MIKE KOIVISTO JOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHIN. Kandidaatintyö

Transkriptio

1 MIKE KOIVISTO JOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHIN Kandidaatintyö Tarkastaja: Simo Ali-Löytty Palautettu:

2 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma MIKE KOIVISTO: Johdatus WLAN-paikannusmalleihin Kandidaatintyö, 25 sivua, 2 liitesivua Syyskuu 2013 Pääaine: Matematiikka Tarkastaja: Simo Ali-Löytty Avainsanat: WLAN-paikannus, kuuluvuusalue, path loss, fingerprint-menetelmä, MCintegrointi Langattomaan lähiverkkoon perustuva WLAN-paikannus on tavallisesti sisätiloissa, mutta tiheästi asutuilla alueilla kuten kaupungeissa myös ulkotilassa tapahtuvaa käyttäjän sijainnin määrittämistä. Paikantamiseen tarvittava informaatio saadaan käyttäjän päätelaitteen ja WLAN-tukiaseman välisestä vuorovaikutuksesta. Tässä vuorovaikutuksessa päätelaite havaitsee tukiasemien lähettämät radiosignaalit tietyllä voimakkuudella. Käyttäjän sijaintia voidaan arvioida signaalien voimakkuustietoihin ja havaittuihin tukiasemiin pohjautuvalla informaatiolla. Tähän arvioimiseen käytetään erilaisia matemaattisia malleja, joiden paikannustarkkuudet, paikannukseen käytetyt ajat ja resurssien tarpeet vaihtelevat. Tässä työssä on tarkoitus esitellä sisätiloissa tapahtuvan paikannuksen matemaattisia malleja ja niiden ratkaisuja. Työssä keskitytään pääasiassa malleissa käytettyyn matematiikkaan ja siihen, miten mallit voidaan ratkaista matemaattisia menetelmiä käyttäen. Lisäksi työssä esitellään lyhyesti paikannuksessa yleisesti käytettyjä approksimatiivisia menetelmiä. Malleja ja niiden ratkaisuja visualisoidaan MATLABohjelmistolla luoduilla kuvilla ja lopuksi malleja vertaillaan keskenään sanallisin ja numeerisin menetelmin.

3 III ALKUSANAT Tämä tekniikan kandidaatintyö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitokselle. Kiitän kandidaatintyön ohjaajaa ja tarkastajaa TkT Simo Ali-Löyttyä mielenkiintoisesta kandidaatintyön aiheesta sekä avusta ja neuvoista työn tekemisessä. Lisäksi haluan kiittää DI Henri Nurmista avusta ja opastuksesta ohjelmistojen käytössä.

4 IV SISÄLLYS 1. Johdanto WLAN-paikannusmallien teoria Yksinkertainen malli Fingerprint-menetelmä Ellipseistä muodostettu kuuluvuusaluemalli Path loss -malli Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi Analyyttiset menetelmät Grid-menetelmät MCMC-menetelmät Monte Carlo -integrointi Mallien testaaminen Yhteenveto Lähteet A. Teorialiite

5 V TERMIT JA SYMBOLIT x S N R f : B C A A T A 1 A R n n rank(a) x R n x i x on joukon S alkio luonnollisten lukujen joukko reaalilukujen joukko funktio määrittelyjoukosta B arvojoukkoon C matriisi matriisin A transpoosi matriisin A inverssi n n reaaliarvoinen matriisi matriisin A aste n-ulotteinen reaaliarvoinen vektori indeksoitu vektori, tukiaseman i koordinaattivektori 1 R n n-ulotteinen ykkösvektori [1,1,..., 1] T x ˆx x N(µ, Σ) x U(a,b) argminf(x) x log a (x) ln(x) E[w(x)] p(x) p(x y) vektorin x euklidinen normi x:n estimaatti satunnaismuuttuja, joka on normaalijakautunut parametrein µ ja Σ satunnaismuuttuja, joka on tasajakautunut välille (a,b) muuttujan x arvo, joka minimoi funktion f(x) muuttujan x a-kantainen logaritmi muuttujan x luonnollinen logaritmi integraali satunnaismuuttuja-arvoisen funktion odotusarvo satunnaismuuttujan x tiheysfunktio satunnaismuuttujan x ehdollinen tiheysfunktio ehdolla y WLAN UE AP FP RSS RM langaton lähiverkko (wireless local area network) käyttäjän päätelaite (user equipment) WLAN-tukiasema (access point) sormenjälki, fingerprint-menetelmä WLAN-tukiaseman lähettämän signaalin voimakkuus (radio signal strenght) tukiaseman signaalin voimakkuuskartta (radio map)

6 1 1. JOHDANTO Teknologian nopea kehittyminen, erityisesti helposti liikuteltavien laitteiden eli mobiililaitteiden osa-alueella, on vaikuttanut suuresti käyttäjien paikannukseen. Mobiililaitteen avulla tehtävän paikannuksen tulee olla nopeaa ja mahdollisimman vähän laitteen resursseja kuluttavaa. Ulkotiloissa tapahtuva, satelliittien avulla suoritettava paikannus on viety viimeisten vuosien aikana lähes äärimmilleen, mutta vasta langattomien verkkojen yleistyessä on alettu pohtimaan sisätiloissa tapahtuvan paikannuksen mahdollisuuksia. Ihminen viettää suuren osan päivästään sisätiloissa esimerkiksi työpaikalla ja kaupoissa. Mobiililaitteen kyky vastaanottaa satelliiteista tulevaa signaalia sisätiloissa on kuitenkin epävarmaa ja siksi sisätiloissa tapahtuva paikannus on suoritettava käyttämällä muuta satavilla olevaa tietoa. Tämä ongelma on ratkaistu kehittämällä menetelmiä ja malleja, jotka käyttävät sisätiloissa WLAN-tukiasemien signaaleja käyttäjän paikantamiseen. Tätä mallien kokonaisuutta kutsutaan sisätila- tai WLAN-paikannukseksi. Tämän kandidaatintyön alussa, kappaleessa 2, esitellään neljä erilaista, kaksiulotteista matemaattista paikannusmallia käyttäjän sijainnin määrittämiseen. Nämä mallit ovat yksinkertainen malli, fingerprint-menetelmään pohjautuva malli, kuuluvuusaluemalli sekä path loss -malli. Kappaleessa kerrottaan malleissa käytetystä matematiikasta ja mallien ratkaisumenetelmistä. Kappaleessa 3 kerrotaan tarkemmin path loss -mallin erilaisista approksimatiivisista ratkaisumenetelmistä, sekä kappaleen lopussa esitellään Markovin ketjuun pohjautuva, numeerinen Monte Carlo -integrointimenetelmä. Ennen yhteenvetoa, kappaleessa 4, visualisoidaan MATLAB-ohjelmistolla luoduin kuvin aiemmin esiteltyjä paikannusmalleja. Lisäksi samassa kappaleessa mallien ratkaisuja arvioidaan sanallisin ja numeerisin menetelmin.

