TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.2005"

Erkki Heikkinen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Isiööriosastot Valitakuulusteluje matematiika koe sarja A Ohjeita. Sijoita jokaie tehtävä omalle sivullee. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheiee, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudellee puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu yliviivaamalla se, sillä sama tehtävä useista ratkaisuista huooi otetaa mukaa arvosteluu. A. Vuode 00 alussa Tamperee seutukua asukkaista 6,9 % asui Tampereella ja 5, % kuudessa lähikuassa. Oletetaa, että Tamperee väkiluku jatkaa 0,9 %: vuosikasvua ja lähikutie väkiluku,7 %: vuosikasvua. a) Kuika suuri osa Tamperee seutukua asukkaista asuu Tampereella vuode 0 alussa? Aa vastaus prosetteia yhde desimaali tarkkuudella. b) Mikä vuode alussa Tampereella esimmäise kerra o vähemmä asukkaita kui kuudessa lähikuassa? A. a) Määritä tasokäyrie y 5x ja x 5y leikkauspisteet. b) Määritä a)-kohda käyrie rajoittama äärellise aluee pita-ala. A. R-säteise ympyrä sisää piiretää sääöllie risti kuva osoittamalla tavalla. Millä kulma α arvolla risti o pita-alaltaa mahdollisimma suuri? Aa vastaus asteia yhde desimaali tarkkuudella. A. Iduktiokarkaisussa suorakulmio muotoise metallilevy kahta reuaa kuumeetaa värähtelevä mageettiketä syyttämä sähkövirra avulla. Tarkastellaa lämpötilaa yhdessätoista levy pisteessä (kts. kuva ). Kahdeksa reualla sijaitseva pistee lämpötiloiksi o mitattu joko 0 C tai 70 C kuva mukaisesti. Laske arviot levy sisäpisteide P, P ja P lämpötiloiksi site, että kuki pistee lämpötilaksi tulee tätä pistettä lähiä olevie eljä muu reuatai sisäpistee lämpötiloje keskiarvo. Ilmoita vastaukset asteia yhde yksikö tarkkuudella. A5. Yksikertaisessa liikeemallissa oletetaa, että pistemäiset autot ajavat joossa vakioopeudella v ja vakioetäisyydellä a toisistaa. Lisäksi oletetaa, että ajoopeude v, välimatka a ja opeusrajoitukse v 0 välillä vallitsee riippuvuus v/v 0 mi{, a/l}, missä L o olosuhteille ja liikeekulttuurille omiaie vakio. Kaupugi ulosmeotiellä o opeusrajoitus v 0 00 km/h. Perjatairuuhkassa mitataa klo 6 maaseudulle päi ajavie autoje määräksi 80 autoa/h ja klo 8 vastaavasti 90 autoa/h. Mikä o malli mukaa joossa ajavie autoje opeus mittaushetkillä a) klo 6, b) klo 8, ku käytetää vakio arvoa L 80 m? (Huom: Merkiällä mi{x, y} tarkoitetaa pieempää luvuista x ja y.) A6. Jääkiekkojoukkueet A ja B ratkaisevat liigamestaruude pelaamalla toisiaa vastaa ottelusarja. Mestariksi tulee joukkue, joka esimmäiseä voittaa eljä peliä. Jokaisessa ottelussa pelataa tarvittaessa jatkoaikoja, kues voittaja selviää, ts. tasapelejä ei ole. Oletetaa, että kussaki ottelussa joukkue A voittaa todeäköisyydellä / ja että otteluide lopputulokset ovat toisistaa riippumattomia. a) Millä todeäköisyydellä mestaruude selvittämisee tarvitaa vähitää viisi peliä? b) Millä todeäköisyydellä joukkue A voittaa mestaruude? Liite: kaavakokoelma Kuva Kuva c TKK 005

Merkitse hylkäämäsi ratkaisu yliviivaamalla se, sillä sama tehtävä useista ratkaisuista huooi otetaa mukaa arvosteluu. A.

2 TH, TTU, VTU, UU, ÅA, VU, ÅU / Igejörsavdeligara Iträdesförhör i matematik serie A Avisigar. Placera varje uppgift på ege sida. Ge klart utarbetade lösigar iklusive mellastadier, reskriv lösige vid behov. Förkastade lösigar bör överstryckas. Om icke-överstrucka lösigar föreligger för samma uppgift, så bedöms de sämsta av dessa. A. I börja av år 00 bodde 6,9 % av ivåara i Tammerfors ekoomiska regio i Tammerfors och 5, % i sex ärkommuer. Atag att ivåaratalet i Tammerfors växer med e årlig tillväxthastighet på 0,9 % och ivåaratalet i ärkommuera med e årlig tillväxthastighet på,7 %. a) Hur stor del av ivåara i Tammerfors ekoomiska regio kommer att bo i Tammerfors i börja av år 0? Age svaret i procet med e decimals oggrahet. b) I börja av vilket år kommer Tammerfors för första gåge att ha färre ivåare ä de sex ärkommuera? A. a) Bestäm de plaa kurvoras y 5x och x 5y skärigspukter. b) Bestäm area av det ädliga område som begräsas av kurvora i a)-dele. A. Ett regelbudet kors ritas i i e cirkel med radie R som i figur. För vilket värde på vikel α kommer korsets area att vara så stor som möjligt? Age svaret i grader med e decimals oggrahet. atar ma, att sambadet v/v 0 mi{, a/l} råder mella körhastighete v, avstådet a och hastighetsbegräsige v 0, där L är e kostat, som beror på vägförhålladea och trafikkulture. På utfartsväge frå e stad är hastighetsbegräsige v 0 00 km/h. I fredagsrusige uppmättes 80 bilar/h kl. 6 och 90 bilar/h kl. 8 på väg ut mot ladsbygde. Vilke är bilaras körhastighet i mätögoblicket eligt modelle a) kl. 6, b) kl. 8, om ma aväder värdet L 80 m på kostate? (Märk: Med beteckige mi{x,y} avses det midre av tale x och y.) A6. Ishockeylage A och B avgör ligamästerskapet geom att spela e matchserie mot varadra. Mästare blir det lag som först vier fyra matcher. Varje match spelas vid behov med förlägigar tills ma får e viare, dvs. det blir iga oavgjorda matcher. Atag att lag A i varje match vier med saolikhete / och att resultate av matchera är oberoede av varadra. a) Med vilke saolikhet behövs mist fem matcher för att avgöra mästerskapet? b) Med vilke saolikhet vier lag A mästerskapet? Bilaga: formelsamlig A. Två av katera hos e rektagulär metallskiva upphettas med hjälp av iduktiosströmmar, som iduceras av ett varierade magetfält. Ma studerar temperature i elva pukter på skiva (se figur ). I de åtta puktera på skivas rad uppmättes atige temperature 0 C eller 70 C eligt figure. Beräka estimat för temperaturera i de ire puktera P, P och P så att temperature i var och e av dessa tre pukter blir medelvärdet av temperaturera i dess fyra ärmaste graar blad radpuktera och de ire puktera. Age svare i grader med e ehets oggrahet. A5. I e ekel trafikmodell atar ma att puktformiga bilar kör i e kö med de kostata hastighete v och med det kostata avstådet a mella bilara. Vidare Figur Figur c TH 005

Om icke-överstrucka lösigar föreligger för samma uppgift, så bedöms de sämsta av dessa. A. I börja av år 00 bodde 6,9 % av ivåara i Tammerfors ekoomiska regio i Tammerfors och 5, % i sex ärkommuer.

3 INSMAT 005 tehtävä sarja A sarja B sarja C sarja D pisteytys Olkoo seudu väkiluku vuode 00 alussa A > 0. a) Vuode 0 alussa o Tamperee asukasluku x A A, lähikutie asukasluku y A A x x + y Treella asuu 6, % seudu asukkaista. b) Tampereella o vuode kuluttua vähemmä asukkaita, jos , % ,8 % , % p A < A > > l(6.9/ 5.) l(.07 /.009) (piei kokoaisluku) Siis Tampereella o esi kerra vähemmä asukkaita 78 vuode kuluttua eli vuode 08 alussa p

b) Tampereella o vuode kuluttua vähemmä asukkaita, jos 0.59... 59, % 0.598... 59,8 % 0.57 57, % p.009 6.9 A <.07 5. A.07.009 > 6.9 5. > l(6.9/ 5.) l(.

4 INSMAT 005 tehtävä sarjat A ja C sarjat B ja D pisteytys a) Ratkaistaa yhtälöpari y 5x, x 5y : y 9x, x y y 5 (5y ) 5 5 y 6 y(-5 5 y 5 ) 0 y 0 tai y /5 ; y(- 5 y 5 ) 0. tällöi vastaavasti x 0 tai x /5. Siis leikkauspisteet ovat (0,0) ja (, ). 5 5 (0,0) ja (, ) p b) Kyseie alue o A : 5x < y < x, 0 < x <, ja se ala o 5 5 9x < y < x, 0 < x < 5 a(a) 0 x 5 5x dx 5 / x 5x / x 9x dx 5 08 p

tällöi vastaavasti x 0 tai x /5. Siis leikkauspisteet ovat (0,0) ja (, ).

5 INSMAT 005 tehtävä pisteytys Selvästi 0 < α < π/, lisäksi voidaa olettaa, että R. Risti eljäes (kuva vieressä) o cos α -sivue eliö, joka kulmasta o poistettu (cos α - si α)-sivuie eliö. si α Risti pita-ala α: fuktioa saa maksimiarvo, ku fuktio f(α) cos α - (cos α - si α) si α cos α - si α cos α R α si α p saa maksimiarvo. cos α f (α) cos α - si α - si α cos α cosα - siα, jote f (α) 0 si α eli taα. cos α Tällöi α arcta (rad) 6... Ο, jote α Ο. p Derivaata etumerkkitarkastelu tms. tämä o todella maksimikohta. Siis risti pita-ala o suuri, ku α.7 Ο. p

si α Risti pita-ala α: fuktioa saa maksimiarvo, ku fuktio f(α) cos α - (cos α - si α) si α cos α - si α cos α R α si α p saa maksimiarvo.

6 INSMAT 005 tehtävä sarja A sarja B sarja C sarja D pisteytys Pisteide P, P, P lämpötiloille x, x, x o tehtäväao mukaa voimassa yhtälöryhmä x x x ( x) (0 + x x) ( 0 + x + 70) p... x 0 + x x ( ) p... x x x 805/ 5/ / / / / 6 05/ / p

70 + x) (0 + x + 70 + x) ( 0 + x + 70) 70 80 80 p.

7 INSMAT 005 tehtävä 5 sarjat A ja C sarjat B ja D pisteytys Olkoo joo opeus v ja peräkkäiste autoje etäisyys a. Jos tarkkailupistee ohittaa tuissa N autoa, o siis Na v eli a v/n. Yhtälöstä v/v 0 a / L saadaa v v 0 a v L NL v 0 eli v () NL p (v 0 ei ole järkevä), missä v 0 00 km/h ja L 80 m 0.08 km (ja N: yksikkö o /h). a) (klo 6) Nyt N 80 ja kaava () ataisi v km/h, mikä ei ole mahdollista, sillä o oltava v/v 0 < (eli rajoitusta ei rikota). Siis v/v 0 eli km h N 0 ( ) v 00 km/h. b) (klo 8) Nyt N 90, ja kaavasta () saadaa v 65. km/h. v 00 km/h. N 760 v 7.0 km/h p p

Yhtälöstä v/v 0 a / L saadaa v v 0 a v L NL v 0 eli v () NL p (v 0 ei ole järkevä), missä v 0 00 km/h ja L 80 m 0.08 km (ja N: yksikkö o /h).

8 INSMAT 005 tehtävä 6 pisteytys a) P( peliä riittää ) P( A voittaa peräkkäi ) + P( B voittaa peräkkäi ) P( tarvitaa vähitää 5 peliä ) b) Suotuisassa tapauksessa (A voittaa mestaruude) voitot jakautuvat A: hyväksi, missä 0 < <. A voittaa viimeise ottelu. Esimmäisissä + ottelussa voitot voivat tulla missä järjestyksessä tahasa; eri järjestyste lukumäärä o + (biomikerroi). Siis P( A voittaa, B voittaa ) +, jote eri tapauksissa saadaa (huomioidaa vielä A: voittotodeäköisyys / viimeisessä ottelussa) P( voitot A:lle - 0 ) 8, P( voitot A:lle - ) 8 P( voitot A:lle - ) , P( voitot A:lle - ) Näide summaa saadaa: P( A voittaa mestaruude ) p p p

Esimmäisissä + ottelussa voitot voivat tulla missä järjestyksessä tahasa; eri järjestyste lukumäärä o + (biomikerroi).

Samankaltaiset tiedostot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 9.5.007 klo 14-17 Sarja A Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu