Kieli merkitys ja logiikka
|
|
- Anneli Noora Järvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 8 Kieli merkitys ja logiikka Luento 8: Merkitys ja logiikka Luku 10: Luennon 7 kertaus: propositiologiikka predikaattilogiikka Kvanttorit ja looginen muoto Määritelmät, analyyttisyys ja synteettisyys Lause ja propositio Propositiot ja kompositionaalisuus Erikieliset lauseet Pekka ei ostanut olutta. Pekka didn t buy beer. Пекка не купил пива. Nämä lauseet ilmaisevat saman proposition. Lauseiden rakenne ei välttämättä ole sama. Lauseiden propositionaalisen sisällön ymmärtäminen vaatii tietoa kielestä. Monimutkaisen (kompleksisen) ilmauksen merkitys on sen osien merkitysten ja niiden yhdistämiseen käytetyn syntaktisen säännön funktio. Propositiologiikan kieli on kompositionaalinen Totuusarvot lasketaan vaihe vaiheelta esimerkiksi totuustaulujen avulla. P Q P Q PQ Q Saara Huhmarniemi 1
2 Totuustaulut Syntaksi ja semantiikka Jos kastelen kasvejani tai istutan ne isompaan ruukkuun niin ne kukkivat keväällä. p 0 =Kastelen kasvejani p 1 =istutan ne isompaan ruukkuun p 2 =ne kukkivat keväällä (p 0 p 1 ) p 2 Voimme selvittää tämän propositiologiikan lauseen totuusarvon kaikilla mahdollisilla totuusjakaumilla Propositiologiikalle voidaan antaa syntaksi ja semantiikka: Syntaksi: p 0, p 1, p 2,... ovat (atomi)lauseita jos P ja Q ovat lauseita, niin P, PQ, PQ ja Q ovat lauseita. Semantiikka: Säännöt, jotka määrittävät lauseiden totuusarvot (totuustaulut). Syntaksi ja semantiikka Kompositionaalisuus Propositiologiikan konnektiivit ovat luonnollisen kielen osa Lisätään logiikan ilmaisuvoimaa: predikaattilogiikka, kvanttorit,... luonnollinen kieli formaali kieli semanttinen tulkinta Tekoälyn ja komputationaalisen ajattelun teorian taustaoletus Kompositionaalisuus Monimutkaisen (kompleksisen) ilmauksen merkitys on sen osien merkitysten ja niiden yhdistämiseen käytetyn syntaktisen säännön funktio. (Frege) Gottlob Frege ( ), Alfred Tarski (1901/2-83), Richard Montague ( ).. Lisäksi: merkitykseen ei vaikuta mikään muu seikka. "ruskea lehmä" syntaktinen sääntö, joka yhdistää AP:n nominipääsanaansa (yksinkertaisesti: [A N]) semanttinen sääntö, joka vastaa loogista ja funktiota. Saara Huhmarniemi 2
3 Kompositionaalisuus ja merkitysteoria Intensionaalinen konteksti Kielen merkitysteorian ehto on, että se on efektiivinen, teorian avulla voidaan tuottaa merkitys kompleksiselle ilmaisulle äärellisin keinoin. Efektiivisyys on riippumaton kompositionaalisuudesta, eli kompositionaalisuusperiaate ei ole merkitysteorian ehdoton edellytys. Esimerkiksi Jaakko Hintikan peliteoreettinen semantiikka on merkitysteoria, joka ei ole kompositionaalinen. Pekka uskoo että 1+1 on kaksi Pekka uskoo että 10-8 on kaksi Ilmaisuilla 1+1 ja 10-8 on sama ekstensio, ne molemmat tarkoittavat lukua 2. Tapa jolla luku 2 annetaan on eri. Pekalla voi olla eri uskomus ilmaisuista 10-8 ja 1+1. Intensionaalinen konteksi ei salli ilmaisujen korvaamista synonyymeillään joilla on sama ekstensio. Myös intensioiden tulee olla samat. Kompositionaalisuus Kompositionaalisuus ja syntaksi Semantiikka ilman kompositionaalisuusperiaatetta? Kompleksisen ilmaisun merkitykseen vaikuttaa myös jokin muu kuin ainoastaan sen osien merkitykset ja yhdistelysäännöt Ilmaisun merkitys voi riippua esimerkiksi kontekstista tai jostain syntaktisesta säännöstä. Tällöin lauseen totuusarvo (lauseen merkitys tietyssä kontekstissa) voi muuttua vaikka ilmaisu olisi korvattu synonyymillään. Lauserakennekieliopin positiot vastaavat tavallaan predikaatin argumenttirakennetta: RAKASTAA(PEKKA,MERJA) Jos argumenttien paikkoja vaihdetaan, myös tulkinta muuttuu. Saara Huhmarniemi 3
4 Kieli ja tulkinta Kvanttorit Relaation R(x,y) tulkinta riippuu olennaisesti järjestyksestä, jossa relaation argumentit esiintyvät. Järjestystä ei voi vaihtaa muuttamatta merkitystä: SYÖ(PEKKA, LEIPÄ) vs. SYÖ(LEIPÄ, PEKKA) Luonnollisen kielen semantiikka on monimutkaisempi: Tekeminen tekemisen kohde Temaattiset roolit Useampipaikkaiset predikaatit? Pekka antoi kirjan Merjalle Pekka meni syömään koululle Käsitteiden avulla voimme viitata kategorioihin, nimeämällä yksilöihin. Miten viitataan yhteen koiraan? koira jahtaa kissaa a dog chased a cat Kvanttorit poimivat maailmasta predikaatin alaan kuuluvia jäseniä. x KOIRA(x): on olemassa x siten että KOIRA(x). x KOIRA(x): kaikille x pätee että KOIRA(x). x y (KOIRA(x) KISSA(y) JAHTAA(x,y)) Kvanttorit Kvanttorit Logiikan kannalta tärkeät kvanttorit: universaalikvanttori eksistentiaalikvanttori Luonnollisessa kielessä on myös paljon muita kvanttoreita: jokunen, muutama, pari, yksi, kaksi, viisisataa,.. Kvanttoreihin liittyy alan käsite: Kaikki eivät ostaneet lahjaa. Kukaan ei ostanut lahjaa. Lause 1. tarkoittaa että on olemassa henkilöitä, jotka eivät ostaneet kirjaa Sota ja rauha. Lause 2. taas sanoo, että kukaan ei osta kirjaa Sota ja rauha. 1. Kaikki eivät osta Sotaa ja rauhaa. 2. Kukaan ei osta Sotaa ja rauhaa x ( OSTAA(x, S)) 2. x ( OSTAA(x, S)) Kvanttorin ala vaikuttaa sen tulkintaan. Kun negaatio kuuluu kvanttorin alaan, tulkinta on eri kuin silloin kun se ei kuulu. Saara Huhmarniemi 4
5 Looginen ala Looginen ala Ketä Matti pohti että Maija rakastaa? Matti pohti että ketä Maija rakastaa Adverbien ja muiden määresanojen paikka lauseessa vaikuttaa merkitykseen Kvanttorin looginen ala on eri: Ketä x: Matti pohti että Maija rakastaa x? Matti pohti että ketä x: Maija rakastaa x. Ilmeisesti Matti söi koko leivän tänään Matti ilmeisesti söi koko leivän tänään Matti söi ilmeisesti koko leivän tänään Matti söi koko leivän ilmeisesti tänään Looginen ala Looginen ala Tieto kvanttorin alasta on osa lauseen merkitystä Kvanttorin ala muuttuu siirtymän seurauksena Mitkä kaikki kirjat Matti osti t? Mitkä kaikki kirjat Matti tiesi että Merja osti t? Matti tiesi mitkä kaikki kirjat Merja osti t. Jokainen opiskelija osti jonkun kirjan. Jonkun kirjan osti jokainen opiskelija. Kvanttori-ilmaisut aiheuttavat lauseeseen monitulkintaisuutta. Saara Huhmarniemi 5
6 Looginen muoto Primitiivisten ilmaisujen merkitys? Representaatiota lauseen merkityksestä (mukaanlukien kvanttorit ja niiden alat) kutsutaan lauseen loogiseksi muodoksi. Millainen looginen muoto täsmälleen on, on avoin kysymys. Miten kieli yhdistyy ajatteluun? Looginen muoto on kieliriippumaton (?) Looginen muoto ei ole monitulkintainen (?) Nimeäminen Sana Pekka viittaa suoraan maailmassa olevaan olioon Pekka. Lisäksi voimme kategorisoida olioita luokkiin, tämä perustuu käsitteiden käytölle. Pekka on ihminen. Tulkintafunktio Kieli ja tulkinta Primitiivisten ilmaisujen merkitys ei ole kompositionaalinen. Pekka on ihminen. Nimeäminen Käsitteet Primitiivisen ilmaisun merkitys yhdistetään ilmaisuun tulkintafunktion avulla. Tulkintafunktio µ yhdistää ilmaisun kielenulkoiseen olioon tai asiaan, johon se viittaa. µ(pekka) tarkoittaa siis tiettyä Pekkaa maailmassa. Käsitteitä käytetään kategorioina: µ(ihminen) tarkoittaa ihmisten kategoriaa. Muodostamalla predikaattilogiikan kielelle L malli voidaan tarkastella predikaattien totuusarvoja tässä mallissa. Tulkintafunktio kiinnittää kielen L symbolit niihin kielenulkoisiin olioihin joita symbolit edustavat. Luonnollisen kielen kohdalla mallina toimii kielen käyttötilanne, senhetkinen tieto maailmasta. Annamme kielen lauseille tulkinnan sen mallin perusteella, joka meillä on maailmasta. Saara Huhmarniemi 6
7 Käsitteet Analyyttisyys ja synteettisyys Käsitteet Sanan omena merkitys on se käsite, johon kielen käyttäjät sanan yhdistävät. Sanan omena lausuminen aiheuttaa omena -käsitteen aktivoitumisen kuulijan mielessä. Mistä esimerkiksi sanan poikamies merkitys muodostuu? (x)(poikamies(x) Mies(x) Naimaton(x)) Tässä mies ja naimaton ovat joko primitiivisiä merkityksiä tai niillä on omat määritelmänsä Jos Matti on poikamies niin hän on naimaton Analyyttisyys ja synteettisyys Analyyttisyys ja synteettisyys Jos Matti on poikamies, niin hän on naimaton Lause on analyyttisesti tosi jos se on tosi pelkästään merkitykseen perustuen Totuuden tarkistamiseen riittää vain synonyymisyys (poikamies = naimaton mies) ja logiikan lait Lause on synteettisesti tosi, jos sen totuus ei perustu pelkästään sanojen merkityksiin. Alkulukuja on ääretön määrä. Ulkona sataa tällä hetkellä. Immanuel Kant ( ) Gottlob Frege ( ) Analyyttisyys psykologisessa merkityksess: Poikamiehen ajatteleminen on sama kuin naimattoman miehen ajatteleminen Esimerkiksi käsitteestä punainen seuraa välttämättä että se on värin käsite. Onko väri osa punaisen määritelmää? Lause Punainen on väri tiedetään todeksi a priori, sen toteaminen ei vaadi havaintoja. Saara Huhmarniemi 7
8 apriorisuus, aposteriorisuus apriorinen tieto on kokemuksesta riippumatonta matematiikka, logiikka filosofia mistä tämä varma tieto on peräisin? aposteriorinen tieto perustuu empiirisiin havaintoihin fysiikka, biologia, psykologia kognitiotiede, biolingvistiikka empiiriset havainnot ja hypoteesit Saara Huhmarniemi 8
Kieli merkitys ja logiikka
Luento 7 Kieli merkitys ja logiikka Kompositionaalisuus Predikaattilogiikka Käsitteellis-intentionaaliset järjestelmät Luento 7: Merkitys ja logiikka Lause ja propositio Propositiot ja kompositionaalisuus
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Luento 7 Kieli merkitys ja logiikka Luennot 7 ja 8: sivut 237-274 Luento 7: Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Kompositionaalisuus Propositiologiikka Kieli ja tulkinta Predikaattilogiikka
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. Luento 6: Merkitys ja kieli
Kieli merkitys ja logiikka Luento 6: Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Sanat ja käsitteet Kompositionaalisuus Propositiologiikka Kysymykset Merkityksen luonne Miten ihminen hahmottaa
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Luento 9 Kieli merkitys ja logiikka Luento 9: Merkitys ja logiikka, kertaus Luku 10 loppuun (ei kausatiiveja) Ekstensio, intensio ja käsitteet Primitiivisten ilmaisujen merkitys Käsitteellis-intentionaaliset
LisätiedotTiedon esittäminen ja päättely. Kognitiivinen mallintaminen I. Merkitys. Merkitys. Kognitiivinen mallintaminen I, kevät /13/07
Tiedon esittäminen ja päättely Kognitiivinen mallintaminen I Symbolinen mallintaminen 3. luento Tiedon esittäminen ja päättely Merkitys: kompositionaalisuus Malliteoria Loogisen päättelyn malleja Tiedon
LisätiedotKognitiiivinenmallintaminen1. Tiedon esittäminen, logiikkaa
Kognitiiivinenmallintaminen1 Tiedon esittäminen, logiikkaa Mitenihmisaivotesittävättietoa? Language of Thought (LOT) hypoteesi(fodor). Mentaaliset representaatiot ovat jotain kielen tapaista(niillä on
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotIlpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2
uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Monimutkaiset ongelmat. Monimutkaiset ongelmat
Luento 2. Kieli merkitys ja logiikka 2: Helpot ja monimutkaiset Helpot ja monimutkaiset ongelmat Tehtävä: etsi säkillinen rahaa talosta, jossa on monta huonetta. Ratkaisu: täydellinen haku käy huoneet
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi
Luovuus ja assosiationismi Kieli merkitys ja logiikka 4: Luovuus, assosiationismi Käsittelemme ensin assosiationismin kokonaan, sen jälkeen siirrymme kombinatoriseen luovuuteen ja konstituenttimalleihin
LisätiedotTieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 2/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Viisauden sanoja Aristoteleelta Aristoteles (De int. 1.): Ääneen puhutut sanat ovat sielullisten vaikutusten symboleja
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
Lisätiedot3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. Johdanto. Kurssin sisältö. Luento 1: Johdanto. Kirjasta. Kieli, merkitys ja logiikka, HY, kevät Saara Huhmarniemi 1
Kurssin sisältö Kieli merkitys ja logiikka Johdanto Biolingvistiikka: universaalikieliopin näkökulma kieleen ja kielen omaksumiseen Pauli Brattico, Biolingvistiikka. Luvut 1-6 ja luvusta 10 ja 11 osia.
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Lisätiedot8. Kieliopit ja kielet
8. Kieliopit ja kielet Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotTietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15
Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Tieto kielestä Kieli merkitys ja logiikka! Kielen biologinen olemus! Kielen kulttuurinen olemus! Kielen normatiivinen olemus Luento 2! Kognitiotieteen tutkimuskohteena on kielen biologinen olemus: " Kielen
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
LisätiedotDiskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Assosiaatiot, konstituentit Kieli merkitys ja logiikka Luento 5: Assosiaatiot, konstituentit Luento 5 125-134,, Konstituentit 104-107, Turingin kone Huom! Lukua 5.2, Assosiationismin teoriaa, ja siihen
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Luento 10 Kieli merkitys ja logiikka Predikaattilogiikka Kielen oppimisen ongelma Ärsykkeen heikkous Luento 10: Kielen oppimisen ongelma Merge Merge Kombinatorinen luovuus: symboleita yhdistelemällä voidaan
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Kielentutkimuksen eri osa-alueet Kieli merkitys ja logiikka Luento 3 Fonetiikka äänteiden (fysikaalinen) tutkimus Fonologia kielen äännejärjestelmän tutkimus Morfologia sananmuodostus, sanojen rakenne,
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa
LisätiedotFILOSOFIAN KUOHUVAT VUODET KATSAUS 1900-LUVUN ALUN FILOSOFIAAN SIRKKU IKONEN
FILOSOFIAN KUOHUVAT VUODET KATSAUS 1900-LUVUN ALUN FILOSOFIAAN SIRKKU IKONEN 27.10. Miten tietoisuus rakentuu? Husserlin fenomenologiaa 3.11. Elämänfilosofian nousu ja tuho 10.11. Mitä on inhimillinen
LisätiedotT Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Äärellinen automaatti Kieli merkitys ja logiikka Luento 4: Assosiaatiot, konstituentit Edellä esitetty assosiationistinen malli kielelle on esimerkki äärellisten tilojen automaatista (finite states automaton)
LisätiedotPROPOSITIOLOGIIKAN RIITTÄMÄTTÖMYYS
67 PROPOSITIOLOGIIKAN RIITTÄMÄTTÖMYYS Jo äärimmäisen yksinkertaisessa peliesimerkissämme propositiologiikan ilmaisuvoima osoittautuu riittämättömäksi Tietämyskannan alustamiseksi pelin säännöillä meidän
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotT Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut
T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun
LisätiedotRuma merkitys. Tommi Nieminen. XLII Kielitieteen päivät. Kielitieteen epäilyttävin välttämätön käsite. tommi.nieminen@uef.fi. Itä-Suomen yliopisto ...
Ruma merkitys Kielitieteen epäilyttävin välttämätön käsite Tommi Nieminen tomminieminen@ueffi Itä-Suomen yliopisto XLII Kielitieteen päivät 21 23 toukokuuta 2015, Vaasa Merkitys, subst lingvistisen merkityksen
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Lisätiedot5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
LisätiedotTodistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
Lisätiedot3. Semantiikka ja pragmatiikka
3. Semantiikka ja pragmatiikka 3.1 Merkitsemisen eri "tavat Lokakuu ja talvi tulivat taas yhdessä! Onko ilmauksen (?) merkitys sanoilla? (ehkä morfeemeilla?) lauseella? teolla? 1 Merkitys ja konteksti
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotChalmers, semantiikka ja välttämättömyys
Ilmestynyt teoksessa: Niiniluoto, Tuomas & Toppinen (toim.) Mahdollisuus, 2016. Chalmers, semantiikka ja välttämättömyys Panu Raatikainen Tampereen yliopisto Kielifilosofiassa on 2000-luvulla saanut paljon
LisätiedotKäyttöliittymä. Ihmisen ja tuotteen välinen rajapinta. ei rajoitu pelkästään tietokoneisiin
Käyttöliittymä Ihmisen ja tuotteen välinen rajapinta ei rajoitu pelkästään tietokoneisiin Tasot: 1. Teknis-fysiologis-ergonimen 2. Käsitteellis-havainnoillinen 3. Toiminnallis-kontekstuaalinen, käyttötilanne
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016 VII Logiikkaohjelmointi Sisältö 1. Johdanto 2. Predikaattilogiikan käsitteistöä 3. Prolog 815338A Ohjelmointikielten periaatteet, Logiikkaohjelmointi 2
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotLausekkeiden rakenteesta (osa 2) & omistusliitteistä
Lausekkeiden rakenteesta (osa 2) & omistusliitteistä Adjektiivi- ja adverbilausekkeet AP ja AdvP: paljon yhteistä monet AP:t voi jopa suoraan muuttaa AdvP:ksi -sti-johtimella: Ihan mahdottoman kaunis Ihan
LisätiedotRekursiiviset tyypit
Rekursiiviset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. helmikuuta 2007 Hiloista Kiintopisteet (Ko)rekursio Rekursiiviset
LisätiedotOpintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotItseorganisoituvat hermoverkot: Viitekehys mielen ja kielen, aivokuoren ja käsitteiden tarkasteluun
Itseorganisoituvat hermoverkot: Viitekehys mielen ja kielen, aivokuoren ja käsitteiden tarkasteluun Timo Honkela Kognitiivisten järjestelmien tutkimusryhmä Adaptiivisen informatiikan tutkimuskeskus Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotFORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus
FORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): Formaali kieli: aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus esim. SSM:n tai EBNF:n avulla Semantiikka:
LisätiedotFakta- ja näytenäkökulmat. Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto
Fakta- ja näytenäkökulmat Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Mikä on faktanäkökulma? sosiaalitutkimuksen historia: väestötilastot, kuolleisuus- ja syntyvyystaulut. Myöhemmin kysyttiin ihmisiltä tietoa
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotKielellisten merkitysten tilastollinen ja psykologinen luonne: Kognitiivisia ja filosofisia näkökulmia. Timo Honkela.
Kielellisten merkitysten tilastollinen ja psykologinen luonne: Kognitiivisia ja filosofisia näkökulmia Timo Honkela timo.honkela@helsinki.fi Helsingin yliopisto 29.3.2017 Merkityksen teoriasta Minkälaisista
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka
Lause Kieli merkitys ja logiikka Asiakas tilaa ruuan. Luento 6 Asiakas on [tilannut juoman ennen ateriaa]. Aikamuoto Aikamuoto! Suomessa aikamudolla (T, tempus) on kaksi erillistä verbimuotoa, preesens
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
LisätiedotLuonnolliset vs. muodolliset kielet
Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma
LisätiedotPropositioista. Lause ja propositio. Sisältö/merkitys. väite, väittämä arvostelma propositio ajatus. lause merkkijonona
Propositioista Tutkittaessa argumenttien ja päätelmien pätevyyttä ja selvitettäessä ajatusten sekä käsitteiden merkityksiä on argumentit, ajatukset ja käsitteet yleensä ilmaistava kielellisesti. Semantiikassa
LisätiedotMatematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010
Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotTieteenfilosofia 1/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 1/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Tästä kurssista Molempina päivinä ohjelma on rakenteeltaan samanlainen: 1. luento-osio 9:15 10:40 keskusteluosio
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotEsimerkkimodaalilogiikkoja
/ Kevät 2005 ML-4 1 Esimerkkimodaalilogiikkoja / Kevät 2005 ML-4 3 Käsitellään esimerkkeinä kehyslogiikkoja Valitaan joukko L kehyksiä S, R (tyypillisesti antamalla relaatiolle R jokin ominaisuus; esim.
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Tieto kielestä. Tieto kielestä. Kieli, merkitys ja logiikka, HY, kevät 2010
Luento 2. Kieli merkitys ja logiikka 2: Helpot ja monimutkaiset Helpot ja monimutkaiset ongelmat Kielen oppimisen ongelma Kieltä koskeva tietomme on "hiljaista" tietoa (Tacit Knowledge). Voimme arvioida
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotJohdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
Lisätiedot