Logiikka matematiikassa ja filosofiassa Hintikan tapaan

Transkriptio

1 ristiriidattomuuden ja täydellisyyden käsitteleminen edellyttäisi metatason mahdollisuutta eli mahdollisuutta tarkastella järjestelmää sen itsensä ulkopuolelta. Mutta universalistien mukaan mitään tällaista metatasoa ei ole olemassa emme voi asettua järjestelmän itsensä ulkopuolelle. Sen sijaan kalkyylioletuksen mukaan järjestelmän itsensä puitteissa on täysin mahdollista ja vieläpä hedelmällistä puhua sen omasta semantiikasta, vaihtaa sen tulkintaa ja ylipäänsä teorioida sen omasta merkitysopista. Hintikan semantiikkaa korostava malliteoreettinen lähestymistapa sopii erinomaisesti yhteen tämän jälkimmäisen oletuksen kanssa. Kommentoituaan tämän peruserottelun historiallista ja systemaattista taustaa sekä erityisesti Alfred Tarskin tähän aihepiiriin liittyviä tuloksia Sandu esittelee peliteoreettista semantiikkaa ja siihen perustuvaa, yhdessä Hintikan kanssa kehittämäänsä niin sanottua riippumattomuusystävällistä IF-logiikkaa. Tuoreessa ja julkaisemistaan vielä odottavassa kirjoituksessaan How Can a Phenomenologist Have a Philosophy of Mathematics? Hintikka nostaa Edmund Husserlin vision universaalista teorioiden teoriasta Husserlin matematiikan filosofian kiinnostavimmaksi ajatukseksi. Hän olettaa, että samankaltaisia ajatuksia kävi ehkä myös Husserlin eräiden aikalaisten kuten matemaatikko David Hilbertin mielessä. Näin Husserlin vision tarkastelu saattaisi tarjota uusia ymmärryksen avaimia myös Hilbertin matematiikan filosofiaan. Mirja Hartimo vertaa Husserlin kirjoituksia teorioiden teoriasta Hilbertin luentoihin matematiikan loogisista perusteista vuodelta Teoksen viimeisessä artikkelissa Juha Manninen kommentoi uusien arkistolähteiden valossa Ludwig Wittgensteinin ja Wienin piirin ajattelijoiden eriäviä näkemyksiä Rudolf Carnapin läpimurtovuosien filosofisista kulmakivistä, kuten fenomenalismista, fysikalismista ja metodisesta solipsismista. Logiikka matematiikassa ja filosofiassa Hintikan tapaan Ahti-Veikko Pietarinen Niin maailmalla kuin kotimaassakin monet tuntevat Jaakko Hintikan parhaiten hänen filosofian historiaa koskevista tutkimuksistaan. Niistä kenties levinnein on René Descartesin kuuluisaa lausetta käsittelevä kirjoitus Ajattelen, olen siis olemassa (Hintikka 1962a). Aloitteleva filosofi saattaisi ajatella, että jos kirjoitan tunnetusta lauseesta, tulen tunnetuksi. Tosiasiassa Hintikan onnistui osoittaa Descartesin ajattelusta huomiotta jäänyt piirre, nimittäin eksistentiaalisen ristiriidan käsitteen kuuluminen lausumille, joiden esittäjänä lauseessa mainittu henkilö itse toimii. Tämä esimerkkitapaus toimikoon vain pienenä ja eräänä varhaisena osoituksena siitä suhtautumisesta filosofianhistorialliseen tutkimukseen, jota Hintikan töissä tapaamme. Ne eivät ole puhtaan historiallisia tai eksegeettisiä mutta eivät liioin katkaise yhteyttä filosofian perinteeseen. Hintikka ei hyväksy eksegeettistä lähestymistapaa nykyfilosofiseenkaan keskusteluun. Jos tyydytään kommentoimaan muiden sanomisia, edistys ei ole mahdollista. Historia puolestaan tarjoaa ideoillemme syvempiä raameja. Hintikan työt puhuvat uusien hedelmällisten näkökulmien jatkuvan etsimisen puolesta järjestelmällisiä menetelmiä hyväksi käyttäen. Logiikalle ominaista etsimisen ja löytämisen metodiikkaa tulee soveltaa yhtä lailla historialliseen kuin nykyfilosofiseenkin tutkimukseen. Näin toimimalla filosofian kuuluisuuksia voidaan ehkä ymmärtää paremmin kuin he ymmärsivät itse 18 ajattelun välineet ja maailmat 19 ajattelun välineet ja maailmat

2 itseään. Samalla voidaan keksiä kokonaan uusia ajatuskulkuja, joilla on syvempää merkitystä ratkottaessa systemaattisia ongelmia. Mitä muuta tieteen pariin kuuluva filosofia voisikaan olla? Hintikan omia sanoja lainaten filosofianhistoriallinen tutkimus on kuitenkin ollut hänelle harrastus. Olipa suhtautumisemme tähän heittoon mikä tahansa, Hintikan tavoitteena ei ole jäädä tutkimaan historiaa vaan tehdä sitä. Hintikka on koko uransa ajan paneutunut logiikan saloihin. Näitä tutkimustuloksia hän on soveltanut matemaattisten ja filosofisten ajattelurakenteiden perimmäisen luonteen selvittämiseksi. Tässä esitetään joitakin huomioita Hintikan näkemyksistä logiikasta matematiikan perusteissa. Hintikan loogisia tutkimuksia hallitsee ajatus, että logiikan ja sen sovellusten piiri ei rajoitu aksiomaattis-deduktiivisesti systematisoitaviin totuuksiin. Aksiomaattisten totuuksien ja deduktiivisen päättelyn varassa toimiva logiikka rajaa ulkopuolelleen tärkeät loogisten järjestelmien ja teorioiden ominaisuuksia koskevat tulokset ja vertailut. Sellainen logiikka ei kykene tarkastelemaan omia ansioitaan ja rajoituksiaan. Se ei myöskään sovi tieteellisen päättelyn kieleksi. Tämä käsitys logiikasta alkaa olla selvää nykyisille logiikan harjoittajille, mutta se ei aina ole sitä filosofian parissa pintapuolisesti logiikkaan tutustuneille tai edes monille ammattifilosofeille. Aksiomaattis-deduktiivisiin teorioihin liittyvä puhe logiikan kielen formaalista luonteesta tarkoittaa muotoa sisällön kustannuksella eli kieltä, jonka ei tarvitse olla tulkittu ja joka olisi kaiken ajattelun muodollinen vastine. Tässä mielessä koululogiikalle tyypillinen puhe formaalista tai muodollisesta logiikasta on auttamattoman kulunut. Nykyinen logiikka on formaalia sikäli, että siinä määritellään jokin kieli muodostussääntöjen avulla. Se on formaalia myös siinä määrin kuin tehtävänämme on tutkia päättelyä formaaleissa järjestelmissä sellaisenaan. Logiikka on kuitenkin paljon muuta heti, kun haluamme sanoa jotain mielekästä sellaisista käsitteistä kuin merkitys, totuus tai tulkinta. Tässä mielessä formaalinen logiikka voitaisiin useimmiten korvata termillä materiaalinen logiikka, ellei tuo ilmaus olisi eräässä aivan toisessa mielessä kiusallisen vanhanaikainen. Monet muutkin loogikko-matemaatikot kuten Georg Kreisel ovat ajatelleet vastaavalla tavalla. He ovat havainneet, että huomio on siirrettävä syntaksista semantiikkaan ja malliteoriaan. Vain tällä tavoin päästään irti formalistista lähestymistapaa jäytävistä mekanistisista rajoituksista. Kreisel ja Hintikka ovat osallistuneet malliteoreettisen ajattelutavan kehitykseen 1950-luvulta lähtien. Malliteoria tutkii lauseiden ja struktuurien (mallien) välisiä suhteita sekä struktuurien keskinäisiä suhteita ja niiden ominaisuuksia. Hintikka on kartoittanut malliteoreettisen ajattelutavan ominaisluonnetta ja historiaa (Hintikka 1988). Tämän ajattelutavan juuret palautuvat logiikan algebran tutkimuksiin 1800-luvun jälkipuoliskolla. Monet tästä historiallisesta yhteydestä autuaan tietämättömätkin matemaattisen logiikan tutkijat tapaavat luonnehtia malliteoriaa logiikan ja universaalialgebran yhdistelmäksi. Pitäytyminen aksiomatisoidussa logiikassa tuottaa muitakin ongelmia. Logiikan filosofisiin peruskysymyksiin liittyen Hintikka on havainnut, kuinka aksiomaattisten teorioiden peruslauseille on ominaista niiden herkkä kumoutuvuus, kun niitä ilmaistaan loogisia totuuksia koskevien välittömien intuitioiden avulla. Hintikka on voimakkaasti vastustanut perustelematonta vetoamista intuitioihin filosofiassa laajemminkin (Hintikka 1999). Intuitioiden sääntelemätön käyttö on vesittänyt nykyisen filosofian. Tosiasiassa tieteentekijällä on aivan toisenlainen keinovalikoima käytettävissään. Matematiikan ja logiikan perusteiden ei tule nojata intuitioin perusteltuihin aksioomiin. 20 ajattelun välineet ja maailmat 21 ajattelun välineet ja maailmat

