Selvitä, mitä koodi tekee sekä kommentoi ja täydennä koodi. Työn arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Selvitä, mitä koodi tekee sekä kommentoi ja täydennä koodi. Työn arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen."

Transkriptio

1 Ohjelmointi ja Matlab : syksy 0 : Kotitehtävä : Seuraavassa on esitetty Matlab-koodi, joka laskee jotakin. %om_0_k.m A=[,,0;-,,;0,,4];b=[;;3];n=length(b); for k=:n-,for i=k+:n,if A(i,k)~=0, ka=a(i,k)/a(k,k);a(i,k+:n)=a(i,k+:n)-ka*a(k,k+:n); b(i)=b(i)-ka*b(k);,,; for k=n:-:,b(k)=(b(k)-a(k,k+:n)*b(k+:n))/a(k,k);;disp(b); Selvitä, mitä koodi tekee sekä kommentoi ja täydennä koodi. Työn arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen. Ratkaisu: Kyseessä on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu Gaussin eliminaatiomenetelmällä. Kyseessä on seuraava lineaarinen yhtälöryhmä: x y x y z y 4z 3 Matriisimuodossa () voidaan esittää seuraavasti 0 x y 0 4 z 3 Ratkaistaan nyt () Gaussin eliminaatiomenetelmällä (puhutaan myös vaakarivimuunnoksista). Matriisimuodossa laskut tapahtuvat seuraavasti. Aloitusmatriisi on: Voimme laittaa nyt rivit Matlabiin seuraavasti (voimme laskea tietysti käsinkin, mutta koska Matlab on käytössämme...): >> format rat % Käytämme murtolukuesitysmuotoa R = [ 0 ] ; R = [ - ] ; R3 = [ ] ; >> disp ([ R; R; R3 ]) Laskemme vektoreita käyttäen. () ()

2 Ensimmäinen tehtävä on poistaa x:n kertoimet riveiltä (yhtälöistä) (R) ja 3 (R3). Kun kerromme ensimmäisen rivin (R) ½:lla ja lisäämme sen toiseen riviin (R) saamme >> R = R + (/) * R ; >> disp ([ R; R; R3 ]) 0 0 5/ 5/ Nyt kolmannen rivin x:n kerroin on jo nolla, joten sitä ei tarvitse poistaa. Jos siinä olisi nollasta eroava luku, se poistetaan edellä esitetyllä tavalla. Seuraavaksi poistetaan y:n kertoimet riviltä 3 (R3) kertomalla rivi (R) (-/5):lla ja lisäämällä se riviin 3 (R3): >> R3 = R3 + (-/5)*R ; >> disp ([ R; R; R3 ]) 0 0 5/ 5/ 0 0 6/5 0 x 0 y z Nyt matriisi on halutussa muodossa, eli ns. alakolmiossa on pelkkiä nollia. Palautetaan esitysmuoto lineaarisen yhtälöryhmän muotoon: x y 5 5 y z 6 z 5 Josta takaisinpäin sijoittamalla saamme: >> z = /(6/5) z = 5/8 >> y = ( (5/)-*z )/(5/) y = / >> x = ( - y) / x = /4 >> disp ([ x; y; z ]) /4 / 5/8 Eli yhtälöryhmän ratkaisu on: x 4 x y eli y z 8 z Voimme tarkistaa vastauksen sijoittamalla arvot alkuperäiseen yhtälöryhmään (). (3)

