Matematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät

Transkriptio

1 Matematiikan olympiavalmennus 05 toukokuun tehtävät Ratkaisuja Kuperan viisikulmion jokainen lävistäjä on jonkin viisikulmion sivun suuntainen Osoita, että jokaisessa tällaisessa parissa lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on sama Määritä tämä suhde Ratkaisu Olkoon ABCDE tehtävän ehdon mukainen viisikulmio Olkoon P lävistäjien BD ja CE leiikkauspiste ja olkoon Q se puolisuoran AB piste, jolle CQ BD Merkitään vielä AB = d, AE = c, CP = e ja PD = f Koska ABP E ja BQCP ovat suunnikkaita, niin PE = d ja QB = e Lasketaan CE AB =+e d Kolmiot CDP ja BEA ovat yhdenmuotoiset sivut pareittain yhdensuuntaisia), joten f = ce Kolmiot AQC ja EPD ovat myös yhdenmuotoisia, joten d c e + d = f d = ec d Siis e + ed = d Suhde e d = x toteuttaa siis yhtälön x + x =0,joten Vain +-merkki tulee kyseeseen Siis CE AB x = ± =+x = Koska suhde ei riipu pisteiden A, B, C, E asemasta, se on sama kaikille sivuille ja niiden suuntaisille lävistäjille Säännöllinen viisikulmio on yksi tehtävän ehdon toteuttavia viisikulmioita, ja edellä laskettu suhde on tunnetusti säännöllisen viisikulmion lävistäjän ja sivun pituuksien suhde Jos tehtävän väite pitää paikkansa, niin kysytty suhde on varmasti se, minkä edellinen päättely tuotti Olkoot n ja r positiivisia kokonaislukuja ja olkoon A jokin sellainen tason hilapisteiden siis kokonaislukukoordinaattisten pisteiden) joukko, että jokainen r-säteinen avoin ) ympyrä sisältää ainakin yhden A:n pisteen Osoita, että jos A:n pisteet väritetään n:llä eri värillä, niin jotkin neljä samanväristä pistettä ovat suorakulmion kärjet Siis ympyrä, johon kuuluu sisäosa, muttei kehää

2 Ratkaisu Tarkastellaan neliötä Q, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset, jonka sivu on 4nr ja jonka sivuilla ei ole hilapisteitä Neliöön Q voidaan sijoittaa nr) =4n r toisiaan peittämätöntä avointa ympyrää, joten neliössä on ainakin 4n r hilapistettä Nämä hilapisteet sijaitsevat 4nr :llä y-akselin suuntaisella janalla Ainakin yhdellä tällaisella janalla on oltava enemmän kuin n hilapistettä, ja siis ainakin kaksi samanväristä pistettä Nyt on mahdollista tarkastella kaikkia vierekkäisiä neliöitä Q Niitä on äärettömän monta Toisaalta tapoja sijoittaa samanväriset pisteet äärellisen monta pistettä sijaitsevaan joukkoon on äärellisen monta ja värejä onäärellisen monta Joissain kahdessa neliössä on oltava samanväriset pisteet samoilla x-akselin suuntaisilla ja samoilla y-akselin suuntaisilla janoilla; nämä pisteet ovat suorakulmion kärjet 3 Olkoon uk) positiivisen kokonaisluvun k suurin pariton tekijä Todista, että n n k= uk) k 3 Ratkaisu Olkoon vk) = k uk) Lukujen,,, n joukossa on luku k, jolla vk) = n Luvut, joille vk) = i,0 i n, ovat p ) i, p =,,, n i Tehtävän summasta tulee mäin geometrisen jonon summa n n k= uk) k = n n k= vk) = n 4 n + i=0 n i n+i = 4 n + n i=0 4 i = 4 n + 4 ) 3 4 n > 3 4 Olkoon n positiivinen kokonaisluku Sanomme, että positiivinen kokonaisluku k toteuttaa ehdon C n, jos on olemassa k eri positiivista kokonaislukua a,b,a,b,, a k,b k, niin, että summat a + b,a + b,, a k + b k ovat kaikki eri lukuja ja pienempiä kuinn a) Osoita, että josk toteuttaa ehdon C n, niin k n 3 5 b) Osoita, että luku 5 toteuttaa ehdon C 4 c) Osoita, että jos n 3 on kokonaisluku, se toteuttaa ehdon C n 5 Ratkaisu Oletetaan, että k toteuttaa ehdon C n Lukuja a,b,, b k on k kappaletta, ja luvut ovat kaikki eri lukuja Niiden summa on silloin ainakin ++ +k = kk +) Koska summia a + a,, a k + b k on k kappaletta ja ne ovat kaikki eri lukuja sekä <n, Summien summa on enintään n ) + n ) + +n k) =kn kk + ) Siis kk +) kn kk +) Tämä onhelpposieventää muotoon5k +3 n a) on todistettu Summat 9 = + 7, 0 = 6 + 4, = 0 +, = 9 + 3, 3 = osoittavat, että a =, b =7,a =6,b =4,a 3 = 0, b 3 =,a 4 =9,b 4 =3jaa 5 =8,b 5 =5ovatväitteen 5 toteuttaa ehdon C 4 oikeaksi todistavia lukuja

3 Olkoon sitten k = n 3 kokonaisluku Silloin 5k =n 3, joten k on pariton; lisäksi 5 n = 5 k + 3 Tarkastellaan lukuja,,,k Nyt voidaan muodostaa parisummat +k <3+k-) k + k k ) = 5 k + + = n < n Näitä onk kappaletta Muodostetaan vielä parisummat + k k + ) < 4+ k k +3 ) < ) 3 k +k ) <k ) + k =k ) + k +)=k Näitä onk kappaletta Kaikissa parisummissa on eri yhteenlaskettavat ja kaikki summat ovat eri suuria Siis k toteuttaa ehdon C n 5 Olkoon ABC kolmio, joka ei ole tasakylkinen Pisteistä A, B, C piirrettyjen keskijanojen jatkeet leikkaavat kolmion ympärysympyrän pisteissä L, M, N Osoita, että jos LM = LN, niin BC = AB + AC Ratkaisu Olkoon G kolmion ABC painopiste Koska kehäkulmina LNC = LAC ja NLA = NCA, niin kolmiot AGC ja NGL ovat yhdenmuotoiset Siis LN CA = LG Vastaavasti yhdenmuotoisista kolmioista CG AGB ja MGL saadaan LM BA = LG Jos LM = LN, BG niin BA CA = BG CG Koska BG ja CG ovat kumpikin 3 vastaavista kolmion keskijanoista, on BA sama kuin CA B:stä jac:stä piirrettyjen keskijanojen pituuksien m b ja m c suhde Mutta tunnetusti suunnikaslauseen tai Stewartin lauseen perusteella) 4m b = BA + BC AC ja 4m c =CA +CB AB Siis BA CA = BA +BC CA CA +CB BA Tämä yhtälö sievenee muotoon CA BA )CA + BA BC )=0 KoskaABC ei ole tasakylkinen, niin tulon ensimmäinen tekijä ei ole 0 Siis jälkimmäinen on, ja väite on todistettu 6 Olkoon x> reaaliluku, muttei kokonaisluku Asetetaan a n = x n+ x x n,kun n =,, Osoita, että jonoa n ) ei ole jaksollinen Ratkaisu Tehdään vastaoletus: jono a n ) on jaksollinen eli on olemassa p siten, että a n+p = a n kaikilla n Koska x>, niin x n ja siis myös x n,kunn Tästä seuraa, että ainakin jollakin n on x n+p x n > 0 Kun yhtälöstä a n+p = a n 3

4 4 ratkaistaan x, saadaan x n+p+ x n+ x = x n+p x n Luku x on siis kahden kokonaisluvun osamäärä, joten x on rationaaliluku Lasketaan nyt teleskooppinen summa s m = x p a mp + x p a mp+ + + xa mp+p + a mp+p = x p x mp+ x p x mp +x p x mp+ x p x mp+ + + x mp+p x x mp+p = x mp+p x p x mp Jos a n+p = a n kaikilla n, niin s m+ = s m kaikilla m Merkitään vielä y = x p ja b m = y m+ y m Silloin b m on kokonaisluku ja s m = y m+ y y m, ja siitä, että s m+ = s m seuraa, että b m+ = yb m = = y m b Nyty on rationaaliluku, muttei kokonaisluku Tarpeeksi suurilla m:n arvoilla y m b ei voi olla kokonaisluku Tultiin ristiriitaan, joten oletus jonon a n ) jaksollisuudesta ei voi pitää paikkaansa 7 Osoita, että josn 7, niin kuutio voidaan jakaa täsmälleen n:ksi pienemmäksi kuutioksi Ratkaisu Olkoon E sellaisten kokonaislukujen n joukko, joilla kuutio voidaan jakaa n:ksi kuutioksi Todetaan, että josn E, niin n +7 E Myös n E n +9 E ja n E n +37 E Yksi kuutioista voidaan nimittäin jakaa 7:ksi samankokoiseksi kuutioksi, jolloin kuutioiden lukumäärä kasvaa 6:lla ja näistä kahdeksasta voidaan koota yksi kuutio, jolloin kuutioiden lukumäärävähenee seitsemällä; tai yksi kuutio voidaan jakaa 64:ksi smanakokoiseksi kuutioksi ja näistä 7yhdistää yhdeksi kuutioksi Yksi n:stä kuutiosta voidaan jakaa kahdeksaksi kuutioksi Väitteen todistamiseksi riittää, että osoitetaan {7, 7, 73, 74, 75, 76} E Mutta todellakin: koska 64 E, niin 7 = E, ja koska E, niin 7 = E, 73= E, 74= E, 75 = + 39 E, 76= E sekä 77=+4 9 E 8 Määritä kaikki alkuluvut p ja q, joille a 3pq a mod 3pq kaikilla kokonaisluvuilla a Ratkaisu Voidaan olettaa, että p q Jos olisi p =, olisi a = ) 6q ) jaollinen luvulla 6q ja 6q jaollinen 3:lla Mutta 6q = 4 q mod 3, joten 6q ei ole jaollinen kolmella Siis < p, ja sekä p että q ovat parittomia Tehtävän ehto on voimassa myös, jos a on primitiivijuuri modulo p ks esim Koska tällöin a x modp vain, kun x on p :n monikerta, on oltava p ) 3pq ) p on silloin myös luvun 3pq 3qp ) = 3q tekijä Samoin nähdään, että q on luvun 3p tekijä Jos olisi p = q, niin p olisi luvun 3p 3p ) = tekijä, eli olisi p = q = 3 Mutta esimerkiksi 6 = 5 ) 5 5) 5 = 05 ) 0 ) =40 3mod7ja 7 mod 7, joten tehtävän ehto ei toteudu On siis oltava p<qkoska p ja q ovat parittomia, niin p + q Siis 3p +6 < 3q + ja 3p < 3q 6 < 3q 3 Näin ollen kokonaisluku 3p on tai Jos se olisi, olisi q =3p, eliq olisi yhdistetty luku q

5 Siis 3p =q eliq =3p + Koska toisaalta p on luvun 3q = 9p+ tekijä, se on myös luvun 9p+ 9p ) = 0 tekijä Siis p =3taip = Jos p = 3, niin q =0eli q = 5 Mutta esimerkiksi 3pq = 45 = 5 ) 9 3) =3 3 4 = = 5 = = mod 45 Siis p 3 Jos p =, niin q =34eliq = 7 Osoitetaan nyt, että a 3 7 a mod 3 7) kaikilla a Käytetään Fermat n pientä lausetta Jos a ei ole jaollinen 3:lla, niin a mod3,joten a k+ a mod 3 kaikilla a toki myös, jos a on jaollinen 3:lla Jos a ei ole jaollinen :llä, niin a 0 mod Kaikilla a on siis a 3 7 =a ) 5 a 5 = aa 0) 5 a mod Samoin a 7 ) 33 a 33 = aa 6 ) a mod 7 Luku on siis aina jaollinen sekä kolmella, :llä että 7:llä, joten p =jaq =7ovattehtävässä kysytty pari; muita ei ole 9 Olkoot x, y, z reaalilukuja Osoita, että seuraavat ehdot i) ja ii) ovat yhtäpitäviä i) x, y, z > 0 ja x + y + z ii) Jokaiselle nelikulmiolle, jonka sivujen pituudet ovat a, b, c, d pätee a x + b y + c z> d Ratkaisu Se, että ehdosta i) seuraa ehto ii) nähdään Cauchyn Schwarzin epäyhtälöä tyypillisellä tavalla hyödyntämällä Jos a, b, c, d ovat nelikulmion sivut, niin d<a+ b + c, joten d < a + b + c) = a x + b y + c z ) x y z a x + b y + c z) x + y + ) a x + b y + c z z Osoitetaan sitten, että ehdosta ii) seuraa i) Osoitetaan ensin, että jos ii) on voimassa, niin x, y ja z ovat positiivisia Jos esimerkiksi olisi x 0, niin nelikulmio, jossa olisi a = d = n ja b = c = toteuttaisi ehdon y + z> x)n Kunx, y, z ovat annettuja lukuja, tämäeiselvästi ole mahdollista riittävän suurilla n:n arvoilla Siis x>0 Samoin nähdään, että y>0jaz>0 Kaikilla tarpeeksi suurilla n:n arvoilla x, y, z ja x + y + z n voivat olla nelikulmion sivujen pituudet Siis x + y + z = x x + y y + z z> x + y + z ) n Kun tässä n, saadaan x + y + z x + y + ) z 5 eli x + y + z

6 6 0 Määritä f), kunf : R + R funktio, jolle pätee a) f on aidosti kasvava; b) fx) > kaikilla x>0; x c) fx)f fx)+ ) =kaikilla x>0 x Ratkaisu Olkoon gx) =fx)+ Ehdon b) perusteella gx) > 0 Ehdon c) nojalla x fgx)) = fx) eli Ehdon a) mukaan Korvataan nyt ehdossa c) xgx):llä Saadaan fgx))f fgx)) + ) = gx) fx) =f fx) toteuttaa siis toisen asteen yhtälön Ratkaisemalla tämä nähdään, että fx) + fx)+ x x = fx) + fx)+ x xfx) fx) x =0 fx) = ± 5 x Koska x ei ole kasvava positiivisten lukujen joukossa, vain fx) = on x x mahdollinen Voidaan helposti tarkistaa, että se todella toteuttaa tehtävän kolme ehtoa Siis f) = 5 Olkoon A sellaisten positiivisten kokonaislukujen joukko, jotka voidaan esittää muodossa a +b, missä a ja b ovat kokonaislukuja ja b 0 Osoita, että josp on alkuluku ja p A, niin p A Ratkaisu Lukua = 4 ei voi esittää muodossa a +b, b 0 Voidaan olettaa, että p on pariton alkuluku Jos p A eli p = a +b, b 0, niin a on pariton luku Jos olisi p a, olisi myös p b, jap voitaisiin supistaa yhtälöstä p = a +b, ja tultaisiin ristiriitaan Siis syta, p) = Lukup =p+a)+p a) on jaollinen lukujen parillisten lukujen p a ja p + a suurimmalla yhteisellä tekijällä d Tämä ei voi olla p, koska silloin a olisi jaollinen p:llä Siis sytp a, p + a) =, joten positiivisista luvuista p a, p + a toinen ei ole jaollinen neljällä Voidaan olettaa, että tämä lukuonp a Koska b = p a =p a)p + a) jasyta, p) =, on p a =m ja p + a =4n, missä m ja n ovat parittomia Mutta nyt p =m +4n ja p = m +n Siis p A

7 Kolmion ABC sivut ovat a, b, c, I on sen sisäympyrän keskipiste, G painopiste ja r sisäympyrän säde a) Osoita, että kolmion CIG ala on a b r 6 b) Osoita, että josa = c +ja b = c, niin IG AB Määritä tässä tapauksessa janan IG pituus Ratkaisu Merkitään kuvion F alaa F :llä Olkoon M sivun AB keskipiste ja E ja F pisteet, joissa kolmion kulmien puolittajat leikkaavat sivut AC ja AB Nyt CIG = CMI ja 3 CMI CMF = CI CF Koska BI on kolmion BCF kulman B puolittaja ja CF on kolmion ABC kulman C puolittaja, on CI CF = a a + BF = a a + a a + b = a + b c a + b + c Kun nämä yhdistetään, saadaan Mutta CMF = MF c ABC ja CIG = 3 a + b a + b + c CMF MF = BF BM = a a + b c c Tunnetusti ABC = a + b + c)r Siis todellakin CIG = 3 CI CF MF c Jos a = c jab = c +, niin ABC = 3 CI CF = a + b a + b + c a + b a + b + c = 3 = CG CM = a b a + b) c a b a + b) a + b + c r = a b r 6 Kolmiot CGI ja CMF ovat yhdenmuotoiset, joten GI MF eli GI AB Kun edellä laskettuun MF:n lausekkeeseen sijoitetaan b)-kohdan arvot, saadaan MF =,joten CI = 3 MF = 3 7

8 8 3 Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio ja O sen ympärysympyrän keskipiste Suorat CA ja CB leikkaavat kolmion AOB ympärysympyrän myös pisteissä P ja Q Osoita, että PQ CO Ratkaisu Olkoon Γ kolmion AOB ympärysympyräja Γ kolmion ABC ympärysympyrä Puolisuorat CB ja CA leikkaavat Γ:n myös pisteissä P ja Q OlkoonCD Γ :n tangentti Siis OC CD Kehäkulmalause ympyrään Γ sovitettuna antaa ACD = ABC = ABP Kehäkulmalause sovellettuna ympyrään Γ antaa edelleen ABP = AQP Siis AQP = ACD Tämä merkitsee sitä, että PQ ja CD ovat yhdensuuntaiset Koska OC CD, niin myös OC PQ 4 Olkoon n annettu positiivinen kokonaisluku ja a,a,, a n positiivisia lukuja, joiden summa on Osoita, että aina kun positiivisten lukujen x,x,, x n summa on, pätee x i x j n n + n a i x i a i i<j Milloin epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu Selvästi n ) n x i x j = x i x i = n x i i<j Kun tämä sijoitetaan todistettavaan epäyhtälöön,sesieveneemuotoon n n x i a i ) Tavallisen Cauchyn Schwarzin epäyhtälöllätehtävän tempun avulla nähdään, että n ) n ) x i n n x = x i = i ai a i ) ai a i Mutta luvuista a i tehdyn oletuksen mukaan n n a i )=n a i = n, ja ) seuraa Cauchyn Schwarzin epäyhtälössä n ) n a i b i i vallitsee tunnetusti yhtäsuuruus aina ja vain, kun a i = kb i jollain k ja kaikilla i Epäyhtälössä ) vallitsee siis yhtäsuuruus aina ja vain, kun x i = k a i ) jollain k ja kaikilla i a i n b i

9 5 Määritä kaksiluvun alkutekijää ilman koneapua) Ratkaisu Huomataan, että 43 = 3 5 ja 8 = 3 4 Tästä seuraa, että = Yritetään jakaa polynomia px) =x 5 +x 4 + tekijöihin Nyt x )px) = x 6 x 5 +x 5 x 4 +x =x 6 x 4 +x =x 6 ) x 4 x) =x 3 )x 3 +) xx 3 ) = x )x +x+)x 3 x+) Siis px) =x +x+)x 3 x+) Etsitään nyt pienemmän luvun = 9030 < 30 tekijöitä Kokeilu vaatisi pahimmassa tapauksessa noin 6:n 30:tä pienemmän alkuluvun läpikäymistä Käytetään siksi hiukan lukuteorian koneistoa Jos alkuluku p ei ole luvun 300 tekijä ja modp, niin myös p +)+ 0modp ja p + ) ) p + = p +p 3 mod p 4 Edelleen luku 4 p +p 3) on siis neliönjäännös modulo p eli on olemassa y niin, että y = 4 p +p 3) Mutta silloin y) p +p 3 3modp, joten 3 on neliönjäännös a ) modulo p Käytetään Legendren symbolia, joka on +, kun a on neliönjäännös modulo b b,, kun a ei ole neliönjäännös modulo b, ja0,kuna on jaollinen b:lläjaneliönjäännösten vastavuoroisuuslausetta, jonka mukaan parittomille alkuluvuille p ja q pätee ) ) p q = ) p )q ) 4 q p Ks Legendren symbolille pätee ) ) ) a b ab = p p p Siis ) ) ) 3 3 = = p p p ) Tunnetusti = ) p Tästä ja vastavuoroisuuslauseesta saadaan nyt p ) ) p 3 p ) = = ) 3) p p )3 ) ) 4 = ) p = p p 3 Koska ainoa neliönjäännös modulo 3 on, niin p mod 3 Havaitaan vielä, että ) = mod p Siis myös 300 on neliönjäännös modulo p, ja ) ) ) ) ) ) = = = = p p p p p p Mutta vastavuoroisuuslauseen mukaan ) p )3 ) 4 =, 9

10 0 joten p on parillinen ja siis p mod 4 Nyt siis p =+3a =+4bjoillain a ja b Silloin b on jaollinen kolmella, ja siis p mod Testataan siis alkulukuja, jotka ovat mod Jos p = 3, niin 300 modp ja modp Jos p = 37, niin 300 4modp, mod p Jos p = 6, niin modp ja mod p Mutta jos p = 73, niin 300 8modpja =73 0modp 73 on siis yksi kysytyistä alkutekijöistä 9030 = 37, ja jokainen luvun 37 alkutekijä on luvun tekijä, siis luku, 73 joka on mod Koska 37 = 369, ainoa mahdollinen alkutekijä olisi 3, mutta aikaisempi lasku jo osoittaa, että 3 ei tule kyseeseen Siis 37 on alkuluku, ja se kelpaa toiseksi tehtävän luvun alkutekijäksi [Jos kuitenkin turvautuu koneapuun, saa selville, että luvun kanoninen alkutekijähajotelma on ]