MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi"

Transkriptio

1 MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

2 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus

3 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus

4 Esimerkkikysymyksiä hypoteesin testaamiseen Kehitettävän uuden lääkkeen vaikutus Onko uusi lääke tehokkaampi kuin aiempi vakiintunut hoitomenetelmä? (Tai: onko uusi lääke edes lumelääkettä tehokkaampi?) Paviaaniurosten omien ja muiden poikasten auttaminen Auttavatko urokset omia poikasiaan herkemmin kuin muiden poikasia? Erityisesti, tietävätkö urokset ketkä ovat heidän omia jälkeläisiään? Väitetty selvännäkijä Pystyykö selvännäkijä ennustamaan kolikonheiton tuloksia pelkkää arvaamista osuvammin?

5 Nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi Testaamista varten muotoillaan: Nollahypoteesi H 0 Varovainen ja konservatiivinen hypoteesi ilmiöstä (sisältö tyypillisesti: mitään uutta tai yllättävää ei tarvita havaintojen selittämiseen ) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 Vaihtoehto konservatiiviselle hypoteesille (sisältönä tyypillisesti uusi ja kiinnostava selitys ilmiölle) Kehitettävän uuden lääkkeen vaikutus H 0 Uusi lääke ja lumelääke ovat yhtä tehokkaita. H 1 Uusi lääke on lumelääkettä tehokkaampi. Paviaaniurosten omien ja muiden poikasten auttaminen H 0 Urokset auttavat kaikkia lauman poikaisia yhtä todennäköisesti. H 1 Urokset auttavat omia poikaisiaan muita todennäköisemmin. Väitetty selvännäkijä H 0 Ennustukset ovat yhtä hyviä kuin arvaukset. Ennustukset ovat osuvampia kuin arvaukset. H 1

6 Tilastollisen hypoteesin testaamisen vaiheet 1. Muotoillaan nollahypoteesi H 0 ja vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 ja muodostetaan nollahypoteesia vastaava tilastokokeen stokastinen malli. 2. Valitaan testisuure, jonka jakauman voidaan olettaa olevan riittävän erilainen riippuen siitä päteekö nollahypoteesi H 0 vai vaihtoehtoinen hypoteesi H Johdetaan testisuureen jakauma (tai sen approksimaatio) olettaen että nollahypoteesi H 0 pätee. 4. Tarkastellaan, olisivatko havainnot poikkeuksellisia, jos nollahypoteesi olisi tosi. - ei kovin poikkeuksellisia ei hylätä nollahypoteesia - poikkeuksellisia hylätään nollahypoteesi Miten poikkeuksellisuutta arvoidaan? * p-arvo: p = Pr(havainnot vähintään näin poikkeuksellisia H 0 ) * hylätään tai ei hylätä ennalta määrätyn merkitsevyystason α mukaan (p α tai p > α)

7 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus

8 Esim. Kahviautomaatti Kahviautomaatin on tarkoitus laskea jokaiseen kuppiin keskimäärin 10.0 cl kahvia. Kahviautomaatin toimintaa testattiin valuttamalla automaatista 30 kupillista ja mittamalla kahvin määrät kupeissa. Mittauksessa havaittiin arvot (cl): Onko kahviautomaatti oikein kalibroitu? Havaitun aineiston x keskiarvo on m(x) = , joka poikkeaa tavoitearvosta µ 0 = Onko poikkeama tilastollisesti merkitsevä?

9 Tilastokokeen stokastinen malli Analyysiä helpottava (tai sen mahdollistava) yleinen hypoteesi H: Havaitut arvot ovat realisaatioita riippumattomista N(µ, σ 2 )-jakaumaa noudattavista satunnaismuuttujista. Normaalijakauman parametreja µ ja σ 2 ei tunneta. Yleisen hypoteesin pätiessä tilastokokeen tulos (ennen sen havaitsemista) on satunnaisvektori X = (X 1,..., X n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Huom Normaalijakaumaoletus on erittäin rajoittava ja ennen testaamista on syytä pohtia (tai testata) onko normaalijakaumaoletus perusteltu. Jos ei, niin suurelle aineistolle voidaan silti toisinaan käyttää normaaliarviota. On myös olemassa muita testejä, jotka soveltuvat pienemmillekin otoksille. Näitä käsitellään kurssilla Tilastollisen analyysin perusteet.

10 Tilastokokeen stokastisen mallin tunnusluvut Tilastokokeen stokastinen malli on X = (X 1,..., X n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Stokastisesta mallista laskettu keskiarvo on satunnaisluku m(x ) = 1 n n X i, i=1 jonka odotusarvo on µ ja keskihajonta σ/ n. Jos hypoteesi µ = µ 0 pätee, niin suure noudattaa N(0, 1)-jakaumaa. m(x ) µ 0 σ/ n

11 Esim. Kahviautomaatti: aineiston jakauma Havaitun aineiston x keskiarvo on m(x) = Onko aineisto normaalijakautunut? Kahvimäärien histogrammi frekvenssi Määrä(cl)

12 Esim. Kahviautomaatti: Normalisoitu keskiarvo Jos aineisto on normaalijakautunut, niin poikkeaman tilastollista merkitsevyyttä voidaan verrata N(0, 1)-jakaumaan, kunhan m(x) normalisoidaan muotoon m(x) µ 0 σ/ n = σ/ 30 =? Ongelma: Parametri σ on tuntematon. Ratkaisu: Korvataan σ estimaatilla s(x) = Aineistosta saadaan tunnusluku t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n = / 30 = 4.60.

13 Keskihajonnan korvaaminen otoskeskihajonnalla Yleisen hypoteesin (normaalijakautuma) ja nollahypoteesin (µ = µ 0 ) pätiessä normalisoitu tunnusluku m(x ) µ 0 σ/ n N(0, 1) Entä t(x ) := m(x ) µ 0 s(x )/ n? Fakta Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä tunnusluku t(x ) noudattaa Studentin t(n 1)-jakaumaa vapausastein n 1.

14 Studentin t-testi Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Yleisen hypoteesin (normaalijakauma) ja nollahypoteesin (µ = µ 0 ) pätiessä stokastista mallia vastaava (satunnainen) tunnusluku on t(x ) := m(x ) µ 0 s(x )/ n t(29). Jos hypoteesit ok, niin tyypillisesti t(x ) 0. Studentin t-testin p-arvo on poikkeaman t(x ) 4.60 tn: Pr( t(x ) 4.60) = 2*(1-pt(4.60,29)) =

15 Studentin t-testin tulkinta Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä stokastista mallia vastaava tunnusluku toteuttaa t(x ) 4.60 todennäköisyydellä Pr( t(x ) 4.60) = Näin pieni p-arvo tarkoittaa, että testisuureen havaittu poikkeama nollasta johtuu hyvin epätodennäköisesti satunnaisvaihtelusta. Havaittu poikkeama on siis tilastollisesti merkitsevä ja antaa aiheen hylätä nollahypoteesi µ = Johtopäätös: Kahviautomaatti on virheellisesti kalibroitu.

16 Studentin t-testin suorittaminen p-arvolla: Yhteenveto Lähtökohdat Määrällisen muuttujan aineisto x = (x 1,..., x n ). Yleinen hypoteesi H: Havaittu aineisto koostuu riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuttujien realisaatioista Nollahypoteesi H 0 : µ = µ 0 (Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ µ 0 ) Testaus Lasketaan aineistosta testisuure t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n Lasketaan t(n 1)-jakaumasta p-arvo Pr( t(x ) t(x) ). Johtopäätös Jos p-arvo on lähellä nollaa = Hylätään nollahypoteesi H 0 Muussa tapauksessa nollahypoteesi jää voimaan. R: t.test(x,mu=10.0)

17 Studentin t-testi ennalta määrätyllä merkitsevyystasolla Lähtökohdat: Samat Valitaan testin merkitsevyystaso α (esim. α = 1%) ja määritetään t(n 1)-jakaumasta kriittiset arvot a ja b, joille Pr(t(X ) a) = α/2 ja Pr(t(X ) b) = α/2. R:llä b = qt(1-α/2, n-1) ja a = qt(α/2, n-1) = b. Testaus Lasketaan aineistosta testisuure t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n Katsotaan kuuluuko t(x) välille (a, b). Johtopäätös Jos t(x) / (a, b) = Hylätään nollahypoteesi H 0 Muussa tapauksessa nollahypoteesi jää voimaan.

