PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet

Transkriptio

1 Ohje Tevellan tuotteelle Viinikankatu 49 A, Tampere Puh (03) , Fax (03) Pieni kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(2,5x2,5)x2,5 V=15,6 cm 3 Suuri kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(5x5)x5 V=125 cm 3 Pieni V=AxH V=(lxw) xh V=(2,5x2,5)x5 V=31,3 cm 3 suorakulmainen Suuri V=AxH V=(lxw) xh V=(2,5x5)x5 V=62,5 cm 3 suorakulmainen Kuusisivuinen V=AxH V=(wx3/2xs)xH V=( 4,4x3/2x2,5)x5 V=82,5 cm 3 suora Suuri V=AxH V=(l/2xbxh)xH V= 1/2x(5x4,4)x5 V=55 cm 3 kolmisivuinen suora Pieni V=AxH V=(l/2xbxh)xH V= 1/2x(2,5x2,2)x5 V=13,8 cm 3 komisivuinen suora Säännöllinen V=1/3AxH V=1/3 (1xw)xH V=1/3(5x5)x5 V=41,7 cm 3 nelisivuinen Säännöllinen V=1/3AxH V=l/3(1/2xbxh)xH V=1/3(1/2x5x4,4) x5 V=18,3 cm 3 kolmisivuinen pyramidi Pallo V =4/3 x r 3 V=4/3 x r 3 V=4/3 x 2,5 3 V=65,4 cm 3 Pieni V=AxH V=( x r 2 )xh V= x(l,25) 2 x5 V=24,5 cm 3 ympyrälieriö Suuri V=AxH V=( x r 2 )xh V= x(2,5) 2 x5 V=98,2 cm 3 ympyrälieriö Suora V=l/3AxH V=1/3( x r 2 )xh V=1/3 x x(2,5) 2 x5 V=32,7 cm 3 ympyräkartio PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet Puolipallo V=1/2x(4/3 x r 3 ) V=1/2x(4/3 x r 3 ) V=l/2x(4/3 x2,5 3 ) V=32,7 cm 3 1

2 ESITTELY Sarja sisältää 14 muovista, kolmiulotteista geometrista kappaletta, jotka mahdollistavat käytännön työskentelyn tilavuuksien parissa. Kappaleita voidaan helposti käyttää päivittäisten matematiikan tuntien aikana erilaisten käsitteiden esittelyyn, opettamiseen sekä harjoitteluun. Ne mahdollistavat konkreettisten yhteyksien löytämisen kappaleiden ja matemaattisten kaavojen välille. Eri kappaleiden välisiä yhteyksiä on myös helppo havaita, kun kappaleet ovat konkreettisesti käsiteltävissä. Useimmat sarjan kappaleista ovat muunnelmia lieriöistä tai kartioista. Nämä ovat monitahokkaita. ovat kiinteitä kappaleita, joissa on litteät seinät eli tahkot. Tahkot voivat kohdata toisensa pisteessä eli kulmassa tai pitkittäin sivulla; Lieriöissä on kaksi yhtenevää pohjaa, ja tahkot ovat suorakulmioita. Kartioissa taas on yksi pohja, ja tahkot ovat kolmioita. Kolmessa sarjan kappaleista on litteiden tahkojen sijasta kaarevat sivuseinät. Nämä kappaleet ovat ympyrälieriö, kartio ja pallo. Nämä eivät ole monitahokkaita. Ympyrälieriö voidaan kuitenkin ajatella eräänlaisena pyöreänmuotoisena lieriönä. Se on kappale, jossa on yhtenevät, pyöreät pohjat ja yksi kaareva seinä. Ympyräkartio taas on kartio, jossa on yksi, pyöreä pohja ja kaareva seinä, jota kutsutaan vaipaksi. Pallo on täysin yksilöllinen kappale. Sillä ei ole yhteneväisyyttä lieriöihin tai kartioihin. Oppilaistasi saattaa tuntua vaikealta ajatus opetella tilavuuden kaavoja yli 12 geometrisen kappaleen avulla. Kuitenkin kaavojen muistamista helpottaa huomattavasti oivallus siitä, että ainoastaan pohjan pinta-alan laskukaava vaihtuu kappaleesta toiseen. Toiset muuttujat lasketaan kappaleesta huolimatta aina samalla tavalla. ALOITTAMINEN Anna oppilaittesi tutustua kappaleisiin ennen varsinaisten harjoitusten aloittamista. Voitte tutustua lieriöihin ja kartioihin eri päivinä. Rohkaise oppilaitasi käsittelemään ja havainnoimaan kappaleita sekä keskustelemaan havainnoistaan. Kehota heitä kirjoittamaan ylös havaintojaan mm. seuraavista asioista. Millä tavoin kappaleet ovat samanlaisia? (Palloa lukuun ottamatta kaikissa on sama korkeus. Ne ovat kaikki onttoja. Ne ovat kaikki kolmiulotteisia.) Kuinka kappaleet eroavat toisistaan? (Joissakin kappaleissa on litteät sivut, joissakin kaarevat. Jotkut ovat laatikon mallisia, jotkut pyöreitä ja jotkut kolmiomaisia.) Missä oppilaat ovat havainneet näitä kappaleita luonnossa? (Egyptin pyramidit, liikennekartiot, filmirullat, jalkapallot, liidunpalat, laatikot, huulipunat jne.) Esittele ja havainnollista seuraavat käsitteet; tahko, särmä, kulma ja pohja. Mainitse oppilaille, että näiden geometristen kappaleiden pohja on aina vihreä. Kysy oppilailtasi kuinka he itse luokittelisivat geometriset kappaleet omiin ryhmiinsä muotojen perusteella. Kirjoita vastaukset taululle. Seuraavaksi määrittele kartiot ja lieriöt. Anna luokallesi molemmista esimerkit. Pyydä oppilaitasi tekemään luokittelu uudestaan saamien tietojensa perusteella. Keskustelkaa ja selvittäkää myös ympyrälieriö, pallo ja ympyräkartio. Tehkää seuraavanlainen taulukko vihkoihin havaintojen kirjaamista varten. 2

3 KAPPALE Pohjien määrä Pohjien muoto Tahkojen Särmien määrä Kulmien määrä määrä Pieni kuutio Suuri kuutio Pieni suorakulmainen Suuri suorakulmainen Kuusi sivuinen suora Kolmisivuinen suora Säännöllinen nelisivuinen pyramidi Säännöllinen kolmisivuinen pyramidi Pallo Pieni ympyrälieriö Suuri ympyrälieriö Ympyräkartio Näytä oppilaille pahvilaatikko ja kysy onko laatikko lieriö vai kartio. Pyydä vapaaehtoinen näyttämään laatikosta pohjat, tahkot, särmät ja kulmat. Ota toinen laatikko ja pyydä jotain toista oppilasta esittelemään siitä samat asiat. Tässä vaiheessa oppilaiden on hyvä tehdä omia pienoismallejaan. Voitte rakennella niitä esimerkiksi hammastikuista ja kuminpaloista, oljesta ja langasta tai vaikkapa norkoista. Kun käsittelette matemaattisia kaavoja, pyydä oppilaitasi esittämään omilla kappaleillaan miten ja miksi kaava toimii. Tilavuuteen tutustuminen Tilavuus tai kappaleen vetoisuus sekoitetaan usein pinta- alaan. Ensisilmäyksellä näiden kaavat muistuttavatkin hieman toisiaan. Helppo tapa näiden kahden käsitteen vertailuun on selittää, että pinta- ala on tila kappaleen ulkopuolella, kun taas tilavuus on tila kappaleen sisäpuolella. Keskustelkaa tilavuuden merkityksestä. Anna oppilaille esimerkkejä, kuten on tärkeää tietää kuinka paljon uima- altaaseen mahtuu vettä, kuinka paljon happisäiliössä on ilmaa tai kuinka paljon sementtiä sementtimyllyyn mahtuu. Keksikää lisää esimerkkejä. Oppilaat ymmärtävät tilavuuden käsitteen paremmin kun heillä on mahdollisuus rakennella, mittailla ja täyttää erilaisia kappaleita. Geometrisissä kappaleissa on irrotettava pohja, joten ne voidaan 3

4 täyttää vedellä, hiekalla, riisillä tms. materiaaleilla. Oppilaat voivat vertailla eri kappaleiden tilavuuksien suhteita toisiinsa helposti vain täyttämällä yhden kappaleen jollain materiaalilla ja kaatamalla sitten sen sisällön toiseen kappaleeseen. Jos teette tarkkoja mittauksia mitta-asteikollisella ympyrälieriöllä, varmista että oppilaat osaavat mitata tuloksen vesirajan alareunasta. (Kapillaari-ilmiö nostaa vesirajan reunat ylöspäin.) Oppilaat voivat tehdä tilavuuslaskuja lukemalla mitta-asteikollisesta ympyrälieriöstä alkupisteen ja täytönjälkeen loppupisteen. Mittaus kannattaa tehdä ainakin kolme kertaa mahdollisten virheiden eliminoimiseksi. Täyttäkää ensin iso mitta- asteikollinen lieriö hiekalla lähes täyteen ja laittakaa ylös mittauslukema. Kaatakaa nyt lieriöstä hiekkaa toiseen kappaleeseen. Lukekaa nyt lieriössä jäljellä olevan hiekan määrä ja vähentäkää se alkutilanteen mittauslukemasta. Lukujen erotus on sen hiekan tilavuus, jonka kaadoitte toiseen kappaleeseen. Rakentakaa senttikuutioilla malli suorakulmaisesta stä havainnollistamaan tilavuuden kaavan muodostumista; muuttujat ovat syvyys, leveys ja korkeus. Seuraavaksi tarvitset senttikuutioita sekä pienen laatikon (esimerkiksi tyhjä rusinalaatikko). Laita laatikko kyljelleen ja liitä kuutioista laatikon leveyden mittainen sauva. Tee vielä sauvat jotka ovat yhtä pitkät kuin laatikon pituus ja korkeus. Täytä kuutioilla loput kerrokset ja tee kuutioista alkuperäisen mallin kokoinen laatikko. Huomaa! Kulmapalat ovat samat syvyydelle ja leveydelle sekä korkeudelle, joten joudut poistamaan kahdesta kulmasauvasta palat säilyttääksesi alkuperäisen koon. Pyydä oppilaitasi arvioimaan mikä on geometrisista kappaleista suurin ja mikä pienin. Oppilaat voivat myös täyttää kappaleita tai tehdä senttikuutiomalleja tarkempia päätelmiä varten. Esitellessäsi oppilaille tilavuuskaavat rohkaise heitä käyttämään geometrisia kappaleita vertailukohtana. Voit myös kopioida kannen taulukon heille tueksi. Kun olette saaneet alustuksen valmiiksi, oppilaat voivat laskea matemaattisesti jokaisen kappaleen tilavuuden varmistaakseen alkuperäisten arvioidensa paikkansapitävyyden. TILAVUUDEN LASKUKAAVAT Lieriöt Lieriön tilavuuden laskeminen tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla korkeus pohjan pinta- alalla: Tilavuus(V)=A x H A= pohjan pinta-ala Pohjan pinta- alan kaava riippuu pohjan muodosta. 4

5 Suorakulmainen = (1 x w) x H Kuutio = (s x s) x H A= pohjan pinta- ala s= sivun pituus Kolmisivuinen suora = (1/2 b x h) x H A= kolmiopohjan pinta- ala (1/2 b x h) h= kolmion korkeus Kuusisivuinen suora A= kuusikulmio- pohjan pinta-ala Selitä, että kuusikulmion pinta- ala lasketaan seuraavasti: A= w x 3/2 s w= kuusikulmion leveys s= sivun pituus Ympyrälieriö Tilavuus(V)= A X H =( r 2 ) x H 5

6 Kartiot Esittele peruskaava kartioiden tilavuuden laskemiseen: Pyydä oppilaitasi selittämään ero tämän kaavan ja lieriön tilavuuden peruskaavan välillä. (Muuttuja 1/3 lisätty). Jos oppilaat muistavat ulkoa lieriön kaavan, on helppoa oppia myös kartion kaava. Kerrotaan vaan kaava 1/3. Voit demonstroida tämän geometrisillä kappaleilla kaatamalla kolme pyramidillista hiekkaa vastaavan kokoiseen lieriöön. Nelisivuinen pyramidi = 1/3 (s x s) x H H Kolmisivuinen pyramidi (Tetra) = 1/3 (1/2 b x h) x H Ympyräkartio = 1/3 (r) x H Pallo Tilavuus(V)= 4/3 r 3 Pallon tilavuuden kaavan määritteleminen matemaattisesti on vaikeampaa kuin tämä opas vaatii. Oppilaiden tulisi opetella tämä kaava ulkoa. r 6