Tietämisestä ja uskomisesta

Transkriptio

1 Tietämisestä ja uskomisesta MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Kasper Apajalahti

2 Sisältö Johdanto Tietämys Arvoitus: mutaiset lapset Partitiomalli (partition model) Mutaiset lapset KDT45-aksiomatiikka Mutaiset lapset Yleinen tieto ja koordinoitu toiminta Mutaiset lapset Epävarmuus kommunikaatiossa Robottien välinen koordinoitu toiminta Tietämys ja uskomus Kevyt esittely Kotitehtävät

3 Johdanto Historiaa: Jo muinaiset kreikkalaiset pohtivat tietoa (tietoteoria filosofiassa) Filosofi CI Lewis kehitti pohjan modernille modaalilogiikalle (1910) ja mm KDT45-/S5- järjestelmälle (1932) 40- ja 50-luvuilla väiteltiin tietämyksen ja uskomuksen formaalista määrittämisestä Joukossa suomalainen GH von Wright kirjoituksellaan An Essay on Modal Logic Jaakko Hintikka laajensi von Wrightin ajatuksia ja loi filosofisen perustan tiedon logiikkajärjestelmille kirjallaan Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions, 1962 Saul Kripke kehitti 50- ja 60-luvulla modaalilogiikan perusteita ja mahdollisen maailmojen semantiikkaa

4 Johdanto Tieto on oikeutettu tosi uskomus (filosofia, tietoteoria): Agentti i tietää että φ, jos 1) φ on totta 2) i uskoo, että φ ja 3) i:llä on perusteet uskoa, että φ Tietämyksen formaali määrittäminen: episteeminen (epistemic) logiikka (modaalilogiikan osa-alue) Tietämisen mallintaminen perustuu (usein) mahdollisten maailmojen määrittämiseen Sovellukset tietämiselle Robottien koordinoitu toiminta Verkkoturvallisuus (protokollat) Taloustiede (hinnoittelu, tarjouskilpailu, yms)

5 Arvoitus: mutaiset lapset Kuvaus n-määrä lapsia saapuu mutaleikeistä kotiin ja k-määrällä on mutainen otsa Lapset eivät tiedä olevansa itse mutaisia Isä toteaa ainakin yhden olevan mutainen ja toistaa tätä kunnes syylliset myöntävät olleensa mutaleikeissä (lapsen pitää tunnustaa heti kun tietää olevansa mutainen) Montako kertaa isän pitää toistaa sanomansa ennen kuin mutaiset lapset tunnustavat? Vastaus: k-1:llä kerralla kukaan ei ole tunnustanut => mutainen lapsi siis tietää, että k-1:n mutaisen lisäksi myös hänen itsensä täytyy olla mutainen Siispä k:nnella kerralla kaikki mutaiset tunnustavat yhtä aikaa Tutkitaan jatkossa esimerkkiä, jossa n=2 ja k=2

6 Partitiomalli (partition model) Partitiomalli A = W, π, I 1,, I n, missä W on mahdollisten maailmojen joukko esim w 0 ={ m1, m2}, w 1 ={m1, m2}, w 2 ={ m1, m2}, w 3 ={m1, m2} m1 = agentti 1 on mutainen, m2 = agentti 2 on mutainen, π tulkintafunktio (interpretation function) esim π( yhdellä on mutaa naamassa )={w 1, w 2, w 3 } I i on agentin i näkemys mahdollisista maailmoista esim I 1 (w 0 )={w 1 } Maailmassa w, agentti tietää väitteen φ, joss φ on tosi kaikissa maailmoissa w ja w I i (w) Merkitään A, w K i φ tai ihan vaan K i φ esim Agentti 1 tietää, että agentti 2 on mutainen = K 1 m2

7 Mutaiset lapset ja partitiomalli (n=2 ja k=2) 1 Lapset näkevät toisensa: K 1 m2, K 1 K 2 m2 K 2 m1, K 2 K 1 m1

8 Mutaiset lapset ja partitiomalli (n=2 ja k=2) 1 Lapset näkevät toisensa: 2 Isä sanoo: ainakin yhdellä on mutaa naamassa K 1 m2, K 1 K 2 m2 K 2 m1, K 2 K 1 m1 K 1 m2, K 1 K 2 m2 K 2 m1, K 2 K 1 m1

9 Mutaiset lapset ja partitiomalli (n=2 ja k=2) 1 Lapset näkevät toisensa: 2 Isä sanoo: ainakin yhdellä on mutaa naamassa 3 Kumpikaan ei reagoi K 1 m2, K 1 K 2 m2 K 2 m1, K 2 K 1 m1 K 1 m2, K 1 K 2 m2 K 2 m1, K 2 K 1 m1 K 1 m2, K 1 K 2 m1, K 1 m1 K 2 m1, K 2 K 1 m2, K 2 m2

10 Partitiomallit vielä formaalimmin: Kripke-rakenne Kripke-rakenne (Kripke structure) on pari (W,R), missä W on mahdollisten maailmojen joukko R on maailmojen väliset suhteet M, w K i φ joss w W, R(w,w ) ja w φ Suomeksi: maailmassa w agentti i tietää väitteen φ todeksi, mikäli w:n naapurimaailmoissa w φ on totta Mutaiset lapset-esimerkki: merkitään totuusarvot 0/1 mutaisuudesta (m1,m2) mahdollisiin maailmoihin: w 3 : 11 2 w 2 : w 1 : 01 w 0 : 00

11 KDT45-aksioomajärjestelmä Tunnetaan myös S5-järjestelmänä Mallintaa tietämiseen liittyvät ominaisuudet: Järjestelmän heikkous: looginen kaikkitietävyys (logical omniscience) aksiooman K johdosta Onko agentilla resursseja tietää kaikki mikä loogisesti seuraa väitteestä φ?

12 Yleinen tieto (C G φ) w C G φ, joss w E G (φ C G ) Yleinen tieto C väitteestä φ on olemassa agenttien joukossa G, kun 1) kaikki tietävät φ 2) kaikki tietävät, että kaikki tietävät φ, 3) kaikki tietävät, että kaikki tietävät, että, ) Mutaiset lapset-arvoituksessa: Alkuehtona C G (agentti tunnustaa, jos tietää olevansa mutainen) Lapset näkevät toisensa: E G ( ainakin yksi on mutainen ) Isän puheenvuoron jälkeen: C G ( ainakin yksi on mutainen ) Yleisen tiedon olemassaolo mahdollistaa oman mutaisuuden päättelyn k:nnella kerralla

13 Yleinen tieto ja koordinoitu toiminta Yleinen tieto mahdollistaa koordinoidun toiminnan Yleisen tiedon puuttuminen taas tekee (deterministisen) koordinoidun toiminnan mahdottomaksi Esimerkki: A kysyy sähköpostilla ystäväänsä B:tä baariin klo 2000 Ongelmana on että sähköposti on epäluotettava viestin ja kummallekin olisi katastrofaalista saapua baariin yksin Siispä A haluaa vahvistuksen B:ltä että tietää saapua klo 2000 paikalle Propositiot (a0,b0,b1,a1) totuusarvoilla 0/1: a0= A lähettänyt viestin, b0= B saanut viestin b1= B lähettänyt vahvistuksen a1= A saanut vahvistuksen w 0 : 0000 B w 1 : 1000 A w 2 : 1100 A A w 3 : 1110 B w 4: 1111

14 Yleinen tieto ja koordinoitu toiminta Lopputulos: kaikki viestit menevät läpi, joten A lukee B:n vahvistuksen! Kun B on lähettänyt vahvistuksen, hän kuitenkin ryhtyy järkeilemään mahdollisia maailmoja: w 0 :ssä ja w 1 :ssa: K B a0 w 3 :ssa: K B a0, K A K B a0 w 4 :ssä: K B a0, K A K B a0, K B K A K B a0 B ei siis tiedä, että A tietää että, että B tietää, että baariin pitäisi mennä klo 20 w 0 : Vaikka lisättäisiin uusi vahvistusviesti A:lta B:lle 0000 (a2 ja b2), ei silti saada varmuutta viestien läpimenosta Tarvittaisiin yleistä tietoa C AB a0, mikä on mahdotonta esimerkinkaltaisessa epävarmassa viestinnässä B w 1 : 1000 A w 2 : 1100 A A w 3 : 1110 B w 4 : 1111

15 Robotti-esimerkki Robotit A ja B pelaavat jalkapalloa B syöttää A:lle kohdealueelle G>=2, jonne A kiitää origosta B:n syötön pitää lähteä mahdollisimman ripeästi kun A on kohdealueella ja ennen kuin A pysähtyy, muuten vastajoukkue ehtii väliin Molemmilla on identtiset sensorit R A ja R B, jotka kertovat robotin A reaaliaikaisen sijainnin ±1 yksikön tarkkuudella, siten että R A =R B Milloin syötön pitää lähteä? Vastaus: kun R A >= 3 ja kun R B >= 3 niin C AB ( A kohdealueella ) A:lla ja B:llä identtiset maailmat

16 Robotti-esimerkki 2 Robotit A ja B pelaavat taas jalkapalloa ja heillä on sama taktiikka kuin aiemmassa esimerkissä (B syöttää heti kun A on kohdealueella G>=2) Nyt B on päivittänyt sensorinsa R B+ :aan ja se kertoo täsmälleen, missä A liikkuu A:lla on vielä wanhanaikainen kalusto R A käytössä (±1:n tarkkuus) Milloin syötön pitää lähteä? Merkitään todellinen sijainti ja sensoreiden lukemat mahdollisiin maailmoihin: (p,r A,R B+ ), missä p=todellinen sijainti Esimerkki mahdollisesta tilanteesta: w 4 : (5,6,5) B w 3 : A w 2 : B w 1 : A (5,4,5) (3,4,3) (3,2,3) w 0 : (1,2,1)

17 Robotti-esimerkki 2 Robotit A ja B pelaavat taas jalkapalloa ja heillä on sama taktiikka kuin aiemmassa esimerkissä Nyt B on päivittänyt sensorinsa R B+ :aan ja se kertoo täsmälleen, missä A liikkuu, kun taas A:lla on vielä wanhanaikainen kalusto R A käytössä (±1:n tarkkuus) Milloin syötön pitää lähteä? Merkitään todellinen sijainti ja sensoreiden lukemat mahdollisiin maailmoihin: (p,r A,R B+ ), missä p=todellinen sijainti Esimerkki mahdollisesta tilanteesta: w 4 : (5,6,5) B w 3 : A w 2 : B w 1 : A (5,4,5) (3,4,3) (3,2,3) w 0 : (1,2,1) Tässä esimerkissä w 4 :ssä voi päätellä: K B K A K B K A ( A kohdealueella ) Vastaus: ei onnistu Tarinan opetus: tärkeämpää tietää, mitä toinen tietää kuin olla oikeassa

18 Tietämys ja uskomus Kuten sanottu, tietäminen on oikeutettua uskomusta, joka on totta Lisäksi, tieto on uskomus, joka on stabiili totuuden edessä Uskomisen mallintaminen tietämisen ohella on siis melko tärkeää Uskomisen eri tyypit: B ic kuvaa varmuudella uskomista ( luulee tietävänsä ) B i m kuvaa hypoteettista uskomista

19 Tietämys ja uskomus Tiedon ja uskomuksen mallintaminen ei ole helppoa Oletetaan aksioomat tietämiseen ja uskomiseen suhteet: K i φ B ic φ ja B ic φ B ic K i φ Lisäksi, muistetaan KDT45-järjestelmä ja sen 5 aksiooma: K i φ K i K i φ Esimerkki: B ic ( pankki on auki ) B ic K i φ( pankki on auki ) Todellisuudessa pankki on kiinni

20 Tietämys ja uskomus Tiedon ja uskomuksen mallintaminen ei ole helppoa Oletetaan aksioomat tietämiseen ja uskomiseen suhteet: K i φ B ic φ ja B ic φ B ic K i φ Lisäksi, muistetaan KDT45-järjestelmä ja sen 5 aksiooma: K i φ K i K i φ Esimerkki: B ic ( pankki on auki ) B ic K i φ( pankki on auki ) Todellisuudessa pankki on kiinni, joten K i ( pankki on auki ) K i K i ( pankki on auki ) B ic K i ( pankki on auki ) Täten: B ic K i ( pankki on auki ) ja B ic K i ( pankki on auki ), RISTIRIITA! Opetus: mallintaminen voi mennä pieleen ja syyttävä sormi osoittaa KDT45:n 5 aksioomaa KDT45 ei siis täysin kuvaakaan tietämistä filosofisessa mielessä?

21

22 Terminologia Partitiomalli = Jakaa tilat/maailmat ryhmiin siten etteivät agentit pysty erottamaan niitä toisistaan Kripke-rakenne = Sisältää mahdolliset maailmat ja relaatiot niiden välillä Looginen kaikkitietävyys = Jos tietää asian, tietää sen seuraukset

23 Kotitehtävät 1 Keksi kilpailu/yhteistyötilanne, jossa agentit hyödyntävät tietämistä Sanallinen selitys riittää +löytyykö yleistä tietoa tai uskomusta? 2 Robotit A ja B pelaavat taas jalkapalloa ja taas syötön pitää lähteä mahdollisimman ripeästi kun A on kohdealueella, mutta ennen kuin A pysähtyy, muuten vastajoukkue ehtii väliin Nyt kohdealueella ollaan, kun G >= 4 Robotilla A on sensori R A-, joka kertoo ±2:n tarkkuudella robotin A sijainnin B:llä on sensori R B+, joka kertoo täsmälleen robotin A sijainnin Nyt todellinen maailma on: p=8, R A- =7 ja R B+ =8, eli maailmassa (8,7,8) Osoita, ettei B tiedä että A tietää että B tietää että A tietää olevansa kohdealueella (kalvot s16 ja 17, kirjasta kolme viimeistä kappaletta luvusta 1352)