MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

Transkriptio

1 MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus. d) Muodosta vektorin AB kanssa vastakkaissuuntainen yksikkövektori.. Merkitään suunnikkaan ABCD sivuvektoria AB a ja AD b. Piste P jakaa sivun CD suhteessa 3 : 1 ja piste Q jakaa sivun CB suhteessa 1 :. Ilmaise vektorit AP, AQ ja QP vektorien a ja b avulla. 3. Piste P jakaa janan AB suhteessa 3 : 1. Määritä P:n koordinaatit, kun A=(3,0,1) ja B=(-5,4,11). 4. Olkoot vektorit u ja v erisuuntaiset. Jaa vektori 4u 14v vektorien u v ja u v suuntaisiin komponentteihin. 5. Kolmiossa ABC piste P jakaa sivun AC suhteessa 3 : 1 ja piste R sivun BC samoin suhteessa 3 : 1. a) Esitä vektori PR vektorien AB u ja AC v avulla. b) Laske jakosuhde PR : AB. 6. Ovatko vektorit 15i 9 j 6k ja 40i 4 j 16k samansuuntaiset, vastakkaissuuntaiset vaiko erisuuntaiset?

2 Pistetulo, vektorien kohtisuoruus, vektorien välinen kulma 7. Olkoon vektori a 10i 5 j ja vektori b i 11j. Ovatko vektorien a ja b summa ja erotus kohtisuorassa toisiaan vastaan? 8. Määritä reaaliluku t siten, että vektorit a 1 i 8 j ja b 7i t j ovat a) yhdensuuntaisia, b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. 9. Olkoot vektorit a ja b ovat erisuuntaiset. Millä vakion t arvolla vektorit u ta b ja v a tb ovat vastakkaissuuntaiset? 10. Laske a b, kun yksikkövektorit a ja b ovat tasasivuisen kolmion peräkkäisinä sivuina. 11. Laske vektorien a ja a b välinen kulma, kun a 3i j ja b j 4k. 1. Suuntaissärmiön ABCD-A'B'C'D' kärjestä A lähtevät särmävektorit ovat AB i j, AD i j 3k ja AA 3 j 4k. Kuinka suuren kulman tahkon ABCD lävistäjä AC muodostaa suuntaissärmiön lävistäjän AC' kanssa? 13. Laske sen kolmion pinta-ala, jonka kärjet ovat pisteissä A(1, 1, ), B(, 3, 6) ja C(3,, ).

3 Suorat ja tasot 14. Määritä pisteiden P 1 (1,, 4) ja P ( 3, 6, 5) kautta kulkevan SUORAN vektori ja parametriyhtälöt. Merkitään suoran yleinen piste P(x, y, z). 15. a) Määritä pisteiden A(1,, 8), B( 1, 1, 4) ja C(, 1, 3) määräämän tason vektoriyhtälö. b) Onko piste D(3,, ) tässä tasossa? 16. Suora kulkee pisteiden A(, 1, 1) ja B(8, 3, 9) kautta. Osoita, että suora on tasolla x y z 4 = Määritä sen tason normaalimuotoinen yhtälö, joka kulkee pisteen P(1, -3, ) kautta ja on kohtisuorassa tämän pisteen paikkavektoria vastaan. 18. a) Määritä tason x 3y z 6 0 jokin normaalivektori. b) Missä pisteissä taso x 3y z 6 0 leikkaa koordinaattiakselit? 19. Määritä sen tason normaalimuotoinen yhtälö, joka on tason x 3y z 8 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-, 1, -3) kautta. 0. Osoita, että tasot x 4y 6z 7 0 ja x y 3z 9 0 ovat yhdensuuntaiset. 1. a) Määritä pisteiden A(1,, 0), B(-1, 3, -) ja C(, 1, 3) kautta kulkevan tason normaalimuotoinen yhtälö. b) Onko piste (, 3, -5) tällä tasolla?

4 . Yo-K09 3. Yo-K07 4. Yo-S06 5. Yo-K03 Skalaariprojektio, vektoriprojektio 6. Olkoon vektorit a i j ja b 4i. a) Määritä vektorin a skalaariprojektio vektorilla b. b) Määritä vektorin a vektoriprojektio a b vektorilla b. c) Piirrä vektorit a, b ja a b samaan koordinaatistoon ja alkamaan samasta pisteestä. 7. Kuinka pitkä on vektorin a i 7j 7k projektio vektorilla b 8i 4j k? 8. Määritä vektorin a i j 3k vektoriprojektio vektorilla b i j k.

5 9. a) Määritä pisteen A(6, 4, 4) projektiopiste P pisteiden B (, 1, ) ja C(3, 1, 4) kautta kulkevalla suoralla. b) Huomaa, kuinka kätevää nyt on määrittää pisteen etäisyys suorasta! Eli, laske pisteen A etäisyys pisteiden B ja C kautta kulkevasta suorasta. 30. Todista, että vektoreiden a ja b skalaariprojektion voi laskea myös kaavalla: on vektorin b suuntainen yksikkövektori. ab a b 0, missä 0 b 31. a) Todista, että vektorin a xi y j zk pituuden voi laskea myös kaavalla: a a a. a b b) Todista, että vektoreiden a ja b vektoriprojektion voi laskea myös kaavalla: ab b. b Jakosuhdevektori JAKOSUHDELAUSE Jos janan AB piste P jakaa janan AB suhteessa q : p, niin OP pa qb p q 3. Janan AB piste P jakaa janan suhteessa :3. Ilmaise vektori OP vektoreiden a OA ja b OB avulla. 33. Piirretään samasta pisteestä alkavat vektorit janan päätepisteisiin ja janan keskipisteeseen. Todista: Janan keskipisteeseen piirretty vektori on janan päätepisteisiin piirrettyjen vektorien keskiarvo. 34. Kolmion huipusta lähtevät sivujanavektorit ovat a i j k ja b i j 4k. Muodosta kolmion huipusta kannalle piirretyn keskijanavektorin lauseke.

6 35. Piste P jakaa pisteiden A(1,, 4) ja B(,,1) välisen janan AB suhteessa :1. a) Määritä pisteen P paikkavektori OP. b) Määritä piste P. 36. Missä suhteessa janan BC piste P jakaa janan BC? pa qb 37. Todista jakosuhdelause OP. p q Determinantit 38. Laske determinantin arvo Laske determinantin arvo V E L IL, kun VI E 6.

7 40. Osoita esimerkillä, että determinantteja ei voida laskea yhteen seuraavasti: a b e f a e b f. c d g h c g d h 41. Ilmaise ( x y)( x y) kaksirivisenä determinanttina. Vihje: muistikaava! 4. Laske determinantin arvo i j k 43. Mitä vektoria determinantti esittää? 44. Lineaarisen normaalimuotoisen yhtälöparin voi ratkaista determinanteilla seuraavasti: Dx x a x b y c D yhtälöparilla on yksikäsitteinen ratkaisu, jossa a D x b y c y y a b c b a c D, D ja D a b c b a c. ( D 0) x y D Ratkaise determinanteilla yhtälöpari 3x y 6 0. x y Todista, että ensimmäisestä sarakkeesta voi ottaa mahdollisen yhteisen tekijän determinantin kertoimeksi seuraavasti xa b c a b c xd e f x d e f. xg h i g h i

8 Vektori- eli ristitulo 46. Olkoon a i j 3k ja b i 3j k. a) Muodosta a b. b) Laske a b. c) Muodosta a b. 47. Ristitulo ei ole vaihdannainen eli a b b a. Olkoon a i 3 j k ja b i j k. a) Laske a b b) Laske b a. 48. Osoita ristitulon avulla, että vektorit a 4i j 8k ja 1 b i j k ovat yhdensuuntaiset. 49. Määritä ne yksikkövektorit, jotka ovat kohtisuorassa origon sekä pisteiden A(-, 0, 1) ja B(3, 4, -) kautta kulkevaa tasoa vastaan. 50. Muodosta yksikkövektorit, jotka ovat kohtisuorassa pisteiden A = (1, 1, 1), B = (, 3, 4) ja C = (7, 6, 5) muodostamaa tasoa vastaan. 51. Laske sen kolmion ala, jonka kärkinä ovat pisteet A(1, 0, ), B(1, -, 3) ja C(4,, 0). 5. Suunnikkaassa ABCD on lävistäjävektorit AC 3i j k ja BD i j 3k. Laske suunnikkaan ala. 53. Määritä pisteiden A(1,, 0), B(-1, 3, -) ja C(, 1, 3) kautta kulkevan tason normaalimuotoinen yhtälö ax by cz d Todista yhdensuuntaisuuslause: a b a b 0. (vihje: laske ristitulo vektoreille a x1i y1 j z1k ja b ta tx1i ty1 j tz1k )

9 Skalaarikolmitulo 55. Tutki skalaarikolmitulolla, sijaitsevatko pisteet A = (1, 1, 1), B = (, -, 0), C = (-1,, -) ja D = (-9, 11, -9) samassa tasossa? 56. Määritä vakio a siten, että vektorit a i j k, b i 3j k ja c ai 4 j k sijaitsevat samassa tasossa. 57. Laske vektorien a i j 3k, b i 4k ja c i j k määräämän suuntaissärmiön tilavuus. 58. Tetraedrin kärkinä ovat pisteet A(1, -, -3), B(, -, 0), C(4, 0, -6) ja D(5, -4, -). Laske tetraedrin tilavuus. 59. Suuntaissärmiön pohjasärminä ovat vektorit a 3i j k ja b i j 4k sekä sivusärmänä vektori c 4i j k. Laske suuntaissärmiön a) tilavuus b) pohjan pinta-ala c) korkeus. 60. Origosta alkavat vektorit a i j k ja b i j k määräävät tason. Laske pisteen P(-, 1, 3) etäisyys kyseisestä tasosta. (Vihje: Ajattele tasoa suuntaissärmiön pohjaksi ja pisteen etäisyyttä korkeudeksi) 61. Todista, että skalaarikolmitulon saa kätevästi determinantilla eli, että vektoreille a axi ay j azk, b bx i by j bzk ja c cxi cy j czk pätee: a a a x y z ( a b ) c b b b x y z c c c x y z

10 Eri lukujärjestelmät 6. Luettele luvut 1 10 binäärilukuina. 63. Luettele luvut 1 10 viisikantaisen lukujärjestelmän lukuina. 64. Mikä kymmenjärjestelmän luku on binääriluku Muuta luku 46 binääriluvuksi. 66. Muuta luku kymmenjärjestelmän luvuksi. 67. Muuta heksadesimaaliluku 3A1E kymmenjärjestelmän luvuksi. 68. Muuta luku 3010 heksadesimaaliluvuksi. 69. Muuta 035 a) binääriluvuksi. b) heksadesimaaliluvuksi. 70. Laske allekkain a) b) Laske allekkain heksadesimaalilukujen erotus C1 A.

11 Pascalin kolmio ja binomikaava 7. Kirjoita Pascalin kolmion 11. rivi. 73. Laske Pascalin kolmion avulla ( x ) 5 y. 74. Laske Pascalin kolmion avulla ( x ) 3 y. 75. Laske Pascalin kolmion avulla 4 (3x ). 76. Laske Pascalin kolmion avulla 6 (x 3). 77. Binomikertoimen voi laskea kaavalla: n n! k k!( n k)!. Laske ilman laskinta Todista, että n n k n k. 79. Laske ilman laskinta Laske a) n 0 b) n Binomikaava on n n ( a b) a b k 0 k n n k k. Laske binomikaavalla ( x ) 3 y. 8. Päättele binomikaavan avulla, mikä on polynomin 10 ( x 6) kahdeksannen asteen termi.

12 GeoGebra-harjoituksia 83. Piirrä GeoGebralla ympyrä ja sen ulkopuolelle yksi piste. Piirrä tästä ulkopuolisesta pisteestä ympyrälle tangentit. Piirrä ympyrän keskipisteestä säteet tangenttien sivuamispisteisiin. Kun liikutat ulkopuolista pistettä tai muutat ympyrää, on tangenttien ja säteiden säilyttävä muutoksessa mukana! 84. Piirrä GeoGebralla kolmio ABC ja siihen kärjestä C lähtevä korkeusjana kannalle AB. Huomaa, että kun muutat kolmion muotoa sen kärkipisteistä, niin korkeusjanan on pysyttävä mukana muutoksessa. Yritä tehdä ratkaisustasi myös sellainen, että korkeusjana tulee kannan jatkeelle kantakulman ollessa tylppä. 85. Piirrä GeoGebralla kolmio ja sen jokaiselle sivulle keskinormaali. Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste ja eräs kehän piste on jokin kolmion kärkipisteistä. Mitä huomaat? 86. Tee GeoGebralla konstruktio, joka havainnollistaa ns. Thaleen lausetta: puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suorakulma. 87. Tee GeoGebralla 3 liukusäädintä a, b ja c. Tee liu uista sellaiset, että niiden arvoa voi muuttaa välillä [ 4,4]. Muodosta paraabelit y ax bx c ja x ay by c. Tutki liukujen avulla, kuinka kertoimet vaikuttavat paraabeleihin.

13 88. Tee GeoGebralla liuku r, jonka arvo on kokonaisluku välillä [ 5,5]. Tutki eksponentin r vaikutusta r funktion f ( x) x kuvaajaan. x x, kun 89. Piirrä GeoGebralla paloittain määritellyn funktion f( x) x 4, kun x GeoGebran Jos(<Ehto>, <Niin>, <Muuten>) komentoa. kuvaaja. Käytä 90. Piirrä GeoGebran 3D-piirtoalueessa kuutio, jonka särmän pituus on. Piirrä kuution sisälle mahdollisimman suuri pallo. 91. Ratkaise GeoGebralla: määritä sen tason normaalimuotoinen yhtälö, joka on tason x 3y z 8 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-3, 1, ) kautta.

14 VASTAUKSET 1.. a) OA i j 4k b) AB 3i j 7k c) AB d) i j k AP b a 4 AQ a b QP b a P 3,3,8 4. a 5( u v) 9( u v) 5. a) 1 4 u b) 1 : 4 6. Vastakkaissuuntaiset 7. On 8. a) 9. t = t b) ,8 t , A

15 14. x = t Vastaus: xi y j z k i j 4k t(4i 4 j 9k), y = 4 t, t reaaliluku z = t 15. a) xi y j zk = i j 8k + s( i j 4k ) + t( i 3 j 5k ). b) On 16. Suora on tasolla 17. x 3y z a) n i 3j k b) (-3,0,0), (0,,0) ja (0,0,-6) 19. x 3y z Tasojen normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset 1. a) x 4y z 9 0 b) On tasolla. 1x 9y z Parametriesitys x t y 3 10t z 6 9t ja leikkauspiste 10 11,, x 1 y z ,, a) b) i c) i j k 9 9 9

16 9. a) P (4, 3,6) b) Todista! 31. Todista! 3. 3 a b a b v i 1 j 3 k 35. a) 5 i j k b) P 5,, : Todista! L 40. Anna esimerkki! 41. x y y x i 4 j 14k 44. x 1 y Todista! 46. a) 3i 5 j 4k b) 11 c) 7i 5j k 47. a) 7i 4 j 5k b) 7i 4 j 5k 48. Ristitulo on nollavektori, joten vektorit ovat yhdensuuntaiset.

17 ( i j k ) ( i j k ) x 4y z Muista todistaa lause kumpaankin ekvivalenssin suuntaan! 55. Pisteet sijaitsevat samassa tasossa. 56. a = a) 60 b) 15 c) Todista, että yhtälön molemmat puolet ovat samat. 6. 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001, ,,3,4,10,11,1,13,14, BC 69. a) b) 35

18 70. a) 11 b) F x 5x y 10x y 10x y 5xy y x 3x y 3xy y x 16x 16x 96x x 576x 160x 430x 4860x 916x Todista, että yhtälön molemmat puolet ovat samat a) 1 b) n a 3a b 3ab b x 83. Just do it! 84. Just do it! 85. Ympyrä kulkee aina muidenkin kolmion kärkipisteiden kautta! Siis keskinormaalien leikkauspiste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste! 86.

19 x 3y z 4 0