SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi

Transkriptio

1 SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi 1. Ilman perusteluja ei annettu pisteitä. Jos vastaus on oikein ja perustelu liittyy aiheeseen mutta ei mennyt ihan puikkoihin, 1/2 pistettä. Jos vastaus on oikein mutta perustelu on joko paikkansapitämätön väite tai ei kuulu aiheeseen, nolla pistettä. Jos perustelun jokin sivuhuomautus ei pidä paikkaansa, siitä ei rokoteta. Jos vastaus ja perustelu ovat ristiriidassa, ei pisteitä. (a) äärin Kaikki arkipäiväiset antennit ovat johteita, ja jo tällä toteamuksella sai niitattua kysymyksen yhden pisteen arvoisesti. Aallot eivät tosiaankaan kulje johteen sisälle, mutta ohjautuvat helposti sen pintaa pitkin (1/2 p). Aaltohan synnyttää johteeseen (pinta)virran (1 p) joka voidaan havaita vastaanottolaitteella. (b) Oikein Johteet heijastavat sähkömagneettista aaltoa voimakkaasti ja tätä hyödynnetäänkin tosi paljon aaltojen ohjailussa. Ajattele vaikka T:n koaksiaalista antennijohtoa, lautasantennia tai peiliä. Myöskin aallot vaimenevat johteissa - argumentti hyväksyttiin, koska näin voidaan estää aallon eteneminen suojattavaan kohteeseen. (c) Oikein Myös eristeet heijastavat sähkömagneettista aaltoa. Ajattele heijastuksia ikkunoista, taittumista silmälaseissa ja prismassa tai laskuituista/muovista valokuitukaapelia. (d) äärin Johteessa etenevän aallon tunkeutumissyvyys 2 ωµg riippuu kulmataajuudesta ω, permeabiliteetista µ ja johtavuudesta g. Permittiivisyydellä ɛ ei ole tässä tapauksessa tekemistä. Tehtävän väite oli esitetty aivan yleisesti, joten tämä esimerkki osoittaa että väite on yleisesti ottaen väärä. Epätäydellisen johteen erikoistapauksessa tunkeutumissyvyydeksi tulee g 2 ɛ (joku oli tämänkin muistanut tai johtanut!) eikä väite toimi edes tässä µ erikoistapaksessa. Hämmästyttävän moni oli sekoittanut permittiivisyyden ɛ permeabiliteettiin µ. aikka sekaannus on käsitteellisesti vakava, niin palkitaan kokonaisella pisteellä analyysit joissa lauseke tulee joko oikeassa tai 2 2 -muodossa ja ωµg ωɛg johtopäätökset muutoksesta tehdään kurinalaisesti ja oikein.

2 (e) Oikein Tässä tulee kurssin puitteissa kyseeseen vain eriste-eriste-rajapinta, koska johteella ja eristeellä on ilmiselvästi eri johtavuudet. Aallon heijastumisen ja läpäisyn kannalta ratkaiseva suure on väliaineen ominaisimpedanssi η = µ ɛ, ja nimenomaan sen muutos rajapinnalla. Jos väliainevakiot ovat samat, niin tässä ei tapahdu mitään muutosta (kuten ei silloinkaan jos aalto etenee koko ajan samassa väliaineessa). Heijastuskertoimenkin voi laskea, ja kyllähän Γ = η 1 η 2 η 1 +η 2 menee nollaksi kun η 1 = η 2 pätee. Jos vain todettiin että heijastuskerroin menee nollaksi ilman perusteluja, niin puoli pistettä. (f) äärin astakkaisiin suuntiin etenevät aallot eivät koskaan kumoa toisiaan (ellei molempien amplitudi ole nolla, jolloin ei oikein voi puhua aalloista). Jos aalloilla on sama taajuus, voi tuloksena olla jonkinlainen seisova aalto: Ae j(kz ωt) + Be j( kz ωt) = e jkz (A + Be 2jkz )e jωt, josta aallon amplitudiksi A + Be 2jkz. Huomautus siitä että aaltojen taajuudet, pituudet, polarisaatiot tai vaiheet voivat olla erilaiset tuottavat 1 pisteen. 2. (a) magneettivuo ( magneettikenttä 1/2 pist.) (b) ajan (c) sähkömotorinen voima (d) sähkömagneettinen induktio (pelkkä induktio 1/2 pist.) (e) sähkökenttä (f) johteessa 3. (a) Kun vastus on ympäröity pinnalla josta johdot kulkevat läpi, niin siihen tuodaan ko. pinnan ulkopuolelta sähkömagneettisessa muodossa tehoa, joka muuttuu vastuksessa sähkömagneettisesta muodosta muuhun muotoon tässä tapauksessa lämmöksi (selitys 1p). Tätä kuvaa yhtälö J(t) J(t) d = E(t) H(t) n da, g jonka mukaan sisään tuotu teho P = UI = E(t) H(t) n da on joka hetki yhtä suuri kuin lämmöksi muuttuva teho J(t) J(t) d. Yhtälö ja termien g merkitys (1p).

3 Aika monessa vastauksessa oli liitetty vastuksen tuottama teho Poyntingin vektorin sisältävään termiin E(t) H(t) n da käyttäen argumenttina lämpösäteilyä pois vastuksesta. Tämä on kuitenkin kahdesta syystä ongelmallinen argumentti: Ensinnäkään, ei ole mitenkään taattua että lämpö säteilee, se voi myös johtua (jäähdytysripa), kulkeutua aineen mukana (nestejäähdytys) tai sitoutua olomuodon muutokseen (heatpipe). Toiseksi luennoilla on nimenomaan esitetty tämä Ohminen lämmön muodostuminen esimerkkinä tapauksesta jossa sähkömagneettista energiaa muuttuu muuhun muotoon. (b) astaavasti kondensaattori ympäröidään pinnalla josta johdot kulkevat läpi. Siihen tuodaan taas pinnan ulkopuolelta sähkömagneettisessa muodossa tehoa, joka varastoituu kondesaattorin sähkökentän energiaksi (selitys 1p). Tätä kuvaa yhtälö 1 d 2 dt D(t) E(t) d = E(t) H(t) n da, jonka mukaan sisään tuotu teho P = UI = E(t) H(t) n da on joka hetki yhtä suuri kuin sähkökentän energian kasvunopeus. Yhtälö ja termien merkitys (1p). (c) Nyt tuodaan pinnan ulkopulelta sähkömagneettisessa muodossa tehoa, joka muuttuu kelan magneettiseksi energiaksi (selitys 1p). Tätä kuvaa yhtälö 1 d B(t) H(t) d = E(t) H(t) n da, 2 dt ja sisään tuotu teho P = UI = E(t) H(t) n da on joka hetki yhtä suuri kuin magneettikentän energian kasvunopeus (1p). Tehtävällä on yleisempää merkitystä: ei ole sattumaa että Poyntingin teoreemassa on sisään tuotavan tehon termin lisäksi kolme erilaista tehon varastoitumis- tai muuttumismekanismia kuvaavaa termiä siis yhtä monta kuin peruspiirialkioita. 4. Tässä tehtävässä tuli paljon vastauksia jotka eivät olleet kovin johdonmukaisia. Esimerkiksi (a)-kohtaan saatettiin antaa yhtälö, jossa esiintyi L, mutta missään ei kerrottu mikä tuo L on ja miten se liittyy sanalliseen osaan vastausta, tai tasoaallon sanottiin olevan kohtisuora kaukaa katsottuna. Tämä ongelma voi osittain selittyä kiireellä tenttitilanteessa, mutta toivon että kuitenkin löytyisi malttia katsoa hetki kriittisesti vastausta ja arvioida sen mielekkyyttä. Muista myös että tenttivastauksen on oltava tarkkaan laadittu, vaikka tarkastaja tietää ennestään vastauksen.

4 (a) Induktanssi L kuvaa kelan tai silmukan virran muutosnopeuden suhdetta siihen indusoituvaan sähkömotoriseen voimaan: muuttuva virta aiheuttaa muuttuvan magneettivuon silmukan läpi, ja SM seuraa tästä Faradayn lain mkaisesti. Matemaattisesti merkiten = L di(t) dt. Induktanssin suhde virtaan ja magneettikenttään voidaan ilmaista hyväksyttävästi myös muodossa Φ = L i(t). Myös toinen tapa selittää induktanssi on mahdollinen. Induktanssi sitoo kelan magneettikenttään varastoituneen energian kelassa kulkevaa virtaan yhtälön mukaisesti. E M = 1 2 Li2 Yhteen pisteeseen vaaditaan että induktanssin ja induktion ero on tehty selväksi, eli kyseessä on jotain järjestelmää kuvaava verrannollisuuskerroin. Toisaalta on kuvattava riittävän tarkasti jompi kumpi yllä esitetyistä määrittelytavoista (tarkka kriteeri: tentin tarkastajan pitäisi pystyä laskemaan jotain kelaa koskevia asioita selityksen avulla). Jos on selitetty jotain käämin kyvystä vastustaa virran muutoksia, niin tuo muutos on mainittava. (b) irran jatkuvuusyhtälö on varauksen säilymislaki, eli varauksia ei synny tyhjästä eikä katoa arvaamatta, vaan varaukset voivat vain kulkeutua paikasta toiseen (siis virtana) (1/2 p). Matemaattisessa muodossa voidaan esittää joko differentiaaliyhtälönä J = ρ tai integraalimuodossa J n da = d ρ d t dt (1/2 p lausekkesta). Jälkimmäisestä näkee selvemmin että pinnan läpi kulkeva nettovirta on yhtä suuri kuin kokonaisvarauksen Q = ρ d muutos: virta ei siis tule tyhjästä vaan kaikki ulos virrannut varaus pienentää kokonaisvarausta (1/2 p onnistuneesta selityksestä vaikka tuota asemaa säilymislakina ei olisi erikseen mainittu). Aikastaattisessa tapauksessa varaukset eivät voi pakkautua ajan kuluesa ja kokonaisvirta on nolla (tämä on mm. Kirchhoffin virtalain sisältö). Tämän erikoistapauksen esittämisestä ei saanut koko pistettä. (c) Monokromaattinen aalto sisältää vain yhtä taajuutta (1/2 p). Tasoaalto se on jos sähkökenttä on kullakin etenemissuuntaa vastaan kohtisuoralla tasolla sama kaikkialla (eli jos etenee esim. z-suuntaan, niin lauseke ei riipu x:stä eikä y:stä) (1/2 p). Käytännössä mallia käytetään palloaalloille, jotka ovat edenneet hyvin kauas lähteestään ja joita tarkastellaan vain aivan paikallisesti,

5 jolloin aaltorintamat (tasavaihepinnat) ovat lähes tasomaisia (1/2 p jos esitetty pelkältään). (d) Kun johtimessa kulkee vaihtovirtaa (1/2 p), virrantiheys sen reunoilla kasvaa suuremmaksi kuin johtimen keskiosassa, ja tätä ilmiötä kutsutaan virranahdoksi (1/2 p). Huomaa että suurempi virrantiheys ei vaadi suurempaa varaustiheyttä vaan että esim. elektronien keskimääräinen nopeus on suurempi! (e) iivästyneet potentiaalit ovat kenttiä, joiden avulla voidaan ilmaista ajan suhteen muuttuvan lähdesuureen aiheuttaman aallon sähkö- ja magneettikenttä (ovat lähteellisten aaltoyhtälöiden ratkaisuja)(1/2 p). Tieto lähdesuureen muutoksesta etenee valon nopeutta c, joten potentiaali tietyllä etäisyydellä d riippuu lähdesuureen arvosta hetki d/c sitten (1/2 p). Nimi tulee tämän viiveen huomioinnsta. (f) Rakenteen sähköinen koko ratkaisee sen käyttökelpoisuuden antennina (1/2 p). Tehokkaan antennin tulee olla suurempi kuin aallonpituuden kymmenesosa, joten sähköinen koko riippuu taajuudesta (1/2 p). 5. (a) Sekä x- että y-komponentti heijastuvat kuten luennoilla esitettiin, eli kulkusuunta vaihtuu ja aalto kerrotaan heijastuskertoimella. Lauseke on E(r, t) = 1 3 (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j( k rz ωt). Huomioi tarkkaan tuo uusi miinusmerkki termissä e j( krz ωt), se johtuu aallon kulkusuunnan kääntymisestä! Sähkökentän tangentiaalisen jatkuvuuden voi tietysti vielä tarkistaa läpäisykerrointa käyttäen. (b) Aallot kulkevat vastakkaisiin suuntiin (huomio 1/2 p), joten pohditaan pyörivätkö sähkökentät jollain kohdalla samaan suuntaan (huomio 1/2 p) jolloin kätisyys kääntyy vai eri suuntiin (kätisyys ei käänny). Helppo valinta on z = (ie 0 + je 0 e j π 2 )e jωt = 1 3 (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j(ωt π), ja pyörimissuunta on sama kuin tulleella aallolla, eli kätisyys vaihtuu (oikea perusteltu johtopäätös 1 p ja asian oikeasti havainnollistava tukikuva 1/2 p). (c) Summa-aallon lauseke on yksinkertaisesti summa (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j(k r z ωt) 1 3 (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j( k r z ωt).

6 (d) Tämä kohta on ylivoimasesti konstikkain, koska sitä on hyvin vaikea ratkaista ilman seuraavaa huomiota: Kun kirjoitetaan lauseke muotoon e [ ] j(k rz ωt) ie 0 + je 0 e j π 1 2 (1 3 e j2k rz ), Huomataan että saadaan alkuperäisen pyöröpolarisoituneen aallon lauseke, mutta kerrottuna termillä (1 1 3 e j2krz ). Alkuperäisen aallon amplitudi oli kaikkialla E 0, koska pyöröpolarisoituneessa aallossa sähkökentän voimakkuus ei muutu ajan kuluessa, vaan vain suunta. Nyt ajasta ja paikasta riippumaton kompleksiluku E 0 tulee kerrotuksi paikasta riippuvalla mutta ajasta riippumattomalla kompleksiluvulla (1 1 3 e j2krz ), jolloin kyseessä on pyöröpolarisoitunut aalto jonka amplitudi on E e j2krz. Aivan aukoton perustelu vaatisi vielä vaiheen jossa E 0 ja (1 1 3 e j2k rz ) hajoitetaan polaarimuotoon. Tämä vaatii sen verran jämäkkää pelisilmää, että tentin arvosanojen määräämisessä käytettiin maksimipistemäärää 28. Jos ykköskohdassa ei ole huomioitu aallon kulkusuunnan muutosta, tästä amplitudikysymyksestä tulee edelliseen veivaukseen verrattuna tavattoman helppo: (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j(k r z ωt) 1 3 (ie 0 + je 0 e j π 2 )e j(k r z ωt) = 2 3 E 0(i + je j π 2 )e j(k r z ωt), josta amplitudi on 2 3 E 0. Sen oikeasta ratkaisusta tässä tapauksessa saa puoli pistettä.