7 2 2. WLAN-PAIKANNUSMALLIEN TEORIA Langattomaan lähiverkkoon eli WLAN:in perustuva paikannus on käyttäjän päätelaitteen (UE, user equipment) ja WLAN-tukiaseman (AP, access point) välistä vuorovaikutusta. WLAN:n avulla käyttäjä voidaan paikantaa joko sisätiloissa tai tiheästi asutuilla alueilla, kuten kaupungeissa, myös ulkona. Tässä työssä keskitytään sisätiloissa tapahtuvaan WLAN-paikannukseen. UE:lla tarkoitetaan tässä työssä pienehköä, helposti liikuteltavaa laitetta, jolla pystytään olemaan yhteydessä langattomaan lähiverkkoon. 2.1 Yksinkertainen malli Yksinkertaisessa paikannusmallissa oletetaan, että käyttäjä tietää jokaisen kuulemansa tukiaseman koordinaatit. Näin ollen jokaiselle AP:lle voidaan kirjoittaa kaksiulotteinen, vektorimuotoinen sijainti AP i = x i = x i y i, (2.1) missä alaindeksi i N kuvaa käyttäjän vastaanottimen kuulemaa AP:n indeksiä. Oletetaan, että käyttäjä vastaanottaa signaalia n:stä AP:sta ja niiden sijainnit ovat muotoa x i, missä i = 1,..., n. Yksi tapa ratkaista käyttäjän kaksiulotteisen sijainnin x = x arvio eli estimaatti ˆx on pienimmän neliösumman menetelmä, mikä y minimoi käyttäjän sijainnin ja tukiasemien välisten etäisyyksien virheen [1, s. 72]. Lause (Pienimmän neliösumman menetelmä) Olkoon x R n tuntematon vektori ja y R m tunnettu vektori, sekä A R m n tunnettu matriisi ja joille pätee m n. Tällöin on olemassa ratkaisu ongelmalle argmin y Ax 2. x Ongelman ratkaisu on yksikäsitteinen jos ja vain jos rank(a) = n. Tällöin A T A on positiivisesti definiitti ja kääntyvä [1, s. 40], jolloin argmin y Ax 2 = (A T A) 1 A T y x

8 2. WLAN-paikannusmallien teoria 3 Todistus. Merkitään minimoitavaa yhtälöä S(x) ja muotoillaan yhtälö muotoon Ratkaistaan derivaatan nollakohta S(x) = y Ax 2 = (y Ax) T (y Ax) 0 = ds dx = d dx [18, s. 5-7] = ( (y Ax) T (y Ax) ) d dx (yt y y T Ax x T A T y + x T A T Ax) x=ˆx = y T A y T A + ˆx T (A T A + A T A) = 2y T A + 2ˆx T A T A ˆx = (A T A) 1 A T y Todetaan, että ratkaisu on globaali minimi ratkaisemalla funktion S(x) Hessen matriisi eli toisen kertaluvun derivaattamatriisi H. H = d2 S dx = d ( 2y T A + 2x T A T A ) = 2A T A 2 dx Oletuksen mukaan A T A on positiivisesti definiitti [1, s. 74], jolloin kyseinen ääriarvo ˆx on globaali minimi [4, s. 99]. Matriisin symmetrisyyden ja definiittisyyden määritelmät on esitetty liitteessä A. Aiemmin esitetyssä kaksiulotteisessa minimointiongelmassa pyritään siis käyttäjän ja kuultujen AP:n välisten etäisyyksien neliöiden summan minimointiin, mikä voidaan kirjoittaa lauseen avulla muotoon ( ˆx =argmin x1 x 2 + x 2 x x n x 2) x n =argmin x i x 2 x i=1 =argmin A 1x T 2 x (2.2) Yhtälössä (2.2) esiintyvä matriisi A = [AP1 T, AP2 T,, APn T ] T = [x1 T, x2 T,, xn T ] T R n 2 (2.3) on muodostettu vaakariveittäin kuultujen AP:n koordinaattien mukaan siten, että matriisin ensimmäisellä vaakarivillä on ensimmäisen kuullun AP:n koordinaatit. Merkintä 1 tarkoittaa n-ulotteista pystyvektoria, jonka kaikki alkiot ovat ykkösiä.

9 2. WLAN-paikannusmallien teoria 4 AP4 x 4 x AP2 x 2 x x 1 x AP3 AP1 Kuva 2.1: Havainnollistava esimerkki pienimmän neliösumman menetelmästä tukiasemien ja käyttäjän välisen etäisyyden minimoimisessa kolmen kuullun AP:n tapauksessa Minimointiongelman ratkaisuksi saadaan tällöin tuloksen (2.1.1) mukaan ˆx = ( (1 T 1) 1 1 T A ) T [1, s. 39] = A T 1(1 T 1) 1 1 n (1 T 1) 1 = 1 n = = x 1 x 2 x n [1, 1,, 1] T y 1 y 2 y n 1 (x n 1 + x x n ) 1 (y. n 1 + y y n ) (2.4) Käyttäjän paikkaestimaatti eli kaksiulotteisen minimoitiongelman ratkaisu ˆx on siis kuultujen AP:n x- ja y-koordinaattien keskiarvo. Yksinkertaisen mallin suurin heikkous on, että todellisuudessa tukiasemien tarkat sijainnit eivät ole tiedossa vaan niiden sijainnit estimoidaan ennalta kerätystä opetusdatasta. 2.2 Fingerprint-menetelmä Fingerprint-menetelmä (FP-menetelmä) on paikannusmenetelmä, joka koostuu kahdesta erillisestä vaiheesta. Ensimmäinen vaihe on opetusdatan keräämisvaihe, mikä suoritetaan paikannuskohteessa mahdollisimman monessa eri sijainnissa siten, että opetusdatapisteet kattavat koko tilan. Opetusdata sisältää tiedot käyttäjän sijainneista ja niissä tehdyistä WLAN-skannauksista. Sijaintitieto, esitetty kuvassa 2.2,

10 2. WLAN-paikannusmallien teoria 5 kertoo käyttäjän sijainnin kaksiulotteisena koordinaattina ja WLAN-skannausten avulla saadaan sijainnista selville muun muassa kuuluvien tukiasemien BSSID:t (tukiaseman tunniste) sekä tukiasemien RSS-arvot (tukiaseman lähettämän signaalin voimakkuus). Radiomap FPs AP position estimate Kuva 2.2: Skannausinformaatio, josta käy ilmi senhetkinen sijainti, kuultujen tukiasemien ID:t sekä kyseisten tukiasemien RSSarvot kyseisessä sijainnissa Kuva 2.3: Esimerkki yhdelle tukiasemalle muodostetusta RM:sta Opetusdatan keräämisen jälkeen data lajitellaan siten, että kutakin tukiasemaa kohti on tietty määrä sijainteja, joissa kyseinen tukiasema on kuultu (kuvat 2.4 ja 2.5). Edellä mainittuihin kaksiulotteisiin koordinaattitietoihin voidaan lisätä tieto sijainnissa kuullusta AP:n signaalin voimakkuudesta. Opetusdatapisteitä kutsutaan myös sormenjäljiksi (fingerprint), sillä jokaisesta skannatusta sijainnista saadaan erilainen opetusdatainformaatio. Kyseisen opetusdatan perusteella voidaan luoda paikan funktiona koko tilan kattava, signaalien voimakkuuksista muodostuva RM (Radio Map) tai kuuluvuusaluemalli paikannusmenetelmästä riippuen [9, s. 2]. Kuva 2.4: Eri sijainneissa suoritetut esimerkkiskannaukset opetusdatatietokannan luomista varten Kuva 2.5: opetusdatan sijaintitietojen luokittelu kahdelle tukiasemalle AP1 (merk. rastilla) ja AP2 (merk. ympyrällä) Toinen FP-menetelmän vaihe on paikannusvaihe, jossa UE:n vastaanottamia signaaleja verrataan datan keräämisvaiheessa muodostettun RM:n arvoihin tai kuulu-

11 2. WLAN-paikannusmallien teoria 6 vuusaluemalliin tilanteesta riippuen. Arvio käyttäjän senhetkisestä sijainnista saadaan ratkaistua erilaisia algoritmeja käyttämällä [9, s. 3]. 2.3 Ellipseistä muodostettu kuuluvuusaluemalli Paikannuksessa voidaan käyttää hyödyksi kuultujen AP:n elliptisiä kuuluvuusalueita. AP:n kuuluvuusalue on muodostettu opetusdatan perusteella niistä pisteistä, joissa AP on kuultu. Ellipsi määritellään tavallisesti analyyttisessä geometriassa määritelmän mukaisessa algebrallisessa esitysmuodossa Määritelmä Ellipsi on niiden pisteiden (x, y) joukko, jotka toteuttavat yhtälön ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, missä b 2 4ac < 0 [11]. Lause Ellipsin yhtälö voidaan ryhmitellä määritelmän mukaisesti muotoon (x µ) T A 1 (x µ) = 1, missä µ R 2 on ellipsin keskipiste, x = positiivisesti definiitti matriisi. x y ja A R 2 2 on symmetrinen ja Todistus. Tutkitaan tapauksia, joissa määritelmän mukaisella yhtälöllä on useita ratkaisuja. Tällöin ellipsin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti missä ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 x T A 1 x + b T x + f = 0, x = x, b = d ja A 1 = y e a 1 2 b 1 2 b c Matriisi A 1 on symmetrinen matriisi liitteessä A esitetyn symmetrisyyden määritelmän nojalla.. Määritelmän ehdosta b 2 4ac < 0 seuraa, että vakioiden a ja c tulee olla samanmerkkiset (yleisyyttä rajoittamatta sovitaan, että ne ovat positiivisia), sillä b 2 4ac < b2 < ac b2 < ac.

12 2. WLAN-paikannusmallien teoria 7 Samasta ehdosta seuraa, että matriisi A 1 on kääntyvä, sillä det (A 1 ) = ac 1 4 b2 = 1 4 (b2 4ac) > 0. Matriisi A 1 on lisäksi positiivisesti definiitti jos ja vain jos sen reaaliset ominaisarvot ovat positiivisia. Matriisin ominaisarvot ovat ominaisarvoyhtälön det (λi A 1 ) = λ 2 tr(a 1 )λ + det (A 1 ) ratkaisut, jotka voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla. Yhtälössä oleva merkintä tr(a 1 ) tarkoittaa matriisin A 1 jälkeä eli diagonaalialkioiden summaa. Matriisin ominaisarvot λ = a + c ± (a + c) 2 + (b 2 4ac). 2 Ominaisarvot ovat reaalisia, koska diskriminantti D = (a + c) 2 + (b 2 4ac) = (a c) 2 + b 2 0. Matriisin ominaisarvot ovat lisäksi positiivisia, koska D 0 ja neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, eli voidaan kirjoittaa 0 (a + c) 2 + (b 2 4ac) < (a + c) 2 = a + c, jolloin koko ominaisarvojen ratkaisun osoittaja a + c ± Tämän nojalla matriisi A 1 on positiivisesti definiitti. (a + c) 2 + (b 2 4ac) > 0. Edelleen yhtälö x T A 1 x + b T x + f = 0 voidaan kirjoittaa muotoon ( x + 1 ) T ( 2 A 1 1 b A 1 x + 1 ) 2 A 1 1 b = 1 4 bt A 1 1 b f. Tällä yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja jos 1 4 bt A 1 1 b f < 0, yhtälöllä on yksi ratkaisu 1 2 A 1 1 b jos 1 4 bt A 1 1 b f = 0 ja useita ratkaisuja, kun 1 4 bt A 1 1 b f = cd2 bde + ae 2 4ac b 2 f > 0, josta saadaan ehto cd 2 bde+ae 2 4acf +fb 2 > 0. Merkitään vakiotermiä selvyyden vuoksi k = 1 4 bt A 1 1 b f. Tarkastellaan vain mielekästä tilannetta, jolloin yhtälöllä on useita ratkaisuja eli k > 0. Nyt voidaan kirjoittaa ( x + 1 ) T ( 2 A 1 1 b A 1 ( x + 1 T ( 1 2 A 1 1 b) k A 1 (x µ) T A 1 (x µ) = 1, x A 1 ) 1 b = k ) ( x A 1 1 b ) = 1

13 2. WLAN-paikannusmallien teoria 8 missä µ = 1 ( ) 1 2 A 1 1 b ja A = 4 bt A 1 1 b f A 1 1. Matriisi A, jota kutsutaan myös ellipsin kovarianssimatriisiksi, on positiivisesti definiitti, koska A 1 on positiivisesti definiitti ja vakio k = 1 4 bt A 1 1 b f > 0. Kaikki lauseen muotoa olevat yhtälöt voidaan kirjoittaa määritelmän muotoon, missä matriisin A 1 determinantin positiivisuudesta seuraa ehto b 2 4ac < 0. Lauseessa esitetty ellipsin kovarianssimatriisi voidaan sen symmetrisyyden ja definiittisyyden ansiosta kirjoittaa similaarimuunnoksen [1, s. 69] avulla muotoon A = [ u v ] a2 0 0 b 2 ut v T, (2.5) missä u R 2 ja v R 2 ovat ellipsin isoakselin ja sitä kohtisuorassa olevan akselin suuntaiset yksikkövektorit [1, s. 10]. Iso- ja pikkuakselin pituudet ovat a ja b ja pituuksien neliöt a 2 ja b 2 ovat ellipsin kovarianssimatriisin ominaisarvot ja u ja v niitä vastaavat ominaisvektorit (kuva 2.6) [1, s. 63]. Kuva 2.6: Ellipsin kovarianssimatriisin parametrien geometrinen tulkinta Kuva 2.7: Ellipsin muodostaminen kartioleikkausmenetelmällä [20] Kahden ellipsin leikkauspisteet voidaan määrittää kartioleikkausmenetelmällä (kuva 2.7) käyttäen Hillin algoritmia [10, s. 12]. Ellipsin määritelmän mukaan ellipsin yhtälö voidaan kirjoittaa karakteristisessa muodossa [ ] [ ] T x y 1 Q x y 1 = 0, missä a b/2 d/2 Q = b/2 c e/2 (2.6) d/2 e/2 f on ellipsin karakteristinen matriisi. Tavallisten funktioiden leikkauspisteitä ratkaistaessa yhtälöt merkitään yhtäsuuriksi. Vastaavalla tavalla kahden ellipsin leikkaukselle voidaan kirjoittaa mielivaltaisen vakion λ R avulla 0 = x T Q 1 x λx T Q 2 x = x T (Q 1 λq 2 )x, (2.7)

14 2. WLAN-paikannusmallien teoria 9 missä x = [ x y 1 ] T [10, s. 12]. Kuva 2.8: Opetusdatan perusteella muodostetut kuuluvuusalue-ellipsit ja ellipsien leikkaussuora Yhtälön (2.7) matriisi Q 1 λq 2 voidaan ajatella olevan toisen kartioleikkauksen matriisi. Tämän kartioleikkauksen ei kuitenkaan tarvitse olla ellipsi. Kun mielivaltainen vakio λ valitaan siten, että det(q 1 λq 2 ) = 0 [1, s. 63] eli matriisi Q 1 λq 2 on singulaarinen, voidaan saadun vakion λ avulla määrittää leikkauspisteiden määrästä riippuen suorat (kuva 2.8), joilla ellipsien leikkauspisteiden on sijaittava. Degeneroituneen kartioleikkauksen determinantin yhtälö det(q 1 λq 2 ) = 0 sievenee kolmannen asteen yhtälön juurien ratkaisemiseksi [10, s ]. Leikkauspisteiden ratkaisemisen jälkeen on helppo rajoittaa käyttäjän sijainti leikkaavien ellipsien leikkausalueelle tilanteessa, jossa käyttäjä kuulee kyseiset kaksi AP:a. Kun ellipsien keskipisteet ja kovarianssimatriisit ovat tiedossa voidaan käyttäjän todennäköisin paikka ratkaista kaavalla ( n ) 1 ( n ) ˆx = (A 1 i ) (A 1 i µ i ), (2.8) i=1 i=1 missä A i on tukiaseman, jonka indeksi on i, elliptisen kuuluvuusalueen kovarianssimatriisi ja µ i on tukiaseman i muodostaman kuuluvuusalue-ellipsin keskipiste [9, s. 35], [12]. Kuuluvuusaluemalli ei ole yksinään kovinkaan tarkka käyttäjän sijainnin määrittämiseen ja siksi kuuluvuusaluetta käytetäänkin joissain malleissa yhtenä osatekijänä käyttäjän sijainnin ratkaisemiseksi. Laskennallisessa mielessä kuuluvuusaluemallin ratkaiseminen on melko kevyt laskennallinen prosessi ja laskenta-ajat pysyvät lyhyinä [2, s. 7], [12]. 2.4 Path loss -malli Path loss -malli on malli, jossa käytetään hyväksi tukiaseman signaalin voimakkuutta opetusdatapisteissä. Jokaisessa opetusdatapisteessä AP on kuultu tietyllä

15 2. WLAN-paikannusmallien teoria 10 voimakkuudella y. Signaalin voimakkuuden ja opetusdatapisteiden sijaintien perusteella voidaan luoda signaalin vaimenemismalli, joka kuvaa AP:n signaalin voimakkuutta tilan eri pisteissä. Mallin ongelmana on, että signaali vaimenee edetessään tilasta riippuvalla tavalla, sillä seinät ja muut esteet aiheuttavat signaalin heijastumista ja suurempaa vaimenemista. Path loss -mallin yksinkertainen tilastollinen vaimenemismalli kirjoitetaan yleisessä tapauksessa muotoon [14, s. 28] y i = A 10n log 10 ( m x i ) + v, (2.9) missä y i on pisteessä x i kuultu signaalin voimakkuus, A signaalin voimakkuus 1 m etäisyydellä tukiasemasta, n tilasta riippuva vakio, m on AP:n sijainti ja v N(0,σ 2 ) mittauksissa oleva normaalisti jakautunut virhe [15], [7]. Tilaa kuvaava vakio n saa tavallisesti arvoja 2-4, missä 2 on vapaan tilan aiheuttama vaimeneminen ja 4 on paljon seiniä ja esteitä sisältävän tilan kerroin [13, s. 10]. Määritelmä Olkoon x : Ω R p vektoriarvoinen satunnaismuuttuja, µ R p ja Σ symmetrinen positiivisesti definiitti p p-matriisi. Tällöin satunnaismuuttuja x noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja Σ, jota merkitsemme symbolilla x N p (µ,σ), jos sen tiehysfunktio on f x (x) = ( 1 (2π) p 2 det(σ) exp (x µ)t Σ 1 ) (x µ), (2.10) 2 missä < x <, odotusarvo µ = E(x) ja kovarianssimatriisi Σ = V (x). [15, s. 14] Yhtälön (2.9) tuntemattomat parametrit A, n ja m voidaan ratkaista Gauss-Newtonin menetelmällä [14, s. 13]. Minimoitavana on nyt virhe v, jolloin epälineaarinen funktio voidaan esittää pienimmän neliösumman menetelmän avulla argmin A,n,m n A 10n log 10 ( m x i ) y i 2 (2.11) i=1 Parametrien estimointi perustuu ennalta kerättyyn opetusdataan, jolloin ainoat tuntemattomat parametrit ovat A, n ja m. Gauss-Newtonin menetelmä käyttää estimoinnissa hyväkseen yhtälön Jacobin matriisia eli ensimmäisen kertaluvun derivaattamatriisia. Menetelmän etuna on, että tavallisesti haastavaa toisen kertaluvun derivaattaa ei tarvita. Jacobin matriisin määritelmä on esitetty liitteessä A.

16 2. WLAN-paikannusmallien teoria 11 Jos mittausmallin funktio F i (A,n,m) = A 10n log 10 ( m x i ), niin parametrien A,n,m suhteen Jacobin matriisi saa muodon F J(A,n,m) = (A,n,m) 1 10 log 10 ( m x 1 ) 10 n (m x 1) T ln(10) m x log = 10 ( m x 2 ) 10 n (m x 2) T ln(10) m x log 10 ( m x n ) 10 n (m xn)t ln(10) m x n 2, (2.12) mitä Gauss-Newtonin menetelmässä käytetään parametrien optimiarvoja ratkaistaessa. Lisäksi menetelmä tarvitsee ratkaistaville parametreille alkuarvaukset, joista algoritmi lähtee liikkeelle. Path loss -mallin parametrien ratkaisemisessa käytetty Gauss-Newtonin menetelmä, joka tunnetaan myös nimellä iteratiivinen pienimmän neliösumman menetelmä, on esitelty alla (algoritmi 2.4.1) [16, s. 27]. Gauss-Newtonin menetelmä on käyttökelpoinen jos minimoitava funktio on hyvänlaatuinen ja valittu alkuarvaus on riittävän lähellä minimiä. Menetelmä perustuu ajatukseen, jossa lähdetään alkuarvauksesta x 0 ja lasketaan tästä lähtien askeleita x 1, x 2, jne. niin kauan, kunnes ratkaisu ei enää muutu [16, s. 26]. Algoritmi Gauss-Newtonin menetelmä (Iterative Least Squares) 1. Valitaan alkuarvaus x 0 = [A 0,n 0,m 0 ] ja lopetustoleranssi δ sekä asetetaan k = Lasketaan Jacobin matriisi J k = F (x k ). 3. Askel: x k+1 = x k + x k, jossa x k = (J T k J k ) 1 J T k (F (x k ) y). 4. Jos lopetusehto x k < δ ei toteudu, kasvatetaan k:ta ja jatketaan kohdasta 2. Ratkaistujen parametrien avulla voidaan AP:n kuuluvuusalue mallintaa. Malli kuvaa, kuinka AP:n signaali vaimenee tilassa ja mikä signaalin voimakkuus on milläkin etäisyydellä tukiasemasta (kuva 2.9). Menetelmän avulla ei kuitenkaan saada tarkkaa arviota AP:n signaalin voimakkuudesta jokaisessa pisteessä, sillä erilaiset seinät vaimentavat signaalia eri tavalla.

17 2. WLAN-paikannusmallien teoria 12 Kuva 2.9: Esimerkki path loss -mallista, jonka parametrit A,n,m on estimoitu Gauss-Newtonin menetelmällä. Mitä vaaleampi värikartan väri on, sitä paremmin tukiasema kuuluu alueella

18 13 3. MENETELMÄT PATH LOSS -MALLIN RATKAISEMISEKSI 3.1 Analyyttiset menetelmät Path loss -mallin avulla tapahtuva WLAN-paikannus voidaan suorittaa analyyttisesti käyttämällä kyseistä mallia joko yksin tai muiden mallien kanssa samaan aikaan. Eräs käytetty mallien yhdistelmä on path loss -mallin ja kuuluvuusalemallin yhdistelmä, jolloin käyttäjän sijainti voidaan rajata tietylle alueelle ja sen jälkeen paikantaa path loss -mallin avulla [2, s. 7-8]. Mallit voidaan ajatella myös todennäköisyyslaskennan näkökulmasta. Paikannettavan tilan voidaan ajatella noudattavan määritelmässä esitettyä normaalijakaumaa ja mittausvirheet voidaan olettaa esimerkiksi nollakeskisesti normaalijakautuneiksi tietyllä varianssilla. Näin ollen malleista tulee ehdollisia todennäköisyysjakaumia, joiden avulla voidaan käyttäjän sijainti ratkaista kuultujen tukiasemien signaalien avulla suurimman todennäköisyyden mukaan. Sisätilapaikannuksessa yleisesti kätössä oleva tilastollisiin menetelmiin ja todennäköisyyksiin perustuva menetelmä on Bayesiläinen tilastotiede, jonka käytetyin kaava, Bayesin kaava voidaan kirjoittaa jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktioden avulla muodossa p(x y) = p(y x)p(x), (3.1) p(y) missä p(y x) on niin sanottu uskottavuusfunktio, p(x) on x:n priorijakauma ja p(y) on tavallisesti normeeraustekijä, joka ei vaikuta muuttujan x tilastolliseen päättelyyn. Merkintää p(x y) sanotaan myös muuttujan x posteriorijakaumaksi [9, s ]. Bayesin kaava voidaan kirjoittaa myös muotoon p(x y) p(y x)p(x), (3.2) missä muuttuja x voidaan ajatella paikkana ja muuttuja y signaalin voimakkuutena. Path loss mallin ratkaisemiseksi ei ole analyyttistä menetelmää, joten mallin

19 3. Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi 14 ratkaisemiseksi tarvitaan approksimatiivisia menetelmiä, joista kaksi yleisintä menetelmää on esitelty seuraavassa. 3.2 Grid-menetelmät Paikannettavaa tilaa voidaan ajatella verkkona, joka koostuu pienistä osista eli gridipisteistä. Tila voidaan jakaa tilanteesta riippuen tietyn kokoisiin, tavallisesti neliön muotoisiin soluihin, joiden keskipisteille voidaan määritellä tietty signaalin voimakkuus tietystä tukiasemasta opetusdatan ja path loss -mallin perusteella. Kuva 3.1: Grid-verkko, jossa jokaiselle tilan pisteelle on määiritetty tietty signaalin voimakkuus yhdestä tukiasemasta Paikannusvaiheessa kun käyttäjä kuulee tietyt tukiasemat tietyllä voimakkuudella, voidaan saatuja arvoja verrata muodostetun grid-verkon solujen arvoihin ja näin löytää käyttäjän sijainti. RM-pohjainen paikannusmenetelmä perustuu osittain gridmenetelmään, jossa opetusvaiheessa kuullut tukiasemien voimakkuudet interpoloidaan yli paikannettavan tilan. Näin jokaista tilan pistettä vastaa tietty signaalin voimakkuus kustakin tukiasemasta. Grid-menetelmä [2, s. 4] on paikannusmenetelmistä yksi laskennallisesti vaativimmista menetelmistä. Paikannustarkkuus kyseisellä menetelmällä on kuitenkin hyvä jos grid-verkko on riittävän tiheä, mutta liian tiheä verkko aiheuttaa estimaattien arvojen heikkenemisen [14, s. 8]. 3.3 MCMC-menetelmät Markov chain Monte Carlo -menetelmät (MCMC) ovat joukko todennäköisyysjakaumia näytteistäviä algoritmeja, joiden toiminta perustuu Monte Carlo -menetelmän

20 3. Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi 15 (MC) satunnaislukuperiaatteeseen. Algoritmien taustalla on Markovin ketju eli stokastinen prosessi, jossa uuteen tilaan vaikuttaa tieto edellisestä tilasta. Näytteiden lukumäärää kasvattamalla Markovin ketju lähestyy haluttua näytteistettävää todennäköisyysjakaumaa. MCMC-menetelmiä käytetään tavallisesti vaikeiden moniulotteisten integraalien laskemisessa, joita juuri Bayesiläisessä tilastotieteessä nousee esiin, sekä pinta-alan laskemisen työkaluna. Sisätilapaikannuksessa käytetyssä, tunnetuimmassa MCMCmenetelmässä, Metropolis-Hastings -algoritmissa [2, s. 5] pystytään generoimaan tasaisesti painotettuja satunnaislukuja teoriassa lähes jokaisesta todennäköisyysjakaumasta. Ketjun alkutila on jokin määrätty piste eikä kohdejakauman mukaisesti jakautunut satunnaismuuttuja, jolloin ketjun alkuosassa on muusta ketjusta selvästi poikkeavia arvoja. Poikkeavista alkuosan arvoista käytetään nimitystä burn-in. Tämä burn-in -jakso tuleekin poistaa lopullisesta kohdejakaumasta näytehistorian tutkimisen avulla [17, s. 10]. Lopullinen algoritmilla saatu kohdejakauma kuvaa käyttäjän sijainnin todennäköisyyttä vastaanotettujen signaalien ehdoilla. Metropolis-Hastings-algoritmi on laskennallisesti joustavampi ja kevyempi menetelmä kuin grid-menetelmä. [2, s. 7] Monte Carlo -integrointi Monte Carlo -integrointi on numeerisen integroimisen menetelmä, joka pohjautuu MCMC-menetelmään. Integrointi perustuu todennäköisyysjakaumasta satunnaisesti valittuihin pisteisiin, joissa halutun integroitavan funktion arvo lasketaan [8, s. 11]. Olkoon h(x) haluttu integroitava funktio välillä (a,b), jolloin integraalin arvo I on funktion alle jäävän alueen pinta-ala välillä (a,b) [3, s. 16] missä I = b a h(x)dx = b w(x) = h(x)(b a) ja p(x) = 1 b a a w(x)p(x)dx, (3.3) missä edelleen p(x) on välin (a,b) tasajakautunut satunnaismuuttuja. Nyt pintaalan arvo voidaan kirjoittaa funktion arvon odotusarvona [7, s. 6], kun muuttujina on käytetty satunnaismuuttujia X. I = E p [w(x)], (3.4)

21 3. Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi 16 missä X U(a,b). (3.5) Näytteistetään integroitava väli (a,b) S määrällä näytteitä, missä S on suuri luku. Tällöin jokaiselle toisistaan riippumattomalle satunnaismuuttujalle X i voidaan kirjoittaa X 1:S U(a,b) (3.6) Suurten lukujen lain nojalla riippumattomista satunnnaismuuttujista muodostetun jonon keskiarvo suppenee kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa [5, s. 52]. Î = 1 S w(x s ) I = E p [w(x)] (3.7) S s=1 Monte Carlo -integrointimenetelmä ei ole täysin tarkka, mutta näytteiden lukumäärää kasvattamalla voidaan integraalin arvoa parantaa. Menetelmän aiheuttama virhe ŝe voidaan laskea tutulla keskivirheen kaavalla ŝe = s S s 2 = 1 S 1 S (h(x s ) Î)2, s=1 missä S on näytteiden lukumäärä ja s keskihajonta [7, s. 2], [8, s. 12]. (3.8)

22 17 4. MALLIEN TESTAAMINEN WLAN-mallien havainnollistamiseksi ja testaamiseksi suoritettiin muutamia mittauksia todellisissa olosuhteissa. Mittaukset suoritettiin TTY:lla sijaitsevan tietotalon pääkerroksessa, tablet-mallisella tietokoneella, johon oli asennettuna WLANskannaukseen tarkoitettu ohjelma. Ohjelma tallensi jokaisessa skannauspisteessä tiedot senhetkisestä sijainnista ja jokaisesta sijainnissa kuullusta AP:sta. Jokaista kuultua AP:a kohti oli myös tieto siitä, millä voimakkuudella kyseinen tukiasema oli kuultu. Opetusdatan keräämisen lisäksi mitattiin yksi testipiste, jota yritettiin esiteltyjen mallien pohjalta paikantaa. Testipisteestä mitattiin sen tarkka sijainti ja siinä kuuluvien tukiasemien signaalien voimakkuudet. Ensimmäisessä kahdessa mallissa (yksinkertainen malli ja kuuluvuusaluemalli) ei käytetty signaalien voimakkuustietoja testisijainnin paikantamisessa. Kahdessa jälkimmäisessä mallissa (path loss -malli ja radiomap pohjainen paikannusmalli) käytettiin tietoa testisijainnissa kuulluista signaalien voimakkuuksista. Testaamisessa keskityttiin vain kaksiulotteiseen paikannukseen ja mallien selkeyttämiseksi otettiin malleissa huomioon todellisuudesta poiketen vain kaksi kuultua tukiasemaa. Kuva 4.1: Tietotalon pääkerroksessa suoritetut WLAN-skannaussijainnit Kuva 4.2: Kahdelle tukiasemalle luokitellut sijainnit, joissa tukiasema on kuultu

23 18 4. Mallien testaaminen Kerätty opetusdata lajiteltiin luvussa 2.2 kerrotulla ja kuvassa 4.2 esitetyllä tavalla siten, että molempia tukiasemia vastasi tietty määrä skannattuja opetusdatapisteitä. Kuva 4.3: Kuuluvuusalue-ellipsit tukiasemille AP1 ja AP2 Kuva 4.4: Paikannettu käyttäjän sijainti yksinkertaisella mallilla (risti) ja kuuluvuusaluemallilla (tähti) Yksinkertaisessa mallissa tarvittiin tieto tukiasemien sijainneista, joten niiden sijainnit piti ennen paikantamista estimoida opetusdatan pohjalta. Tukiasemien sijainnit oletettiin olevan kuuluvuusalueiden keskipisteissä ja tätä oletusta tuki myös signaalien voimakkuuksien tarkastelu. Signaalit olivat voimakkaampia juurikin kuuluvuusalueiden keskipisteen läheisyydessä. Yksinkertaisen paikannusmallin avulla käyttäjän sijainniksi saatiin kuvassa 4.4 esitetty ristillä merkitty piste. Kuuluvuusalue-ellipseihin perustuvassa mallissa ei tarvittu tietoa tukiasemien sijainneista, vaan kuuluvuusalue-ellipsit muodostettiin opetusdatapisteiden perusteella. Ellipsit muodostettiin siten, että kunkin tukiaseman kuuluvuussijainnit sopivat kunkin tukiaseman kuulu-vuusalue-ellipsin sisälle (kuva 4.3). Kuuluvuusaluemallin käyttäjän paikkaestimaatti saatiin laskettua esiteltyä kaavaa (2.8) käyttämällä, kun kuuluvuusalue-ellipsien keskipisteet ja kovarianssimatriisit olivat tiedossa. Mallin avulla paikannettu käyttäjän sijainti on esitetty kuvassa 4.4 tähdellä merkityssä pisteessä. Kahden seuraavan mallin avulla tapahtuvassa paikannuksessa tarvittiin tietoa paikannettavasta sijainnista kuulluista tukiasemien signaalien voimakkuuksista. Tämä mittaus tehtiin siis opetusdatan keräämisvaiheessa. Tukiasema AP1 kuultiin paikannettavassa sijainnissa voimakkuudella 77dB ja tukiasema AP2 voimakkuudella 76dB. Path loss-mallin parametrit estimoitiin molemmille tukiasemille erikseen käyttämällä apuna Gauss-Newtonin algoritmia. Näitä parametreja käytettiin mallin pa-

24 19 4. Mallien testaaminen Kuva 4.5: AP1:lle muodostettu radiomap, missä vaaleampi väri tarkoittaa tukiaseman heikompaa kuuluvuutta Kuva 4.6: AP2:lle muodostettu radiomap, missä vaaleampi väri tarkoittaa tukiaseman heikompaa kuuluvuutta rametreina testisijainnin paikantamisessa. Kun käytössä oli lisäksi tieto signaalien voimakkuuksista, ainoa tuntematon parametri path loss -mallissa oli käyttäjän sijainti. Tämä saatiin ratkaistua pienimmän neliösumman menetelmällä. Path loss -mallin avulla arvioitu käyttäjän sijainti on esitetty kuvassa 4.7. Toinen esitellyistä signaalien voimakkuustietoja hyväksi käyttävistä malleista on luvussa 2.2 esitelty radiomap-menetelmä. Opetusdatapisteissä kerättyä signaalien voimakkuustietoa käytettiin hyväksi RM:n muodostamiseen. Kyseiset kuuluvuuskartat on esitetty kuvissa 4.5 ja 4.6. Kun molemmista RM:sta haettiin testipisteessä kuultuja signaalin voimakkuuksia vastaavia arvoja saatiin testisijainnin paikkaestimaatiksi kuvassa 4.7 esitetty piste. Samassa kuvassa on esitetty myös testipisteen oikea, tarkka sijainti. Kuva 4.7: Testisijainnin paikkaestimaatit yksinkertaiselle mallille, kuuluvuusaluemallille, path loss -mallille ja radiomapin avulla tehdylle paikannukselle. Lisäksi kuvassa on esitetty testisijainnin tarkka paikka

25 4. Mallien testaaminen 20 Kaikkiin malleihin vaikutti opetusdatapisteiden vähäinen määrä kumpaakin tukiasemaa kohti, sekä vain kahden tukiaseman käyttäminen paikannuksessa. Todellisuudessa useamman tukiaseman käyttäminen vaikuttaa paikannustarkkuutteen merkittävästi, sillä käyttäjän mahdollinen sijainti voidaan rajata pienemmälle alueelle. Yksinkertainen Kuuluvuusalue RM Path loss Tarkkuus Laskenta-aika Resurssien kulutus Taulukko 4.1: Taulukossa on esitetty mallien laskennallisia ominaisuuksia kvalitatiivisessa muodossa. Plus-merkkien määrä kuvaa mallin hyvyyttä eri osa-alueilla [19]. Yllä olevaan taulukkoon (taulukko 4.1) on listattu kolme tärkeintä mallien arvioimisessa käytettyä kriteeriä. Nämä kriteerit ovat paikannustuloksen tarkkuus, paikannukseen kulunut aika sekä kuinka paljon paikannusmalli kuluttaa laitteen resursseja. Kuten taulukosta 4.1 nähdään, yksinkertainen malli ja kuuluvuusaluemalli ovat laskenta-ajoiltaan erittäin nopeita ja ne kuluttavat laitteen resursseja vähän, mutta paikannustarkkuus ei ole yhtä hyvä kuin RM-pohjaisessa mallissa tai path loss -mallissa [2], [19]. Mallien todellisten tarkkuuksien selvittämiseksi suoritettiin tietotalon pääkerroksessa lisäksi testireitti, jossa otettiin huomioon kaikki testireitin sijainneissa kuullut tukiasemat. Käytetty testireitti on esitetty kuvassa 4.8. Käytävällä sijaitseva testireitti koostui 13:sta pisteestä, joissa WLAN-skannaus suoritettiin. Tämän jälkeen käyttäjän sijainnit yritettiin estimoida käyttäen kutakin mallia. Mallien paikannustarkkuudet testireitille on esitetty taulukossa 4.2. Yksinkertainen Kuuluvuusalue Path loss Radiomap Virheen keskiarvo 11.47m 7.80m 6.24m 5.27m 95% virhe 24.51m 16.85m 12.37m 10.32m Taulukko 4.2: Testireitin perusteella lasketut virheiden keskiarvot sekä 95% virheet jokaiselle mallille

26 4. Mallien testaaminen 21 Kuva 4.8: Tietotalon pääkerroksessa suoritettu testireitti ja opetusdatapisteet

27 22 5. YHTEENVETO Tässä työssä esiteltiin neljä erilaista WLAN-paikannusmallia sisätiloissa tapahtuvaan käyttäjän sijainnin paikantamiseen. Ensimmäisenä esitelty yksinkertainen paikannusmalli perustuu ennalta tiedettyihin tukiasemien sijainteihin. Mallin hyvinä puolina voidaan pitää sen nopeasti saavutettavaa ja vähän resursseja vaativaa ratkaisua. Huonompia puolia mallin käytössä on, että tukiasemien sijiannit pitää ennen paikannusta selvittää ja paikannustarkkuus ei ole erityisen hyvä. Toisena esiteltiin kuuluvuusaluemalli, joka perustuu opetusdatan pohjalta muodostettuihin tukiasemien kuuluvuusalue-ellipseihin. Mallin ratkaisu eli käyttäjän arvioitu sijainti saadaan mallin avulla nopeasti ja menetelmä on laskennallisesti kevyt. Lisäksi paikannustarkkuus useamman tukiaseman tapauksessa on melko hyvä verrattuna yksinkertaiseen malliin. Testivaiheessa lasketun kuuluvuusaluemallin paikkaestimaatin huonouteen vaikutti vain kahden tukiaseman käyttäminen ja tulos paranikin testireitin tapauksessa, kun käytössä oli useampi tukiasema. Lisäksi työssä esiteltiin fingerprint-menetelmän yhteydessä RM:n pohjautuva paikannusmalli, joka perustui kuultujen signaalien voimakkuuksien määrittämiseen koko paikannettavalle kerrokselle. Menetelmän hyviä puolia on mallin tarkkuus ja malli ottaa esitellyistä malleista parhaiten huomioon paikannettavan tilan esteet. Mallin ratkaisu voi kuitenkin olla hidas saavuttaa jos RM on liian tiheä, jolloin laskentaajat ja resurssien tarve kasvavat. Testaamisvaiheessa RM-menetelmään pohjautuva malli pärjäsi parhaiten. Viimeisenä esittelyssä oli path loss -malli, joka pohjautuu tukiasemien signaalien vaimenemiseen ja tilastolliseen vaimenemisyhtälöön. Menetelmän hyviä puolia ovat mallin tarkkuus ratkaisumenetelmästä riippuen sekä mallin laskennallinen nopeus etenkin Gauss-Newtonin algoritmia käytettäessä. Voidaan myös todeta, että signaalien voimakkuustieto lisää paikannustarkkuutta todellisissa olosuhteissa. Vaikka WLAN-paikannusta on alettu kehittää WLAN-yhteyksien kehittyessä ja lisääntyessä, on sisätilapaikannuksessa vielä paljon kehitettävää. Kuten tämäkin työ osoitti, etenkin mallien ja algoritmien paikannustarkkuuksissa on vielä parannetta-

28 5. Yhteenveto 23 vaa. Työn kannustavien tulosten perusteella herääkin kysymyksiä siitä, että kuinka paljon esimerkiksi tilan pohjapiirrustusta voidaan käyttää paikannuksen apuna ja miten erilaisia antureita, kuten kiihtyvyysantureita ja barometrejä, voidaan käyttää käyttäjän sijainnin määrittelemisessä.

29 24 LÄHTEET [1] Kaarakka, T. ja Orelma, H. Matriisilaskentaa insinöörien tarpeisiin. (Matematiikka 2 opintomoniste) [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: content/2/imad2u2011.pdf [2] Nurminen, H., Talvitie, J., Ali-Löytty, S., Müller, P., Lohan, E- S., Piché, R. ja Renfors, M. Statistical Path Loss Parameter Estimation and Positioning Using RSS Measurements in Indoor Wireless Networks. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: [3] Kauhanen, J. Insinöörimatematiikka 3u, opintomoniste. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: kauhanej/monisteet/ima3u pdf [4] Kauhanen, J. Insinöörimatematiikka 1u, opintomoniste. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: kauhanej/monisteet/ima1u pdf [5] Pohjavirta, A. ja Ruohonen, K. Laaja tilastomatematiikka opintomoniste. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: ruohonen/ltm.pdf [6] Wolfram MathWorld. Positive Definite Matrix. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: [7] Ruohonen, K., Tilastomatematiikka. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: ruohonen/tm.pdf [8] Weinzierl, S. Introduction to Monte Carlo methods. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: [9] Koski, L. Positioning with Bayesian coverage area estimates and location fingerprints. Pro gradu -työ. Tampere Tampereen yliopisto. [viitattu ]. Saatavissa: [10] Martikainen, S. Ellipsien leikkauspisteiden numeerinen ratkaiseminen. Kandidaatintyö. Tampere Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu ]. Saatavissa:

30 LÄHTEET 25 [11] Hosaka, M. Modeling of Curves and Surfaces in CAD/CAM. Springer-Verlag, 1992 [12] Koski, L., Perälä, T. ja Piché, R. Indoor positioning using WLAN coverage area estimates. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: [13] Fadjukoff, T. Karttarajoitteiden käyttäminen sisätilapaikannuksessa. Diplomityö. Tampere Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu ]. Saatavissa: [14] Nurminen, H. Positionin estimation using RSS measurements with unknown measurement model parameters. Diplomityö. Tampere Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu ]. Saatavissa: [15] Kaleva, O. Tilastolliset monimuuttujamenetelmät. [opintomoniste], [viitattu ] [16] Ali-Löytty, S., Collin, J. ja Sirola, N. MAT Paikannuksen matematiikka. [verkkodokumentti], [viitattu ]. Saatavissa: [17] Nurminen, H. Kuuluvuusalueen estimointi Metropolisin ja Hastingsin algoritmilla. Kandidaatintyö. Tampere Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu ]. Saatavissa: [18] Barnes, R. J. Matrix differentiation [viitattu ] Saatavissa: dennis/matrixcalculus.pdf [19] Müller P., Raitoharju, M., Ali-Löytty, S., Wirola, L., Nurminen, H. ja Piché, R. Survey on Parametric Fingerprinting Methods [20] Elliptinen kartioleikkauskuva. [viitattu ]. Saatavissa: source.html#.ueochbbncxi

31 26 A. TEORIALIITE Määritelmä A.1 Matriisi A R n n on symmetrinen jos A = A T. Jos A = (a ij ) niin tällöin (a ij ) = (a ji ) jokaiselle indeksille i ja j [1, s. 37]. Määritelmä A.2 Symmetrinen matriisi A R n n on positiivisesti definiitti jos x T Ax > 0 kaikilla x R n, kun x 0 [6]. Määritelmä A.3 Vektorimuuttujan vektoriarvoisen funktion F : R n R m, missä F = (F 1, F 2,..., F m ) ja F i = F i (x) = F i (x 1, x 2,..., x n ), Jacobin matriisi on J(x) = F x = F 1 F 1 x 1 F 2 F 2 x 1. F m x 1 x 2 F 1 x n F x 2 2 x n..... F m x 2 F m x n Määritelmä A.4 Olkoon x R n :n vektori, jonka pituus eli euklidinen normi x = x x x 2 n = x,x. Määritelmä A.5 Olkoon A R n n neliömatriisi. Matriisilla on käänteismatriisi eli inverssi A 1 jos AA 1 = I = A 1 A,

32 A. Teorialiite 27 missä I on yksikkö- eli identiteettimatriisi. Lause A.6 Olkoon A R 2 2 singulaarinen eli kääntyvä neliömatriisi, jolloin det(a) 0. Merkitään A = a b. c d Tällöin sillä on käänteismatriisi A 1 A 1 = 1 d b det (A) c a = 1 d b (ad cb) c a. Todistus. Oletuksen mukaan neliömatriisi on singulaarinen eli kääntyvä, jolloin matriisin determinantti det (A) 0. Määritelmän A.5 vasemman puolen mukaan AA 1 = a b 1 d b c d (ad cb) c a 1 ad cb ab + ab = (ad cb) cd cd cd + ad 1 ad cb 0 = (ad cb) 0 ad cb = 1 0 = I 0 1 Määritelmän A.5 oikea puoli voidaan todistaa vastaavalla tavalla.