Korkealämpötilakemia
|
|
- Pirkko Aho
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Korkealämpötilakemia Useamman komponentin tasapainopiirrokset To klo 8-10 SÄ114 Tavoite Oppia lukemaan ja tulkitsemaan ternäärisiä tasapainopiirroksia 1
2 Sisältö Ternääriset tasapainopiirrokset - Ternäärinen pohjakolmio - Ternäärisistä piirroksista tehtävät leikkaukset - Likvidus- ja soliduspintojen esittäminen korkeuskäyrinä - Sideviivat - Erilaiset tasapainotyypit - Eutektinen, eutektis-peritektinen, peritektinen - Satulapiste - Vipusääntö kolmen faasin alueella - Merkintöjä - Esimerkki sulamisen ja jähmettymisen tarkastelusta Useamman komponentin tasapainopiirrokset - Kvaternääriset systeemit ja niiden leikkaukset Ominaisuuksien esittäminen pohjakolmion avulla Ternääriset tasapainopiirrokset Vapaaenergiafunktiot ovat binäärisysteemien käyrien sijasta koveria pintoja, joilla on minimipiste Binäärisysteemien tangenttisuoria vastaavat vapaaenergiapintoja sivuavat tasot Tasapainot eivät itsessään ole sen monimutkaisempia kuin binäärisysteemeissä Graafisen esittämisen helpottamiseksi on kiinnitettäviä useampia olosuhdemuuttujia - Binäärikuvaajissa kiinnitetyn paineen lisäksi 2
3 Ternäärinen pohjakolmio Binäärinen Puhdas B-C-systeemi aine A Komponentin (pitoisuus A pitoisuus = 100 = %) % Systeemin koostumus esitetään ternäärisen pohjakolmion eli ns. Gibbsin kolmion avulla - Kolmion kärjet edustavat puhtaita komponentteja - Sivut vastaavat binäärisysteemejä - Koostumus luetaan kolmion sivuilta Ternäärinen pohjakolmio Systeemin koostumus esitetään ternäärisen pohjakolmion eli ns. Gibbsin kolmion avulla - Kolmion kärjet edustavat puhtaita komponentteja - Sivut vastaavat binäärisysteemejä - Koostumus luetaan kolmion sivuilta Lämpötila kuvataan kohtisuoraan koostumustasoa vastaan Kuva: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill,
4 Ternäärisistä faasipiirroksista tehtävät leikkaukset Useamman kuin kahden komponentin tasapainopiirrosten tulkinta on useista muuttujista johtuen hankalaa jo yksinkertaisissakin tapauksissa - Esim. isobaarinen ternäärinen tasapainopiirros vaatisi kolme ulottuvuutta Kiinnitetään paineen lisäksi myös toinen olosuhde muuttuja - Tuloksena helpommin luettavia, mutta rajallisemman määrän tietoa kertovat kuvaajat Leikkaukset voidaan tehdä eri tavoin - Isotermiset leikkaukset kiinnitetään lämpötila (a) - Usein merkitään samaan kuvaan useita leikkauksia (b), jolloin esim. likviduspinnat esitetään korkeuskäyrinä - Tällaisista kuvista ei saada tietoa esim. soliduslämpötiloista - Vertikaaliset leikkaukset kiinnitetään koostumus (c) - Eivät toteuta kaikkia tasapainopiirroksen piirteitä (d), esim. vipusääntöä ei voida soveltaa kaksifaasialueilla Ternäärisistä faasipiirroksista tehtävät leikkaukset Vertikaalisissa leikkauksissa koostumus voidaan kiinnittää eri tavoin - Kolmion sivun suuntainen suora: Sivun vastakkaista kärkeä edustavan komponentin pitoisuus on vakio - Kolmion kärjen kautta piirretty suora: Kahta muuta kärkeä vastaavien komponenttien pitoisuuksien suhde on vakio 4
5 Ternäärisistä faasipiirroksista tehtävät leikkaukset Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Isotermiset leikkaukset (lämpötilan kiinnitys) Ternäärisistä faasipiirroksista tehtävät leikkaukset Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Vertikaaliset leikkaukset (koostumuksen kiinnitys) 5
6 Ternäärisistä faasipiirroksista tehtävät leikkaukset Esitettäessä likviduspinta korkeuskäyrinä, ei kuvaajasta ole luettavissa tietoa soliduslämpötiloista Likviduspintojen esittäminen korkeuskäyrinä 6
7 Likviduspintojen esittäminen korkeuskäyrinä Ag-Au-Pd-systeemin likvidusprojektiot Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall, Likviduspintojen esittäminen korkeuskäyrinä Li 2 O SiO 2 - SiO 2 - Li 2 O Al 2 O 3 4SiO 2 systeemin likvidusprojektiot Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall,
8 Soliduspintojen esittäminen korkeuskäyrinä Al-Cu-Mg-systeemin solidusprojektiot - HUOM! Koostumusta ei ole esitetty Gibbsin kolmiota käyttäen! Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall, Kaksifaasialueet ternäärisissä tasapainopiirroksissa Binäärikuvaajien kaksifaasialueilta on helppo lukea koostumukset tasapainossa keskenään oleville faaseille - Vaakasuora (isoterminen) viiva koostumukset luetaan kohdista, joissa viiva leikkaa kaksifaasialueen rajat Ternäärikuvaajien isotermisiin leikkauksiin voidaan kaksifaasialueelle piirtää ns. sideviivoja - Yhdistävät koostumuspisteet, jotka ovat tasapainossa keskenään - esim. viereisessä kuvassa lämpötilassa T 3 voi koostumuksen b 3 omaava kiinteä faasi (kuvassa J) olla tasapainossa koostumuksen a 3 omaavan sulafaasin (kuvassa S) kanssa - Sideviivaa pitkin voidaan hyödyntää mm. vipusääntöä - HUOM! Pienemmässä kuvaajassa esitetty isoterminen leikkaus ei ole samasta systeemistä kuin isompi kuva! 8
9 Sideviivat ja niiden käyttö X:llä merkityn koostumuksen omaavan sulan jähmettyminen - Kiinteän ja sulafaasin koostumukset puuroalueella - Luetaan kuhunkin lämpötilaan piirretyn sideviivan päistä - Kiinteän ja sulafaasin osuudet puuroalueella - Lasketaan vipusääntöä käyttäen Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall, Sideviivat ja niiden käyttö X:llä merkityn koostumuksen omaavan sulan jähmettyminen - Kiinteän ja sulafaasin koostumukset puuroalueella - Luetaan kuhunkin lämpötilaan piirretyn sideviivan päistä Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill,
10 Sideviivat ja niiden käyttö X:llä merkityn koostumuksen omaavan sulan jähmettyminen - Tasapainon mukainen jähmettyminen edellyttäisi äärettömän hidasta jäähdytystä (mikä on mahdotonta) - Käytännössä sulan ja kiinteän faasin keskimääräiset eli tasapainon mukaiset koostumukset (katkoviivat) ovat jähmettymisen aikana jäljessä jähmettymisrintamassa vallitsevia koostumuksia (yhtenäiset viivat) - HUOM! Yhtenäiset viivat eivät kulje systeemin kokonaiskoostumusta kuvaavan pisteen kautta! Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Ternäärinen eutektinen tasapaino Likvidus- ja solidus-käyriä vastaavat pinnat Binääriset eutektiset pisteet (e 1, e 2 ja e 3 ) venyvät eutektisiksi laaksoiksi (e 1 E, e 2 E ja e 3 E), jotka kohtaavat ternäärisessä eutektisessa pisteessä (E) Ternäärinen eutektinen lämpötila < Binääriset eutektiset lämpötilat 10
11 Ternäärinen eutektinen tasapaino Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Ternäärinen eutektinen tasapaino Kuva: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall, Kuva: Slag Atlas. 11
12 Satulapiste Voi esiintyä ternäärisissä systeemeissä, joissa - esiintyy välifaaseja - on useita eutektisia pisteitä Kahta eutektista pistettä yhdistävässä laaksossa esiintyvä piste, jossa likviduspinnalla on sekä maksimi että minimi - Maksimi eutektisen laakson suunnassa - Likvidus- ja soliduspinnat sivuavat toisiaan - Minimi kohtisuorassa eutektista laaksoa vastaan - Laakso erottaa kaksi puuroaluetta toisistaan Ternäärinen peritektinen tasapaino Ternäärinen peritektinen lämpötila (T X ) < Binäärinen eutektinen lämpötila (E) > Binääriset peritektiset lämpötilat (P 1 ja P 2 ) 12
13 Ternäärinen eutektisperitektinen tasapaino Ternäärinen eutektis-peritektinen lämpötila (T X ) > Toinen binäärinen eutektinen lämpötila (E 1 ) < Toinen binäärinen eutektinen lämpötila (E 2 ) < Binäärinen peritektinen lämpötila (P) Ternäärinen eutektisperitektinen tasapaino Kuva: Slag Atlas. 13
14 Ternäärinen eutektisperitektinen tasapaino Kuva: Slag Atlas. Kolmifaasialueet tasapainopiirroksissa Vipusääntöä voidaan käyttää faasiosuuksien määritykseen myös kolmen faasin alueella - Pisteet x, y ja z muodostavat (vasemmalla olevassa kuvassa) kolmion muotoisen kolmifaasialueen - x, y ja z edustavat kolmea faasia, jotka ovat tasapainossa - Näiden faasien stabiilisuusalueet sijoittuvat kolmion kärkien taakse - Kolmion sivujen takana ovat kaksifaasialueet - Faasien osuudet kolmen faasin alueelle osuvassa pisteessä t voidaan laskea vipusäännöllä: x x1t x x 1 y y1t y y 1 z1t z z z 1 Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall,
15 Kolmifaasialueet tasapainopiirroksissa Kolmifaasialueen sijainti muuttuu lämpötilan funktiona - Tarkasteltaessa tietyn kokonaiskoostumuksen (esim. X viereisessä kuvassa) omaavan systeemin käyttäytymistä lämpötilaa nostettaessa/laskettaessa (esim. jähmettymisen tai sulamisen tarkastelu) koostumuspiste X osuu eri lämpötiloissa eri kohtiin kolmifaasialuetta - esim. lämpötilan lasku: t 1 t 2 t 3 t 4 - Koostumuspiste X kulkee (oikeastihan X pysyy paikallaan ja kolmifaasialue liikkuu) - -L-kolmifaasialueen halki binäärisestä L- -systeemistä binääriseen - -systeemiin - Lämpötilassa t 2 faasien osuudet: X X ' 2 ' 2 2 ' X XL2 X X L % L L ' 2 ' ' 2 Kuvat: DRF West: Ternary equilibrium diagrams, 2nd ed. Chapman and Hall, Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Kuva: Slag Atlas. Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot 15
16 Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat - Isotermisinä korkeuskäyrinä ohuin viivoin - Yleensä merkitään käyrää vastaava lämpötila - Esimerkkinä kuvaan merkitty 2000 C:n korkeuskäyrä Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Kuva: Slag Atlas. Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot - Paksut viivat nuoli osoittaa laskevan lämpötilan suuntaan - 1: Eutektinen, 2: Peritektinen, 3: Monotektinen Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Kuva: Slag Atlas. Puhtaiden aineiden koostumukset Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot 16
17 Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet - Yksittäinen poikkiviiva eutektisessa tai muussa laaksossa Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Kuva: Slag Atlas. Puhtaiden aineiden koostumukset Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Kuva: Slag Atlas. - Eutektisten ym. laaksojen rajaamat alueet - Kertovan 1. kiteytyvän faasin, kun alueelle osuva sula jäähtyy - Esimerkkinä merkitty forsteriitin ja kalkin kentät Puhtaiden aineiden koostumukset Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot 17
18 Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Kuva: Slag Atlas. - Merkitään pienin ympyröin - Ei välttämättä oman primäärifaasikentän sisällä - Esimerkkinä merkitty forsteriitin ja kalkin koostumuspisteet Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Kuva: Slag Atlas. Alkemaden viivat - Yhdistävät yhdisteiden koostumuksia kuvaavia pisteitä - mikäli yhdisteiden primäärifaasikentät ovat kosketuksissa toisiinsa - Voidaan piirtää erilliseen kuvaajaan Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot 18
19 Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Kuva: Slag Atlas. Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa - Kuvaavat kiinteän tilan liukoisuusalueita Yhteensopivuuskolmiot Ternääristen tasapainopiirrosten merkintöjä Likviduspinnat Eutektiset, peritektiset ja monotektiset laaksot Satulapisteet Primäärijähmettymiskenttä/-faasikenttä Puhtaiden aineiden koostumukset Kuva: Slag Atlas. Alkemaden viivat Poikkiviivat Alkemaden viivoissa Yhteensopivuuskolmiot - Alkemaden viivojen rajaamat kolmiot - Sulan jähmetyttyä kiinteät faasit voidaan lukea sen kolmion nurkista, jonka sisään sulan koostumus sijoittuu - esimerkkinä MgO 2CaO SiO 2 3CaO SiO 2 kolmio 19
20 Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Tarkastellaan sulan jähmettymistä kolmen komponentin systeemissä. Miten jähmettyminen etenee sulalle, jonka koostumus ennen jähmettymisen alkua on: MnO: 56 % SiO 2 : 9 % Al 2 O 3 : 35 % Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Etsitään sulaa vastaava koostumuspiste kuvaajasta. SiO 2 : 9 % 20
21 Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Koostumus sijaitsee korundin (corundum, Al 2 O 3 ) primäärifaasikentässä. Ensimmäinen jähmettyvä faasi on siis Al 2 O 3. Jäljelle jäävä köyhtyy Al 2 O 3 :n suhteen ja rikastuu MnO:n ja SiO 2 :n suhteen. suhteen, kunnes tullaan primäärifaasikenttien rajalle. Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Tästä eteenpäin jähmettyy kahta kiinteää faasia: - korundia (Al 2 O 3 ) - galaksiittia (MnO Al 2 O 3 ) Jäljelle jäävän sulan koostumus seuraa peritektistä laaksoa, kunnes tullaan pisteeseen A. A, minkä jälkeen galaksiitti on ainoa jähmettyvä faasi. A 21
22 Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Jäljelle jäävän sulan koostumus siirtyy poispäin galaksiitin koostumuksesta. koostumuksesta, kunnes tullaan taas primäärifaasikenttien rajalle. Tämän jälkeen jähmettyvät galaksiitti ja MnO. Jäljelle jäävän sulan koostumus seuraa eutektista laaksoa. Esimerkki 1 Jähmettyminen ternäärisysteemissä Ternäärinen eutektinen piste kertoo viimeisenä jähmettyvän sulapisaran koostumuksen. Tämä piste rajoittuu MnO:n, galaksiitin ja spessartiitin primäärifaasikenttiin, joten nämä kolme mineraalia ovat tasapainossa keskenään, kun viimeinen sulapisara jähmettyy. (vrt. yhteensopivuuskolmiot) 22
23 Esimerkki 2 Sulaminen ternäärisysteemissä - Ternääriset kuvaajat on usein piirretty siten, etteivät soliduspinnat ole näkyvissä - Yhteensopivuuskolmioista voidaan kuitenkin lukea ensimmäisen sulan muodostuessa läsnä olevat kiinteät faasit - Ensimmäisenä sulavan materiaalin ( ensimmäisen sulapisaran ) koostumus saadaan luettua pisteestä, jossa kolmion kärjissä olevien komponenttien primäärifaasikentät yhdistyvät - vrt. viimeisenä jähmettyvä sula jähmettymistä tarkasteltaessa Esimerkki 2 Sulaminen ternäärisysteemissä Koostumuspiste Yhteensopivuuskolmio Kolmion komponenttien primäärifaasikentät Ensimmäinen sula 23
24 Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta - Kiinteän tilan liukoisuudesta johtuen välifaaseilla ei ole yksittäisiä koostumuspisteitä, joiden kautta muodostaa yhteensopivuuskolmioita - Sulamista voidaan tarkastella soveltamalla binäärikuvia - Epätarkkaa, mutta parempi kuin ihan puhdas veikkaaminen Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta 24
25 Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta 25
26 Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta 26
27 Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta Binäärikuvaajatarkastelujen pohjalta saatiin jonkinlainen arvio ensimmäisen sulan koostumuksesta, mutta tarkempaa määritystä varten tarvittaisiin tietoa ternäärisysteemin soliduskäyristä Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta Jos käytössä on esim. termodynaaminen laskentaohjelmisto, niin alkusulan koostumuksen voi tietysti laskea. Vihreä piste on laskettu FactSage-ohjelmistolla (alkukoostumus: 11 % Cr 2 O 3, 16 % Al 2 O 3 ja 73 % MgO) Tasapainopiirrosta tarvitaan vain sulakoostumuksen havainnollistamiseen. 27
28 Esimerkki 3 Sulaminen ternäärisysteemissä, jossa esiintyy kiinteän tilan liukoisuutta Alkusulan koostumus Sulaminen alkaa Useamman kuin kolmen komponentin systeemit Käytännön tilanteissa - Lähes aina vähintään kolme pääkomponenttia - Lisäksi epäpuhtaudet ym. pienempinä pitoisuuksina esiintyvät aineet - Binääriset ja ternääriset piirrokset eivät ole riittäviä Useamman komponentin tasapainopiirrokset - Faasisäännön soveltaminen ei aiheuta ongelmia - Erilaiset tasapainotyypit vastaavia kuin binäärisissä ja ternäärisissä systeemeissä - Olosuhdemuuttujien määrä kasvaa, minkä seurauksena graafinen esittäminen vaikeutuu Kvaternäärisiä systeemejä (puhumattakaan monimutkaisemmista tapauksista) kuvattaessa sidotaan lähes aina paineen ja lämpötilan lisäksi vähintään yksi pitoisuusmuuttuja 28
29 Kvaternääriset systeemit Kärjet A, B, C ja D edustavat puhtaita aineita Särmät AB, AC, AD, BC, BD ja CD edustavat binäärisiä systeemejä Pinnat ABC, ABD, ACD ja BCD edustavat ternäärisiä systeemejä Kvaternääriset systeemit Lämpötilariippuvuuksien esittämiseen tarvitaan useita kuvia - Jo isotermiset leikkaukset itsessään vaikeasti luettavia Kuva: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Kuva: Slag Atlas. 29
30 Kvaternääriset systeemit Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Kvaternääristen systeemien leikkaukset Isoterminen leikkauskin vaatii 3 ulottuvuutta - Kuvaajien tulkinnan helpottamiseksi kiinnitetään pitoisuusmuuttuja tai muuttujia tai niiden suhteita - Kaksi pitoisuusmuuttujaa vakioimalla saadaan pseudobinäärinen tasapainopiirros 30
31 Kvaternääristen systeemien leikkaukset Yhden pitoisuusmuuttujan vakiointi Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Kvaternääristen systeemien leikkaukset Yleisiä leikkaustapoja - Yhden pitoisuusmuuttujan vakiointi - Välifaasien valinta päätekomponenteiksi 31
32 Kvaternääristen systeemien leikkaukset Yleisiä leikkaustapoja - Kahden pitoisuusmuuttujan vakiointi Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill, Kvinääristen systeemien leikkaukset Kuvat: Frederick N Rhines: Phase diagrams in metallurgy, McGraw-Hill,
33 Muiden liuosominaisuuksien esittäminen pohjakolmion avulla Ternääristä pohjakolmiota hyödynnetään myös erilaisten kemiallisten ja fysikaalisten ominaisuuksien esittämiseen - Tietyn ominaisuuden arvoja kuvaavat korkeuskäyrät samaan tapaan kuin likviduspintoja esitettäessä - Voidaan nopeasti arvioida koostumuksen vaikutusta systeemin ominaisuuksiin Muiden liuosominaisuuksien esittäminen pohjakolmion avulla Tasapainopiirrosten ja ominaisuuskuvaajien välillä on yhteyksiä, koska ominaisuudet ovat riippuvaisia systeemin (faasi)rakenteesta 33
34 Yhteenveto Useamman komponentin systeemeihin siirryttäessä periaate ei ole sen vaikeampi kuin binäärisysteemeissäkään - Gibbsin faasisääntö toimii - Samat tasapainotyypit - Vipusääntöä voidaan käyttää Ongelmaksi muodostuu useampien (pitoisuus)muuttujien esittäminen yhdessä kuvaajassa - Ratkaisuna erilaiset leikkaukset 34
Faasipiirrokset, osa 3 Ternääristen ja monikomponenttipiirrosten tulkinta
Faasipiirrokset, osa 3 Ternääristen ja monikomponenttipiirrosten tulkinta Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2016 Teema 1 - Luento 5 Tavoite Oppia tulkitsemaan 3-komponenttisysteemien faasipiirroksia
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Binääriset tasapainopiirrokset To 30.10.2017 klo 8-10 SÄ114 Tavoite Oppia lukemaan ja tulkitsemaan binäärisiä tasapainopiirroksia 1 Sisältö Hieman kertausta - Gibbsin vapaaenergian
LisätiedotSulamisen ja jähmettymisen tarkastelu faasipiirroksia hyödyntäen
Sulamisen ja jähmettymisen tarkastelu faasipiirroksia hyödyntäen Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2015 Teema 1 - Luento 6 Tavoite Oppia muutamien esimerkkien avulla tarkastelemaan monikomponenttisysteemien
LisätiedotFaasipiirrokset, osa 2 Binääristen piirrosten tulkinta
Faasipiirrokset, osa 2 Binääristen piirrosten tulkinta Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2016 Teema 1 - Luento 4 Tavoite Oppia tulkitsemaan 2-komponenttisysteemien faasipiirroksia 1 Binääriset
LisätiedotFaasialueiden nimeäminen/tunnistaminen (eutek1sessa) tasapainopiirroksessa yleises1
Faasialueiden nimeäminen/tunnistaminen (eutek1sessa) tasapainopiirroksessa yleises1 A B B Piirroksen alue 1: Sularajan yläpuolella on seos aina täysin sula => yksifaasialue (L). Alueet 2 ja 5: Nämä ovat
LisätiedotTermodynaamisten tasapainotarkastelujen tulokset esitetään usein kuvaajina, joissa:
Lämpötila (Celsius) Luento 9: Termodynaamisten tasapainojen graafinen esittäminen, osa 1 Tiistai 17.10. klo 8-10 Termodynaamiset tasapainopiirrokset Termodynaamisten tasapainotarkastelujen tulokset esitetään
LisätiedotTärkeitä tasapainopisteitä
Tietoa tehtävistä Tasapainopiirrokseen liittyviä käsitteitä Tehtävä 1 rajojen piirtäminen Tehtävä 2 muunnos atomi- ja painoprosenttien välillä Tehtävä 3 faasien koostumus ja määrät Tehtävä 4 eutektinen
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Gibbsin faasisääntö, kuvaajien laadinta sekä1-komponenttipiirrokset To 23.11.2017 klo 8-10 SÄ114 Tavoite Tutustua faasipiirrosten kokeelliseen ja laskennalliseen laadintaan ja siten
LisätiedotChem-C2400 Luento 3: Faasidiagrammit Ville Jokinen
Chem-C2400 Luento 3: Faasidiagrammit 16.1.2019 Ville Jokinen Oppimistavoitteet Faasidiagrammit ja mikrorakenteen muodostuminen Kahden komponentin faasidiagrammit Sidelinja ja vipusääntö Kolmen faasin reaktiot
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Gibbsin faasisääntö, kuvaajien laadinta sekä 1-komponenttipiirrokset Ti 13.11.2018 klo 8-10 AT115A Tavoite Tutustua faasipiirrosten kokeelliseen ja laskennalliseen laadintaan ja siten
LisätiedotDislokaatiot - pikauusinta
Dislokaatiot - pikauusinta Ilman dislokaatioita Kiteen teoreettinen lujuus ~ E/8 Dislokaatiot mahdollistavat deformaation Kaikkien atomisidosten ei tarvitse murtua kerralla Dislokaatio etenee rakeen läpi
LisätiedotEllinghamin diagrammit
Ellinghamin diagrammit Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2015 Teema 1 - Luento 2 Tavoite Oppia tulkitsemaan (ja laatimaan) vapaaenergiapiirroksia eli Ellinghamdiagrammeja 1 Tasapainopiirrokset
LisätiedotKJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 3
KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 3 Tänään ohjelmassa 1. Tasapainopiirros 1. Tulkinta 2. Laskut 2. Faasimuutokset 3. Ryhmätyöt 1. Esitehtävän yhteenveto (palautetaan harkassa) 2. Ryhmätehtävä
LisätiedotFaasipiirrokset, osa 1: Laatiminen sekä 1-komponenttipiirrosten tulkinta
Faasipiirrokset, osa 1: Laatiminen sekä 1-komponenttipiirrosten tulkinta Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2015 Teema 1 - Luento 3 Tavoite Tutustua faasipiirrosten kokeelliseen ja laskennalliseen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKon Teräkset Viikkoharjoitus 1. Timo Kiesi Koneenrakennuksen materiaalitekniikan tutkimusryhmä Koneenrakennustekniikka
Kon-67.3110 Teräkset Viikkoharjoitus 1. Timo Kiesi Koneenrakennuksen materiaalitekniikan tutkimusryhmä Koneenrakennustekniikka Luennolta: Perustieto eri ilmiöistä Kirjoista: Syventävä tieto eri ilmiöistä
LisätiedotKertausluennot: Mahdollisuus pisteiden korotukseen ja rästisuorituksiin Keskiviikko klo 8-10
Kertausluennot: Mahdollisuus pisteiden korotukseen ja rästisuorituksiin Keskiviikko 25.10 klo 8-10 Jokaisesta oikein ratkaistusta tehtävästä voi saada yhden lisäpisteen. Tehtävä, joilla voi korottaa kotitehtävän
LisätiedotRauta-hiili tasapainopiirros
Rauta-hiili tasapainopiirros Teollisen ajan tärkein tasapainopiirros Tasapainon mukainen piirros on Fe-C - piirros, kuitenkin terästen kohdalla Fe- Fe 3 C -piirros on tärkeämpi Fe-Fe 3 C metastabiili tp-piirrosten
LisätiedotKorkealämpötilakemia
1.11.217 Korkealämpötilakemia Standarditilat Ti 1.11.217 klo 8-1 SÄ11 Tavoite Tutustua standarditiloihin liuosten termodynaamisessa mallinnuksessa Miksi? Millaisia? Miten huomioidaan tasapainotarkasteluissa?
LisätiedotRatkaisu. Tarkastellaan aluksi Fe 3+ - ja Fe 2+ -ionien välistä tasapainoa: Nernstin yhtälö tälle reaktiolle on:
Esimerkki Pourbaix-piirroksen laatimisesta Laadi Pourbaix-piirros, jossa on esitetty metallisen ja ionisen raudan sekä raudan oksidien stabiilisuusalueet vesiliuoksessa 5 C:een lämpötilassa. Ratkaisu Tarkastellaan
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotBinäärinen tasapaino, ei täyttä liukoisuutta
Tasapainopiirrokset Binäärinen tasapaino, ei täyttä liukoisuutta Binäärinen tasapaino Kiinteässä tilassa koostumuksesta riippuen kahta faasia Eutektisella koostumuksella ei puuroaluetta Faasiosuudet muuttuvat
LisätiedotAlieutektoidisen teräksen normalisointi
Alieutektoidisen teräksen normalisointi Hiili (C) ja rauta (Fe) Hiili ja rauta voivat muodostaa yhdessä monia erilaisia mikrorakenteita, olipa kyseessä sitten teräs (hiiltä maksimissaan 2.1p.% C, eli hiiltä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotKenguru 2017 Student lukio
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
LisätiedotFaasi: Aineen tila, jonka kemiallinen koostumus ja fysikaalinen ominaisuudet ovat homogeeniset koko näytteessä. P = näytteen faasien lukumäärä.
FAASIDIAGRAMMIT Määritelmiä Faasi: Aineen tila, jonka kemiallinen koostumus ja fysikaalinen ominaisuudet ovat homogeeniset koko näytteessä. P = näytteen faasien lukumäärä. Esimerkkejä: (a) suolaliuos (P=1),
LisätiedotStandarditilat. Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 2. Tutustua standarditiloihin
Standarditilat Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 216 Teema 2 - Luento 2 Tavoite Tutustua standarditiloihin Miksi käytössä? Millaisia käytössä? Miten huomioitava tasapainotarkasteluissa? 1 Miten
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!
ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotSähkökemialliset tarkastelut HSC:llä
Sähkökemialliset tarkastelut HSC:llä Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2016 Teema 4 - Luento 5 Tavoite Oppia hyödyntämään HSC-ohjelmistoa sähkökemiallisissa tarkasteluissa 1 Sisältö Sähkökemiallisiin
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotJohdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin
Johdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin Torstai 27.10.2016 klo 14-16 Luennon tavoite Tutustua eri tapoihin määrittää termodyn. tasapaino laskennallisesti Tutustua termodynaamisten
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Lisätiedot3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
LisätiedotKenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Metallurgiset liuosmallit Yleistä To 15.11.218 klo 8-1 PR126A Tavoite Tutustua ideaali- ja reaaliliuosten käsitteisiin Tutustua liuosmalleihin yleisesti - Jaottelu - Hyvän liuosmallin
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Lisätiedot(l) B. A(l) + B(l) (s) B. B(s)
FYSIKAALISEN KEMIAN LAUDATUTYÖ N:o 3 LIUKOISUUDEN IIPPUVUUS LÄMPÖTILASTA 6. 11. 1998 (HJ) A(l) + B(l) µ (l) B == B(s) µ (s) B FYSIKAALISEN KEMIAN LAUDATUTYÖ N:o 3 1. TEOIAA Kyllästetty liuos LIUKOISUUDEN
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotJohdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin
Johdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin Torstai 7.9.2017 klo 8-10 Prosessimetallurgian tutkimusyksikkö Eetu-Pekka Heikkinen, 2017 Luennon tavoite Tutustua eri tapoihin määrittää
LisätiedotHSC-ohje laskuharjoituksen 1 tehtävälle 2
HSC-ohje laskuharjoituksen 1 tehtävälle 2 Metanolisynteesin bruttoreaktio on CO 2H CH OH (3) 2 3 Laske metanolin tasapainopitoisuus mooliprosentteina 350 C:ssa ja 350 barin paineessa, kun lähtöaineena
Lisätiedot2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite
2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotAineen olomuodot ja olomuodon muutokset
Aineen olomuodot ja olomuodon muutokset Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 8. helmikuuta 2017 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Aineen olomuodot ja olomuodon muutokset 8. helmikuuta 2017 1
LisätiedotCHEM-C2400 MATERIAALIT SIDOKSESTA RAKENTEESEEN (5 op) Laskuharjoitus 1
CHEM-C2400 MATERIAALIT SIDOKSESTA RAKENTEESEEN (5 op) Laskuharjoitus 1 Kristallografiaa 1. Suunnan millerin indeksit (ja siten siis suunta) lasketaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotMak Sovellettu materiaalitiede
.106 tentit Tentti 21.5.1997 1. Rekristallisaatio. 2. a) Mitkä ovat syyt metalliseosten jähmettymisen yhteydessä tapahtuvalle lakimääräiselle alijäähtymiselle? b) Miten lakimääräinen alijäähtyminen vaikuttaa
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotTasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotPERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA
PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Ellingham-diagrammit To 9.11.2017 klo 8-10 SÄ114 Tavoite Oppia tulkitsemaan (ja laatimaan) vapaaenergiapiirroksia eli Ellinghamdiagrammeja 1 Sisältö Mikä on Ellinghamin diagrammi?
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotTina-vismutti seos juotosmetallina
Tina-vismutti seos juotosmetallina Miikka Martikainen Juottaminen Juottaminen on metallien liitosmenetelmä, jossa kappaleet liitetään toisiinsa sulattamalla niiden väliin juotosainetta, eli juotetta. Juotteena
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotTina-vismutti juotosmetallin binäärinen seos Tekijä: Lassi Vuorela Yhteystiedot:
Tina-vismutti juotosmetallin binäärinen seos Tekijä: Lassi Vuorela Yhteystiedot: lassi.vuorela@aalto.fi Juottaminen Juottamisessa on tarkoitus liittää kaksi materiaalia tai osaa niin, että sähkövirta kykenee
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
LisätiedotKellogg-diagrammit. Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2016 Teema 1 - Luento 1
Kellogg-diagrammit Ilmiömallinnus rosessimetallurgiassa Syksy 6 Teema - Luento Tavoite Oia tulkitsemaan ja laatimaan ns. Kellogg-diagrammeja eli vallitsevuusaluekaavioita Aluksi tutustutaan yleisesti tasaainoiirroksiin
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedot