Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Transkriptio

1 Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS harjoitus, (p ) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn tuotannon määrästä riippuvat muuttuvat kustannukst ovat VC = 7 ( viikossa). Yrityksn kiintät kustannukst ovat FC = ( viikossa). Lisäksi ahtaidn tuotantotilojn ja varastointionglmin takia joudutaan turvautumaan ylityöhön, josta aihutuu kustannusrä LC = ( viikossa). Kokonaiskustannus viikossa on siis TC() = FC +VC + LC = Tuottn myyntihinta on 30, jotn tuottofunktio on T R = 30 ( viikossa) ja voittofunktio on P() = T R TC = ( viikossa). Piirrä voittofunktion P() ja yksikkökustannusfunktion AC() = TC()/ kuvaajat kun 0 < < Mikä on AC():n yksikkö? Mikä on milstäsi järkvä tuotannon määrä? (Ohj: yksiköt [] = kpl vko, [P] = vko, [AC] = kpl ) P() = AC() = TC() = = Yksikkökustannustn yksikkö on [AC] = [TC] [] Järkvä tuotannon määrä on noin 2 300kpl/vko. = /vko kpl/vko = vko vko kpl = kpl

2 2. Lask thtävässä 1 siintynn voittofunktion drivaatta, li P () = dp d. Millä :n arvolla P () = 0? Tarkista thtävän 1 kuvan avulla nollakohdan paikka. Millä :n arvoilla P () 0? Tarkista tämäkin thtävän 1 kuvan avulla. Voittofunktion drivaatta on nolla, kun P() = P () = P () = = = 23 = 2300 ( 100) (kuvan prustlla OK) Voittofunktion drivaatta on 0, kun P () ( 100) (kuvan prustlla OK) 3. Lask drivaatat a) f (3), kun f (x) = x 2 4x, g (x), kun g(x) = 7x 2 + 5x 3, c) h (x), kun h(x) = 3x (x 2 5) a) f (x) = x 2 4x f (x) = 2x 4 f (3) = = 2 g(x) = 7x 2 + 5x 3 g (x) = 14x + 5 c) h(x) = 3x (x 2 5) = 3x 3 15x h (x) = 9x

3 4. Erään tuottn kustannusfunktio on C() = a) Määritä rajakustannus MC() = C (), yksikkökustannus AC() = C/)/ ja kiintät kustannukst FC = C(0). Minkä arvon dllä mainitut funktiot saavat, kun tuotannon määrä on = 100? a) MC() = d d ( ) = AC() = FC = 200 MC(100) = = 7 = AC(100) = = 8.5 FC = Edllisssä thtävässä mainitun tuottn kysyntäfunktio p = f () = krtoo mitn hinta (/kpl) riippuu tarjolla olvin tuottidn määrästä (kpl/kk). Tuottofunktio R() = p = ( ) = Krtoo tuoton (myynnistä saatu kassatulo). Lask rajatuotto MR() = R () MR() = d ( ) = d 6. Thtävin 4 ja 5 yritys tuottaa nyt kaksisataa tuottta kuussa ( = 200). Lask rajakustannus MC(200) ja rajatuotto MR(200). Kannattaako yrityksn kasvattaa vai pinntää tuotantoaan? MC() = MC(200) = = 8 MR() = MR(200) = = 6 Koska rajakustannus on isompi kuin rajatuotto, i yrityksn kannata kasvattaa tuotantoa (kustannukst kasvaisivat nmmän kun tuotot). Yrityksn kannattaa pinntää tuotantoaan. 7. Yrityksn rään tuotlinjan kysyntäfunktio on p = ja vastaava kustannusfunktio on C() = Millä tuotannon määrällä voitto on suurin mahdollinn. Mikä on maksimivoitto?

4 Rajatuotto p = R = p = ( ) = Rajakustannus Voitonmaksimointi Kun = 150, niin voitto on MR = d d ( ) = C = MC = d ( ) = d MC = MR = = = 15 = 150 P(150) = R(150) C(150) = ( ) ( ) = = 975 Vastaus: Voitto on siis suurin mahdollinn kun valmisttaan 150 tuottta suunnitlujaksossa. Voitto on silloin 975 (/jakso). 8. Tuottn kysynnästä tidämm suraavat arviot: jos tarjonta on 1 = 50, niin hinta asttu tasoll p 1 = 20.10ja jos tarjonta on 2 = 70, niin hinta on vastaavasti p 2 = a) Arvioi intrpoloimalla tuottn hintaa, kun tarjonta on = 55. Määritä tuottn markkinoita kuvaava linaarinn kysyntäfunktio. Kaava: f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) a) p() p 1 + p 2 p ( 1 ) p(55) (55 50) = = p() ( 50) = ( 50) 20 = ( 50) =

5 9. Erään raaka-ainn kysyntä on 4800 kg/. Tilauskustannus on 4,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 2.00 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Mitn monta prosnttia kokonaiskustannus nous optimiarvosta, jos tilausrää kasvattaan optimiarvosta 10.0%. D = 4800 kg K = 4.00 h = 2.00 kg kk = kg a) 2KD = = kg = 40kg h 24 TC 0 = KD + h kg = kg kg 40kg 2 = = 960 c) Jos tilausrä onkin 44 kg, niin kokonaiskustannus on Kustannukst nousivat siis kg TC 44 = kg kg 44kg 2 = = TC 44 TC % = 100% = 0.45% TC Erään raaka-ainn kysyntä on 1600 kg/. Tilauskustannus on 30,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 1.25 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Raaka-ainn toimittaja antaa sisäänostossa 1,0% määräalnnuksn, jos tilausrä on vähintään 50 kg, 2% alnnuksn jos tilausrä on vähintään 100 kg ja 3% alnnuksn, jos tilausrä on vähintään 150 kg. Raaka-ainn normaali ostohinta on 2,00 /kg. Mikä on nyt optimaalinn tilausrä?

6 a) c) D = 1600 kg K = h = 1.25 kg kk = kg 2KD = = kg = 80kg h 15 TC 0 = KD + h kg = kg kg 80kg 2 = = 1200 TC() = KD + h 2 + p D TC(80) = = = 4368/ TC(100) = = = 4366/ TC(150) = = = 4549/ Edullisinta on siis tilata 100kg rissä (2%:n alnnus). Kaavoja: Intrpolointi: d dx axn = n ax n 1 f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) = f (x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 ( f (x 2 ) f (x 1 ))

7 Varastomallit: prusmalli 0 = puutmalli 2KD h h + s s 1 = 0, M 1 = 0 s h + s, TC 1 () = KD + M2 h 2 + ( M)2 s 2 r r D tuotantomalli 2 = 0 r D, M 2 = 0, r TC 2 () = KD h(r D) + 2r