3 Pikemminkin matemaattis-loogiseen ajatteluun liittyvät moninaiset käytännöt ohjaavat ja korjaavat aksiomatisointeja. Vasta viime aikoina matematiikan filosofiassa on herätty huomaamaan, kuinka tärkeää on oppia ymmärtämään tosiasiallisten käytäntöjen ja toimintojen yleisiä piirteitä matematiikan perusteiden kannalta (Pietarinen 2008a). Vaikea kysymys tässä kohdin on, minkälaisia periaatteita tai sääntöjä moninaiset matemaattiset käytännöt noudattavat. Aksiomatisointien ei myöskään tule rajoittua loogisiin totuuksiin. Matemaatikko on kiinnostunut ei-loogisten aksioomajärjestelmien luonteesta. Olennaiseksi nousee ei-loogisten vakioiden tulkinta, missä matemaattiset käytännöt näyttelevät intuitioita huomattavampaa osaa. Intuitioihin kohdistuvan tuomion lisäksi Hintikan luonnehtimassa logiikan filosofiassa korostuu kaksi muutakin toisiinsa liittyvää puolta. Ensimmäistä kutsun logiikan normatiiviseksi luonteeksi. Sen olennainen sisältö on ilmaistavissa sanomalla, että logiikan tehtävänä ei ole kertoa, kuinka ihmiset päättelevät tai mikä heidän ajatustensa looginen muoto on vaan kuinka heidän tulisi ajatella. Tätä muotoilua emme tosin Hintikalta suoranaisesti löydä. Hän puhuu sellaisesta matemaattisten käsitteiden loogisesta tutkimuksesta ja analyysista, joka kuuluu logiikan deskriptiiviseen tehtävään (Hintikka 1996a). Logiikka toimii matemaattisten väitelauseiden sisällön ilmaisijana. Vastineena on logiikan deduktiivinen rooli sääntömääräisten päättelyiden ja todistusten muodollisena toteuttajana. Deduktiivinen tehtävä on Hintikan mukaan deskriptiiviseen tehtävään nähden toissijainen. Päättelysuhteiden kartoittaminen riippuu matemaattisten väitteiden ilmaisemisesta loogisin käsittein. Deskriptiiviseen tehtävään kuuluu logiikan edustuksellinen puoli, kuten sen kuvailu, miten inhimilliset informaationkäsittelyprosessit toimivat. Tätä puolta on tutkittava malliteoreettisin menetelmin. Logiikan kuvailevan ja edustuksellisen tehtävän voidaan kuitenkin katsoa sisältävän aimo annoksen normatiivisuutta. Normatiivisuus logiikassa perustuu sellaisiin sääntöihin, jotka ovat logiikan deskriptiivisen funktion kanssa yhtäläisiä. Tyypillisesti ajatellaan, että deskriptiivisyys ja normatiivisuus on pidettävä toisistaan erossa. (Ks. Pietarinen 2008b.) Jos näet ajatellaan, että normatiivisuus ei perustu sääntöihin, ajaudutaan ristiriitaan. Ne toiminnot, joiden varaan semantiikkamme rakentuu, eivät yleensä ole niitä, joita itse asiassa teemme. Muuten kaikki toiminta konstituoisi merkitystä, eikä olisi mitään, mikä jakaisi väitteemme niihin, jotka ovat tosia, ja niihin, jotka ovat epätosia. On tärkeä huomata, että säännöillä tarkoitetaan tässä yhteydessä sitä, mitä Hintikka kutsuu strategisiksi säännöiksi. Ilman niitä logiikan deskriptiivistä tehtävää ei voida viedä päätökseen. Mutta jos logiikan deskriptiivinen rooli riippuu strategisista säännöistä, sen luonne on normatiivinen. Se, mitä Hintikka logiikan deskriptiivisellä tehtävällä siis tarkoittaa, ei rajoitu matemaattisten väitelauseiden sisällön tai inhimillisten ajatteluprosessien kuvailuun. Hyvänä esimerkkinä tästä toimii episteeminen logiikka (Hintikka 1962b; ks. myös Hilpisen ja Halosen kirjoitukset tässä teoksessa). Kun Hintikka esitteli episteemisen logiikkansa vuonna 1962, siihen kohdistui samalla sekä suurta huomiota että suuria huolenaiheita. Tutkijat ajattelivat, että episteeminen logiikka rakentuu epärealistisen ideaalisille oletuksille agentin tiedollisista kyvyistä. Seurauksena oli tutkimuksia, joissa tästä niin sanotusta loogisen kaikkitietävyyden ongelmasta pyrittiin pääsemään eroon. Hintikka toki osallistui tähän keskusteluun ja tutkimukseen (Hintikka 1975). Mutta hän ei koskaan pitänyt loogista kaikkitietävyyttä minään episteemisen logiikan käsitteellisenä ongelmana, sillä episteemisen logiikan tehtävänä on ilmaista julkilausumatonta tietoa, jonka ei tarvitse olla tiedostettua. 22 ajattelun välineet ja maailmat 23 ajattelun välineet ja maailmat

4 Toinen Hintikan loogisia tutkimuksia luonnehtiva päälinja on logiikan metodinen tehtävä filosofiassa. Logiikalla ei ilmaista filosofista ajattelua suoraan, vaan sen avulla etsitään hedelmällisiä näkökulmia filosofisiin ongelmiin. Deskriptiivinen tehtävä on juuri tällaisen metodisen lähestymistavan ilmaisua. Logiikan metodisuus on ollut Hintikan näkemys jo hänen varhaisista kirjoituksistaan lähtien. Myöhemmin hän on kutsunut tätä näkökulmien etsimistä logiikaksi kalkyylina (Hintikka 1997a; ks. myös Sandun kirjoitus tässä teoksessa). Siinä ei hyväksytä logiikan yleiskielellistä luonnetta. Kalkylistinen lähestyminen systemaattisiin ongelmiin on kuin taiteilijan ponnistelua sopivien ilmaisutapojen löytämiseksi sille, mitä hän katsoo taiteensa ilmaisevan. Kalkylistisen näkemyksen tarpeellisuus tulee ilmi niistä tavoista, joilla sitä on pyritty systematisoimaan. Sen ruumiillistuma on matemaattisen logiikan parissa kehittynyt malliteoria. Totesinkin, että malliteoriassa tutkitaan kielen, tyypillisesti symbolikielten, suhdetta struktuureihin erityisiin maailman osiin tai tilanteisiin sekä näiden struktuurien luonnetta, ominaisuuksia ja keskinäisiä suhteita. Näihin suhteisiin ja rakenteisiin liittyy paljon sellaista, joka ei ole kielellisesti (aksiomaattisesti) ilmaistavissa. Filosofien tulisi Hintikan mukaan kiinnittää enemmän huomiota sellaisiin totuuksiin, jotka ilmaisevat näitä kielten ja mallien suhteita ja ominaisuuksia. Malliteoria logiikan haarana johdattelee näin tutkijansa matematiikan perusteiden pariin. Hintikalla on loogikon lähestymiskulma matematiikan filosofiaan. Esimerkiksi Gottlob Fregen varhaisia yrityksiä matematiikan perusteiden esittämiseksi hän pitää epäpätevinä (Hintikka 1981), mutta voidaan väittää, että palauttaessaan matematiikan filosofian kysymykseen matemaattisten väitelauseiden ilmaisemisesta loogisin käsittein hän puolustaa eräänlaista logisismia tai reduktionismia. Se on toki hyvin erilaista kuin Fregen yritys. Siinä voidaan nähdä aie tosiasiallisten matemaattisten käytäntöjen systematisoimiseksi. Kutsuttakoon tällaista yritystä vaikkapa pragmaattiseksi logisismiksi. Sen mukaan matematiikan perusteiden tehtävänä on selvittää niiden moninaisten prosessien luonnetta, joiden kautta matemaatikko muotoilee matematiikan ei-loogisia aksiomatisointejaan. Toinen tapa ajatella samaa asiaa on kysyä, kykeneekö Frege ehdotuksellaan niin sanotuiksi abstraktioperiaatteiksi matematiikan perustana ilmaisemaan mitään mielekästä ajatusta ilman malliteoriaa. 2 Hintikan kannattama suuntaus matematiikan filosofiassa on tarpeellinen myös siksi, että viime aikojen tutkimuksessa matemaattisen logiikan ja puhtaan matematiikan teoriat eivät enää kohtaa toisiaan. Ne ovat ajautuneet erilleen. Mutta matematiikan filosofian, kuten kaiken muunkin hyvän filosofian, on oltava avuksi ja hyödyksi tieteelle, eikä syyllistyä älylliseen teeskentelyyn. Matemaattisten väitteiden sisällön tarkastelu loogisin menetelmin on eräs tapa, jolla se voi olla avuksi. Mutta näiden menetelmien perusluonne ei ole deduktiivinen eikä liity muun muassa kysymyksiin siitä, millaisia teorioita matematiikan perusteiksi ehdotetuista periaatteista voitaisiin loogisella päättelyllä johtaa. Kalkylistisen ajattelun eräs seuraus on, että semantiikan ja malliteorian ilmaisemia edustussuhteita voidaan havaita vain siitä, mitä niiden avulla saavutetaan ja mitä niillä voidaan tehdä. Hintikan peliteoreettinen semantiikka on yritys näiden käytäntöjen, tapojen ja strategisten toimintamallien systematisoimiseksi (ks. Sandun kirjoitus tässä teoksessa). Peliteoreettinen semantiikka tarjoaa luontevan mahdollisuuden tarkastella kielen pragmaattisia ilmiöitä (Pietarinen 2007a). Tämä mahdollisuus puuttuu useimmista semanttisista teorioista. Hin- 2. Fregen jälkeen on esitetty, että esimerkiksi aritmetiikan perusaksioomat voitaisiin johtaa tietynlaisista yksinkertaisista abstraktioperiaatteista. 24 ajattelun välineet ja maailmat 25 ajattelun välineet ja maailmat

5 tikka ehdottaa, että pragmaattisia ilmiöitä tulisi tutkia kehittämällä peliteoreettisen semantiikan ja peliteorian pohjalta strategisen merkityksen teoriaa. 3 Syy siihen, miksi otin tämän ehdotuksen esille, valkenee pian. Hintikka on esittänyt, että matemaattiset toiminnot ovat sidoksissa malleille annettaviin rajoituksiin. Esimerkkinä toimii pyrkimys teorian mallien luokan deskriptiiviseen täydellisyyteen, jolloin aksiomatisointien löytäminen päättelyjärjestelmille vastaavasti vaikeutuu. 4 Nämä rajoitukset ovat mallien konstruoimisprosesseille sisäisiä. Tässä mielessä ne eivät ole kielen (aksiomaattisen teorian) piirissä, sillä kvantifioinnin tulisi yltää mallien rakenteen ulkopuolelle. Kieleen kuuluva kvantifiointi ei yllä mallien rakenteen ulkopuolelle, joten matemaattiset käytännöt liittyvät mallinrakennustoimituksiin. Rajoitteet eivät siis liity mihinkään erityiseen matematiikan alueeseen vaan tietyssä mielessä luonnehtivat koko matemaattisen ajattelun ja luovuuden yleisiä, laadullisia piirteitä. Hintikka ehdottaa mallien konstruoimista säänteleviksi periaatteiksi säästäväisyyden (ts. minimaalisuuden, esim. Arkhimedeen aksiooma ) ja runsauden (ts. maksimaalisuuden, esim. Hilbertin täydellisyysaksiooma ) periaatteita. Hän kutsuu matematiikan perusteiden hankettaan ekstremaalisuudeksi. Se on Hintikan laajan tuotannon yksi vähiten tunnetuista alueista Hintikan mukaan Lauri Carlson osallistui hänen ehdotukseensa strategisen merkityksen teoriasta. 4. Deskriptiivinen täydellisyys tarkoittaa luokan mallien isomorfiaa. 5. Hintikka (1989a) katsoo ekstremalismin puoltavan luonnollisten lukujen vääjäämättömyyttä matemaattisissa teorioissa. Toisaalta hän on sittemmin todennut, että vaikka Hartry Fieldin nominalistinen ohjelma onkin osoittanut lukujen olevan poistettavissa tietyistä tieteellisistä teorioista (aika-avaruusteoriat), Fieldin ohjelma ei ole osoittanut muiden matemaattisten olioiden kuten funktioiden ja relaatioiden poistettavuutta (Hintikka 2007). Kurt Gödel uskoi, että Cantorin kontinuumiongelma 6 voitaisiin ratkaista tämänkaltaisten, tyypillisistä joukko-opin aksiomatisoinneista radikaalisti poikkeavien aksioomien avulla. Tähän Hintikka lisää, että ratkaisun avaimet olisivat löydettävissä minimaalisuus- ja maksimaalisuusperiaatteiden yhteisvaikutuksesta. Hintikan mukaan matemaatikon luovuus juontuu kokeellisesta lähestymistavasta uusien hypoteettisten periaatteiden ja päättelymuotojen kehittämiseksi. Tässä mielessä Hintikan ekstremaalisuushanke lähentyy niin sanottua kvasiempirismiä matematiikan filosofiassa (Pietarinen 2008b). Kvasiempirismin mukaan matemaatikon päättely ei rajoitu deduktiivisiin mekanismeihin. Läheinen ajatus matematiikan kokeellisesta ja esimerkiksi kuvallisiin havaintoihin liittyvästä luonteesta esiintyi jo Charles Peircen matematiikan filosofiassa (Pietarinen 2008c). Hintikan filosofia on yllättävän rinnakkaista Peircen kanssa monissa muissakin suhteissa (Pietarinen 2007b). Hintikan ehdotuksesta voidaan todeta, että kukaan ei vielä ole kovin hyvin nähnyt, millaiset yleiset ilmiöt hallitsevat strategisen merkityksen teoriaa. Paul Gricella (1989) oli tähän suuntaan eräs huomionarvoinen yritys (Pietarinen 2004; 2007a), jonka Hintikka (1986a) katsoo jääneen puolitiehen. Gricen mukaan tietyt yleiset periaatteet (maksiimit) vallitsevat kielenkäyttötilanteiden taustalla. Esimerkiksi määrän maksiimi esittää viestijän pyrkimyksen maksimoida informaatiotaan käytetyissä puitteissa, ilman mitään tilanteen suhteen ylimääräistä informaatiota. Suhde korostaa asiaankuuluvuutta. Laadun maksiimiin liittyy totuudenmukaisuus. Strategiseen merkitykseen liittyviä havaintoja tulisi kyetä systematisoimaan ja soveltamaan paitsi kielentutkimuksessa myös matematiikan perusteissa. 6. Kokonaislukujen joukon mahtavuutta suuremman mutta reaalilukujen joukon mahtavuutta pienemmän joukon olemassaolo. 26 ajattelun välineet ja maailmat 27 ajattelun välineet ja maailmat

6 Hintikan ekstrenaalisuusperiaatteilla ja Gricen keskustelullisilla maksiimeilla on yhteys, ja tuon yhteyden luonnehtiminen on yksi niistä tulevaisuuden lukuisista haasteista, joita Hintikan tutkimukset ovat synnyttäneet. Selvitystyö on omiaan valaisemaan niin loogisen kielentutkimuksen ja pragmatiikan kuin matematiikan perusteidenkin syviä vesiä. Von Wrightin ja Hintikan rooleista mahdollisten maailmojen semantiikan syntyvaiheissa Ilpo Halonen Kuka keksi mahdollisten maailmojen semantiikan? Tämä kysymys nousee vääjäämättä esiin aina, kun olemme tekemisissä modaalilogiikan syntyhistorian ja kehityksen kanssa. Ja yhä uudelleen joudumme toteamaan, ettei tähän kysymykseen ole yhtä ja selkeää vastausta, jonka kaikki filosofit ja loogikot olisivat valmiit hyväksymään. Modaliteettien ja modaalilogiikan historia pitäisi aloittaa ainakin Aristoteleesta. Vastaavasti mahdollisiin maailmoihin liittyvän historiallisen tarkastelun tulisi käynnistyä Duns Scotuksesta ja Gottfried Wilhelm Leibnizista. MAHDOLLISTEN MAAILMOJEN SEMANTIIKAN SYNTY Tässä käsittelen kuitenkin sitä toisen maailmansodan jälkeistä modaalilogiikan uutta syntykautta, joka oli Georg Henrik von Wrightin sanoin jännittävintä kehitystä siinä uudessa kukoistuksessa ja hedelmöittävässä roolista, joka logiikalla oli 1900-luvun filosofian kehityksessä (von Wright 1992, 27, 41). Keskityn nimenomaan von Wrightin omaan rooliin tiellä kohti varsinaista mahdollisten maailmojen semantiikkaa ja erityisesti hänen oppilaansa Jaakko Hintikan asemaan sitä keksittäessä. 28 ajattelun välineet ja maailmat 29 ajattelun välineet ja maailmat