Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat"

Transkriptio

1 Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on jaollinen kahdeksalla jos ja vain jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen 8:lla, on oltava b =. Koska luku on jaollinen 9:llä jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä, ja koska = 4, on oltava a = 3. Todellakin 3679 = Kolmion ABC sisäympyrä Γ sivuaa kolmion sivua BC pisteessä X. Osoita, että Γ:n keskipiste on AX:n ja BC:n keskipisteiden kautta kulkevalla suoralla. Ratkaisu. Olkoon I sisäympyrän keskipiste, r sen säde, K BC:n keskipiste, L AX:n keskipiste ja Y ja Z pisteiden L ja A kohtisuorat projektiot sivulla BC. Olkoot vielä kolmion sivut a, b, c ja ABC = β. Jos b = c, väite on triviaali. Voidaan olettaa, että c>b. Väitteen todistamiseksi riittää nyt, että osoitetaan suhteet KX : XI ja KY : YL yhtä suuriksi. Selvästi BZ = c cos β. Tunnetusti BX = 1 (a b + c) [Helppo lasku, joka perustuu siihen, että tangenttien leikkauspisteen ja sivuamispisteiden välisetjanatovatyhtäpitkät.] Koska Y on janan XZ keskipiste, BY = 1 4 (a b + c + c cos β). Siis KY = BY BK = 1 ( a b + c +c cos β). Kolmion ala on tunnetusti 4 T = rp, missä p = 1 (a + b + c). [Jaa kolmio kolmeksi osakolmioksi, joilla I on yhteinen kärki ja r jokaisen korkeus.] Toisaalta T = 1 a AZ = a LY,koskaAZ = LY. Siis LY = pr.näin ollen a KY LY a( a b + c)+ac cos β =. 4rp Kosinilauseen nojalla ac cos β = a + c b.kuntämä otetaan huomioon, saadaan KY LY = a ab + ac + a + c b 4rp Mutta KX = BX BK = 1 (c b), joten myös = a(c b)+(c + b)(c b) 4rp = p(c b) 4rp = c b r. ja väite on todistettu. KX XI = c b r,

2 3. Osoita, että josx, y, z ovat 0, niin x(x y)(x z)+y(y z)(y x)+z(z x)(z y) 0. Osoita edelleen, että kaikille reaaliluvuille a, b, c pätee a 6 + b 6 + c 6 +3a b c (b 3 c 3 + c 3 a 3 + a 3 b 3 ). Ratkaisu. Olkoon f(x, y, z) =x(x y)(x z)+y(y z)(y x)+z(z x)(z y). Selvästi funktion f arvo on sama kaikilla muuttujien x, y, z permutaatioilla. Voidaan siis olettaa, että x y z. f:n lausekkeen viimeinen yhteenlaskettava on yhden ei-negatiivisen ja kahden ei-positiivisen luvun tulona ei-negatiivinen, joten f(x, y, z) (x y)(x(x z) y(y z)) (x y)y((x z) (y z)) = y(x y) 0. Toisen väitteen todistamiseksi hyödynnämme jo todistettua epäyhtälöä f(x, y, z) 0. Kun f:n lausekkeesta poistetaan sulkeita, saadaan x 3 + y 3 + z 3 +3xyz yz(y + z)+zx(z + x)+xy(x + y). Sijoitetaan x = a y = b ja z = c ja otetaan huomioon a + b ab, b + c bc ja c + a ca. Väite seuraa välittömästi. 4. Luvut x ja y toteuttavat yhtälöt x 3yx +9=0ja y + y =1. a) Osoita, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n on missä a n,b n,c n,d n ovat kokonaislukuja. b) Osoita, että x 5 = 43. c) Osoita, että jos5 n, niin x n = a n + b n x + c n y + d n xy, x n 1 +3x n +3 x n n x +3 n 1 =0. Ratkaisu. Todistetaan väite a) induktiolla. Selvästi x 1 = x on haluttua muotoa: b 1 =0, a 1 = c 1 = d 1 = 0. Oletetaan sitten, että x n = a n +b n x+c n y+d n xy joillain kokonaisluvuilla a n,b n,c n,d n. Kun otetaan huomioon, että x =3xy 9jay =1 y, saadaan x n+1 = x(a n +b n x+c n y +d n xy) =a n x+b n (3xy 9)+c n xy +d n (3xy 9)y = 9b n +a n x 9d n y + (3b n + c n )xy +3d n (1 y)x = 9b n +(a n +3d n )x 9d n y +(3b n + c n 3d n )xy. Tämä on vaadittua muotoa, a n+1 = 9b n, b n+1 = a n +3d n, c n+1 = 9d n ja d n+1 =3b n + c n 3d n. Väitteen b) todistamiseksi riittää laskea kertoimet a 5,b 5,c 5,d 5. Saadaan järjestyksessä a = 9, b =0,c =0,d =3;a 3 =0,b 3 =0,c 3 = 7, d 3 = 9; a 4 =0,b 4 = 7, c 4 = 81, d 4 =0jaa 5 = 43, b 5 =0,c 5 =0,d 5 = 0. Siis todellakin x 5 = 43.

