9. Muita koeasetelmia. Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

Transkriptio

1 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa sanotaan sisäkkäiseksi tai hierarkiseksi (nested,hierarchical). Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) Kaksitasoisessa hierarkiseissa asetelmassa on kaksi faktoria A B,jossa B : n tasot ovat hierarkisesti A:n tasojen sisällä. Esimerkki 9.1: Oletetaan että yhtiöllä on kolme raakaainetoimittaa (faktori A). Halutaan tutkia onko kunkin toimittan raaka-aine puhtaudeltaan samanveroista. Jokaiselta toimittalta tilataan neljä raaka-aine-erää (faktori B) jokaisesta erästä otetaan kolme näytettä (toistot n = 3) puhtaustestiä varten. 1 2 Asetelma on seuraavanlainen: Toimitta Erä Hav. y 111 y 121 y 131 y 141 y 112 y 122 y 132 y 142 y 211 y 221 y 231 y 241 y 212 y 222 y 232 y 242 y 311 y 321 y 331 y 341 y 312 y 322 y 332 y 342 Huom. 9.1: Esimerkissä 9.1 erien (faktori B) numerointi 1 4 kunkin toimittan (faktori A) kohdalla on vain sopimuskysymys. Yhtä hyvin ne voisivat olla toimittalla 1: 1 4 toimittalla 2: 5 8 toimittalla 3: Huom. 9.2: Aina ei ole itsestään selvää onko tietty koe hierarkinen vai ei. Kuitenkin periaatteena voidaan pitää,että jos faktorin tasot voidaan numeroida y 113 y 123 y 133 y 143 y 213 y 223 y 233 y 243 y 313 y 323 y 333 y 343 Figure 9.1: Two-stage nested design. Erityisesti havaitaan,että eri toimittajien erät eivät ole missään tekemisissä muiden toimittajien erien kanssa. Toimittan 1 erällä 1 ei ole mitään tekemistä toimittan 2 erän1kanssa,jne. 3 4

2 Tilastollinen Malli Jos tekijä B on hierarkinen (nested) A:han nähden,niin A B välillä ei voi olla interaktiota,sillä kukinb:n taso (arvo,luokka) on sidoksissa vain tiettyyn A:n tasoon (arvoon, luokkaan). Täten siis B luokka on A:sta riippuvainen (A:n funkiot). Kasksiasteisen hierarkisen asetelman tilastollinen malli on muotoa (1) y ijk = μ + τ i + β j(i) + ε (ij)k, i =1,...,a (= tekijän A tasot), j =1,...,b (= tekijän B tasot) k =1,...,n (= toistot), (2) ε (ij)k NID(0,σ 2 ). Alaindeksi j(i) osoittaa,että tekijän B luokka j: on tekijän A luokassa i (hierarkisuus). Alaindeksi (ij)k puolestaan viittaa toistoon k tekijöiden A B käsittelykombinaation ij sisällä. Yhdysvaikutusta (τβ) ij ei ole. 5 6 Jos tekijät A B ovat kiinteitä (ei-satunnaisia) (fixed effects), τ i =0 i=1 b β j(i) =0. j=1 Jos A B ovat satunnaistekijöitä (random effects), (3) τ i N(0,σ 2 τ ) (4) β j(i) N(0,σ 2 β ). Asetelmaa,jossa B:n luokkia on kussakin A:n luokassa sama määrä toistojen n määrä on sama,sanotaan tasapainotetuksi hierarkiseksi asetelmaksi (balanced nested design). Neliösummahajotelma: (5) b n (y ijk y...) 2 = bn ( y i.. y...) 2 i=1 j=1 k=1 +n i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k=1 b ( y ij. y i.. ) 2 b n + (y ijk y ij. ) 2 eli (6) SS T = SS A + SS B(A) + SS E, 7 8

3 jossa (7) SS T = b n (y ijk y... ) 2, i=1 j=1 k=1 (8) SS A = bn ( y i.. y... ) 2, i=1 (9) SS B(A) = n b ( y ij. y i.. ) 2 i=1 j=1 (10) SS E = b n (y ijk y ij. ) 2. i=1 j=1 k=1 Varianssitaulu: Source SS df MS A SS A a 1 MS A BwithinA SS B(A) a(b 1) MS B(A) Error SS E ab(n 1) MS E Total SS T abn 1 (11) MS A = SS A (a 1), (12) MS B(A) = SS B(A) a(b 1), (13) SS E = SS E ab(n 1). Huom. 9.3: Testisuureet määräytyvät sen mukaan ovatko tekijät kiinteitä vai satunnaisia (a) Molemmat tekijät A B kiinteitä (fixed effects model): (b) Tekijät satunnaismuuttujia (random effects model [variance component model]): Hypoteesi: (14) H 0 : τ i = 0 kaikilla i =1,...,a. Testisuure: (15) F = MS A. MS E Hypoteesi: (16) H 0 : β j(i) = 0 kaikilla j =1,...,b,i=1,...,a. Testisuure: (17) F = MS B(A) MS E. Hypoteesi: (18) H 0 : σ 2 τ =0. Testisuure: (19) F = MS A. MS B(A) Hypoteesi: (20) H 0 : σ 2 β =0. Testisuure: (21) F = MS B(A) MS E

4 (c) A kiinteä B satunnaistekijä (mixed model): Sekatapauksessa,jossa A kiinteä B satunnainen,testattavat hypoteesit ovat (14) (20). Hypoteesin (14) testisuure: (22) F = MS A. MS B(A) Hypoteesin (20) testisuure: (23) F = MS B(A) MS E Esimerkki 9.2: Tarkastellaan kolmella menetelmällä valmistetun polttoaineen palamisominaisuuksia. Valitaan satunnaisesti neljä näyte-erää kustakin valmistusmenetelmästä tehdään kolme palamiskoetta kustakin näytteestä. Kysymyksessä on siis sekamalli. =========================================================== Tyotantoprosessi (A) Era(B) =========================================================== SAS: Title "Design of Experiments, Example 9.2": options ls = 80; data example92; input A B label A = "Propellant manufacturing process" B = "Batch within process" y = "Propellant burning rate"; datalines; ; proc glm data = example92; Title "Nested Random Effects Model"; class A B; model y = A B(A); random B(A) /test; quit; Tulokset: Source A B(A) The GLM Procedure Type III Expected Mean Square Var(Error) + 3 Var(B(A)) + Q(A) Var(Error) + 3 Var(B(A)) A Error: MS(B(A)) B(A) <.0001 Error: MS(Error) Tekijän A vaikutus ei ole tilastollisesti merkitsevä. Tekijä B on tilstollisesti merkitsevä. Täten tuotantoprosessilla ei näytä olevan vaikutusta palamiseen. Sen sian näyte-erien välillä oneroa. Tuotannon optimoinnissa tulisi tten vaatia toimittajilta tasalaatuisempaa raaka-ainetta

5 Huom 9.1: Kiinteän tekijän mallissa parametrien estimaatit ovat (24) ˆτ i = y i.. y.. (25) ˆβ j(i) = y ij. y i... Huom 9.2: Satunnaistekijän mallissa (random effects model),saadaan varianssit στ 2 σ2 β estimoitua kaavoilla Esimerkki 9.3: Esimerkissä 9.2 on sekamalli. Vaikutusten estimaatit ovat kaavojen (24) (27) mukaisesti ˆτ 1 = = 3.97, ˆτ 2 = = 2.05, ˆτ 3 = =6.03 ˆσ 2 β = (26) ˆσ 2 τ = MS A MS B(A) bn (27) ˆσ 2 β = MS B(A) MS E n Huom. 9.3: Virhetermin ε (ij)k varianssin σ 2 estimaattori on (28) ˆσ 2 = MS E = SS E ab(n 1). Huom 9.4: Usein hierariksiset asetelmissa malli on niin sanottu sekamalli (mixed model),jossa tekijä A on kiinteä B satunnaismuuttu Yleinen m-tason hierarkinen asetelma (The general m-stage nested design) Kaksitasoinen malli yleistyy suoraviivaisesti useampitasoiseksi. Esimerkki 9.4: Oletetaan esimerkiksi,että valimossa tutkitaan kahden eri valutavan kovuutta. Tilastollinen malli yleiselle kolmitasoiselle asetelmalle (tekijät A, B C) on (29) y ijkl = μ + τ i + β j(i) + γ k(ij) + ε (ijk)l i =1,...,a, j =1,...,b, k =1,...,c l =1,...,n (n = toistojen lukumäärä). Neliösummajotelma: Valu voi tapahtua kolmessa lämpötilassa. (30) SS T = SS A + SS B(A) + SS C(B) + SS E. Valitaan kaksi valutuotetta satunnaisesti kustakin lämpötilavaihtoehdosta joista mitataan kovuudet. Näin syntyy kolme tasoa: valutavat (2 kappaletta), lämpötila (3 vaihtoehtoa) lopputuotteet (2 kappaletta kussakin lämötilassa tuotetusta valutuotteesta). Tässä on siis kolmitasoisnen hierarkinen asetelma

6 jossa (31) SS T = (y ijkl y... ) 2, i j k l (32) SS A = bcn (y i... y... ) 2, i=1 (33) SS B(A) = cn b ( y ij.. y i... ) 2, i=1 j=1 (34) SS B(C) = n b c ( y ijk. y ij.. ) 2 i=1 j=1 k=1 (35) SS E = (y ijkl y ijk. ) 2. i j k l Varianssitaulu: Source SS df MS A SS A a 1 MS A B(within A) SS B(A) a(b 1) MS B(A) C(within B) SS C(B) ab(n 1) MS C(B) Error SS E abc(n 1) MS E Total SS T jossa keskineliösummat (MS) saadaan kamalla vastaava neliösumma (SS) vapausasteilla (df) Hierarkiset faktoriasetelmat (Designs with both nested and factorial factors) Kun osa faktoreista on faktorikokeen mukaisia (ei-hierarkisia) osa hierarkisia,sanotaan asetelmaa hierarkiseksi faktoriasetelmaksi (nestedfactorial design). Esimerkki 9.5: Piirilevylle aseteltavien elektronisten komponenttien käsinladontaprosessia halutaan parantaa. Vaihtoehtoina on kaksi erilaista kokoamislina kolme erilaista kokoamiseen tarvittavaa laitteistoa. Käytännön syistä (tutantolint eri tehdasrakennuksissa) valitaan satunnaisesti neljä kokoaa kumpaankin tuotantolinan,(eli yhteensä kahdeksan). Kuitenkin esimerkiksi tuotantolinlle 1 valitut työntekijät kokoavat testissä kaikilla laitekokoonpanoilla (satunnaistetussa järjestyksessä)

7 Kokoamiseen menevä aika(y) mitataan sekunteina. Faktorit: A: Laitteisto (1,2,3) B: Kokoamislin (1,2) C: Kokoa (1,2,3,4). Toisto tehdään kaksi (n =2). Tekijä C (kokoat) on hierarkinen tuotantolinn (B) suhteen. Tekijät A (laitteisto) B (tuotantolin) eivät ole hierarkinen minkään faktorin suhteen,suhteen,sillä kaikkia laitekokoonpano testataan molemmilla linjoilla kaikki kokoat operoivat jokaisella laitteella. Havaintoainisto: =============================================== layout/ tuotantolin (B) Lin 1 Lin 2 Operator/ kokoa (C) fixture/ laitteisto (A) Laitteisto Laitteisto Laitteisto =============================================== Tilastollinen malli: (36) y ijkl = μ + τ i + β j + γ k(j) +(τβ) ij +(τγ) ik(j) + ε (ijk)l, jossa τ i on tekijän A (laitteisto) vaikutus (i =1, 2, 3), β j on tekijän B (tuotantolin) vaikutus (j =1, 2), γ k(j) tekijän C (kokoa) vaikutus tekijän B (tuotantolin) tasolla j, (τβ) ij on ei-hierarkisten tekijöiden A B yhdysvaikutus (τγ) ik(j) on AC (kokoa laitteisto) yhdysvaikutus,tekijän B (tuotantolin) tasolla j. SAS-toteutus: options ls = 80; Title "Esimerkki 9.5: Hierarkinen kolmen faktorin sekamalli"; data example95; input layout fixture operator datalines; ; proc glm data = example95; Title2 "Piirilevyn valmistusmenetlmat"; class layout fixture operator; model time = layout fixture operator(layout) layout*fixture fixture*operator(layout); random operator(layout) fixture*operator(layout) / test; quit; 27 28

8 Dependent Variable: time layout Error Error: MS(operator(layout)) fixture operator(layout) layout*fixture Error Error: MS(fixtu*operat(layout)) fixtu*oper(layout) Error: MS(Error) Tuotantolinlla (layout) ei ole vaikutusta eikä kokoalla (operator). Sen sian laitteistolla (fixture) laitteiston kokoan yhdysvaikutus tuotantolinn sisällä on tilastollisesti merkitsevä vaikutus. Täten eri laitteistot näyttävät vaikuttavan eri tavoin kokoajien suoriutumiseen tehtävästä. 9.2 Osapalsta-asetelma (The Split-Plot Design) Joissakin useamman tekijän asetelmissa (useampisuuntaisessa varianssianalyysissa) ei ole mahdollista satunnaistaa toisto täydellisesti. Esimerkki 9.6: Tutkitaan sellun valmistusprosessin vaikutusta paperin vetolujuuteen (y). Koetta varten päätetään valmistaa sellua kolmella eri menetelmällä (puun määrä seoksessa,faktori A) neljässä eri keittolämpötilassa (faktori B): ( o C) 90,110, Kysymyksessä on siis 3 4 kahden tekijän koeasetelma (kaksisuuntainen varianssianalyysi),jossa on 12 käsittelykombinaatiota. Tarkastelemalla yksittäisiä keskiarvo,saadaan selville koonpano,jolla suoriutumisaika on lyhin Toisto tehdään kolme per käsittelykombinaatio. Päivässä ehditään tehdä 12 koetta. Niinpä päätetään toteuttaa yksi täysi koe jokaisena seuraavana kolmena päivänä. Päivät muodostavat täten periaatteessa lohkotekijän (toistot eivät ole satunnaistettavissa päivien yli). Kunakin päivänä koe toteutetaan seuraavasti: Tehdään ensin erä selluraaka-ainetta tietyllä mentelmällä (järjestys päivän sisällä voidaan satunnaistaa),etaan erä neljään osaan keitetään niistä lopulliset selluerät eri lämpötilassa. Näin saadaan kunakin päivänä 12 selluerää,yksi kullakin valmistustavalla (menetelmä/lämpötila)

9 Tilanne näyttää lohkokeelta,jossa päivät muodostavat lohkon. Kuitenkin päivän sisällä ei tapahdu täydellistä satunnaistamista,sillä käytännön syistä valmistetaan kerrallaan yhdellä valmistusmenetelmällä erä,etaan se neljään osaan yksi kutakin lämpötilavaihtoehtoa varten. Täydellinen satunnaistaminen vaatisi satunnaistamisen valmistusmentelmä-lämpötila kombinaatioiden eli kaikkien 12:n käsittely-yhdistelmän yli,mikä käytännön toteutuksena olisi liian hankala. Data: ============================================================== Toisto 1 Toisto 2 Toisto 3 (lohko) (lohko) (lohko) Valmistusmenetelma (A) Lampotila (Factor B) ============================================================== Tällä tavoin toteutettu koe on esimerkki ns. osapalsta (split-plot) asetelmasta,jossa jokainen lohko (päivä) etaan kolmeen osaan (pääpalstaan,main plots),jotka muodostuvat valmistusmenetelmistä joiden toteutusjärjestys voidaan satunnaistaa. Pääpalstan mukaisia käsittelyjä sanotaan pääkäsittelyiksi (main plots,main treatments) Jokainen pääpalsta (main plot) etaan osapalstaan (subplot,split-plot). Yllä nämä muodostuvat lämpötiloista (voidaan myös toteuttaa satunnaisessa järjestyksessä). Näitä vastaavia käsittelyjä sanotaan alikäsittelyiksi (subplot treatments). Split-lot asetelman tilastollinen malli: (37) y ijk = μ + τ i + β j +(τβ) ij + γ k +(τγ) ik +(βγ) jk +(τβγ) ijk + ε ijk i =1,...,r, j =1,...,a, k =1,...,b,jossa τ i, β j (τβ) ij liittyvät pääpalstaan (main plot), edustaen lohkovaikutusta τ i,pääkäsittelyn A vaikutusta β j koko palstan virhetermiin (τβ) ij (whole plot error) (= lohko A). γ k,(τγ) ik,(βγ) jk (τβγ) ijk liittyvät alipalstaan (subplot); alipalstan käsittelyn B (subplot treatment) vaikutus γ k,lohko B vaikutus (τγ) ik, AB yhdysvaikus (βγ) jk alipalstan virhetermi (lohko AB) (τβγ) ijk

10 Huom 9.5: Split-plot asetelmassa perusatuksena on, että varsinaisilla faktoreilla lohko tekijällä ei ole yhdysvaikutusta. Täten niihin liittyvä vaihtely on virhevaihtelua,jota voidaan käyttää varsinaisten faktoreiden vaikutustan F -testeissä. Koeasetelman neliösummat lasketaan samalla tavalla kuin kolmisuuntaisessa (kolmen tekijän) varianssianalyysissa,jossa on vain yksi toisto (täten virhevarianssi ei ole estimoitavissa). Esimerkki 9.7: Paperikuidun vetolujuuden SAS-toteutus: data example96; * input R A B label R = "Replicate (toisto), Block factor" A = "Pulp preparation method (valmistusmenetelma)" B = "Temperateure (lampotila)"; do B = 90 to 150 by 20; do R = 1 to 3; do A = 1 to 3; input output; end; end; end; datalines; ; proc glm data = example96; Title2 "Pulp tensile"; class R A B; model y = R A R*A B R*B A*B R*A*B /ss3; Random R; test h = A e = R*A; test h = B e = R*B; test h = A*B e = R*A*B; quit; Split-Plot example Pulp tensile The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values R A B Number of Observations Read 36 Number of Observations Used 36 Dependent Variable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Total R-Square Coeff Var Root MSE y Mean R A R*A B R*B A*B R*A*B

11 Source R A R*A B R*B A*B R*A*B Type III Expected Mean Square Var(Error) + 12 Var(R) + Q(R*A,R*B,R*A*B) Var(Error) + Q(A,R*A,A*B,R*A*B) Var(Error) + Q(R*A,R*A*B) Var(Error) + Q(B,R*B,A*B,R*A*B) Var(Error) + Q(R*B,R*A*B) Var(Error) + Q(A*B,R*A*B) Var(Error) + Q(R*A*B) Tests of Hypotheses Using the Type III MS for R*A as an Error Term A Tests of Hypotheses Using the Type III MS for R*B as an Error Term B Tests of Hypotheses Using the Type III MS for R*A*B as an Error Term A*B Havaitaan,että vetolujuuteen vaikuttaa ensisiisesti lämpötila (faktori B). Myös valmistusmenetelmä (faktori A) on 5 prosentin tasolla tilastollisesti merkitsevä (kuitenkin ralla),samoin yhdysvaikutus (AB) on ralla. Lämpötilaluokissa laskettujen keskiarvojen perusteella vetolujuus näyttää kasvavan paperissa sen mukaan mitä korkeammassa läpötilassa sellu on keitetty