Matematiikan olemus Juha Oikkonen

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi"

Marja Rantanen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Matematiikan olemus Juha Oikkonen 1

2 Eri näkökulmia A Matematiikka välineenä B Matematiikka formaalina järjestelmänä C Matematiikka kulttuurina Matemaattinen ajattelu ja matematiikan oppiminen - Tämän esityksen varsinainen aihe 2

3 Matematiikka välineenä Arki: laskutaito ja prosentit jne. Matematiikka maailmassamme Matematiikka tieteessä ja teknologiassa Matematiikan käsittämätön tehokkuus luonnontieteissä (Wigner) Inversioteoria ja tomografia (Päivärinta) Biomatematiikka ja rokotusmallit (Gyllenberg) Tilastotiede (biometria) ja geenikartoitus sekä koneoppiminen (Corander) Matemaattinen fysiikka (Kupiainen) 3

tehokkuus luonnontieteissä (Wigner) Inversioteoria ja tomografia (Päivärinta) Biomatematiikka

4 Matematiikka formaalina järjestelmänä Metamatematiikka ja logiikka Logisismi, formalismi, intuitionismi (von Wright: Logiikka, Filosofia ja Kieli) Joukko-oppi, malliteoria, laskettavuuden teoria, todistusteoria jne. moderni logiikka Perinteiset mahdottomuudet: kulman kolmijako jne. Epäeuklidinen geometria ja malliajattelu Gödelin lause Kontinuumihypoteesin ym. riippumattomuus Elämä alkaa käydä mielenkiintoiseksi! 4

todistusteoria jne. moderni logiikka Perinteiset mahdottomuudet: kulman kolmijako jne.

5 Matematiikka kulttuurina Matematiikan alkuperä Matematiikan historia Matematiikan yhteydet muuhun kulttuuriin Ihminen, kulttuurit ja matematiikka Etnomatematiikka jne. Varsinainen aiheeni: Matemaattinen ajattelu ja oppiminen 5

kulttuuriin Ihminen, kulttuurit ja matematiikka

6 Matemaattinen ajattelu ja oppiminen David Tall ja Shlomo Vinner: Concept Image ja Concept Definition David Tallin matematiikan kolme maailmaa Ilmenevä : konkretisoinnit, mielikuvat jne. Symbolinen: laskusäännöt, derivointisäännöt jne. Aksiomaattinen: tiedematematiikka, käsitteellinen matematiikka 6

Ilmenevä : konkretisoinnit, mielikuvat jne.

7 Matemaattinen ajattelu ja oppiminen J. O. ja matematiikan opettaminen ja miettiminen tässä ja nyt : matematiikan kaksi puolta Matematiikan subjektiivinen (sosiaalinen) puoli mielikuvat, eleet, keskustelut jne. Matematiikan objektiivinen puoli kaavat, kuviot jne 7

matematiikan kaksi puolta Matematiikan subjektiivinen

8 Mitä muuta matematiikan opetuksessa pitäisi oppia kuin matikkaa? Koskee yliopisto-opetuksen lisäksi myös esim. peruskoulua ja lukiota Missä on tilaa ajattelun taitojen oppimiselle? Opiskelun pohjavirtaa Esim. kurssin analyysi I kaksoisrooli 8

peruskoulua ja lukiota Missä on tilaa ajattelun taitojen

9 Sosiaaliset taidot: yhteistyö, vuorovaikutus Tiedon hankinnan taidot: aineelliset ja virtuaaliset kirjastot jne. IT-taidot: geogebra, maple, LaTeX jne. 9

10 Mielikuvien käyttäminen sekä konkretisointi ja kehollistaminen (vrt. Tallin ensimmäinen) Kielentäminen ja ratkaisujen esittäminen (vrt. Tallin toinen vai kuinka mones?) 10

11 Matematiikan loogisen rakenteen hallitseminen (vrt. Tallin kolmas) Määritelmien luonne ja käyttö Todistukset (suorat, käänteiset, ristiriidat) Aksiomien luonne 11

12 Ongelmanratkaisun strategiat (Polya: How to Solve It) Alan Schoenfeld, Erkki Pehkonen, Markku Hannula Esimerkki pitkästä listasta (Larson: Problem Solving Through Problems) Etsi säännönmukaisuuksia (patterns) Piirrä kuva Muotoile samankaltainen tai yhtäpitävä ongelma Muunna ongelmaa Valitse hyvät merkinnät 12

Through Problems) Etsi säännönmukaisuuksia (patterns) Piirrä kuva Muotoile

13 Käytä symmetriaa Tarkastele eri tapauksia Etene lopusta alkuun Käytä ristiriitaa Parillisuusargumentit(tms.) Tarkastele ääritilanteita Yleistä 13

14 Mutta on muitakin Leikittely ja kokeilu on käytössä esim. analyysin kurssilla moneen kertaan Oletetaan, että a = sup A, missä A on niiden positiivisten lukujen x joukko, joille x 2 < 3. Osoitetaan, että a 2 = 3 näyttämällä, ettei voi olla a 2 < 3 eikä a 2 > 3. Edellisessä tapauksessa leikitään luvulla (a+h) 2 ja jälkimmäisessä luvulla (a-h) 2. Tasaisesti jatkuvan funktion integroituvuus osoitetaan näin: oletetaan, että D on jako, jonka jokaisella jakovälillä f max f min < r ja katsotaan, mitä tapahtuu. 14

Osoitetaan, että a 2 = 3 näyttämällä, ettei voi olla a 2 < 3 eikä a 2 > 3.

15 Alakohtaisia taitoja Ylös ja alas arviointiajattelu analyysissä jne. 15

16 Ongelmanratkaisu on tärkeää Mutta ongelmanratkaisu on matemaatikon näkökulmasta osa laajempaa maisemaa Ajattelun taidot on kehitys- ja tutkimusaihe eikä valmis huoneentaulu Ajattelun taitojen täytyy päästä esiin opetuksessa! 16

Ajattelun taidot on kehitys- ja tutkimusaihe eikä valmis

Samankaltaiset tiedostot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.