Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E"

Transkriptio

1 Kant Arvostelmia Informaatioajan Filosofian kurssin essee Otto Opiskelija 65041E

2 David Humen radikaalit näkemykset kausaaliudesta ja siitä johdetut ajatukset metafysiikan olemuksesta (tai pikemminkin olemattomuudesta) saivat Kantin varpailleen. Vaikka hän samaistuikin Humen kritiikkiin syyn ja seurauksen yhteenliittämisestä empirisin keinoin, näki hän että Hume oli jättänyt asian tarkastelun puolitiehen ja turvautunut pakokeinona skeptisismiin. Siinä missä Hume halusi lopettaa koko metafysiikan, Kant halusi osoittaa että metafysiikalla on edellytykset toimia validina tieteenä. Kant lähti rajaamaan metafysiikkaa sen lähteistä, painottaen että puhtaan metafyysistä tietoa ei saa koskaan johtaa kokemuksesta. Metafysiikan pohjana on tieto a priori, eli puhtaasta ymmärryksestä ja puhtaasta järjestä lähtevä tieto joka on tietoa ennen kokemusta. Tämän lisäksi metafyysisen tiedon tulee sisältää ainoastaan a priorisia arvostelmia, sillä kokemukseen pohjautuvien arvostelmien teko a priorisesta tiedosta johtaa johtopäätöksiin a posteriori, mikä taas on tietoa empiirisestä maailmasta. Nämä arvostelmat, riippumatta niiden alkuperästä tai loogisesta muodosta, Kant jakoi analyyttisiin ja synteettisiin arvostelmiin sen perusteella miten ne eroavat lopputulemansa suhteen. Analyyttiset, selvittävät arvostelmat eivät lisää mitään tiedon sisältöön. Esimerkiksi lauseessa Kaikki kappaleet ovat ulottuvaisia kappaleen käsite pitää jo sisällään tiedon siitä että se on ulottuvainen, eikä se lisää mitään kappaleen käsitteeseen. Sen sijaan synteettiset arvostelmat ovat luonteeltaan laajentavia, ja esimerkiksi lause Jotkut kappaleet ovat raskaita sisältää predikaatissa raskaita tietoa joka ei jo valmiiksi sisälly kappaleen käsitteeseen. Tämän lisäksi Kant esittää, että kaikki analyyttiset lauseet ovat luonteeltaan tietoa a priori huolimatta siitä olivatko niiden aineksen tarjoavat käsitteet empiirisiä tai eivät. Koska analyyttisen arvostelman määritelmässä edellä todettiin että arvostelman predikaatti on aina etukäteen ajateltu subjektin käsitteessä (esim. ulottuvaisuus sisältyy kappaleen käsitteeseen), niin analyyttinen lause joka sisältäisi muuta kokemusta kuin siihen sisältyvät käsitteet joutuisi ristiriitaan. Esimerkkinä tästä lause Taivas on sininen on analyyttinen lause a priori vaikka sen käsitteet ovat empiirisiä, sillä omatakseen tämän tiedon tarvitsee vain sellaisen käsitteen taivaasta johon sisältyy että se on sininen. Lause vain purkaa tämän käsitteen osiinsa, eikä sen ulkopuolista kokemusta tarvitse huomioida. Synteettisten arvostelmien Kant näkee vaativan ristiriidan periaatteen lisäksi muuta tukea. Hän toteaa: *Synteettisille arvostelmille a priori ja a posteriori+ on kuitenkin yhteistä, etteivät ne milloinkaan voi syntyä pelkästään analyysin perusperiaatteen eli ristiriidan lain pohjalta; ne vaativat vielä aivan toistakin prinsiippiä, vaikka ne onkin aina johdettava perusperiaattesta oli se mikä tahansa ristiriidan lakia noudattaen. (Prolegomena, s.54)