3 Käydään seuraavaksi alkuperäisen sillisalaattikoodin - käytetään myös nimitystä spagettikoodi - kimppuun. Lisätään tekstiin rivinvaihtoja, välilyöntejä ja tekstin sisennyksiä, jolloin saamme: %om_0_k.m A = [,, 0 ;... -,, ;... 0,, 4 ] ; b = [ ; ; 3] ; n = length(b) ; for k = : n-, for i = k+ : n, if A(i,k)~=0, ka = A(i,k)/A(k,k) ; A(i,k+:n) = A(i,k+:n) - ka*a(k,k+:n) ; b(i) = b(i) - ka*b(k) ;,, ; for k = n : - :, b(k)=(b(k)-a(k,k+:n)*b(k+:n))/a(k,k) ; ; disp(b) ; Vaikka koodi on vielä täysin kommentoimaton, näemme jo ohjelman rakenteen aika selvästi. Alussa on määritelty laskentamatriisit, seuraavaksi on kaksi laskentasilmukkaa, jotka käyvät läpi matriisin A ja lopuksi lasketaan matriisin (tai oikeammin vektorin) arvot. Lopuksi tulostetaan ruudulle b:n arvot. Kommentoidaan koodi: %om_0_k.m format rat ; % Esitetään murtolukuina. % Lineaarinen yhtälöryhmä % x + y = % -x + y + z = % y + 4z = 3 % voidaan esittää vektorimuodossa Matlabissa seuraavasti. A = [,, 0 ;... % 3 x 3 matriisi. -,, ;... 0,, 4 ] ; b = [ ; ; 3]; % Pystyvektori. n = length(b) ; % Lasketaan pystyvektorin pituus. % Tulostetaan ongelma ruudulle. disp ([ A b ]) ; disp (' ') ; % Tyhjä rivi tulosteeseen. % Eliminointivaihe (elimination phase). for k = : n-, % Käydään läpi kaikki rivit. for i = k+ : n, %.. ja kaikki sarakkeet. if A(i,k)~=0, % Jos alkion arvo nolla, ei tehdä mitään. ka = A(i,k)/A(k,k) ; % Lasketaan kertoimen arvo. % Vaakarivimuunnokset. A(i,k+:n) = A(i,k+:n) - ka*a(k,k+:n) ; b(i) = b(i) - ka*b(k) ;,, disp ([ A b ]) ; disp (' ') ; ; Yhden sisennyksen mitta on joko kaksi, kolme tai neljä välilyöntiä mikä nyt sattuu silmää parhaiten miellyttämään. Tässä on käytetty sisennyksenä kahta välilyöntiä.

4 % Taaksepäin sijoittaminen (back substitution). for k = n : - :, b(k) = (b(k) - A(k,k+:n)*b(k+:n))/A(k,k); ; % Tulostetaan ratkaisu ruudulle. disp ( 'Ratkaisu:') ; disp (b) ; Kun ajamme ohjelman, saamme seuraavan tulosteen: >> om_0_k Ratkaisu: /4 / 5/8 0-5/ 5/ / 5/ 0 6/5 Laskenta etenee hiukan toisella tavalla kuin tehtävän alussa on esitetty; Gaussin eliminaation kun voi koodata niin monella eri tavalla. Tässä yhteydessä emme kuitenkaan paneudu tehdyn koodauksen kaikkiin hienouksiin. Tosielämässä Matlabilla lineaariset yhtälöryhmät ratkaistaan kenoviivalla jakamalla seuraavasti: >> A = [,, 0 ; -,, ; 0,, 4 ] ; >> b = [ ; ; 3] ; >> vastaus = A\b vastaus = /4 / 5/8 Matlabia käyttäen monet monimutkaisilta vaikuttavat ongelmat muuttuvat helpoiksi.

5 Ohjelmointi ja Matlab : syksy 0 : Kotitehtävä : palautettava to.09.0 klo :00 mennessä Juha Jaakon postilaatikkoon (joko kirjepostilaatikkoon tai sähköpostilaatikkoon juha.jaako@oulu.fi) Seuraavassa kuviossa on esitetty osastolta valmistuneet kandidaatintyöt ja tutkinnot. Kuviossa käytetyt datapisteet ovat seuraavat: % Kandidaatintyöt. data = [ datenum(005, 9, ), 0 ; datenum(006,, 30), ;... datenum(007,, 6), ; datenum(008,, 5), 5 ;... datenum(008, 3, 4), 8 ; datenum(008, 5, ), 3 ;... datenum(008, 9, 9), ; datenum(009,, 0), 33 ;... datenum(009, 4, 8), 4 ; datenum(009, 7, 6), 54 ;... datenum(009, 8, 6), 67 ; datenum(009, 0, 6), 79 ;... datenum(009,, 3), 89 ; datenum(00,, ), 99 ;... datenum(00, 3, 9), 06 ; datenum(00, 9, ), 5 ;... datenum(00, 0, 7), 34 ; datenum(00,, ), 43 ;... datenum(0,, 8), 5 ; datenum(0, 4, 9), 6 ;... datenum(0, 5, 30), 7 ; datenum(0, 7, ), 80 ] ; % Kandidaatintutkinnot. data = [ datenum(005,,3), 0 ; datenum(006,,3), 0 ;... datenum(007,,3), 0 ; datenum(008,,3), ;... datenum(009,,3), 37 ; datenum(00,,30), 90 ; datenum(0, 5,30), 6 ] ; Koodaa Matlab-ohjelma, joka tekee yo. kuvion. Työn arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen.

6 % om_0_k.m % Juha Jaako % MATLAB Version a (R.) on PCWIN clear all ; format compact ; hold on ; % Aloitetaan kuvan piirtäminen. % Tutkintotavoite 85 tutkintoa vuodessa - tätä voi muuttaa. tavoite = 85 ; % Aloituspäivä. alku = datenum(005, 9, ) ; % Datapisteet kandidaatintöistä. data = [ datenum(005, 9, ), 0 ;... datenum(006,, 30), ;... datenum(007,, 6), ;... datenum(008,, 5), 5 ;... datenum(008, 3, 4), 8 ;... datenum(008, 5, ), 3 ;... datenum(008, 9, 9), ;... datenum(009,, 0), 33 ;... datenum(009, 4, 8), 4 ;... datenum(009, 7, 6), 54 ;... datenum(009, 8, 6), 67 ;... datenum(009, 0, 6), 79 ;... datenum(009,, 3), 89 ;... datenum(00,, ), 99 ;... datenum(00, 3, 9), 06 ;... datenum(00, 9, ), 5 ;... datenum(00, 0, 7), 34 ;... datenum(00,, ), 43 ;... datenum(0,, 8), 5 ;... datenum(0, 4, 9), 6 ;... datenum(0, 5, 30), 7 ;... datenum(0, 7, ), 80 ] ; data(:,) = data(:,) - alku ; % Datapisteet kandidaatintutkinnoista. data = [ datenum(005,,3), 0 ;... datenum(006,,3), 0 ;... datenum(007,,3), 0 ;... datenum(008,,3), ;... datenum(009,,3), 37 ;... datenum(00,,30), 90 ;... datenum(0, 5,30), 6 ] ; data(:,) = data(:,) - alku ; % Määritetään akselien rajat. axis( [ ] ) ; % Piirretään datapisteet kuvioon. plot ( data(:,), data(:,), 'k.-', data(:,), data(:,), 'kd-' ) ;

7 % Piirretään asetusarvo +. vuoden viive &. vuoden viive... % Montako päivää on neljässä vuodessa. delta_x = datenum(009, 8, 3) - datenum(005, 9, ) ; delta_y = 4*tavoite ; % Tutkintotavoite neljässä vuodessa. kk = delta_y / delta_x ; % Suorien kulmakertoimen laskenta. for k = : 8, % Piirretään suorat fplot-komennon avulla. % Suoran yhtälön muodostaminen. fun = [ numstr(kk) '*x-' numstr(k) '*(' numstr(tavoite) ')' ] ; % Piirretään sinisellä... str = 'b--' ; %... paitsi kun k =. if ( k == ), str = 'r-' ; % Varsinainen suoran piirtorutiini. fplot (fun, [ ], str ) ; % Tekstit. leg ( 'Kandidaatintyöt', 'Kandidaatintutkinnot',... [ 'Tavoite ' numstr(tavoite) ' tutkintoa/a' ], ) ; title ( { 'Kandidaatintyöt ja -tutkinnot', 'Prosessi- ja ympäristötekniikan osastolla' } ) ; xlabel ( 'Päiviä ajanhetkestä.9.005' ) ; ylabel ( 'Määrä' ) ; text ( 50, 5, [ 'Tilanne ' datestr(now, ) ] ) ; grid on ; hold off ; % Ruudukko kuvioon. % Lopetetaan kuvion piirtäminen. %print -depsc -tiff d:\tmp\om_0_k ;

8 Ohjelmointi ja Matlab : syksy 0 : Kotitehtävä 3: palautettava to klo :00 mennessä Juha Jaakon postilaatikkoon (joko kirjepostilaatikkoon tai sähköpostilaatikkoon juha.jaako@oulu.fi) A car manufacturer has collected some data on the noise level (measured in decibels) produced at 7 different speeds by 6 different models of cars that it produces. This data is summarized in the following table: Speed [km/h] Car Write a Matlab program (or programs) which creates a report (or reports) out of this data. Preferably use Matlab s function-structures (>>help function). Arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen. Eräs ratkaisuvaihtoehto: Tässä vaihtoehdossa tehdään itse koodattuja Matlab-funktioita, jotka luovat raportin. Teemme ensin pääohjelman om_0_k3.m, % om_0_k3.m % Eri automallien melutaso. format compact ; Nopeus = [ ] ; Melu = [ ; ; ; ; ; ] ; % Muodostetaan kuvaaja. k3_0_kuvaaja ( Nopeus, Melu,... 'Autojen melutaso', 'Nopeus [km/h]', 'Auto [nro]', 'Melu [db]') ; % Raporttitaulukko. k3_0_taulukko ( Nopeus, Melu,... 'Autojen melutaso', 'Nopeus [km/h]', 'Auto', 'Melu [db]') ;

9 jossa on aluksi mittausdatan määrittely, joka voitaisiin koodata myös siten, että data luetaan jonkin mittauslaitteen tekemästä tiedostosta. Seuraavaksi kutsutaan kuvaajan tekevää funtiota k3_0_kuvaaja.m sekä halutun taulukon tekevää funktiota k3_0_taulukko.m. Kun ohjelma ajetaan saamme taulukkoraportin, johon on myös laskettu joitakin tunnuslukuja: >> om_0_k3 Autojen melutaso - Melu [db] =================================================================== Auto Nopeus [km/h] k-arvo =================================================================== k-arvo sekä kuvaajan:

10 3 Tarvitsemme tietysti seuraavat funktiot: % k3_0_kuvaaja.m % Piirretään annetuin tiedoin verkkokuvaaja. function k3_0_kuvaaja ( a, b, ts, xs, ys, zs ) hold on ; % Kuvanpito päälle. % Katsotaan matriisien mitat ensiksi. N = size (b,) ; M = length (a) ; % Vektorin a pituus. % Viivat ensimmäiseen suuntaan. for i = : N, plot3 (a, i*ones(,m), b(i,:), 'ko-' ) ; % Viivat toiseen suuntaan. for i = : M, plot3 (a(i)*ones(,n), :N, b(:,i), 'ko-' ) ; % Selitetekstit. title ( [ '\bf' ts ] ) ; xlabel ( xs ) ; ylabel ( ys ) ; zlabel ( zs ) ; % Akselien skaalaus. axis ( [ ] ) ; grid on ; hold off ; % Asteikkoverkko päälle. % Kuvanpito pois päältä.

11 4 ja % k3_0_taulukko.m % Muodostaa taulukon. function k3_0_taulukko ( a, b, ts, xs, ys, zs ) M = length(b(:,)) ; fs = '%7.0f' ; fs = '%7.f' ; disp ( ' ' ) ; disp ( [ ts ' - ' zs ]) ; disp ( viiva(*m,'=') ) ; disp ( [ ys ' ' sprintf(' %s',xs) ] ); % Tulostetaan vektori a + viiva perään! disp ( [ viiva(6,' ') ' ' sprintf(fs,a) ' k-arvo' ]); disp ( viiva(*m,'-') ) ; % Lasketaan keskiarvot kullekin autolle. ka = mean ( b' ) ; % Transponoidaan b! % Tulostetaan matriisi b + viiva perään! for i = : M, disp ( [ sprintf('%4d ',i)... sprintf(fs,b(i,:)) ' ' sprintf(fs,ka(i)) ] ); disp ( viiva(*m,'=') ) ; % Lasketaan keskiarvot kullakin nopeudella, ka, % sekä kaikille arvoille, ka3. ka = mean ( b ) ; k3 = mean ( mean (b)) ; disp ( [ 'k-arvo ' sprintf(fs,ka) ' ' sprintf(fs,k3) ] ); % Viivanpiirtofunktio. function f = viiva (n, s) t = s ; for i = : n, t = [ t s ] ; f = t ; Huomaa, että jälkimmäinen funktio kutsuu myös alifunktiota viiva. Tällainen menettelytapa sopii tilanteeseen, jossa meillä on aina samantyyppinen data, jota käsitellään samalla tavalla.

12 Ohjelmointi ja Matlab : syksy 0 : Kotitehtävä 4: palautettava to klo :00 mennessä Juha Jaakon postilaatikkoon (joko kirjepostilaatikkoon tai sähköpostilaatikkoon juha.jaako@oulu.fi) Kinematic viscosity k of water varies with temperature T as shown in the table. Determine the o o o o polynomial that best fits the data, and use it to compute at T 0 C,30 C,60 C and 90 C. o T C k 0 m / s Arvostelussa kiinnitän erityistä huomiota työn raportoinnin kattavuuteen. Eräs ratkaisu: Tehtävämme on katsoa mikä polynomi approksimoi parhaiten dataa; lisäksi meidän on laskettava muodostetun polynomin avulla kinemaattisen viskositeetin arvot halutuissa pisteissä. Polynomin asteen yläraja määräytyy datapisteiden määrän mukaan miinus yksi (nyt N max = 7- = 6). Tässä tapauksessa mahdollisia polynomeja ovat: 0 f x a x a f x a x a x a 0 3 f x a x a x a x a f x a x a x a x a x a f x a x a x a x a x a x a f x a x a x a x a x a x a x a Testataan tilanne kaikilla mahdollisilla vaihtoehdoilla. k lineaarinen malli (N = ) neliöllinen malli (N = ) kuutiollinen (N = 3) (N = 4) (N = 5) (N = 6)

13 Teemme seuraavanlaisen pääohjelman: % om_0_k4_u.m clear all ; format compact ; clf ; % Mittausdata vaakavektoreina! xdata = [ ] ; ydata = [ ] ; % Polynomin suurin asteluku. M = length(xdata) ; % Luupataan... while, hold on ; % Piirretään datapisteet koordinaatistoon. axis ( [ ] ) ; plot (xdata, ydata, 'ko') ; xlabel ('T [{^o}c]') ; ylabel ('\mu{_k} [0{^-3} m{^}/s]') ; grid ; % Kysytään millaista polynomia tarkastellaan. N = input( 'Polynomin aste = ') ; % Jos polynomin asteluku on sopimaton -> LOPETETAAN. if ( N == 0 N >= M ), fprintf ('Sopimaton polynomi\n') ; clf ; break ; % Jos halutaan LOPETTAA, niin painetaan rivinvaihtonäppäintä. if isempty (N), fprintf ('Valmis\n') ; break ; % Kutsutaan sovituspolynomin muodostavaa funktiota. polynomi = om_0_k4_f (xdata, ydata, N) ; % Lasketaan kinemaattiset viskositeetit kun T = 0, 30, 60 ja 90. T = [ 0, 30, 60, 90 ] ; for m = : 4, uk(m) = polynomi(t(m)) ; %... ja merkitään pisteet ja tekstit kuvaajaan. plot (T(m), uk(m), 'k*' ) ; text (T(m), uk(m),... [ ' \leftarrow (' numstr(t(m)) ', ' numstr(uk(m)) ')' ] ) ; % Piirretään polynomin kuvaaja. fplot (polynomi, [0 0] ) ; title ( [ 'Polynomin aste = ' numstr(n) ] ) ; hold off ; % Pidetään taukoa kuvaajien piirron välillä. pause ; clf ; fprintf ('\n') ;

14 3 Lisäksi tarvitaan funktio, joka laskee sovituspolynomin: % om_0_k4_f.m function polynomi = om_0_k4_f (x, y, k) M = length (x) ; % Muodostetaan kerroinmatriisit. if ( k == ), A = [ ones(,m) ; x ] ; elseif ( k == ), A = [ ones(,m) ; x ; x.^ ] ; elseif ( k == 3 ), A = [ ones(,m) ; x ; x.^ ; x.^3 ] ; elseif ( k == 4 ), A = [ ones(,m) ; x ; x.^ ; x.^3 ; x.^4 ] ; elseif ( k == 5 ), A = [ ones(,m) ; x ; x.^ ; x.^3 ; x.^4 ; x.^5 ] ; elseif ( k == 6 ), A = [ ones(,m) ; x ; x.^ ; x.^3 ; x.^4 ; x.^5 ; x.^6 ] ; % Transponoidaan kerroinmatriisi A. A = A' ; % Tehdään PNS-sovitus. v = A \ y' ; % Käännetään vektorin sisältö. aste = length (v) ; v = v(aste :- : ) ; % Muodostetaan polynomi. fun = '' ; for i = : : aste, j = aste - i ; if (i == ), s = [ '(' numstr(v(i)) ')*(x^' numstr(j) ')' ] ; else s = [ '+(' numstr(v(i)) ')*(x^' numstr(j) ')' ] ; fun = [ fun s ] ; % Palautetaan polynomi kutsuvaan ohjelmaan. polynomi = inline (fun, 'x')

