TÄYDELLISEN KILPAILUN MARKKINATILANTEISTA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TÄYDELLISEN KILPAILUN MARKKINATILANTEISTA"

Transkriptio

1 TÄYDELLISEN KILPAILUN MARKKINATILANTEISTA Matti Estola 25. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Joustot Kysynnän hintajousto Kysynnän hintajouston sovellutuksia Kysynnän ristijousto Kysynnän tulojousto Tarjonnan hintajoustavuus Kysyntä, tarjonta ja markkinamekanismi Markkinatasapainon määräytyminen Kysyntärelaation sijaintiin vaikuttavat tekijät Kysyntärelaation siirtymiset Tarjontarelaation muotoon ja sijaintiin vaikuttavat tekijät Tarjontarelaation siirtymät Vapaat markkinat ja hintakontrolli 20 Teksti on lainattu kirjasta: Estola, M. Kansantaloustieteen perusteet, Jyväskylän yliopisto, Taloustieteen laitos, Julkaisuja 104/96. 1

2 1 Johdanto Luvussa 6 osoitimme aiemmin, että täydellisen kilpailun markkinatilanteessa yritysten halukkuus tuottaa tiettyä hyödykettä kasvaa hyödykkeen hinnan nousun myötä. Jos hyödykettä k valmistava yritys havaitsee, että koko suunnittelujakson tuotanto menee kaupaksi ja enemmänkin menisi vallitsevalla hinnalla, yritys on motivoitunut sekä nostamaan lopputuotteensa hintaa että lisäämään tuotantonopeuttaan. Vaikka yksittäinen yritys ei lisäisikään tuotantonopeuttaan vaan korottaa ainoastaan lopputuotteensa hintaa, hinnan nousu toimii signaalina muille yrityksille kyseisen tuotannon kannattavuudesta. Hinnan nousu houkuttelee alalle uusia yrittäjiä (ellei markkinoilletulossa ole esteitä), mikä lisää hyödykkeen tuotantonopeutta ajan myötä. Näillä perusteluilla voimme olettaa, että tiettyä hyödykettä tuottavien yritysten yhteenlaskettu tuotantonopeus kasvaa hinnan nousun myötä. Tämä ajattelu vastaa edellä esitettyä kansantaloustieteen mallittamisaksioomaa, sillä markkinataloudessa kannattavalle liiketoiminnalle löytyy aina halukkaita aloittajia. Oletetaan nyt tarkastelujakson pituudeksi yksi kuukausi, ja olkoon hyödykkeen k tuotantonopeuden mittayksikkö (kg/kk); hinnan p k mittayksikkö on tällöin (mk/kg). Luvussa 6 tarkastelimme hyödykkeen k markkinatarjontarelaation määräytymistä täydellisen kilpailun olosuhteissa. Luvussa 7 taas tarkastelimme hyödykkeen k tuotannossa käytetyn työpanoskäytön määräytymistä tuntipalkasta riippuvana toimintana. Nämä kaksi asiaa yhdistetään nyt tässä luvussa. Olkoon hyödykettä k tuottavien yritysten lukumäärä on v (kpl) ja oletetaan, että yritykset käyttävät tuotantoprosessissaan ainoastaan yhden ammattiliiton jäsenistä koostuvaa homogeenista työvoimaa. Ammattiliiton jäsenten tuntipalkkaa merkitään w:llä. Luvussa 7 osoitimme, miten yksittäisen yrityksen optimaalinen työpanoskäyttö riippuu hyödykkeen k hinnasta p k, työpanoksen tuntipalkasta w sekä palkkamenojen sosiaaliturvamaksuosuudesta b. Merkitään nyt yrityksen i tuotantofunktiota ja yksiköissä (h/kk) mitattua työpanoskäyttöä seuraavasti: q ki = f i (L ki ), L ki = L i (p k, w, b), i = 1,..., v, missä työpanoskäytön L ki riippuvuus suureista p k, w, b on kirjoitettu yleisessä funktiomuodossa. Hyödykettä k tuottavan toimialan yritysten tasapainoisista tuotantonopeuksista yhteenlaskettu toimialan tasapainoinen tuotantonopeus riippuu yllä esitetyn perusteella hinnasta p k, tuntipalkasta w sekä palkan sosiaaliturvamaksuosuudesta b seuraavasti v v ( q ks = q ksi = f i Li (p k, w, b) ) = s k (p k, w, b), (1) i=1 i=1 2

3 missä toimialan tasapainoisen tuotantonopeuden riippuvuutta suureista p k, w ja b merkitään symbolilla s, joka tulee sanasta supply eli tarjonta. Luvuissa 4 ja 5 olemme määritelleet normaalin hyödykkeen k kuukausittaisen kysynnän sellaiseksi relaatioksi, joka ilmaisee kaikkien hyödykettä k kuluttavien kuluttajien yhteenlasketun tasapainoisen kulutusnopeuden erilaisten hyödykkeen k kulutukseen vaikuttavien tekijöiden funktiona. Hyödykkeen k kysyntäfunktio voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa q kd = f k (p k, p i, q idj, T j ), i = 1,..., n, j = 1,..., m, (2) missä q kd on hyödykkeen k kulutusnopeus, p k on hyödykkeen k hinta, p i on hyödykkeen i hinta, q idj on kuluttajan j hyödykkeen i kulutusnopeus, m on hyödykettä k kuluttavien kuluttajien lukumäärä ja n on hyödykettä k kuluttavien kuluttajien kaikkien muiden kulutushyödykkeiden lukumäärä. Funktiot (1) ja (2) ovat hyödykkeen k kuukausittaiset tarjonta- ja kysyntäfunktiot yleisissä funktiomuodoissa esitettyinä. 2 Joustot Aiemmin olemme tarkastelleet tietyn suureen vaikutusta toiseen suureeseen funktioiden dierenssiosamäärien (osittaisderivaattojen) avulla. Olemme esimerkiksi analysoineet rajakustannusten dc k /dq k = C k (q k) (mk/kg) avulla sitä, miten yrityksen tuotantonopeuden q k (kg/kk) muutos vaikuttaa tuotantokustannuksiin C k (q k ) (mk/kk). Tämän periaatteen mukaisesti kyseisen vaikutuksen voimakkuutta mitataan tietyissä mittayksiköissä. Tässä luvussa esitetään toinen mahdollinen tapa mitata eri suureiden vaikutusta toisiin suureisiin. Tässä luvussa esitettävä tapa poikkeaa aiemmin esitetystä siinä mielessä, että joustot tekevät muutoksen mittasuureesta dimensiottoman (mittayksiköttömän) suureen. Joustojen laskemisen etu on sama kuin indeksipistelukujen etu; nimittäin se, että erilaisten suureiden vaikutusten voimakkuudet toisiin suureisiin saadaan suoraan vertailukelpoisiksi suureiksi. Joustojen vertailtavuuden ehto on se, että niissä esiintyvät suhteelliset muutokset on mitattu yhtä pitkiltä ajanjaksoilta. Joustojen huono puoli on taas siinä, että käsitteenä joustot ovat dierenssiosamääriä monimutkaisempia. Funktion jousto on matemaattinen käsite, jonka avulla minkä tahansa funktion muutosta voidaan tarkastella siten, että suureiden mittayksiköiden vaikutukset saadaan eliminoitua. Joustossa funktion arvon suhteellinen muutos jaetaan argumentin suhtellisella muutoksella, jolloin sekä osoittajaan että nimittäjään tulee dimensioton suure. Jatkossa esitettävissä jouston lausekkeissa tarkastellaan ainoastaan yhden suureen muutoksen vaikutusta hyödykkeen k kysyntään ja tarjontaan 3

4 kerrallaan, ja muiden kysyntä- ja tarjontafunktioihin sisältyvien suureiden oletetaan pysyvän kiinteinä. Käytännössä joustojen arvoja mitataan havaintojen perusteella. Mittaamisiin liittyy siten luvun 2 osiossa 3 esitetyt ongelmat siitä, että kahden suureen välistä riippuvuussuhdetta arvioitaessa muiden tekijöiden samanaikaisia vaikutuksia ei saada eliminoitua. Reaalimaailmasta mitatut joustojen arvot pitävät sisällään tarkasteltavan suureen lisäksi kaikkien muidenkin tekijöiden vaikutukset siihen suureeseen, jonka joustavuutta tarkastellaan. Näiden muiden tekijöiden vaikutuksia joustojen arvoihin voidaan yrittää eliminoida erilaisin menetelmin, joiden luotettavuutta on kuitenkin vaikea arvioida. Näistä syistä johtuen joustojen mitattuihin arvoihin tulee suhtautua riittävällä varovaisuudella. 2.1 Kysynnän hintajousto Tietyn hyödykkeen kulutusnopeuden reagointiherkkyyttä hyödykkeen hintamuutoksiin voidaan mitata kysynnän hintajoustolla. Määritelmä: Hyödykkeen k kysynnän hintajoustolla e d tarkoitetaan hyödykkeen k kulutusnopeuden ja hinnan suhteellisten muutosten suhdelukua, e kd = q kd qkd p k p k = p k q kd q kd p k. Merkintä e tulee termistä elasticity eli joustavuus ja alaindeksi d viittaa kysyntään demand. Kysynnän hintajousto on ei-positiivinen (negatiivinen tai nolla) mittayksikötön luku kaikilla muilla paitsi Gien-hyödykkeillä, joilla se on positiivinen. Kaikilla hyödykkeillä p k ja q kd ovat ei-negatiivisia suureita, ja ei-gien -hyödykkeillä pätee lisäksi q kd p k < 0. Esimerkki 1. Oletetaan että on saatu seuraava mittaustulos q kd / p k = 3 (kg/kk)/(mk/kg), missä p k (mk/kg) on hyödykkeen hinta ja q kd (kg/kk) hyödykkeen k kulutusnopeus. Tämä voidaan kirjoittaa muodossa q kd = 3 p k. Tätä mittaustulosta voidaan käyttää tulevien hintamuutosten aiheuttamien kulutusvaikutusten ennustamisessa. Jos nyt hinta nousee esimerkiksi seuraavasti p k = 5 (mk/kg), mitattu dierenssiosamäärä ennustaa kulutusnopeuden muuttuvan q kd = 3 5 = 15 (kg/kk) verran. Esimerkki 2. Jatketaan edellisen esimerkin tarkastelua siten, että hyödykkeen k vallitsevan hinnan ja kulutusnopeuden oletetaan olevan p k1 = 15 (mk/kg) ja q kd1 = 100 (kg/kk), ja niiden aiempien arvojen oletetaan olleen 4

5 p k0 = 10 (mk/kg) ja q kd0 = 115 (kg/kk). Näistä havainnoista saadaan edellisessä esimerkissä esitetty dierenssiosamäärä q kd / p k = (q kd1 q kd0 )/(p k1 p k0 ) = 3. Kysynnän hintajousto on tällöin seuraava e kd = p k0 q kd0 ( ) qkd1 q kd0 p k1 p k0 = = 6 23 = Oletetaan nyt hinnan nousevan yllä esitetyn mukaisesti p k = 5 (mk/kg). Hintajouston laskukaavan perusteella tämän voidaan ennustaa aiheuttavan seuraavansuuruisen suhteellisen muutoksen kulutusnopeudessa q kd q kd = p k p k e kd = = (3) Kaavan (3) perusteella kulutusnopeuden voidaan ennustaa muuttuvan seuraavasti q kd = 3 23 q kd = = 15 (kg/kk). 23 Hintajouston avulla saatiin siis tehtyä vastaava ennuste kuin edellisessä esimerkissä dierenssiosamäärän avulla. Näiden esimerkkien perusteella ennusteiden tekeminen hintajoustojen avulla on monimutkaisempaa kuin dierenssiosamäärien avulla. Joustojen käytön etu piilee siinä, että niiden avulla eri suureiden vaikutusten voimakkuudet tarkasteltavaan suureeseen saadaan suoraan vertailukelpoisiksi suureiksi, vaikka suureita mitattaisiin eri mittayksiköissä. Laadittaessa ennusteita mitattujen dierenssiosamäärien tai hintajoustojen avulla, ennusteen tekijän on syytä käyttää omaa harkintakykyään ennusteen laadinnassa ja sen luotettavuuden arvioinnissa. Ennustamisen tekee epävarmaksi se, että toteutuneista muutoksista mitatut suureiden väliset riippuvuudet eivät välttämättä säily vakioina ajan myötä. Jos hyödykkeen k kysyntäfunktio f k on jatkuva kuvaus, kysynnän hintajouston raja-arvoksi p k p k0 saadaan e kd = p k 0 q kd f k (p k0 ) p k, pk =p k0 missä q kd p k on kysyntäfunktion f k osittaisderivaatta hinnan p k suhteen hinnalla p k0. Funktiossa f k muut suureet p k :ta lukuunottamatta on jätetty kirjoittamatta näkyviin kaavan selkeyden vuoksi. Joustoja laskettaessa on makuasia esitetäänkö jouston laskukaavassa esiintyvät suhteelliset muutokset prosenttimuutoksina vai suhteellisina muutoksina; olennaista on se, että molemmat suhteelliset muutokset mitataan 5

6 samalla tavalla. Jos ne ovat prosenttimuutoksia, jouston lausekkeen osoittajaan ja nimittäjään tulee kertoimeksi 100, jotka supistuvat pois. Em. suhteellisten muutosten ei edes tarvitse olla mitatut yhtä pitkiltä ajanjaksoilta, sillä hintajouston avulla voidaan tarkastella sitä, miten hyödykkeen kuukausittainen kulutusnopeus muuttuu yhden päivän aikana tapahtuneen hintamuutoksen seurauksena. Kysynnän hintajouston negatiivisuudesta päästään eroon laskemalla jouston itseisarvo. Kun e kd > 1 kysynnän sanotaan olevan joustavaa, ja kun e kd < 1, kysyntä on joustamatonta. Kysynnän hintajouston arvon ollessa 1 ( e kd = 1), kysynnän sanotaan olevan normaalijoustavaa. Ero joustavan ja joustamattoman kysynnän välillä on merkittävä, sillä myöhemmin tulemme näkemään, että hinnan lasku lisää kuluttajien yhteenlaskettuja kokonaismenoja sellaiseen hyödykkeeseen, jonka kysyntä on joustavaa. Jos taas hyödykkeen kysyntä on joustamatonta, hinnan lasku alentaa kuluttajien yhteenlaskettuja menoja ko. hyödykkeeseen. Taulukon 10.1 perusteella voidaan päätellä, että Suomessa vaatetuksen ja jalkineiden kulutus reagoi vähiten oman hintansa muutoksiin, kun taas virkistys, kulttuuri ja koulutus reagoivat eniten. hyödyke e d vaatetus ja jalkineet 0.13 elintarvikkeet, juomat, tupakka 0.52 liikenne 0.89 virkistys, kulttuuri ja koulutus 1.07 Taulukko Jaksolta Suomesta mitattuja kysynnän hintajoustoja 1 Ekonomistit puhuvat toisinaan epämääräisesti siitä, että jonkin hyödykkeen kysyntä on joustavaa tai joustamatonta. Tällöin tarkoitetaan kuitenkin aina joustojen tietyiltä ajanjaksoilta mitattuja arvoja tietyllä hintatasolla. Hintajoustojen arvot muuttuvat hyödykkeen hinnan, tarkastelujakson pituuden sekä ajan myötä. Jonkin hyödykkeen kysynnän voidaan olettaa olevan sitä joustavampaa, mitä helpompi sitä on substituoida muilla hyödykkeillä, ja mitä pitempi tarkasteluaikaväli on kyseessä. Näin siksi, että ajan myötä kuluttajat löytävät substituutteja niille hyödykkeille, joiden suhteellinen hinta (niiden hinnan suhde muihin hintoihin) nousee. Esimerkiksi sellaisten raaka-aineina käytettävien hyödykkeiden, joiden suhteellinen hinta laskee, kulutus kasvaa pitkällä aikavälillä myös siitä syys- 1 Lähde: M. Viren: Yksityisten kulutusmenojen rakenne ja kehitys Suomessa vuosina , ETLA B:37, 1983, s

7 tä, että teollisuudella kestää jonkin aikaa muuttaa valmistusmenetelmänsä eri raaka-aineita käyttäväksi. Tämä ilmiö havaitaan seuraavasta taulukosta, missä öljyntuottajajärjestö OPEC:in aiheuttamat noin 100 %:n öljyn hinnankorotukset vuosina 1973 ja 1975 lisäsivät öljyn hintajoustavuutta pitkällä aikavälillä. maa USA Japani Kanada Taulukko Öljylle estimoituja kysynnän hintajoustoja 2 Yllä olevassa taulukossa q d ja p on mitattu kahdelta eripituisilta ajanjaksoilta, mikä selittää joustojen arvojen muutokset. 2.2 Kysynnän hintajouston sovellutuksia Kaikkien hyödykettä k kuluttavien kuluttajien yhteenlasketut menot ko. hyödykkeeseen tietyn ajanjakson aikana saadaan laskettua kertomalla k:n yksikköhinta ko. ajanjakson aikana ostettujen hyödykeyksiköiden lukumäärällä. Jos hyödykettä k myydään kilotavarana, kaikkien kuluttajien yhteenlasketut kuukausittaiset menot hyödykkeeseen k saadaan seuraavasti: R k = p k q kd, missä p k on hyödykkeen hinta (mk/kg) ja q kd (kg/kk) on hyödykkeen k kuluttajien yhteenlaskettu kuukausittainen kulutusnopeus. Esimerkki. Tarkastellaan kysynnän hintajoustoa seuraavan kuvitellun esimerkin avulla. Kuvatkoon alla oleva taulukko tietyn jalkapallo-ottelun pääsylipun hinnan ja katsojien lukumäärän välistä suhdetta. Numerotiedot ovat kuviteltuja keskimääräisiä havaintoja tietyn joukkueen peleistä usean vuoden ajalta. hinta (mk/kpl) katsojien lkm ottelutulot (mk) e d

8 Taulukko Keskimääräiset tulot yhdestä jalkapallo-ottelusta Taulukon 10.3 mukaan katsojien yhteenlasketut menot yhteen otteluun (= ottelun pääsylipputulot) kasvavat pääsylipun hinnan laskiessa ja katsojien lukumäärän lisääntyessä, mutta kääntyvät laskuun hinnan laskiessa tietyn tason alapuolelle. Tarkastellaan tilannetta kuvion 10.2 avulla. Kuviossa riippuvuus katsojien lukumäärän ja pääsylipun hinnan välillä on oletettu yksinkertaisuuden vuoksi lineaariseksi. Jalkapallojoukkueen lipputulot p l Q ld vastaavat kuviossa 10.2 esitetyn suorakulmion pinta-alaa. Suorakulmion toisen sivun pituus on yksiköissä (mk/kpl) mitattu pääsylipun hinta p l, ja toisen sivun pituus on yksiköissä (kpl) mitattu katsojien lukumäärä Q ld. Suorakulmion pinta-alan (lipputulojen) mittayksikkö on siten (mk/kpl) (kpl) = (mk). Suorakulmion pinta-alan avulla voidaan päätellä, miten pääsylipun hinta vaikuttaa ottelusta saataviin lipputuloihin. Kuviossa 10.3a hinnan lasku p l1 :stä p l2 :een lisää lipputuloja viivoitetun alueen verran, ja vähentää lipputuloja ruudutetun alueen verran. Kuviossa 10.3b hinnan lasku p l3 :stä p l4 :hen lisää lipputuloja viivoitetun alueen verran ja vähentää ruudutetun alueen verran. Nettotulojen muutos riippuu molemmissa tilanteissa näiden pinta-alojen erotuksista. Kuvio 10.3 havainnollistaa sitä, että joustavan kysynnän alueella (korkeilla hinnoilla) hinnan lasku lisää, ja joustamattoman kysynnän alueella pienentää, ottelun lipputuloja. Normaalijoustavassa tilanteessa hintamuutos ei vaikuta lipputulojen määrään, sillä tällöin em. pinta-alat ovat yhtäsuuret. Kuvio Jalkapallo-ottelun lipputulot Kuvio 10.3a. Kuvio 10.3b. Pääsylipun hinnan muutoksen vaikutus ottelutuloihin Merkitään pääsylipuista saatavia ottelutuloja seuraavasti R l = p l Q ld = p l f l (p l ), missä Q ld = f l (p l ):llä merkitään pääsylippujen kysyntäfunktiota. Matemaattisen optimointiteorian mukaan myyntitulojen maksimaalinen määrä löytyy siltä tasolta, jolla seuraava ehto toteutuu, dr l dp l = f l (p l ) + p l f l (p l ) = 0. Riittävä ehto kriittisen pisteen todistamiseksi maksimiksi on se, että d2 R l = dp 2 l 2f l (p l)+p l f l (p l) on negatiivinen suure. Tämä toteutuu kun f l (p l):n numeerinen arvo on negatiivinen tai riittävän pieni positiivinen luku, sillä normaalihyödykkeillä dq ld /dp l = f l (p l) < 0. Asetetaan nyt dr l dp l = 0 p l f l (p l ) f l (p l ) + 1 = 0 p l dq ld = 1. f l (p l ) dp l 8

9 Koska p l dq ld f l (p l ) dp l on kysynnän hintajousto niin havaitaan, että lipputulot ovat suurimmillaan kysynnän ollessa normaalijoustavaa, jolloin hintajousto on 1. Esimerkki 1. Olkoon hyödykkeen k kuukausittainen käänteiskysyntäfunktio lineaarista muotoa p k = p k0 aq kd, missä p k on hyödykkeen kilohinta, q kd on hyödykkeen k kuukausittainen kulutusnopeus hinnalla p k ja p k0, a ovat positiivisia dimensionaalisia vakioita, joiden mittayksiköt ovat (mk/kg) ja ((mk kk)/kg 2 ). Hyödykkeen k kaikkien myyjien yhteenlasketut myyntitulot kuukauden ajalta voidaan esittää muodossa R k = p k q kd. Kumpi tahansa suureista p k tai q kd voidaan nyt ratkaista käänteiskysyntäfunktiosta ja sijoittaa myyntitulojen lausekkeeseen, jolloin myyntitulot saadaan esitettyä ainoastaan yhden muuttujan funktiona. Molemmissa tapauksessa päädytään samaan kokonaistulot maksimoivaan (tuotantonopeus = kulutusnopeus, hinta) -kombinaatioon. Edellisessä tapauksessa saadaan ja jälkimmäisessä saadaan R k = p k q kd = p k 0 p k a p2 k a R k = p k q kd = p k0 q kd aq 2 k. Valitaan tässä jälkimmäinen tapa, sillä se on yksinkertaisempaa muotoa. Kokonaistulot maksimoiva tuotantonopeus (=kulutusnopeus) saadaan seuraavasti dr k = p k0 2aq kd = 0 qkd = p k 0 dq kd 2a. Tällöin nähdään, että dr k dq kd > 0 kun q kd < p k 0 ja dr k 2a dq kd < 0 kun q kd > p k 0. Tuotantonopeuden lisääminen lisää siis tuottajien yhteenlaskettuja kuukausit- 2a taisia bruttotuloja niin kauan kun kysyntä on joustavaa, eli dq kd dp k p k q kd < 1 1 a ( ) pk0 aq kd q kd < 1 q kd < p k 0 2a. Hinnan lasku lisää siis hyödykkeen k myyjien yhteenlaskettuja myyntituloja joustavan kysynnän alueella, ja hinnan nousu lisää myyntituloja joustamattoman kysynnän alueella; normaalijoustavassa tilanteessa hintamuutoksella ei ole vaikutusta myyntituloihin. Esimerkki 2. Taulukon 10.3 mukaan hintajouston arvo riippuu siitä, kumpaan suuntaan muutos lasketaan. Tarkastellaan esimerkkinä kysynnän hintajoustoa taulukon 10.3 kysyntärelaation kahden pisteen A: (p l = 10, Q ld = 9

10 60) ja B: (p l = 5, Q ld = 80) välillä. Siirtymä A B : e ld = Siirtymä B A : e ld = ( ) ( ) / = ( ) ( ) / = Näin lasketut hintajoustojen arvot poikkeavat toisistaan. Tämä ongelma voidaan poistaa määrittelemällä kysynnän kaarijousto, jolla on sama arvo muutossuunnasta riippumatta. Kysynnän kaarijousto hyödykkeen oman hinnan suhteen saadaan laskettua suhteuttamalla suureiden muutokset niiden keskiarvoihin. ( ) ( ) Kaarijousto A B : e ld,k = / = Tämä arvo saadaan myös toisinpäin laskettaessa. Esimerkki 3. Oletetaan tietyn kaupungin keskustassa olevan pulaa autojen pysäköintipaikoista 15 %:n verran hinnalla 2 (mk/h). Pysäköintipaikkojen kysynnän hintajouston arvioidaan olevan 1.5. Paljonko yhden pysäköintitunnin hintaa tulisi nostaa, jotta pula paikoista häviäisi? Ratkaisu: Jätetään tässä ja tulevissa esimerkeissä hyödykkeeseen viittava alaindeksi merkitsemättä; se ei aiheuttane epäselvyyksiä. Kysytyn määrän halutaan muuttuvan 15%. Tällöin 100 q q Tätä vastaa seuraava hinnan muutos ( q e d = q ) / ( ) p p p p = q q = 15 eli q q = 15 1 = e d 1.5 = = Hintaa tulisi siis nostaa (mk/h) = 0.2 (mk/h) eli 20 penniä. Esimerkki 4. Oletetaan tietyn hyödykkeen kysynnän hintajouston olevan 2.5 hinnalla 30 (mk/kpl). Miten paljon hyödykkeen hintaa tulisi laskea, jotta sen menekki kasvaisi puolella yhtä pitkän ajanjakson aikana, jolta hintajousto on mitattu? Ratkaisu: Määrän prosenttimuutokseksi 100 q haluttaisiin siis +50%, q eli q/q = 0.5. Nyt ( q e d = q ) / ( ) p p p p = q q 1 = e d 2.5 = 0.2. Hintaa tulisi siis muuttaa (mk/kpl) = 6 (mk/kpl), eli laskea 20%. Jos jouston arvo olisi ollut 5, myynnin tuplaamiseksi olisi riittänyt 10%:n hinnan lasku. 10

11 Esimerkki luvulla tapahtuneiden OPEC-maiden huomattavien (noin 100 %:n) öljyn hinnan korotusten mielekkyys perustui öljyn alhaiseen hintajoustoon. Öljyn hintajouston silloisen arvon on arvioitu olleen 0.1:n suuruinen (taulukko 10.2). Hintajouston arvon perusteella hinnan nostaminen lisää öljyntuottajien yhteenlaskettuja kokonaistuloja, mikä käytännössä myös tapahtui. Esimerkki 6. Oletetaan öljyn hintajouston olevan 0.1. Paljonko öljyn hintaa voidaan nostaa jos halutaan, että kulutus ei laske 20 % enempää sen ajanjakson aikana, jolta hintajousto on mitattu? Ratkaisu: ( ) ( ) q p e d = / q p p p = q q Hintaa voidaan siis nostaa enintään 200 %. 2.3 Kysynnän ristijousto 1 = e d 0.1 = 2. Kysynnän ristijousto mittaa hyödykkeen kulutusnopeuden riippuvuutta jonkin toisen hyödykkeen hintamuutoksista. Luvun 5 osiossa 5 osoitimme, että hyödykkeiden kysyntärelaatiot sisältävät kaikkien sellaisten hyödykkeiden hinnat ja kulutusnopeudet, joita kuluttajat kuluttavat tarkastelujakson aikana. Tällä perusteella voimme esittää seuraavan määritelmän. Määritelmä: Hyödykkeen k kysynnän ristijousto hyödykkeen y hinnan suhteen on seuraava: ( ) ( ) qkd py e kd,y = / = p y q kd, q kd p y q kd missä merkinnät vastaavat edellä käytettyjä. Ristijoustoa laskettaesssa muiden kysyntärelaation suureiden oletetaan pysyvän kiinteinä, ja vain p y :n oletetaan muuttuvan. Jatkuvan kysyntäfunktion tapauksessa yllä esitetty differenssiosamäärä korvautuu kysyntäfunktion osittaisderivaatalla hinnan p y suhteen. Kysynnän ristijouston avulla hyödykkeet voidaan luokitella substituuttija komplementtihyödykkeisiin, eli toisiaan korvaaviin ja täydentäviin hyödykkeisiiin. Substituuttihyödykkeitä ovat esimerkiksi voi ja margariini sekä juna ja lentokone; komplementtihyödykkeitä ovat puolestaan auto ja bensiini sekä leipä ja voi. Substituuttihyödykkeillä kysynnän ristijousto on positiivinen ja komplementtihyödykkeillä negatiivinen. Jonkin hyödykkeen p y 11

12 hinnan nousu lisää sen substituuttihyödykkeiden ja pienentää sen komplementtihyödykkeiden kulutusta. olut viini muut väkijuomat olut viini muut väkijuomat Taulukko Suomesta estimoituja kysynnän hinta- ja ristijoustoja 3 Taulukon 10.4 mukaan olut ja viini sekä viini ja muut väkijuomat ovat substituuttihyödykkeitä, kun taas olut ja muut väkijuomat ovat komplementtihyödykkeitä. Taulukossa esitettyihin joustojen arvoihin tulee kuitenkin suhtautua riittävällä varovaisuudella, sillä taulukossa esitettyjen joustojen arvoista vain neljä poikkesi tilastollisesti merkitsevästi nollasta. Yleisesti ottaen hyödykkeiden kysynnän hintajoustojen itseisarvojen voidaan olettaa olevan kysynnän ristijoustojen itseisarvoja suurempia, sillä hyödykkeiden kulutusnopeudet reagoivat enemmän oman hinnan kuin muiden hyödykkeiden hintamuutoksiin. Tämä käy ilmi myös taulukosta Taulukosta havaitaan lisäksi se, että oluen kysyntä on joustamatonta, kun taas viinin ja muiden väkijuomien kysyntä on joustavaa siten, että tarkastelluista alkoholijuomista viinin kysyntä on kaikkein joustavinta. 2.4 Kysynnän tulojousto Määritelmä: Yhden hyödykkeen meno-osuutta kuluttajan tietyn ajanjakson kulutusmenoista kutsutaan hyödykkeen budjettiosuudeksi. Oletetaan tarkastelujakso kuukauden pituiseksi ja oletetaan kuluttajan kuluttavan n:nnää hyödykettä kuukauden aikana. Hyödykkeen k budjettiosuus b k voidaan tällöin esittää seuraavasti b k = p kq kd n i=1 p iq id, missä n i=1 p iq id ovat kuluttajan yhteenlasketut kuukausimenot ja p k q kd ovat hyödykkeeseen k kuukaudessa kulutetut rahat. Eri hyödykkeiden kulutusnopeuksien q id mittayksiköt voivat poiketa toisistaan, mutta hyödykkeiden yksikköhinnat muuntavat b k :n osoittajan ja nimittäjän mittayksiköiksi (mk/kk). 3 Lähde: P. Holm and I. Suoniemi: Empirical Application of Optimal Commodity Tax Theory to Taxation of Alcoholic Beverages, The Scandinavian Journal of Economics vol. 94 No. 1,

13 Saksalainen taloustieteilijä Ernst Engel havaitsi aikanaan sen, että kuluttajien tulojen lisääntyminen pienentää ruuan budjettiosuutta kuluttajan menoista. Tämä selittyy yo. kaavan mukaan siten, että b k :n nimittäjä kasvaa tulojen myötä osoittajaa nopeammin, eli muut kuin ruokamenot lisääntyvät tulojen myötä nopeammin. Luvun 5 osiossa 5 osoitimme, että tietyn hyödykkeen kysyntärelaatio pitää sisällään kaikkien hyödykettä kuluttavien kuluttajien tarkastelujakson tulot. Tällä perusteella voimme tehdä seuraavan määritelmän. Määritelmä: Hyödykkeen k tulojousto määritellään seuraavasti ( ) ( ) qkd T e kt = / = T q kd T q kd T, q kd missä kuluttajien yhteenlaskettuja käytettävissä olevia tuloja merkitään T:llä. Tulojoustoa laskettaessa T:tä lukuunottamatta muiden hyödykkeen k kysyntärelaatioon sisältyvien suureiden oletetaan pysyvän kiinteinä. Kysynnän tulojousto mittaa hyödykkeen kulutusnopeuden riippuvuutta kuluttajien käytettävissä olevista tuloista. Jos kysyntäfunktio on jatkuva kuvaus, yllä esitetty dierenssiosamäärä korvautuu sitä vastaavalla osittaisderivaatalla. Hyödykkeiden tulojoustot ovat yleensä positiivisia. Analogisesti Gien -hyödykkeen kanssa voidaan tässäkin tapauksessa havaita poikkeavaa käyttäytymistä tiettyjen hyödykkeiden kohdalla. Määritelmä: Niitä hyödykkeitä, joiden kysynnän tulojousto on negatiivinen, kutsutaan inferior (epätavallinen) -hyödykkeiksi. Inferior -hyödykkeitä voivat olla esimerkiksi sellaiset hyödykkeet, joille löytyy parempilaatuisia substituutteja. Esimerkiksi B -luokan ruokamakkarat voivat olla inferior -hyödykkeitä, sillä yleisen tulotason nousu saattaa pienentää niiden kulutusta A -luokan makkaroiden ja lihan kulutuksen kasvaessa. Inferior -hyödykkeet ovat kuitenkin niin vähämerkityksisiä, että jatkossa voimme ne unohtaa, ellei toisin erikseen mainita. Määritelmä: Hyödykkeet luokitellaan välttämättömyys- ja ylellisyyshyödykkeisiin tulojoustojen avulla. Näistä edellisillä tulojousto on ykköstä pienempi ja jälkimmäisillä ykköstä suurempi. hyödyke tulojousto Vaatetus ja jalkineet 0.14 Elintarvikkeet, juomat ja tupakka 0.59 Liikenne 1.37 Virkistys, kulttuuri ja koulutus

