1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)"

Johannes Väänänen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pitkä matematiikka YO-koe a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b) = = a b a b +, a ± b a b a + b ( a + b)( a b ) + ( a b)( a b ) ( a b ) = a a ( a b)( a + b) ( a + b + a b) b. Funktio f ( x ) g( x ) h( x ) Derivaatan kuvaajan numero 4. a) f x x x g x x x x x 4 4 ( ) = 6 + +, ( ) =, =, =. Alueessa f ( x) > g( x). 4 4 A = ( ( ) ( )) = (6 + + ) f x g x dx x x x dx x (6 x ) = + x dx / x ln x = + = + + ln ( ln) = 6 + ln 0 = 4 + ln = 4, , 69

2 Pitkä matematiikka YO-koe b) f ( x) x x = ja g( x) = f ( x), x R. f x = x '( ) g x f x D x x x g '() = = 9 '( ) = '( ) ( ) = (( ) ) = 4. ax 5x + = 0. Jos a = 0: x x + = x + = 0 x = eli yhtälöllä juuri. 5 Jos a 0 : Yhtälöllä juuri, jos diskriminantti = 0. ( 5) 4 a = 0 8a = a = Vastaus: Yhtälöllä täsmälleen yksi juuri, kun a = 0 tai a =. 8 8

3 Pitkä matematiikka YO-koe Olkoon ympyrän keskipiste = ( a, b ). Koska ympyrä sivuaa x-akselia, on ympyrän säde = b (ks. kuva!). x 4y = 0 4y = x y = x Tangentin kulmakerroin kt =. 4 4 Pisteeseen 8, 6 piirretyn säteen kulmakerroin k : ( ) 4 kt ks = ks =. Toisaalta y 6 b 4 ks = = = x 8 a 8 b = + 4a 4a + b = 50 Säteen pituudesta seuraa b = a + b (8 ) (6 ) () (mol.puol. > 0) b = (8 a) + (6 b) b = 64 6a + a + 6 b + b a a b = 0 Saadaan yhtälöpari: s a a b = 6 00 Sivuaa posit. x akselia 4a + b = 50 4 a = 00 ( a = 0) tai a = 0 4a + b = 50 Vastaus: Ympyrän keskipiste on b = 0 0 b = 0 0, ja säde 0.

Pitkä matematiikka YO-koe 9..04 6. Merkitään summaa f ( x ).

4 Pitkä matematiikka YO-koe Merkitään summaa f ( x ). f ( x) = ( x a ) + ( x a ) + + ( x a ) = x xa + a + + x xa + a n n n f '( x) = nx ( a + a + + a ) f '( x) = 0 nx ( a + a + + a ) = 0 ( a + a + + an) x = n a + a + + an x = n n n = n x x( a + a + + a ) + a + a + + a n n Koska n on positiivinen, on derivaatan kuvaaja nouseva suora. Kulkukaavion perusteella summan f ( x ) pienin arvo saadaan derivaatan nollakohdassa eli kun a + a + + a x = n n. 7. a) Taulukoidaan pistesummat: (Lähde: YTL, Hyvän vastauksen piirteitä) Pistesummien todennäköisyydet: 4 P(,0) = P(,9) = = P(4,8) = = P(5, 6, 7) = = b) Odotusarvo E( x) = xi pi = =

5 Pitkä matematiikka YO-koe Säteet leikkaavat, jos vektoriyhtälöllä on ratkaisu: OA + su = OB + tv i j + k + s(i j k ) = 9i j k + t( i j + k ) + s = 9 t s = t s = + t Yhtälöryhmän ratkaisu (esim. laskimella) on t = ja s =, joten säteet leikkaavat toisensa. Leikkauspiste on ( + s, s, s) = (7, 5, 6). 9. a) Taso x + y + z = 6. x-akselin leikkauspiste A (y = 0 ja z = 0): x = 6 x = 6 A = (6, 0, 0). y-akselin leikkauspiste B (x = 0 ja z = 0): 0 + y + 0 = 6 y = B = (0,, 0). z-akselin leikkauspiste C (x = 0 ja y = 0): z = 6 z = C = (0,0, ). Tetraedrin origosta lähtevät särmävektorit ovat a = OA = 6 i, b = OB = j, c = OC = k. Lasketaan tetraedrin tilavuus skalaarikolmitulolla: ax ay az V = abc = bx by bz = 0 0 = = 6( 0 0) = c c c 0 0 x y z b) Olkoon kolmion ABC kaksi sivuvektoria AB = (0 6) i + ( 0) j + (0 0) k = 6i + j AC = (0 6) i + (0 0) j + ( 0) k = 6i + k Lasketaan kolmion ABC pinta-ala ristitulon avulla: i j k AB AC = 6 0 = ( 0 0) i ( 6 ( 6) 0) j + ( 6 0 ( 6) ) k = 6i + j + 8k 6 0 A = AB AC = 6i + j + 8 k = = 504 = 6 4 = 4

6 Pitkä matematiikka YO-koe Lasketaan tilavuus integroimalla kuvan mukaiset suorakulmiot välillä [0, r]. Pohjaympyrän yhtälö on x + y = r. Kohdassa x olevan suorakulmion kanta on y r x =. Suorakulmion korkeus kohdassa x saadaan suoralta, joka kulkee pisteiden (0,0,0) ja (r, 0, h) kautta: z z = k( x x ) 0 0 h 0 z 0 = ( x 0) r 0 h z = x r r r h V ( ) ( ) = y z dx = r x x dx r 0 0 r h = x r x dx r 0 h r = / ( r x ) r 0 h = r r h ( = r ) r = hr (0 ( ) )

7 Pitkä matematiikka YO-koe a) x, kun 0 x < f '( x) =, kun x < x +, kun x 4 b) x + C, kun 0 x < f ( x) = f '( x) dx = x + D, kun x < x + x + E, kun x 4, C, D, E R f (0) = C = 0 C = 0. Koska integraalifunktiot ovat derivoituvia, ovat ne jatkuvia: lim f ( x) = lim f ( x) + 0 = + D D = + x x 5 f x = f x + = + + E = E = lim ( ) lim ( ) + x x x, kun 0 x < f ( x) = x, kun x < 5 x + x, kun x 4 c) Suljetulla välillä jatkuva funktio f ( x ) saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa: f f f 5 = + = 5 = + = (0) = 0 = 0 pienin (4) 4 4 () suurin Vastaus: Funktion f ( x ) pienin arvo on 0 ja suurin arvo on.

Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. (Lähde: YTL, Hyvän vastauksen piirteitä).

8 Pitkä matematiikka YO-koe (Lähde: YTL, Hyvän vastauksen piirteitä). a) n + ( n + ) + ( n + ) + + ( n + k) = 007 ( k + ) n + ( k) = k ( k + ) n + k = 007. ( k + ) n + k( + k) = 04 ( k + )( n + k) = 04 luvut n ja k toteuttavat yhtälön! b) Luvun 04 alkutekijöihinjako: 04 = 007 = 9 5

9 Pitkä matematiikka YO-koe c) Kohdan b) perusteella: ( k + )( n + k) = 04 ( k + )( n + k) = 9 5. Luetellaan kaikki mahdolliset yhdistelmät, ratkaisut alleviivattu:.. + = = 0 Z n + k = 9 5 n = = = n + k = 9 5 n = = 9 = 8 n + k = 5 n = = 5 = 5 n + k = 9 n = 7 Z+ + = 9 = 7 n + k = 5 n = = 5 = 05 n + k = 9 n = 4 Z+ + = 9 5 = 006 n + k = n = 50 Z+ + = 9 5 = 0 8. n + k = n = 006 Z+

Pitkä matematiikka YO-koe 9..04 4. (*) a) Käyrä on kaksi kertaa kulmaa α vastaava sektorin kaaren pituus. Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60. Vieruskulmana α = 0.

10 Pitkä matematiikka YO-koe (*) a) Käyrä on kaksi kertaa kulmaa α vastaava sektorin kaaren pituus. Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60. Vieruskulmana α = 0. Kaaren pituus on 0 p 4π π = p b) Neliö: Kuusikulmio (Kuvan lähde MAOL): c) Neliön muodostaman käyrän pituus on 90 p 90 p 90 p p p π + π + π = π + π p = π + π 4 + p = π 4 + = π p 8

11 Pitkä matematiikka YO-koe d) Yhden tasasivuisen pikkukolmion korkeus h: h p p + = 6 p p h = 6 h = p 48 Kuusikulmion muodostaman käyrän pituus: 60 p p π + π p + π = π p + π p + π p = π p + π p 9 4 ) = π p + π p 9 + = π p 9

12 Pitkä matematiikka YO-koe (*) Funktiot f ja g ovat ortogonaaliset, jos a) ( x) dx g f g ( x) = f ( x) g ( x) = x 0 0 g0 g0 ( ) dx ( ) = x ( ) = x 0 = x f g = f ( x) g( x) dx = 0. ( x ) dx ( x x ) dx g f g f g ( x) = f ( x) g ( x) g ( x) = x x 0 0 g0 g0 g g ( ) dx ( x x) dx 4 4 ( ) ( ) = x 4 4 = x = x 0 x ( ) ( ) x b) ( ) ( ) 0. g0 g = x dx = = ( ( )) ( ) ( ) g0 g = x dx = = = 4 4 g g = x( x ) dx = ( x x) dx ( ) ( ) 0. = = Näin ollen ortogonaalisuus on voimassa eri indekseillä.

13 Pitkä matematiikka YO-koe c) h( x) x ax bx c = a b h g0 = ( x + ax + bx + c) dx = / x + x + x + cx = a + c 4 5 a 4 b c h g = ( x + ax + bx + c) x dx = / x + x + x + x = + b h g = ( x + ax + bx + c) ( x ) dx = ( x ax bx cx x ax bx c) dx a b c = / = 90 a x x x x x ax bx cx Jotta kaikki vaihtoehdot olisivat ortogonaaliset, on oltava: a + c = b = 0 b = = a = 0 a = 0 90 a + c = 0 c = 0 c = 0. Vastaus: a = 0, b = ja c = 0. 5

Samankaltaiset tiedostot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,