1.2 Polynomien peruslaskutoimitukset (+, ja )

Transkriptio

1 1. Polynomien peruslaskutoimitukset (+, ja ) 1..1 Yhteen- ja vähennyslasku Polynomien yhteen- ja vähennyslasku on käsiteltävissä yhdessä, sillä vähennyslasku voidaan muuttaa aina yhteenlaskuksi niin luvuilla, vektoreilla kuin polynomeillakin. Kaikki tietävät, että 6 =. Tämä vähennyslasku voidaan käsittää myös kuutosen ja miinus-nelosen summaksi: 6 = 6 + ( ) =. Sama logiikka pätee polynomien vähennyslaskuissakin. Mitä tahansa otuksia ei kuitenkaan voida laskea yhteen keskenään. Jos muorin kanatarhassa on kaksi kukkoa ja 1 kanaa, voi joku sanoa, että onhan siellä 16 eläintä, mutta tässä yhteenlaskussa katoa informaatiota. Voi kuitenkin sattua, että muorin poika avioituu, ja miniä tuo tullessaan kukon ja 10 kanaa. Silloin on ilmaistavissa, että kanatarhassa on kukkoa ja kanaa. Olisi myös mahdollista merkitä x = kukkojen ja y = kanojen lukumäärä. Avioliiton tuoma siunaus kanatarhan hyväksi olisi siten (x + 1y) + (x + 10y) = x + 1y + x + 10y = x + y. Mitä ovat polynomilaskennat kanat, kukot, ankat ja hanhet? Muuttujan x erikorkuisia potensseja ei voida laskea yhteen. Siten esimerkiksi lausekkeelle 5x x ei voi tehdä mitään. Summalauseke sievenee, jos siinä on ns. samanmuotoisia termejä. Nämä tällaiset termit eroavat toisistaan korkeintaan kertoimiensa suhteen. Muuttujaosa eksponentteineen on näissä sama. Esim. 1 Jos summaa x 1x bx + 8bx pidetään b:n ja x:n polyno-mina, ovat sen kaksi ensimmäistä termiä keskenään samanmuotoiset, mutta kaksi viimeistä termiä eivät ole keskenäänkään. Jos mainittua summaa taas pidetään pelkästään x:n polynomina, sen kolme ensimmäistä termiä ovat keskenään samanmuotoiset. Kertoimet ovat tällöin 1, 1, ja b. Huomaa, katsele termejä ja mieti sanontaa; termit eivät eroa muilta osin kuin kertoimiensa puolesta. Jos lauseketta pidetään sekä x:n että b:n polynomina, sen kertoimet ovat 1, 1, 1 ja 8. Esim. Polynomissa x5 x + x 7x + 19x + ½ mitkään termit eivät ole keskenään samanmuotoisia.

2 Kun polynomeja lasketaan yhteen tai vähennetään, joudutaan yhdistämään samanmuotoisia termejä. Tämä tapahtuu soveltamalla kertolaskun osittelulakia "takaperin", siis oikealta vasemmalle. Tämä laki m(b + c) = mb + mc voidaan heti laajentaa koskemaan monitermisen summan kertomista luvulla seuraavasti: m(b + c + d + e +...) = mb + mc + md + me +... ja tämä onkin sangen syvällinen laki. Nimittäin tämän m:llä merkityn kirjaimen tilalla voi olla joskus vaikka ykkösen vastaluku, 1. Jos koko polynomi kerrotaan luvulla 1, saadaan sen vastapolynomi. Tämän osittelulain käänteinen käyttö selviää seuraavista esimerkeistä: Esim. m + 5m + m = ( )m = 10m. Esim. 5z + 18z 11z = ( )z = z. Esim. 5 ak ak + ak = (1 + )ak = ak. Esim. 6 a(b + c) + m(b + c) = (a + m)(b +c). Käytännön laskuissa tietenkin jätetään pois ylläkirjoitetuissa esimerkeissä näkyviin merkityt välivaiheet, siis samanmuotoisten termien yhdistäminen sulkulausekkeita käyttäen. Väärin tällaisen välivaiheen kautta eteneminen ei suinkaan ole, vaan aluksi jopa suositeltavaa, jotta asia hahmottuisi, suoritus rutinoituisi ja päästäisiin eroon yhteenlaskun, kertolaskun ja potenssisääntöjen väärinkäytöstä. Huom.! Älä siten koskaan enää sotke: x + x = x, mutta x x = (x) = 9x Suositeltava tapa on järjestää usean kirjaimien polynomeissa termit aakkosjärjestykseen taikka yhden kirjaimen polynomeissa muuttujan alenevien (joskus ylenevien) potenssien mukaan. Kirjoitetaan siis x 1y + z (aakkosjärjestys) taikka x 5x + 6, mutta ei yleensä 6 + x 5x.

3 Kuinka sitten lasketaan polynomeja yhteen? Kaiketi tällaiset yhteenlaskettavat voidaan panna sulkeisiin ja sulkeiden väliin yhteenlaskua symboloiva plusmerkki: [P(x)] + [Q(x)] =? Jo edellisessä kurssissa puhuttiin sulkeiden käytöstä siinä mielessä, että niiden avulla voitiin muuttaa laskutoimitusten keskinäistä järjestystä. Tässä yhteydessä ei ole niinkään kyse siitä, vaan nyt huomataan, että edelliskappaleen lausekkeessa on kumpaisenkin hakasulkulausekkeen edessä näkymätön kerroin, ykkönen. Ykkösellä tai sen vastaluvulla kertomisen vaikutus tulon arvoon tunnettaneen sikäli hyvin, että voidaan kirjoittaa sääntö: LAUSE 1: Jos sulkeiden edessä on plus-merkki, niin sulkeet voidaan poistaa ja siirtyä seuraavaan välimuotoon kirjoittamalla sulkeiden sisäinen tavara sellaisenaan. Jos taas sulkeiden edessä on miinus-merkki, niin se ja sulkeet voidaan poistaa, jos sulkeiden sisäisen tavaran jokaisen termin etumerkki muutetaan. Tästä seuraa oikeastaan välittömästi runsain mitoin käyttöön tuleva sääntö, jota sovelletaan polynomien yhteenlaskuun: LAUSE : Polynomit lasketaan yhteen siten, että kirjoitetaan niiden termit etumerkkeineen peräkkäin ja yhdistetään sitten samanmuotoiset termit. Esim. 7 (x x + ) + (x 9x + 10x ) = = x +x 9x x + 10x + = x 5x + 7x.

4 Esim. 8 (cb cb) + (c cb) + ( c cb) = = cb cb + c cb c cb = = ( 1)c + ( )cb cb = c cb cb Pelkällä yhteenlaskulla ei kuitenkaan selvitä. Lähes samassa määrin joudutaan toisesta polynomista toinen vähentämään. Asian sisäänmenovaiheessa joudutaan puhumaan polynomin vastapolynomista, ja tähän asiaan jo edellä viitattiin. LAUSE : Polynomin vastapolynomi saadaan kertomalla koko polynomi luvulla 1. Käytännössä tämä tapahtuu muuttamalla polynomin jokaisen termin etumerkki. Esim. 9 Polynomi olkoon P(x) = y 15y + 18y. Sen vastapolynomi, P(x) = y + 15y 18y + = (y 15y + 18y ). Polynomi, jonka vastapolynomi muodostetaan, kirjoitetaan, ellei muuten, niin mielikuvituksessa, sulkeisiin, ja sulkeiden eteen kirjoitetaan etumerkiksi miinus. Toimitaan tämän jälkeen summan kertomista luvulla koskevan lauseen mukaan. LAUSE : Polynomien vähennyslasku: Vähennettävään lisätään vähentäjän vastapolynomi: P(x) Q(x) = P(x) + [ Q(x)].

5 Esim. 10 (8x 1y) (x y + 10) = (8x 1y) + ( x + y 10) = = 8x 1y x + y 10 = = (8 )x + ( 1 + ) y 10 = 5x 11y 10 Esim. 11 (5x 1y) ( x + x) + (x x + 15y) = = 5x 1y + x x + x x + 15y = x + x + y. Useitten päällekkäisten sulkumerkkien poistaminen voidaan suorittaa vaiheittain aloittaen esimerkiksi sisemmistä. Esim. 1 a {a 1 [ a (a + a )]} = = a {a 1 [ a a a + ]} = = a {a 1 + a + a + a } = = a {6a + a } = = a 6a a + = a a +. Jos lausekkeessa on useita sisäkkäisiä sulkumerkkejä, voi olla hyödyllistä jossakin vaiheessa yhdistellä samanmuotoisia termejä, ennekuin menee poistamaan seuraavan "asteen" sulkumerkkejä. Jos aloittaa sulkeiden poistamisen uloimmista, niin astetta alempaa sulkulauseketta on kokonaisuudessaan pidettävä yhtenä terminä. Sen etumerkki vaihtuu, mikäli poistettavien sulkeiden edessä oli miinus, mutta muussa tapauksessa pysyy ennallaan. Esim. 1 a {a 1 [ a (a + a )]} = = a a [ a (a + a )] = = a + 1 a (a + a ) = = a + 1 a a a + = = a a +. Esim. 1 (x + 1) [(x 1) (x x)] + = = x 1 + [x 1 x + x] = = x + 1 x x x = = x + + x x = x x +.

6 1.. Polynomien kertolasku Kun lähdetään etenemään yksinkertaisimmasta monimutkaiseen, kerrotaan aluksi keskenään yksitermisiä polynomeja, monomeja. Tässä noudatetaan monien kenties jo pienenä ulkoa oppimaa sääntöä: Kahden tai useamman luvun tulolle saadaan sama arvo, kerrotaanpa luvut missä järjestyksessä tahansa ja vaikka ryhmittäinkin. Tähän nojaten voidaan kirjoittaa jonkinlaiseksi menettelyohjeeksi LAUSE 5: Monomit kerrotaan keskenään ryhmittämällä eri monomien tekijät siten, että erikseen kerrotaan keskenään (numero)kertoimet ja samankantaiset potenssit. Näin saadut tulot merkitään kerrottaviksi keskenään muistaen, että kertomerkkiä ei tavallisesti kirjoiteta näkyviin, ellei sen poisjättäminen aiheuta sekaantumisen vaaraa. Esim. 15 ( xy ) (5x y ) = 5 x x y y = 10xy6. Esim. 16 ( abc)(ac)( abd) = = ( )()( ) a a a b b c c d = = a7bc6d. Esim. 17 (1xk + y)(xk yp) k+ k p = 1 x x y y = k p 1 = 5 x y + Astetta työläämpi tapaus on polynomin kertominen monomilla. Tässä pätee täsmälleen summan kertomista luvulla koskeva sääntö m(b + c +...) = mb + mc +... Lienee selvää, että monomien välinen kertolasku on hallittava.

7 LAUSE 6: Polynomi kerrotaan monomilla siten, että jokainen polynomin termi kerrotaan ko. monomilla. Saadut tulot merkitään laskettaviksi yhteen. Esim. 18 x(x 5x + ) = x x + x( 5x) + x = x 10x + x. Esim kb (kb 6k b + 1k 6 1 = k b + k b 6 k 7 b. Esim. 0 x(x y) y(x y) = x xy 6xy + 9y = x 8xy + 9y Viimeksi käsitellyssä esimerkissä oli kaksikin polynomin kertomista monomilla. Kertolaskujen suorittamisen jälkeen on yhdistetty vielä samanmuotoiset termit. Normaalisti ei samanmuotoisten termien yhdistämiseen joudutakaan kerrottaessa polynomia monomilla; sen sijaan kylläkin polynomia kerrottaessa toisella polynomilla melkein aina. LAUSE 7: Polynomi kerrotaan toisella polynomilla niin, että kertojan jokaisella termillä kerrotaan kerrottavan jokainen termi. Saadut tulot merkitään laskettavaksi yhteen ja samanmuotoiset termit yhdistetään. Esim. 1 (x )(x x + 5) = = x x + x( x) + x 5 + ( )x + ( )( x) + ( ) 5 = = 6x x + 10x 9x + 6x 15 = 6x 1x + 16x 15.

8 Esim. ( x + x + )( 5x + x x ) Tämä kertolasku on suoritettavissa aivan edellisessä esimerkissä esitetyn tavoin, mutta samanmuotoisten termien yhdistäminen on helpompaa, kun suoritetaan kertominen numerolukujen kertolaskualgoritmin mukaisesti. 5x x 5x 10x 5x x + x + x 15x 15x x + x + x + x x + x 11x 8x 6x 1 + x 1x 1 Laskun tulospolynomi löytyy viivan alta. Huomaa: Säästät työtä, kun valitset kerrottavaksi (ylempi) sen polynomin, jossa on enemmän termejä ja kertojaksi sen, jossa niitä on vähemmän. Aseta aina molemmat polynomit ennen kertomista muuttujan alenevien potenssien mukaan ja pidä huoli, että muuttujan samankorkuiset potenssit tulevat sitten kohdakkain. Tällöin samanmuotoisten termien yhdistäminen on helppoa. Toivottavasti kaikki osaavat kertoa suurempia kokonaislukuja kertolaskualgoritmin mukaan, siis allekkain ilman kalkulaattoria.