Lukuteorian kertausta

Transkriptio

1 Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = eli q = 5 ja r = 5. Esimerkki 2: Jos a = 28 ja b = 5, niin 28 = eli q = 6 ja r = 2. Jaollisuus Jos a, b Z ja on olemassa sellainen luku k Z, että b = ka, niin a jakaa luvun b. Tästä käytetään merkintää a b. Jos a ei jaa lukua b, niin merkitään a b. Edelleen, jos a b, niin lukua a kutsutaan luvun b tekijäksi. Jos p Z, p 2 ja luvulla p ei ole muita tekijöitä kuin ±1 ja ±p, niin lukua p sanotaan alkuluvuksi. Jos luku n Z ja on olemassa sellaiset a, b Z, a, b 2, että n = ab, niin sanotaan, että n on yhdistetty luku. Esimerkki 3: Koska 15 = 3 5, niin

2 Aritmetiikan peruslause Jokainen kokonaisluku n 2 voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k, missä p 1 < p 2 <... < p k ovat alkulukuja ja eksponentit a 1, a 2,..., a k positiivisia kokonaislukuja. Esimerkki 4: 180 = = Suurin yhteinen tekijä Olkoot a ja b kokonaislukuja ja ainakin toinen nollasta poikkeava. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa seuraavat ehdot: 1. t a ja t b; 2. jos c a ja c b, niin c t, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä; merkitään t = syt(a, b). Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että syt(a, b) = ax + by. Esimerkki 5: Lukujen 60 = ja 75 = suurin yhteinen tekijä on syt(60, 75) = 3 5 = 15. Lisäksi 15 = ( 1) 60. 2

3 Pienin yhteinen jaettava Olkoot a, b Z. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa ehdot, 1. a t ja b t; 2. jos a c ja b c, niin t c, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava; merkitään t = pyj(a, b). Tällöin pyj(a, b) = a b syt(a,b). Esimerkki 6: Lukujen 60 = ja 75 = pienin yhteinen jaettava on pyj(60, 75) = = 300 = =

4 Eukleideen algoritmi Olkoot a, b Z \ {0}. Nyt on olemassa sellainen n N, että a = q 1 b + r 1, missä 0 < r 1 < b, b = r 0 b = q 2 r 1 + r 2, missä 0 < r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, missä 0 < r 3 < r 2. r n 3 = q n 1 r n 2 + r n 1, missä 0 < r n 1 < r n 2 r n 2 = q n r n 1 + r n, missä 0 < r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n. Tällöin r n = syt(a, b). Esimerkki 7: Määrätään lukujen 525 ja 135 suurin yhteinen tekijä. Eukleideen algoritmin mukaan 525 = = = = = 8 15 Näin ollen syt(525, 135) = 15. Lisäksi syt(525, 135) = = ( ) =

5 Kongruenssi Oletetaan, että m Z + ja a, b Z. Jos m a b, niin sanotaan, että luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m. Merkitään a b (mod m) Esimerkki 8: Koska 5 10 = (21 11), niin (mod 5). Kongruenssin ominaisuuksia Jos a b (mod m) ja c d (mod m), niin a + c b + d ac bd (mod m), (mod m), a n b n (mod m), n N. Jos ac bc (m) ja syt(c, m) = 1, niin a b (m) Jos a b (m) ja b c (m), niin a c (m); Esimerkki 9: ( 1) = = 0 (mod 10). 5

6 Kongruenssiyhtälö Kongruenssiyhtälö ax b (mod m) (1) on ratkeava täsmälleen silloin, kun d = syt(a, m) b. Jos x 0 on jokin tämän kongruenssin ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat muotoa x x 0 (mod m d ). Yhtälön (1) eräs ratkaisu x 0 voidaan löytää 1) kokeilemalla, 2) Eukleideen algoritmilla. Yhtälön (1) voi ratkaista myös kertomalla puolittain sellaisella luvulla c, että ac 1 (mod m). Esimerkki 10: Ratkaistaan yhtälö 5x 4 (mod 7). Koska syt(5, 7) = 1 4, niin yhtälöllä on ratkaisu. Tapa 1: Eukleideen algoritmilla saadaan 7 = = = = 5 2 2, joten 1 = 5 2 (7 5) = Tästä saadaan 4 = , joten kongruenssiyhtälön eräs ratkaisu on x 0 = 12. Siispä kaikki ratkaisut ovat x 12 5 (mod 7). Tapa 2: Kertomalla yhtälö puolittain luvulla 3 saadaan 15x 12 (mod 7) x 5 (mod 7) 6

7 Eulerin ϕ-funktio Funktio ϕ : Z + Z +, ϕ(m) = #{x x N, x < m ja syt(x, m) = 1}. Jos p on alkuluku, niin ϕ(p) = p 1. Jos p on alkuluku ja k N, niin ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Jos syt(m, n) = 1, niin ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Esimerkki 11: ϕ(252) = ϕ( ) = ϕ(2 2 )ϕ(3 2 )ϕ(7) = (2 1) (3 1) (7 1) = = 72. Eulerin teoreema Olkoot a, m Z +. Jos syt(a, m) = 1, niin a ϕ(m) 1 (m). Esimerkki 12: Koska ϕ(252) = 72, niin = = (3 72 ) = 3 (mod 252). 7

8 Jäännösluokat Joukko [y] = {x Z x y (mod m)} (= ȳ). on alkion y määräämä jäännösluokka modulo m. Jäännösluokkaa [a] sanotaan alkuluokaksi (mod m), mikäli syt(a, m) = 1. Jäännösluokkien joukko Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Alkuluokkien joukko Z m. Esimerkki 13: Z 10 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]} Z 10 = {[1], [3], [7], [9]} HUOM! Tällä kurssilla merkitään yleensä [a] = a, mutta pitää muistaa olla tarkkana, milloin kyseessä on jäännösluokka ja milloin kokonaisluku! Jäännösluokkien laskutoimitukset Jos [x], [y] Z m, niin määritellään [x] + [y] = [x + y], [x][y] = [xy]. Esimerkki 14: Olkoot 5, 3 Z 7. Tällöin = 8 = 1 ja 5 3 = 15 = 1. 8

9 Jäännösluokkaryhmät (Z m, +) on ryhmä. Sen kertaluku on Z m = m, neutraalialkio [0] ja alkion [a] Z m käänteisalkio on [ a]. (Z m, ) on ryhmä. Sen kertaluku on Z m = ϕ(m) ja neutraalialkio [1]. Alkion [a] Z m käänteisalkio [a] 1 saadaan laskettua Eukleideen algoritmin avulla: Koska syt(a, m) = 1, niin Eukleideen algoritmin avulla löydetään sellaiset kokonaisluvut x ja y, että 1 = ax + my. Tällöin [a] 1 = [x]. Esimerkki 15: Määrätään alkion 7 Z 26 käänteisalkio. Eukleideen algoritmilla saadaan joten 26 = = = = = = 5 2 2, 1 = = 5 2 (7 5) = = 3(26 3 7) 2 7 = Näin ollen 7 1 = 11 = 15. 9