15 4 Ajatetaan nyt ohjelma: >> om_0_k4_u Polynomin aste = polynomi = Inline function: polynomi(x) = ( )*(x^)+(.4793)*(x^0) Polynomin aste = polynomi = Inline function: polynomi(x) = ( )*(x^)+( )*(x^)+(.7749)*(x^0) Polynomin aste = 3 polynomi = Inline function: polynomi(x) = ( e-007)*(x^3)+( )*(x^)+( )*(x^)+(.7957)*(x^0) Polynomin aste = 4 polynomi = Inline function: polynomi(x) = (-.3387e-008)*(x^4)+(.8459e- 006)*(x^3)+( )*(x^)+( )*(x^)+(.79)*(x^0) Polynomin aste = 5 polynomi = Inline function: polynomi(x) = (4.55e-00)*(x^5)+(-.956e-007)*(x^4)+(.357e- 005)*(x^3)+( )*(x^)+( )*(x^)+(.79)*(x^0) Polynomin aste = 6 polynomi = Inline function: polynomi(x) = (-.0646e-00)*(x^6)+(3.404e-008)*(x^5)+(-4.54e- 006)*(x^4)+( )*(x^3)+( )*(x^)+(0.0437)*(x^)+(.79)*(x^0) Polynomin aste = Valmis

16 5 Saamme myös seuraavat kuvaajat: Polynomin aste = Polynomin aste = k [0-3 m /s] (0,.3378) (30,.0549) k [0-3 m /s] (0,.448) (30, ) 0.6 (60, ) (90, 0.066) (60, ) (90, 0.90) T [ o C] T [ o C] Polynomin aste = 3 Polynomin aste = (0,.4345).4 (0,.4485) k [0-3 m /s]. 0.8 (30, ) k [0-3 m /s]. 0.8 (30, ) (60, ) (90, ) (60, 0.49) (90, 0.3) T [ o C] T [ o C] Polynomin aste = 5 Polynomin aste = (0,.607).4 (0,.4663).4 k [0-3 m /s]. 0.8 (30, ) k [0-3 m /s]. 0.8 (30, ) (60, ) (90, ) (60, ) (90, ) T [ o C] T [ o C]

17 6 Mikä näistä polynomeista sitten soveltuu parhaiten tähän käyttötarkoitukseen?. Lineaarinen malli (N=) ei kovin hyvin sovitu mittausdataan. Arvolla N=6 polynomi kulkee tarkasti kaikkien datapisteiden kautta (miksi?), mutta datapisteiden välillä käyttäytyminen on vähintäänkin arveluttavaa. Jos katsomme polynomien kertoimia: N x 6 x 5 x 4 x 3 x x x e e e e e e e e e huomaamme, että korkeampiasteisten polynomien (N>3) suurempien potenssien kertoimet ovat hyvin pieniä eli luokkaa , joka taas tarkoittaa, että näillä kertoimilla ei ole kovin suurta (ja tuskin sitäkään) vaikutusta polynomin muotoon. Huomaamme, että arvosta N = datapisteitä approksimoivan polynomin muoto säilyy suunnilleen samana ja toisaalta, koska yritämme insinöörihommissa esittää asiat aina mahdollisimman simppelisti, niin miksi mennä merta edemmäs kalaan? Eli käytämme polynomia N = : Huomatkaa, että ekstrapolointi on tässäkin tapauksessa vaarallista, mutta interpolointi suhteellisen turvallista!

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Koodaa tehtävän ratkaisu Matlab-ohjelmaa hyväksi käyttäen. Ratkaisumenetelminä käytä Newtonin menetelmää ja sekanttimenetelmää.

Koodaa tehtävän ratkaisu Matlab-ohjelmaa hyväksi käyttäen. Ratkaisumenetelminä käytä Newtonin menetelmää ja sekanttimenetelmää. Ohjelmointi ja Matlab syksy 010 Kotitehtävä 1 06.09.010 palautettava 14.9.010 mennessä Methyl alcohol can be synthesized by passing a mixture of CO and H over a suitable catalyst. For a feed mixture containing

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c. Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Matlabin perusteita Grafiikka

Matlabin perusteita Grafiikka BL40A0000 SSKMO KH 1 Seuraavassa esityksessä oletuksena on, että Matlabia käytetään jossakin ikkunoivassa käyttöjärjestelmässä (PC/Win, Mac, X-Window System). Käytettäessä Matlabia verkon yli joko tekstipäätteeltä,

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi 3.4.

Matematiikan tukikurssi 3.4. Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

datenum, hold on, axis, datestr, floor, now, title, xlabel, ylabel, plot, size, text, num2str, legend, grid, hold off, print.

datenum, hold on, axis, datestr, floor, now, title, xlabel, ylabel, plot, size, text, num2str, legend, grid, hold off, print. 477033A, Ohjelmointi ja Matlab (Programming in Matlab), 4 op / 2.5 ov Opettaja (Teacher): TkT Juha Jaako Työstä tehdään työselostus, joka palautetaan 15.9.2009 klo 16:00 mennessä sähköpostin liitetiedostona

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

4A 4h. KIMMOKERROIN E

4A 4h. KIMMOKERROIN E TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 A h. KIMMOKERROIN E 1. TYÖN TAVOITE 2. TEORIAA Tässä työssä muista töistä poiketen tärkein tavoite on ymmärtää fysikaalisten suureiden keskinäistä riippuvuutta toisistaan

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Harjoitus 4 -- Ratkaisut

Harjoitus 4 -- Ratkaisut Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä

Lisätiedot

Pienimm"an neli"osumman sovitus

Pienimman neliosumman sovitus Pienimm"an neli"osumman sovitus Aluksi luentoesimerkki V2 19.3. 2002, V3 lokakuu -02 2013kevat/maple/ restart with(linearalgebra):alias(tr=transpose): with plots : xd:=[-1.3,-0.1,0.2,1.3]; yd:=[0.103,1.099,0.808,1.897];

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Matemaattiset ohjelmistot 1-2 ov, 2-3 op

Matemaattiset ohjelmistot 1-2 ov, 2-3 op Matemaattiset ohjelmistot 1-2 ov, 2-3 op Aloitustehtävät Perehdy netissä olevan oppaan http://mtl.uta.fi/opetus/matem_ohjelmistot/matlab lukuihin 0 Johdanto, 1 matriisit ja vektorit sekä 4 Ohjelmointi

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

ARVIOINTIPERIAATTEET

ARVIOINTIPERIAATTEET PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

JOENSUUN SEUDUN HANKINTATOIMI KOMISSIOMALLI 28.03.2014

JOENSUUN SEUDUN HANKINTATOIMI KOMISSIOMALLI 28.03.2014 JOENSUUN SEUDUN HANKINTATOIMI KOMISSIOMALLI 28.03.2014 KOMISSIO Komissio otetaan käyttöön kaikissa kilpailutuksissa, joiden hankintakausi alkaa 1.1.2012 tai sen jälkeen Raha liikkuu Joensuun seudun hankintatoimen

Lisätiedot

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava . Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Kenguru 2016 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) Ratkaisut

Kenguru 2016 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) Ratkaisut sivu 1 / 11 TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 VASTAUS E B C D D A TEHTÄVÄ 7 8 9 10 11 12 VASTAUS E C D C E C TEHTÄVÄ 13 14 15 16 17 18 VASTAUS A B E E B A sivu 2 / 11 3 pistettä 1. Anni, Bert, Camilla, David ja Eemeli

Lisätiedot

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 Sisällysluettelo Ohjelman tekninen dokumentti...3 Yleiskuvaus...3 Kääntöohje...3 Ohjelman yleinen rakenne...4 Esimerkkiajo ja käyttöohje...5

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

1. Lineaarialgebraa A := Matriisin osia voidaan muutella päivittämällä riviä, saraketta tai osamatriisia (Matlabmaisesti): B :=

1. Lineaarialgebraa A := Matriisin osia voidaan muutella päivittämällä riviä, saraketta tai osamatriisia (Matlabmaisesti): B := 27. elokuuta 202 2 27. elokuuta 202 www.math.hut/~apiola/maple/la.pdf. Lineaarialgebraa Maplen matriisi- ja vektorioperaatiot ovat kirjastopakkauksissa LinearAlgebra ja linalg. Keskitymme pääasiassa edelliseen,

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät

Lisätiedot

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB Matemaattiset ohjelmistot 802364A Osa 2: MATLAB Mikko Orispää 30. lokakuuta 2013 Sisältö 1 MATLAB 2 1.1 Peruslaskutoimitukset......................... 2 1.2 Muuttujat................................ 3

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi.

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi. 3 Ikkunointi Puhe ei ole stationaarinen signaali, vaan puheen ominaisuudet muuttuvat varsin nopeasti ajan myötä. Tämä on täysin luonnollinen ja hyvä asia, mutta tämä tekee sellaisten signaalinkäsittelyn

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

S Laskennallinen Neurotiede

S Laskennallinen Neurotiede S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 3 8.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 2 Tehtävässä 2 piti tehdä 100 hermosolun assosiatiivinen Hopfield-muistiverkko. Verkko on rakennettu Matlab-ohjelmaan

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).

Lisätiedot

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan Laplace muunnos Hieman yksinkertaistaen voisi sanoa, että Laplace muunnos muuttaa derivaatan kertolaskuksi ja integroinnin jakolaskuksi. Tältä kannalta katsottuna Laplace muunnoksen hyödyllisyyden ymmärtää;

Lisätiedot

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet Ohjelmointi Matlab-komentoja voidaan koota ns. M-tiedostoon. Nimi tulee tiedoston tarkentimesta.m. Matlabilla voidaan ohjelmoida kahdella eri tavalla: Skriptit eli komentojonot eli makrot Funktiot eli

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 219 / orms.13 Talousmatematiikan perusteet 9. harjoitus, viikko 12 (18.3. 22.3.219) L Ma 1 12 A22 R5 Ti 14 16 F453 R1 Ma 12 14 F453 L To 8 1 A22 R2 Ma 16 18 F453 R6 Pe 12 14 F14 R3 Ti 8 1 F425 R7

Lisätiedot

Harjoitus 3: Matlab - Matemaattinen mallintaminen

Harjoitus 3: Matlab - Matemaattinen mallintaminen Harjoitus 3: Matlab - Matemaattinen mallintaminen Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen matemaattiseen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Luento 6. June 1, 2015. Luento 6

Luento 6. June 1, 2015. Luento 6 June 1, 2015 Normaalimuodon pelissä on luontevaa ajatella, että pelaajat tekevät valintansa samanaikaisesti. Ekstensiivisen muodon peleissä pelin jonottaisella rakenteella on keskeinen merkitys. Aluksi

Lisätiedot

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

Matriiseista. Emmi Koljonen

Matriiseista. Emmi Koljonen Matriiseista Emmi Koljonen 3. lokakuuta 22 Usein meillä on monta systeemiä kuvaavaa muuttujaa ja voimme kirjoittaa niiden välille riippuvaisuuksia, esim. piirin silmukoihin voidaan soveltaa silmukkavirtayhtälöitä.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Scilab 5.3.3 - ohjelman alkeisohjeet

Scilab 5.3.3 - ohjelman alkeisohjeet Pohdin projekti Scilab 5.3.3 - ohjelman alkeisohjeet Käytön aloittaminen Ohjelma käynnistetään kaksoisklikkaamalla työpöydällä ohjelman kuvaketta ja ohjelman käyttö lopetetaan käyttämällä komentoa exit

Lisätiedot

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä

Lisätiedot

Kuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 -

Kuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 - Harjoitukset 1 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Oheisessa taulukossa on esitettynä kuluttajan saama hyöty kuntosaliharjoittelun kestosta riippuen. a) Laske taulukon tyhjään

Lisätiedot

ACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)

ACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot