Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j) = 15i + 10 j i + 8 j = 15i i + 10 j + 8 j = 13i + 18 j Vastaus a) a = 3i + j b) b = i 4 j c) 5a b = 13i + 18 j

2 80 Merkitään pisteitä A (4,7), B(3, 5) ja C( 9,0). a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin ja y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (4,7) paikkavektori on OA = 4i + 7j. b) Pisteen B(3, 5) paikkavektori on OB = 3i 5j. c) Pisteen C( 9,0) paikkavektori on OC = 9i + 0j = 9i. Vastaus a) OA = 4i + 7j b) OB = 3i 5j c) OC = 9i

3 81 a) Pisteen koordinaatit saadaan luettua paikkavektorin komponenttien kertoimista. Kun pisteen A paikkavektori on OA = 3i 8j, pisteen koordinaatit ovat (3, 8). b) Pisteen A paikkavektori on OA = 7j = 0i + 7j, joten pisteen koordinaatit ovat (0,7). c) Pisteen A paikkavektori on koordinaatit ovat ( 1, ). 3 OA = i + j, joten pisteen 3 Vastaus a) (3, 8) b) (0,7) c) ( 1, ) 3

4 8 On selvitettävä, mihin pisteeseen päädytään, kun lähdetään pisteestä A( 5, 4) ja edetään 9 yksikköä vektorin i suuntaan ja 3 yksikköä vektorin j suuntaan. Pisteen A( 5, 4) paikkavektori on OA = 5i + 4j. Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Pisteiden A ja B välinen siirtymävektori on AB = 9i + 3 j. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = 5i + 4 j + 9i + 3 j = 4i + 7 j Päädytään siis pisteeseen (4,7). Vastaus pisteeseen (4,7)

5 83 Merkitään alkupistettä kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. On selvitettävä loppupiste B, kun lähdetään pisteestä A( 6,8) ja kuljetaan vektori v = 3i 1 j. Pisteen A( 6,8) paikkavektori on OA = 6i + 8j. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + v = 6i + 8 j + 3i 1 j = 3i 4j Loppupiste on siis ( 3, 4). Vastaus ( 3, 4)

6 84 a) Pisteiden A (,3), B (0,7) ja C(4, ) paikkavektorit ovat OA = i + 3j, OB = 7 j ja OC = 4i j. Paikkavektorien summa on OA + OB + OC = i + 3j + 7j + 4i j = 6i + 8 j. b) On selvitettävä loppupiste P, kun lähdetään pisteestä C(4, ) ja kuljetaan vektori OA + OB + OC = 6i + 8j. Merkitään tätä siirtymävektoria CP. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP = OC + CP = 4i j + 6i + 8j = 10i + 6 j Loppupiste on siis P = (10,6). Vastaus a) 6i + 8j b) P = (10,6)

7 85 a) a = 4i + 3j a = = = 5 = 5 b) b = i + j b = ( ) + = = 8 = 4 = c) c = 7i 4j c = 7 + ( 4) = = 65 Vastaus a) a = 5 b) b = c) c = 65

8 86 Vektorin v = 3ti 77 j pituuden lauseke on v t t = (3 ) + ( 77) = Muodostetaan yhtälö v = 85 ja ratkaistaan vakion t arvo (voidaan myös ratkaista suoraan laskimella). 9t = 85 9t = 85 = 75 9t = = 196 t = 144 t = 1 tai t = 1 Siis kun t = 1 tai t = 1, vektorin v pituus on 85. Vastaus t = 1 tai t = 1

9 87 a) Selvitetään kärkipiste B, kun lähdetään pisteestä A (3, 0) ja kuljetaan vektori AB = 5i j. Pisteen A (3, 0) paikkavektori on OA = 3i. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = 3i + 5i j = 8i j Kärki B on siis B = (8, ). Selvitetään sitten kärkipiste C. Nyt lähdetään pisteestä B(8, ) ja kuljetaan vektori BC = i + 8 j. Muodostetaan pisteen C paikkavektori. OC = OB + BC = 8i j i + 8j = 7i + 6j Kärki C on siis C = (7,6).

10 Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä: b) Kuvan perusteella näyttää, että kolmio ei ole suorakulmainen. Tarkistetaan havainto laskemalla. Jos kolmio on suorakulmainen, sen sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen. Lasketaan saadun kolmion sivujen pituudet ja tarkistetaan, toteuttavatko ne Pythagoraan lauseen. Sivun AB pituus on sama kuin vektorin AB = 5i j pituus. AB = 5 + ( ) = = 9 Sivun BC pituus on sama kuin vektorin BC = i + 8 j pituus. BC = ( 1) + 8 = = 65

11 Sivun AC pituus on sama kuin vektorin AC pituus. Kuvan perusteella AC = 4i + 6j. AC = = = 5 Nähdään, että sivuista pisin on BC. Tarkistetaan, toteuttavatko sivujen pituudet Pythagoraan lauseen. AB + AC = BC = = 65 epätosi Kolmion sivujen pituudet eivät toteuta Pythagoraan lausetta, joten kolmio ei ole suorakulmainen. Vastaus a) B = (8, ) ja C = (7,6) b) ei ole

12 88 a) Pisteiden A (9,13) ja B (5,3) välinen vektori AB saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = (5 9) i + (3 13) j = 4i 10 j b) Määritetään alkupisteen P paikkavektori. Pisteeseen P päästään origosta O kulkemalla vektori BA. OP = BA = AB = ( 4i 10 j) = 4i + 10 j Siis alkupiste P on P = (4,10). Vastaus a) AB = 4i 10 j b) P = (4,10)

13 89 Vektorin a = 10i + 3tj pituuden lauseke on a = + t = + t 10 (3 ) Vektorin b = 5ti 6j pituuden lauseke on b = t + = t + (5 ) ( 6) Muodostetaan yhtälö a = b ja ratkaistaan vakion t arvo t = 5t t 5t 36 + = + 9t 5t = 16t 64 = t = 4 t = tai t = Siis vektorit a ja b ovat yhtä pitkät, kun t = tai t =. Vastaus t = tai t =

14 90 a) Pisteen A( 7,1) paikkavektori on OA = 7i + j. b) Pisteen B paikkavektori on OB = 6i 8j, joten pisteen koordinaatit ovat (6, 8). c) OA = ( 7) + 1 = = 50 = 5 = 5 ja OB = 6 + ( 8) = = 100 = 10. Vastaus a) OA = 7i + j b) B = (6, 8) c) OA = 5 ja OB = 10

15 91 Merkitään alkupistettä kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. On selvitettävä alkupiste A, kun kuljetaan vektori v = 14i 9 j ja päädytään pisteeseen B(3, 6). Pisteen B(3, 6) paikkavektori on OB = 3i 6j. Muodostetaan pisteen A paikkavektori. OA = OB v = 3i 6 j (14i 9 j) = 3i 6 j 14i + 9 j = 11i + 3 j Alkupiste on siis ( 11, 3). Vastaus ( 11, 3)

16 9 Kirjoitetaan ensin vektori u v kantavektorien i ja j avulla. 1 1 u 5 v = (6i 1 j) 5( i + 4 j) 3 3 = i 4 j + 5i 0 j = 7i 4 j Vektorin u v pituus on 1 3 u v = + = + = = 5 7 ( 4) Vastaus 5

17 93 Kolmion sivut määräytyvät vektoreista v = 5i 1 j, u = 0i 1 j ja näiden erotusvektorista u v = 0i 1 j (5i 1 j) = 0i 1 j 5i + 1 j = 15i 9 j. Lasketaan kaikkien kolmen sivun pituus. v = 5 + ( 1) = = 169 = 13 u = 0 + ( 1) = = 841 = 9 u v = + = + = 15 ( 9) ,5 Nähdään, että kolmion lyhyimmän sivun pituus on 13. Vastaus 13

18 94 Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = i + 7j, b = 5i + 9j ja näiden erotusvektorista b a = 5i + 9 j ( i + 7 j) = 5i + 9j + i 7j = 7i + j. Jos kolmio on suorakulmainen, sen sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen. Lasketaan kolmion sivujen pituudet ja tarkistetaan, toteuttavatko ne Pythagoraan lauseen. a = ( ) + 7 = = 53 b = = = 106 b a = + = + = Nähdään, että kolmion pisimmän sivun määrää vektori b. Tarkistetaan, toteuttavatko sivujen pituudet Pythagoraan lauseen. a + b a = b = = 106 tosi Kolmion sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen, joten kolmio on suorakulmainen. Vastaus on

19 95 Piirretään vektorit a = 3i + 4j ja b = 5i + 1 j koordinaatistoon. Nähdään, että vektorien välinen kulma ( ab, ) muodostuu kahdesta kulmasta, joiden tangentit ovat 3 4 ja 5 1. Siten 3 5 = ( ab, ) tan ( ) tan ( ) 59,5. Vastaus 59,5

20 96 Vektorin a = 7ti 4tj pituuden lauseke on a = (7 t) + ( 4 t) = 49t + 576t = = = 65t 5 t 5 t. Muodostetaan yhtälö a = 1 ja ratkaistaan vakion t arvo. 5 t = 1 t = 1 t = tai t = 5 Kun 1 t =, vektori a = i j. 5 5 Kun 1 t =, vektori a = i + j. 5 5 Vastaus Kun t =, niin a = i j ; kun t =, niin a = i + j

21 97 Merkitään a = i tj + j ja b = 6i + 4j. Tutkitaan kolmiota, jonka sivut määräytyvät samasta kärjestä lähtevistä vektoreista a ja b sekä näiden erotusvektorista b a = 6i + 4 j ( i tj + j ) = 6i + 4j i + tj j = 4i + 3 j + tj. Jotta vektorit a ja b olisivat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kolmion sivujen pituuksien täytyy toteuttaa Pythagoraan lause siten, että hypotenuusan määrää vektori b a. Lasketaan kolmion sivujen pituudet. a = + t+ = + t t+ = t t+ ( 1) b = = = 5 b a = + + t = + + t+ t = t + t+ 4 (3 )

22 Muodostetaan Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö a + b = b a ja ratkaistaan vakion t arvo (voidaan myös ratkaista laskimella). t t t t = t+ 57 = 6t+ 5 8t = 5 57 = 3 t = 4 Siis vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun t = 4. Vastaus t = 4

23 98 a) Pisteiden A(17, 7) ja B( 7,18) välinen vektori AB saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = ( 7 17) i + (18 ( 7)) j = 4i+ 45 j b) AB = ( 4) + 45 = = 601 = 51 c) Jos lähdetään origosta ja kuljetaan vektori 1 AB = 1 ( 4 i + 45 j ) = 8 i + 15 j, päädytään pisteeseen 3 3 ( 8,15). Vastaus a) AB = 4i + 45 j b) AB = 51 c) pisteeseen ( 8,15)

24 99 Kärkipisteiden A( 3, 7) ja B(4, 5) paikkavektorit ovat OA = 3i + 7j ja OB = 4i 5j. Kärkipisteen C paikkavektori on OC. Kärkipisteiden paikkavektorien summa on nollavektori. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan paikkavektori OC. OA + OB + OC = 0 OC = OA OB = ( 3i + 7 j) (4i 5 j) = 3i 7j 4i + 5j = i j Kärkipiste C on siis C = ( 1, ). Vastaus C = ( 1, )

25 100 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Kärkipisteeseen D päästään esim. lähtemällä kärkipisteestä A ja kulkemalla vektori BC. Pisteiden B(3, 1) ja C (5,6) välinen vektori BC saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. BC = (5 3) i + (6 ( 1)) j = i+ 7j

26 Muodostetaan kärkipisteen D paikkavektori. OD = OA + BC = i + 4j + i + 7j = 0i + 11 j ( = 11 j) Neljäs kärkipiste on siis D = (0,11). Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä: Vastaus D = (0,11)

27 101 Merkitään annettuja kärkipisteitä S (3, 4), T (5, 1) ja U(, 5). Pisteiden sijaintia havainnollistaa oheinen kuva. Olkoon neljäs kärkipiste V. Kaikki mahdolliset suunnikkaat ovat (poikkeuksellisesti myötäpäivään kiertäen) STUV, STVU ja SVTU. Käsitellään jokainen tapaus erikseen.

28 STUV Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Kärkipisteeseen V päästään esim. lähtemällä kärkipisteestä S ja kulkemalla vektori TU = 7i + 6j (lauseke saadaan laskemalla tai katsomalla kuvasta). Muodostetaan kärkipisteen V paikkavektori. OV = OS + TU = 3i + 4j 7i + 6j = 4i + 10 j Neljäs kärkipiste on siis V = ( 4,10). Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä:

29 STVU Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Kärkipisteeseen V päästään esim. lähtemällä kärkipisteestä T ja kulkemalla vektori SU = 5i + j (lauseke saadaan laskemalla tai katsomalla kuvasta). Muodostetaan kärkipisteen V paikkavektori. OV = OT + SU = 5i j 5i + j = 0i + 0j Neljäs kärkipiste on siis V = (0,0). Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä:

30 SVTU Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Kärkipisteeseen V päästään esim. lähtemällä kärkipisteestä T ja kulkemalla vektori US = 5i j (lauseke saadaan laskemalla tai katsomalla kuvasta). Muodostetaan kärkipisteen V paikkavektori. OV = OT + US = 5i j + 5i j = 10i j Neljäs kärkipiste on siis V = (10, ). Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä:

31 Kaiken kaikkiaan on siis saatu, että suunnikkaan neljäs kärkipiste on ( 4,10), (0,0) tai (10, ). Vastaus ( 4,10), (0,0) tai (10, )

32 Tekijä Pitkä matematiikka a) Lasketaan vektorin a = i 5j pituus. a = + ( 5) = = 9 = 3 Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (i 5 j) = i j b) Kun yksikkövektori a kerrotaan luvulla 1, saadaan vektori, joka on vektorin a kanssa samansuuntainen ja jonka pituus on 1. b = 1 a 0 5 = 1( i j) 3 3 = 14i 7 5 j 0 5 Vastaus a) a = i j 3 3 b) b = 14i 7 5 j

33 103 a) Luoteeseen osoittaa esimerkiksi vektori i + j. b) Lasketaan a-kohdan vektorin pituus. i + j = + = + = ( 1) Luoteeseen osoittava yksikkövektori on siten 1 1 ( i + j) = ( i + j) i + j 1 1 = i + j. c) Kun b-kohdan yksikkövektori kerrotaan luvulla 7, saadaan vektori, joka osoittaa luoteeseen ja jonka pituus on ( i + j) = i + j Vastaus a) esimerkiksi i + j b) 1 1 i + j c) 7 7 i + j

34 104 Lasketaan vektorin b = 4i j pituus. b = 4 + ( 1) = = 17 Vektorin b suuntainen yksikkövektori on b 0 1 = b b 1 = (4 i j ) ) 17 ) = i j = i j Määritetään vektori a. Kun yksikkövektori b kerrotaan luvulla 34 tai luvulla 34, saadaan vektori, joka on vektorin b kanssa yhdensuuntainen (eli samansuuntainen tai vastakkaissuuntainen) ja jonka pituus on 34, eli vektori a. a = ± 34 b = ± 34( i j) = ± 4 17i 17 j = ± 8 17i 17 j Siis a = 8 17i 17 j tai a = 8 17i + 17 j. Vastaus a = 8 17i 17 j tai a = 8 17i + 17 j

35 105 Lasketaan vektorin a = 9i 1 j pituus. a = 9 + ( 1) = = 5 = 15 Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (9i 1 j) = i j Kun yksikkövektori a kerrotaan luvulla 10, saadaan vektori, joka on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen ja jonka pituus on 10. v = 10 a = 10( i j) 5 5 = 6i + 8j Vastaus v = 6i + 8j

36 106 Lähtöpiste on A (43,87). Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Vektorin a = 45i 8 j pituus on a = 45 + ( 8) = 53. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (45i 8 j) = i j Määritetään loppupisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = OA a = 43i + 87 j ( i j) = 43i + 87 j + 90i 56 j = 133i + 31 j Päädytään siis pisteeseen B = (133,31). Vastaus pisteeseen (133,31)

37 107 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. a) Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu. a = rb i + 3 j = r(4i + 6 j) i + 3j = 4ri + 6rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. = 4r 3 = 6r Ratkaistaan molemmista yhtälöistä r. 1 r = = r = = 6 Saatiin ratkaisu 1 r =, joten 1 a = b. Vektorit a ja b ovat siis yhdensuuntaiset ja erityisesti samansuuntaiset, sillä 1 0 >.

38 b) Voitaisiin laskea samoin kuin a-kohdassa. Voidaan myös suoraan huomata, että koska 10i 16 j = ( 5i + 8 j), niin a = b. Vektorit a ja b ovat siis yhdensuuntaiset ja erityisesti vastakkaissuuntaiset, sillä < 0. c) Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu. a = rb 7i + j = r(14i 6 j) 7i + j = 14ri 6rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 7 = 14r = 6r Ratkaistaan molemmista yhtälöistä r. 7 1 r = = 14 1 r = = 6 3 Nähdään, että yhtälöllä a = rb ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Siten vektorit a ja b eivät ole yhdensuuntaiset vaan erisuuntaiset. Vastaus a) yhdensuuntaiset ja samansuuntaiset b) yhdensuuntaiset ja vastakkaissuuntaiset c) erisuuntaiset

39 108 Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u arvoilla. = rv, r 0, ratkaisu joillain vakion t u = rv ti 5 j = r( 7 i + j) ti 5j = 7ri + rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. t = 7r 5 = r Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaisu r = 5. Sijoitetaan ratkaisu ylempään yhtälöön ja ratkaistaan t. t = 7r = 7 ( 5) = 35 Kun t = 35, vektorit ovat u = ti 5 j = 35i 5 j ja v = 7i + j. Koska tällöin u = rv = 5v ja 5< 0, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun t = 35. Vektorit ovat tällöin vastakkaissuuntaiset.

40 109 Pisteen A= ( s+ 8, 6 s) paikkavektori on OA = ( s + 8) i 6sj. Vektorit OA ja v = i + j ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että OA = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä OA = rv, r 0, ratkaisu joillain vakion s arvoilla. OA = rv ( s + 8) i 6 sj = r( i + j ) ( s + 8) i 6sj = ri + rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. s+ 8 = r 6s = r Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan laskimella r = 6 ja s =. Kun s =, vektorit ovat OA = ( s + 8) i 6sj = 6i + 1 j ja v = i + j. Koska tällöin OA = rv = 6v ja 6> 0, niin vektorit ovat samansuuntaiset. Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun s =. Vektorit ovat samansuuntaiset.

41 110 a) Pisteen A koordinaatit ovat ( 7,15) ja pisteen B (11, 9). Pisteiden A ja B välinen vektori AB on AB = (11 ( 7)) i + ( 9 15) j = 18i 4 j. Piste P on janan AB keskipiste. Pisteeseen P päästään siis pisteestä A kulkemalla puolet vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 1 = 7i + 15 j + (18i 4 j) = 7i + 15 j + 9i 1 j = i + 3j

42 b) Piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 5. Yhteensä jakovälejä on siis = 6, ja pisteeseen P päästään pisteestä A kulkemalla 1 6 vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 6 1 = 7i + 15 j + (18i 4 j) 6 = 7i + 15 j + 3i 4 j = 4i + 11 j Vastaus a) OP = i + 3j b) OP = 4i + 11 j

43 111 Tiedetään, että suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Siten lävistäjien leikkauspiste P saadaan laskettua esimerkiksi siten, että lasketaan annettujen vastakkaisten kärkipisteiden B ja D välisen janan BD keskipiste. Pisteiden B ja D välinen vektori BD on BD = ( 6) i + (1 5) j = 8i 4 j. Piste P on janan BD keskipiste. Pisteeseen P päästään siis pisteestä B kulkemalla puolet vektorista BD. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OB + BD 1 = 6i + 5 j + ( 8i 4 j) = 6i + 5j 4i j = i + 3j Leikkauspiste P on siis P = (,3). Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä: (kuvaan on merkitty myös kärkipiste C) Vastaus P = (,3)

44 11 a) Lasketaan vektorin a = 3i 3j pituus. a = 3 + ( 3) = = 18 = 9 = 3 Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (3i 3 j) = i j. 3 b) Vektorin a kanssa yhdensuuntaiset (eli samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset) yksikkövektorit ovat yksikkövektori a 0 ja kyseisen yksikkövektorin vastavektori a : a = i j ja a = i + j. Vastaus a) b) a = i j i j ja i + j

45 113 Merkitään lähtöpistettä ( 5, 4) kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. Vektorin a = 5i 1 j pituus on Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a = (5i 1 j) = i j. a a = 5 + ( 1) = 13. Vektorin b = 4i + 7 j pituus on Vektorin b suuntainen yksikkövektori on b = ( 4) + 7 = b = b = ( 4i + 7 j) = i + j. b Määritetään loppupisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = OA + 6 a + 75 b = 5i + 4 j + 6 ( i j) + 75 ( i + j) = 5i + 4 j + 10i 4 j 7i + 1 j = 67i + j Päädytään siis pisteeseen B = ( 67,1). Vastaus pisteeseen ( 67,1)

46 114 Nelikulmio ABCD on suunnikas, jos sen vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Tutkitaan, ovatko nelikulmion sivut AB ja CD ja vastaavasti AD ja BC yhdensuuntaiset. Pisteiden A (4,5) ja B (1,9) välinen vektori AB on AB = (1 4) i + (9 5) j = 8i + 4 j. Pisteiden C( 4,16) ja D( 1,1) välinen vektori CD on CD = ( 1 ( 4)) i + (1 16) j = 8i 4 j. Pisteiden A (4,5) ja D( 1,1) välinen vektori AD on AD = ( 1 4) i + (1 5) j = 16i + 7 j. Pisteiden B (1,9) ja C( 4,16) välinen vektori BC on BC = ( 4 1) i + (16 9) j = 16i + 7 j. Vektorit AB ja CD ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että AB = rcd. Nyt huomataan, että koska 8i + 4j = 1( 8i 4 j), niin AB = CD. Vektorit AB ja CD ja siis sivut AB ja CD ovat yhdensuuntaiset.

47 Vastaavasti nähdään suoraan, että AD = BC. Vektorit AD ja BC ja siis sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset. Nelikulmio ABCD on suunnikas. Vastaus on

48 115 Kolme pistettä A, B ja C ovat samalla suoralla, jos esimerkiksi pisteiden väliset vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden A(, 5) ja B (7, ) välinen vektori AB on AB = (7 ) i + ( ( 5)) j = 5i + 7 j. Pisteiden A(, 5) ja C (87,114) välinen vektori AC on AC = (87 ) i + (114 ( 5)) j = 85i j. Vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että AB = r AC. Tutkitaan, onko yhtälöllä AB = r AC, r 0, ratkaisu. AB = r AC 5i + 7 j = r(85i j) 5i + 7 j = 85ri + 119rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 5 = 85r 7 = 119r

49 Ratkaistaan molemmista yhtälöistä r. 5 1 r = = r = = Saatiin ratkaisu r =, joten AB = AC. Vektorit AB ja AC ovat siis yhdensuuntaiset ja annetut kolme pistettä A, B ja C ovat samalla suoralla.

50 116 Ratkaistaan ensin c-kohta, sillä a- ja b-kohdat saadaan sen erikoistapauksina. c) Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu. a = rb (4t ) i + 3 tj = r(3i + 6 tj ) (4t ) i + 3tj = 3ri + 6rtj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 4t = 3r 3t = 6rt Jos t = 0, alempi yhtälö toteutuu aina. Sijoitetaan t = 0 yhtälöparin ylempään yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja r. 4t = 3r 3r = 4t = 0 = r = 3

51 Oletetaan sitten, että t 0. Tällöin yhtälöparin alemmasta yhtälöstä saadaan 3t = 6 rt : t 3= 6r 3 1 r = = 6 Sijoitetaan muuttuja t. 4t = 3r 1 3 4t = 3 = 1 r = yhtälöparin ylempään yhtälöön ja ratkaistaan t = + = + = t = 7 8 Yhtälöparille saatiin siis kaksi ratkaisua: 1 r = ja 7 t =. 8 r = ja t = 0 sekä 3 Kun t = 0, vektorit ovat a = (4t ) i + 3tj = i + 0 j = i ja b = 3i + 6tj = 3i + 0j = 3i. Koska tällöin a = rb = b ja 3 < 0, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. 3

52 7 Kun t =, vektorit ovat a = (4t ) i + 3 tj = (4 ) i + 3 j = ( ) i + j = i + j ja b = 3i + 6tj = 3i + 6 j = 3i + j. Koska tällöin a = rb = b ja 1 > 0, niin vektorit ovat samansuuntaiset. Kaiken kaikkiaan siis vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset (eli samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset) silloin, kun t = 0 7 tai t =. 8 a) c-kohdan perusteella vektorit a ja b ovat samansuuntaiset 7 silloin, kun t =. 8 b) c-kohdan perusteella vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset silloin, kun t = 0. 7 Vastaus a) t = 8 b) t = 0 c) t = 0 tai 7 t = 8

53 117 Kolme pistettä määräävät kolmion, jos ne eivät ole samalla suoralla. Tutkitaan ensin, millä vakion a arvoilla pisteet ovat samalla suoralla. Kolme pistettä A, B ja C ovat samalla suoralla, jos esimerkiksi pisteiden väliset vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset (vrt. teht. 115). Pisteiden Aa+ ( 1,5) ja B( a,3) välinen vektori AB on AB = ( a ( a + 1)) i + (3 5) j = ( a 1) i j. Pisteiden Aa+ ( 1,5) ja Ca ( + 5, a+ 6) välinen vektori AC on AC = ( a + 5 ( a + 1)) i + ( a + 6 5) j = 4 i + ( a + 1) j. Vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että AB = r AC. Tutkitaan, onko yhtälöllä AB = r AC, r 0, ratkaisu. AB = r AC ( a 1) i j = r(4 i + ( a+ 1) j) ( a 1) i j = 4 ri + ( a + 1) rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. a 1= 4r = ( a + 1) r

54 Laskimen mukaan yhtälöparilla ei ole reaalisia ratkaisuita. Tulos tarkoittaa, että millään vakion a arvolla ei ole olemassa sellaista lukua r, että AB = r AC. Siten annetut pisteet eivät koskaan ole samalla suoralla, joten ne määräävät kolmion olipa vakion a arvo mikä tahansa. Vastaus Pisteet määräävät kolmion kaikilla vakion a arvoilla.

55 118 Pisteiden A( 3, 7) ja B(5, 9) välinen vektori AB on AB = (5 ( 3)) i + ( 9 7) j = 8i 16 j. Piste P jakaa janan AB suhteessa 3 : 5. Yhteensä jakovälejä on siis = 8, ja pisteeseen P päästään pisteestä A kulkemalla 3 8 vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 3 OP = OA + AB 8 3 = 3i + 7 j + (8i 16 j) 8 = 3i + 7j + 3i 6j = 0i + j = j Siis piste P on (0,1). Vastaus (0,1)

56 119 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että i + 3 j = ra + sb = r(3i 3 j ) + s( 6 i + j ). Muokataan yhtälöä. i + 3 j = r(3i 3 j) + s( 6 i + j) i + 3j = 3ri 3rj 6si + sj i + 3 j= (3r 6 si ) + ( 3 r+ s) j Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. = 3r 6s 3 = 3r + s eli 3r 6s = 3 r + s = 3 Poistetaan yhtälöparista muuttuja r ja ratkaistaan muuttuja s. 3r 6s = + 3 r + s = 3 5s = 5 s = 1

57 Sijoitetaan s = 1 esimerkiksi yhtälöparin ylempään yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja r. Siis 3r 6s = 3r = + 6s = + 6 ( 1) = 6= 4 r = i + 3j = ra + sb = a b. 3 Vastaus 4 i + 3j = a b 3 HUOM. Yhtälöpari voitaisiin ratkaista myös laskimella.

58 10 Pisteiden Ax ( 1, y 1) ja Bx (, y ) välinen vektori AB on AB = ( x x ) i + ( y y ) j. 1 1 Piste P on janan AB keskipiste. Pisteeseen P päästään siis pisteestä A kulkemalla puolet vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 1 = xi 1 + y1j+ (( x x1 ) i + ( y y1 ) j ) x x y y = xi 1 y1j i j x + x x y + y y = i x + x y + y i 1 1 = + j j

59 11 a) Tapa 1. Lasketaan samaan tapaan kuin aikaisemmissakin tehtävissä. Pisteen A koordinaatit ovat (4,6) ja pisteen B ( 4,3). Pisteiden A ja B välinen vektori AB on AB = ( 4 4) i + (3 6) j = 8i 3 j. Piste Q on janan AB keskipiste. Pisteeseen Q päästään siis pisteestä A kulkemalla puolet vektorista AB. Muodostetaan pisteen Q paikkavektori. 1 OQ = OA + AB 1 = 4i + 6 j + ( 8i 3 j) 3 9 = 4i + 6j 4i j = 0i + j Siis piste Q on 9 (0, ).

60 Tapa. Soveltamalla suoraan tehtävän 10 kaavaa saadaan pisteen Q paikkavektoriksi OQ = i + j = 0 i + j. Siis piste Q on 9 (0, ).

61 b) Tiedetään, että kolmion painopiste P on sama kuin kolmion mediaanien leikkauspiste. Toisaalta mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanin suhteessa : 1 kärjestä lukien. Painopisteeseen P päästään siis kulkemalla origosta lähtien 3 vektorista 9 (mediaanista) OQ = j. Muodostetaan painopisteen P paikkavektori. 9 OP = OQ = j = 3 j 3 3 Siis painopiste P on (0,3). a- ja b-kohtien tulokset voi tarkistaa piirtämällä: Vastaus a) 9 (0, ) b) (0,3)

62 1 Määritetään ensin esimerkiksi sivun AB keskipiste, jota merkitään kirjaimella Q. Soveltamalla suoraan tehtävän 10 kaavaa saadaan pisteen Q paikkavektoriksi (ks. myös tapa teht. 11 a-kohdassa) OQ = i + j = i + j. Siis sivun AB keskipiste Q on (,). Pisteiden C( 4,5) ja Q välinen vektori CQ on CQ = ( ( 4)) i + ( 5) j = 6i 3 j. Tiedetään, että kolmion painopiste (merkitään kirjaimella P) on sama kuin kolmion mediaanien leikkauspiste. Toisaalta mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanin suhteessa : 1 kärjestä lukien. Painopisteeseen P päästään siis pisteestä C kulkemalla 3 vektorista (mediaanista) CQ = 6i 3j (vrt. kuva alla). Muodostetaan painopisteen P paikkavektori. OP = OC + CQ 3 = 4i + 5 j + (6i 3 j) 3 = 4i + 5j + 4i j = 0i + 3j Siis painopiste P on (0,3).

63 Tuloksen voi tarkistaa piirtämällä: Vastaus (0,3)

64 13 a) Määritetään ensin esimerkiksi sivun BC keskipisteen paikkavektori (merkitään keskipistettä kirjaimella Q). Pisteen B paikkavektori on OB = b ja pisteen C paikkavektori on OC = c. Pisteiden B ja C välinen vektori BC on BC = OB + OC = c b. Piste Q on janan BC keskipiste. Pisteeseen Q päästään siis pisteestä B kulkemalla puolet vektorista BC. Muodostetaan pisteen Q paikkavektori. 1 OQ = OB + BC = b + ( c b) = b + c Pisteiden A ja Q välinen vektori AQ on 1 1 AQ = OA + OQ = a + b + c.

65 Tiedetään, että kolmion painopiste (merkitään kirjaimella P) on sama kuin kolmion mediaanien leikkauspiste. Toisaalta mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanin suhteessa : 1 kärjestä lukien. Painopisteeseen P päästään siis pisteestä A kulkemalla 3 vektorista (mediaanista) 1 1 AQ = a + b + c. Muodostetaan painopisteen P paikkavektori. OP = OA + AQ = a + ( a + b + c) = a a + b + c a + b + c = a + b + c = Siis painopisteen paikkavektori on a + b + c. 3

66 b) Tehtävässä 1 pisteiden A, B ja C paikkavektorit ovat a = i j, b = 6i + 5j ja c = 4i + 5j. Paikkavektoreiden summa on a + b + c = i j + 6i + 5j 4i + 5j = 0i + 9 j. Painopisteen paikkavektoriksi saadaan a + b + c 9 j = = 3 j, 3 3 joten painopiste on (0,3). Tulos on sama kuin edellisessä tehtävässä saatu. Vastaus b) (0,3)

67 Tekijä Pitkä matematiikka a) b)

68 c)

69 15

70 16 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. Origosta lähtien lampun kohdalle päästään kulkemalla 1,5 yksikköä (metriä) positiivisen x-akselin suuntaan ja yksikköä positiivisen y-akselin suuntaan. Lopuksi pitää vielä kulkea ylös (eli positiivisen z-akselin suuntaan),5 0, 7 = 1,8 yksikköä. Siten lampun koordinaatit ovat (1,5; ; 1,8). Vastaus (1,5; ; 1,8)

71 17 a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja z-koordinaatti k -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (1,, 3) paikkavektori on OA = i + j + 3k. b) Pisteen B(5,0, 4) paikkavektori on OB = 5i + 0j 4k = 5i 4k. c) Pisteen C (0,13,0) paikkavektori on OC = 0i + 13 j + 0k = 13 j. Vastaus a) OA = i + j + 3k b) OB = 5i 4k c) OC = 13 j

72 18 a) Pisteen A = ( 5,7, 1) paikkavektori on OA = 5i + 7 j + 1k. Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = 5i + 7 j + 1k + 8i 4 j 13k = 3i + 3j + 8k Saadaan siis B = (3, 3,8). b) Määritetään pisteen D paikkavektori. OD = OA 3AB = 5i + 7 j + 1k 3(8i 4 j 13 k) = 5i + 7 j + 1k 4i + 1 j + 39k = 9i + 19 j + 60k Saadaan siis D = ( 9,19,60). Vastaus a) B = (3, 3,8) b) D = ( 9,19,60)

73 19 a) Merkitään alkupistettä kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. On selvitettävä loppupiste B, kun lähdetään pisteestä A( 1,6,9) ja kuljetaan vektori v = i + 7j 5k. Pisteen A( 1,6,9) paikkavektori on OA = i + 6j + 9k. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + v = i + 6j + 9k + i + 7j 5k = 0i + 13 j + 4k Loppupiste on siis (0,13,4).

74 b) Merkitään alkupistettä kirjaimella C ja loppupistettä kirjaimella D. On selvitettävä alkupiste C, kun kuljetaan vektori v = i + 7j 5k ja päädytään pisteeseen D(4,, 13). Pisteen D(4,, 13) paikkavektori on OD = 4i j 13k. Muodostetaan pisteen C paikkavektori. OC = OD v = 4i j 13 k ( i + 7j 5 k) = 4i j 13k i 7 j + 5k = 3i 9j 8k Alkupiste on siis (3, 9, 8). Vastaus a) (0,13,4) b) (3, 9, 8)

75 130 Pisteiden A(0,4, 6), B(5, 5,9) ja C(10,0, 10) paikkavektorit ovat OA= 0i + 4j 6k = 4j 6k, OB = 5i 5j + 9k, OC = 10i + 0 j 10k = 10i 10k. Pisteen D paikkavektori on pisteiden A, B ja C paikkavektorien summa. Määritetään pisteen D paikkavektori. OD = OA + OB + OC = 4 j 6k + 5i 5 j + 9k + 10i 10k = 15i j 7k Saadaan siis D = (15, 1, 7). Vastaus D = (15, 1, 7)

76 131 a) b) Pohjasärmät saadaan, kun vektorit a, b ja c vähennetään pareittain toisistaan.

77 Siten vektorit ovat b a = 4j 9i = 9i + 4 j, c a = 3k 9i = 9i + 3 k, c b = 3k 4j = 4j + 3 k. Toisaalta vähennyslaskut olisi voitu tehdä myös toisinpäin ( a b jne.), joten myös saatujen vektorien vastavektorit käyvät vastaukseksi. c) Pohjasärmien pituudet ovat b-kohdassa laskettujen vektorien pituudet. b a = + = + = ( 9) c a = + = + = = = ( 9) c b = + = + = = ( 4) Vastaus b) 9i + 4j, 9i + 3k ja 4j + 3k (tai vastaavat vastavektorit) c) 97, 3 10 ja 5

78 13 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. Näkyviin on piirretty kaksi avaruuslävistäjää ja niiden leikkauspiste P. Tiedetään, että suorakulmaisen särmiön (jollainen myös kuutio on) avaruuslävistäjät puolittavat toisensa. Siten avaruuslävistäjien leikkauspisteeseen P päästään kulkemalla minkä tahansa avaruuslävistäjän puoliväliin. Esimerkiksi origosta alkava avaruuslävistäjä on 8i + 8j + 8k, joten leikkauspisteen P paikkavektoriksi saadaan 1 OP = (8 i + 8 j + 8 k ) = 4 i + 4 j + 4 k. Vastaus OP = 4i + 4j + 4k

79 133 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että 3i 5 j = ra + sb = r( i j ) + s( i + j ). Muokataan yhtälöä. 3i 5 j= ri ( j) + si ( + j) 3i 5j = ri rj + si + sj 3i 5 j = ( r+ s) i + ( r+ s) j Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 3 = r+ s 5 = r + s Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan laskimella r = 4 ja s = 1. Siis 3i 5j = ra + sb = 4a b. Vastaus 3i 5j = 4a b

80 134 Muodostetaan yhtälö v = ra + sb + tc ja ratkaistaan kertoimet r, s ja t. v = ra + sb + tc 16i 48 j+ 96 k= ri ( j) + s(3 j+ k) + t(i 4 k) 16i 48 j + 96k = ri rj + 3sj + sk + ti 4tk 16i 48 j + 96k = ri + ti rj + 3sj + sk 4tk 16i 48 j+ 96 k= ( r+ ti ) + ( r+ 3 s) j+ ( s 4 tk ) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 16 = r+ t 48 = r + 3s 96 = s 4t Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella r = 54, s = 0 ja t = 19. Siis v = ra + sb + tc = 54a + 0b 19c. Vastaus v = 54a + 0b 19c

81 135 a) b) Suoraan a-kohdan kuvasta lukemalla tetraedrin kärkipisteiden koordinaateiksi saadaan (0,0,0), (,0,0), (0,,0) ja (0,0,). Vastaus b) (0,0,0), (,0,0), (0,,0) ja (0,0,)

82 136 a) Pisteen A( 1,,3) paikkavektori on OA = i + j + 3k. Selvitetään kärkipisteen B paikkavektori lähtemällä pisteestä A( 1,,3) ja kulkemalla vektori AB = i + 3j 4k. OB = OA + AB = i + j + 3k + i + 3j 4k = i + 5 j k Selvitetään sitten kärkipisteen C paikkavektori lähtemällä pisteestä A( 1,,3) ja kulkemalla vektori AC = 3i + 5j + 8k. OC = OA + AC = i + j + 3k 3i + 5j + 8k = 4i + 7 j + 11k b) a-kohdan mukaan OB = i + 5 j k ja OC = 4i + 7 j + 11k, joten kärkipiste B on B = (1,5, 1) ja kärkipiste C on C = ( 4,7,11). Vastaus a) OA = i + j + 3k, OB = i + 5 j k ja OC = 4i + 7 j + 11k b) B = (1,5, 1) ja C = ( 4,7,11)

83 137 a) Pisteen A(1,, 4) paikkavektori on OA = i j 4k. Selvitetään pisteen B paikkavektori lähtemällä pisteestä A(1,, 4) ja kulkemalla vektori AB = v. OB = OA + AB = OA + v = i j 4k + (i 3 j + k) = i j 4k + 4i 6j + k = 5i 8j k Saadaan siis B = (5, 8, ). b) Ehto CD = v tarkoittaa, että kun lähdetään pisteestä C ja kuljetaan vektori v, päädytään pisteeseen D (4, 3,8). Pisteen D (4, 3,8) paikkavektori on OD = 4i + 3j + 8k. Muodostetaan pisteen C paikkavektori. OC = OD v = 4i + 3 j + 8 k (i 3 j + k) = 4i + 3j + 8k i + 3j k = i + 6j + 7k Saadaan siis C = (,6,7). Vastaus a) B = (5, 8, ) b) C = (,6,7)

84 138 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. a) Piste P on purkin pohjanurkassa, jos x = 0, y = 0, z = 0 tai x = 5, y = 0, z = 0 tai x = 0, y = 7, z = 0 tai x = 5, y = 7, z = 0. b) Piste P on purkin kannessa, jos 0 x 5, 0 y 7 ja z = 3. Vastaus a) x = 0, y = 0, z = 0 tai x = 5, y = 0, z = 0 tai x = 0, y = 7, z = 0 tai x = 5, y = 7, z = 0 b) 0 x 5, 0 y 7 ja z = 3

85 139 Pisteen A(1,, 3) paikkavektori on OA = i j + 3k. Selvitetään kärkipisteen B paikkavektori lähtemällä pisteestä A(1,, 3) ja kulkemalla vektori AB = i + j k. OB = OA + AB = i j + 3k i + j k = i j + k Siis B = ( 1, 1,1). Selvitetään sitten kärkipisteen D paikkavektori lähtemällä pisteestä A(1,, 3) ja kulkemalla vektori AD = i + j + k. OD = OA + AD = i j + 3k + i + j + k = i + 0j + 4k = i + 4k Siis D = (,0,4).

86 Kärkipisteeseen C päästään kärkipisteestä B kulkemalla vektori BC. Koska sivu BC on yhdensuuntainen sivun AD kanssa ja pituudeltaan kolminkertainen sivuun AD verrattuna, on BC = 3AD. Siten kärkipisteen C paikkavektoriksi saadaan OC = OB + BC = OB + 3AD = i j + k + 3( i + j + k) = i j + k + 3i + 6j + 3k = i + 5j + 4k Siis C = (,5, 4). Vastaus B = ( 1, 1,1), C = (,5, 4) ja D = (,0, 4)

87 140 Merkitään suunnikkaan lävistäjien leikkauspistettä kirjaimella P. Tiedetään, että suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Siten lävistäjien leikkauspisteeseen P päästään kulkemalla pisteestä A alkavan lävistäjän puoliväliin. Kyseinen lävistäjä on a + b = i + 3j + 9k + 4i 5j + 7k = 6i j + 16 k. Muodostetaan pisteen P paikkavektori lähtemällä pisteestä A(3, 7, ) ja kulkemalla puolet vektorista a + b = 6i j + 16k. 1 OP = OA + ( a + b ) 1 = 3i + 7 j k + (6i j + 16 k) = 3i + 7j k + 3i j + 8k = 6i + 6j + 6k Leikkauspiste P on siis (6,6,6). Vastaus (6,6,6)

88 141 Muodostetaan yhtälö v = ra + sb + tc ja ratkaistaan kertoimet r, s ja t. v = ra + sb + tc 48i 64 j+ 80 k= ri ( j) + s(3i 4 k) + t(5 j 6 k) 48i 64 j + 80k = ri rj + 3si 4sk + 5tj 6tk 48i 64 j + 80k = ri + 3si rj + 5tj 4sk 6tk 48i 64 j+ 80 k= ( r+ 3 si ) + ( r+ 5 t) j+ ( 4s 6 tk ) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 48 = r+ 3s 64 = r + 5t 80 = 4s 6t Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella r = 63, s = 37 ja t = 38. Siis v = ra + sb + tc = 63a + 37b 38c. Vastaus v = 63a + 37b 38c

89 14 Muodostetaan yhtälö u = ra + sb + tc ja ratkaistaan kertoimet r, s ja t. u = ra + sb + tc 7i + 13 j 1 k= r( i j) + si ( + j+ k) + t( j 4 k) 7i + 13 j 1k = ri rj + si + sj + sk + tj 4tk 7i + 13 j 1k = ri + si rj + sj + tj + sk 4tk 7i + 13 j 1 k = ( r+ s) i + ( r+ s+ t) j + ( s 4 t) k Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 7= r+ s 13 = r+ s+ t 1 = s 4t Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella 48 t =. 7 Siis u = ra + sb + tc = a + b + c r =, 7 45 s = ja 7 Vastaus u = a + b + c 7 7 7

90 143 Käytetään hyväksi tehtävän 13 tulosta: kolmion painopisteen paikkavektori on kolmion kärkipisteiden paikkavektorien summa jaettuna luvulla 3. Kärkipisteen A( 6, 9,1) paikkavektori on OA = 6i + 9j + k. Kahden muun kärkipisteen paikkavektorit saadaan, kun kuljetaan pisteestä A lähtien vektorit a ja b. OA + a = 6i + 9j + k + i 6k = 4i + 9j 5k OA + b = 6i + 9j + k 4j + 8k = 6i + 5j + 9k Saatujen paikkavektoreiden summa on 6i + 9j + k 4i + 9j 5k 6i + 5j + 9k = 16i + 3 j + 5 k. Painopisteen P paikkavektoriksi saadaan 16i + 3 j + 5k = i + j + k, joten painopiste on P = (,, ) Vastaus P = (,, ) 3 3 3

91 144 Käytetään hyväksi tehtävän 13 tulosta: kolmion painopisteen paikkavektori on kolmion kärkipisteiden paikkavektorien summa jaettuna luvulla 3. (Vrt. myös edellinen tehtävä.) Nyt pohjakolmion kärkipisteiden paikkavektorit ovat 4i, 6 j ja 8k. Paikkavektoreiden summa on 4i + 6j + 8k. Kolmion painopisteen paikkavektoriksi saadaan 4i + 6j + 8k 4 8 = i + j + k, joten painopiste on 4 8 (,, ) 3 3. Vastaus 4 8 (,, ) 3 3

92 145 a) Suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituuden kaava on johdettu kurssissa 3. Tulosta soveltamalla saadaan avaruuslävistäjän pituudeksi = = 9. b) Vektorin v = i + 3j + 4k voidaan tulkita olevan sellaisen suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjä, jonka sivujen pituudet ovat, 3 ja 4. (Vrt. tehtävä 15.) Siten vektorin v pituus on sama kuin a-kohdassa laskettu avaruuslävistäjän pituus: v = 9. Vastaus a) 9 b) 9

93 146 Pisteen A(, 3, 4) paikkavektori on OA = i + 3j 4k. Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = i + 3j 4k + 8i + j + 8k = 6i + 4j + 4k Piste B on siis (6,4,4), joten jana AB kulkee pisteestä (, 3, 4) pisteeseen (6,4,4). Janan AB pisteistä xy-tasossa sijaitsee se piste, jonka z-koordinaatti on 0. Vertaamalla janan alku- ja loppupisteen z-koordinaatteja 4 ja 4 nähdään, että xy-tasossa sijaitseva piste on janan puolivälissä. Kyseiseen pisteeseen pääsee lähtemällä pisteestä A ja kulkemalla puolet vektorista AB. Merkitään pistettä kirjaimella C ja lasketaan sen paikkavektori. 1 OC = OA + AB 1 = i + 3j 4 k + (8i + j + 8 k) 1 = i + 3j 4k + 4i + j + 4k 7 = i + j + 0k Saadaan siis 7 C = (,,0). Vastaus 7 (,,0)

94 147 a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja niin edelleen. Siten pisteen P(3,,1,5) paikkavektori on OP = 3i j + k + 5l. b) Vektorin v = i j + k l pituus on 4. Siten liikkuminen ko. vektorin suuntaan 1 pituusyksikköä vastaa vektorin 3v kulkemista. Selvitetään pisteen Q paikkavektori lähtemällä pisteestä P(3,,1,5) ja kulkemalla vektori 3v. OQ = OP + 3v = 3i j + k + 5l + 3(i j + k l ) = 3i j + k + 5l + 6i 6j + 6k 6l = 9i 8j + 7k l Saadaan siis Q = (9, 8,7, 1). Vastaus a) OP = 3i j + k + 5l b) Q = (9, 8,7, 1)

95 Tekijä Pitkä matematiikka a) Määritetään vektori AB. Vektori pisteestä A (1,5, 3) pisteeseen B (4,3,9) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = (4 1) i + (3 5) j + (9 3) k = 3i j + 6k b) Pisteiden A ja B välinen etäisyys on sama kuin vektorin AB pituus. AB = 3 + ( ) + 6 = = 49 = 7 Vastaus a) AB = 3i j + 6k b) 7

96 149 a) Määritetään ensin vektori AP. Vektori pisteestä A(1,, 7) pisteeseen P (,0,5) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AP = ( 1) i + (0 ( )) j + (5 7) k = i + j k Piste P on janan AB keskipiste. Siten vektori AB on samansuuntainen ja kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori AP : AB = AP = ( i + j k) = i + 4j 4 k. b) Janan AB pituus on sama kuin vektorin AB pituus. AB = ( 4) = = 36 = 6

97 c) Pisteen A(1,, 7) paikkavektori on OA = i j + 7k. Määritetään päätepisteen B paikkavektori lähtemällä pisteestä A ja kulkemalla vektori AB. OB = OA + AB = i j + 7k + i + 4j 4k = 3i + j + 3k Siten B = (3,, 3). Vastaus a) AB = i + 4j 4k b) 6 c) B = (3,, 3)

98 150 Muodostetaan ensin vektori 3b a. 3b a = 3( i 4 j k) (4i + j 5 k) = 6i 1 j 3k 8i j + 10k = 14i 14 j + 7k Vektorin 3b a pituus on 3b a = ( 14) + ( 14) + 7 = 441 = 1. Vastaus 1

99 151 a) Vektorin v = i + j k pituus on v = ( ) = = 9 = 3. Vektorin v suuntainen yksikkövektori on v = v = (i + j k) = i + j k. v b) Vektorin u = i + j + k pituus on u = = = 3. Vektorin u suuntainen yksikkövektori on u = u = ( i + j + k) = i + j + k. u c) Vektorin s = i j k pituus on s = ( ) + ( ) + ( ) = + + = = Koska vektorin s pituus on 1, vektori on yksikkövektori. Siten s = s = i j k Vastaus a) b) c) 0 1 v = i + j k u = i + j + k s = s

100 15 Merkitään pistettä, johon päädytään kirjaimella B. Piste B saadaan selville määrittämällä sen paikkavektori OB. Selvitetään ensin pisteen A paikkavektori OA ja vektorin a suuntainen 0 yksikkövektori a. Pisteen A(5,,3) paikkavektori on OA = 5i j + 3k. Vektorin a = 6i 6j + 3k pituus on a = 6 + ( 6) + 3 = = 81 = 9. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a = (6i 6 j + 3 k) = i j + k. a Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + 1 a 0 1 = 5i j + 3k + 1 ( i j + k) = 5i j + 3k + 8i 8j + 4k = 13i 10 j + 7k Päädytään siis pisteeseen (13, 10,7). Vastaus pisteeseen (13, 10,7)

101 153 a) Piste B saadaan selville määrittämällä sen paikkavektori OB. Selvitetään ensin vektorien v ja u suuntaiset yksikkövektorit 0 0 v ja u. Vektorin v = i + 4j 4k pituus on v = ( ) ( 4) = = 36 = 6. Vektorin v suuntainen yksikkövektori on v = v = ( i + 4j 4 k) = i + j k. v Vektorin u = i + j + 3k pituus on u = ( 1) + ( ) + 3 = = =. 4 4 Vektorin u suuntainen yksikkövektori on u = u = ( i + j + 3 k) = i + j + k. u 7 ( ) 7 7 7

102 Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = 18 v + 7 u = 18 ( i + j k) + 7 ( i + j + k) = 6i + 1 j 1k i + 3 j + 6k = 8i + 15 j 6k Siis piste B on B = ( 8,15, 6). b) Pisteen B ja origon välinen etäisyys on sama kuin vektorin OB pituus. OB = ( 8) ( 6) = 35 = 5 13 Päädyttiin siis 5 13 pituusyksikön päähän lähtöpisteestä. Vastaus a) B = ( 8,15, 6) b) 5 13 pituusyksikön päähän

103 154 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a arvoilla. = rb, r 0, ratkaisu joillain vakion t a = rb 6i 1 j + 4 tk = r(3i + tj 1 k ) 6i 1 j + 4tk = 3ri + rtj 1rk Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 6 = 3 r (1) 1 = rt () 4t = 1 r (3) Ratkaistaan muuttuja r yhtälöstä 1. 6= 3r r = Ratkaistaan muuttuja t yhtälöstä. 1 = rt 1 = t t = 6

104 Tarkistetaan, että arvot r = ja t = 6 toteuttavat myös yhtälön 3. 4t = 1r 4 ( 6) = 1 4 = 4 tosi Siis arvolla t = 6 vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset. Koska tällöin a = rb = b ja > 0, niin vektorit ovat samansuuntaiset. Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun 6 t =. Vektorit ovat tällöin samansuuntaiset.

105 155 Vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen negatiivinen reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u = rv, r < 0, ratkaisu. u = rv i + 5 j 6 k = r( i j + k) i + 5 j 6k = ri rj + rk Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 3 1 = r = r = r 10 Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 5 r = ( 1) = 5 ( 4) = r = 5 = r = ( 6) = 10 ( ) = 0 3 Saatiin yksikäsitteinen ratkaisu r = 0, joten u = 0v. Koska 0 < 0, vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset.

106 156 a) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u = rv, r 0, ratkaisu. u = rv 11ti 9 j + 6 tk = r(( t + ) i + 3 j tk ) 11ti 9 j + 6 tk = r( t + ) i + 3rj rtk Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 11 t= rt ( + ) 9 = 3r 6t = rt Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella r = 3 ja 3 Siis arvolla t = vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset. 4 Koska tällöin u = rv = 3v ja 3< 0, niin vektorit ovat erityisesti vastakkaissuuntaiset. 3 t =. 4 b) a-kohdan perusteella vektorit u ja v ovat 3 vastakkaissuuntaiset silloin, kun t =. 4

107 c) a-kohdan perusteella vektorit u ja v eivät ole samansuuntaiset millään vakion t arvolla. 3 Vastaus a) t = 4 3 b) t = 4 c) ei millään vakion t arvolla

108 157 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. a) Kuution särmät määräytyvät vektoreista j + k, k j ja i. Särmän pituus saadaan laskemalla minkä tahansa em. vektorin pituus. Esimerkiksi j + k = = tai i = ( ) =. Särmän pituus on siis.

109 b) Origosta lähtevä avaruuslävistäjävektori saadaan, kun lasketaan yhteen kaikki kolme vektoria, jotka määräävät kuution sivusärmät. (Kyseinen vektori näkyy oheisessa kuvassa katkoviivalla.) j + k + k j i = i + k c) Origosta katsottuna kaukaisin kärkipiste on se, johon päästään kulkemalla origosta lähtevä avaruuslävistäjävektori. Tämä vektori on juuri b-kohdassa laskettu vektori. Kaukaisin kärkipiste on siten (,0,). Vastaus a) b) i + k c) (,0,)

110 158 a) Määritetään ensin vektori AB. Vektori pisteestä A = (6,,3) pisteeseen B = ( 3,, ) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = ( 3 6) i + ( ( )) j + ( 3) k = 9i + 4j 5k Vektorin AB pituus on AB = ( 9) ( 5) = 1 11.

111 b) Piste P on janan AB keskipiste. Pisteeseen P päästään siis lähtemällä pisteestä A ja kulkemalla puolet vektorista AB. Pisteen A(6,,3) paikkavektori on OA = 6i j + 3k. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 1 = 6i j + 3 k + ( 9i + 4j 5 k) 9 5 = 6i j + 3k i + j k 3 1 = i + 0 j + k Siis 3 1 P = (,0, ). Vastaus a) AB b) P = (,0, )

112 159 a) Vektori pisteestä A(, 9,1) pisteeseen B( 5,5,5) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = ( 5 ) i + (5 ( 9)) j + (5 1) k = 7i + 14 j + 4k b) Piste P jakaa janan AB suhteessa : 5. Yhteensä jakovälejä on siis + 5 = 7, ja pisteeseen P päästään pisteestä A kulkemalla 7 vektorista AB. Pisteen A(, 9,1) paikkavektori on OA = i 9j + k. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP = OA + AB 7 = i 9 j + k + ( 7i + 14 j + 4 k) 7 8 = i 9j + k i + 4j + k 7 15 = 0i 5j + k 7 Siis 15 P = (0, 5, ). 7 Vastaus a) AB = 7i + 14 j + 4k 15 b) P = (0, 5, ) 7

113 160 Suunnikkaan lävistäjät ovat janat AC ja BD. Muodostetaan janoja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. AC = (17 8) i + (0 ( 7)) j + ( 10 3) k = 9i + 7 j 13k AC = ( 13) = 99 ( 17,3) BD = ( 8 33) i + (3 ( 39)) j + ( 57 50) k = 41i + 71 j 107k BD = ( 41) ( 107) = = ( 134,8) Pidemmän lävistäjän pituus on Vastaus 3 019

114 161 Kolmion sivut määräytyvät vektoreista u = i + 3j + 7k, v = 5i + 8j k ja näiden erotusvektorista u v = i + 3j + 7 k ( 5i + 8j k) = i + 3j + 7k + 5i 8j + k = 7i 5j + 9 k. Jos kolmio on suorakulmainen, sen sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen. Lasketaan kolmion sivujen pituudet ja tarkistetaan, toteuttavatko ne Pythagoraan lauseen. u = = 6 v = ( 5) ( ) = 93 u v = + + = 7 ( 5) Nähdään, että kolmion pisimmän sivun määrää vektori u v. Tarkistetaan, toteuttavatko sivujen pituudet Pythagoraan lauseen. u + v = u v = = 155 tosi Kolmion sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen, joten kolmio on suorakulmainen. Vastaus on

115 16 a) Merkitään hyttysen lähtöpistettä kirjaimella A ja päätepistettä kirjaimella B. Piste B saadaan selville määrittämällä sen paikkavektori OB. Selvitetään ensin paikkavektori OA sekä vektorien a ja b suuntaiset 0 0 yksikkövektorit a ja b. Pisteen A (,3,0) paikkavektori on OA = i + 3j. Vektorin a = i j + k pituus on a = + ( ) + 1 = 9 = 3. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a = (i j + k) = i j + k. a Vektorin b = 3i + 6j + k pituus on b = ( 3) = 49 = 7. Vektorin b suuntainen yksikkövektori on b = b = ( 3i + 6j + k) = i + j + k. b

116 Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + 10 a b = i + 3 j + 10 ( i j + k) ( i + j + k) = i + 3 j + 140i 140 j + 70k 150i j + 100k = 8i j + 170k Hyttynen päätyy pisteeseen ( 8,163,170). b) Määritetään pisteiden A (,3,0) ja B( 8,163,170) välinen etäisyys muodostamalla vektori AB ja laskemalla sen pituus. AB = ( 8 ) i + (163 3) j + (170 0) k = 10i j + 170k AB = ( 10) = = Hyttynen päätyi siis pituusyksikön päähän lähtöpisteestä. Vastaus a) ( 8,163,170) b) pituusyksikön päähän

117 163 a) Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu. a = rb (3t 1) i + tj + (6t 1) k = r(i + 4 tj + (6t + ) k ) (3t 1) i + tj + (6t 1) k = ri + 4 rtj + r(6t + ) k Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 3t 1 = r (1) t = 4 rt () 6t 1 = r(6t+ ) (3) Jos t = 0, yhtälö toteutuu aina. Sijoitetaan t = 0 yhtälöön 1 ja ratkaistaan muuttuja r. 3t 1= r r = 3t 1= 0 1= 1 1 r =

118 Tarkistetaan, että arvot yhtälön 3. 1 r = ja t = 0 toteuttavat myös 6t 1 = r(6t+ ) = (0 + ) 1 1= 1= 1 tosi Oletetaan sitten, että t 0. Tällöin yhtälöryhmän yhtälöstä saadaan t = 4 rt : t = 4r 1 r = = 4

119 Sijoitetaan 3t 1= r 1 3t 1= = 1 3t = 1+ 1= t = 3 1 r = yhtälöön 1 ja ratkaistaan muuttuja t. 1 Tarkistetaan, että arvot r = ja yhtälöryhmän yhtälön 3. 6t 1 = r(6t+ ) = (6 + ) = (4 + ) 3= 3 tosi t = toteuttavat myös 3 Yhtälöparille saatiin siis kaksi ratkaisua: 1 r = ja t =. 3 1 r = ja t = 0 sekä

120 Kun t = 0, vektorit ovat a = (3t 1) i + tj + (6t 1) k = i + 0 j k = i k ja b = i + 4 tj + (6t + ) k = i + 0j + k = i + k. Koska tällöin 1 1 a = rb = b ja < 0, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. Kun t =, vektorit ovat 3 4 a = (3t 1) i + tj + (6t 1) k = i + j + 3k ja 3 8 b = i + 4 tj + (6t + ) k = i + j + 6k. Koska tällöin 3 1 a = rb = b ja 1 > 0, niin vektorit ovat samansuuntaiset. Kaiken kaikkiaan siis vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset (eli samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset) silloin, kun t = 0 tai t =. 3 b) a-kohdan perusteella vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset silloin, kun t = 0. c) a-kohdan perusteella vektorit a ja b ovat samansuuntaiset silloin, kun t =. 3 Vastaus a) t = 0 tai b) t = 0 c) t = 3 t = 3

121 164 Käytetään hyväksi tehtävän 13 tulosta: kolmion painopisteen paikkavektori on kolmion kärkipisteiden paikkavektorien summa jaettuna luvulla 3. Kärkipisteen A(1, 3, 3) paikkavektori on OA = i 3j + 3k. Kärkipisteen B( 3,6,7) paikkavektori on OB = 3i + 6j + 7k. Kärkipisteen C( 4,0, ) paikkavektori on OC = 4i + k. Paikkavektoreiden summa on OA + OB + OC = i 3j + 3k 3i + 6j + 7k 4i + k = 6i + 3 j + 1 k. Painopisteen paikkavektoriksi saadaan 6i + 3 j + 1k 3 = i + j + 4 k, joten painopiste on (,1, 4). Vastaus (,1, 4)

122 165 Pallon keskipiste on P( 3,1, 1) ja säde on 13. Jos piste on z-akselilla, sen x- ja y-koordinaatit ovat 0. Siten z- akselilla olevat pisteet ovat muotoa Q(0,0, z ), missä z on reaaliluku. Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (0 ( 3)) i + (0 1) j + ( z ( 1)) k = 3i 1 j + ( z+ 1) k Vektorin PQ pituus on PQ z z = 3 + ( 1) + ( + 1) = ( + 1). Jos piste Q on pallon piste, se sijaitsee säteen etäisyydellä pallon keskipisteestä P. Pisteiden Q ja P välinen etäisyys on sama kuin vektorin PQ pituus. Muodostetaan yhtälö PQ = 13 ja ratkaistaan muuttujan z arvo laskimella ( z + 1) = 13 z = 3 tai z = 5 Siis ne pallon pisteet, jotka sijaitsevat z-akselilla, ovat (0,0,3) ja (0,0, 5). Vastaus (0,0,3) ja (0,0, 5)

123 166 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. a) Piste P on purkin pohjan reunaympyrällä (etäisyydellä 6 origosta), jos z = 0 ja vektorin OP pituus on 6. Koska (ehdolla z = 0) OP = x + y + z = x + y, saadaan kertoimille x ja y ehto x + y = 6 eli x + y = 36. b) Piste P on purkin kannessa, jos z = 1 ja piste sijaitsee purkkia rajaavalla reunaympyrällä tai sen sisäpuolella eli korkeintaan etäisyydellä 6 z-akselista. a-kohtaa apuna käyttäen voidaan päätellä, että vaatimus johtaa ehtoon x + y 6 eli x + y 36. c) Piste P on purkin vaipalla, jos 0 z 1 ja kertoimet x ja y toteuttavat saman ehdon kuin a-kohdassa eli x + y = 36. Vastaus a) z = 0 ja x + y = 36 b) z = 1 ja x + y 36 c) 0 z 1 ja x + y = 36

124 167 a) Lähestytään neliulotteisen avaruuden vektoreita kaksi- ja kolmiulotteisen avaruuden vektorien kautta. Olkoon kaksiulotteisessa avaruudessa (eli tasossa) suorakulmion lävistäjä xi + yj. Lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen mukaan xi + yj = x + y. Vastaavasti kolmiulotteisessa avaruudessa suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän xi + yj + zk pituus on xi + yj + zk = x + y + z. Kaavan voi johtaa soveltamalla Pythagoraan lausetta kuvan kolmiossa, jossa kateetit määräävät vektorit xi + yj ja zk ja hypotenuusan vektori xi + yj + zk. Kateettien pituudet ovat x + y ja zk = z ja hypotenuusan pituuden neliö on kateettien pituuksien neliöiden summana ( x + y ) + z = x + y + z.