18 Esim. Kahviautomaatti Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Merkitsevyystasoa α = 0.01 vastaavat kriittiset arvot ovat a = qt(0.005,29) = 2.76 b = qt(0.995,29) = Testisuure t(x) ( 2.76, 2.76) = Nollahypoteesi µ = 10.0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Kahviautomaatti ei valuta keskimäärin 10.0 cl kokoisia kupillisia.

19 Yleisen hypoteesin merkitys Yleinen hypoteesi H: Tehdyt havainnot ovat riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien realisaatioita. Yleistä hypoteesia ei t-testin yhteydessä testata, vaan sen ajatellaan olevan vahvistettu muilla tavoin. Jos yleinen hypoteesi ei päde, on t-testin tulos merkityksetön. Aineiston normaalisuuden testaamiseksi on olemassa omia testejä (ei käsitellä tällä kurssilla)

20 Oikea vai väärä johtopäätös? Testin tulos Nollahypoteesi jää voimaan Nollahypoteesi hylätään Maailman tila Nollahypoteesi Nollahypoteesi pätee ei päde Oikea Hyväskymisvirhe johtopäätös Hylkäysvirhe Oikea johtopäätos Testin merkitsevyystaso α kertoo hylkäysvirheen todennäköisyyden (ennen aineiston havaitsemista) Nollahypoteesi hylätään merkitsevyystasolla α täsmälleen silloin, kun testin p-arvo on pienempi kuin α. Testin hyväksymisvirhe ei ole 1 α. (Hyväksymisvirheen analysoimista ei käsitellä tällä kurssilla.)

21 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus

22 Esim. Verenpainelääke Samojen potilaiden (8 kpl) verenpaine mitattiin ennen ja jälkeen testattavan lääkkeen nauttimisen. Koetulokset (mmhg) ovat: Ennen Jälkeen Onko lääkkeellä keskimäärin verenpainetta alentava vaikutus? Verenpaineiden keskiarvo ennen: m(x (e) ) = Verenpaineiden keskiarvo ennen: m(x (j) ) = Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on siis 4.5 yksikköä alempi Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä?

23 Parivertailun stokastinen malli Erotukset verenpaine ennen - verenpaine jälkeen : Ennen Jälkeen Erotus Yleinen hypoteesi H: Havaitut erotukset d i ovat riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien realisaatioita. Nollahypoteesi H 0 : µ = 0 Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ 0.

24 Odotusarvon parivertailun t-testi Tilastokokeen stokastinen malli on satunnaisvektori D = (D 1,..., D n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä stokastisen mallin testisuure t(d) = m(d) 0 s(d)/ t(n 1). n Vastaava aineistosta laskettu testisuure on t(d) = m(d) 0 s(d)/ n = / 8 = Kun vaihtoehtoinen hypoteesi on (H 1 : µ 0), saadaan p-arvoksi p = Pr( t(d) 3.13) = 2*(1-pt(3.13,7)) = R: t.test(x (e),x (j),paired=true,alternative="two.sided")

25 Odotusarvon parivertailun t-testin tulkinta Onko lääkkeellä keskimäärin verenpainetta alentava vaikutus? Ennen Jälkeen Erotus Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on 4.5 yksikköä alempi Erotuksista laskettu t(d) = 3.13; testin p-arvo on Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä? Nollahypoteesi (lääkkellä ei vaikutusta, µ = 0): Hylätään 2 % merkitsevyystasolla Jää voimaan 1 % merkitsevyystasolla Lääkäri, joka hylkää nollahypoteesit 2 % merkitsevyystasolla, tekee pitkällä aikavälillä virheellisiä johtopäätöksiä 2 % tapauksista, joissa H 0 olisi ollut tosi.

26 Parivertailun yksisuuntainen t-testi Tilastokokeen stokastinen malli on D = (D 1,..., D n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä t(d) = m(d) 0 s(d)/ n t(n 1). Vastaava aineistosta laskettu testisuure on t(d) = Kun vaihtoehtoinen hypoteesi on (H 1 : µ > 0), saadaan p-arvoksi p = Pr(t(D) 3.13) = 1-pt(3.13,7) = Tällöin nollahypoteesi H 0 : µ = 0 (lääke ei alenna verenpainetta) voidaan hylätä vaihtoehtoisen hypoteesin H 1 : µ > 0 tukemana merkitsevyystasolla 1 %. R: t.test(x (e),x (j),paired=true,alternative="greater")

27 Odotusarvojen vertailu eri kokoisille otoksille Potilaat on jaettu kahteen ryhmään, joista toisen ryhmän potilaille on annettu lumelääkettä (10 kpl) ja toisen ryhmän potilaille (8 kpl) testattavaa lääkettä. Molempien ryhmien potilailta mitattiin eräs antigeeniarvo lääkekuurien jälkeen. Koetulokset (U/ml) ovat: Lume Testattava Onko lääkkeellä keskimäärin antigeenipitoisuutta alentava vaikutus? Lumelääkettä saaneiden keskiarvo: m(x (l) ) = 86.5 Testattavaa lääkettä saaneiden keskiarvo ennen: m(x (t) ) = Potilaiden keskimääräinen antigeeniarvo lääkkeen nauttimisen jälkeen on siis yksikköä alempi Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä?

28 Ryhmien odotusarvojen vertailun stokastinen malli Ryhmät G 1 ja G 2, joiden otoskoot ovat n 1 = 10 ja n 2 = 8 Yleinen hypoteesi H: Ryhmän G 1 havainnot ovat riippumattomien N(µ 1, σ1 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien X 1,..., X n1 realisaatioita. Ryhmän G 2 havainnot ovat riippumattomien N(µ 2, σ2 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien Y 1,..., Y n2 realisaatioita. Otokset ovat riippumattomat Nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ 1 µ 2.

29 Ryhmien odotusarvojen vertailun t-testi Otoskeskiarvot noudattavat normaalijakaumia, m(x ) N ( ) µ 1, σ2 1 n 1 ja m(y ) N ( ) µ 2, σ2 2 n 2, joten riippumattomuuden perusteella niiden erotus noudattaa normaalijakaumaa, m(x ) m(y ) N ( µ 1 µ 2, σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Testisuure on m(x ) m(y ) t(x, Y ) = s 2 (X ) n 1 + s2 (Y ) n 2 ja sen jakaumaa voidaan arvoida 1. N(0, 1)-jakaumalla, jos n 1 ja n 2 ovat suuria 2. t(ν)-jakaumalla, missä ν = jos n 1 tai n 2 on pieni. [ s 2 (X ) ] 2 n 1 + s2 (Y ) n 2 ( ) 1 s 2 2 (X ) n 1 1 n n 2 1 ( s 2 (Y ) ). n 2 ) 2,

30 Ryhmien odotusarvojen vertailun t-testi Onko lääkkeellä keskimäärin antigeenipitoisuutta alentava vaikutus? Lume Testattava Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on yksikköä alempi, n 1 = 10 ja n 2 = 8, s 2 (x) = ja s 2 (y) = Vapausasteet (pyöristetään alaspäin kokonaisluvuksi): ν = [ s 2 (x) n 1 + s2 (y) n 2 ] 2 ( ) 2 1 s2 (x) n 1 1 n n 2 1 ( s2 (y) ) , ν = 13. n 2 Testisuureen arvo t(x, y) = 1.362; testin p-arvo on p = Pr( t(d) 1.362) 2*(1-pt(1.362,13)) Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä? Nollahypoteesia ei hylätä.

31 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus

32 Laadun testaaminen Valmistaja väittää, että sen tuotteista korkeintaan 5 % on viallisia. Asiakas poimii tilaamiensa tuotteiden joukosta 200 tuotteen otoksen ja löytää 19 viallista tuotetta. Onko valmistajan väite oikeutettu? Otoksessa havaittu viallisten osuus on = 9.5%. Voidaanko tämä tulkita satunnaisvaihtelun aiheuttamaksi? Testataan väitettä 1 % merkitsevyystasolla.

33 Satunnaisotannan stokastinen malli Poimitaan n = 200 tuotetta suuresta perusjoukosta. Merkitään X i = { 1, jos i:s tarkastettava tuote on on viallinen, 0, muuten. Tällöin X i = 1 tn:llä p ja X i = 0 tn:llä 1 p, missä (tuntematon) parametri p on viallisten tuotteiden suhteellinen osuus Näin ollen X i Ber(p) Kun perusjoukko on suuri, ovat X 1,..., X n likimain riippumattomat. Viallisten tuotteiden lkm otoksessa on fr(x ) = n i=1 X i, ja se noudattaa binomijakaumaa parametrein n = 200 ja p. Viallisten tuotteiden suhteellinen osuus otoksessa on ˆp(X ) = 1 n n i=1 X i. Luvut X i ovat satunnaisia (ennen tuotteiden havaitsemista) Normaaliapproksimaatio: (kts. keskeinen raja-arvolause) ˆp(X ) noudattaa likimain jakaumaa N ( p/n, (1 p)p/n )

34 Hypoteesin p 5% testaaminen Valmistajan väittämä yläraja virheellisten osuudelle on p 0 = Testataan nollahypoteesia H 0 : p p 0 kun vaihtoehtoisena hypoteesina on H 1 : p > p 0. Testin p-arvo on todennäköisyys (olettaen nollahypoteesi) vähintään näin poikkeuksellisille havainnoille, eli todennäköisyys vähintään 19 virheelliselle tuotteelle. Se lasketaan binomijakaumalla ( n ) ( n Pr X i 19 p = p 0 = 1 Pr i=1 v=0 i=1 X i 18 p = p 0 ) 18 ( ) 200 = 1 p0 v (1 p 0 ) 200 v v = 1 pbinom(18, 200, 0.05) Koska p-arvo alittaa valitun merkitsevyystason 0.01, nollahypoteesi p p 0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Valmistajan väite (max 5 % tuotteista viallisia) on tilastollisesti merkitsevästi virheellinen.

35 Hypoteesin p 5% testaaminen normaaliapproksimaatiolla Merkitään p 0 = 0.05 ja määritellään testisuure z(x) = ˆp(x) p 0 p 0 (1 p 0 ) n Kun ˆp(x) = 9.5%, saadaan testisuureen arvoksi z(x) = Suuret testisuuren arvot puoltavat nollahypoteesin H 0 : p p 0 hylkäämistä. Normaaliapproksimaatiolla saadaan p-arvoksi Pr(z(X ) 2.91) Pr(Z 2.91) = 1-pnorm(2.91) = Koska p-arvo alittaa luvun 0.01, nollahypoteesi p p 0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Valmistajan väite (max 5 % tuotteista viallisia) on tilastollisesti merkitsevästi virheellinen.

36 Laadun testaaminen, vaihtoehtoinen lähestymistapa Valmistaja väittää, että sen tuotteista korkeintaan 5 % on viallisia. Asiakas poimii tilaamiensa tuotteiden joukosta 200 tuotteen otoksen ja löytää 19 viallista tuotetta. Onko valmistajan väite oikeutettu? Otoksessa havaittu viallisten osuus on = 9.5%. Voidaanko tämä tulkita satunnaisvaihtelun aiheuttamaksi? Lähestytään väitettä vaihtoehtoisella tavalla: estimoimalla havainnoista virheellisten tuotteiden todellista osuutta p.

37 Suurimman uskottavuuden estimaattori osuudelle p Kun tuotteet tarkastetaan, havaitaan aineisto x = (x 1,..., x n ). Viallisten lukumäärä otoksessä on fr(x) = n i=1 x i. Tapahtuman (X 1,..., X n ) = (x 1,..., x n ) tn on L(p; x 1,..., x n ) = Pr(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = p fr(x) (1 p) n fr(x). Parametrin p suurimman uskottavuuden estimaattori on se p:n arvo ˆp, joka maksimoi uskottavuusfunktion L(p; x 1,..., x n ) arvon: ( ) ˆp = argmax p L(p; x 1,..., x n ).

38 Uskottavuusfunktion maksimointi Logaritminen uskottavuusfunktio on l(p; x 1,..., x n ) = log L(p; x 1,..., x n ) = fr(x) log p+(n fr(x)) log(1 p). Derivaatta p:n suhteen l (p) = fr(x) 1 p + (n fr(x)) ( 1) 1 p. Maksimi löydetään pisteestä p = ˆp, jossa l (ˆp) = 0, eli fr(x) 1ˆp = (n fr(x)) 1 1 ˆp. Tästä ratkaistaan suurimman uskottavuuden estimaatti ˆp = fr(x) n.

39 Viallisten osuuden SU-estimaattori Fakta Viallisten osuuden p SU-estimaatti aineistosta x = (x 1,..., x n ) on ˆp(x) = fr(x) n = 1 n n i=1 x i eli viallisten tuotteiden suhteellinen osuus otoksessa. Kun estimaattia katsotaan lukuna ennen aineiston havaitsemista, saadaan satunnaisluku ˆp(X ) = fr(x ) n = 1 n n i=1 X i ˆp(X ) on viallisten tuotteiden osuuden p SU-estimaattori. ˆp(X ) on Ber(p)-jakauman parametrin p SU-estimaattori.

40 Suhteeellisen osuuden estimointi SU-estimaattori viallisten tuotteiden (tuntemattomalle) osuudelle p koko perusjoukossa on ˆp(X ) = 1 n Tämä estimaattori on harhaton: Lisäksi E(ˆp(X )) = 1 n Var(ˆp(X )) = 1 n 2 n X i. i=1 n E(X i ) = p. i=1 n Var(X i ) = i=1 Normalisoidun satunnaismuuttujan ˆp(X ) p p(1 p) n odotusarvo on nolla ja varianssi yksi. p(1 p). n

41 Normaalijakaumalla approksimointi Kun n on suuri, ˆp(X ) p p(1 p) n N(0, 1). (approksimatiivisesti) Voidaan myös edelleen approksimoida seuraavasti ˆp(X ) p ˆp(X )(1 ˆp(X )) n N(0, 1). (approksimatiivisesti) Jos Z N(0, 1), niin ylläolevasta huomaamme, että satunnaismuuttujalle ˆp = ˆp(X ) pätee approksimatiivisesti Pr z < ˆp p < z Pr(z < Z < z ) = 99%, ˆp(1 ˆp) n missä z = qnorm(0.995) 2.58 ja z = qnorm(0.005) 2.58.

42 99 % luottamusväli Satunnaismuuttujalle ˆp = ˆp(X ) pätee Pr 2.58 < ˆp p < %, ˆp(1 ˆp) n eli ( ) ˆp(X )(1 ˆp(X )) Pr p ˆp(X ) ± %, n Kun havaitaan 19 viallista tuotetta 200:n otoksessa, ˆp(x) = 9.5% ja satunnainen (approksimatiivinen) luottamustason 99% luottamusväli realisoituu väliksi ( ) ˆp(x)(1 ˆp(x)) ˆp(x) ± 2.58 = (0.042, 0.148). n Johtopäätös: Väitetty arvo p 0 = 0.05 kuuluu y.o. luottamusvälille, joten yllä tehdyillä approksimaatiolla valmistajan väitettä ei hylättäisi merkitsevyystasolla 1%.

43 Ensi viikolla aiheena lineaarinen regressio...

44 Aineistolähteet Luentokalvot pohjautuvat osittain kurssin edellisten vuosien (Ilkka Mellin, Milla Kibble, Juuso Liesiö) luentokalvoihin.

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. lokakuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Datalähteen tuottamia arvoja mallinnetaan jakaumaa f(x θ) noudattavina

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot