MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 YRITYKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI

Transkriptio

1 MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 RITKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI Olkoon ritksen kustannusfunktio c ( F a ritksen rajakustannukset kertovat, paljonko ritksen kustannukset muuttuvan kun tuotantoa muutetaan vähän Tarkemmin sanottuna rajakustannusfunktio on kustannusfunktion ensimmäinen derivaatta, jolle saadaan seuraava muoto: c' ( Keskimääräinen kustannusfunktio puolestaan kertoo, paljonko kullakin tuotannon tasolla hden tuotteen tuottaminen keskimäärin maksaa Jos kokonaiskustannukset tuotannon tasolla ovat c(, niin luonnollisesti hden tuotteen osuudeksi F c( F tästä tulee kustannukset jaettuna tuotetulla määrällä eli AC ( b Koska tehtävässä ei ole muuta mainittu, voimme varmasti olettaa ritksen toimivan tädellisen kilpailun markkinoilla ja ottavan näin ollen markkinahinnan p annettuna rits saa jokaisesta mmästään tuotteesta tämän hinnan, joten sen tulot ovat tuotettu määrä kertaa hinta eli R ( p Toisaalta ritksen kokonaiskustannukset :n tuottamisesta ovat c( ritksen voitot ovat tulojen ja kustannusten erotus: ( R( c( p F Etsitään tämän voittfunktion maksimi: ' ( p 0 ( p p Tämä todella on maksimi sillä ' '( < 0 Samaan tulokseen päädtään jos ratkaistaan, millä tuotannon taasolla rajakustannukset ovat htä suuret kuin markkinahinta Jos lisäksi oletetaan, että rits toimii niin lhellä aikavälillä, että vaikka se lopettaisi toimintansa, joutuu se silti maksamaan kiinteät kustannukset F, niin ritksen kannatta tuottaa jotain, jos ja vain jos ( > F eli jos tuottamalla jotain saadaan parempi tulos kuin tuotannon lopettamisesta (tällöin siis maksetaan pelkkä kiinteä kustannus Tämä pätee llä lasketun nojalla, jos ja vain jos ( p p F > F p > 0 p > 0 Eli tarjonta on positiivnen kaikilla positiivisilla hinnoilla Edellisissä laskuissa voidaan nähdä htäläiss luennoilla esitettn lausekkeeseen, jonka mukaan lhellä aikavälillä tarjonta on nollaa suurempi, jos ja vain jos p MC > AVC > > 0 > 0 p > 0

2 EUR 0 MC AC AVC c Nt edellisestä saadaan ( Tuotannontaso 0 maksimoi siis voitot Tuotot ovat 0 nt R( , kustannukset c (0 5 5 ja voitot ( 0 R (0 c( d Jos rits jää markkinoille, sen kannattaa b-kohdan nojalla tuottaa määrä ( p p Tällöin pienimmät mahdolliset tappiot, jotka se voi saavuttaa, saadaan voittofunktiosta ( p ( p R( p c( p p p F p F (tämä oletettiin negatiiviseksi Toisaalta toiminnan lopettamisesta seuraa vuokrasopimuksen irtisanomiskustannus k euroa Nt toiminnan lopettaminen kannattaa, jos ja vain jos markkinoille jääminen tuottaa enemmän tappioita kuin toiminnan lopettaminen eli p F k k F p

3 a Olkoon tädellisessä kilpailussa toimivan ritksen tuotantofunktio muotoa (, 6 / / ja hinnat olkoon p, w ja w Ratkaise ritksen voiton maksimoiva tuotos, kun molemmat panokset ovat muuttuvia (long run Suuriko on voitto ja suuriko tuotos? b Edellisessä ritksessä panos on kiinteä ja sen määrä on 6 Hinnat ovat kuten edellä Minkä suuruinen on panoksen ksntä? Mikä on tuotos ja mikä voitto? a Voittofunktio pitkällä aikavälillä, kun rits voi valita kummankin panoksen määrän, on ritksen tuotteiden mnnistä saamat tulot miinus tuotannon kustannukset: 6, (, ( w w p Etsitään voittofunktion maksimit kertaluvun ehdot: Sij ehdosta ehtoon saadaan ehdosta 6 Edelleen w w p Tarkistetaan, onko optimissa kuten teoria ennustaa rajatuotoksen arvo htä suuri kuin tuotannontekijän hinta 6 w pmp w pmp

4 b Voittofunktio lhellä aika välillä, kun panoksen määrään ( 6 ei voida vaikuttaa: SR ( p(, w 6 rits maksimoi voittojaan kertaluvun ehto: d SR 6 0 d Edelleen voiton maksimoiva tuotoksen taso on 6 ja voitot sen johdosta p w w w 6 6 SR 6 6 6

5 ritksen tuotantofunktio on k / l / ja panoshinnat ovat ja a Ratkaise duaaliongelma, kun kättäen Lagrangen menetelmää b Mitkä ovat rajatuotokset optimissa? Vertaa panoshintoihin c Onko kseisen tuotantofunktion tekninen substituutiosuhde vähenevä? Kustannusfunktio: C( k, l w k wl k l rits minimoi kustannuksiaan annettuna tuotoksen taso: min, C( k, l k l se k l k l Lagrangen funktio: L k l λ k l kertaluvun ehdot: L λ k l 0 k λ k L λ k l 0 6l λ l L k l 0 λ Jakamalla ja ehto puolittain saadaan k l Sij ehtoon saadaan (l l l l Edelleen k l 6 6l λ Ja C w k w l 6 6 b Rajatuotokset optimissa: k, l k l k k l k k k 6 Vastaavilla laskuilla saadaan smmetrian nojalla: k, l l l l Teoriasta johdettu optimiehto, jonka mukaan isokvantin eli samatuottokärän kk optimipisteessä kustannussuoran kk toteutuu: k w TRS w l c Tekninen substituutiosuhde eli isokvantin kulmakerroin mielivaltaisessa pisteessä: k k l TRS l k l

6 Kirjan määritelmän mukaan tekninen substituutiosuhde on vähenevä, jos kasvatettaessa k:ta ja pienennettäessä l:ää siten, että pstään samalla isokvantilla, tekninen substituutiosuhde eli isokvantin kulmakerroin pienenee itseisarvoisesti ˆ Kiinnitetään samatuottokärä mielivaltaiselle tuotoksen tasolle ŷ Tällöin ˆ k l l 6k Sijoitetaan tämä llä laskettuun teknisen substituutiosuhteen itseisarvon kaavaan: l( k; ˆ ˆ TRS ( k; ˆ Tämä siis kertoo meille teknisen substituutiosuhteen tuotannon k 6k d TRS( k; ˆ ˆ tasoon ŷ liittvällä isokvantilla Nt tätä derivoimalla saadaan < 0 Eli dk 6k isokvantin tangentit loivenevat k:n kasvaessa ja tekninen subsituutiosuhde on siis vähenevä Tämä tarkoittaa sitä, että jos halutaan luopua hdestä ksiköstä tuotannontekijää l ja pitää samalla tuotos entisellä tasolla, joudutaan k:ta kasvattamaan sitä enemmän mitä suurempi on k:n lähtötaso Maatalousrittäjä kasvattaa vehnää, jonka kustannusfunktio on c ( 0 a Olkoon vehnän maailmanmarkkinahinta p 5 eur/kg Kuinka paljon vehnää maatalousrittäjä tuottaa? b Kirjoita vehnän tarjontafunktio maailmanmarkkinahinnan p funktiona c Euroopan Unioni päättää maksaa tuotantoperusteista tukea määrän t( 0 Kuinka paljon tämä kasvattaa vehnän tuotantoa, jos maailmanmarkkinahinta säil entisenä? Ratkaistaan tehtävä b ensin ja kätetään siitä saatua tulosta a-kohdan ratkaisemiseen b Maatalousrittäjän voitot ovat tulojen ja kustannusten erotus eli: ( p c( p 0 rittäjä ottaa maailmanmarkkinahinnan annettuna, joten hän valitsee tuotoksen maksimoidakseen voittonsa Etsitään voittofunktion derivaatan nollakohdat ' ( p 0 0 p 0 0 Tämä todella on maksimi sillä ' '( < 0 Koska viljelijä ei voi kuitenkaan tuottaa negatiivista 0 0 p 0, kun p määrää viljaa on viljelijän tarjonta muotoa ( p 0, kun p < a Nt vastaus saadaan suoraan viljelijän tarjontakärästä: ( c Ratkaistaan viljelijän tarjontafunktio, kun viljelijä saa EU-tukea Tuki lisää suoraan viljelijän tuloja, joten voittofunktio saa seuraavan muodon: c ( p t( c( p 0 p 0 Etsitään sitten voittofunktion 0 0 derivaatan nollakohdat c '( p 0 ( p 0 p 5 Viljelijän viljan tarjonta on nt 0 0 p 5, kun p,5 siis c ( p 0, kun p <,5

7 Tästä seuraa, että c ( Eli tuki pienentää viljan tarjontaa 5 ksikköä Tämä ei ole kovin llättävää, kun huomaa tuen muodon Tuki on sitä pienempi mitä suuremman määrän viljelijä tuottaa Viljan tuotannon lisääminen toisin sanoen lisää viljan mnnistä saatuja tuloja, mutta vähentää EU:lta saatavaa tukea Tuen tät siis a-kohtaan nähden johtaa tuotannon pienenemiseen 5 Veera Villa suunnittelee avaavansa asustemmälän vastavalmistuneessa ostoskeskuksessa, missä hänen valittavanaan on 00 m :n, 00 m :n, 00 m :n ja 500 m :n ja liikehuoneistot, kussakin vuokra on euro / m Veera arvioi, että mikäli hänellä on F m liiketilaa kätössään ja mtjen vaatteiden lukumäärä on, hänen ritksensä muuttuvat kustannukset tulevat olemaan VC / F joten Veeran ritksen muuttuvat kustannukset riippuvat kiinteiden kustannusten F tasosta a Laske ja piirrä Veeran ritksen rajakustannusfunktio ja keskimääräiskustannusfunktio, mikäli Veera valitsee 00m :n, 00 m :n, 00m :n tai 500 m : n tai liikehuoneiston Piirrä rajakustannusfunktiot hteen kuvioon ja keskimääräiskustannusfunktiot toiseen kuvioon b Piirrä edellisen perusteella ritksen pitkän tähtäksen keskimääräiskustannusfunktio LAC Kokonaiskustannukset: TC(, F /F F Muuttuvat kustannukset: VC(, F /F Kiinteät kustannukset: FC(F F {00, 00, 00, 500} Keskimääräiset muuttuvat kustannukset: SAVC ( /F/ /F Keskimääräiset kiinteät kustannukset: SAFC F/ Keskimääräiset kustannukset: SAC SAVC SAFC /F F/ Rajakustannukset: SMC TC / /F F 00: SMC /50 SAC /00 00/ F 00: SMC /00 SAC /00 00/ F 00: SMC /50 SAC /00 00/ F 500: SMC /50 SAC / /

8 Rajakustannukset eri tuotannon tasoilla (pstakselilla rajakustannukset, vaaka-akselilla tuotannon määrä: T Lhen aikavälin keskimääräiset kustannukset eri tuotannon tasoilla (pstakselilla keskimääräiset kustannukset, vaaka-akselilla tuotannon määrä: T b Lhen aikavälin keskimääräisten kustannusten tät jokaisella kiinteän tuotannontekijän ja mnnin tasolla olla pitkänaikavälin keskimääräisten kustannusten läpuolella Näin siksi, että pitkällä aikavälillä voidaan aina valita lhellä aikavälillä tehdt valinnat, joten pitkän aikavälin optimaaliset kustannukset ovat korkeintaan lhenaikavälin kustannusten suuruiset Pitkällä aikavälillä voidaan lisäksi vaikutaa toimitilan kokoon, joten pitkän aikavälin kustannukset voivat olla lhen aikavälin kustannuksia pienemmät Lisäksi pitkän aikavälin keskimääräisten kustannusten kärä tangeeraa jokaisella tuotannon tasolla sitä lhen aikavälin keskimääräisten kustannusten kärää, jolla saavutetaan pienimmät kseiseen tuotannon tasoon liittvät lhen aikavälin keskimääräiset kustannukset Tämä voidaan perustella jotenkin seuraavasti: Kullakin tuotannon tasolla lhen aikavälin keskimääräiset kustannukset kertovat, kuinka paljon kseinen tuotanto keskimäärin maksaa, kun lhellä aikavälillä muutettavissa olevat

9 tuotannontekijät valitaan siten, että kustannukset minimoituvat Kiinnitetään tuotannon taso ja kädään läpi jokaiseen kiinteän tuotannontekijän tasoon liittvät lhen aikavälin kustannukset Valitaan näistä se lhen aikavälin kustannuskärä, jolla kustannukset ovat kseisellä tuotannon tasolla pienimmät Tällöin tullaan valinneeksi optimaalinen kiinteän tuotannontekijän taso, jolla alussa valittu tuotannon määrä saadaan tuotettua pienimmillä kokonaiskustannuksilla Kseinen piste on siis pitkän aikavälin keskimääräisten kustannusten kärällä ja samalla jollain lhen aikavälin keskimääräisten kustannusten käristä Koska pitkän aikavälin kärä kulkee aina lhen aikavälin kärän alapuolella nämä kaksi kärää eivät voi leikata Niiden tät siis tangeerata kseisessä pisteessä Nt sama päättel voidaan toistaa jokaiselle tuotannon tasolle Nt kuvasta voidaan päätellä, että kärä, joka jokaisella tuotannontasolla toteuttaa edellämainitut ominaisuudet on LAC Tarkistetaan: Pitkän aikavälin kustannukset ovat funktio kiinteistä kustannuksista Valitaan mielivaltainen mnnin taso Nt pitkän aikavälin kokonaiskustannukset ovat TC LR ( F; VC( F; F F Minimoidaan nämä F:n suhteen: F TC LR '( F; 0 F Pitkällä aikavälillä on siis optimaalista valita kullakin mnnin F tasolla toimitila niin, että sen koko on htä suuri kuin mtjen vaatteiden lukumäärä Nt keskimääräisille kustannuksille saadaan pitkällä aikavälillä seuraava muoto: TCLR ( F ; LAC 6 Olkoon ritksellä differentioituva tuotantofunktio f : R R ( määritellään R R R, jolle pätee: f ( t, t tf (, (, (, Väite: f (, Todistus: Nt ketjusäännön nojalla df ( t, t ( t, t t ( t, t t ( t, t ( t, t Toisaalta dt t t t t t t df ( t, t d( tf (, dt oletuksen mukaan f ( t, t tf (, f (, f (, dt dt dt Molemmat muodot lasketulle derivaatalle pätevät kaikilla t>0 Tästä seuraa, että ( t, t ( t, t f (, t > 0 Tämä pätee eritisesti t:n arvolla Tällöin t t (, (, f (,, mikä on väitteen lauseke