3 Väitteen c) todistamiseksi huomataan ensin, että tehtävässä esiintyvä polynomi on itse asiassa x n 3 n x 3. Jos n =5k, niin edellisen kohdan perusteella x n 3 n =(x 5 ) k (3 5 ) k = 43 k 43 k = Kolmion ABC kärjistä A, B, C piirretyt kulmanpuolittajat leikkaavat kolmion ympärysympyrän myös pisteissä D, E, F. Osoita, että AD EF. Ratkaisu. Olkoot kolmion ABC kulmat α, β, γ. Olkoon G AD:n ja FE:n leikkauspiste. Kehäkulmalauseen perusteella GDE = ABE = 1 β, BED = BAD = 1 α ja BEF = BCF = 1 γ. Sovelletaan lausetta kolmion kulman vieruskulman suuruudesta kolmioon GDE. Saadaan AGE = GDE + DEG = 1 (β + α + γ) = Jännenelikulmiolla ABCD on sisäympyrä (ympyrä, joka sivuaa sen kaikkia sivuja). Lävistäjä AC jakaa ABCD:n kahdeksi sama-alaiseksi kolmioksi. Osoita, että AB = AD ja BC = BD. Oletetaan, että AB = 3 BC ja että ABCD:n sisäympyrän säde on r. Osoita, että nelikulmion ala on 16 3 r. Ratkaisu. Oletuksen mukaan ABCD on ympyrän ympärysnelikulmio. Siis AB+CD = BC+DA. Koska ABCD on jännenelikulmio, ABC ja CDA ovat vieruskulmia; niillä on sama sini. Kolmioiden ABC ja CDA kaksinkertaiset alat ovat AB BC sin( ABC) ja CD DA sin( CDA). Siis AB BC = CD DA eli AB + CD CD = AB DA +1= CD BC DA + BC +1=. BC Siis CD = BC ja AB = AD. Kolmiot ABC ja ADC ovat siis yhteneviä (sss), joten ABC = CDA. Kun kulmat toisaalta ovat vieruskulmiakin, ne ovat suoria. Lisäksi AC on kulman BAD puolittaja, joten jännenelikulmion sisäympyrän Γ keskipiste I on janalla AC. Jälkimmäisen väitteen todistamiseksi merkitään P :llä jaq:lla Γ:n ja AB:n sekä BC:n sivuamispisteitä. Nyt IPBQ on neliäö, sillä siinä on kolme suoraa kulmaa IPB, PBQ, BQI ja yhtä pitkät viereiser sivut IP = IQ = r. Kolmiot ABC ja IQC ovat yhdenmuotoiset (kk), joten IQ : QC = AB : BC =3. Tästä seuraa, että BC = BQ+ QC = r r = 4 3 r ja AB =3 BC =4r. Kolmion ABC ala on siis r 4r

4 4 ja nelikulmion ABCD ala kaksi kertaa ABC:n ala eli 16 3 r. 7. Säännöllisen n-kulmion P n ympäri piirretyn ympyrän säde on 1. Olkoon L n = {d R d on P n : n kahden kärjen välinen etäisyys}. Määritä d. d L n Ratkaisu. Olkoon kysytty summa S. Olkoon n-kulmio A 1 A...A n ja olkoon O sen keskipiste. Olkoon e k = OA k, k =1,,..., n. Kun vektorit e 1, e,..., e n asetetaan peräkkäin, saadaan säännöllinen n-kulmio. Siis n ek = 0. Lasketaan kärjestä A 1 alkavien lävistäjien pituuksien neliöiden summa. Se on ( n e k n e 1 = ( e k e 1 ) ( e k n n ) e 1 )= ( e k + e 1 ) e 1 ek =n. Jos n on parillinen, edellisessä summassa ovat kaikki monikulmion kärkien väliset eri etäisyydet kahdesti, paitsi pisimmän etäisyyden neliö, joka esiintyy vain kerran. Siis S =n +4ja S = n +. JosS on pariton, summassa esiintyvät kaikki monikulmion kärkien väliset etäsiyydet kahdesti. Tässä tapauksessa siis S = n. 8. Pisteet O ja P ovat sellaiset kolmion ABC sisäpisteet, että ABO = CBP ja BCO = ACP. Osoita, että CAO = BAP. Ratkaisu. Olkoot kolmion kulmat α, β, γ, ABO = CBP = φ, BCO = ACP = ψ, CAO = η ja BAP = η. Olkoot vielä AP = x, BP = y, CP = z ja AO = s, BO = t, CO = u. Kolmioista ABO, BCO, CAO saadaan sinilauseen perusteella s sin φ = t sin(α η ), t sin ψ = u sin(β φ), u sin η = s sin(γ ψ), joista 1= s t t u u s = sin φ sin ψ sin η sin(α η )sin(β φ)sin(γ ψ). Kolmioista ABP, BCP, CAP saadaan vastaavasti sin η sin φ sin ψ 1= sin(α η)sin(β φ)sin(γ ψ). Edellisistä yhtälöistä voidaan helposti ratkaista sin η sin(α η )=sinη sin(α η) jaedelleen, sinin vähennyslaskukaavaa soveltamalla, 0 = sin η cos η sin η cos η =sin(η η ). Koska η, η < 180,onη = η,javäite on todistettu.

5 9. Olkoon f(n) jonon 0, 1, 1,,, 3, 3, 4, 4,...n:n ensimmäisen jäsenen summa. Osoita, että f(s + t) f(s t) =st kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla s, t, s>t. Ratkaisu. Jos n on parillinen, n =k, niin 5 f(n) =( k 1)+(1++ + k) = Jos n on pariton, n =k + 1, niin (k 1)k + k(k +1) = k = n 4. f(n) =( k)+(1++ + k) =k(k +1)= n 1. 4 Koska s + t (s t) =t, s + t ja s t ovat molemmat parillisia tai molemmat parittomia. Jos ne ovat molemmat parillisia, f(s + t) f(s t) = 1 4 ((s + t) (s t) )=st, jos molemmat parittomia, niin f(s + t) f(s t) = 1 4 ((s + t) 1 ((s t) 1)) = st. 10. Reaaliluvuille x, y, z pätee x+y+z =5ja xy+yz+xz =3. Osoita, että 1 z Ratkaisu. Koska (x + y) =(5 z) ja xy =3 z(x + y) =3 z(5 z) =z 5z + 3, niin 0 (x y) =(x+y) 4xy =(5 z) 4(3 5z+z )= 3z +10z+13 = ( 3z+13)(z+1). Tulon tekijöiden on oltava samanmerkkisiä; tämä toteutuu, kun 1 z Jokainen erään ympyrän kehällä sijaitsevien 9 pisteen välisistä 36 janasta on väritetty punaiseksi tai siniseksi. Oletetaan, että jokaisessa kolmiossa, jonka määrittää kolmenäistä yhdeksästä pisteestä, on ainakin yksi punainen sivu. Osoita, että joidenkin neljän pisteen väliset kuusi janaa ovat kaikki punaisia. Ratkaisu. Oletetaan ensin, että jokinpistea on yhdistetty neljään muuhun pisteeseen B 1,B,B 3,B 4 sinisin janoin. Koska jokaisessa kolmiossa ( ) AB i B j on ainakin yksi punainen jana, kaikki pisteitä B 1,B,B 3,B 4 yhdistävät = 6 janaa ovat punaisia.oleteaan 4 sitten, että kaikista pisteistä lähtevistä kahdeksasta janasta ainakin viisi on punaista. Kun lasketaan kaikista pisteistä lähtevien punaisten janojen lukumäärä, tulos on parillinen luku, koska jokainen jana lasketaan kahdesti. Koska 9 5 on pariton, on oltava ainakin yksi piste A, jostalähtee kuusi punaista janaa AB 1,AB,AB 3,AB 4,AB 5,AB 6. Viidestä janasta A 1 A,A 1 A 3,A 1 A 4,A 1 A 5,A 1 A 6 ainakin kolme on samaa väriä. Olkoot ne A 1 A,A 1 A 3,A 1 A 4. Jos väri on sininen, niin A A 3, A A 4 ja A 3 A 4 ovat punaisia, joten neljän pisteen A, A,A 3,A 4 väliset janat ovat kaikki punaisia. Jos väri on punainen, niin tarkastetaan kolmiota A A 3 A 4. Siinä on ainakin yksi punainen sivu, esimerkiksi A A 3. Silloin kaikki pisteiden A, A 1,A,A 3 väliset janat ovat punaisia. 1. Osoita, että luku ( ) p on jaollinen p:llä aina,kunp on alkuluku. p

6 6 Ratkaisu. = ( ) p = p p(p 1) (p +1) p! p! [(p 1) + p)((p ) + p) (1 + p) (p 1)(p ) ]. (p 1)! Koska edellisen yhtälön oikean puolen ensimmäisen ja toisen tulon tekijät ovat järjestyksessä kongruentteja mod p, tulot ovat kongruentteja, ja hakasuluissa oleva erotus on jaollinen( p:llä. ) Koska p on alkuluku, se ei ole tekijänä luvussa (p 1)!. Siis p on tekijänä p luvussa. p 13. Positiivisen kokonaisluvun n tekijät ovat 1=d 1 <d <...< d k = n. Määritä nen, joille n = d 6 + d 7 1. Ratkaisu. [Tehtävän ratkaisu on pitkä jakömpelö. Keksiikö joku suoremman? Tehtävä on esitetty Australian matematiikkaolympialaisissa vuonna 1985, ja toisesta ratkaisusta päätellen ilmeisesti keksitty edellisenä vuotena. Kukaan ei ollut osannut sitä kilpailussa ratkaista.] Jos luvuilla d 6 ja d 7 olisi yhteinen tekijä, se olisi sekä luvun n että luvun n +1tekijä. Luvuilla ei siis ole yhteisiä tekijöitä. Huomataan, että d 6 on luvun d 7 1= (d 7 +1)(d 7 1) tekijä ja että d 7 on luvun d 6 1=(d 6 +1)(d 6 1) tekijä. Oletetaan, että d 6 = ab ja d 7 = cd, 1<a<b,1<c<d. Silloin luvut 1, a, b, c ja d ovat n:n tekijöitä, ja jokainen niistä on<d 6.Myös ac on n:n tekijä; ac ei ole kumpikaan luvuista d 6 tai d 7. Jos olisi ac > d 7 = cd, olisi a>dja b>a>dja d 6 >d 7. Siis ac < d 6,eikä d 6 olisi n:n tekijöistä kuudes. Siis ainakin toinen luvuista d 6 ja d 7 on joko alkuluku p tai alkuluvun p neliö p.nähdään, että p>. Jos d 7 on p tai p, d 7 :llä jajoko(d 6 1):llä tai(d 6 + 1):llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Koska d 6 <d 7, d 7 (d 6 +1),ja d 7 = d Jos taas d 6 on p tai p, d 6 :lla ja joko (d 7 1):llä tai(d 7 + 1):llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Jos d 6 (d 7 1), niin d 7 = kp +1taid 7 = kp + 1 jollain k 1. Oletetaan ensin, että d 7 = kp +1. Koskad 7 on p 1:n tekijä, p 1=m(kp + 1). Silloin p on luvun m 1tekijä, joten p m +1. Toisaalta p = mk ± (mk) +4(m +1) >mk. Tämä on mahdollista vain, jos k =1jad 7 = p +1=d Olkoon sitten d 7 = kp +1 jollain k 1. Tämä ei ole mahdollista, koska d 7 on luvun p 1 <kp +1=d 7 tekijä. Olisi vielä mahdollista, että d 6 on luvun d 7 +1tekijä. Tarkastellaan ensin tapaus d 6 = p. Silloin d 7 = kp 1 jollain k 1. Koska d 7 >p= d 6, niin k>1. Koska d 7 on luvun p 1 tekijä, niin k p. Nyt (p +1)(p 1) = p 1=m(kp 1). Koska kp 1 >p 1, niin m<p+1elim 1 <p. Toisaalta p on luvun m 1tekijä, joten p m 1. Ristiriita osoittaa, että p ei voi olla d 7 +1:ntekijä. Vielä on mahdollisuus d 6 = p ja p d 7 +1:n tekijä. Silloin olisi d 7 = kp 1 jollain k 1jakp 1 olisi p 1:n tekijä. Tällöin olisi k =1jad 7 <p = d 6. Edellisten tarkastelujen tulos on, että riippumatta siitä, onko d 6 vai d 7 alkuluku tai alkuluvun neliö, on oltava d 7 = d Siis n = d 6 +(d 6 +1) 1=d 6 +d 6 =d 6 (d 6 +1).

7 Edellä olevan perusteella joko n =p(p +1), n =(p 1)p tai n =(p 1)p. Oletetaan, että n =p(p ± 1) jollain alkuluvulla p>. Silloin luvulla (p + 1) on viisi lukua p pienempää tekijää, ja tekijöinä ovat ainakin luvut 1, ja 4, joten, koska p +1 > 4, p +1 = 3, p +1= 4, p +1= 5 tai p +1=s tai = 4s, missä s on pariton. Jos p ± 1=8,n:llä on vain kolme p:tä pienempää tekijää. Jos p +1= 4, p ei ole alkuluku. Jos p + 1 = 3, niin saadaan ratkaisu n = 31 3 = Jos p +1=s, jas on ainakin kahden eri parittoman luvun tulo, niin niin n:llä olisi ainakin kuusi p:tä pienempää tekijää. Siis s:n olisi oltava alkuluku tai alkuluvun neliö. Jos s olisi alkuluku, olisi n =4ps, jasenp:tä pienemmät tekijät olisivat enintään 1,, 4, ja s. Jos p +1=s, olisi n =4ps,jap:tä pienempiä tekijöitä olisi kuusi: 1,, 4, s, s ja s. Jos p +1=4s, niin 1,, 4, 8, s ja s olisivat p:tä pienempiä n:n tekijöitä. Olkoon sitten n =p(p 1) jollain alkuluvulla p. n:n tekijöitä ovatjälleen ainakin 1, ja 4. Luvulla p 1 on oltava viisi sitä itseään pienempää tekijää. Ei ole mahdollista, että ne olisivat vain kahden potensseja (olisi p 1 = 3, p = 33; ei alkuluku). Samoin kuin edellä, todetaan, että onoltavan =4ps, =8ps tai = 4ps ja että mikään näistä eitäytä tehtävän ehtoa. On vielä mahdollisuus n =(p 1)p. Luvulla n on viisi p 1:tä pienempää tekijää; niitä ovat ainakin 1,, 4, p, p, p 1jap +1. Tämä on mahdollista vain, jos p 1=ja p +1=4elip =3,p =9jan = 89 = 144. Tehtävällä on siis kaksi ratkaisua, n = 144 ja n = Määritä kaikki reaalikertoimiset polynomit f(x), joille f(x)f(x +1)=f(x + x +1). 7 Ratkaisu. Jos f on vakiopolynomi, f(x) =C, niin C = C, jotenc =0taiC =1. Oletetaan sitten, että f ei ole vakiopolynomi. Osoitetaan, että f:llä ei ole reaalijuuria. Jos sillä olisi sellaisia, olisi jokin niistä, sanokaamme a, suurin. Silloin olisi f(a + a +1)=0, ja a + a +1>a,elia ei olisikaan suurin juuri. Koska polynomilla f ei ole nollakohtia, sen asteluku on parillinen, n. Josf(x) =a n x n +, niin a n x4n + = a n x 4n +. Koska a n 0,onoltavaa n =1. Kokeillaan polynomia f(x) = x + c. Jotta se toteuttaisi tehävän yhtälön, on oltava (x + c)((x +1) +1)=(x + x +1) + c eli (c +1)x +cx + c + c =3x +x +1+c. Yhtälö toteutuu identtisesti jos ja vain jos c = 1. Osoitetaan sitten, että f(x) =(x +1) n totetuttaa yhtälön kaikilla n. Yhtälön vasen puoli on nimittäin (x +1) n ((x +1) +1) n = ((x +1)(x +x +)) n =(x 4 +x 3 +3x +x +) n ja oikea puoli ((x + x +1) + 1) n = (x 4 +x 3 +3x +x +) n. Osoitetaan vielä, ei ole muita ratkaisuja. Koska raktaisupolynomi on parillista astetta ja korkeimman x:n potenssin kerroin on yksi, muu kuin (x +1) n -tyyppinen ratkaisu olisi f(x) =(x +1) n + g(x), missä g on astetta m<n oleva polynomi. Kun f sijoitetaan tethtävän yhtälöön ja otetaan huomioon, että (x n +1) n toteuttaa yhtälön, saadaan (x +1) n g(x+1)+((x+1) +1) n g(x) =g(x +x+1) g(x)g(x+ 1). Yhtälön vasemman puolen polynomin aste on n+m ja oikean puolen m <n+m. Ristiriita osoittaa, että muita ratkaisuja ei ole.

8 8 15. Oletetaan, että Osoita, että Ratkaisu. Yhtälöstä seuraa a + b ab 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c. 1 a b c 5 = 1 (a + b + c) 5. 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c = 1 a + 1 b = 1 a + b + c 1 c = a + b c(a + b + c). Jos a + b = 0, niin 1 b 5 = 1 a 5,javäitetty yhtälö pätee triviaalisti. Oletetaan sitten, että a + b 0. Silloin ab = c(a + b + c) elic +(a + b)c + ab =0eli(c + a)(c + b) = 0. Mutta sekä c = a että c = b johtavat väitettyyn yhtälöön samoin kuin a + b =0.

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Geometrian perusteet Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia 1.1.1. Todista, että tason kahdella eri suoralla on joko yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä.

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 2004 Malliratkaisuja

Pythagoraan polku 2004 Malliratkaisuja Pythagoraan polku 4 Malliratkaisuja Tehtävä 1. Ratkaise reaalilukujen joukossa yhtälö x + x x x = 3 x x + x. Ratkaisu. Oletetaan, että x on yhtälön ratkaisu. Jotta yhtälö olisi mielekäs, on oltava x >.

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön.

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön. Kotitehtävät joulukuu 20 Helpopi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhä x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y reaaliluvuilla x y ja z. Ratkaisu. Jokainen luvuista on puolet kahden neliön suasta ja siten välttäättä

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja 959 974 Useimmat tässä koosteessa esitetyt ratkaisut perustuvat vuonna 975 julkaistuun kokoelmaan Kansainväliset matematiikkaolympialaiset.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 0 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja. Suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusalle piirretty korkeus on h, pyöräytetään suoran kulman kärjen kautta kulkevan

Lisätiedot

Baltian Tie -kilpailutehtävien ratkaisuja vuosilta 1990 1999

Baltian Tie -kilpailutehtävien ratkaisuja vuosilta 1990 1999 Baltian Tie -kilpailutehtävien ratkaisuja vuosilta 990 999 90.. Siirryttäessä luvusta lukuun n kumpaa tahansa kautta on vierekkäisten lukujen erotusten itseisarvojen summan oltava ainakin n. Täten kaikkien

Lisätiedot

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät ja ratkaisut

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät ja ratkaisut Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät ja ratkaisut 1995 014 Tehtävät 36. IMO, Toronto 1995 1995.1. Olkoot A, B, C ja D neljä eri pistettä suoralla, tässä järjestyksessä. Ympyrät, joiden halkaisijat

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

2000 + 2 a 1+a 2 + +a 2001

2000 + 2 a 1+a 2 + +a 2001 Tehtäviä Tehtävät kiertelevät. Nämätehtävät on kaikki jostain lainattu. Jos lähde on vielä tiedossa, se on merkitty sulkeisiin tehtävän jälkeen. Pelkät vuosiluvut kertovat, milloin tehtävää on käytetty

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Baltian Tie -kilpailujen tehtävät 1990 2014

Baltian Tie -kilpailujen tehtävät 1990 2014 Baltian Tie -kilpailujen tehtävät 1990 2014 90.1. Kokonaisluvut 1, 2,..., n kirjoitetaan ympyrään, ei välttämättä suuruusjärjestykseen. Mikä on vierekkäisten lukujen erotusten itseisarvojen summan pienin

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, loka marraskuu 2010. Vaativammat ratkaisuja

Harjoitustehtävät, loka marraskuu 2010. Vaativammat ratkaisuja Harjoitustehtävät, loka marraskuu 010. Vaativammat ratkaisuja 1. Määrittäkää kaikki positiiviset kokonaisluvut m ja n, joille kertolaskun 11 } {{...1 } 11 } {{...1 } m kpl n kpl tulos on palindromiluku

Lisätiedot

x 2 1+x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = a 2 2( a 2) = a 2 +2a+4 = a 2 +2a+4 = (a+1) 2 +3 3. Edellisessä epäyhtälössä on yhtäsuuruus, kun a = 1.

x 2 1+x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = a 2 2( a 2) = a 2 +2a+4 = a 2 +2a+4 = (a+1) 2 +3 3. Edellisessä epäyhtälössä on yhtäsuuruus, kun a = 1. Pythagoraan polku 5.4.008 RATKAISUT. Määritä se a, jolla yhtälön x + ax a = 0 ratkaisujen neliöden summa on pienin. Kun. asteen termin kerroin on, niin ratkaisujen summa on. asteen termin kertoimen vastaluku

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Matematiikan loppukilpailutehtävät 2010

Matematiikan loppukilpailutehtävät 2010 Solmu /010 1 Matematiikan loppukilpailutehtävät 010 Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOLin lukuvuoden 009 10 valtakunnallisten matematiikkakilpailujen loppukilpailut pidettiin Helsingissä, Munkkiniemen

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015 Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015 Mirjam Kauppila Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Antalyassa, Turkissa, 10. 16.4.2014

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Antalyassa, Turkissa, 10. 16.4.2014 Solmu 3/2014 1 Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Antalyassa, Turkissa, 10. 16.4.2014 Anne-Maria Ernvall-Hytönen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Mirjam Kauppila Matematiikan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student Ratkaisut

Kenguru 2015 Student Ratkaisut sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Mistä kuviosta on väritetty puolet? (A) (B) (C) (D) (E) 2. Mikä seuraavista luvuista on lähinnä lukua 20,15 51,02? (A) 10 (B) 100 (C) 1 000 (D) 10 000 (E) 100 000 Ratkaisu: 20,15

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 3 pistettä 1. Kenguru-kilpailu on joka vuosi maaliskuun kolmantena torstaina. Mikä on ensimmäinen mahdollinen päivä kilpailulle? (A) 14.3. (B) 15.3. (C) 20.3. (D) 21.3.

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ratkaisujen yksityiskohtaisuus ja kirjoitustapa vaihtelevat. Näitä ei ilman muuta harkintaa tule pitää malliratkaisuina.

Ratkaisujen yksityiskohtaisuus ja kirjoitustapa vaihtelevat. Näitä ei ilman muuta harkintaa tule pitää malliratkaisuina. Ratkaisuja Ratkaisujen yksityiskohtaisuus ja kirjoitustapa vaihtelevat. Näitä ei ilman muuta harkintaa tule pitää malliratkaisuina.. Veljekset saivat n dollaria. Olkoon n =0a + b. Silloin n = 00a +0ab

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Projektiivisen geometrian alkeita

Projektiivisen geometrian alkeita Projektiivisen geometrian alkeita Jotkin kilpailutehtävät saattavat ratketa helpoimmin menetelmillä, jotka kuuluvat ns. projektiivisen geometrian alaan. Projektiivinen geometria on eräänlaista pelkän viivoittimen

Lisätiedot

Thaleen lause. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. (Thales Miletolainen, n. 634 n. 547 eaa)

Thaleen lause. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. (Thales Miletolainen, n. 634 n. 547 eaa) Nimekästä geometriaa Matemaattisiin lauseisiin tai muihin tuloksiin viitataan usein henkilönnimin. Yleensä tällaiset asiat ovat jotenkin tärkeitä, ja niiden todistuksiin tutustuminen opettavaa. Thaleen

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B)

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ville-Pekka

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille

Unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille Unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille Käännös: Mira Hämäläinen Geometrian tehtäviä peruskoulun yläluokille: 1. Nelikulmiossa ABCD, AB = 1, BC = 2, CD = 3, ABC = 120, BCD = 90. Määrittele tarkka

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot