Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI. A3 Ratkaise yhtälöt:

Transkriptio

1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. A3 Ratkaise yhtälöt:, 0 x < π. (b) ln(x + 3) 1 = ln x. Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = log e x on luonnollinen logaritmi. A4 Joen kalakannasta 69 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee 7100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi. A1 (a) Derivoi f(x) = x + 3. (b) Laske (x + 5)(x + 7) dx. (c) Ratkaise 15 7x 3. A Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 68 %. (a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä? (b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä peräkkäin? (a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 100 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on kesällä vuosina 1, ja 3? (b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n? A5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut. A6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, 6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde. (a) Määritä tikun yläpään koordinaatit. (b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus? c 015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

2 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 015 Ingenjörantagningens prov i matematik, kl Serie A-SV Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. A3 Lös ekvationerna:, 0 x < π. (b) ln(x + 3) 1 = ln x. Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = log e x den naturliga logaritmen. A4 I en å dör 69 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 7100 nya fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern. A1 (a) Derivera f(x) = x + 3. (b) Beräkna (c) Lös 15 7x 3. (x + 5)(x + 7) dx. A Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett tecken är en etta med sannolikhet p = 68 %. (a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor? (b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva ettor? (a) På sommaren år 0 fanns det 100 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns det i ån på sommaren åren 1, ja 3? (b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren år n. Vad närmar den, då n? A5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de tresiffriga talen. A6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4), finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, 6, 17) finns en punktformad ljuskälla. (a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan. (b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta. c 015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

3 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja B-FI Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. B3 Ratkaise yhtälöt:, 0 x < π. (b) ln(x + 5) 1 = ln x. Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = log e x on luonnollinen logaritmi. B4 Joen kalakannasta 71 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee 6100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi. B1 (a) Derivoi f(x) = x + 4. (b) Laske (x + 4)(x + 7) dx. (c) Ratkaise 16 5x 3. B Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 76 %. (a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä? (b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä peräkkäin? (a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 00 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on kesällä vuosina 1, ja 3? (b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n? B5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut. B6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, 6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde. (a) Määritä tikun yläpään koordinaatit. (b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus? c 015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

4 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 015 Ingenjörantagningens prov i matematik, kl Serie B-SV Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. B3 Lös ekvationerna:, 0 x < π. (b) ln(x + 5) 1 = ln x. Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = log e x den naturliga logaritmen. B4 I en å dör 71 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 6100 nya fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern. B1 (a) Derivera f(x) = x + 4. (b) Beräkna (c) Lös 16 5x 3. (x + 4)(x + 7) dx. B Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett tecken är en etta med sannolikhet p = 76 %. (a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor? (b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva ettor? (a) På sommaren år 0 fanns det 00 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns det i ån på sommaren åren 1, ja 3? (b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren år n. Vad närmar den, då n? B5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de tresiffriga talen. B6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4), finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, 6, 17) finns en punktformad ljuskälla. (a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan. (b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta. c 015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

5 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja C-FI Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. C3 Ratkaise yhtälöt:, 0 x < π. (b) ln(x + 4) 1 = ln x. Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = log e x on luonnollinen logaritmi. C4 Joen kalakannasta 73 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee 500 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi. C1 (a) Derivoi f(x) = x + 5. (b) Laske (x + )(x + 9) dx. (c) Ratkaise 17 9x 3. C Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 79 %. (a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä? (b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä peräkkäin? (a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 300 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on kesällä vuosina 1, ja 3? (b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n? C5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut. C6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, 6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde. (a) Määritä tikun yläpään koordinaatit. (b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus? c 015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

6 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 015 Ingenjörantagningens prov i matematik, kl Serie C-SV Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. C3 Lös ekvationerna:, 0 x < π. (b) ln(x + 4) 1 = ln x. Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = log e x den naturliga logaritmen. C4 I en å dör 73 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 500 nya fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern. C1 (a) Derivera f(x) = x + 5. (b) Beräkna (c) Lös 17 9x 3. (x + )(x + 9) dx. C Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett tecken är en etta med sannolikhet p = 79 %. (a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor? (b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva ettor? (a) På sommaren år 0 fanns det 300 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns det i ån på sommaren åren 1, ja 3? (b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren år n. Vad närmar den, då n? C5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de tresiffriga talen. C6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4), finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, 6, 17) finns en punktformad ljuskälla. (a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan. (b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta. c 015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

7 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja D-FI Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. D3 Ratkaise yhtälöt:, 0 x < π. (b) ln(x + 6) 1 = ln x. Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = log e x on luonnollinen logaritmi. D4 Joen kalakannasta 76 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee 4300 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi. D1 (a) Derivoi f(x) = x + 6. (b) Laske (x + 7)(x + 3) dx. (c) Ratkaise 13 7x 3. D Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 8 %. (a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä? (b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä peräkkäin? (a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 400 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on kesällä vuosina 1, ja 3? (b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n? D5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut. D6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, 6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde. (a) Määritä tikun yläpään koordinaatit. (b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus? c 015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

8 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 015 Ingenjörantagningens prov i matematik, kl Serie D-SV Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. D3 Lös ekvationerna:, 0 x < π. (b) ln(x + 6) 1 = ln x. Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = log e x den naturliga logaritmen. D4 I en å dör 76 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 4300 nya fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern. D1 (a) Derivera f(x) = x + 6. (b) Beräkna (c) Lös 13 7x 3. (x + 7)(x + 3) dx. D Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett tecken är en etta med sannolikhet p = 8 %. (a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor? (b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva ettor? (a) På sommaren år 0 fanns det 400 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns det i ån på sommaren åren 1, ja 3? (b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren år n. Vad närmar den, då n? D5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de tresiffriga talen. D6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4), finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, 6, 17) finns en punktformad ljuskälla. (a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan. (b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta. c 015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

9 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä 1 A B C D (a) f(x) = x + a = (x + a) 1/. f(x) = x + 3 f(x) = x + 4 f(x) = x + 5 f(x) = x + 6 f (x) = f (x) = x f(x) f (x) = x f(x) f (x) = x f(x) f (x) = x f(x) x x + a = x x + a. (b) (x + a)(x + b)dx (x + 5)(x + 7) dx = (x + 4)(x + 7) dx = (x + )(x + 9) dx = (x + 7)(x + 3) dx = = (x 3 + ax + bx + ab ) dx = 1 4 x4 + a 3 x3 + b x + abx x x x4 + 35x x x x4 + 8x x x x4 + 18x x x x4 + 1x (c) a bx c 15 7x x x x 3 c a bx c 1 (a + c)/b x (c a)/b 7 x x x x 16 7

10 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä A B C D (a) Jonossa on kaksi nollaa ja neljä ykköstä, eli p = 68 p = 76 p = 79 p = 8 ( P = 0, 384 P = 0, 88 P = 0, 576 P = 0, P = )p 4 (1 p) 33% 9% 6% % 4 (b) Suotuisat, keskenään poissulkevat tapaukset ovat muotoa 1111xx, 01111x, ja x01111, jossa x on mielivaltainen numero. Eli P = 0, 3506 P = p 4 + (1 p)p 4 + (1 p)p 4 = (3 p)p 4 35% P = 0, % P = 0, % P = 0, % 3

11 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä 3 (a) sin y = 1, y R (1) y = 1 4 π + πn y = π ( 1 4π) + πn () x = y 1 [0, π] (3) x = 7 4 π 1 x = 5 4 π 1 (4) A B C D x = { 7 4 π 1, 5 4 π 1} = {4, ;, } x = { 7 4 π 1, 5 4 π 1} = {4, ;, } x = { 7 4 π 1, 5 4 π 1} = {4, ;, } x = { 7 4 π 1, 5 4 π 1} = {4, ;, } (b) ln(x + a) 1 = ln x (5) ln(x + a) = ln(e) + ln x (6) ln(x + a) = ln ex (7) x + a = ex (8) ex x a = 0 (9) x = 1 ± 1 + 4ae (10) Koska x, x + a 0 x 0, ratkaisu on x = ea (11) x = = e = e = 1, 5046 x = = e = e = 1, x = = e = e = 1, 5560 x = = e = e = 1,

12 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä 4 (a) Ongelmaa voidaan mallintaa 1. kertaluvun lineaarisella differenssiyhtälöllä x n+1 = d + r x n, jossa r on talvehtivien kalojen osuus. Merkitään aloitusvuoden 0 kalojen määrää x 0. Saadaan x 1 = d + rx 0 x = d + rx 1 = d + dr + r x 0 x 3 = d + rx = d + dr + dr + r 3 x 0 A B C D r = d = 7100 x 0 = 100, 0 x 1 = 7751, 0 x = 950, 8 x 3 = 10045, 9 r = d = 6100 x 0 = 00, 0 x 1 = 6738, 0 x = 8054, 0 x 3 = 8435, 7 r = d = 500 x 0 = 300, 0 x 1 = 581, 0 x = 6771, 7 x 3 = 708, 4 r = d = 4300 x 0 = 400, 0 x 1 = 4876, 0 x = 5470, x 3 = 561, 9 (b) Selvästi lim n r n = 0, koska r < 1, joten tarkastelemalla x n lauseketta: [ ] 1 r n x := lim x n = lim d + r n x 0 = d n n 1 r 1 r x 1089, 8 x 8591, 5 x 713, 3 x 5657, 9 Vaihtoehtoisesti: Oletetaan, että on olemassa tasapainotila x = lim x x n. Tällöin x = d + r x x = d 1 r. 5

13 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä 5 Merkitään lukuja a ja b. Tällöin { a + b = 999 josta b = 999 a, 1000 a + b = 6(1000 b + a) 1000a + (999 a) = 6(1000(999 a) + a) (1) 999a = 6( a) (13) a + 1 = 6(1000 a) (14) 7a = 5999 (15) a = 857 b = 14. (16) Huomaa, että koska molemmat ehdot ovat symmetrisiä lukujen järjestyksellä ei ole väliä. 6

14 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 015- vastaus Tehtävä 6 Viitaten oheisiin kuviin, merkitään a = OA, b = OB = OP, c = OC, u = CQ CQ, v = OC OC = OP OP. Edelleen olkoon α = BOC ja β = AOB. Kummassakin tapauksessa varjon pituus on kaaren P B pituus α b ja saamme kulmille γ = AOC ja komplementille γ = π γ u v = 1 cos(γ ) = sin(γ). cos β = c cos γ, α = γ β. (17) b Jos a < b, tilanne on (i) ja a = c cos γ = b cos β Jos a b, olemme tilanteessa (ii): α saadaan lausekeesta cos α = b/c. a < b cos β < 1. (18) Konkreettisesti: OP = (3; 0; 4), OQ = (18; 6; 17), b = r = 5, c = 5 + r = 10, OC = c b OP = (6; 0; 8), CQ = OQ OC = (1; 6; 9), CQ 16, 155, Nyt (18) antaa sin γ = u v = CQ OC 0, 89134, γ 1, 100. CQ OC cos β = (c/b) cos γ 0, < 1 eli tapaus (i); β 0, 43545, α = γ β 0, ja varjon pituus αb 3, 343. Vastaus a) P = (6; 0; 8), b) varjon pituus 3, 343. Vaihtoehto Käyttäen aikaisempia merkintöjä: Piste B sijaitsee pallon pinnalla: OB = OC k CQ jollekin k. OC k CQ = OP OC k OC CQ + CQ OP = k + 61k = 0; k = 0, 4117 k = 0, 687. Lähempi piste, pienempi k, on varjon pää. cos α = eli α = OB OP OC OP k CQ OP = OB OP r = 144 7k 5 = 0,