Talousmatematiikan perusteet

Transkriptio

1 kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina vuosi indeksi keskimääräinen kasvutekijä on 1 r = ( X2005 x 2000 ) 1/5 = ( ) 124 1/5 = 1, , Vastaus: Keskimääräinen vuosikasvu on ollut 2,61% vuosina Yritys valmistaa muoviraaka-aineesta kahta tuotetta A ja B. Tuotteen A valmistaminen vie aikaa 15min ja raaka-ainetta 8kg. Tuotteen B valmistaminen vie aikaa 6min ja raaka-ainetta 5kg. Raaka-ainetta on olemassa 3000 kg/viikko ja laitteisto, jolla tuotteita valmistetaan on käytössä 40 tuntia viikossa. Yhden A-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa 7 euroa ja yhden B-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa 5 euroa. Mahdollisesti käyttämättä jäänyt muoviraaka-aine voidaan myydä hintaan 120 euroa/tonni. Määrittele päätösmuuttujat ja muodosta lp-malli myyntivoiton maksimoimiseksi. (Älä ratkaise mallia.) Päätösmuuttujat: x 1 = tuotteen A valmistus (kpl/viikko) x 2 = tuotteen B valmistus (kpl/viikko) x 3 = raaka-aineen myynti (kg/viikko)

2 Tavoitefunktio: Rajoitteet: z = 7x 1 5x x 3 raaka-aine (kg): 8x 1 5x 2 x aika (min): 15x 1 6x Vastaus: LP-malli max z = 7x 1 5x x 3 s.t. 8x 1 5x 2 x x 1 6x Ratkaise graafisesti seuraava lp-malli max z = x 1 2x 2 ehdoin 3x 1 x 2 45 x 1 x 2 18 x 1 4x 2 60 x 1,x 2 0 Käymme ensin läpi rajoitteet. Jokaisesta rajoitteesta kirjaamme rajoitteen, käyvän puolen (,,, ), sekä kaksi rajoitesuoran pistettä. 1. raj. 3x 1 x 2 45 A = (10,15) B = (15,0) 2. raj. x 1 x 2 18 C = (0,18) D = (18,0) 3. raj. x 1 4x 2 60 E = (0,15) F = (20,10) x C E A 10 F 5 B D x 1

3 Tavoitesuora: tav. x 1 2x 2 = 28 G = (0,14) H = (20,4) x Optimi x 1 Optimi on pisteessä, jossa rajoitesuorat ja leikkaavat toisensa. Siis { { x1 x 2 = 18 ( 1) x 1 4x 2 = 60 { x1 x 2 = 18 3x 2 = 42 { x1 = 4 ja z = = 32 x 2 = 14 Vastaus: optimissa x 1 = 4, x 2 = 14 ja tavoitefunktio saa arvon z = a) Piirrä seuraavan LP-mallin käypä alue ja b) ratkaise malli. min z = x 1 5x 2 ehdoin 2x 1 3x 2 60 x 1 x 2 16 x 1 3x 2 6 2x 1 x 2 10 x 1,x 2 0

4 1. raj. 2x 1 3x 2 60 A = (0,20) B = (21,6) 2. raj. x 1 x 2 16 C = (0,16) D = (16,0) 3. raj. x 1 3x 2 6 E = (6,0) F = (21,5) 4. raj. 2x 1 x 2 10 G = (0,10) H = (5,20) x 2 20 A H V C G 5 B F 5 E 10 15D 20 x 1 Tavoitesuora: tav. x 1 5x 2 = 75 = (0,15) J = (10,17) x 2 20 Optimi V 15 J x 1

5 Optimissa rajoitteiden ja V rajoitesuorat leikkaavat. Siis { V { 2x1 3x 2 = 60 (1) 2x 1 x 2 = 10 { 2x1 3x 2 = 60 4x 2 = 70 { x1 = 3.75 ja z = = x 2 = Vastaus: optimissa x 1 = 3.75, x 2 = ja tavoitefunktio saa arvon z = a) Pienyritys valmistaa kahta tuotetta 1 ja 2, ja myy kaiken valmistamansa. Kumpaakin tuotetta käsitellään neljällä osastolla seuraavan taulukon mukaisesti. tuotantoaika (tuntia) tuote os. A os. B os. C os D Kullakin osastolla käytettävissä oleva työvoima on rajallinen siten, että työtunteja on osastoilla viikossa käytettävissä seuraavasti osasto työtunteja viikossa A 120 B 220 C 300 D 80 Kate (myyntitulo - valmistuskustannukset) yhdeltä 1 -tuotteelta on 300e ja kate yhdeltä 2 -tuotteelta 500e. Muodosta LP-malli yrityksen kokonaiskatteen maksimoimiseksi. (Älä ratkaise mallia.) b) Tehtävän yrityksen työaika-resurssi on 720 tuntia/viikossa eli 18 työntekijää. Pohdi seuraavaa kysymystä: Jos yritykselle tarjoutuu mahdollisuus palkata kaksi uutta työntekijää, niin miten tämä uusi resurssi allokoidaan (sijoitetaan) eri osastoille? a) Päätösmuuttujat: x 1 = tuotteen 1 valmistus (kpl/viikko) x 2 = tuotteen 2 valmistus (kpl/viikko) Tavoitefunktio: Rajoitteet: z = 300x 1 500x 2 osasto A (h): 4x 1 4x osasto B (h): 2x 1 3x osasto C (h): 6x 1 x osasto D (h): x 1 2x 2 80

6 LP-malli max z = 300x 1 500x 2 s.t. 4x 1 4x x 1 3x x 1 x x 1 2x 2 80 b) Kun on mahdollista palkata kaksi uutta työntekijää (80h työtä), niin haluamme selvittää mille osastoille uusi työresurssi kannattaa sijoittaa. Olkoon osastojen A, B, C, D uudet työresurssin lisäykset vastaavasti w 1, w 2, w 3, w 4. Silloin LP-malli menee muotoon max z = 300x 1 500x 2 s.t. 4x 1 4x w 1 2x 1 3x w 2 6x 1 x w 3 x 1 2x 2 80 w 4 w 1 w 2 w 3 w 4 = 80 tai systemaattisemmin max z = 300x 1 500x 2 s.t. 4x 1 4x 2 w x 1 3x 2 w x 1 x 2 w x 1 2x 2 w 4 80 w 1 w 2 w 3 w 4 = Määritä käänteismatriisi matriisille A = ( ) Tehdään ratkaisu rivioperaatioilla ( ( ( ( ) siis A:n käänteismatriisi on A 1 = vaihdetaan rivit ) ( 2) lisää rivi 1 ( 2):lla kerrottuna riviin 2 ) lisää rivi 2 riviin 1 (1) ( 1) lopuksi vaihda rivin 1 merkit ) ( )

7 6. Määritä rivioperaatioiden avulla käänteismatriisi matriisille N = Siis [1] [1] [1] ( 1) ( 2) (1) ( 5) (1/2) ( 1/2) (1/2) N 1 = Ratkaise yhtälöryhmä x y 2z = 0 x z = 4 2x 3y 3z = x y z = (Vihje: Voit soveltaa periaatetta N x = b x = N 1 b. Huomaa, että kerroinmatriisin käänteismatriisi laskettiin edellisessä tehtävässä!) Yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisi laskettiin edellisessä tehtävässä: N = N 1 = x 0 N y = 4 z 8 x 0 y = N 1 4 z 8 x y = = 10 z

8 Tarkistetaan tulos sijoittamalla saadut muuttujien arvot alkuperäiseen yhtälöön ( 6) = 0 Ok 2 ( 6) = 4 Ok 2 ( 2) ( 6) = 8 Ok Vastaus: x = 2, y = 10, z = Miten edellisen tehtävän yhtälöryhmän ratkaisu muuttuu, jos kolmannen yhtälön oikea puoli kasvaa yhdellä (arvosta 8 arvoon 9)? Vertaamme nyt kahta (eri) yhtälöryhmän ratkaisua keskenään. x alkup on yhtälöryhmän 0 N x = 4 8 ratkaisu ja x uusi on yhtälöryhmän 0 N x = 4 9 ratkaisu. Muutos ratkaisussa on x uusi x alkup = N 1 4 N 1 4 = N = = Uusi ratkaisu on siis x uusi = = Kaavoja: Laspeyres Paaschen Fisher Pt L 0 ;t = i p t;i q t0 ;i 100, Qt L i p t0 ;iq 0 ;t = i q t;i p t0 ;i 100 t0 ;i i q t0 ;ip t0 ;i Pt P 0 ;t = i p t;i q t;i 100, i p t0 ;iq t;i P F t 0 ;t = P L t 0 ;t P P t 0 ;t, Q P t 0 ;t = Qt P 0 ;t = i q t;i p t;i 100 i q t0 ;ip t;i Qt L 0 ;t Qt P 0 ;t Yhtälöyhmän ratkaisu: A x = b x = A 1 b