14 Taulukko Jaksolta Suomesta estimoituja tulojoustoja 4 Ylellisyyshyödykkeillä kulutusnopeuden suhteellinen muutos on tulojen suhteellista muutosta suurempi, mikä selittää yllä esitetyn luokittelun. Taulukon 10.5 perusteella elintarvikkeet ja vaatteet ovat välttämättömyyshyödykkeitä, kun taas liikenne ja virkistys ovat ylellisyyshyödykkeitä. Esimerkki: Oletetaan, että kuluttajien tulot nousevat 3 % vuodessa seuraavan viiden vuoden ajan. Jos nyt eri hyödykkeiden tulojoustot tiedetään, niiden avulla voidaan ennustaa miten toimialojen (hyödykkeiden) kulutusnopeudet tulevat kehittymään. Esimerkiksi yllä oleva taulukko ennustaa elintarvikkeiden ja liikenteen kulutusnopeuksien kehittyvän seuraavasti 100 q e = e et 100 T q e T 100 q l = e lt 100 T q l T seuraavien viiden vuoden ajan. 2.5 Tarjonnan hintajoustavuus = (%/v) = 1.7 (%/v), = (%/v) = 4.1 (%/v), Jonkin hyödykkeen tarjonnan (tuotantonopeuden) reagointiherkkyyttä oman hintansa muutoksiin voidaan mitata tarjonnan hintajouston avulla. Määritelmä: Hyödykkeen k tarjonnan hintajousto määritellään seuraavasti e ks = ( qks q ks ) ( ) pk / p k = p k q ks q ks p k, missä hyödykkeen k tuotantonopeutta ja hintaa merkitään q ks :llä ja p k :lla. Jos edellä määritelty tarjontafunktio s k on jatkuva kuvaus, yllä esitetty differenssiosamäärä korvautuu vastaavalla osittaisderivaatalla. Hyödykkeiden tarjontajoustot ovat aina positiivisia. Mitä suurempi tarjontajouston arvo on, sitä herkemmin hyödykkeen tuotantonopeus reagoi oman hintansa muutoksiin. Jonkin hyödykkeen tarjonnan joustavuutta voidaan tarkastella kaikkien tarjontafunktiossa mukana olevien suureiden suhteen kysynnän tapaan. Näitä joustoja ei kuitenkaan yleensä kirjallisuudessa esitetä, mistä syystä ne jätetään tälle maininnalle. Matemaattisena käsitteenä funktion jousto ei ole sidottu minkään tietyn kahden suureen välisen riippuvuuden mittariksi, vaan jouston avulla voidaan mitata minkä tahansa kahden suureen välistä riippuvuutta, sikäli kun näiden suureiden välille voidaan perustella jokin relaatio. 4 Lähde: M. Viren: Yksityisten kulutusmenojen rakenne ja kehitys Suomessa vuosina , ETLA B:37, 1983, s

15 3 Kysyntä, tarjonta ja markkinamekanismi Jo aiemmin olemme käsitelleet erilaisia markkinoita. Yhteistä kaikille markkinoille on ostajien (vuokraajien) ja myyjien/tuottajien (vuokralle tarjoajien) kohtaaminen, jolloin hinta/vuokrapäätökset tehdään. Esimerkiksi työntekijä on työpanoksen vuokralle tarjoaja, yrittäjä on työpanoksen vuokraaja ja työstä maksettavaa vuokraa kutsutaan palkaksi. Lainanottaja on vastaavasti rahan vuokraaja, lainanantaja on rahan vuokralle tarjoaja ja lainasta maksettavaa vuokraa kutsutaan koroksi. Vapaasti toimiessaan markkinamekanismi hinnoittelee hyödykkeet ajan myötä siten, että niiden kulutusnopeus vastaa tuotantonopeutta. Tässä luvussa tarkastelemme markkinoiden toimintaa täydellisen kilpailun markkinatilanteessa varsin pelkistetyllä tasolla ilman, että markkinoilla toimivien talousyksiköiden toimintaa määritellään tarkasti. Tämä on kuitenkin tehty jo aiemmissa luvuissa, joten niissä esitettyjä tietoja käytetään nyt hyväksi. 3.1 Markkinatasapainon määräytyminen Perinteisen tavan mukaan hyödykkeen k kysyntä- ja tarjontarelaatiot esitetään (q k, p k ) -koordinaatistossa käänteiskysyntä- ja -tarjontafunktioiden muodossa. Hyödykkeen k tapauksessa nämä relaatiot on esitetty kuviossa Käänteiskysyntäfunktion kuvaaja on sitä jyrkempi, mitä vähemmän hyödykkeen kulutus reagoi omiin hintamuutoksiinsa, eli mitä pienempi (negatiivinen) p k q kd on. Käänteistarjontafunktion kuvaaja on vastaavasti sitä jyrkempi, mitä vähemmän hyödykkeen tarjonta reagoi sen hintamuutoksiin, eli mitä suurempi (positiivinen) p k q ks on. Kuvio Hyödykkeen k markkinatasapaino Jos hyödykkeen kysyntä- ja tarjontarelaatiot leikkaavat toisensa kuviossa 10.4 esitetyssä positiivisessa neljännestasossa, niiden leikkauspiste määrittelee markkinamekanismin tuottaman tasapainon (q k, p k ) yksikäsitteisesti. Tasapainohinnalla p k hyödykkeen k kulutus- ja -tuotantonopeudet ovat yhtäsuuret. Luvussa 6 olemme aiemmin osoittaneet, että yritysten ja kuluttajien tuotanto- ja kulutusnopeuksien sopeuttaminen heidän etujensa mukaisesti ja hinnan sopeutuminen liikakysynnän ja -tarjonnan mukaan takaa tasapainon saavuttamisen ajan myötä. Jos jonkin hyödykkeen kysyntä- ja tarjontarelaatiot eivät leikkaa toisiaan tasokoordinaatiston positiivisessa neljännestasossa, markkinatalousjärjestelmä ei tuota sellaista hyödykettä. Tällaista tilannetta havainnollistetaan kuviossa Esimerkiksi ydinenergialla toimivia henkilöautoja ei tuoteta nykyisin, sillä sellaisten tuotantokustannukset ylittävät ihmisten mak- 15

16 suhalukkuuden niistä. Samasta syystä markkinatalousmaissa ei myöskään tuoteta betonista tehtyjä lentokoneita eikä puisia sukellusveneitä. Kuvio Hyödyke jota markkinamekanismi ei tuota 3.2 Kysyntärelaation sijaintiin vaikuttavat tekijät Tämän luvun osiossa 1 tarkastelimme hyödykkeen k kulutusnopeuden riippuvuutta erilaisista tekijöistä. Näitä tekijöitä ovat kuluttajien kuluttamien muiden hyödykkeiden kulutusnopeudet ja hinnat, kuluttajien kuukausitulot sekä kulutushyödykkeiden rajahyödyt. Tietenkin myös muut tekijät kuten vuodenaika, säätila, sattuma jne. vaikuttavat jokaisen hyödykkeen kulutukseen, mutta jatkossa tarkastelemme vain sellaisten tekijöiden vaikutusta, joiden vaikutusmekanismin olemme aiemmin perustelleet. 1) Sukulaishyödykkeet Kaksi hyödykettä voivat olla joko toisiaan korvaavia eli substituuttihyödykkeitä, tai toisiaan täydentäviä eli komplementtihyödykkeitä, tai sitten niiden välillä ei ole muuta riippuvuutta kuin se kustannusvaikutus, mikä kiinteiden tulojen vallitessa kulutettavien hyödykkeiden hintamuutoksilla on toisten hyödykkeiden kulutukseen. Esimerkiksi ruuan hinnan nousu vähentää kuukausittaiseen elokuvissakäyntiin jäävää rahamäärää, vaikka kyseisillä hyödykkeillä ei mitään sukulaisuussuhdetta olisikaan. 2) Tulot Kuluttajien tulojen vaikutus hyödykkeiden kulutusnopeuksiin jakaa hyödykkeet kahteen ryhmään; tavallisiin- ja inferiorisiin hyödykkeisiin. Aiemmin esitetyn perusteella tavalliset hyödykkeet ovat sellaisia, joiden kulutus kasvaa tulojen myötä. Inferioristen hyödykkeiden kulutus sen sijaan supistuu tulojen kasvun myötä. 3) Mieltymykset Ihmisten tavat ja tottumukset ovat yleensä melko vakiintuneita, mutta muuttuvat kuitenkin ajan myötä. Jonkin yksittäisen hyödykkeen (esimerkiksi tietyn vaatekappaleen) suosio saattaa muuttua nopeastikin. Nämä vaikutukset muuttavat kuluttajien kokemia rajahyötyjä eri hyödykkeistä, ja vaikuttavat sitä kautta kuluttajien maksuhalukkuuksiin. Merkitään nyt yllä esitettyjä tekijöitä seuraavasti: q kd on kuluttajien yhteenlaskettu hyödykkeen k kulutusnopeus, p i on hyödykkeen i hinta ja T on kuluttajien yhteenlasketut kuukausitulot. Oletetaan hyödyke k normaaliksi 16

