4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa"

Transkriptio

1 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa koetuloksiin, mutta siitä sinänsä ei olla kiinnostuneita. 1

2 Tavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. Eliminointimenetelmiä: Satunnaistaminen: Jos kiusatekijä ei ole havaittavissa, pyritään sen vaikutus poistamaan satunnaistamisella (randomization). Kovarianssianalyysi: Havaittavissa oleva kiusatekijä voidaan huomioida koetuloksissa kovariaatteina (lisämuuttujina). 2

3 Satunnaistettu täysi lohkokoe: [Randomized complete block design (RCBD)] Kiusatekijä on tunnistettavissa ja kontrolloitavissa. Kiusatekijän vaikutus eliminoidaan täydellä lohkokokeella, mikä tarkoittaa, että tehdään jokaiselle koeyksikölle (jokaisessa lohkossa) kaikki käsittelyt. Tyypillisesti tällainen tilanne on, kun tiedetään, että koeyksiköiden ominaispiirteet vaikuttavat koetuloksiin. Koeyksiköt (havaintoyksiöt) eivät ole homogeenisia. 3

4 Esimerkki 4.1: (ks. Esim 2.4) Halutaan tutkia antavatko metallin kovuuden tutkimisessa käytettävät neljä pistokärkeä samoja kovuustuloksia. Kullakin kärjellä halutaan tehdä neljä mittausta, eli yhteensä 5 4 = 16 mittausta. Kysymyksessä on yhden tekijän koeasetelma (tekijänä pistokärki). Jos toteutetaan täysin satuunnaistettu yhden faktorin koe, valitaan 16 testipalaa ja arvotaan kullekin pistokärjelle neljä palaa. Ongelmana kuitenkin on, että jos metallipalat ovat kovuuksiltaan erilaisia, vaikuttaa mittaustuloksiin pistokärjen ja satunnaisvirheen lisäksi myös metallipalan mahdollisesti vaihteleva ominaiskovuus. Ominaiskovuudet muodostavat tässä potentiaalisen kiusatekijän, joka kuitenkin voidaan eliminoida satunnaistetulla täydellä lohkokoeella. Menettely: Valitaan neljä metallipalaa ja tehdään mittaus jokaisessa palassa kullakin pistokärjellä (complete block design). Kussakin koepalassa mittausjärjestys on satunnainen (randomization). 4

5 Taulukko 4.1: Satunnaistettu täysi lohkokoe kovuusmittauskokeessa. =============================================================== Mittaus- Koepala Keskikarki Yhteensa Keskiarvo hajonta Yht Karv Khaj =============================================================== 5

6 Yleisesti satunnaistetun täyden lohkokokeen asetelma on muotoa: Taulukko 4.2: Randomized Complete Block Design lohko 1 lohko 2 lohko b käsittely 1 y 11 y 12 y 1b käsittely 2 y 21 y 22. y 2b käsittely a y a1 y a2 y ab Huom. 4.1: Jokaisessa lohkossa on yksi havainto per käsittely. Huom. 4.2: Käsittelyjen järjestys jokaisen lohkon sisällä on satunnainen. Täten satunnaistaminen tapahtuu vain lohkon sisällä 6

7 Tilastollinen malli Tilastollinen malli (eräs mahdollisuus) havainnoille voidaan RCBD-asetelmassa kirjoittaa muotoon (muista, että tilastollisen mallintamisessa kysymys on siitä, että mistä havaittu vaihtelu on peräisin) (1) y ij = μ + τ i + β j + ε ij, jossa μ on yleiskeskiarvo (overall mean), τ i on käsittelyn i vaikutus (treatment effect), β j on lohkon j vaikutus (block effect) ja satunnaisvirhe ε ij N(0, σ 2 ), i = 1,..., a, j = 1,..., b. Parametrit τ i ja β j ajatellaan poikkeamina keskiarvosta μ, jolloin (2) a i=1 τ i = b j=1 β j = 0. 7

8 Mallia (1) sanotaan vaikutusten esitysmuodoksi (vaikutusten malli tai efektien malli) (effects model) Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa odotusarvoesitys (mean model) (3) y ij = μ ij + ε ij, jossa μ ij = μ + τ i + β j. Jatkossa käytetään pääsääntöisesti efektien mallin esitystä. 8

9 Hypoteesit: Kysymys: Onko käsittelyillä vaikutusta? Testattavat hypotsseit: (4) H 0 : τ 1 = = τ a = 0 H 1 : τ i = 0 jollakin i Kokonaisvaihtelua mittaava neliösumma voidaan dekomponoida vaihtelun lähteiden mukaisesti (5) a i=1 b j=1 (y ij y.. ) 2 = b a i=1 ( y i. y.. ) 2 +a b j=1 ( y.j y.. ) 2 + a i=1 b j=1 (y ij y.j y i. + y.. ) 2 eli (6) SS tot = SS treat + SS block + SS err, 9

10 jossa (7) SS tot = a b i=1 j=1 (y ij y.. ) 2 on kokonaisneliösumma, (8) SS treat = b a i=1 ( y i. y.. ) 2 on käsittelyjen osuus SS tot :sta, (9) SS block = b b j=1 ( y.j y.. ) 2 on lohkojen välisen vaihtelun osuus SS tot :sta ja (10) SS err = a b i=1 j=1 (y ij y i. y.j + y.. ) 2 on virhevaihtelun osuus kokonaisvaihtelusta. 10

11 Edellä (11) y i. = 1 b (12) y.j = 1 a ja b y ij j=1 a y ij i=1 (13) y.. = 1 ab a b i=1 j=1 y ij. 11

12 Vapausasteet: SS tot : N 1, jossa df tot = N = ab, SS treat : df treat = a 1, SS block : df block = b 1 ja SS err : df err = ab (a 1) (b 1) = (a 1)(b 1) Keskineliöt: Jakamalla neliösummat vapausasteillaan saadaan keskineliösummat, joita voidaan käyttää samalla varianssien estimaattoreina. (14) MS treat = SS treat a 1, (15) MS block = SS block b 1, (16) MS err = SS err (a 1)(b 1). 12

13 Testisuure: Hypoteesin (4) testaus perustuu testisuureeseen (17) F = MS treat MS err, joka on F -jakautunut vapausasteilla a 1 ja (a 1)(b 1), jos H 0 on tosi. 13

14 Varianssitaulu: Vaihtelun Neliö- Vapaus- Keskilähde summa asteet neliöt F MS Käsittely SS treat a 1 MS treat treat MS err Lohkot SS block b 1 MS block Virhe SS err (a 1)(b 1) MS err Yhteensä SS tot N 1 Periaatteessa testisuuretta F block = MS block /MS err voidaan käyttää myös lohkovaikutusten testaamiseen (H 0 : β 1 = = β b = 0). Kuitenkin satunnaistaminen on tehty vain lohkojen sisällä, minkä seurauksena testi ei ole täysin validi. Käytännön ratkaisuna on, että käytetään sitä deskriptiivisenä suureena; jos F block on suuri on syytä lohkominen tehdä myös vastaavissa kokeissa myöhemminkin. 14

15 Esimerkki 4.2: Metallin kovuustestiaineisto. Alla olevassa kuviossa havainnot on koepaloittain (Test coupon). Hardness Testing Experiment Type of Tip Test Coupon Tip 1 Tip 2 Tip 3 Tip 4 Kuvion perusteella on ilmeistä, että koepalat ovat eri kovuisia, joten vaikutus on syytä eliminoida ennen kärkien mittaustuloksien analyysissa. 15

16 SAS-ajojono RCBD:lle: options ls = 78; /* Data from Montgomery 5 ed, p. 127 */ data hardness; input tip coupon y datalines; ; proc anova data = hardness; class tip coupon; model y = tip coupon; run; 16

17 Tulokset: The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values tip coupon Number of observations 16 Dependent Variable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F tip coupon <.000 Ensimmäisessä taulukossa on yhditetty testaus, jossa on käsittelyn ja lohkon vaikutus yhdessä. Alemmassa taulukossa käsittelyn ja lohkon vaikutukset ovat erikseen. Kaikki p-arvo ovat < 0.001, joten kärjet antavat erilaisia tuloksia. Samoin lohkovaikutuksella on merkitystä, joten se on syytä huomioida. 17

18 Itse asiassa, jos lohkovaikutusta ei huomioitaisi ja analyysi olisi tehty tavanomaisena yhden faktorin kokeena, olisi tulokset seuraavanlaisia: Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total Näiden tulosten mukaan mittauskärkein antamilla tuloksilla ei olisi eroa, mikä olisi mitä ilmeisemmin virheellinen johtopäätös! 18

19 Keskiarvojen yksittäiset vertailut voidaan tehdä samalla tavalla kuin yhden faktorin kokeessa. Esimerkki 4.3: Tarkastellaan esimerkkinä LSD ja Tukey vertailuja (proc anova käsky means tip / lsd tukey;) The ANOVA Procedure t Tests (LSD) for y NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 9 Error Mean Square Critical Value of t Least Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. t Grouping Mean N tip A B B B B B

20 Tukey s Studentized Range (HSD) Test for y NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II error rate than REGWQ. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 9 Error Mean Square Critical Value of Studentized Range Minimum Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N tip A B B B B B Havaitaan, että eron aiheutta mittauskärki 4. 20

21 Mallin riittävyystarkastelut Residuaalit (18) ˆe ij = y ij ˆy ij = y ij (ˆμ + ˆτ i + ˆβ j ) = y ij y i. y.j + y.. jossa ˆμ = y.., ˆτ i = y i. y.. ja ˆβ j = y.j y... Näihin perustuen normaalisuus ja vakiovarianssisuus tarkastelut tehdään kuten kappaleessa 3. Huom 4.3: Havainnon y ij ennustearvo (19) ˆy ij = ˆμ + ˆτ i + ˆβ j = y.. + ( y i. y.. ) + ( y.j y.. ) = y i. + y.j y.. 21

22 Residual normal probability plot and Residuals versus predicted values Residual plots against coupon and tip No obvious non-normalities or non-linearities. 22

23 4.2 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelmalla voidaan eliminoida kahden kiusatekijän vaikutus koetuloksista (havainnot ovat kahden taustatekijän suhteen mahdollisesti epähomogeenisia). Perusajatus: käytetään kiusafaktoreita (nuisance factors) lohkomuuttujina (blocking variables). 23

24 Asetelma: (a) Käsittelyn (treatment) tasoja p ( 3). Molemmilla kiusafaktoreilla myös p luokkaa. (b) Muodostetaan kiusafaktoreiden luokkien mukaisesti p p taulukko. (c) Kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella toteutetaan jokainen käsittely (treatment) täsmälleen kerran (kokeita yhteensä p 2 ja jokaisesta käsittelytasolta saadaan p havaintoa). Huom 4.4: Koeasetelmaa, jossa kullakin käsittely (treatment) tehdään täsmälleen kerran kussakin taustatekijöiden (blocking variables) määrittämässä solussa, sanotaan ortogonaaliseksi. 24

25 Etuja: (a) Yleisesti latinalaisten neliöiden koesuunnitelmilla (latinalaiset neliöt, kreikkalais-latinalaiset neliöt, hyper-kreikkalais-latinalaiset neliöt) voidaan eliminoida useamman kiusatekijän vaikutukset (b) Tarvitaan vain suhteellisen vähän koetoistoja (Latinalaisessa neliössä p 2 ). 25

26 Rajoitteita: (a) Kiusatekijöillä täytyy olla täsmälleen yhtä monta tasoa kuin käsittelyfaktorilla (p tasoa) (b) Kiusatekijöiden välillä ei saa olla yhdysvaikutusta (interaction). Myöskään kiusatekijöiden ja käsittelyfaktorin ei saa olla yhdysvaikutuksia. 26

27 Esimerkki 4.4: Tarkastellaan suihkumoottoreille tarkoitetun viiden erilaisen polttoaineseoksen palamisominaisuuksia. Kustakin raaka-aineet-erästä saadaan valmistettua erä kutakin polttoaineseosta. Seokset on mahdollista teettää viidellä eri toimittajalla. Käsittelytekijänä (treatment) on siis seos ja taustatekijöinä (kiusafaktorit) raaka-aine-erät ja toimittajat. Koeasetelma: Valmistetaan kustakin raaka-aine-erästä jokaista seostyyppiä yksi erä siten, että kukin toimittaja valmistaa yhden erän jokaista seosta, joista kunkin muodostuu eri raaka-aine-eristä. 27

28 Merkitään seoksia (käsittelyjä) aakkosilla A, B, C, D ja E, saadaan esitys, jota sanotaan latinalaiseksi neliöksi (latinalaiseten aakkosten vuoksi) Polttoaineen palamisominaisuudet ============================================================= Raaka-aine- Toimittaja (column) era (row) A = 24 B = 20 C = 19 D = 24 E = 24 2 B = 17 C = 24 D = 30 E = 27 A = 36 3 C = 18 D = 38 E = 26 A = 27 B = 21 4 D = 26 E = 31 A = 26 B = 23 C = 22 5 E = 22 A = 30 B = 20 C = 29 D = 31 ============================================================= Tärkeää on, että raaka-aineet ja toimittajat eri seoksille tulee valittua satunnaisesti. Yllä oleva neliö on yksi perusneliöistä. Permutoimalla sarakkeita ja rivejä saadaan muut neliöt. Satunnaistaminen toteutuu siten, että valitaan kaikista mahdollisita neliöistä toteutettava satunnaisesti. 28

29 Latinalaista neliötä, jossa ensimmäinen rivi ja sarake ovat aakkosjärjestyksessä sanotaan standardineliöksi (standard Latin square). Esimerkkeja standardineliosita: ================================================================= 3x3 4x4 5x5 6x A B C A B C D A B C D E A B C D E F B C A B C D A B C D E A B C D E F A C A B C D A B C D E A B C D E F A B D A B C D E A B C D E F A B C E A B C D E F A B C D F A B C D E n of std squares total n of squares number of runs ================================================================= 29

30 Tilastollinen malli: p p latinalaisen neliön malli havainnolle on muotoa (20) y ijk = μ + α i + τ j + β k + ε ijk, i = 1,..., p (rivitekijä), j = 1,..., p (käsittely [treatment]), k = 1,..., p (saraketekijä). Esimerkki 4.5: (Jatkoa) Jos i = 2, k = 3, niin j = 4(= D) ja y 143 = 30. Virhetermille pätee E[ε ijk ] = 0 ja Var[ε ijk ] = σ 2 ε. Kuten lohkokokeessa, α i, τ j ja β k ovat poikkeamia yleiskeskiarvosta ja summautuvat nolliksi. Perusoletuksena on siis, että tekijöiden (faktoreiden) välillä ei ole yhdysvaikutusta (interaction). 30

31 Havaintojen lukumäärä: N = p 2. Varianssiahjoitelma: (21) SS tot = SS row + SS column + SS treat + SS err, jossa (22) SS tot = (y ijk y) 2, (23) SS row = p (24) SS col = p (25) SS treat = p (26) i,j,k p i=1 p k=1 p j=1 ( y i.. y) 2, ( y..k y) 2, ( y.j. y) 2, SS err = SS tot SS row SS col SS treat. 31

32 Varianssitaulu: Source of Sum of Degrees of Mean variation squares freedom square F Treatments SS treat p 1 MS treat MS treat MS err Rows SS row p 1 MS row MS row MS err Columns SS col p 1 MS col MS col MS err Error SS err (p 2)(p 1) MS err Total SS tot p 2 1 Pääasiallinen kiinnostus on käsittelyn vaikutuksessa. Huom. 4.5: Varianssihajotelma noudattaa havaitun arvon y ijk dekomponointia (27) y ijk y... = ( y i. y... ) + ( y.j. y... ) + ( y..k y... ) eli +(y ijk y i.. y.j. y..k + 2 y... ) (28) tot = row + treat + col + err. 32

33 Esimerkki 4.6: Polttoaine-esimerkki. SAS:lla toteutettuna ajovirta on seuraava: data propellant; input y batch treat $ operator; label y = "burning rate"; datalines; 24 1 A B C D E B C D E A C D E A B D E A B C E A B C D 5 ; proc anova data = propellant; class batch treat operator; model y = batch treat operator; run; 33

34 Tulokset: The SAS System The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values batch treat 5 A B C D E operator Number of Observations Read 25 Number of Observations Used 25 The ANOVA Procedure Dependent Variable: y burning rate Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Tot R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F batch treat operator

35 Ylemmässä varianssitaulun F -testi testaa onko millään tekijällä vaikutusta. Alemman varianssitaulun F -testit testaavat kunkin yksittäisen tekijän vaikutusta. Tuloksista havaitaan, että eri seoksien keskimääräiset palamistulokset poikkeavat toisistaan tilastollisesti merkitsevästi. Lisäksi eri toimittajien seoksilla on vaikutusta palamistulokseen. Sen sijaan raaka-aine-erillä ei näytä olevan vaikutusta. 35

36 Mallin (20) parametrien estimaattorit ovat (29) ˆμ = y = y... = 1 N (30) ˆα i = y i.. y..., (31) ˆτ j = y.j. y..., y ijk i,j,k (32) ˆβ k = y..k y... (33) ˆy ijk = ˆμ + ˆα i + ˆτ j + ˆβ k. 36

37 Maliin riittävyyden tarkastelut: Jos malli on riittävä, residuaalit ovat puhtaasti satunnaisvaihtelua Residuaalit: (34) e ijk = y ijk ˆy ijk = y ijk y i.. y.j. y..k + 2 y... Graafisilla tarkasteluilla saadaan yleissilmäys tilanteesta. 37

38 Esimerkki 4.6: Normal probability plot and residual versus predicted Treatment versus residual and operator versus residual Normaaliisuus on jokseenkin ok, eikä ilmeisiä epälineaarisuuksia. 38

39 4.3 Kreikkalais-latinalaiset neliöt Kolme taustatekijää (nuisance factors). Käsitellään ne lohkomuuttujina. Asetelma: (a) Käsittelytasoja ja taustamuuttujien tasoja p ( 4). (b) Lähtökohtana p p latinalainen neliö, jonka päälle määritellään toinen latinalainen neliö. Käsittelyn tasoja merkitään kreikkalaisilla kirjaimilla (tästä nimi) ja kolmannen taustatekijän tasoja latinalaisilla kirjaimilla. Sarakevaikutukset Rivi Aα Bβ Cγ Dδ 2 Bδ Aγ Dβ Cα 3 Cβ Dα Aδ Bγ 4 Dγ Cδ Bα Aβ 39

40 Huom 4.6: Kysymyksessä jälleen ns. ortogonaalinen asetelma siinä mielessä, että kullakin taustatekijän tasolla käsittely toistetaan täsmälleen kerran. Tilastollinen malli: (35) y ijkl = μ + θ i + τ j + ω k + l + ε ijkl, i, j, k, l = 1,..., p. Rivi: θ i (lohkotekijä) Sarake: l (lohkotekijä) Latinalainen aakkonen: τ j (treatment) Kreikkalainen aakkonen: ω k (lohkotekijä) 40

41 Määrittelemällä kesiarvot indeksien yli kuten edellä, saadaan estimaattorit (36) ˆμ = y... = 1 N jossa N = p 2 i,j,k,l (37) ˆθ i = y i... y..., y ijkl, (38) ˆτ j = y.j.. y..., (39) ˆω k = y..k. y..., (40) ˆl = y...l y... ja sovitearvo (fitted value) (41) ˆy ijkl = ˆμ + ˆθ i + ˆτ j + ˆω k + ˆl = y... + ( y i... y... ) + ( y.j.. y... ) +( y..k. y... ) + ( y...l y... ) 41

42 Residuaali termi: (42) e ijkl = y ijkl ˆy ijkl Varianssitaulu: Source SS df M S F Latin SS latin p 1 MS latin MS latin MS err Greek SS greek p 1 MS greek MS greek MS err Rows SS row p 1 MS row MS row MS err Columns SS rol p 1 MS rol MS rol MS err Error SS err (p 3)(p 1) MS err Total SS tot p 2 1 jossa esimerkiksi (43) SS latin = p p j=1 ( y.j.. y... ) 2 42

43 Esimerkki 4.7: Polttoaine-esimerkki. Oletetaan, että kokeet tehdään viidellä eri testimoottorilla, joiden mahdollinen vaikutus halutaan eliminoida. Identifioidaan moottorit kreeikkalaisilla aakkosilla ja oletetaan, että koe on toteutettu seuraavasti: Raaka-aine- Toimittaja (column) era (row) Aα = 24 Bγ = 20 Cε = 19 Dβ = 24 Eδ = 24 2 Bβ = 17 Cδ = 24 Dα = 30 Eγ = 27 Aε = 36 3 Cγ = 18 Dε = 38 Eβ = 26 Aδ = 27 Bα = 21 4 Dδ = 26 Eα = 31 Aγ = 26 Bε = 23 Cβ = 22 5 Eε = 22 Aβ = 30 Bδ = 20 Cα = 29 Dγ = 31 43

44 data propellant; input y batch treat $ operator assembly $; label y = "burning rate"; datalines; 24 1 A 1 alpha 17 2 B 1 beta 18 3 C 1 gamma 26 4 D 1 delta 22 5 E 1 epsilon 20 1 B 2 gamma 24 2 C 2 delta 38 3 D 2 epsilon 31 4 E 2 alpha 30 5 A 2 beta 19 1 C 3 epsilon 30 2 D 3 alpha 26 3 E 3 beta 26 4 A 3 gamma 20 5 B 3 delta 24 1 D 4 beta 27 2 E 4 gamma 27 3 A 4 delta 23 4 B 4 epsilon 29 5 C 4 alpha 24 1 E 5 delta 36 2 A 5 epsilon 21 3 B 5 alpha 22 4 C 5 beta 31 5 D 5 gamma ; proc anova data = propellant; class batch treat assembly operator; model y = batch treat assembly operator; run; 44

45 Results: The ANOVA Procedure Dependent Variable: y burning rate Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Tot R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F batch treat assembly operator Testimoottorilla (assemmpply) ei näytä olevan vaikutusta (p-arvo ). 45

46 Parittaisten (ortogonaalisten) latinalaisten asetelma, joka muodostaa kreikkalais-latinalaisen neliön, voidaan yleistää edelleen. p p hyperneliö on koeasetelma, joka muodostetaan kolmesta tai useammmasta ortogonaalinen latinalaisesta neliöstä. p 1:stä ortogonaalisesta latinalaisesta neli - ostä voidaan muodostaa asetelma, jolla periaatteessa voidaan tutkia p + 1:n tekijän vaikutusta. 46

47 4.4 Balansoitu epätäydellisen lohkokoe (Balanced Incomplete Block Design, BIBD) Kaikkia käsittelyitä (treatments) ei toteuteta jokaisessa lohkossa (epätäydellinen, incomplete). Kuitenkin kaikkia käsittelykombinaatioita pidetään yhtä tärkeinä. Tällöin koe toteutetaan site, että jokainen käsittelypari esiintyy yhtä monta kertaa (balansoitu [balanced] Lähtökohta: Olkoon käsittelyn tasoja a ja jokaisessa lohkossa voidaan toteuttaa k < a koetta. 47

48 Koeasetelma: Periaatteessa koeasetelma voidaan toteuttaa siten, että valitaan (44) b = a k ) = a! k!(a k)! lohkoa ja totetutetaan kussakin yksi k alkion (käsittelyn) kombinaatio satunnaistetussa järjestyksessä. Huom. 4.7: Usein balanssi saadaan aikaiseksi pienemmällä kuin ( a k) lohkomäärällä. Kirjallisuudesta löytyy sopivia BIBD-taulukoita pienemmille lohkomäärille. 48

49 Esimerkki 4.7: Makesivalmistaja haluaa testata asiakkailla kuutta uutuustuotetta (A, B, C, D, E, F). Asiakkaita pyydetään maistamaan tuotteita ja pisteyttämään ne skaalalla Käytännön syistä kutakin koehenkilöä pyydetään maistamaan neljää tuotetta. Kokeeseen valitaan b = 15 = ( 6 4) henkilöä (lohkot) =============================================== Koehenkilo Pistemaara (tuote) [lohko, block] [kasittely, treatment]) (A) 55 (B) 69 (C) 83 (D) 2 48 (A) 87 (D) 56 (E) 22 (F) 3 65 (B) 91 (C) 67 (E) 35 (F) 4 42 (A) 48 (B) 65 (C) 43 (E) 5 36 (A) 58 (B) 69 (D) 7 (F) 6 79 (C) 85 (D) 56 (E) 25 (F) 7 54 (A) 60 (B) 90 (C) 21 (F) 8 62 (A) 92 (C) 94 (D) 63 (E) 9 39 (B) 71 (D) 47 (E) 11 (F) (A) 59 (B) 84 (D) 51 (E) (A) 74 (C) 61 (E) 25 (F) (B) 78 (C) 78 (D) 22 (F) (A) 74 (B) 59 (E) 32 (F) (A) 74 (C) 78 (D) 34 (F) (B) 83 (C) 92 (D) 68 (E) =============================================== 49

50 Satunnausistaminen on toteutettu siten, että kullekin tuotekombinaatio on jaettu satunnaisesti koehenkilöille ja maistamisjärjestys on permutoitu satunnaiseksi kunkin koehenkilön kohdalla. 50

51 Esittämällä havaintoaineisto seuraavasti nähdään selkeämmin koeasetelma. ========================================== Brand Block Subj. A B C D E F Aver Aver = grand mean ========================================== 51

52 BIBD:n tilastolinen analysointi Kästittelyjen lukumäärä: a. Lohkojen lukumäärä: b. Kussakin lohkossa k käsittelyä (k < a). Toistoja r, eli jokainen käsittely toistuu r kertaa. Havaintoja: N = ar = bk. Kukin käsittelypari esiintyy (45) λ = lohkossa. r(k 1) a 1 Jos a = b, sanotaan koeasetelmaa symmetriseksi. 52

53 Esimerkki 4.8: Makutesti. a = 6, b = 15, k = 4, r = 10, N = 6 10 = 15 4 = 60 ja λ = 10(4 1) 6 1 = 30 5 = 6. 53

54 BIBD:n tilastollinen on samaa muotoa kuin RCBD:n (Randomized Complete Block Design), [kaava (1], eli (46) y ij = μ + τ i + β j + ε ij, jossa y ij on havainto i lohkossa j. Parametri μ on yleiskeskiarvo, τ i on käsittelyn i vaikutus, β j on lohkon j vaikutus ja ε ij on virhetermi. Jälleen a i=1 τ i = 0 ja b j=1 β j = 0. Kokonaisvaihtelu voidaan dekomponoida joko (47) SS tot = SS treat(adj) + SS block + SS err, tai (48) SS tot = SS treat + SS block(adj) + SS err. 54

55 Varianssitaulu: Source SS df MS F Treatment SS treat(adj) a 1 Block SS block(adj) b 1 Error SS err N a b + 1 Total SS tot N 1 SS treat(adj) a 1 SS block(adj) b 1 F = MS treat(adj) MS err F = MS block(adj) MS err Huom. 4.8: Yllä SS tot = SS treat(adj) + SS block(adj) + SS err, koska koeasetelma ei ole enää ortogonaalinen. 55

56 SS treat(adj) ja SS block(adj) lasketaan tavalla, jossa huomioidaan, ettei kaikkia käsittelyjä ole toteutettu jokaisessa lohkossa. SAS:n proc glm ja SPSS:n General Linear Model estimoinnissa nämä saadaan Sum of Squares Type III valinnoilla. 56

57 Teknisesti tämä tapahtuu siten, että estimoidaan ensin koko malli, jossa on molemmat efektit (treatment ja block). Estimointi tapahtuu regressiotekniikalla Saadaan neliösummahajotelma (49) SS tot = SS model.full + SS err Estimoidaan seuraavaksi malli, jossa on vain block tekijä (50) SS tot = SS model.block + SS err.block SS treat(adj) saadaan erotuksena (51) SS treat(adj) = SS model.full SS model.block 57

58 Vastaavsti SS block(adj) saadaan estimoimalla ensin treat efektin malli, josta (52) SS tot = SS model.treat + SS err.treat ja (53) SS block(adj) = SS model.full SS model.treat. 58

59 Esimerkki 4.9: Makutesti SAS-toteutus, proc glm Ensiksi luodaan data: data taste; input koehenkilo pisteet tuote $ label koehenkilo = "block variable"; label tuote = "treatment variable"; datalines; 1 51 A 1 55 B 1 69 C 1 83 D 2 48 A 2 87 D 2 56 E 2 22 F 3 65 B 3 91 C 3 67 E 3 35 F 4 42 A 4 48 B 4 65 C 4 43 E 5 36 A 5 58 B 5 69 D 5 7 F 6 79 C 6 85 D 6 56 E 6 25 F 7 54 A 7 60 B 7 90 C 7 21 F 8 62 A 8 92 C 8 94 D 8 63 E 9 39 B 9 71 D 9 47 E 9 11 F A B D E A C E F B C D F A B E F A C D F B C D E ; run; Toteutetaan proc glm:llä proc glm data = taste; class koehenkilo tuote; model pisteet = koehenkilo tuote / ss3; run; quit; 59

60 Tulokset: The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values koehenkilo tuote 6 A B C D E F Number of Observations Read 60 Number of Observations Used 60 The GLM Procedure Dependent Variable: pisteet Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE pisteet Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F koehenkilo <.0001 tuote <

61 Koska p-arvot jäävät pieniksi on selvästi pääteltävissä, että tuotteiden keskimääräiset pistemäärät poikkeavat toisistaan, eli jotkut tuotteest maistuvat selvästi paremmilta kuin toiset. Yksittäisten keskiarvojen tarkasteluilla (monivertailutestit) saadaan selville parhaimmin maistuvat tuotteet. Koehenkilöiden välillä on myös eroa, joten tämän aiheuttaman vaihtelun huomiointi on perusteltua kokeessa. 61

62 Keskiarvo vertailut (Tukey): The GLM Procedure Tukey s Studentized Range (HSD) Test for pisteet NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II error rate than REGWQ. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 40 Error Mean Square Critical Value of Studentized Range Minimum Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N tuote A D A A C B B B B E C A D F 62

63 Tuotteiden D ja C makuominaisuuksissa ei ole merkittävää eroa. Samoin tuotteet B ja E ovat makuominaisuuksiltaan samanlaisia. Heikoimmin pärjää D, joka poikkeaa tilastollisesti merkitsevästi toisista. 63

Tavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä:

Tavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä: 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa

Lisätiedot

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking) 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa 5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot) R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n

Lisätiedot

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen

Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N = 2

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa. 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti. 2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman

8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman 8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa. 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa

Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa Risto Lehtonen Helsingin yliopisto Kela 1 Tilastokeskuksen SAS-seminaari 16.11.2009 Aiheita Kelan tutkimustoiminta SAS-sovellukset vaativien

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501 Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2 Luento 2 Kuvailevat tilastolliset menetelmät Käytetyimmät tilastolliset menetelmät käyttäjäkokemuksen

Lisätiedot

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Ti 27.10.2015, To 2.11.2015 Miisa Pietilä & Laura Hokkanen miisa.pietila@oulu.fi laura.hokkanen@outlook.com KURSSIKERRAN

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Estimointi. Otantajakauma

Estimointi. Otantajakauma Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 V ls. Uusintamahdollisuus on rästitentissä.. ke 6 PR sali. Siihen tulee ilmoittautua WebOodissa 9. 8.. välisenä aikana. Soveltuvan

Lisätiedot

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Opetus talteen ja jakoon oppilaille. Kokemuksia Aurajoen lukion tuotantoluokan toiminnasta Anna Saivosalmi 9.9.2011

Opetus talteen ja jakoon oppilaille. Kokemuksia Aurajoen lukion tuotantoluokan toiminnasta Anna Saivosalmi 9.9.2011 Opetus talteen ja jakoon oppilaille Kokemuksia Aurajoen lukion tuotantoluokan toiminnasta Anna Saivosalmi 9.9.2011 Aurajoen lukio ISOverstaan jäsen syksystä 2010 lähtien ISOverstas on maksullinen verkko-oppimisen

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

TUTKIMUSOPAS. SPSS-opas

TUTKIMUSOPAS. SPSS-opas TUTKIMUSOPAS SPSS-opas Johdanto Tässä oppaassa esitetään SPSS-tilasto-ohjelman alkeita, kuten Excel-tiedoston avaaminen, tunnuslukujen laskeminen ja uusien muuttujien muodostaminen. Lisäksi esitetään esimerkkien

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla \esitelm\hki0506.ppt 18.5.2006 Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla FORS-iltapäiväseminaari 24.5.2006: Operaatiotutkimus

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua Havaintoaineiston perusteella näyttää ilmeiseltä, että alkuperäisen laastin sidoslujuus on suurempi. Ero sattumasta johtuvaa? Palataan tuonnempana. Tension bond strength data for Portland Cement formulation

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... Sisällysluettelo ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE... 7 1. MONIMUUTTUJAMENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ... 9 1.1 MONIMUUTTUJA-AINEISTON ERITYISPIIRTEITÄ...

Lisätiedot

JY / METODIFESTIVAALI 2013 PRE-KURSSI: KYSELYTUTKIMUS DEMOT

JY / METODIFESTIVAALI 2013 PRE-KURSSI: KYSELYTUTKIMUS DEMOT JY / METODIFESTIVAALI 2013 PRE-KURSSI: KYSELYTUTKIMUS DEMOT SPSS-ohjelmiston Complex Samples- toiminto otoksen poiminnassa ja estimaattien laskennassa Mauno Keto, lehtori Mikkelin AMK / Liiketalouden laitos

Lisätiedot

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä Tilastolliset kokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Koesuunnittelu: Johdanto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Sisällysluettelo 6 VARIANSSIANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...

Sisällysluettelo 6 VARIANSSIANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... Sisällysluettelo ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE... 7 1. MONIMUUTTUJAMENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ... 9 1.1 MONIMUUTTUJA-AINEISTON ERITYISPIIRTEITÄ...

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita

Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita risto.lehtonen@helsinki.fi OHC Survey Tilastollinen analyysi Kysymys: Millä

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i 3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i

Lisätiedot

Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013

Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013 Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013 Karelia ammattikorkeakoulu Biotalouden keskus Simo Paukkunen Lokakuu 2013 Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Aineisto ja menetelmät... 1 3 Tulokset... 6 3.1 Oraiden

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Monitasomallit koulututkimuksessa

Monitasomallit koulututkimuksessa Metodifestivaali 9.5.009 Monitasomallit koulututkimuksessa Mitä ihmettä? Antero Malin Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto 009 1 Tilastollisten analyysien lähtökohta: Perusjoukolla on luonnollinen

Lisätiedot

Batch means -menetelmä

Batch means -menetelmä S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

2. Aineiston kuvailua

2. Aineiston kuvailua 2. Aineiston kuvailua Avaa (File/Open/Data ) aineistoikkunaan tiedosto tilp150.sav. Aineisto on koottu Tilastomenetelmien peruskurssilla olleilta. Tiedot osallistumisesta demoihin, tenttipisteet, tenttien

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

Teema 10: Regressio- ja varianssianalyysi

Teema 10: Regressio- ja varianssianalyysi Teema 1: Regressio- ja varianssianalyysi Regressioanalyysi lienee t-testin ohella maailman eniten käytetty tilastollinen menetelmä. Sitä sivuttiin jo alustavasti Teemassa 4. Varianssianalyysi liittyy useallakin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

SPSS-perusteet. Sisältö

SPSS-perusteet. Sisältö SPSS-perusteet Sisältö Ikkunat 3 Päävalikot 5 Valikot 6 Aineiston käsittely 6 Muuttujamuunnokset 7 Aineistojen kuvailu analyysit 8 Havaintomatriisin luominen ja käsittely 10 Muulla sovelluksella tehdyn

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot