Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet"

Transkriptio

1 Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1

2 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen informaatio Täydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Tasapainokäsitteet puhdasstrategia-nash-tasapaino sekastrategia-nash-tasapaino osapelitäydellinen Nashtasapaino bayesilainen Nash-tasapaino täydellinen bayesilainen tasapaino 2

3 Normaalimuotoinen peli n pelaajaa, kukin pelaaja i valitsee strategian s i strategia-avaruudesta (strategy space) S i, so. s S Merkitään: i i G = { S1, S2,..., Sn; u1,... un} missä kunkin pelaajan hyöty u = u ( s, s,... s ), jota kukin maksimoi i i 1 2 n 3

4 Tärkeä oletus! Kukin maksimoi omaa hyötyään u i, kaikki tietävät (että kaikki tietävät, että kaikki tietävät...), että kukin maksimoivat omaa hyötyään - yhteistä tietoa (common knowledge) Myös hyötyfunktiot oletetaan yhteisesti tiedetyiksi, ellei toisin mainita 4

5 Esimerkki: Vangin dilemma Kaksi pelaajaa, kaksi mahdollista strategiaa (tunnusta, vaikene), kunkin pelaajan saama hyöty (tässä: u = -vankeusvuodet) voidaan esittää matriisina Pelaaja 2 Pelaaja 1 Vaikene Tunnusta Vaikene -1, -1-9, 0 Tunnusta 0, -9-6, -6 5

6 Esimerkki: Vangin dilemma Molemmat pääsevät 1 vankeusvuodella, jos molemmat vaikenevat Molemmilla on tässä tilanteessa kannuste tunnustaa ja molemmat tietävät, että toisella on sama kannuste => molemmat tunnustavat Pelin ns. (puhdasstrategia-)nash-tasapaino Vaikene Pelaaja 2 Tunnusta Pelaaja 1 Vaikene -1, -1-9, 0 Tunnusta 0, -9-6, -6 6

7 Puhdasstrategia-Nash-tasapaino * * Strategiat ( s1,..., s n ) ovat puhdasstrategia- Nash-tasapaino, jos kaikille i strategia s i on paras vaste (best response) muiden pelaajien * * * * strategioihin ( s,..., s, s,..., s ): 1 i 1 i+ 1 n * * * * * * * * * ui( s1,..., si 1, si, si+ 1,..., sn ) ui( s1,..., si 1, si, si+ 1,..., sn ) s i S i ts. kunkin pelaajan strategia on ratkaisu optimointitehtävään * * * * max( s,..., s, s, s,..., s ) s S i 7 i 1 i 1 i i+ 1 n

8 Esimerkki: Sukupuolten taistelu Kaksi puhdasstrategia-nash-tasapainoa (Ooppera, Ooppera) ja (Nyrkkeily, Nyrkkeily) Chris haluaa oopperaan mielummin, mutta menee mielummin nyrkkeilyotteluun Patin kanssa kuin yksin oopperaan Pat haluaa mielummin nyrkkeilyotteluun, mutta menee mielummin oopperaan Chrisin kanssa kuin yksin Pat nyrkkeilyotteluun Ooppera Nyrkkeily Chris Ooppera 2, 1 0, 0 Nyrkkeily 0, 0 1, 2 8

9 Esimerkki: Sukupuolten taistelu Olkoon Patin ja Chrisin sekastrategiat (=tn-jakauma strategioille) (q, 1-q) ja (r, 1-r), tässä järjestyksessä P(s Pat = Ooppera )=q jne. Pat Ooppera Nyrkkeily Chris Ooppera 2, 1 0, 0 Nyrkkeily 0, 0 1, 2 9

10 Esimerkki: Sukupuolten taistelu schris = " Ooppera" uchris = 2q + 0*(1 q) = 2q schris = " Nyrkkeily" uchris = 0* q+ 1*(1 q) = 1 q spat = " Ooppera" upat = 1r + 0*(1 r) = r spat = " Nyrkkeily" upat = 0* r+ 2*(1 r) = 2 r 2q > 1 q q > 1/3 uchris (" Ooppera") > uchris (" Nyrkkeily") r > 2 2r r > 2/3 upat (" Ooppera") > upat (" Nyrkkeily") Chris 10 Ooppera Pat Nyrkkeily Ooppera 2, 1 0, 0 Nyrkkeily 0, 0 1, 2

11 Esimerkki: Sukupuolten taistelu Pelaajien parhaan vasteen (puhdastrategia) määrittää: 2q > 1 q q > 1/3 uchris (" Ooppera") > uchris (" Nyrkkeily") r > 2 2r r > 2/3 upat (" Ooppera") > upat (" Nyrkkeily") uchris (( r,1 r), ( q,1 q)) = 2qr+ 0 * (1 q) r+ 0 * (1 r) q+ 1*(1 q)(1 r) upat (( r,1 r),( q,1 q)) = 1qr+ 0*(1 q) r+ 0*(1 r) q+ 2*(1 q)(1 r) uchris = 3q 1= 0 q= 1/3 r upat = 3r 2= 0 r = 2/3 r 11 Pelin ns. sekastrategia-nash-tasapaino

12 Sekastrategia-Nash-tasapaino Pelaajan sekastrategian tuottama odotettu hyöty muiden sekastrategioita vastaan n ui( p) =... pj( sj) ui( s) s1 S1 sn Sn j= 1 Sekastrategia-Nash-tasapaino: i p u p p *, i argmax i( i, i ) p i (Notaatio: p = ( p,..., p, p,..., p ) ) 12 * * * * * i 1 i 1 i+ 1 n

13 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen informaatio Täydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Tasapainokäsitteet puhdasstrategia-nash-tasapaino sekastrategia-nash-tasapaino osapelitäydellinen Nashtasapaino bayesilainen Nash-tasapaino täydellinen bayesilainen tasapaino 13

14 Laajennetun muodon esitys Määrittää: (1) pelaajat, (2a) milloin kunkin on tehtävä valintoja, (2b)mahdolliset valinnat kussakin tilanteessa, (2c) mitä kukin tietää kussakin vaiheessa, jossa valinta on tehtävä, (3) hyödyt kaikilla strategioilla Strategia s i on pelaajan i täydellinen toimintasuunnitelma (määrittää valinnat kaikissa tilanteissa, joissa pelaajan on toimittava) 1 T B 2 (2,2) t b (0,0) (3,1) 14 Osapeli koostuu solmusta joka (i) ei ole pelin ensimmäinen tai viimeinen ja, jossa (ii) pelaaja tietää olevansa (p=1); sekä (i)&(ii) -solmun muodostamasta puusta kokonaisuudessaan

15 Dynaamiset pelit ja takaisinpäininduktio (2-vaiheinen esim.) 1. Pelaaja 1 valitsee a Pelaaja 2 havaitsee 1:n valinnan ja valitsee 3. Pelaajat saavat hyödyt u1( a1, a2)& u2( a1, a2) Takaisinpäin-induktio (backwardsinduction): A a A 2 2 R2( a1) = arg max u2( a1, a2) a2 * a1 = arg max u1( a1, R( a1)) a1 15 ( a, R( a )) * * 1 1

16 1 T B Laajennetun muodon pelit ja osapelitäydellinen Nash-tasapaino 2 (2,2) t b (0,0) (3,1) P1 Pelaajan 1 ei ole syytä pelätä, että 2:n strategia olisi t - kyseessä epäuskottava uhka (noncredible threat) 1 1 Takaisinpäin-induktio eliminoi epäuskottavat uhat. Strategiat, jotka johtavat takaisinpäin-induktioratkaisuun, muodostavat osapelitäydellisen Nash-tasapainon 16 * a 1 P2 t T 0,0 3,1 B 2,2 2,2 b R2( a1) * * ( a, R( a ))

17 Osapelitäydellinen Nash-tasapaino Sellaiset strategiat muodostavat osapelitäydellisen Nash-tasapainon, jotka muodostavat Nash-tasapainon kaikissa osapeleissä * * Esim ( a1, R2( a1 )) on em. pelin takaisinpäininduktioratkaisu, joten vastaava osapelitäydellinen Nash-tasapaino on * ( a, R ( a ))

18 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen informaatio Täydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Tasapainokäsitteet puhdasstrategia-nash-tasapaino sekastrategia-nash-tasapaino osapelitäydellinen Nashtasapaino bayesilainen Nash-tasapaino täydellinen bayesilainen tasapaino 18

19 Esimerkki: Cournot n duopoli (asymmetrisellä informaatiolla) Kaksi saman toimialan teollisuusyritystä Yritykset päättävät samanaikaisesti tuottaa markkinoille (toisensa täydellisesti korvaavaa) tuotetta määrät q 1 ja q 2 Tuotteen hinta (kysyntä) markkinoilla on PQ ( ) = a QQ, = q+ q 1 2 Yritykset saavat hyödyt ja π1( c1, q1, q2) π 2( 2, 1, 2 c q q ) 19

20 Esimerkki: Cournot n duopoli (asymmetrisellä informaatiolla) Yrityksen 1 kustannukset valmistettua tuotetta kohden ovat c, joten π ( c, q, q ) = ( a q q c) q Yrityksen 2 hyötyfunktio π 2( c2, q1, q2) = ( a q1 q2 c2) q 2 Yrityksen 2 kustannukset ovat korkeat tn:llä P(c 2 =c H )=θ ja matalat tn:llä P(c 2 =c L )=1-θ Yritys 2 saa tietää tuotantokustannuksensa ennen tuotantopäätöstä, mutta 1 ei saa tätä informaatiota Tämä kaikki on yhteistä tietoa 20

21 q Esimerkki: Cournot n duopoli (asymmetrisellä informaatiolla) Yrityksen 2 optimaalinen tuotantomäärä riippuu kustannuksista q ( c ) = arg max[( a q q ) c ] q 2 * * q2 ( cl) = arg max[( a q1 q2) cl] q2 q2 * * 2 H 1 2 H 2 q Yritys 1 tietää vain, että 2 tuottaa q 2* (c H ) tn:llä θ ja q 2* (c L ) tn:llä 1- θ, joten = arg max θ[( a q q ( c )) c] q + (1 θ)[( a q q ( c )) c] q * * * H L 1 q 1 21

22 Esimerkki: Cournot n duopoli (asymmetrisellä informaatiolla) Yrityksen 2 optimaalinen tuotto, jos se havaitsee yksikkökustannustensa olevan c H * a 2cH + c 1 θ q2 ( ch) = + ( ch cl) 3 6 Yrityksen 2 optimaalinen tuotto, jos se havaitsee yksikkökustannustensa olevan c L * a 2cH + c q2 ( cl ) = θ ( ch cl) 3 6 Yrityksen 1 optimaalinen tuotto q * 1 a 2 c+ θch + (1 θ ) c = 3 L 22

23 Cournot n duopoli täydellinen vs. epätäydellinen informaatio Optimaalinen tuotantomäärä täydellisen informaation Cournot n duopolissa q a c + c 2 * i = i 3 j * a 2cH + c 1 θ q2 ( ch) = + ( ch cl) 3 6 * a 2cL + c q2 ( cl ) = θ ( ch cl) 3 6 Yritys 2 ottaa huomioon * a 2 c+ θch + (1 θ ) cl paitsi omat kustannuksensa, q1 = 3 myös tiedon, että yritys 1 ei tiedä yrityksen 2 kustannuksia, siksi q i* <q 2* (c H ) ja q i* <q 2* (c L ) 23

24 Bayesiläinen (staattinen) normaalimuotoinen peli n pelaajaa, Luonto (Nature) valitsee kullekin pelaajalle i tyypin t i tyyppiavaruudesta (T i ) Pelaajat havainnoivat oman tyyppinsä ennen peliä (yksityistä informaatiota), joka määrittää hyötyfunktion u = u ( a, a,... a ; t) i i 1 2 n Pelaajan i uskomukset p i (t -i t i ) kuvaavat i:n epävarmuutta muiden pelaajien tyypistä Pelaajat valitsevat a i valinta-avaruudesta A i Merkitään: G = { A,..., A ; T,..., T ; p,..., p ; u,..., u } 1 n 1 n 1 n 1 n 24

25 Bayesiläinen puhdastrategia-nashtasapaino (Muistetaan, että strategia on täydellinen toimintasuunnitelma) * * Strategiat ( s1,..., s n ) ovat bayesiläinen puhdasstrategia-nash-tasapaino, jos kaikille pelaajille i ja kaikille i:n sallituille tyypeille t i, s i* (t i ) ratkaisee optimointitehtävän max u ( s ( t ),..., s ( t ), a, s ( t ),..., s ( t ); t) p ( t a A t i * * * * i 1 1 i 1 i 1 i i+ 1 i+ 1 n n i i t i ) i i eli yksikään pelaaja ei muuta strategiaan vaikka strategia koskisi vain yhden tyypin yhtä valintaa 25

26 Cournot n asymmetrisen informaation duopoli bayesilaisena pelinä Yritysten valinta-avaruudet A i ={q i } Yritysten tyyppiavaruudet T 1 ={c} ja T 2 ={c H, c L } Yritysten uskomukset p 1 (t -1 t 1 )=[θ, 1-θ] ja p 2 (t -2 t 2 )=P(c 1 =c)=1 Hyötyfunktiot π1( q1, q2; t) = ( a q1 q2 t1) q1 π ( q, q ; t) = ( a q q t ) q

27 Cournot n asymmetrisen informaation duopoli bayesilaisena pelinä * * q2 ( ch) = arg max[( a q1 q2) ch] q2 q2 * * q2 ( cl) = arg max[( a q1 q2) cl] q2 q2 * * * q = arg max θ[( a q q ( c )) c] q + (1 θ)[( a q q ( c )) c] q H L 1 q 1 * * * * max ui( s1 ( t1),..., si 1 ( ti 1), ai, si+ 1 ( ti+ 1),..., sn ( tn); t) pi( t i ti) a A t i i i 27

28 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen informaatio Täydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Epätäydellinen informaatio Tasapainokäsitteet puhdasstrategia-nash-tasapaino sekastrategia-nash-tasapaino osapelitäydellinen Nashtasapaino bayesilainen Nash-tasapaino täydellinen bayesilainen tasapaino 28

29 PBE:n idea: Täydellinen bayesilainen Nashtasapaino (PBE) annettuna pelaajien uskomukset (q), pelaajien strategioiden on muodostettava osapelitäydellinen bayesiläinen Nash-tasapaino uskomuksia päivitetään Bayesin säännöllä (annettuna tasapainostrategiat p) aina kun mahdollista strategiat p baysiläinen uskomusten päivittäminen bayesiläinen osapelitäydellinen tasapaino 29 uskomukset q esim. kalvo 37

30 Dynaaminen epätäydellisen informaation peli, esim. L L R L M R R Nash-tasapainot korostettu (1,3) Pelaaja 2 L R L 2,1 0, 0 Pelaaja 1 M 0,2 0,1 R 1,3 1,3 (2,1) (0,0) (0,2) (0,1) Koska pelissä ei ole osapelejä (2 tietää vain valitsiko 1 R:n), molemmat Nash-tasapainot ovat osapelitäydellisiä Kuitenkin, (R,R ) perustuu selvästi epäuskottavaan uhkaan 30

31 PBE: vaatimukset 1-3 Gibbonsin (1992) mukaan 1. Sillä pelaajalla, joka on vuorossa, on oltava uskomus siitä, missä solmussa tämä on. Uskomus on todennäköisyysjakauma, joka määrittää millä todennäköisyydellä ollaan missäkin solmussa mahdollisten solmujen joukkoa sanotaan informaatiojoukoksi, information set 2. Strategioiden on oltava vaiheittaisesti rationaalisia (sequentially rational). Pelaajan strategian on oltava optimaalinen, annettuna pelaajan uskomukset (1) sekä muiden pelaajien strategiat 3. Pelaajat päivittävät uskomuksiaan Bayesin säännöllä, annettuna pelaajien tasapainostrategiat, kun ollaan tasapainopolulla tasapainopolku on informaatiojoukko (solmu tai solmut), joihin päädytään positiivisella todennäköisyydellä kun pelataan tasapainostrategiaa 31

32 (2,1) [q] L L R L (0,0) (0,2) Vaatimukset 1-3: esimerkki Osapelitäydelliset Nash-tasapainot korostettu M R [1-q] R (0,1) (1,3) Pelaajan 2 odotettu hyöty strategialle R : q*0+(1-q)*1=1-q L : q*1+(1-q)*2=2-q 2-q>1-q Epäuskottava uhkaan perustuva osapelitäydellinen Nash-tasapaino eliminoituu (vaatimukset 1 ja 2) Vaatimus 3: Annettuna pelaajan 2 strategia L, pelaajan 1 strategia on oltava L, joten pelaajan 2 uskomus on oltava q=1, ko. informaatiojoukko on tasapainopolulla 32

33 Vaatimus 3: sekastrategiaesimerkki Oletetaan, että pelaajalla 1 on sekastrategia [q] p = [p 1, p 2, 1-p 1 -p 2 ] Jos pelaaja 2 havaitsee, ettei (2,1) (0,0) (0,2) 1 valinnut R:ää, vaatimuksen 3 perusteella L L R L M R [1-q] R (0,1) (1,3) q = p 1 /(p 1 +p 2 ) 33

34 PBE Vaatimukset 1-3: Esimerkki (1,2,1) [q] L L R L (3,3,3) D (0,1,2) R A [1-q] R (1,3,0) (0,1,1) Strategiat (A, L, L ) & q=0 on Nashtasapaino Vaatimus 1, 2 ja 3 toteutuu q=0 ei ole konsistentti pelaajan 2 tasapainostrategioiden kanssa (Pelaajan 2 strategia ei ole R missään tasapainossa), mutta se ei haittaa (vaatimus 3), koska 3:n informaatiojoukko ei ole tasapainopolulla* * Tasapainostrategioilla (A,L,L ) peli päätyy todennäköisyydellä nolla 3:n informaatiojoukkoon 34

35 PBE Vaatimus 4 Gibbonsin (1992) mukaan Uskomuksia päivitetään Bayesin säännöllä, ottaen huomioon pelaajien tasapainostrategiat aina kun mahdollista, myös kun ei olla tasapainopolulla 35

36 PBE Vaatimukset 4: Esimerkki (1,2,1) [q] L L R L R (3,3,3) D (0,1,2) A [1-q] (1,3,0) R (0,1,1) Päivitetään pelaajan 3 uskomusta q=0 pelaajan 2 strategian mukaisesti Pelaajan 2 strategia molemmissa tasapainoissa L (vaiheittainen rationaalisuus), jolloin pelaajan 3 uskomus on oltava q=1 Pelaajan 3 strategia oltava uskomusten (q=1) mukaisesti R (D,L,R) & q=1 toteuttaa Vaatimukset 1-4 ja on siten pelin ainut täydellinen bayesiläinen tasapaino PBE 36

37 Vaiheittainen palkkaneuvottelu Ammattiyhdistys ja yritys neuvottelevat palkasta Jos osapuolet pääsevät sopuun, yritys saa tuoton π ja maksaa palkan w Vaihtoehtoisesti molempien hyöty on nolla Yrityksen tuotto (tyyppi) π on tasajakautunut välille [0, π H ] Yritys havaitsee oman tyyppinsä ennen neuvotteluja 37

38 Vaiheittainen palkkaneuvottelu 1. Ammattiyhdistys ehdottaa palkkaa w 1 2. Yritys joko hyväksyy tarjouksen (peli loppuu ja pelaajat saavat hyödyt π-w 1 ja w 1 ) tai hylkää tarjouksen 3 3. Ammattiyhdistys ehdottaa palkkaa w 2 4. Yritys joko hyväksyy tarjouksen (pelaajat saavat hyödyt δ(π-w 2 ) ja δw 2 ) tai hylkää tarjouksen (molempien hyöty on nolla) 38

39 Vaiheittainen palkkaneuvottelu Oletetaan, että ammattiyhdistys uskoo toisella tarjouskierroksella, että yrityksen tyyppi on tasajakautunut välille [0, π 1 ] w 2 * = π 1 (w 1 ) / 2 Ammattiyhdistys päivittää uskomustaan yrityksen tyypistä käyttäen apunaan tietoa, että yritys hylkäsi tarjouksen w 1 39

40 Vaiheittainen palkkaneuvottelu Yritys hyväksyy tarjouksen w 1, jos se on hyväksyttävä (w 1 > π) ja tarjousta w 2 houkuttavampi (π-w 1 > δ(π-w 2 )) Hyväksy tarjous, jos π > max{π * (w 1, w 2 ), w 1 }, missä π * (w 1, w 2 ) = (w 1 - δw 2 )/(1- δ) Päivitetty uskomus [0, π 1 ] on siten π 1 (w 1 ) = max{π * (w 1, w 2* ), w 1 } = π * (w 1, π 1 /2) => π 1 (w 1 ) = 2w 1 /(2- δ) w 2* (w 1 ) = w 1 /(2- δ) 40

41 Vaiheittainen palkkaneuvottelu Ollaan ratkaistu: priori- ([0, π H ]) ja päivitetyt ([0, π 1 ]) uskomukset, optimaalinen tarjous w 2* (w 1 ) ja siten myös yrityksen paras vaste mielivaltaisiin tarjouksiin w 1 ja w 2 Pelin täydellinen bayesiläinen tasapaino (PBE) saadaan, kun ratkaistaan ammattiyhdistyksen odotetun hyödyn maksimointitehtävä (ensimmäisen tarjouksen w 1 suhteen) w 1 *P( Yritys hyväksyy tarjouksen w 1 ) + δw 2 *P( Yritys hylkää tarjouksen w 1, mutta hyväksyy w 2 ) + δ*0*p( Yritys hylkää molemmat tarjoukset ) P( Yritys hyväksyy tarjouksen w 1 ) = (π H - π 1 (w 1 ))/ π H 41

42 Vaiheittaisen palkkaneuvottelun täydellinen bayesiläinen tasapaino 1. Ammattiyhdistyksen ensimmäisen kierroksen tarjous w 1 * on w * 1 = 2 (2 δ ) π 2(4 3 δ ) H 2. Jos yrityksen tuotto (tyyppi) ylittää π 1 *, yritys hyväksyy tarjouksen π 2w 2 δ = = π 2 δ 4 3δ * Jos yritys hylkää tarjouksen w * 1 ammattiyhdistyksen uskomus päivittyy siten, että se uskoo yrityksen tyypin olevan tasajakautunut välille [0, π 1 *] 4. Ammattiyhdistyksen toinen tarjous on w 2 *=π 1 */2 < w * 1 w π 2 δ = = π 2 2(4 3 δ ) * * Jos π > w 2 * yritys hyväksyy tarjouksen H H 42

43 Kotitehtävä 1/2 (3p) Esitä seuraavan laajennetun muodon peliesityksen matriisimuotoinen esitys (1p) Etsi kaikki pelin puhdasstrategia-nash- (0,5p), osapelitäydelliset (0,5p) sekä täydelliset bayesiläiset tasapainot (1p) Gibbons (ex. 4.1.a) (4,1) L L R L 43 [q] (0,0) (3,0) M R [1-q] R (0,1) (2,2)

44 Kotitehtävä 2/2 (2p) Osoita, että seuraavalla laajennetun muodon pelillä ei ole täydellistä bayesiläistä puhdasstrategiatasapainoa (Gibbons ex. 4.2) R (2,2) L M [q] L R L [1-q] R (3,0) (0,1) (0,1) 44 (3,0)

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen

Lisätiedot

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu

Lisätiedot

Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset

Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen

Lisätiedot

Luento 8. June 3, 2014

Luento 8. June 3, 2014 June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jarkko.murtoaro@hut.fi Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Käsitteistö Työkalut Nashin tasapaino Täydellinen tasapaino Optimointiopin seminaari

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta

Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Keskeiset termit: Rationalizability rationalisoituvuus ratkaisukonsepti peliteoriassa Rationalizable rationalisoituva Rationality rationaalisuus pelaajat

Lisätiedot

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Virpi Turkulainen 5.3.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Bertrandin ristiriita ja sen lähestyminen Bertrandin ristiriita Lähestymistavat:

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 6

Y56 laskuharjoitukset 6 Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.

Lisätiedot

Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä

Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä hyväksymispäivä arvosana arvostelija Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä Marja Hassinen Helsinki 9..2006 Peliteoria-seminaarin esitelmä HESINGIN YIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

Signalointi: autonromujen markkinat

Signalointi: autonromujen markkinat Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

PELITEORIAN PERUSTEITA

PELITEORIAN PERUSTEITA PELITEORIAN PERUSTEITA Matti Estola 29. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 2 3 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa 3 4 Pelin ratkaiseminen 4 4.1

Lisätiedot

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) 11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan

Lisätiedot

Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus

Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Petteri Räty 2010-03-14 God does not play dice with the universe Albert Einstein Agenda Intensiiviyhteensopivuuden käsite Yrittää vastata kysymykseen, mitä sekastrategiat

Lisätiedot

LAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS. S ysteemianalyysin. Arno Solin Laboratorio. Aalto-yliopiston Teknillinen korkeakoulu

LAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS. S ysteemianalyysin. Arno Solin Laboratorio. Aalto-yliopiston Teknillinen korkeakoulu LAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS 3.3.2010 Pähkinänkuoressa: Laajennetun muodon rationalisoituvuus Laajennetun muodon peli (Extensive Form Game) Laajennetun muodon pelin tasapainokäsitteitä. Tosimaailman

Lisätiedot

PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA

PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli

Lisätiedot

Toistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Toistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Toistetut pelit MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Elmeri Lähevirta The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.

Lisätiedot

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset Pasi Virtanen 12.3.2003 Johdanto Hintakilpailu jossa pelaajat kohtaavat toisensa toistuvasti Pelaajien on otettava hintaa valittaessa huomioon hintasodan

Lisätiedot

Luento 7. June 3, 2014

Luento 7. June 3, 2014 June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.

Lisätiedot

Signalointi: kustannukseton signalointi (halpa puhe)

Signalointi: kustannukseton signalointi (halpa puhe) Signalointi: kustannukseton signalointi (halpa puhe) Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Esa Mononen Stag hunt (1/2) Heimon jäsenet joutuvat yksilöinä päättämään menevätkö he metsästämään vai paneutuvatko

Lisätiedot

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 9. June 2, Luento 9 June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen

Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen Nuutti Kuosa 2.4.2003 Sisältö Johdanto Duopoli ja epätietoisuutta kilpailijan kustannuksista Kilpailijan tietämyksen manipulointi Duopoli ja epätietoisuutta kysynnästä

Lisätiedot

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä

Lisätiedot

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa IV

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa IV Sisältö Mikrotalousteoria 2, 2008, osa IV 1 Hyvinvoinnin taloustiedettä 2 2 Pareto-kriteeri 2 3 Kaldorin kompensaatiokriteeri 2 4 Peliteoriasta 3 5 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 3 6 Staattiset pelit

Lisätiedot

Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)

Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu 12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, 2nd ed., chs 16-17; Taloustieteen oppikirja, s. 87-90) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä

Lisätiedot

Paljonko maksat eurosta -peli

Paljonko maksat eurosta -peli Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan

Lisätiedot

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Helsinki 4..2006 Peliteorian seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto 2 Epätäydellisen tiedon jatkuva peli 2. Jatkuvan

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012

HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012 HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012 A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä: 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. Muun muassa Yhdysvaltain

Lisätiedot

Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3

Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3 May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja

Lisätiedot

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17)

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen

Lisätiedot

Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta

Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta Johdantoa peliteoriaan - ka ytetyt termit Peliteoria tutkii pelaajien toimintaa peleissa. Mika on peli? Mika on pelaaja? Peli tarkasti

Lisätiedot

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista

Lisätiedot

Fuusio vai konkurssi? Hintakilpailun satoa

Fuusio vai konkurssi? Hintakilpailun satoa Fuusio vai konkurssi? Hintakilpailun satoa Pia Kemppainen-Kajola 02.04.2003 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Johdanto Yrityskaupat ilmoitetaan kaupparekisteriin. Kauppa kiinnostaa kilpailuviranomaisia,

Lisätiedot

Peliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2

Peliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2 May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat

Lisätiedot

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva

Lisätiedot

Uusien keksintöjen hyödyntäminen

Uusien keksintöjen hyödyntäminen Uusien keksintöjen hyödyntäminen Otso Ojanen 9.4.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Käyttöönoton viiveet Ulkoisvaikutukset ja standardointi Teknologiaodotusten koordinointimalli Lisensiointi

Lisätiedot

Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Kommunikaatio MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 2.11.2016 Visa Linkiö The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.

Lisätiedot

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kymmenen tehtävää (10 pistettä ), yksi per luento (6 Saaran, 4

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa

Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa Samuel Aulanko Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Mainonta Tiedollinen ja ohjaileva mainonta Monopolistinen kilpailu Oligopolinen kilpailu

Lisätiedot

Peliteoria ja huutokauppamekanismit

Peliteoria ja huutokauppamekanismit Peliteoria ja huutokauppamekanismit Satu Ruotsalainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Satu Ruotsalainen, Peliteoria ja huutokauppamekanismit

Lisätiedot

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017 Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C1 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 17 Mallivastaukset 7. 1. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 5 asukasta. Taidemuseoilla on

Lisätiedot

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= 18 1.5P, missä q on käyntejä kuukaudessa keskimäärin. Yhden käyntikerran rajakustannus

Lisätiedot

Evolutiivinen stabiilisuus populaation

Evolutiivinen stabiilisuus populaation Antti Toppila sivu 1/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivinen stabiilisuus populaation määrittämisessä Antti Toppila 24.9.2008 Antti Toppila sivu 2/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Sisältö

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tero Sirkka. Peliteoriaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tero Sirkka. Peliteoriaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tero Sirkka Peliteoriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Sirkka, Tero: Peliteoriaa Pro gradu

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kahdeksan tehtävää, yksi per luento (5 Saaran, 3 Benin). Katso

Lisätiedot

Rationaalisen valinnan teoria

Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisuuden teoriat 1) Mihin meillä on perusteita uskoa? 2) Mitä meidän pitäisi tehdä? 3) Mitä päämääriä meillä tulisi olla? Näitä kysymyksiä vastaavat uskomusten rationaalisuus,

Lisätiedot

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1 May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen Mallivastaukset 9. 2. (a) Dominoiva strategia on tarjota oman arvostuksensa verran, eli tässä e 10 miljoonaa. Tarjoamalla yli oman arvostuksen tekisi vain mahdolliseksi sen, että joutuu maksamaan yli oman

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

TILASTOLLINEN OPPIMINEN

TILASTOLLINEN OPPIMINEN 301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%

Lisätiedot

Peliteoria ja kalatalous YE4

Peliteoria ja kalatalous YE4 Peliteoria ja kalatalous YE4 Kansainväliset kalastussopimukset Tarve kansainväliselle yhteistyölle: Vain kestävillä kansainvälisillä sopimuksilla voidaan taata biologinen ja taloudellinen tehokkuus. Neuvottelujen

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A Ratkaisut 3, viikko 4

Taloustieteen perusteet 31A Ratkaisut 3, viikko 4 Taloustieteen perusteet 31A00110 2018 Ratkaisut 3, viikko 4 1. Tarkastellaan pulloja valmistavaa yritystä, jonka päiväkohtainen tuotantofunktio on esitetty alla olevassa taulukossa. L on työntekijöiden

Lisätiedot

Asymmetrinen informaatio

Asymmetrinen informaatio Asymmetrinen informaatio Luku 36 Marita Laukkanen November 24, 2016 Marita Laukkanen Asymmetrinen informaatio November 24, 2016 1 / 10 Entä jos informaatio tuotteen laadusta on kallista? Ei ole uskottavaa,

Lisätiedot

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat (epäsuorat) sopimukset osa II

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat (epäsuorat) sopimukset osa II Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat (epäsuorat) sopimukset osa II Olavi Toivainen 12.3.2003 Sanattomien sopimusten mallintaminen ja kontrollointi, miksi? EU Artikla 81 yritysten välisistä kilpailua

Lisätiedot

Robust portfolio modeling (RPM) epätäydellisellä hintainformaatiolla ja projektiriippuvuuksilla

Robust portfolio modeling (RPM) epätäydellisellä hintainformaatiolla ja projektiriippuvuuksilla Robust portfolio modeling (RPM) epätäydellisellä hintainformaatiolla ja projektiriippuvuuksilla Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Lähde: Liesiö, J., Mild, P., Salo, A., 2008. Robust portfolio

Lisätiedot

Hintadiskriminaatio 2/2

Hintadiskriminaatio 2/2 Hintadiskriminaatio 2/2 Matti Hellvist 12.2.2003 Toisen asteen hintadiskrimiaatio eli tuotteiden kohdennus Toisen asteen hintadiskriminaatio toimii tilanteessa, jossa kuluttajat ovat keskenään erilaisia

Lisätiedot

Monopoli 2/2. S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli 2/2. S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli / Monopolimarkkinat - oletuksia Seuraavissa tarkasteluissa oletetaan, että monopolisti tuntee kysyntäkäyrän täydellisesti monopolisti myy suoraan tuotannosta, ts. varastojen vaikutusta ei huomioida

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

Informaation arvo. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät

Informaation arvo. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät 259 Informaation arvo Öljykenttään myydään porausoikeuksia, palstoja on n kappaletta, mutta vain yhdessä niistä on C euron edestä öljyä Yhden palstan hinta on C/n euroa Seismologi tarjoaa yritykselle tutkimustietoa

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Antti.Pirjeta@hse. Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat voitot Oletetaan luvun 2.2

Lisätiedot

Markkinoiden suunnittelu ja Gale-Shapley-algoritmi

Markkinoiden suunnittelu ja Gale-Shapley-algoritmi Markkinoiden suunnittelu ja Gale-Shapley-algoritmi Markkinat eivät välttämättä synny itsestään ja monesti on useita tapoja järjestää markkinat. Markkinoiden keskeinen tehtävä on mahdollistaa vaihdanta.

Lisätiedot

Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu

Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Ilkka Leppänen 22.1.2008 Esityksen rakenne Johdanto: päämies-agentti-malli ja epäsymmetrinen informaatio Haitallinen valikoituminen

Lisätiedot

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian

Lisätiedot

Opettaminen ja oppiminen

Opettaminen ja oppiminen Opettaminen ja oppiminen MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 19.10.2016 Nina Gunell The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi

Dynaaminen optimointi Dynaaminen optimointi Tapa ratkaista optimointitehtävä Tehtävä ratkaistaan vaiheittain ja vaiheet yhdistetään rekursiivisesti Perustuu optimaalisuusperiaatteeseen: Optimaalisen ratkaisupolun loppuosa on

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Odotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen:

Odotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen: Odotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen: Laumat Rahoitusmarkkinoilla Hannu Salonen Turun yliopisto 2007 Esimerkkejä tapaus Treacy - Wiersema markkinoiden romahdukset osto- tai myyntiryntäykset ovatko

Lisätiedot

Pystysuuntainen hallinta 2/2

Pystysuuntainen hallinta 2/2 Pystysuuntainen hallinta 2/2 Noora Veijalainen 19.2.2003 Yleistä Tarkastellaan tilannetta jossa: - Ylävirran tuottajalla on yhä monopoliasema - Alavirran sektorissa vallitsee kilpailu - Tuottaja voi rajoitteillaan

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin

Lisätiedot

Uusien keksintöjen kannustimet

Uusien keksintöjen kannustimet Uusien keksintöjen kannustimet Ville Koskenvuo 9.4.2003 Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Päivän agenda 1. luento: Uusien keksintöjen kannustimet ja patenttikisat (Koskenvuo) 2. luento: Uusien keksintöjen

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Päätöksentekomenetelmät

Päätöksentekomenetelmät L u e n t o Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Päätösongelmia löytyy joka paikasta Päästökauppa:

Lisätiedot

Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory

Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory Todennäköisyysteoria voidaan perustella ilman päätösteoriaa, mutta vasta päätösteorian avulla siitä on oikeasti hyötyä Todennäköisyyteoriassa tavoitteena

Lisätiedot