Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat"

Transkriptio

1 Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on jaollinen kahdeksalla jos ja vain jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen 8:lla, on oltava b =. Koska luku on jaollinen 9:llä jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä, ja koska = 4, on oltava a = 3. Todellakin 3679 = Kolmion ABC sisäympyrä Γ sivuaa kolmion sivua BC pisteessä X. Osoita, että Γ:n keskipiste on AX:n ja BC:n keskipisteiden kautta kulkevalla suoralla. Ratkaisu. Olkoon I sisäympyrän keskipiste, r sen säde, K BC:n keskipiste, L AX:n keskipiste ja Y ja Z pisteiden L ja A kohtisuorat projektiot sivulla BC. Olkoot vielä kolmion sivut a, b, c ja ABC = β. Jos b = c, väite on triviaali. Voidaan olettaa, että c>b. Väitteen todistamiseksi riittää nyt, että osoitetaan suhteet KX : XI ja KY : YL yhtä suuriksi. Selvästi BZ = c cos β. Tunnetusti BX = 1 (a b + c) [Helppo lasku, joka perustuu siihen, että tangenttien leikkauspisteen ja sivuamispisteiden välisetjanatovatyhtäpitkät.] Koska Y on janan XZ keskipiste, BY = 1 4 (a b + c + c cos β). Siis KY = BY BK = 1 ( a b + c +c cos β). Kolmion ala on tunnetusti 4 T = rp, missä p = 1 (a + b + c). [Jaa kolmio kolmeksi osakolmioksi, joilla I on yhteinen kärki ja r jokaisen korkeus.] Toisaalta T = 1 a AZ = a LY,koskaAZ = LY. Siis LY = pr.näin ollen a KY LY a( a b + c)+ac cos β =. 4rp Kosinilauseen nojalla ac cos β = a + c b.kuntämä otetaan huomioon, saadaan KY LY = a ab + ac + a + c b 4rp Mutta KX = BX BK = 1 (c b), joten myös = a(c b)+(c + b)(c b) 4rp = p(c b) 4rp = c b r. ja väite on todistettu. KX XI = c b r,

2 3. Osoita, että josx, y, z ovat 0, niin x(x y)(x z)+y(y z)(y x)+z(z x)(z y) 0. Osoita edelleen, että kaikille reaaliluvuille a, b, c pätee a 6 + b 6 + c 6 +3a b c (b 3 c 3 + c 3 a 3 + a 3 b 3 ). Ratkaisu. Olkoon f(x, y, z) =x(x y)(x z)+y(y z)(y x)+z(z x)(z y). Selvästi funktion f arvo on sama kaikilla muuttujien x, y, z permutaatioilla. Voidaan siis olettaa, että x y z. f:n lausekkeen viimeinen yhteenlaskettava on yhden ei-negatiivisen ja kahden ei-positiivisen luvun tulona ei-negatiivinen, joten f(x, y, z) (x y)(x(x z) y(y z)) (x y)y((x z) (y z)) = y(x y) 0. Toisen väitteen todistamiseksi hyödynnämme jo todistettua epäyhtälöä f(x, y, z) 0. Kun f:n lausekkeesta poistetaan sulkeita, saadaan x 3 + y 3 + z 3 +3xyz yz(y + z)+zx(z + x)+xy(x + y). Sijoitetaan x = a y = b ja z = c ja otetaan huomioon a + b ab, b + c bc ja c + a ca. Väite seuraa välittömästi. 4. Luvut x ja y toteuttavat yhtälöt x 3yx +9=0ja y + y =1. a) Osoita, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n on missä a n,b n,c n,d n ovat kokonaislukuja. b) Osoita, että x 5 = 43. c) Osoita, että jos5 n, niin x n = a n + b n x + c n y + d n xy, x n 1 +3x n +3 x n n x +3 n 1 =0. Ratkaisu. Todistetaan väite a) induktiolla. Selvästi x 1 = x on haluttua muotoa: b 1 =0, a 1 = c 1 = d 1 = 0. Oletetaan sitten, että x n = a n +b n x+c n y+d n xy joillain kokonaisluvuilla a n,b n,c n,d n. Kun otetaan huomioon, että x =3xy 9jay =1 y, saadaan x n+1 = x(a n +b n x+c n y +d n xy) =a n x+b n (3xy 9)+c n xy +d n (3xy 9)y = 9b n +a n x 9d n y + (3b n + c n )xy +3d n (1 y)x = 9b n +(a n +3d n )x 9d n y +(3b n + c n 3d n )xy. Tämä on vaadittua muotoa, a n+1 = 9b n, b n+1 = a n +3d n, c n+1 = 9d n ja d n+1 =3b n + c n 3d n. Väitteen b) todistamiseksi riittää laskea kertoimet a 5,b 5,c 5,d 5. Saadaan järjestyksessä a = 9, b =0,c =0,d =3;a 3 =0,b 3 =0,c 3 = 7, d 3 = 9; a 4 =0,b 4 = 7, c 4 = 81, d 4 =0jaa 5 = 43, b 5 =0,c 5 =0,d 5 = 0. Siis todellakin x 5 = 43.

3 Väitteen c) todistamiseksi huomataan ensin, että tehtävässä esiintyvä polynomi on itse asiassa x n 3 n x 3. Jos n =5k, niin edellisen kohdan perusteella x n 3 n =(x 5 ) k (3 5 ) k = 43 k 43 k = Kolmion ABC kärjistä A, B, C piirretyt kulmanpuolittajat leikkaavat kolmion ympärysympyrän myös pisteissä D, E, F. Osoita, että AD EF. Ratkaisu. Olkoot kolmion ABC kulmat α, β, γ. Olkoon G AD:n ja FE:n leikkauspiste. Kehäkulmalauseen perusteella GDE = ABE = 1 β, BED = BAD = 1 α ja BEF = BCF = 1 γ. Sovelletaan lausetta kolmion kulman vieruskulman suuruudesta kolmioon GDE. Saadaan AGE = GDE + DEG = 1 (β + α + γ) = Jännenelikulmiolla ABCD on sisäympyrä (ympyrä, joka sivuaa sen kaikkia sivuja). Lävistäjä AC jakaa ABCD:n kahdeksi sama-alaiseksi kolmioksi. Osoita, että AB = AD ja BC = BD. Oletetaan, että AB = 3 BC ja että ABCD:n sisäympyrän säde on r. Osoita, että nelikulmion ala on 16 3 r. Ratkaisu. Oletuksen mukaan ABCD on ympyrän ympärysnelikulmio. Siis AB+CD = BC+DA. Koska ABCD on jännenelikulmio, ABC ja CDA ovat vieruskulmia; niillä on sama sini. Kolmioiden ABC ja CDA kaksinkertaiset alat ovat AB BC sin( ABC) ja CD DA sin( CDA). Siis AB BC = CD DA eli AB + CD CD = AB DA +1= CD BC DA + BC +1=. BC Siis CD = BC ja AB = AD. Kolmiot ABC ja ADC ovat siis yhteneviä (sss), joten ABC = CDA. Kun kulmat toisaalta ovat vieruskulmiakin, ne ovat suoria. Lisäksi AC on kulman BAD puolittaja, joten jännenelikulmion sisäympyrän Γ keskipiste I on janalla AC. Jälkimmäisen väitteen todistamiseksi merkitään P :llä jaq:lla Γ:n ja AB:n sekä BC:n sivuamispisteitä. Nyt IPBQ on neliäö, sillä siinä on kolme suoraa kulmaa IPB, PBQ, BQI ja yhtä pitkät viereiser sivut IP = IQ = r. Kolmiot ABC ja IQC ovat yhdenmuotoiset (kk), joten IQ : QC = AB : BC =3. Tästä seuraa, että BC = BQ+ QC = r r = 4 3 r ja AB =3 BC =4r. Kolmion ABC ala on siis r 4r

4 4 ja nelikulmion ABCD ala kaksi kertaa ABC:n ala eli 16 3 r. 7. Säännöllisen n-kulmion P n ympäri piirretyn ympyrän säde on 1. Olkoon L n = {d R d on P n : n kahden kärjen välinen etäisyys}. Määritä d. d L n Ratkaisu. Olkoon kysytty summa S. Olkoon n-kulmio A 1 A...A n ja olkoon O sen keskipiste. Olkoon e k = OA k, k =1,,..., n. Kun vektorit e 1, e,..., e n asetetaan peräkkäin, saadaan säännöllinen n-kulmio. Siis n ek = 0. Lasketaan kärjestä A 1 alkavien lävistäjien pituuksien neliöiden summa. Se on ( n e k n e 1 = ( e k e 1 ) ( e k n n ) e 1 )= ( e k + e 1 ) e 1 ek =n. Jos n on parillinen, edellisessä summassa ovat kaikki monikulmion kärkien väliset eri etäisyydet kahdesti, paitsi pisimmän etäisyyden neliö, joka esiintyy vain kerran. Siis S =n +4ja S = n +. JosS on pariton, summassa esiintyvät kaikki monikulmion kärkien väliset etäsiyydet kahdesti. Tässä tapauksessa siis S = n. 8. Pisteet O ja P ovat sellaiset kolmion ABC sisäpisteet, että ABO = CBP ja BCO = ACP. Osoita, että CAO = BAP. Ratkaisu. Olkoot kolmion kulmat α, β, γ, ABO = CBP = φ, BCO = ACP = ψ, CAO = η ja BAP = η. Olkoot vielä AP = x, BP = y, CP = z ja AO = s, BO = t, CO = u. Kolmioista ABO, BCO, CAO saadaan sinilauseen perusteella s sin φ = t sin(α η ), t sin ψ = u sin(β φ), u sin η = s sin(γ ψ), joista 1= s t t u u s = sin φ sin ψ sin η sin(α η )sin(β φ)sin(γ ψ). Kolmioista ABP, BCP, CAP saadaan vastaavasti sin η sin φ sin ψ 1= sin(α η)sin(β φ)sin(γ ψ). Edellisistä yhtälöistä voidaan helposti ratkaista sin η sin(α η )=sinη sin(α η) jaedelleen, sinin vähennyslaskukaavaa soveltamalla, 0 = sin η cos η sin η cos η =sin(η η ). Koska η, η < 180,onη = η,javäite on todistettu.

5 9. Olkoon f(n) jonon 0, 1, 1,,, 3, 3, 4, 4,...n:n ensimmäisen jäsenen summa. Osoita, että f(s + t) f(s t) =st kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla s, t, s>t. Ratkaisu. Jos n on parillinen, n =k, niin 5 f(n) =( k 1)+(1++ + k) = Jos n on pariton, n =k + 1, niin (k 1)k + k(k +1) = k = n 4. f(n) =( k)+(1++ + k) =k(k +1)= n 1. 4 Koska s + t (s t) =t, s + t ja s t ovat molemmat parillisia tai molemmat parittomia. Jos ne ovat molemmat parillisia, f(s + t) f(s t) = 1 4 ((s + t) (s t) )=st, jos molemmat parittomia, niin f(s + t) f(s t) = 1 4 ((s + t) 1 ((s t) 1)) = st. 10. Reaaliluvuille x, y, z pätee x+y+z =5ja xy+yz+xz =3. Osoita, että 1 z Ratkaisu. Koska (x + y) =(5 z) ja xy =3 z(x + y) =3 z(5 z) =z 5z + 3, niin 0 (x y) =(x+y) 4xy =(5 z) 4(3 5z+z )= 3z +10z+13 = ( 3z+13)(z+1). Tulon tekijöiden on oltava samanmerkkisiä; tämä toteutuu, kun 1 z Jokainen erään ympyrän kehällä sijaitsevien 9 pisteen välisistä 36 janasta on väritetty punaiseksi tai siniseksi. Oletetaan, että jokaisessa kolmiossa, jonka määrittää kolmenäistä yhdeksästä pisteestä, on ainakin yksi punainen sivu. Osoita, että joidenkin neljän pisteen väliset kuusi janaa ovat kaikki punaisia. Ratkaisu. Oletetaan ensin, että jokinpistea on yhdistetty neljään muuhun pisteeseen B 1,B,B 3,B 4 sinisin janoin. Koska jokaisessa kolmiossa ( ) AB i B j on ainakin yksi punainen jana, kaikki pisteitä B 1,B,B 3,B 4 yhdistävät = 6 janaa ovat punaisia.oleteaan 4 sitten, että kaikista pisteistä lähtevistä kahdeksasta janasta ainakin viisi on punaista. Kun lasketaan kaikista pisteistä lähtevien punaisten janojen lukumäärä, tulos on parillinen luku, koska jokainen jana lasketaan kahdesti. Koska 9 5 on pariton, on oltava ainakin yksi piste A, jostalähtee kuusi punaista janaa AB 1,AB,AB 3,AB 4,AB 5,AB 6. Viidestä janasta A 1 A,A 1 A 3,A 1 A 4,A 1 A 5,A 1 A 6 ainakin kolme on samaa väriä. Olkoot ne A 1 A,A 1 A 3,A 1 A 4. Jos väri on sininen, niin A A 3, A A 4 ja A 3 A 4 ovat punaisia, joten neljän pisteen A, A,A 3,A 4 väliset janat ovat kaikki punaisia. Jos väri on punainen, niin tarkastetaan kolmiota A A 3 A 4. Siinä on ainakin yksi punainen sivu, esimerkiksi A A 3. Silloin kaikki pisteiden A, A 1,A,A 3 väliset janat ovat punaisia. 1. Osoita, että luku ( ) p on jaollinen p:llä aina,kunp on alkuluku. p

6 6 Ratkaisu. = ( ) p = p p(p 1) (p +1) p! p! [(p 1) + p)((p ) + p) (1 + p) (p 1)(p ) ]. (p 1)! Koska edellisen yhtälön oikean puolen ensimmäisen ja toisen tulon tekijät ovat järjestyksessä kongruentteja mod p, tulot ovat kongruentteja, ja hakasuluissa oleva erotus on jaollinen( p:llä. ) Koska p on alkuluku, se ei ole tekijänä luvussa (p 1)!. Siis p on tekijänä p luvussa. p 13. Positiivisen kokonaisluvun n tekijät ovat 1=d 1 <d <...< d k = n. Määritä nen, joille n = d 6 + d 7 1. Ratkaisu. [Tehtävän ratkaisu on pitkä jakömpelö. Keksiikö joku suoremman? Tehtävä on esitetty Australian matematiikkaolympialaisissa vuonna 1985, ja toisesta ratkaisusta päätellen ilmeisesti keksitty edellisenä vuotena. Kukaan ei ollut osannut sitä kilpailussa ratkaista.] Jos luvuilla d 6 ja d 7 olisi yhteinen tekijä, se olisi sekä luvun n että luvun n +1tekijä. Luvuilla ei siis ole yhteisiä tekijöitä. Huomataan, että d 6 on luvun d 7 1= (d 7 +1)(d 7 1) tekijä ja että d 7 on luvun d 6 1=(d 6 +1)(d 6 1) tekijä. Oletetaan, että d 6 = ab ja d 7 = cd, 1<a<b,1<c<d. Silloin luvut 1, a, b, c ja d ovat n:n tekijöitä, ja jokainen niistä on<d 6.Myös ac on n:n tekijä; ac ei ole kumpikaan luvuista d 6 tai d 7. Jos olisi ac > d 7 = cd, olisi a>dja b>a>dja d 6 >d 7. Siis ac < d 6,eikä d 6 olisi n:n tekijöistä kuudes. Siis ainakin toinen luvuista d 6 ja d 7 on joko alkuluku p tai alkuluvun p neliö p.nähdään, että p>. Jos d 7 on p tai p, d 7 :llä jajoko(d 6 1):llä tai(d 6 + 1):llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Koska d 6 <d 7, d 7 (d 6 +1),ja d 7 = d Jos taas d 6 on p tai p, d 6 :lla ja joko (d 7 1):llä tai(d 7 + 1):llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Jos d 6 (d 7 1), niin d 7 = kp +1taid 7 = kp + 1 jollain k 1. Oletetaan ensin, että d 7 = kp +1. Koskad 7 on p 1:n tekijä, p 1=m(kp + 1). Silloin p on luvun m 1tekijä, joten p m +1. Toisaalta p = mk ± (mk) +4(m +1) >mk. Tämä on mahdollista vain, jos k =1jad 7 = p +1=d Olkoon sitten d 7 = kp +1 jollain k 1. Tämä ei ole mahdollista, koska d 7 on luvun p 1 <kp +1=d 7 tekijä. Olisi vielä mahdollista, että d 6 on luvun d 7 +1tekijä. Tarkastellaan ensin tapaus d 6 = p. Silloin d 7 = kp 1 jollain k 1. Koska d 7 >p= d 6, niin k>1. Koska d 7 on luvun p 1 tekijä, niin k p. Nyt (p +1)(p 1) = p 1=m(kp 1). Koska kp 1 >p 1, niin m<p+1elim 1 <p. Toisaalta p on luvun m 1tekijä, joten p m 1. Ristiriita osoittaa, että p ei voi olla d 7 +1:ntekijä. Vielä on mahdollisuus d 6 = p ja p d 7 +1:n tekijä. Silloin olisi d 7 = kp 1 jollain k 1jakp 1 olisi p 1:n tekijä. Tällöin olisi k =1jad 7 <p = d 6. Edellisten tarkastelujen tulos on, että riippumatta siitä, onko d 6 vai d 7 alkuluku tai alkuluvun neliö, on oltava d 7 = d Siis n = d 6 +(d 6 +1) 1=d 6 +d 6 =d 6 (d 6 +1).

7 Edellä olevan perusteella joko n =p(p +1), n =(p 1)p tai n =(p 1)p. Oletetaan, että n =p(p ± 1) jollain alkuluvulla p>. Silloin luvulla (p + 1) on viisi lukua p pienempää tekijää, ja tekijöinä ovat ainakin luvut 1, ja 4, joten, koska p +1 > 4, p +1 = 3, p +1= 4, p +1= 5 tai p +1=s tai = 4s, missä s on pariton. Jos p ± 1=8,n:llä on vain kolme p:tä pienempää tekijää. Jos p +1= 4, p ei ole alkuluku. Jos p + 1 = 3, niin saadaan ratkaisu n = 31 3 = Jos p +1=s, jas on ainakin kahden eri parittoman luvun tulo, niin niin n:llä olisi ainakin kuusi p:tä pienempää tekijää. Siis s:n olisi oltava alkuluku tai alkuluvun neliö. Jos s olisi alkuluku, olisi n =4ps, jasenp:tä pienemmät tekijät olisivat enintään 1,, 4, ja s. Jos p +1=s, olisi n =4ps,jap:tä pienempiä tekijöitä olisi kuusi: 1,, 4, s, s ja s. Jos p +1=4s, niin 1,, 4, 8, s ja s olisivat p:tä pienempiä n:n tekijöitä. Olkoon sitten n =p(p 1) jollain alkuluvulla p. n:n tekijöitä ovatjälleen ainakin 1, ja 4. Luvulla p 1 on oltava viisi sitä itseään pienempää tekijää. Ei ole mahdollista, että ne olisivat vain kahden potensseja (olisi p 1 = 3, p = 33; ei alkuluku). Samoin kuin edellä, todetaan, että onoltavan =4ps, =8ps tai = 4ps ja että mikään näistä eitäytä tehtävän ehtoa. On vielä mahdollisuus n =(p 1)p. Luvulla n on viisi p 1:tä pienempää tekijää; niitä ovat ainakin 1,, 4, p, p, p 1jap +1. Tämä on mahdollista vain, jos p 1=ja p +1=4elip =3,p =9jan = 89 = 144. Tehtävällä on siis kaksi ratkaisua, n = 144 ja n = Määritä kaikki reaalikertoimiset polynomit f(x), joille f(x)f(x +1)=f(x + x +1). 7 Ratkaisu. Jos f on vakiopolynomi, f(x) =C, niin C = C, jotenc =0taiC =1. Oletetaan sitten, että f ei ole vakiopolynomi. Osoitetaan, että f:llä ei ole reaalijuuria. Jos sillä olisi sellaisia, olisi jokin niistä, sanokaamme a, suurin. Silloin olisi f(a + a +1)=0, ja a + a +1>a,elia ei olisikaan suurin juuri. Koska polynomilla f ei ole nollakohtia, sen asteluku on parillinen, n. Josf(x) =a n x n +, niin a n x4n + = a n x 4n +. Koska a n 0,onoltavaa n =1. Kokeillaan polynomia f(x) = x + c. Jotta se toteuttaisi tehävän yhtälön, on oltava (x + c)((x +1) +1)=(x + x +1) + c eli (c +1)x +cx + c + c =3x +x +1+c. Yhtälö toteutuu identtisesti jos ja vain jos c = 1. Osoitetaan sitten, että f(x) =(x +1) n totetuttaa yhtälön kaikilla n. Yhtälön vasen puoli on nimittäin (x +1) n ((x +1) +1) n = ((x +1)(x +x +)) n =(x 4 +x 3 +3x +x +) n ja oikea puoli ((x + x +1) + 1) n = (x 4 +x 3 +3x +x +) n. Osoitetaan vielä, ei ole muita ratkaisuja. Koska raktaisupolynomi on parillista astetta ja korkeimman x:n potenssin kerroin on yksi, muu kuin (x +1) n -tyyppinen ratkaisu olisi f(x) =(x +1) n + g(x), missä g on astetta m<n oleva polynomi. Kun f sijoitetaan tethtävän yhtälöön ja otetaan huomioon, että (x n +1) n toteuttaa yhtälön, saadaan (x +1) n g(x+1)+((x+1) +1) n g(x) =g(x +x+1) g(x)g(x+ 1). Yhtälön vasemman puolen polynomin aste on n+m ja oikean puolen m <n+m. Ristiriita osoittaa, että muita ratkaisuja ei ole.

8 8 15. Oletetaan, että Osoita, että Ratkaisu. Yhtälöstä seuraa a + b ab 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c. 1 a b c 5 = 1 (a + b + c) 5. 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c = 1 a + 1 b = 1 a + b + c 1 c = a + b c(a + b + c). Jos a + b = 0, niin 1 b 5 = 1 a 5,javäitetty yhtälö pätee triviaalisti. Oletetaan sitten, että a + b 0. Silloin ab = c(a + b + c) elic +(a + b)c + ab =0eli(c + a)(c + b) = 0. Mutta sekä c = a että c = b johtavat väitettyyn yhtälöön samoin kuin a + b =0.

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Ratkaisuja 1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan sisäpuolisesti pisteessä T. Ulomman ympyrän sekantti AB on sisemmän ympyrän tangentti pisteessä P. Osoita,

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut 1. Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio ja AB AC. Ympyrä, jonka halkaisija on BC, leikkaa sivun AB pisteessä M ja sivun AC pisteessä N. Olkoon O sivun BC keskipiste. Kulmien

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

29. Pohjoismainen matematiikkakilpailu

29. Pohjoismainen matematiikkakilpailu 29. Pohjoismainen matematiikkakilpailu Tiistai, 24. maaliskuuta 2015 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoon ABC kolmio ja Γ ympyrä, jonka halkaisija on AB. Kulman BAC puolittaja leikkaa Γ:n (myös) pisteessä D

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät

Matematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät Matematiikan olympiavalmennus 05 toukokuun tehtävät Ratkaisuja Kuperan viisikulmion jokainen lävistäjä on jonkin viisikulmion sivun suuntainen Osoita, että jokaisessa tällaisessa parissa lävistäjän ja

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset Tehtävien ratkaisuja Tehtävä 1.Olkoon A = {a 1,a 2,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Geometrian perusteet. Luvun 3 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia

Geometrian perusteet. Luvun 3 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Geometrian perusteet Luvun 3 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Harjoitus 3... Osoita, että josx on kolmion ABC sivun BC piste, BX = m, XC = n ja AX = p, niin a(p + mn) =b m + c n. Ratkaisu.. ratkaisu.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Kenguru 2019 Student Ratkaisut

Kenguru 2019 Student Ratkaisut sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 01 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoot kolmion kulmat α, β ja γ ja olkoon ω ympyrä, jonka halkaisija on AJ. Koska kulmat JKA ja JLA ovat suoria, niin K ja L ovat tällä

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

+ + + y:llä. Vuoden 2017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x ja b =1,10y, mistä saadaan vuoden 2017 alun oppilasmäärien suhteeksi.

+ + + y:llä. Vuoden 2017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x ja b =1,10y, mistä saadaan vuoden 2017 alun oppilasmäärien suhteeksi. 31. 10. 018 a b c d 1. +. + 3. + + + 4. + + 5. + + + 6. + + P1. Merkitään lukion A oppilasmäärää vuoden 017 alussa x:llä ja lukion B oppilasmäärää y:llä. Vuoden 017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

x+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan

x+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan 19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit

Lisätiedot

Baltian Tie Ratkaisuja

Baltian Tie Ratkaisuja Baltian Tie 2007. Ratkaisuja. Tehtävän summa S n on suurin, kun P = {, 2}, P 2 = {3, 4} jne.: jos pareissa olisi {, k}, k>2ja{2, m}, m>2, olisi 2 + km k ( 2m = )( m 2 ) > 0, k joten suuurimmassa summassa

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Baltian Tie 2004 ratkaisuja

Baltian Tie 2004 ratkaisuja Baltian Tie 004 ratkaisuja 1. Tehtävän ehdosta () ja aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisestä epäyhtälöstä seuraa an (n +1) a n+1 + n na n+1 eli a n+1 n +1 a n n. Kun tässä epäyhtälössä n korvataan

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Geometrian perusteet Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia 1.1.1. Todista, että tason kahdella eri suoralla on joko yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä.

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2015 tehtävien ratkaisuja

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2015 tehtävien ratkaisuja Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2015 tehtävien ratkaisuja 1. Sanomme, että tason äärellinen pistejoukko S on tasapainoinen, jos jokaista kahta S:n eri pistettä A ja B kohden on olemassa sellainen

Lisätiedot

= f q. , q. q +1 = p + q. Luvuilla p+q ja q ei ole yhteisiä

= f q. , q. q +1 = p + q. Luvuilla p+q ja q ei ole yhteisiä 20031 Olkoon f jokin tehtävän ehdon toteuttava funktio Jos a on positiivinen rationaaliluku, niin afx) toteuttaa myös tehtävän ehdot Jos tehtävällä on ratkaisuja, ratkaisujen joukossa on siten funktio

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa

57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa Esa V. Vesalainen Basque Center for Applied Mathematis 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset järjestettiin Hongkongissa 9 16.7.2016. Suomea

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3.

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3. 998 Yhtälö on määritelty, kun x 0, joten on oltava x. Yhtälö voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon x x x x x x 0, ja edelleen x x 0. x Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x tai

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

y + z. z + xyz

y + z. z + xyz 2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 2013 Helpompi sarja. 1. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille.

Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 2013 Helpompi sarja. 1. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille. Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 03 Helpompi sarja. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille f(g(x)) = g(f(x)) kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla g ja kaikilla reaaliluvuilla x. Ratkaisu.

Lisätiedot

Baltian Tie 2000 ratkaisuja

Baltian Tie 2000 ratkaisuja Baltian Tie 000 ratkaisuja. Kolmiot AMB, BNC ja AKC ovat tasakylkisiä ja yhdenmuotoisia. Siis AM AB = AK ja MAK = AC BAC. Kolmiot AMK ja ABC ovat yhdenmuotoisia (sks). Samoin CN CB = CK ja NCK = BCA. CA

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot