Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2013 Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI

Transkriptio

1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 013 Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. A1 Talon rakennuskustannukset ovat summa kiinteistä kuluista e ja pinta-alan mukaan määräytyvistä kuluista: märkätilat 3100 e/m, muut tilat 1800 e/m. Alkuperäisessä suunnitelmassa kokonaispinta-ala on 00 m, josta märkätila (kylpyhuone) on kooltaan 10 m. Nähtyään suunnitelman ostaja haluaa taloon saunan (märkätila), muuttamatta kokonaispinta-alaa. Alkuperäiseen suunnitelmaan verraten kustannukset saavat nousta enintään e. (a) Mitkä ovat alkuperäisen suunnitelman mukaiset kokonaiskustannukset 100 e tarkkuudella? (b) Kuinka suuri sauna voidaan taloon rakentaa? Anna vastaus 0,1 m tarkkuudella. A Ratkaise yhtälöt: (a) + 1 =, (b) =. A3 Tasaisella maalla etäisyydellä d = 8 m on kaksi pystysuoraa tolppaa. Tolppien väliin on kiinnitetty vaijeri. Vaijerin päät ovat tolpissa korkeuksilla a ja b. Vaijerin varassa liikkuu paino, joka kiristää vaijerin V-muotoiseksi. Alimmillaan paino on, kun vaijerin ja tolpan välinen kulma on molemmissa päissä sama. Halutaan, että vaijerin alin kohta on metrin korkeudella maasta. Kuinka pitkää vaijeria voidaan käyttää, kun a = 5 m ja (a) b = 5 m, (b) b = 3 m. Anna tarkat vastaukset. A4 Käytössä on kaksi metrin keppiä ja kaksi 3 metrin keppiä. Kepit asetellaan nelikulmion sivuiksi siten, että nelikulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri ja samanpituiset kepit ovat (a) nelikulmion vastakkaisina sivuina, (b) nelikulmion vierekkäisinä sivuina. Miten kepit tulee asettaa ja mikä pinta-ala tällöin on? Anna vastaus piirroksen muodossa nelikulmiona, johon on merkitty sivujen pituudet ja ainakin kahden kulman suuruus. Perustele lyhyesti ratkaisusi. A5 Diagnosoidaan kansalaista, joista yksi tuhannesta kantaa influenssavirusta X. Diagnoosin varmuus on 99 %, eli toisin sanoen 1 % viruksen kantajista ja 1 % ei-kantajista saa väärän diagnoosin. (a) Montako diagnosoidaan kantajiksi? (b) Mikä suhteellinen osuus kantajaksi diagnosoiduista saa väärän diagnoosin? A6 Biljardipöydässä on säännöllisen monikulmion muotoinen reikä. Reiän kulmapisteiden etäisyys reiän keskipisteestä on R = 5 mm. Reikään pudotetaan R-säteinen pallo. (a) Kuinka syvälle pallo uppoaa, kun reikä on neliö? (b) Montako kulmaa monikulmiossa on oltava, jotta pallo uppoaa reikään vähintään 3 mm? c 013, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

2 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 013 Arkitekturantagningens prov i matematik, kl Serie A-SV Anvisningar. Placera varje uppgift på en egen sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. A1 Byggnadskostnaderna för ett hus är summan av de fasta kostnaderna på e och utgifter som beror på arean: 3100 e/m för våtutrymmen och 1800 e/m för andra utrymmen. I den ursprungliga planen är totala arean 00 m varav våtutrymmen (badrummet) är 10 m. Efter att ha sett planen vill köparen få en bastu (våtutrymme) i huset utan att ändra på totala arean. Jämfört med den ursprungliga planen får kostnaderna öka högst e. (a) Vilka var kostanderna enligt den ursprungliga planen med 100 e noggrannhet? (b) Hur stor bastu kan man bygga i huset? Ge svaret med 0.1 m noggrannhet. A Lös ekvationerna: (a) + 1 =, (b) =. A3 På plan mark på ett avstånd på d = 8 m står två lodräta stolpar. Mellan stolparna är en vajer fäst. Vajerns ändor är på höjderna a respektive b. På vajern kan en tyngd röra sig, som spänner vajern så den får formen av ett V. Tyngden är så lågt som möjligt då vinkeln mellan vajern och stolpen är samma i bägge ändorna. Man vill att vajerns lägsta punkt skall vara en meter ovanför marken. Hur lång vajer kan man då använda, om a = 5 m och (a) b = 5 m, (b) b = 3 m. Ge eakta svar. A4 Vi har två meters käppar och två 3 meters käppar till vårt förfogande. Käpparna placeras så att de bildar sidorna i en fyrhörning så att fyrhörningens area maimeras och så att lika långa käppar bildar (a) motsatta sidor hos fyrhörningen, (b) närliggande sidor hos fyrhörningen. Hur skall käpparna placeras och hur stor blir arean i så fall? Ge svaret i form av en teckning av fyrhörningen, där två av sidornas längder och åtminstone två av vinklarnas storlekar är utsatta. Motivera kortfattat lösningen. A5 Man diagnostiserar medborgare av vilka en på tusen är bärare av influensaviruset X. Diagnosens tillförlitlighet är 99 %, dvs. 1 % av bärarna och 1 % av icke-bärarna av viruset får fel diagnos. (a) Hur många diagnostiseras som bärare? (b) Hur stor proportionell del av dem som diagnostiseras som bärare får fel diagnos? A6 I ett biljardbord finns ett hål i form av en regelbunden månghörning. Hålets hörn finns på avståndet R = 5 mm från dess mittpunkt. En boll med radien R släpps i hålet. (a) Hur djupt sjunker bollen i hålet, om hålet är kvadratiskt? (b) Hur många hörn skall hålet ha för att bollen skall sjunka minst 3 mm ned i hålet? c 013, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

3 Common University Admission in Engineering and Architecture (dia-admission) 013 Mathematics eamination for Architecture, May 0th 013 at Series A-EN Instructions. Use a separate page for each problem. Clearly indicate if the answer continues on a separate sheet. Give your solutions in a clear form including intermediate steps. Rewrite a clean copy of the solution if needed. Cross out discarded solutions and any discarded parts of solutions. In the case of several solutions for the same problem, only the weakest one will be credited. Note that subsections of a question are not necessarily equally weighted. Generally, the solution should include even the reasoning for the given answer. Allowed instruments: Writing instruments, non programmable calculator; no dictionaries allowed. Attachment: Table of formulae. A1 The costs to build a house comprise fied costs e and costs varying according to the floor area of the building: for the wet areas 3100 e/m, otherwise 1800 e/m. In the original plan, the total floor area is 00 m including 10 m wet area (bathroom). Having seen the plan the buyer wants to include a sauna in the plan without altering the total floor area. In comparison to the orginal plan the total costs can be allowed to increase by e. (a) What are is total cost of the original plan to the accuracy of 100 e? (b) How large a sauna could one build? Give the answer to the accuracy of 0.1 m. A Solve the equations for : (a) + 1 =, (b) =. A3 There are two posts standing d = 8 m apart on flat ground. Between the posts there is a cable, the ends of which have been fied to the posts at height a and b respectively. The cable supports a weight that tightens the cable to the form of a V. The weight is at its lowest when the angle between the post and the cable is the same at both ends of the cable. One wants the cable to be at least one meter from the ground. How long a cable should be used, when a = 5 m and (a) b = 5 m, (b) b = 3 m. Give eact answers. A4 One has two -meter sticks and two 3 meter sticks. The sticks are set to form a quadrilateral, so that area of the quadrilateral is maimized and the equal length sticks form either (a) the opposite sides of the quadrilateral, or (b) the adjacent sides of the quadrilateral. How should one position the sticks in each case and what is the area of the respective quadrilateral then? Give a drawning of the sticks in your answer, where the length of the sticks and the angle of at least two corners are marked. Shortly justify your answer. A5 A total of citizens are diagnosed, of which one in one thousand carries influenza virus X. The diagnosis has 99 % reliability; in other words, 1 % of the carriers of the virus and 1 % of non-carriers of the virus get the wrong diagnosis. (a) How many will be diagnosed as carriers? (b) Which fraction of those diagnosed as carriers will be given the wrong diagnosis? A6 A billiard table has a hole in the shape of a regular polygon. The vertices of the hole are at distance R = 5 mm from the center point of the hole. A ball with radius R is dropped in the hole. (a) How deep will the ball sink, when the hole is a square? (b) How many vertices does the polygon need to have, in order for the ball to sink at least 3 mm into the hole? c 013, Dia-admission, c/o Aalto University, Student Services

4 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 013- vastaukset Tehtävä 1 Yleisesti rakennuskulut ovat K = c+(00 A)c D +Ac W, jossa A on märkätilojen pinta-ala, c = , c D = 1800 perusneliön ja c W = 3100 märkäneliön hinta. a) Olkoon A 0 kylpyhuoneen koko. Ennen muutosta A = A 0 ja kustannukset K 0 = c+(00 A 0 )c D +A 0 c W = (00 10) 1800 = b) Merkitään saunatiloja A 1 K 1 = c + (00 A 0 A 1 )c D + (A 0 + A 1 )c W K K 0 = c + (00 A 0 )c D + A 0 c W K 1 K 0 = A 1 (c W c D ) eli A /(c W c D ) 7, 695 m. Sauna voi siis olla korkeintaan 7, 6 m suuruinen. Vaihtoehtoisesti: Todetaan, että tilan muuttaminen märkätilaksi lisää kustannuksia = 1300 e/m. Niinpä märkätilojen suuruus voi kasvaa = 7, 69 m. Arvostelu: (a) Oikea vastaus p. (b) Oikea vastaus 4p. Mikäli saunan koko pyöristetään ylös, vähennetään 1p. Tyyppivirheenä unohdetaan b-kohdassa vakiokustannukset: lasketaan pintaalalle (00 A) A 3100 = (väärin). Tällöin vastauksesta korkeintaan p osiosta. Myös vastaus, jossa tulkitaan, että kylpyhuone korvataan saunalla, ja sauna siten on korkeintaan 17,6 m on hyväksyttävä. Tehtävä a) Kun 1, = = ( + 1) = + 1 b) Koska välttämättä 1, voidaan supistetaa ( 1):llä: tai vaihtoehtoisesti = 1 = = 1 = 1/ = 1 = = 0 josta saadaan juuret = 1±3 4 joista vain = 1/ kelpaa, koska toinen ei ole määrittelyalueella. Arvostelu: (a) Osakohta p. Mikäli määrittelyaluetta ei ole huomioitu, (tai vastausta sijoitettu alkuperäiseen yhtälöön) vähennetään 1p. (b) Osakohta 4p. Yhtälön saattamisesta toisen asteen yhtälöksi ja lausekkeen kirjoittaminen juurille antaa 1p. Mikäli määrittelyaluetta ei ole huomioitu, (tai vastausta sijoitettu alkuperäiseen yhtälöön) vähennetään 1p. Vastaavasti kohdellaan kahden ratkaisun antamista b-kohdan vaihtoehtoisen ratkaisutavan seurauksena.

5 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 013- vastaukset Tehtävä 3 a) Symmetrian perusteella kolmiot ovat yhtenevät ja kanta on d/ = 4 kummassakin. Tällöin α = 45 ja saadaan suoraan s = 4. b) Yhdenmuotoisista kolmioista (kulmat samat) saadaan a 1 = d b 1 4 = d = 4(8 ) = (1) Tästä saadaan vaijerin pituudeksi: s = s a + s b = + (a 1) + (d ) + (b 1) Arvostelu: (a) Osakohta p. = (16/3) (8/3) + = 10. (b) Osakohta 4p. Mikäli verranto (1) on muodostettu väärin, arvostellaan vastaus korkeintaan p arvoiseksi. Mikäli laskuissa on käytetty likiarvoja vähennetään kummassakin kohdassa 1p. Tehtävä 4 a) Kun nelikulmion sivut ovat järjestyksessä, 3,, 3 muodostuu suunnikas ABCD. Tämän pinta-ala (3 sin A) maksimoituu, kun A = C on suorakulma. Tällöin nelikulmion pinta-ala on 6. b) Kun nelikulmion sivut ovat järjestyksessä,, 3, 3 muodostuu nelikulmio ABED. Halkaisija BD jakaa nelikulmion kahteen kolmioon (kuten a-kohdassa). Kolmiot BAD, BED (ja DCB) ovat yhteneviä, koska vastinsivujen pituudet ovat samat. Erityisesti A = E. Yhtenevyyden takia kolmioiden, ja samalla siis nelikulmion, pinta-ala on suurin, kun kolmion DAB pinta-ala suurin. Selvästi A on suorakulma. Vastaava nelikulmion pinta-ala on 6. 3 sin A on ab) Huomaa, että sekä a- että b-kohdassa voidaan tarkastella saman nelikulmion puolikkaan, kolmion DAB pinta-alan maksimointia. Kaikki kolme kolmiota ovat yhteneviä, siis myös suuri pinta-ala on kohdissa sama. Suurin nelikulmio, joka tikuista voidaan muodostaa ilman rajoituksia tikkujen keskinäiselle asettelulle, on a- ja b-kohtien vastaukset. E 3 B 3 C A D 3 Arvostelu: (a) Osakohta p. Oikea konfiguraatio pinta-aloineen 1p, perusteluista 1p. Mikäli ratkaisussa useita maksimikonfiguraatioita, pinta-ala on sama kaikissa tapauksissa, myös kun kuvio ei ole suorakulmainen, annetaan 0p. Perustelussa tyypillisesti keskeisintä on toteamus, että suunnikkaan korkeus on korkeintaan sivun pituus. (b) Osakohta 4p. Oikea konfiguraatio 1p, pinta-ala 1p, perustelu p. 3

6 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 013- vastaukset Tehtävä 5 Merkitään q = 1/1000, p = 1/100 ja N = tarkastellaan osuuksia koko määrästä: kantaja ei-kantaja kantajaksi diagonosoitu osuus q(1-p) (1-q)p kantajaksi diagonosoitu määrä a) Kantajaksi diagnosoidaan siis osuus P = q(1 p) + (1 q)p, joten kantajiksi diagnosoidaan NP = 0, N = = potilasta. b) Vääriä diagnooseja tehdään osuudelle (1 q)p P = N(1 q)p NP = = 111 = 0, %. 1 josta R d = R r d ( r ). 1 R = 1 () R Haluamme, että lausekkeessa () on d R 3 5. Yleiselle n-monikulmiolle pätee r R = cos π n, joten d R = 1 1 cos π n = 1 sin π 3 n 5, kun n 3, joten sin π n 5 n > π arcsin( 39, n ) Arvostelu: Osakohdat 3+3p. Vastauksesta voidaan, kontekstista riippuen hyvittää taulukon kantajien tai eikantajien määrän tai osuuden laskemisesta. Tyypillisesti a-kohdassa on jätetty huomiotta joko kantajien tai ei-kantajien osuus. Kohdassa b on usein käytetty osoittajassa lauseketta , mikä on periaatteellisesti väärin, vaikkakin numeerisesti pieni virhe. Kummassakin tapauksessa, osatehtävän vastaus tyypillisesti arvostellaan 1p arvoiseksi. Tehtävä 6 (a) Neliön sivun pituus r = R, joten r R = 1. Edellisestä suoraan d = R(1 1 ) 0, 998 R 7, 333. (b) Pallon d-korkean kalotin pohjan säteelle r pätee (R d) + r = R, Arvostelu: Osakohdat +4p. (a) Ratkaisusta on ilmettävä seikkaperäisesti miten pallo uppoaa reikään. Pelkästään neliön sivun pituuden tai sen puolikkaan ratkaisemisesta ei hyvitetä. (b) Pelkästään sinänsä todesta lausekkeesta r = 3 69 ja vastaavasta kuvioista ei yksinomaan hyvitetä. Vastauksesta tulee ilmetä selvästi, kuten kuvasta, miten kulma α = π n on laskettu. 4