3 Kokemusarvostelmien eli arvostelmien a posteriori Kant toteaa olevan aina synteettisiä. Hänen mukaansa olisi järjetöntä perustaa analyyttinen arvostelma kokemukselle koska siihen ei ristiriidan lain vuoksi tarvita mitään kokemuksen antamaa todistusta. Kuten edellä osoitettiin, kaikki analyyttisen arvostelman edellytykset sisältyvät siinä tutkittavaan käsitteeseen josta sitten vain poimitaan predikaatti ristiriidan lain mukaisesti. Analyyttisten arvostelmien voisikin ajatella toimivan käsitteiden rakennuspalikoina, eikä yhden palasen osoittamiseen rakennelmasta tarvita mitään ulkopuolista. Mielenkiintoisin, ja samalla Kantin näkökulmasta olennaisin arvostelmien joukko ovat synteettiset arvostelmat a priori. Ainoastaan näiden avulla voidaan paljastaa uutta tietoa joka on universaalisti ja kokemuksesta riippumatta välttämättä totta. Toisin kuin edeltäjänsä, Kant näki että a prioriset synteettiset lauseet eivät ainoastaan ole mahdollisia, vaan että ne muodostavat pohjan suurelle osalle nykytieteistä. Hän otaksui että aritmetiikka ja geometria käyttävät tämänkaltaisia arvostelmia ja että luonnontieteet tukeutuvat niiden voimaan selittää ja ennakoida ilmiöitä. Tästä johtuen myös metafysiikan jos sitä edes on olemassa tulisi tukeutua näihin väittämiin voidakseen tuottaa uskottavaa tieteellistä tietoa. Juuri tässä johtopäätöksessä Kant poikkeaa Humen viitoittamalta tieltä Humen mukaan puhdas matematiikka sisältää ainoastaan analyyttisiä väittämiä ja metafysiikka taas synteettisiä a priori (Prolegomena, s.62). Kantin näkökulma on, että meidän ei tarvitse erikseen todistaa a priorisen synteettisen tiedon olemassaoloa, sillä puhtaassa matematiikassa ja puhtaassa luonnontieteessä esitetään sellaisia väittämiä jotka ovat ehdottoman varmoja pelkän järjen käytön pohjalta. Ei siis pidä kysyä onko olemassa synteettistä tietoa a priori, vaan pikemminkin miten se on mahdollista. Kant kutsuu tätä transsendentaaliseksi pääkysymykseksi ja jakaa sen neljään osaan: 1. Miten puhdas matematiikka on mahdollista? 2. Miten puhdas luonnontiede on mahdollista? 3. Miten metafysiikka ylipäätään on mahdollista? 4. Miten metafysiikka tieteenä on mahdollista? Matemaattisten arvostelmien Kant toteaa olevan aina synteettisiä arvostelmia a priori, sillä puhtaan matematiikan käsitteeseen sisältyy että se ei sisällä empiiristä tietoa. Sen, miksi matemaattiset arvostelmat ovat synteettisiä eivätkä analyyttisiä, hän todistaa sillä että aritmeettisessa lauseessa tekijöiden analyysi ei voi mitenkään johtaa lopputulokseen. Voit analysoida lausetta = 12 eli viiden ja seitsemän yhdistämistä loputtomiin, ja huomata että näiden käsitteiden yhdistäminen ei ota

4 mitenkään kantaa siihen mikä olisi lopputuleman käsite eli 12. Viiden ja seitsemän yhdistelmä käsitteenä ei siis sisällä kahdentoista käsitettä samalla tavalla kuin kappaleen käsite ei aiemmassa esimerkissä sisältänyt tietoa siitä että se on raskas. Lauseen on siis oltava synteettinen. Puhtaan matematiikan luonteen tutkinnassa vastaan tulee kuitenkin ongelma, sillä kuinka voidaan ylipäätänsä havannoida mitään a priori? Kantin ratkaisu tähän on, että emme voikaan tiedostaa olioita sinänsä vaan ainoastaan ilmentymiä niistä. Platonin ideaoppi nostaa päätään, ja Kant jatkaakin että ainoat ilmentymät tai ilmiöt mitä voimme olioista saada ovat sellaisia jotka aistimme sallivat. Mutta eikö tämä tarkoita että emme voi saada olioista a priorista tietoa? Kant väittää että voimme havainnoida olioita a priori aistimellisen havainnoinnin muodon kuten esimerkiksi ajan tai avaruuden kautta. Kantin mukaan geometrian perustana onkin avaruuden puhdas havainnointi, ja aritmetiikka taas tuottaa lukukäsitteensä lisäämällä perättäisesti yksikköjä toisiinsa ajassa....sillä kun jättää kappaleiden ja niiden muutosten (liikkeen) empiirisistä havainnoinneista pois kaiken empiirisen, nimittäin aistimukseen kuuluvan, jäävät avaruus ja aika vielä jäljelle. Ne ovat siis puhtaita havainnointeja, jotka ovat näiden empiiristen havaintojen pohjana a priori, eikä niitä näin ollen koskaan voi jättää pois. (Prolegomena, s. 79) Tähän asti Kantin ajatuksia on lueskellut nöyrän hiljaisesti teoriat ovat olleet niin johdonmukaisia ja mutkattomia että niihin on ollut vaikea ottaa kantaa, mutta nyt ensimmäistä kertaa kirjaa lukiessaan todella sisäistää että teksti on toista sataa vuotta vanhaa. Ajan ja avaruuden erottaminen empiriasta suorastaan uhkuu tuolloin moderneja Newtonilaisia näkemyksiä luonnontieteistä. Vaikka Kant itse asettuukin rationalistien ja empiristien välimaastoon toteamalla, että aika ja avaruus ovat absoluuttisia mutta että niitä ei yksilöiden näkökulmasta voida pitää abstrakteina tai yleisiä käsitteinä, vaan pikemminkin aistimaailman formaalisina periaatteina (Prolegomena, s. 10), ovat hänen ajatuksensa silti hieman ristiriidassa modernin fysiikan kanssa, jossa sekä aika että avaruus ovat suhteellisia ja siten empirian alaisia. Vaikka Kant korostaakin subjektin aktiivisuutta tiedostusprosessissa hänen mielestään ajan ja avaruuden ideat eivät ole mitään objektiivista tai reaalista, vaan subjektiivisia mutta ihmistajunnan luonteen vuoksi välttämättömiä aistihavaintojen järjestämisen tapoja asettaa hän ne silti absoluuttisiksi (kts. esim. sitaatti yllä), kun taas esimerkiksi Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan aika on aina riippuvainen havaitsijasta. Tällöin aika ei voi toimia empiiristen havaintojen pohjana kuten klassisessa fysiikassa, ja kuten Kantin systeemi edellyttää.

5 Vaikka Einsteinin teoriat ottaisikin totuutena, tämä ristiriita on siltikin vain pieni kauneusvirhe muuten niin loistokkaassa ajatteluketjussa. Ristiriitahan vain osoittaa, että Kantin vastaus kysymykseen Miten puhdas matematiikka on mahdollista? on väärin, ja metafysiikan juurien etsintä voi jatkua. Matematiikkahan kuitenkin toimii syystä tai toisesta, ja Kantin todistukset matematiikan a priorisesta luonteesta ja synteettisyydestä ovat mielestäni uskottavia. Tällöin voimme edelleen sivuuttaa kysymykset a priorisen synteettisen tiedon olemassaolosta ja kysyä edelleen miten sen olemassaolo on mahdollista, ja onko sen avulla mahdollista luoda pohja metafysiikalle tieteenä.

Aika empiirisenä käsitteenä. FT Matias Slavov Filosofian yliopistonopettaja Jyväskylän yliopisto

Aika empiirisenä käsitteenä. FT Matias Slavov Filosofian yliopistonopettaja Jyväskylän yliopisto Aika empiirisenä käsitteenä FT Matias Slavov Filosofian yliopistonopettaja Jyväskylän yliopisto Luonnonfilosofian seuran kokous 7.3.2017 Esitelmän kysymys ja tavoite: Pääkysymys: Onko aika empiirinen käsite?

Lisätiedot

OLIOT SINÄNSÄ. Olioiden sinänsä tulkintaa Immanuel Kantin tietoteoriassa

OLIOT SINÄNSÄ. Olioiden sinänsä tulkintaa Immanuel Kantin tietoteoriassa OLIOT SINÄNSÄ Olioiden sinänsä tulkintaa Immanuel Kantin tietoteoriassa Olli Koskela Pro gradu-tutkielma Filosofia/Yhteiskuntatieteiden maisteri Yhteiskuntatieteiden ja filosofian tiedekunta Jyväskylän

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail.

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Author(s): Jakonen, Mikko Title: Kantin ensimmäinen filosofia Year:

Lisätiedot

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

o Tutkii olevaisen olemusta, todellisuuden yleisimpiä periaatteita, rakennetta ja luonnetta.

o Tutkii olevaisen olemusta, todellisuuden yleisimpiä periaatteita, rakennetta ja luonnetta. YK10 FILOSOFIAN LUENNOT, osa 2. 4. METAFYSIIKKA o Metafysiikka (kr. meta ta fysika) o Ensimmäinen filosofia, "oppi olevasta olevana" (Aristoteles) o Tutkii olevaisen olemusta, todellisuuden yleisimpiä

Lisätiedot

Luentorunko Järki aisoihin. Empirismi. Piispa George Berkeley. Empirismi, ideat ja järki. Rationalismin kritiikki

Luentorunko Järki aisoihin. Empirismi. Piispa George Berkeley. Empirismi, ideat ja järki. Rationalismin kritiikki Luentorunko 6.11.2007 1. Tietoteoria jatkuu..empirismi 2. Kant 3. Tietoteorian haaste metafysiikalle 4. Ontologian oikeutus 5. Muoto, sisältö ja kategoriat Yksilöoliot ja ominaisuudet (13.11.2007) Järki

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija

Lisätiedot

Teoksen ilmestymistä keväällä

Teoksen ilmestymistä keväällä Jussi Kotkavirta kan t in pro leg o men a el i vaikeus po pul ariso id a fil o so fiaa Teoksessa Prolegomena eli johdatus mihin tahansa metafysiikkaan, joka vastaisuudessa voi käydä tieteestä (suom. Gaudeamus

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

TIETOINEN HAVAINTO, TIETOINEN HAVAINNOINTI JA TULKINTA SEKÄ HAVAINNOLLISTAMINEN

TIETOINEN HAVAINTO, TIETOINEN HAVAINNOINTI JA TULKINTA SEKÄ HAVAINNOLLISTAMINEN TIETOINEN HAVAINTO, TIETOINEN HAVAINNOINTI JA TULKINTA SEKÄ HAVAINNOLLISTAMINEN Hanna Vilkka Mikä on havainto? - merkki (sana, lause, ajatus, ominaisuus, toiminta, teko, suhde) + sen merkitys (huom. myös

Lisätiedot

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8

Lisätiedot

MATEMAATIKON KAKSI VAPAUTTA. Säännön seuraamisen ongelma ja vahva konventionalismi matematiikan filosofiassa

MATEMAATIKON KAKSI VAPAUTTA. Säännön seuraamisen ongelma ja vahva konventionalismi matematiikan filosofiassa MATEMAATIKON KAKSI VAPAUTTA Säännön seuraamisen ongelma ja vahva konventionalismi matematiikan filosofiassa Antti Heikinheimo Pro gradu - tutkielma Filosofia Yhteiskuntatieteiden ja filosofian laitos Jyväskylän

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Vastaesimerkki. Luentorunko Perusteltuus. Rationalismi. Menetelmällinen epäily. Tarkkaamattomuussokeus ja muutossokeus

Vastaesimerkki. Luentorunko Perusteltuus. Rationalismi. Menetelmällinen epäily. Tarkkaamattomuussokeus ja muutossokeus Luentorunko 25.3.2009 1. Tietoteoria jatkuu..empirismi 2. Kant 3. Tietoteorian haaste metafysiikalle 4. Ontologian oikeutus 5. Muoto, sisältö ja kategoriat Yksilöoliot ja ominaisuudet (2.4.2009) Vastaesimerkki

Lisätiedot

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi 1 Eri näkökulmia A Matematiikka välineenä B Matematiikka formaalina järjestelmänä C Matematiikka kulttuurina Matemaattinen ajattelu ja matematiikan

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä (ks. esim. http://www.kotiposti.net/ajnieminen/sutek.pdf). 1. a) Suppeamman suhteellisuusteorian perusolettamukset (Einsteinin suppeampi suhteellisuusteoria

Lisätiedot

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä

Lisätiedot

Luento 10. Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987

Luento 10. Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987 Luento 10 Neljä moraalia määrittävää piirrettä & Moraaliteorioiden arvioinnin standardit & Analyyttisen etiikan peruskysymykset Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987 Kun

Lisätiedot

Luento-osuusosuus. tilasto-ohjelmistoaohjelmistoa

Luento-osuusosuus. tilasto-ohjelmistoaohjelmistoa Kurssin suorittaminen Kvantitatiiviset menetelmät Sami Fredriksson/Hanna Wass Yleisen valtio-oppi oppi Kevät 2010 Luento-osuusosuus Tentti to 4.3. klo 10-12, 12, U40 P674 Uusintamahdollisuus laitoksen

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia Sisällysluettelo Alkusanat 11 A lbert E insteinin kirjoituksia Erityisestä ja yleisestä su hteellisuusteoriasta Alkusanat 21 I Erityisestä suhteellisuusteoriasta 23 1 Geometristen lauseiden fysikaalinen

Lisätiedot

Olemisen mieli. Luentorunko Mitä tarkoittaa oleminen? Mitä tarkoittaa oleminen? Mitä tarkoittaa oleminen? Olla-verbin merkitykset

Olemisen mieli. Luentorunko Mitä tarkoittaa oleminen? Mitä tarkoittaa oleminen? Mitä tarkoittaa oleminen? Olla-verbin merkitykset Luentorunko 13.11.2007 1. Olemisen mieli 2. Olevan kategoriat 3. Yksilöoliot ja ominaisuudet 4. Yleinen-yksityinen vs abstrakti-konkreettinen 5. Universalia-kiista 6. Realismi 7. Realismin muodot 8. Realismin

Lisätiedot

Pauli Tikka, 20.8.2014 Filosofia- ja tiede- sekä psykologiakäsitteistöä

Pauli Tikka, 20.8.2014 Filosofia- ja tiede- sekä psykologiakäsitteistöä Pauli Tikka, 20.8.2014 Filosofia- ja tiede- sekä psykologiakäsitteistöä Termin nimi Kausaalisuus A posteriori A priori Absoluutti Agentti Analyysi Analyyttinen filosofia Analyyttinen väite Antropomorfismi

Lisätiedot

Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen

Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen Eeva Willberg Pro seminaari ja kandidaatin opinnäytetyö 26.1.09 Tutkimuksen teoreettinen viitekehys Tarkoittaa tutkimusilmiöön keskeisesti liittyvän tutkimuksen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit, kevät 2014

Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Peter Hästö 12. maaliskuuta 2014 Matemaattisten tieteiden laitos Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen

Lisätiedot

Mitä on Filosofia? Informaatioverkostojen koulutusohjelman filosofiankurssin ensimmäinen luento

Mitä on Filosofia? Informaatioverkostojen koulutusohjelman filosofiankurssin ensimmäinen luento Mitä on Filosofia? Informaatioverkostojen koulutusohjelman filosofiankurssin ensimmäinen luento Filosofian kurssi 2008 Tavoitteet Havaita filosofian läsnäolo arjessa Haastaa nykyinen maailmankuva Saada

Lisätiedot

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt Antti Rasila 2016 Vektorit Pysty- eli sarakevektori v = ( v1 v 2 missä v 1, v 2 ovat v:n komponentit. ), Matriisilaskenta 2/6 Vektorit

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Mitä on moderni fysiikka?

Mitä on moderni fysiikka? F2k-laboratorio Fysiikka 2000 luvulle Toiminnassa vuodesta 2011 Modernin fysiikan töitä pääasiassa lukiolaisille opettajan ja ohjaajan opastuksella Noin 40 ryhmää/vuosi Myös opeopiskelijoiden koulutusta

Lisätiedot

Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin

Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin Johdanto Opetussuunnitelman avaamiseen antavat hyviä, perusteltuja ja selkeitä ohjeita Pasi Silander ja Hanne Koli teoksessaan Verkko-opetuksen työkalupakki oppimisaihioista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi

Kieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi Luovuus ja assosiationismi Kieli merkitys ja logiikka 4: Luovuus, assosiationismi Käsittelemme ensin assosiationismin kokonaan, sen jälkeen siirrymme kombinatoriseen luovuuteen ja konstituenttimalleihin

Lisätiedot

TYÖPAIKKAHAASTATTELUUN VALMISTAUTUMINEN, HAKEMUS JA CV

TYÖPAIKKAHAASTATTELUUN VALMISTAUTUMINEN, HAKEMUS JA CV TYÖPAIKKAHAASTATTELUUN VALMISTAUTUMINEN, HAKEMUS JA CV TAVOITTEET Annetaan tietoa ja valmiuksia työnhakuun liittyvistä taidoista ja menetelmistä, mukaan lukien simuloitu työhaastattelu. Työnhakuun liittyvien

Lisätiedot

ESIPUHE... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. JOHDANTO... 6

ESIPUHE... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. JOHDANTO... 6 Sisällysluettelo ESIPUHE... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. JOHDANTO... 6 2. LAADULLISEN TUTKIMUKSEN KÄSITTEITÄ... 9 1.1 TUTKIMUKSEN TEKEMISEN TAUSTAFILOSOFIAT... 10 1.2 LAADULLINEN TUTKIMUS VS. MÄÄRÄLLINEN

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Ruoveden Yhteiskoulun lukion kirjalista 2014-2015

Ruoveden Yhteiskoulun lukion kirjalista 2014-2015 Äidinkieli ÄI1 ÄI2 ÄI3 ÄI4 ÄI5 ÄI6 ÄI7 ÄI8 ÄI9 Ruoveden Yhteiskoulun lukion kirjalista Aine Oppikirja Kustantaja Särmä suomen kieli ja kirjallisuus (sähköinen oppikirja) Särmä Tehtäviä 1 (sähköinen) Särmä

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

Laadullisen tutkimuksen piirteitä

Laadullisen tutkimuksen piirteitä Laadullisen aineiston luotettavuus Kasvatustieteiden laitos/ Erityispedagogiikan yksikkö Eeva Willberg 16.2.09 Laadullisen tutkimuksen piirteitä Laadullisessa tutkimuksessa tutkitaan ihmisten elämää, tarinoita,

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Laadullinen tutkimus. KTT Riku Oksman

Laadullinen tutkimus. KTT Riku Oksman Laadullinen tutkimus KTT Riku Oksman Kurssin tavoitteet oppia ymmärtämään laadullisen tutkimuksen yleisluonnetta oppia soveltamaan keskeisimpiä laadullisia aineiston hankinnan ja analysoinnin menetelmiä

Lisätiedot

Aineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto

Aineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Aineen olemuksesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Miten käsitys aineen perimmäisestä rakenteesta on kehittynyt aikojen kuluessa? Mitä ajattelemme siitä nyt? Atomistit Loogisen päättelyn

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Julkisuudessa keskustellaan melko vilkkaasti modernin. Mistä fysiikan filosofiassa on kyse? I. A. KIESEPPÄ

Julkisuudessa keskustellaan melko vilkkaasti modernin. Mistä fysiikan filosofiassa on kyse? I. A. KIESEPPÄ I. A. KIESEPPÄ Mistä fysiikan filosofiassa on kyse? Vaikeudet, joita zen-buddhalaisuuteen perehdyttäessä kohdataan, on joskus kiteytetty toteamukseksi, jonka mukaan ne, jotka tietävät, eivät puhu; ja ne,

Lisätiedot

PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2013-2014

PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2013-2014 PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2013-2014 Biologia BIOS 1: Eliömaailma OPS 05 1 13.2.2009 BIOS 2: Solu ja perinnöllisyys OPS 05 2 13.2.2009 BIOS 3: Ympäristöekologia OPS 05 3 26.5.2004 BIOS 4: Ihmisen biologia

Lisätiedot

Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26

Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Symmetriaryhmät ja niiden esitykset Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Osa I: Symmetriaryhmät Symmetriaryhmät, 10.1.2013 2/26 Peilisymmetria Symmetriaryhmät, 10.1.2013 3/26 Kiertosymmetria Symmetriaryhmät,

Lisätiedot

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina Paavo Kyyrönen & Janne Raassina 1. Johdanto 2. Historia 3. David Deutsch 4. Kvanttilaskenta ja superpositio 5. Ongelmat 6. Tutkimus 7. Esimerkkejä käyttökohteista 8. Mistä näitä saa? 9. Potentiaali 10.

Lisätiedot

Tiede ja usko KIRKKO JA KAUPUNKI 27.2.1980

Tiede ja usko KIRKKO JA KAUPUNKI 27.2.1980 Tiede ja usko Jokaisen kristityn samoin kuin jokaisen tiedemiehenkin velvollisuus on katsoa totuuteen ja pysyä siinä, julistaa professori Kaarle Kurki-Suonio. Tieteen ja uskon rajankäynti on ollut kahden

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2015-2016

PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2015-2016 PIETARSAAREN LUKION OPPIKIRJAT 2015-2016 1 BIOLOGIA Kirjan Käyttöönottovuosi 978-952-63-1349-8 BIOS 1: Eliömaailma 1 13.02.2009 978-952-63-1350-4 BIOS 2: Solu ja perinnöllisyys 2 13.02.2009 978-952-63-1068-8

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Arvot ja toiminnan identiteetti / luonne. Michael Rossing, kehittämis- ja viestintäpäällikkö 14.9.2015

Arvot ja toiminnan identiteetti / luonne. Michael Rossing, kehittämis- ja viestintäpäällikkö 14.9.2015 Arvot ja toiminnan identiteetti / luonne Michael Rossing, kehittämis- ja viestintäpäällikkö 14.9.2015 Arvoprosessin selkäranka? Arvoprosessi on perinteisesti ennen kaikkea prosessi! Prosessilla on oltava

Lisätiedot

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely)

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Ohjaaja: TkT Aki Vehtari Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Kandidaattiseminaari 21 1.11.21 Esityksen rakenne Tausta Derivaattahavaintojen

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

luvun teologiaa

luvun teologiaa 6. 1300-1400 luvun teologiaa 1500-l alussa: via antiqua / via moderna yliopistofilosofian ja -teologian keskeinen koulukuntajako eroja: auktoriteetit via antiqualla: Albert + albertistit tai Akvinolainen

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

MIKSI JUMALASTA ON VAIKEA PUHUA? Uskonnonfilosofinen tutkielma Jumalan käsittämisestä. Marlon Moilanen. Ressun lukio. Filosofia

MIKSI JUMALASTA ON VAIKEA PUHUA? Uskonnonfilosofinen tutkielma Jumalan käsittämisestä. Marlon Moilanen. Ressun lukio. Filosofia MIKSI JUMALASTA ON VAIKEA PUHUA? Uskonnonfilosofinen tutkielma Jumalan käsittämisestä Marlon Moilanen Ressun lukio Filosofia Tiivistelmä Tutkimuksen aiheeksi on valittu Jumalan käsitteen ja erityisesti

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Matematiikka ja tilastotiede. Orientoivat opinnot /

Matematiikka ja tilastotiede. Orientoivat opinnot / Matematiikka ja tilastotiede Orientoivat opinnot / 27.8.2013 Tutkinnot Kaksi erillistä ja peräkkäistä tutkintoa: LuK + FM Laajuudet 180 op + 120 op = 300 op Ohjeellinen suoritusaika 3 v + 2 v = 5 v Tutkinnot

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

SUUNTA. tueksi. kirjoittamaasi kriittisesti. Näin syntyy looginen suhde kunkin suunnitelman osan välille. Suunta

SUUNTA. tueksi. kirjoittamaasi kriittisesti. Näin syntyy looginen suhde kunkin suunnitelman osan välille. Suunta SUUNTA työkalu toiminnan suunnittelun u ja suunnitelman arvioinnin tueksi Tämä on SUUNTA-työkalun käyttöön opastava diaesitys Mikäli haluat, voit täyttää tähän pohjaan oman suunnitelmasi ja tallentaa esityksen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat

Lisätiedot

YRJÖ REENPÄÄ JA PSYKOFYYSINEN ONGELMA

YRJÖ REENPÄÄ JA PSYKOFYYSINEN ONGELMA YRJÖ REENPÄÄ JA PSYKOFYYSINEN ONGELMA Pentti Alanen KUKA OLI YRJÖ REENPÄÄ Syntyi 18.7.1894, kuoli 18.12.1976 Fysiologian professori 1927-1962 HY Aistinfysiologian tutkija, filosofi Fenomenologiaan nojautuva

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Paljonko maksat eurosta -peli

Paljonko maksat eurosta -peli Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 3/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Keskeisiä peruskäsitteitä Päättely on sellaista ajattelutoimintaa, joka etenee premisseistä eli oletuksista johtopäätökseen

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

HAVAINTO, TIEDONINTRESSI, PÄÄTTELY, HAVAINNOLLISTAMINEN JA DIALOGINEN KIRJOITTAMINEN MIKÄ ON HAVAINTO?

HAVAINTO, TIEDONINTRESSI, PÄÄTTELY, HAVAINNOLLISTAMINEN JA DIALOGINEN KIRJOITTAMINEN MIKÄ ON HAVAINTO? HAVAINTO, TIEDONINTRESSI, PÄÄTTELY, HAVAINNOLLISTAMINEN JA DIALOGINEN KIRJOITTAMINEN Lähteet: Vilkka 2006, Tutki ja havainnoi. Helsinki: Tammi. Polanyi, 2002. Personal Knowledge. Towards a Postcritical

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

FILOSOFIA JA USKONTO LÄNSIMAINEN NÄKÖKULMA USKONTOON. Thursday, February 19, 15

FILOSOFIA JA USKONTO LÄNSIMAINEN NÄKÖKULMA USKONTOON. Thursday, February 19, 15 FILOSOFIA JA USKONTO LÄNSIMAINEN NÄKÖKULMA USKONTOON USKONNONFILOSOFIA HY USKONNONFILOSOFIAA OPISKELLAAN JA TUTKITAAN SEURAAVISSA TIETEISSÄ: TEOLOGINEN TIEDEKUNTA (KRISTILLINEN PUOLI) TEOREETTINEN FILOSOFIA

Lisätiedot