17 ja tavalliseksi hyödykkeeksi (ei-gien, ei-inferior). Hyödykkeen k kysyntäfunktio voidaan tällöin esittää muodossa q kd = f k ( p k ( ), q id ( ), q jd(+), p i (+), p j( ), T (+) ), i = 1,..., n, j = n,..., m, (4) missä hyödykkeet 1,..., n ovat substituutti- ja n,..., m komplementtihyödykkeitä k:lle, ja alaindekseinä olevat merkit tarkoittavat kyseisen suureen vaikutussuuntaa hyödykkeen k kulutusnopeuteen. 3.3 Kysyntärelaation siirtymiset Hyödykkeen k kysyntärelaation muoto ja paikka koordinaatistossa (q k, p k ) riippuu edellä esitetyistä tekijöistä. Tarkastellaan seuraavaksi mitä hyödykkeen k kysyntärelaatiolle tapahtuu silloin, kun jokin riippuvuudessa (4) mukana oleva suure muuttuu. Oletetaan esimerkiksi hyödykkeen k substituuttihyödykkeen y hinnan nousevan. Substituuttihyödykkeen määritelmän ja riippuvuuden (4) mukaan f k (p y, x 0 ) f k (p y0, x 0 ) > 0 kun p y p y0 > 0 ja f k (p y, x 0 ) f k (p y0, x 0 ) < 0 kun p y p y0 < 0, missä x 0 = (p k0, p i0 i y, p j0, q id0, q jd0, T 0 ) on p y poislukien muiden funktiossa f k olevien suureiden kiinteistä arvoista muodostettu vektori (lihavoitu kirjasin). Suureiden arvojen kiinteyttä korostetaan merkitsemällä niiden alaindeksit nolliksi. Osamäärä f k (p y, x 0 ) f k (p y0, x 0 ) p y p y0 = q kd p y (5) on siten aina positiivinen suure, sillä sen osoittaja ja nimittäjä ovat aina samanmerkkiset. Koska q kd / p y on positiivinen jokaisella hinnalla p k, tarkoittaa se sitä, että hyödykkeen k tasapainoinen kulutusnopeus lisääntyy (pienentyy) hyödykkeen y hinnannousun (hinnanlaskun) seurauksena jokaisella hinnalla p k. Hyödykkeen k kysyntärelaatio siirtyy siten vaakasuunnassa oikealle hinnan p y nousun seurauksena. Yllä esitetyn dierenssiosamäärän numeerinen arvo kertoo sen, miten paljon kysyntärelaatio siirtyy tietynsuuruisen p y :n muutoksen johdosta. Tätä havainnollistetaan kuviossa 10.6, mistä nähdään myös se, miten hyödykkeen k markkinatasapaino muuttuu kysyntärelaation siirtyessä. Koska täydellisen kilpailun markkinatilanne todistettiin luvussa 6 stabiiliksi systeemiksi, niin voidaan uskoa, että ajan myötä hyödykkeen k markkinat hakeutuvat uuteen tasapainotilanteeseen tuotanto-, kulutusnopeus- sekä hintamuutosten kautta. 17

18 Kuvio Substituuttihyödykkeen hinnan nousun vaikutus hyödykkeen k markkinatasapainoon Hyödykkeen k kysyntärelaatio siirtyy siis oikealle (origosta poispäin) substituuttihyödykkeen hinnan noustessa, joten jokaisella hinnalla ollaan tällöin valmiita lisäämään hyödykkeen k kulutusnopeutta aiemmasta. Sama asia voidaan ilmaista myös kysyntärelaation siirtymänä ylöspäin, mikä tarkoittaa sitä, että kuluttajien keskimääräinen maksuhalukkuus yhdestä yksiköstä hyödykettä k kasvaa jokaisella kulutusnopeudella. Nämä molemmat kysyntärelaation siirtymän tulkinnat on kuvattu kuviossa Osamäärän (5) raja-arvo lim q kd py 0 p y on funktion f k osittaisderivaatta hinnan p y suhteen. Kysyntäfunktion sisältämien suureiden muutosten vaikutuksia hyödykkeen k kulutusnopeuteen mitataan funktion f k osittaisderivaatoilla näiden suureiden suhteen. Osittaisderivaattojen numeeriset arvot ilmaisevat dierenssiosamäärien tapaan sen, mihin suuntaan ja miten paljon kysyntärelaatio siirtyy tarkasteltavan suureen tietynsuuruisen muutoksen johdosta. Tällaista analyysia jossa tutkitaan miten tietyn systeemin tasapainotila muuttuu jonkin ulkoisen tekijän vaikutuksesta kutsutaan komparatiiviseksi statiikaksi, eli tasapainotilojen vertailuksi. Jonkin komplementtihyödykkeen hinnan lasku, kuluttajien tulojen nousu tai hyödykkeen k muodikkuuden (rajahyödyn) lisääntyminen aiheuttaisivat samansuuntaisen hyödykkeen k kysyntärelaation siirtymän kuin kuviossa 10.6 on kuvattu. Jonkin substituuttihyödykkeen hinnan lasku, komplementtihyödykkeen hinnan nousu, kuluttajien tulojen pienentyminen tai hyödykkeen k poistuminen muodista siirtäisivät puolestaan kysyntärelaatiota vastakkaiseen suuntaan, eli vasemmalle tai alaspäin. Esimerkki. Tarkastellaan teen markkinatilannetta ja oletetaan kahvin hinnan nousevan. Tee ja kahvi oletetaan substituuttihyödykkeiksi. Tilannetta hahmotetaan kuviossa 10.7, missä teen markkinoiden alkuperäistä tasapainotilannetta merkitään (q t0, p t0 ):lla. Kahvin hinnannousun seurauksena teen kysyntärelaatio siirtyy origosta poispäin kuviossa osoitetulla tavalla. Ajan myötä markkinamekanismi hakeutuu tuotanto-, kulutusnopeus- ja hintamuutosten kautta uuteen tasapainotilanteeseen (q t1, p t1 ). Kuvio Kahvin hinnan nousun vaikutus teen markkinatasapainoon 3.4 Tarjontarelaation muotoon ja sijaintiin vaikuttavat tekijät Hyödykkeen k tarjontaan vaikuttavat hinnan p k lisäksi seuraavat tekijät: 1) tuotannossa käytettävän työpanoksen tuntipalkka w sekä 2) sosiaalitur- 18

19 vamaksujen osuus palkasta b. Yleisesti ottaen jos yksittäisen yritysten toiminta olisi aiemmin mallitettu monipuolisemmin jokainen hyödykettä k tuottavien yritysten tuotantokustannuksia muuttava tekijä vaikuttaa hyödykkeen k tarjontarelaation sijaintiin koordinaatistossa (q k, p k ). Jatkossa pitäydymme kuitenkin tässä esitettyihin tekijöihin, sillä niiden vaikutusmekanismia yritysten toimintaan olemme edellä käsitelleet. Edellä esitetyn perusteella hyödykkeen k tarjontarelaatio voidaan esittää muodossa q ks = s k ( p k (+), w ( ), b ( ) ), (6) missä alaindekseinä olevat merkit kuvaavat suureiden vaikutussuunnat q ks :ään. 3.5 Tarjontarelaation siirtymät Tarkastellaan esimerkkinä työpanoksen tuntipalkan w nousun vaikutusta hyödykkeen k tuotantonopeuteen. Aiemman perusteella s k (p k0, w, b 0 ) s k (p k0, w 0, b 0 ) < 0 kun w w 0 > 0 ja s k (p k0, w, b 0 ) s k (p k0, w 0, b 0 ) > 0 kun w w 0 < 0, kun tarjontafunktion muut suureet pysyvät kiinteinä. Osamäärä s k (p k0, w, b 0 ) s k (p k0, w 0, b 0 ) w w 0 = q ks w on siten aina negatiivinen. Osamäärän (7) negatiivisuus merkitsee sitä, että w:n kasvu pienentää (lasku kasvattaa) hyödykkeen k tuotantonopeutta jokaisella hyödykkeen k hinnalla, eli palkan nousu siirtää tarjontarelaatiota vasemmalle. Tarjontarelaation voidaan myös ajatella siirtyvän ylöspäin palkan nousun vaikutuksesta, mikä tarkoittaa sitä, että palkan nousun myötä aiemmat tuotantonopeudet ollaan valmiita tuottamaan ainoastaan korkeammilla hinnoilla. Tätä vaikutusta havainnollistetaan kuviossa 10.8, mistä nähdään myös se, miten markkinatasapainotilanne muuttuu palkan nousun myötä. Dierenssiosamäärän (7) numeerinen arvo kertoo sen, miten paljon tarjontarelaatio siirtyy tietynsuuruisen palkan muutoksen seurauksena. Osamäärän (7) raja-arvo lim ks on w 0 q w ks:n osittaisderivaatta w:n suhteen. q Tarjontafunktion osittaisderivaatat mittaavat dierenssiosamäärien tapaan sitä, mihin suuntaan ja miten paljon tarjontarelaatio siirtyy ko. suureen tietynsuuruisen muutoksen johdosta. Palkkojen sosiaaliturvamaksuosuuden nousu aiheuttaisi vastaavansuuntaisen tarjontarelaation siirtymän kuin kuviossa 10.8 on kuvattu, kun taas palkan tai palkan sotu -osuuden pienentyminen siirtäisi tarjontarelaatiota 19 (7)

20 oikealle (alaspäin). Markkinamekanismi hakeutuu vanhasta tasapainotilasta uuteen ajan myötä tapahtuvien tuotanto-, kulutusnopeus- ja hintamuutosten avulla aiemmin tarkastelemamme mekanismin mukaisesti. Kuvio Työpanoksen tuntipalkan nousun vaikutus hyödykkeen k markkinatasapainoon 4 Vapaat markkinat ja hintakontrolli Hintakontrollit ovat valtion asettamia sääntöjä tai lakeja, jotka estävät hintojen sopeutumisen kysynnän ja tarjonnan mukaan. Hintakontrollit voivat olla joko minimi- tai maksimihintoja. Aina kun hintakontrolli on voimassa sanotaan, että markkinat eivät ole vapaat. Kuvio Vuokrakatto asuntomarkkinoilla Esimerkkinä hintakontrollista tarkastelemme kattohinnan asettamista asuntojen neliövuokrille. Tässä osiossa vuokra-asuntojen kysyntä- ja tarjontarelaatioita ei johdeta tarkasti. Tilanteen oletetaan vastaavan aiemmin luvussa 6 tarkastelemaamme täydellisen kilpailun markkinatilannetta. Vallitkoon vuokra-asuntomarkkinoilla kuviossa 10.9 esitetty markkinatilanne, missä Q a :lla (m 2 ) merkitään tietyllä alueella olevien vuokrattujen asuntojen lukumäärää ja neliövuokraa merkitään z:lla (mk/m 2 ). Vuokra-asuntojen käänteiskysyntä- ja tarjontarelaatioita merkitään seuraavasti: z = f(q ad ), z = g(q as ). Tasapainovuokra markkinoilla olisi z, mitä vastaisi vuokrattujen asuntojen tasapainomäärä Q ad = Q as. Asetettu vuokrakatto on z. Kuviosta 10.9 havaitaan, että vuokrakaton asettaminen aiheuttaa vuokraasuntomarkkinoille pysyvän liikakysyntätilanteen. Vuokrakaton asettamisen seurauksena osa halukkaista jää vaille vuokra-asuntoa, sillä vuokrakattotilanteessa vuokrattujen asuntojen lukumäärä Q as1 on pienempi kuin tasapainovuokraa vastaava määrä Q as. Jos vuokrien annettaisiin määräytyä vapaasti, neliövuokra nousisi liikakysynnän seurauksena ajan myötä tasapainotasolle z, jolla vuokrattujen asuntojen kysyntä ja tarjonta ovat yhtäsuuret. Vuokrakaton poistamisen seurauksena useammat ihmiset saisivat vuokra-asunnon, sillä vuokra-asuntojen tarjonta kasvaisi vuokran nousun myötä tarjontarelaation mukaisesti. Jokainen vuokralla asuva joutuisi tällöin tosin maksamaan korkeampaa neliövuokraa vuokrakattotilanteeseen verrattuna. Asukkaiden kannalta ajatellen vuokrakaton asettamisella on siten hyvät ja huonot puolensa. Kuvio Minimipalkka työmarkkinoilla Esimerkkinä minimihinnasta tarkastelemme minimipalkan asettamista tietyn ammattiryhmän työntekijöille. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi työ- 20

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016 tudent: ate: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 016 Assignment: 016 www 1. Millä seuraavista tuotteista on itseisarvoltaan pienin kysynnän hintajousto? A. Viini B. Elokuvat

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

2. Hyödykkeen substituutit vaikuttavat kyseisen hyödykkeen kysynnän hintajoustoon.

2. Hyödykkeen substituutit vaikuttavat kyseisen hyödykkeen kysynnän hintajoustoon. TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet WWW-harjoitus 2, syksy 2016 Vastaukset 1. Millä hyödykkeistä on pienin kysynnän hintajousto? V: D. Maito. Pienin kysynnän hintajousto (eli hinnanmuutoksen vaikutus

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste yhtälöparista: P = 25-2Q P = 10 + Q Ratkaisu on: Q = 5, P = 15 Kuluttajan ylijäämä

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

KYSYNTÄ, TARJONTA JA HINTA. Tarkastelussa käsitellään markkinoiden toimintaa tekijä kerrallaan MARKKINAT

KYSYNTÄ, TARJONTA JA HINTA. Tarkastelussa käsitellään markkinoiden toimintaa tekijä kerrallaan MARKKINAT KYSYNTÄ, TARJONTA JA HINTA Tarkastelussa käsitellään markkinoiden toimintaa tekijä kerrallaan MARKKINAT Paikka, jossa ostaja ja myyjä kohtaavat, voivat hankkia tietoa vaihdettavasta tuotteesta sekä tehdä

Lisätiedot

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT Tehtävä 1! " # $%& ' ( ' % %' ' ) ) * ' + )$$$!," - '$ '' ' )'( % %' ) '%%'$$%$. /" 0 $$ ' )'( % %' +$%$! &" - $ * %%'$$%$$ * '+ ' 1. " - $ ' )'( % %' ' ) ) * '

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016

3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet 3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 Tehtävä 1. Reaalitulo perunoina on 0 = 40 20*P, mistä seuraa 2 perunaa. Reaalitulo korkokenkinä on M = 40-0*P = 40 makkaraa.

Lisätiedot

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21)

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 1. Työn tarjonta Kuluttajan valintateorian perusmalli soveltuu suoraan kotitalouksien työn tarjontapäätöksen

Lisätiedot

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista

Lisätiedot

3d) Yes, they could: net exports are negative when imports exceed exports. Answer: 2182.

3d) Yes, they could: net exports are negative when imports exceed exports. Answer: 2182. . Se talous, jonka kerroin on suurempi, reagoi voimakkaammin eksogeenisiin kysynnän muutoksiin. Investointien, julkisen kysynnän tai nettoviennin muutokset aiheuttavat sitä suuremman muutoksen tasapainotulossa,

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola)

Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola) Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola) Hyvinvointiteoria tarkastelee sitä, miten resurssien allokoituminen kansantaloudessa vaikuttaa ihmisten hyvinvointiin Opimme

Lisätiedot

TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ

TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ Matti Estola 12. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Yksittäisen yrityksen työpanoskysyntä 2 3 *Newtonilainen teoria työpanoskäytölle 6 4 Yksittäisen työntekijän työpanostarjonta

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

KEVÄT 2009: Mallivastaukset TERVEYSTALOUSTIEDE. 1. Määrittele seuraavat käsitteet (4. p, Sintonen - Pekurinen - Linnakko):

KEVÄT 2009: Mallivastaukset TERVEYSTALOUSTIEDE. 1. Määrittele seuraavat käsitteet (4. p, Sintonen - Pekurinen - Linnakko): KEVÄT 2009: Mallivastaukset TERVEYSTALOUSTIEDE 1. Määrittele seuraavat käsitteet (4. p, Sintonen - Pekurinen - Linnakko): 1.1. Vakuutettujen epätoivottava valikoituminen (1 p.) Käsite liittyy terveysvakuutuksen

Lisätiedot

Pohjola, Matti (2008): Taloustieteen oppikirja. ISBN 978-951-0-34550-4. WSOY Oppimateriaalit Oy.

Pohjola, Matti (2008): Taloustieteen oppikirja. ISBN 978-951-0-34550-4. WSOY Oppimateriaalit Oy. Valtiotieteellinen tiedekunta Kansantaloustieteen valintakoe Arvosteluperusteet Kesä 010 Kirjallisuuskoe Pohjola, Matti (008): Taloustieteen oppikirja. ISBN 978-951-0-34550-4. WSOY Oppimateriaalit Oy.

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Harjoitukset 7 (viikko 13) Tehtävä 1 a) Tapahtuu siirtymä pisteestä A pisteeseen B. Jos TR-käyrä on vaakasuora, niin IS-käyrän siirtyminen oikealle ei

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ 06 www4 Page of 5 Student: Date: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 06 Assignment: 06 www4. Mikä seuraavista alueista vastaa voittoa maksimoivan monopoliyrityksen ylisuuria

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18 Panoskysyntä Luku 26 Marita Laukkanen November 15, 2016 Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, 2016 1 / 18 Monopolin panoskysyntä Kun yritys määrittää voitot maksimoivia panosten määriä, se haluaa

Lisätiedot

Osa 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino ( Mankiw & Taylor, Chs 4 ja Pohjolan luennot)

Osa 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino ( Mankiw & Taylor, Chs 4 ja Pohjolan luennot) Osa 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino ( Mankiw & Taylor, Chs 4 ja Pohjolan luennot) Opimme tässä osiossa ja myöhemmissä luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Tehtävä 1.Tarkastellaan opiskelijaa, jolla opiskelun ohella jää 8 tuntia päivässä käytettäväksi työntekoon ja vapaa-aikaan. Olkoot hänen

Lisätiedot

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu 12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, 2nd ed., chs 16-17; Taloustieteen oppikirja, s. 87-90) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä

Lisätiedot

3. Kuluttajan valintateoria

3. Kuluttajan valintateoria 3. Kuluttajan valintateoria (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Suhteellisen edun periaatteen mukaan ihmisten (ja maiden) kannattaa erikoistua tuotannossa ja käydä keskenään kauppaa Markkinataloudessa kotitaloudet

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L MIKROTALOUSTIEDE A31C00100 Kevät 2016 Olli Kauppi HARJOITUKSET II 1. Jutan ruokavalio koostuu yksinomaan nauriista ja lantuista. Jutan hyötyfunktio on muotoa U(N,L) = 12NL. Tällä hetkellä Jutta on päättänyt

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014. 1. Kuvassa on esitetty erään ravintolan lounasbuffetin kysyntäfunktio.

Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014. 1. Kuvassa on esitetty erään ravintolan lounasbuffetin kysyntäfunktio. Harjoitukset 2 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Kuvassa on esitetty erään ravintolan lounasbuffetin kysyntäfunktio. a) Mikä on kysynnän hintajousto 12 :n ja 6 :n välillä?

Lisätiedot

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä:

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä: 1 Luku 22 Yrityksen tarjonta Edellisissä luvuissa olemme yrityksen teoriasta tarkastelleet yrityksen tuotantopäätöstä, ts. panosten optimaalista valintaa, yrityksen voiton maksimoinnin ja kustannusten

Lisätiedot

TENTTIKYSYMYKSET

TENTTIKYSYMYKSET MIKROTALOUSTEORIA (PKTY1) Ari Karppinen TENTTIKYSYMYKSET 20.10.2006 OHJE: Tentin läpäisee 9 pisteellä. Vastaa tehtäväpaperiin ja palauta se, vaikket vastaisi yhteenkään kysymykseen! Muista kirjoittaa nimesi

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17)

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto 31C00100 Syksy 2016 Assist. Jan Jääskeläinen Kauppakorkeakoulu

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto 31C00100 Syksy 2016 Assist. Jan Jääskeläinen Kauppakorkeakoulu Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto 31C00100 Syksy 2016 Assist. Jan Jääskeläinen Kauppakorkeakoulu Vastaukset 1. 1. Pirjon väite huonosta huumevalistuksesta vastaa näkemystä, jonka mukaan

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 19.02.2016. Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus

Taloustieteen perusteet 31A00110 19.02.2016. Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus Taloustieteen perusteet 31A00110 19.02.2016 Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus Pisteytys: 1 2 3 4 5 6 Yht Vastaukseen käytetään vain tätä vastauspaperia. Vastaa niin lyhyesti, että vastauksesi

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Saska Heino Helsingin Sanomat uutisoi jokin aika sitten siitä, kuinka Helsingin huippuravintoloissa vallitsevan yleisen käsityksen mukaan korvaukseton työ kuuluu

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 1. Tarkastellaan pulloja valmistavaa yritystä, jonka päiväkohtainen tuotantofunktio on esitetty alla olevassa taulukossa. L on työntekijöiden

Lisätiedot

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus Kulutus Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 13.11.2013 Antti Ripatti (HECER) Kulutus 13.11.2013 1 / 11 Indifferenssikäyrät ja kuluttajan teoria Tarkastellaan edustavaa kotitaloutta.

Lisätiedot

Kuluttajan valinta. Tulovaikutukset. Hyvinvointiteoreemat. Samahyötykäyrät. Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta

Kuluttajan valinta. Tulovaikutukset. Hyvinvointiteoreemat. Samahyötykäyrät. Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta Kuluttajan valinta Tulovaikutukset Hyvinvointiteoreemat Samahyötykäyrät Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta 1 Mikrotaloustiede (31C00100) Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto

Lisätiedot

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta 154 108 Investoinnin sisäinen korkokanta Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla Investointi on tuottava (kannattava), jos sen sisäinen korkokanta

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13)

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) 8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli Tommi Välimäki 29.1.2003 Peruskäsitteitä: kysyntä ja tarjonta Hyödykkeen arvo kuluttajalle on maksimihinta, jonka hän olisi siitä valmis maksamaan Arvon raja-arvo vähenee määrän funktiona, D=MV

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

2 MARKKINOIDEN TOIMINTA

2 MARKKINOIDEN TOIMINTA 2 MARKKINOIDEN TOIMINTA 1 Markkinoiden toiminta Kuinka markkinat toimivat kysyntä ja tarjonta Markkinatasapaino Kysynnän joustot Markkinoiden toimivuus ja niiden säätely 2 Markkinat ovat mikä tahansa järjestely,

Lisätiedot

Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista

Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista 1 29.9.2015 Valtiovarainministeriö Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista Tämä muistio tarkastelee hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

ehdolla y = f(x1, X2)

ehdolla y = f(x1, X2) 3.3. Kustannusten minimointi * Voiton maksimointi: panosten määrän sopeuttaminen -----> tuotanto * Kustannusten minimointi: tiett tuotannon taso -----> etsitään optimaalisin panoskombinaatio tuottamaan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Indeksit: muodostus ja käyttö Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Sisältö 1. Indeksin määritelmä ja esimerkkejä 2. Erilaisia indeksejä, Tilastokeskuksen tuottamat

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat

Lisätiedot

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 %

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 % Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut 200 6600 Katetuottotavoite (%) 30 % a) Kriittisessä pisteessä katetuottoa pitäisi kertyä kiinteiden kustannusten verran, joka on

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Korrelaatiokerroin. Hanna Heikkinen. Matemaattisten tieteiden laitos. 23. toukokuuta 2012

Korrelaatiokerroin. Hanna Heikkinen. Matemaattisten tieteiden laitos. 23. toukokuuta 2012 Korrelaatiokerroin Hanna Heikkinen 23. toukokuuta 2012 Matemaattisten tieteiden laitos Esimerkki 1: opiskelijoiden ja heidän äitiensä pituuksien sirontakuvio, n = 61 tyttären pituus (cm) 155 160 165 170

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot