8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman
|
|
- Maija-Leena Haapasalo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi toteutus vaatii 64koetoistoa. Vapausasteita on kaikkiaan 63, joista vain 6 tarvitaan päävaikutusten estimointiin ja 15 toisen asteen yhdysvaikutusten estimoimiseksi. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman asteen tekijät ovat käytännön kannalta merkityksettömiä, voidaan alemman asteen vaikutukset estimoida toteuttamalla vain osa täyden asetelman vaihtoehdoista. Tällaista koeasetelmaa sanotaan osittaiseksi faktorikokeeksi (fractional factorial design). Käyttökelpoinen etenkin, kun etsitään merkittäviä faktoreita suuresta määrästä potentiaalisia faktoreita. Loput 42 kuluvat kolmannen ja sitä korkeamman asteen yhdysvaikutusten estimointiin. 1 2
2 Osittaisten faktorikokeiden käyttökelpoisuus nojautuu kolmeen periaatteeseen: (1) The sparsity of effects principle (Vaikutustekijöiden vähälukuisuus): Ainoastaan päävaikutukset ja alhaisen asteen yhdysvaikutukset vaikuttavat koetulokseen. (2) The projection property (Projisointiominaisuus): Identifioimalla osittaiskokeiden avulla merkittävät faktorit voidaan niiden suhteen toteuttaa korkeamman asteen yhdysvaikutukset sisältävä koe. 8.1 The one-half fraction of the 2 k design (2 k kokeen puolitettu ositus) Jos 2 k kokeen toistoista voidaan toteuttaa vain puolet, eli 2 k /2=2 k 1, sanotaan asetelmaa 2 k kokeen puolitetuksi osittaiskokeeksi (one-half fraction) tai 2 k 1 asetelmaksi (2 k 1 design). (3) Sequential experimentation (Peräkkäistoteutus) Kahden tai useamman osittaiskokeen toistot (runs) voidaan yhdistää laajemmaksi asetelmaksi, josta saadan estimoitua halutut pää- ja yhdysvaikutukset. Näihin palataan tuonnempana. 3 4
3 Käytännössä puolitettu asetelma toteutetaan siten, että tehdään kokeet, joissa korkeimman asteen yhdysvaikutustekijä on samaa merkkiä. Esimerkki 8.1: 2 3 kokeen puolitettu osakoe 2 3 1, jossa on siis 2 2 =4käsittelykombinaatiota. Vaihtoehtoina on toteuttaa käsittelyt, joissa ABC =+1 tai ABC = 1. Vaihtoehdossa ABC = +1 toteutetaan Itse asiassa estimoitaessa päävaikutuksia A, B ja C, estimoiduksi tuleekin päävaikutusten ja toisen asteen yhdysvaikutusten yhdistetyt tekijät, eli A + BC, B + AC ja C + AB. Tämä on hinta, joka joudutaan osittaiskokeessa maksamaan. Tässä konkretisoituu osittaiskokeen perusoletus: The sparsity of effects principle, joka kokeessa tarkoittaa, että ainoastaan päävaikusten tulisi olla todellisuudessa merkityksellisiä. Vaihtoehto ABC = 1 johtaa käsittelyihin A B C AB AC BC ABC A B C AB AC BC ABC Havaitaan, että AB = C, AC = B ja BC = A, täten kokeessa toisen asteen yhdysvaikutukset sulautuvat päävaikutuksiin, eikä niitä voida erikseen estimoida. Havaitaan: AB = C, AC = B ja BC = A, eli yhdysvaikutukset jälleen sulautuvat päävaikutuksiin ja kun estimoidaan päävaikutukset A, B ja C estimoidaan itse asiassa A BC, B AC ja C AB. 5 6
4 Huom. 8.1: Tekijää ABC sanotaan kokeen generaattoriksi. Huom. 8.2: Merkitsemällä ABC:n +1 saraketta 1 1 (1) I = 1 1 vektorilla, sanotaan relaatiota (2) I = ABC Huom. 8.3: Relaation (3) I =+ABC määräämää ositusta sanotaan pääositukseksi (principal fraction) ja (4) I = ABC määräämää ositusta sanotaan komplementaariseksi (complementary) ositukseksi koeasetelman määrittäväksi relaatioksi (defining relation). 7 8
