ø Ñ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ º Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔк ¾ ½ ½ µ ½½ ¾¾º ½¾ ÀÓÒ Ë Ó Ò ² ÄÓ ÛÝ Ê Ô Ð ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ º Ð ÓÛ Å Ø º º ¾¼¼ µ ½ º Íà ¾¼¼ º ½ ÀÓÖÒ ÊÓ Ö º ² ÂÓ Ò ÓÒ ÖРʺ Å ØÖ Ü Ò ÐÝ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ñ Ö ½ º ½ ÀÓÖÒ ÊÓ Ö º ² ÂÓ Ò ÓÒ ÖРʺ ÌÓÔ Ò Å ØÖ Ü Ò ÐÝ º ѹ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ñ Ö ½ ½º ½ ÃÓÖ Á ÑÓ ÇÒ Å Ø Ò ÂÓ Ò Å ØÖ Ó Ø Û Ø ÁÒ Ò ÙÒØ ÓÒ º Ì ÑÔ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ì ÑÔ Ö ¾¼¼ º ¼

57 ½ Ä Ý Ú º Ä Ò Ö Ð Ö Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÓÒ Ï Ð Ý ÄÓÒ Ñ Ò ÁÒº ¾¼¼½º ½ ÅÝÖ Ö Ä ÙÖ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ Ó Áº ÃÙ Ø ÒÒÙ ¹ Ó Ý Ø Ì ÑÑ º Ì ÑÔ Ö ¾¼¼½º ½ ÅÝÖ Ö Ä ÙÖ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ Ó ÁÁº ÃÙ Ø ÒÒÙ ¹ Ó Ý Ø Ì ÑÑ º Ë Ö ÖÚ ¾¼¼½º ½

58 Ä Ø Å ØÐ ¹Ó ÐÑ Ò ØÙÐÓ Ø Ø ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ À ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ³µ Ò ½ ½ ½ ³µ Ò ¼º ¼ ¼ ¼º ½ º¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º¾ ½º¼¼¼¼ º ¾½ ¾

59 ³µ Ò ¼º½ ½ ½º ¼ º¾ ¼ À À³µ Ò ¼º¾ ½º¼¼¼¼ º ¾½

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2, ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N, Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ). ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot