Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Transkriptio

1 Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3] 4. b) Osoita, että joukko {[2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on suljettu kertolaskun suhteen. Ratkaisu. a) Lasketaan summat jäännösluokkien laskusääntöjen avulla: [2] 4 + [3] 4 = [2 + 3] 4 = [5] 4 = [1] 4 [2] 5 + [3] 5 = [2 + 3] 5 = [5] 5 = [0] 5 [2] 6 +[2] 6 +[2] 6 = [2+2] 6 +[2] 6 = [4] 6 +[2] 6 = [4+2] 6 = [6] 6 = [0] 6 7 [3] 4 = [7 3] 4 = [21] 4 = [1] 4 b) Muodostetaan joukon {[2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } laskutaulu: [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [2] 10 [2 2] 10 [2 4] 10 [2 6] 10 [2 8] 10 [4] 10 [4 2] 10 [4 4] 10 [4 6] 10 [4 8] 10 [6] 10 [6 2] 10 [6 4] 10 [6 6] 10 [6 8] 10 [8] 10 [8 2] 10 [8 4] 10 [8 6] 10 [8 8] 10 [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [12] 10 [16] 10 [4] 10 [8] 10 [16] 10 [24] 10 [32] 10 [6] 10 [12] 10 [24] 10 [36] 10 [48] 10 [8] 10 [16] 10 [32] 10 [48] 10 [64] 10 [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [2] 10 [6] 10 [4] 10 [8] 10 [6] 10 [4] 10 [2] 10 [6] 10 [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [8] 10 [6] 10 [2] 10 [8] 10 [4] 10 1.

2 Tästä nähdään, että joukko on suljettu kertolaskun suhteen. Jos alkiot järjestellään tauluun toisella tavalla, taulu näyttää seuraavalta: [6] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [6] 10 [6] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [2] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [6] 10 [4] 10 [4] 10 [8] 10 [6] 10 [2] 10 [8] 10 [8] 10 [6] 10 [2] 10 [4] 10 joten kyseessä on itse asiassa jo ennestään tuttu neljän alkion syklinen ryhmä. On huomionarvoista, että joukko Z 10 ei muodosta kertolaskun suhteen ryhmää, mutta kuitenkin tässä tehtävässä käsitelty joukko on Z 10 :n osajoukko., 2. Toisinaan laskutoimitus yritetään määritellä kaavalla, jossa tulos muuttuu sen mukaan, missä muodossa alkiot kirjoitetaan. Tämä ei tietenkään käy päinsä. Alla on yritetty määritellä erilaisia laskutoimituksia. Selvitä, käyvätkö ehdot todellakin laskutoimituksen määritelmiksi. a) joukon Q laskutoimitus (a/b) (c/d) = a + b b) joukon Z 5 laskutoimitus [a] 5 [b] 5 = [ a + b ] 5 c) joukon Q \ {0} laskutoimitus (a/b) (c/d) = (ad)/(bc) Ratkaisu. Kaava, jonka tulos muuttuu alkioiden kirjoitusasun mukaan, ei määrittele kuvausta, sillä se liittää yhteen lähtöjoukon alkioon useita maalijoukon alkioita. Siten tällaisella kaavalla ei myöskään voida määritellä laskutoimitusta, sillä laskutoimitus on kuvaus. a) Annettu kaava ei määrittele laskutoimitusta. Esimerkiksi 1/2 = 2/4, mutta = = 3 6 = = b) Annettu kaava ei määrittele laskutoimitusta. Esimerkiksi [4] 5 = [ 1] 5, mutta [ 1] 5 [ 1] 5 = [ ] 5 = [2] 5 [3] 5 = [4 + 4] 5 = [4] 5 + [4] 5. 2

3 c) Annettu kaava määrittelee laskutoimituksen. Jokainen rationaaliluku p/q, p, q Z, q 0 voidaan kirjoittaa muodossa (kp)/(kq) jokaisella k Z\{0}. Olkoon a/b, c/d Q\{0} ja m, n Z\{0}. Tällöin kokonaislukujen kertolaskun vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden nojalla a b c d = ad bc = (mn)ad (mn)bc = (ma)(nd) (mb)(nc) = ma mb nc nd, joten laskutoimituksen tulos ei riipu lukujen a/b ja c/d kirjoitusasusta. 3. Määritä ryhmän (Z 12, +) aliryhmät. Ratkaisu. Ryhmä (Z 12, +) on syklinen, sillä [1] 12 = Z 12, joten voidaan hyödyntää (äärellisiä) syklisiä ryhmiä koskevia lauseita. Luvun 12 tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 6 ja 12, joten ryhmällä Z 12 on kuusi aliryhmää, jotka ovat muotoa [k] 12, jossa k on luvun 12 tekijä. Ryhmän Z 12 aliryhmät ovat siis [1] 12 = Z 12 [2] 12 = {[0] 12, [2] 12, [4] 12, [6] 12, [8] 12, [10] 12 } [3] 12 = {[0] 12, [3] 12, [6] 12, [9] 12 } [4] 12 = {[0] 12, [4] 12, [8] 12 } [6] 12 = {[0] 12, [6] 12 } [12] 12 = [0] 12 = {[0] 12 }. Kaikki näistä aliryhmistä eivät kohtaa vain triviaalisti, vaan osa niistä sisältyy toisiinsa. Aliryhmien sisältymistä toisiinsa voidaan havainnollistaa ns. Hassen kaaviolla: Z 12 [2] 12 [3] 12 [4] 12 [6] 12 [0] 12 3

4 4. a) Tarkastellaan ryhmän S 6 aliryhmää (14)(263). Määritä sen kaikki aliryhmät. b) Tarkastellaan ryhmän (Q\{0}, ) aliryhmää H = {4 n n Z}. Mitkä ovat ryhmän H aliryhmät? Ratkaisu. a) Alkio (14)(263) koostuu kahdesta erillisestä syklistä, joten ei ole väliä, kummassa järjestyksessä syklit suoritetaan. Toisin sanoen (14)(263) = (263)(14). Tutkitaan nyt, mikä on alkion (14)(263) kertaluku: ((14)(263)) 2 = (14) 2 (263) 2 = (263) 2 = (236) ((14)(263)) 3 = (14) 3 (263) 3 = (14) ((14)(263)) 4 = (((14)(263)) 2 ) 2 = (236) 2 = (263) ((14)(263)) 5 = (14)(263)((14)(263)) 4 = (14)(263)(263) = (14)(236) ((14)(263)) 6 = (((14)(263)) 3 ) 2 = (14) 2 = (1). Siten syklisessä ryhmässä (14)(263) on 6 alkiota. Koska luvun 6 kaikki tekijät ovat 1, 2, 3 ja 6, ryhmän (14)(263) aliryhmiksi saadaan kurssin materiaalin nojalla (14)(263) = {(1), (14), (236), (263), (14)(236), (14)(263)} ((14)(263)) 2 = {(1), (236), (263)} ((14)(263)) 3 = {(1), (14)} ((14)(263)) 6 = {(1)}. Vastaava sisältyvyyskaavio on (14)(263) ((14)(263)) 2 ((14)(263)) 3 ((14)(263)) 6 b) Aliryhmä H on ääretön syklinen ryhmä, sillä alkio 4 virittää sen. Siten kurssin lauseiden nojalla sen kaikki aliryhmät ovat täsmälleen 4

5 4 k jokaisella k N. Toisin sanoen H k on ryhmän H aliryhmä jokaisella k N, kun asetetaan H k = {(4 k ) n n Z}, ja nämä ovat kaikki ryhmän H aliryhmät. 5. a) Laske syt(510, 115). b) Etsi luvut x, y Z, joille pätee 510x + 115y = syt(510, 115). c) Määritä ryhmässä Z 510 alkion [115] 510 kertaluku. Onko alkio ryhmän virittäjä? Ratkaisu. a) Etsitään lukujen 510 ja 115 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla: ja lopulta Siten syt(510, 115) = = (1) 115 = (2) 50 = (3) 15 = b) Käymällä a-kohdan yhtälöt läpi toiseksi viimeisestä ensimmäiseen, saadaan 5 (3) = (2) = 50 3 ( ) = = (1) = 7 ( ) = = Haetut luvut ovat siis x = 7 ja y = 31. 5

6 c) Koska alkion [1] 510 kertaluku on 510, niin alkion [115] 510 kertaluku saadaan määritettyä luentomateriaalin kaavan avulla: o([115] 510 ) = o(115 [1] 510 ) = 510 syt(510, 115) = = 102. Koska alkion [115] 510 kertaluku on 102, niin se virittää ryhmän Z 510 aliryhmän, jossa on 102 alkiota. Siten se ei voi virittää koko ryhmää Z a) Osoita, että (mod 9). b) Mikä on jakojäännös, kun jaetaan luvulla 8? c) Minä viikonpäivänä ystävänpäivä on vuonna 2012? Ratkaisu. a) Tapa 1. Kongruenssi saadaan osoitettua todeksi huomaamalla, että 29 2 (mod 9) ja (mod 9). Nämä kongruenssit voidaan kertoa keskenään, jolloin saadaan (mod 9), eli (mod 9). Tapa 2. Kongruenssi voidaan osoittaa todeksi myös huomaamalla, että aina on voimassa n + km n (mod m) jokaisella n, k Z, sillä m jakaa luvun n + km n = km. Käyttäen tätä tietoa hyväksi 6

7 saadaan 2900 = = = = = = (mod 9). b) Luvun jakojäännös luvun 8 suhteen saadaan selville tutkimalla, mihin luvun 8 jäännösluokkaan luku kuuluu. Jäännösluokkien laskusääntöjä käyttämällä saadaan [ ] 8 = [ ] 8 [ ] 8 = 3 [ ] 8 [7] = 3 [(3 2 ) 1050 ] 8 [ 1] = 3 [3 2 ] [( 1) 2011 ] 8 = 3 [9] [( 1) ( 1) 2010 ] 8 = 3 [1] ( 1) [( 1) 2010 ] 8 = 3 [ ] 8 + [1] 8 = 3 [1] 8 + [1] 8 = [3] 8 + [1] 8 = [3 + 1] 8 = [4] 8, joten = 8 k + 4 jollakin k Z. Siten jakojäännökseksi saadaan 4. c) Tämä vuosi ei ole karkausvuosi, joten tämän vuoden ja ensi vuoden ystävänpäivien välillä on 365 päivää. Tänä vuonna ystäväpäivä oli maanantaina. Ensi vuoden viikonpäivä saadaan selville tutkimalla luvun 365 jakojäännöstä, kun sitä jaetaan luvulla 7. Mikäli jako menee tasan, eli jakojäännös on 0, seuraavaan ystävänpäivään kuluu tasamäärä viikkoja, joten viikonpäivä on tässä tapauksessa myös maanantai. Mikäli jakojäännökseksi jää 1, tasan menevien viikkojen 7

8 lisäksi kuluu yksi päivä, joten viikonpäivä on tässä tapauksessa tiistai, ja niin edelleen. Tutkitaan siis luvun 365 jakojäännöstä luvun 7 suhteen: 365 = = = = ( ) = (mod 7). Siten jakojäännökseksi saatiin 1, joten ystävänpäivään kuluu tasamäärä viikkoja ja yksi päivä, joten ensi vuonna ystävänpäivä on tiistaina. 8