5 Asetelman resoluutio (design resolution) Edellä olevan esimerkin asetelmaa sanotaan resoluutio III asetelmaksi (resolution III design). Siinä toisen asteen yhdysvaikutukset sulautuvat päävaikutuksiin (tai päävaikutukset sulautuvat toisen asteen tekijöiden kanssa). Yleisesti sanotaan, että asetelman resoluutio on R, josmikään p:n faktorin vaikutus ei sulaudu sellaisten vaikutusten kanssa, jotka muodostuvat vähemmästä kuin R p faktorista asetelmassa R =3, p =1 ja päävaikutukset sulautuvat R p =3 1 = 2 faktorin muodostamiin (yhdys)vaikutuksiin. I = ABC (tai I = ABC) määräämää asetelmaa sanotaan usein myös III asetelmaksi, joka osoittaa, että kysymyksessä on puolitettu osittaiskoe, jonka resoluutio on III. 9 10
6 Käytännön sovelluksissa resoluutiot III, ja Vovatkäytettyjä: III resoluution kokeet (Resolution III designs): Päävaikutukset sulautuvat toisen asteen vaikutusten kanssa, mutta eivät muiden päävaikutukten kanssa. Toisen asteen vaikutukset voivat sulautua muihin toisen asteen vaikutuksiin. Tavoitteena on aina korkein mahdollinen resoluutio, jolloin pienin määrä interaktioita sulautuu. resoluution kokeet (Resolution designs): Päävaikutukset eivät sulaudu päävaikutusten kanssa eivätkä toisen asteen vaikutusten kanssa, mutta toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet joidenkin muiden toisen asteen vaikutusten kanssa. Esimerkiksi 2 4 1, asetelma, jossa I = ABCD, onasetelma(2 4 1 ). Resoluution V kokeet (Resolution V designs): Päävaikutukset eivätkä toisen asteen vaikutukset sulaudu muihin pää- tai toisen asteen vaikutuksiin. Toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet kolmannen asteen yhdysvaikutusten kanssa. Esimerkiksi 2 5 1, jossa I = ABCDE on V asetelma
7 Puolittaisen osakokeen asetelman konstruointi 2 k puolittaisen asetelman eli 2 k 1 -asetelman korkeimman resoluution koe saadaan konstruoitua muodostamalla täysi 2 k 1 -kokeen asetelma, siten, että viimeinen faktori K = ABC (K 1). Esimerkki 8.2: asetelma Full 2 3 factorial 2 4 1, I = ABCD Run A B C A B C D = ABC Havaitaan esimerkiksi, että AD = A(ABC) =A 2 BC = BC eli AD sulautuu BC:n kanssa. Huomattavaa kuitenkin on, että valitsemalla mitkä tahansa kolme faktoria, kuten A, C ja D, niin ACD, AC, eikä CD sulaudu mihinkään tekijöiden A, C ja D muodostamiin pää- tai yhdysvaikutuksiin. Toisin sanoen yllä oleva faktorikokeen. asetelma sisältää täyden 13 14
8 Huom. 8.4: Mitä tahansa interaktion termiä voidaan Osittaiskokeen projisointi faktorikokeeksi käyttää viimeisen (k:nnen) faktorin sarakkeen muodostamiseksi, mutta ainoastaan ABC (K 1) tuottaa korkeimman resoluution mukaisen asetelman. (Projection property): Jokainen resoluution R osittaiskoe sisältää täyden R 1 faktorin kokeen (ks. Esim. 8.2). Toisin sanoen resoluution R koe projisoituu täydeksi R 1 faktorin kokeeksi. Käyttökelpoinen, jos havaitaan, että viimeisellä faktorilla ei ole vaikutusta vastemuuttujaan. Yleistys: Jokainen 2 k 1 prosjisoituu kahden toiston täydeksi 2 k 2 faktorikokeeksi, neljän toiston täydeksi 2 k 3 faktorikokeeksi, jne
9 Esimerkki 8.3: Suodatusesimerkki (Esim. 6.4). Alkuperäinen asetelma on 2 4, jossa on yksi toisto (replicate) kullakin faktorikombinaatiolla. Päävaikutukset A, C ja D sekä yhdysvaikutukset AC ja AD osoittautuivat nollasta poikkeavikisi. Oletetaan, että olisi toteutettu asetelma, jossa I = ABCD, eli asetelma (resoluution ), jossa toteutettavat käsittelyt ovat kuten Esimerkissä 8.2. Title "Design of Experiments: Example 8.3 2ˆ(4-1) resolution "; data ex83; input A B C D y; datalines; ; Title2 "Regression coefficients for the full model"; proc glm data = ex83; model y = A B C D A*B A*C A*D /ss3; run; proc glm:llä toteutettuna saadaan regressioestimaatit tekijöille A, B, C, D, AB, AC, AD. Todellisuudessa edellä olevat tekijät sisältävät myös sulautunvan termin tekijät, eli A A + BCD, B B + ACD, C C + ACD, D D + ABC, AB AB + DC, AC AC + BD, AD AD + BC
10 Tuloksiksi saadaan: Intercept A [+ BCD] 9.50 B [+ ACD] 0.75 C [+ ABD] 7.00 D [+ ABC] 8.25 AB [+ CD] AC [+ BD] AD [+ BC] 9.50 B:n ja AB:n kertoimet ovat selvästi merkityksettömiä. Pudottamalla ne pois vapautuu kaksi vapausastetta, jolloin voidaan aidosti estimoida jäljellä olevien parametrien merkitsevyyttä. Toteuttamalla proc glm data = ex83; model y = A C D A*C A*D /ss3; run; saadaan The GLM Procedure Dependent Variable: y R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A C D A*C A*D Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 A C D A*C A*D
11 Lopputulos on lähes sama kuin Esimerkissä 6.4. Ero johtuu pääasiassa siitä, että kukin tekijä on sulautuneiden tekijöiden summa. Kuitenkin, koska esimerkiksi B:n päävaikustus on merkityksetön, niin on uskottavaa, että myös korkeamman asteen termit, joissa B on mukana ovat merkityksettöminä, eli A + BCD A, AC + BD AC ja AD + BC AD. Esimerkki 8.4: asetelma piirilevyn tuotannon parantamisessa. Vastemuuttuja: y: piirilevytuotannon tuottavuus (process yield), sopivissa yksiköissä mitattuna. Faktorit: A: Apperture setting (small, large) B: Exposure time (20 percent below nominal, 20 percent above nominal) C: Develop time (30s, 40s) D: Mask dimension (small, large) E: Etch time (14.5 min, 15.5 min) 21 22
12 Generaattorin I = ABCDE mukaisen asetelman havainnot: ==================================== Run A B C D E = ABCD y ==================================== Kuitenkaan päävaikutukset eivätkä toisen asteen vaikutukset sulaudu muihin päävaikutuksiin tai toisen asteen vaikutuksiin. Täten kysymyksessä on resoluution V asetelma, eli V koeasetelma. Jokainen päävaikutus sulautuu neljännen asteen yhdysvaikutuksen kannsa, esimerkiksi A = BCDE. Vastaavasti jokainen toisen asteen yhdysvaikutus sulautuu jonkin kolmannen asteen yhdysvaikutuksen kanssa, esimerkiksi AB = CDE
13 SAS-ajo: Title "Design of Experiments, Example 8.4"; Title2 "Integrated circuit process improvement"; options ls = 80; data example84; input A B C D E y; label A = "Aperture: -1 = small, +1 = large" B = "Exposure time: -1 = -20%, +1 = +20%" C = "Develop time: -1 = 30s, +1 = 40s" D = "Mask dimension: -1 = Small, +1 = Large" E = "Etch time: -1 = 14.5 min, +1 = 15.5 min" y = "Process yield"; datalines; ; run; Kokoamalla tulokset estimoinnista, saadaan ======================================================== Regression Effect Coefficient Estimate Parameter Estimate (= 2 x reg coeff) SS Intercept A B C D E A*B A*C A*D A*E B*C B*D B*E C*D C*E D*E ======================================================== Huom. Regressio-kertoimet ilmaisevat yhden yksik\"on muutoksen ja "effect estimate" ilmaisee muutoksen -1:sta +1:een, eli kahden yksikon muuoksen. Taten effect estimate = 2 x regression coefficeint. proc glm data = example84; Title3 "Regression coefficients"; model y = A B C D E@2; run; quit; 25 26
14 Silmämääräisesti havaitaan välittömästi, että muut kuin päävaikutukset A (= A + BCDE), B (= B + ACDE), Normal Quantile Plot C (= C +ABDE) ja yhdysvaikutus AB (= AB +CDE) 2 ovat selvästi vähämerkityksellisiä. A B Alla oleva normaalijakauman kvantiilikuvio (qq-plot) 1 AB C vahvistaa tämän näkemyksen. Huom Vaikka kaikkiin termeihin sulautuu korkeamman asteen termejä, ne eivät ole ilmeisesti merkityksellisiä, sillä kaikki sulautuvat tekijät ovat vähintään kolmatta astetta, eikä mikään niistä sinänsä näytä olevan merkityksellinen. -2 Tulkitsemalla merkityksettömät termit satunnaiskohinaksi ja tekijät muuttujiksi, jotka saavat arvoja välillä [ 1, 1], estimoidaan malli (5) y = μ + β a A + β a B + β c C + β ab AB + ε. Saadaan: proc glm data = example84; model y = A B C A*B; run; 27 28
15 R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A <.0001 B <.0001 C <.0001 A*B <.0001 s r e s Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 A <.0001 B <.0001 C <.0001 A*B < yhat Residuaalikuviot näyttävät jäännösten olevan satunnaisia. Regressiokertoimet ovat positiivisia, joten tuotos maksimoituu, kun faktoreiden arvot valitaan +1:stä vastaaviksi
16 Peräkkäisyys (Sequences of Fractional Factorials) Esimerkiksi k = 4faktorin kokeessa täydessä kokeessa on 2 4 =16käsittelykombinaatiota. Osaittaisfaktorikokeiden etu on niiden ekonomisuus ja tehokkuus. Edut korostuvat, jos koeasetelmat on tehtävissä peräkkäin. Yleensä kannattaa toteuttaa koe peräkkäisenä sitem, että ensin toteutetaan asetelma, esimerkiksi I = ABCD (kahdeksan käsittelyä). Jos ei saada selkeää kuvaa faktoreiden (yhdys) vaikutuksista, voidaan toteuttaa I = ABCD. Tällöin koko koe muodostaa lohkokokeen, jossa lohkotekijänä onabcd. Korkein yhdysvaikutus (ABCD) informaatio menetetään, mutta useimmissa tapauksissa tätä toista puolikasta ei tarvitse toteuttaa, jolloin syntyy (merkittävä) säästö
17 Esimerkki 8.5: Tarkastellaan Esimerkin 8.1 (Esim. 6.4 aineisto) komplementaarista puolta (I = ABCD) =============== A B C D y =============== ========================================= I = ABCD A B C D AB AC AD y = mean(factor. y) ========================================= ======================================================== I = -ABCD A B C D AB AC AD y ======================================================== 33 34
18 ================================== Aliased effects in I = -ABCD in I = ABCD A - BCD = A + BCD = 19.0 B - ACD = 4.75 B + ACD = 1.5 C - ABD = 5.75 C + ABD = 14.0 D - ABC = D + ABC = 16.5 AB - CD = 1.25 AB + CD = -1.0 AC - BD = AC + BD = AD - BC = AD + BC = 19.0 ================================== True Effect Estimates (from the Aliased effects) A = = [(A-BCD)+(A+BCD)]/2 B = 3.13 C = 9.88 D = AB = 0.13 AC = AD = ABC = 1.88 = [(D+ABC)-(D-ABC)]/2 ABD = 4.13 ACD = BCD = Havaitaan, että estimaatit (= 2 reg.coeff) ovat samat kuin alkuperäisessä täydessä kokeessa. 8.2 The One-Quarter Fraction of the 2 k Design (2 k asetelman neljännes ositus) 2 k -asetelman neljännesositus saadaan, kun kokeesta tehdään 2 k 2 =2 k /4käsittelykombinaatiota. Toteutus: Laaditaan 2 k 2 asetelmaa vastaava täysi faktorikoe ja määrätään jäljelle jäävien kahden faktorin käsittelyt kahden sopivan yhdysvaikutuksen avulla. Täten 2 k 2 asetelmassa on kaksi generaattoria. Merkitään generaattoreita P :llä jaq:lla. Yhdysvaikutuksista ainoastaan AC ja AD ovat merkityksellisiä, I = P ja I = Q ovat asetelman generoivat relaatiot
19 Generaattorin etumerkki määrää minkä neljänneksen mukaan koe toteutetaan. ±P ja ±Q ovat P :n ja Q:n muodostman generaattoriperheen jäseniä. Asetelman (täysin) määrittävä relaatio (complete defining relation) muodostuu sarakkeiden mukaan, jotka ovat ykkösvektoreita (= I). Näitä ovatp, Q ja PQ (I = P = Q = PQ). Ositus, jossa molemmat P ja Q ovat positiivisia määrittää pääosituksen (pricnipal fraction). Termiä PQ sanotaan yleistetyksi yhdysvaikutukseksi (generalized interaction). Tekijöitä P, Q ja PQ määrittävässä relaatiossa kutsutaan sanoiksi (words). Huom. 8.5: Asetelman resoluutio on sama kuin määrittävän generaattorin lyhimmän sanan pituus (eli kirjaimien lukumäärä). Sulautuvat tekijät, joita sanotaan usein myös alias tekijöiksi, muodostuvat kun kerrotaan tekijöiden sarakkeet P :llä Q:lla ja PQ:lla
20 Esimerkki 8.6: aliasrakenne. Valitaan generaattorit I = ABCE ja I = BCDF. Asetelman määrittävä relaatio on tällöin (6) I = ABCE = BCDF = ADEF, joten asetelman resoluutio on. Aliasrakenne (sulautumiset) ================================================= A = BCE = DEF = ABCDF AB = CE = ACDF = BDEF B = ACE = CDF = ABDEF AC = BE = ABDF = CDEF C = ABE = BDF = ACDEF AD = EF = BCDE = ABCF D = BCF = AEF = ABCDE AE = BC = DF = ABCDEF E = ABC = ADF = BCDEF AF = DE = BCEF = ABCD F = BCD = ADE = ABCEF BD = CF = ACDE = ABEF BF = CD = ACEF = ABDE Taulukosta havaitaan, että jokainen päävaikutus sulautuu joidenkin kolmen ja viiden faktorin yhdysvaikutusten kanssa, mutta ei toisen asteen vaikutusten kanssa. Toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet joidenkin toisen asteen vaikutusten kanssa. Täten kysymyksessä tosiaankin on resoluution, eli asetelma. ABD = CDE = ACF = BEF ACD = BDE = ABF = CEF ================================================= Täten, kun estimoidaan päävaikutus A, estimoidaan tosiasiassa efekti A + BCE + DEF + ABCDF
21 Esimerkki 8.7: Parts manufacture in an injection molding process show excessive shrinkage. Six factors impact on the shrinkage are investigated: A: Mold temperature B: Screw speed C: Holding time D: Cycle time E: Gate size F : Holding pressure Each factor has two levels. y: Shrinkage in percentage (response variable) design is used with one replicate, i.e a 16 runs two-level fractional factorial design. Generating relations: I = ABCE and I = BCDF. Complete generating relations: I = ABCE = BCDF = ADEF, Data: ================================== Basic design A B C D E = ABC F = BCD y ================================= implying a design
22 SAS-ajo options ls = 80; Title "Example 8.7: Injection Molding Process"; Title2 "A 2ˆ6-2 Resolution Design"; data example86; input A B C D y; E = A*B*C; F = B*C*D; label A = "Mold temperature" B = "Screw speed" C = "Holding time" D = "Cycle time" E = "Gate size" F = "Holding pressure" y = "Shrinkage of manufatured parts (x 10)"; datalines; ; run; =================================== Parameter Estimate SS Intercept A B C D E F A*B A*C A*D A*E A*F B*D B*F A*B*D A*C*D =================================== Tekijöiden A (alias A + BCE + DEF + ABCDF), B (B + ACE + CDF + ABDEF) ja AB (AB + CE + ACDF + BDEF) kertoimet poikkeavat ainoastaan merkittävästi nollata. Tämä näkyy selvästi narmaalijakauman kavantiilikuviosta. proc glm data = example86; Title3 "Regression Estimates of the Full Model"; model y = A B C D E F A*B A*C A*D A*E A*F B*D B*F A*B*D A*C*D / ss3; run; quit; 43 44
23 Regressiokertoimien normaalijakauman qq-plot (vasen kuvio) ja AB-interaktio (oikealla) A B 8 6 Normal value (z) 1.5 B A AB Shrinkage B+ B+ Normal value (z) AB Residuals B- B Factor regression estimate Mold temperature (A) Merkittäviä tekijöitä ovat siis vain A ja B sekä niiden yhdysvaikutus. Oikean puolen kuvioista nähdään, että prosessiiin ei paljoakaan vaikuta A:n taso (mold temperature), jos B (screw speed) on -1 eli alhaalla. Sen sijaan prosessi on sensitiivinen lämpötilalle, jos B on +1 (screw speed high) Residual Factor C Residuaalien normaalisuuskuvio ei osoita suurempia poikkeamia. Residuaalien variaatio näyttää kuitenkin olevan riippuvainen C:n arvoista. Säätämällä C alimpaan arvoon minimoituu myös vaihtelu, eli tuotteet ovat homogeenisempia. Pitämällä B alhaalla on kutistuminen noin 10 prosentin luokkaa riippumatta lämpötilasta. Pienimpään kutistumaan päästään siis, kun A ja B ovat alimmissa arvoissaan
24 Huom. 8.6: asetelma voidaan projisoida yhden toiston täydeksi 2 4 faktorikokeeksi, kahden toiston kokeeksi ja neljän toiston 2 2 kokeeksi. Esimerkki 8.8: Esimerkissä 8.7 vain faktoreilla A ja B sekä yhdysvaikutuksella AB on vaikutusta, joten yllä oleva koe projisoitui 2 2 kokeeksi, jossa on n =4 8.3 Yleinen 2 k p Osakoe (General 2 k p Fractional Factorial Design) 2 k -kokeen osakoetta, jossa totetutetaan 2 k p käsittelykombinaatiota sanotaan 2 k -kokeen 1/2 p -osakokeeksi, lyhysti 2 k p -osakokeeksi (2 k p fractional factorial design). toistoa per käsittely kombinaatio. Huom 8.7: Yleisesi 2 k 2 osakoe voidaan projisoida joidenkin r:n faktorin, r k 2täydeksi faktorikokeeksi tai osakokeeksi. Täydet 2 r kokeet voidaan muodostaa Määrittävä relaatio (complete defining relation) muodostuu p:stä (riippumattomasta) generaattoristajaniiden2 p p 1 yleistetystä yhdysvaikutuksesta. faktoreista, joiden kombinaatiot eivät muodosta sanoja (words) täysin määrittävässä relaatiossa (complete defining relation, I = P = Q = PQ). Aliasrakenne saadaan selville kertomalla jokainen pää- ja yhdysvaikutustemi määrittävän relaation tekijöillä
25 Resoluutio ilmaisee kuinka pahasti asetelman vaikutukset ovat sulautuneita (mitä alhaisempi sitä huonompi). Lähtökohtaisesti generaattorit valitaan siten, että saavutetaan mahdollisimman korkea resoluutio. Lisäksi, jos on useampia saman resoluutiotason asetelmia, niin yleensä kannattaa valita se, jolla on vähiten alimman tason aliasrekanteita. Esimerkki 8.8: Kolmen asetelman kahden faktorin interaktion aliasrakenteet: Generaattorit I Generaattorit II Generaattorit III F = ABC F = ABC F = ABCD G = BCD G = ADE G = ABDE AB = AC AB = AF CE = FG AC = BF AC = BF CF = EG AD = FG AD = EG CG = EF AG = DF AE = DG BD = CG AF = BC BG = CD AG = DE AF = BC = DG Vähiten toisen asteen yhdysvaikutusten aliasrakenteita muodostuu generaattoreiden III mukaisessa asetelmassa, joten se on paras vaihtoehto
26 Määrittävän relaation (complete defining relation) sanojen pituuskaavio (length pattern) on lukujono, jossa kukin luku ilmaisee vastaavan sanan pituuden relaatiossa. Esimerkiksi asetelman määrittävn relaation I = ABCF = BCDG = ADF G pituuskaavio on {4, 4, 4}. Määrittävä relaatio, jossa on pienin määrä pituudeltaan lyhimpiä sanoja muodostaa pienimmän aberraation asetelman (minimum aberration design). Voidaan osoittaa, että minimoimalla aberraatio resoluution R asetelmassa takaa, että pienin määrä päävaikutuksia sulautuu asteen R 1 yhdysvaikutusten kanssa, pienin määrä kahden tekijän yhdysvaikutuksia sulautuu asteen R 2 yhdysvaikutustan kanssa, jne. Esimerkki 8.9: Esimerkin 8.8 astelmien pituuskaaviot: I: 4, 4, 4,II:4, 4, 5jaIII:5, 5, 4. Täten asetelmassa III on pienin määrä lyhimpiä sanoja, joten se on pienimmän aberraation asetelma. Seuraavan sivun taulukkoon on koottu pienimmän aberraation asetelmia, kun k
27 Selected 2 k p Fractional Factorial Designs: Number of Number Design factors,k Fraction of runs generators III 4 C = ±AC D = ±ABC V 16 E = ±ABCD D = ±AB E = ±AC VI 32 F = ±ABCDE E = ±ABC F = ±BCD III 8 D = ±AB E = ±AC F = ±BC VII 64 G = ±ABCDEF F = ±ABCD G = ±ABDE E = ±ABC F = ±BCD G = ±ACD V 64 G = ±ABCD H = ±ABEF F = ±ABC G = ±ABD H = ±BCDE E = ±BCD F = ±ACD G = ±ABC H = ±ABD 53 Esimerkki 8.9: Olkoon k = 7 ja tavoitteena on estimoida päävaikutukset ja saada joitain käsitystä toisen asteen yhdysvaikutuksia. Kolmen ja korkeamman asteen yhdysvaikutusten uskotaan olevan käytännössä merkityksettömiä. Näillä perusteilla resoluution asetelma on sopiva, sillä siinä päävaikutukset eivät sulaudu toisen asteen termien kanssa. Toisen asteen termit sulautuvat johinkin toisen asteen termeihin (tarkoituksena onkin saada jotain käsitystä toisen asteen yhdysvaikutuksista). Yllä olevan taukukon mukaan vaihtoehtoina ovat (1/8 ositus, 16 tois- (1/4ositus, 32 toistoa) tai toa). 54
28 Tutkimalla aliasrakenteita tehdään lopullinen valinta. (ks. /pri/section3/eqns/2to7m2.txt ja /pri/section3/eqns/2to7m3.txt) Tässä tavoitteisiin nähden riittäväksi osoittautuu asetelma. 8.4Placket-Burman asetelmat Placket-Burman (PB) koeasetelmat ovat osittaiskokeita, joissa voi olla maksimissaan k = N 1 faktoria, missä N neljällä jaollinen toistojen lukumäärä (12, 20, 24, 28, 36). Jos N on kakkosen potenssi, PB-asetelma palautuu tavanomaiseksi osittaiskokeeksi. PB-asetelmaa voidaan käyttää tapauksissa, joissa yhdysvaikutusten oletetaan olevan merkityksettömiä. Tällöin suuresta määrästä faktoreita voidaan PB-menetelmällä tehokkaasti seuloa tärkeimmät. Lisää asiasta:
nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate).
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedotproc glm data = ex61; Title2 "Aliasing Structure of the 2_IV^(5-1) design"; model y = A B C D E /Aliasing; run; quit;
Title "Exercises 6"; Data ex61; input A B C D E y @@; Label A = "Furnance Temperature" B = "Heating Time" C = "Transfer Time" D = "Hold Down Time" E = "Quench of Oil Temperature" y = "Free Height of Leaf
Lisätiedot8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
LisätiedotLohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista.
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotLähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N = 2
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
LisätiedotKaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotFaktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla.
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotTavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä:
4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
LisätiedotA250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti
A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
Lisätiedot9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
Lisätiedot[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
Lisätiedot9. Muita koeasetelmia. Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotSAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009
SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
Lisätiedot4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
LisätiedotJakaumien merkitys biologisissa havaintoaineistoissa: Löytyykö ratkaisu Yleistetyistä Lineaarisista (Seka)Malleista?
1 Hydrobiologian tutkijaseminaari 20.3.2000 Jakaumien merkitys biologisissa havaintoaineistoissa: Löytyykö ratkaisu Yleistetyistä Lineaarisista (Seka)Malleista? Jari Hänninen Turun yliopisto Saaristomeren
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotVastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
LisätiedotLukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö Samapituisten merkkijonojen lukumäärä I Olkoon tehtävänä muodostaa annetuista merkeistä (olioista, alkioista) a 1,a 2,a 3,..., a n jonoja, joissa on p kappaletta merkkejä.
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotEsim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501
Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotResiduaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat
TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotIlmoittaudu Weboodissa klo (sali L4) pidettävään 1. välikokeeseen!
8069 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2013 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOLLA 9! Ilmoittaudu Weboodissa 4.3.2013 klo
LisätiedotOpiskelija viipymisaika pistemäärä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2012 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Jatkoa harjoituksen 5 tehtävään
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i
3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i
Lisätiedot(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotTilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa
Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa Risto Lehtonen Helsingin yliopisto Kela 1 Tilastokeskuksen SAS-seminaari 16.11.2009 Aiheita Kelan tutkimustoiminta SAS-sovellukset vaativien
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotATH-koulutus: R ja survey-kirjasto THL 16.2.2011. 16. 2. 2011 ATH-koulutus / Tommi Härkänen 1
ATH-koulutus: R ja survey-kirjasto THL 16.2.2011 16. 2. 2011 ATH-koulutus / Tommi Härkänen 1 Sisältö Otanta-asetelman kuvaaminen R:llä ja survey-kirjastolla Perustunnusluvut Regressioanalyysit 16. 2. 2011
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotProjektiivisen geometrian alkeita
Projektiivisen geometrian alkeita Jotkin kilpailutehtävät saattavat ratketa helpoimmin menetelmillä, jotka kuuluvat ns. projektiivisen geometrian alaan. Projektiivinen geometria on eräänlaista pelkän viivoittimen
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotHarjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat
Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.
Lisätiedot9 Projektiivisen geometrian alkeita
9 9 Projektiivisen geometrian alkeita 800-luvun alussa syntynyt projektiivinen geometria oli ensimmäinen todellinen Eukleideen luoman geometrian alueen laajennus. Projektiivista geometriaa voi ja pitäisikin
LisätiedotKOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros
Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros Tilatunnus Tilanumero Käyttötarkoitus Pinta ala '2C94 1,H1 HISSI 1 3,9 '2C9D 1,H2 HISSI 2 3,9 '2CA6 1,H3 HISSI 3 2,0 '2CAF 1,H4 HISSI 4 2,0 '2BC5 101 SÄ 1,8 '2BAA
LisätiedotKemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka
Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotWALTTI-LIPUT KÄYTTÖÖN MIKKELIN KAU- PUNKI- JA MAASEUTULIIKENTEESSÄ 6.6.2016 ALKAEN
WALTTI-LIPUT KÄYTTÖÖN MIKKELIN KAU- PUNKI- JA MAASEUTULIIKENTEESSÄ 6.6.2016 ALKAEN WALTTI-LIPUT KÄYTTÖÖN MIKKELIN PAIKALLISLIIKEN- TEESSÄ JA MIKKELIN SEUDUN MAASEUTULIIKENTEESSÄ Mikkelin paikallisliikenteessä
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEpäeuklidisista geometrioista
Epäeuklidisista geometrioista Euklidisen ja epäeuklidisen geometrian erottava tekijä on yhdensuuntaisuusaksiooma. Sen aksiooma-asemaa kritisoitiin jo antiikin aikana: sen arveltiin olevan todistettavissa
LisätiedotEnergian varastointi ja uudet energialähteet
Energian varastointi ja uudet energialähteet Fossiiliset polttoaineet, entropia 1 Fossiilisten polttoaineiden jaottelu Raakaöljy Vedyn ja hiilen yhdisteet Öljyliuske Öljyhiekka Maakaasu Kivihiili 2 Öljyvarat
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
LisätiedotSuhtautuminen Sukupuoli uudistukseen Mies Nainen Yhteensä Kannattaa Ei kannata Yhteensä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2011 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Eräässä suuressa yrityksessä
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT
TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotA DEA Game II. Juha Saloheimo S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu
A DEA Game II Juha Salohemo 12.12.2007 Content Recap of the Example The Shapley Value Margnal Contrbuton, Ordered Coaltons, Soluton to the Example DEA Mn Game Summary Home Assgnment Recap of the Example
LisätiedotMuodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella
LisätiedotLaskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotHealth 2000/2011 Surveys. Statistical Analysis using SAS and SAS-Callable SUDAAN Packages 17.6.2013. Esa Virtala. etunimi.sukunimi@thl.
Health 2000/2011 Surveys Statistical Analysis using SAS and SAS-Callable SUDAAN Packages 17.6.2013 Esa Virtala etunimi.sukunimi@thl.fi Terveyden ja hyvinvoinnin laitos (THL) PL 30 00271 Helsinki Puhelin:
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotLuku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti
Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan
LisätiedotLoad
Tampereen yliopisto Tilastollinen mallintaminen Mikko Alivuotila ja Anne Puustelli Lentokoneiden rakennuksessa käytettävien metallinkiinnittimien puristuskestävyys Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot