GÖDELIN LAUSE. kaikkein kaunein tosi ajatus syyskuuta 12

Transkriptio

1 GÖDELIN LAUSE kaikkein kaunein tosi ajatus 2012

2 Euklides noin -300 Alkeet, Στοιχεῖα, Stoikheia, Elementa, Elements kuvaili geometrian aksiomaattisesti 5 postulaattia kuvailee geometrian 5 aksioomaa yleiset totuudet

3 wikipediassa Postulaatit ovat sisällöltään geometrisia. 1. On mahdollista piirtää suora mistä hyvänsä pisteestä mihin hyvänsä pisteeseen. 2. On mahdollista jatkaa janaa jatkuvasti suoraksi. 3. On mahdollista piirtää ympyrä, jonka keskipiste on mikä hyvänsä ja keskipisteen ja kehän etäisyys mikä hyvänsä. 4. Kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuria. 5. Jos suora joka leikkaa kaksi muuta suoraa, synnyttää samalle puolelle itseään kaksi sisäpuolista leikkauskulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, niin suorat, jos niitä rajatta jatketaan, kohtaavat toisensa sillä puolen kolmatta suoraa, missä ovat kaksi mainittua kulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa. Aksioomat puolestaan ilmaisevat universaaleja totuuksia: 1. Asiat, jotka ovat samat kuin jokin asia, ovat myös keskenään samat. 2. Jos yhtä suuriin lisätään yhtä suuret, niin kokonaisuudet ovat yhtä suuret. 3. Jos yhtä suurista vähennetään yhtä suuret, niin jäännökset ovat yhtä suuret. 4. Asiat, jotka yhtyvät toisiinsa, ovat yhtä suuret. 5. Kokonaisuus on suurempi kuin sen osa.

4 5. postulaatti leikkaavatko yhdensuuntaiset suorat?

5 Leibniz 1670 Universaali laskukone

6 Nikolai Ivanovich Lobachevsky 1826 epäeuklidinen geometria samoihin aikoihin János Bolyai

7 Charles Babbage tietokone 1837 tai paremminkin tietokoneen kuvailu

8 Georg Cantor joukko-oppi aksioomat ja joukot tuottivat hirviöitä 1897 Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen diagonaalimenetelmä osoitti että reaalilukuja on enemmän kuin rationaalilukuja tai luonnollisia lukuja

9 Cantorin diagonaalimenetelmä

10 1901 Russelin paradoksi Formaalisti Russelin paradoksi määritellään seuraavasti: Oletetaan, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) joukot, jotka eivät kuulu itseensä. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole itse oma alkionsa. Paradoksi seuraa kysymyksestä, kuuluuko joukko M tällöin yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluisi, niin ei tulisi M:n oman määritelmän perusteella kuulua; jos taas ei kuulu, niin silloin tulisi saman määritelmän mukaan kuulua. Paradoksin idean voi esittää myös konkreettisena esimerkkinä, esimerkiksi kuuluisalla parturin paradoksilla: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kylän miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen. Tai. Onko seuraava lause totta? Tämä lause on epätosi.

11 1910 The Principles of Mathematics Russell ja Whitehead loivat matematiikan (joukot, lukuteorian) siten että siinä ei olisi valehtelijan paradoksia sisäänrakennettuna. Kirja on täynnä sanoja/virkkeitä, kaavoja hyvin vähän. Päättyy sanoihin: To sum it up: it appears that the special contradiction of Chapter x is solved by... What the complete solution of the difficulty may be, I have not succeeded in discovering; but as it affects the very foundations of reasoning; I earnestly commend the study of it to the attention of all students of locig.

12 David Hilbert 1920 Hilbert ehdotti, että pitää luoda sellainen matematiikan teoria, että se voitaisiin osoittaa täydelliseksi ristiriidattomaksi

13 täydellisyys kaikki lukuihin liittyvät väittämät voidaan todistaa lähtien aksioomista ei ole olemassa luonnollisia lukuja x, y, z ja n >2 siten, että xn + yn = zn (Fermat 1637, Wiles 1997)

14 ristiriidattomuus aksioomista ei voi todistaa samaa asiaa todeksi ja epätodeksi vaikkapa: on totta että piin desimaalikehitelmässä on jossain kohtaa koko raamattu, kun sen kirjaimet on koodattu tietyllä koodauksella X lukusarjaksi ei ole totta että piin desimaalikehitelmässä on jossain kohtaa koko raamattu, kun sen kirjaimet on koodattu tietyllä koodauksella X lukusarjaksi

15 Kurt Gödel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme Formaalisti ratkeamattomista lauseista Principia Mathematicassa ja vastaavissa järjestelmissä

16 Gödelin lause Sellaista aksiomaattista järjestelmää, mikä kuvailee luonnollisten lukujen aritmetiikan, ei voida todistaa ristiriidattomaksi sen omien aksioomien avulla. Epätäydellisyyslauseen mukaan lukuteorian sisältävä aksiomaattinen järjestelmä on epätäydellinen sillä aina on tosia lauseita, joita ei voi todistaa järjestelmän sisäisillä menetelmillä.

17 suomeksi on äärellinen määrä aksioomia ja lauseet äärellisen mittaisia järjestelmä on ristiriidaton aksioomat määrittävät luonnollisten lukujen matematiikan siten, että mukana on vähintään yhteen- ja kertolasku kaikkia tosia lauseita ei voi todistaa todeksi tai epätodeksi

18 Gödelin todistus Gödel osoittaa, että matematiikan formaalit lauseet voidaan koodata Gödelnumeroinnin avulla luonnolliseksi luvuksi. Gödelnumeroinnissa luvut ja matematiikassa tarvittavat merkit koodataan alkulukujen ja potenssien avulla yksikäsitteisiksi luvuiksi. Hän osoittaa, että lauseen todistus voidaan koodata luvuksi. Lopulta hän osoittaa, että on olemassa luku jonka merkitys on sama kuin Tämä lause on epätosi.

19 Alan Turing Pysähtymisongelma koskee syötteenä annetun, mielivaltaisen ohjelman pysähtymistestausta. Ongelmassa pitää määrittää, pysähtyykö ohjelman suoritus koskaan annetulla syötteellä On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem Turing käytti Gödelin ideaa ja osoitti, että ei voi olla olemassa universaalia algoritmia, joka osaisi päättää pysähtyykö ohjelma vai ei.

20 suomeksi Tietokone jumittaa. Miksi ei ole sellaista käyttöjärjestelmää (Windows, Mac OS, Linux), että se valvoisi ulkopuolelta kaikkia suoritettuja ohjelmia ja estäisi sellaiset jotka jumittavat koneen. Turing osoitti että sellaista käyttöjärjestelmää ei voi tehdä. Nörteille tiedoksi: Muutoinhan for-next tai while silmukan tarkastelu ulkopuolelta ratkaisisi kaikki matematiikan ongelmat

21 Lue Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou: Logicomix 2009 sarjakuva Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I 1931 Rudy Rucker: Mieli ja äärettömyys: Äärettömyyden tiedettä ja filosofiaa. (Infinity and the mind: The science and philosophy of the infinite, 1982.) Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 1979 Nagel & Newman & Hofstadter: Gödels Proof 2001 John L. Casti, Werner DePauli: Kurt Gödel - elämä ja matematiikka 2001 Neal Stephenson: Cryptonomicon 1999

22 paradoksi jokainen sivu tässä esityksessä on epätotta kaikkivaltias jumala voi luoda sellaisen kiven jota hän ei voi nostaa jos tämä lause on tosi niin joulupukki on olemassa tiedän että en tiedä mitään

23 sivu 23 tämä ja sivu 24 on totta

24 sivu 24 sivu 23 ei ole totta

25 Pöö Cantor kuoli mielisairaalassa Turing tappoi itsensä myrkkyomenalla Gödel kuoli bakteerikammon aiheuttamaan aliravitsemukseen