Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen"

Transkriptio

1 Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

2 Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LOJEN LSKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pintaalojen laskeminen keskeisin osa matematiikasta. Sitä tarvitaan mm: - Kun arvioiaan maalauskohteen ajan- ja materiaalien kulutusta - Kun lasketaan maalaustyöstä, jonka hinta perustuu maalattuun pinta-alaan - Kun lasketaan työntekijän palkkaa silloin kun palkkaan vaikuttaa maalattu pinta-ala - Kun lasketaan pinnoituksessa tarvittavaa sähkövirtaa. Pinta-ala on pituusmitta toisessa potenssissa. Yleisin käytettävä pinta-alan yksikkö on m eli neliömetri. Sitä käytetään mm. - Ilmoitettaessa asuintilojen pinta-aloja - Laskettaessa maalattavia pinta-aloja Muita yleisesti käytettäviä yksiköitä ovat m, cm, mm ja km. Maapinta-aloista käytetään usein myös yksiköitä hehtaari ( ha ) ja aari ( a ). 1 ha = m ja 1 a = 100 m Yksiulotteisuus Pituusmitta on yksiulotteinen. Esim. kuvan viivan pituus on 0,08 metriä. MONIMUOTOISEN PINNN PINT-L Monimuotoisen pinnan pinta-alaa ei voia laskea laskukaavalla, vaan sen pinta pitää paloitella pieniin osiin ja laskea osien pintaalat yhteen. Esimerkki 1. Kaksiulotteisuus Pinta-ala on kaksiulotteinen. Pinta-alan suuruus riippuu siitä miten ison alan pinta peittää. Esim. kuvan laatikon sivun pinta-ala on 0,00 m. Pinta-ala voiaan laskea vain pienissä osissa, eikä koskaan täysin tarkkaan. Mitä pienempiin osiin ala paloitellaan, sitä tarkempi tulos saaaan. Pinta-ala lasketaan laskemalla yhteen neliöien määrä. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla

3 Copyright Isto Jokinen 01 SÄÄNNÖNMUKINEN PINT-L Säännönmukaisten pintojen pinta-alat voiaan laskea tarkasti laskukaavojen avulla. Säännönmukaisia pintoja ovat mm: neliö, suorakulmio, kolmio, suunnikas, puolisuunnikas, ympyrä, lieriö, kartio ja pyramii MITTYKSIKÖT PINT- LLSKUISS Piirustuksissa mitat ilmoitetaan millimetreinä ellei toisin ole ilmoitettu. Pinta-alaa laskettaessa on millimetrimitat muutettava ennen pinta-alan laskemista siihen pituusyksikköön jonka neliönä pinta-alan tulos halutaan. Esimerkiksi jos mitat on annettu millimetreinä ja tulos halutaan neliömetreinä, niin millimetrimitat muutetaan ensin metreiksi ja tämän jälkeen pinta-ala lasketaan näistä metrimitoista. Taulukko. Mittayksiköistä toisiksi: MILLIMETREISTÄ METREIKSI 1 m = 1000 mm, joten millimetrimitta muutetaan metrimitaksi jakamalla se tuhannella. Esimerkkejä muunnoksista alla olevassa taulukossa. mm ,5, 1,8 15, 110 0,85 0,05 0,000 MITTYKSIKÖISTÄ TOISIKSI Pituusyksikköjä cm ja m käytetään yleisesti, vaikka niien käyttöä tulisi pyrkiä välttämään. Taulukossa.yleisimpiä mittayksikköjä muunnettuna metreiksi. m 1 km m m cm mm um , ,0018 0,018 0, , 10-0,004 0,04 0,4 4, ,015 0,15 1, , 10-0, ,0015 1, , , Käyttö opetuksessa tekijän luvalla

4 Copyright Isto Jokinen 01 NELIÖN PINT-LN LSKEMINEN Neliössä kaikki sivut ovat saman mittaisia ja kulmat suoria. SUORKULMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmiossa kulmat ovat suoria ja sivuparit keskenään samanmittaisia. Neliön pinta-ala lasketaan kaavalla: Suorakulman pinta-ala lasketaan kaavalla: a a Esimerkki. Neliön sivun pituus on, metriä. Mikä on neliön pinta-ala? Esimerkki 5. Suorakulmaisen pihan mitat ovat Mikä on pihan pinta-ala?,m 10,4m 1,5m 8m 50m Esimerkki. Rakennuspiirustuksessa vaatehuone on neliön muotoinen ja sivujen mitta on 800. Mikä vaatehuoneen pinta-ala on yksikössä m? 0,8m 0,64m KOLMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmaisessa kolmiossa on suorasta kulmasta alkavat kateetit ja niien toisia päitä yhistävä hypotenuusa. Esimerkki 4. Neliönmuotoisen pihavaraston pinta-ala voi olla 9,9 m. Mikä on varaston sivujen pituus? a 9,9m, 146m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 4

5 Copyright Isto Jokinen 01 Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 6. a Suorakulmaisen kolmion sivujen pituuet ovat 100 ja 800. mikä on kolmion pinta-ala? Suunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 8. a c Suunnikkaan sivujen pituuet ovat: a=180, =60 ja c= 60. Mikä on suunnikkaan pinta-ala? 1,m Esimerkki 7. 0,8m 0,48m 0,18m 0,01m 0,6m 1,m 0,06m Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 18 m ja korkeus 1,5 m. Mikä on kolmion leveys? a a 18m 4m 1,5m PUOLISUUNNIKKN PINT- LN LSKEMINEN Puolisuunnikkaassa sivut a ja c ovat samansuuntaisia. Sivu on suorassa kulmassa sivuihin a ja c nähen. Kuva: Puolisuunnikas SUUNNIKKN PINT-LN LSKEMINEN Suunnikkaassa sivut a ja c ovat keskenään samansuuntaisia. Sivu on sivujen a ja c etäisyys. Puolisuunnikkaan pinta-ala voiaan laskea kaavalla: a tai a c : a Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 5

6 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 9. Puolisuunnikkaan mitat ovat: a=1500; =800;c=1000. Mikä on puolisuunnikkaan ala? a c ,8m 0,5m 1,5 m 0,8m 1m YMPYRÄN L Ympyrän pinta-ala voiaan laskea joko ympyrän halkaisijan tai säteen avulla. Ympyrän säe ( r ) on ½ ympyrän halkaisijasta ( ). Esim. 10. Ympyrän halkaisija on 5 m. Mikä on sen pinta-ala? 5m 4 YMPYRÄN PIIRI Ympyrän piiri ( P ) on: P 96m Esim. 11. Ympyrän ala on 10 m. Mikä on sen halkaisija ja piiri? m 4 1.6m tai 4 r r P 8, 8m Esim. 1. Ympyrän piiri on 400m. Mikä on ympyrän pinta-ala, säe ja halkaisija? P P 400m 17, m 17,m r 6, 66m s r 6,66m 17 m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 6

7 Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LYKSIKKÖJEN MUUNTMINEN Pinta-alaa laskettaessa on laskun tulos annettava siinä yksikössä missä se halutaan. Jos yksikköä ei erikseen mainita annetaan vastaus neliömetreinä. Metallipinnoitustöissä käytetään usein yksikköä m. Muita käytetään hyvin harvoin. Muunnettaessa pinta-alayksikköä pilkku siirtyy aina kahen numeron yli. m m cm mm 0,01, , , , , , , PINT-LN JKMINEN Usein pinta-alaa ei voia laskea suoraan koska se voi muoostua useasta osasta tai sitten ulkomitoista pitää vähentää pinnan osia. Esim. 1. Pinta jaetaan osiin jotka voiaan laskea erikseen. Piirustuksiin merkitään tarpeellinen määrä mittoja, mutta ei kaikkia. nnettujen mittojen avulla voiaan kuitenkin loput mitat laskea. Tässä tapauksessa 1 voiaan laskea suoraan annetuista mitoista. ja :n laskemiseen sen sijaan tarvitaan sivujen mittojen omaa laskemista. :n pystysuoramitta on,m-,8m. :n pystysuoramitta on,m-,8m ja vaakasuoramitta 4,5m-,7m. Lattian pinta-ala on: 1 1,5m,8m 1, 6 4 m,7m 0,4m 1, 08m 1,8 m 0,4m 0, 7m 1,6m 1,08m 0,7m 14,4m OSIEN VÄHENTÄMINEN PINT- LST Maalattavassa tuotteessa voi olla reikiä joita ei maalata. Huoneien seinissä voi olla ovia ja ikkunoita joita ei lasketa maalattavaan pintaalaan. Tällöin on järkevää laskea ulkopintaala ja vähentää siitä pinnat joita ei maalata. Esim. 14. Laske kuvan levyn pinnoitettava pinta-ala. Musta osa on aukko pinnassa. Huoneen lattia jaetaan kolmeen osaan joien pinta-alat voiaan laskea erikseen laskukaavojen avulla. Lopuksi osat summataan yhteen. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 7

8 Copyright Isto Jokinen 01 ulkomitat aukko ulkmitat 0,m 0,5m 0,075m Esimerkki 15. Laske kuution pinta-ala yksiköissä m ja m kun sen sivun pituus on 600. a) Yksikössä m : aukko 0,1m 0,15m 0,015m 6 0,6m,16m 0,06m 0,075m 6m 0,015m Eellisissä esimerkeissä laskettavat pinta-alat olivat yhessä tasossa ( tasogeometria ). KOLMIULOTTEISET KPPLEET Hyvin usein jouutaan laskemaan pinta-aloja kolmiulotteisista kappaleista. Näitä ovat mm. kuutio, suorakulmainen särmiö, kiila, pyramii, pallo, puolipallo ja lieriö. Pintaaloja lasketaan usein myös profiileista joita ovat mm. lauta, lista, putki ja erilaiset palkit. KUUTION PINT-L Kuutiossa on kuusi pintaa jossa kaikki sivut ovat saman mittaisia: ) Yksikössä m : 6 6m 16m Esimerkki 16. Kuution pinta-ala on 1,15m. Mikä on kuution sivun pituus? kuutio kuutio 6 a a 0, 45m 6 SUORKULMISEN SÄRMIÖN PINT-L Suorakulmaisessa särmiössä on kolme keskenään ienttistä sivuparia ja yhteensä 6 sivua. Kuva. Suorakulmainen särmiö Kuva: Kuutio Suorakulmaisen särmiön sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on. Kuution sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on: 6 a a a c c Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 8

9 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 16: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä m. Esimerkki 18. Laske kuvan kiilan sivujen kokonaispinta-ala yksikössä m. 1,5 m (1m 0,4m 1m 0,4m) 5m 1,5 m Esimerkki 17: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä m. Kolmiosärmiö on kuvattu piirustuksessa yhensuuntaisprojektioina. Sivuja vasemmalta, päältä ja alta on kutakin vain yksi. Sivut eestä ja takaa ovat keskenään samanlaisia. lat lasketaan erikseen : vasemmalta m 0,5m 1,5m alta m 0,5m 1m,5m (6m 10m),5m 00m 6m 10m KOLMIOSÄRMIÖN PINT-L Kolmiosärmiöllä tarkoitetaan suorakulmaista särmiötä joka on puolitettu kahteen osaan niin, että sivusta katsottuna se näyttää kolmiolta. Sillä on viisi pintaa, joista kolme on suorakulmion muotoisia ja kaksi kolmion muotoisia. Jos kolmion hypotenuusan mittaa ei ole annettu on se laskettava Pythagoraan - lauseen avulla, jotta yhen suorakulmio pinta saaaan laskettua. Kahen muun suorakulmion ja kolmioien pinta-alat saaaan laskettua suoraan. eestä takaa m m 6m päältä on hankalampi laskea, koska se on c 0,5 m. Mittaa c ei ole annettu. Se voiaan laske ainoastaan Pythagoraan lauseen avulla, joka on: c:ksi saaaan: c a c m m 1m, 6m päältä,6m 0,5m 1, 8m yhteensä ( 1, ,8) m 10,m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 9

10 Copyright Isto Jokinen 01 LIERIÖN PINT-L Kuva: Lieriö Vaipan pinta-ala lasketaan kaavalla: r h Esimerkki 0. Mikä on kartion vaipan pintaala kun sen halkaisija on 85 cm ja korkeus 1,15 m. 0,45m 1,15m 1,54m PLLON PINT-L Kuva: Pallo h Lieriön pituuen symolina käytetään usein myös l:ää ja s:ää. Putken pinta-ala on sama kuin lieriön pinta-ala. Esimerkki 19. Putken ulkohalkaisija on 150 ja pituus 1 metriä. Mikä on putken pinta-ala? 0,15m 1m 5,65m Pallon pinta-ala lasketaan kaavalla: KRTION PINT-L 4 r Kuva. Kartio Esimerkki 1. Mikä on pallon pinta-ala kun sen halkaisija on 1 m? 4 0,5m,14m Esimerkki. Mikä on pallon säe jos sen pinta-ala on 00 m :ä? 4 r Kartiolla on vaippa ja pohja. Pohjan pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alana ( = r ). 00m r, 99m 4 4 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 10

11 Copyright Isto Jokinen 01 PROFIILIEN PINT-LT Profiilien pinta-ala lasketaan kertomalla niien piiri profiilin pituuella. Usein piiri on annettu yksikössä mm ja pituus yksikössä m. Profiileilla on myös päät, joilla on oma pintaalansa. Päien pinta-ala on kuitenkin sivuihin nähen niin pieni ettei sitä tarvitse laskea ellei erikseen pyyetä. Esimerkki. Kuvan lautoja on 5 kpl. Mikä on lautojen pinta-ala? Päitä ei tarvitse laskea. a = 50, = 00, c = 8 P 0,5m 0,08m 0, 556m lauta 0,556 m,m 1,848 m I-PLKIN PINT-L Kuva: I-palkki I-palkin piiri voiaan laskea kaavalla: P 4 a Laskutapa ei anna aivan tarkkaa tulosta, koska se ei ota huomioon palkin seinämän paksuutta. Jos tuloksesta vähennetään kertaa palkin seinämän paksuus on tulos tarkka. Yleensä eellinen laskukaava antaa maalaustai pinnoituspinta-alojen laskentaan riittävän tarkan tuloksen. Esimerkki 6. I-palkin korkeus on 00, leveys 150 ja pituus 6m. Mikä on palkin ala? Päien alaa ei huomioia. P 4 0,15m 0,m 1m kok 5 1,848 m 45,9m 1m 6m 6m Esimerkki 4. Putken ulkohalkaisija on 14 mm ja pituus 1 m. Mikä on putken pinta-ala yksikössä m? 0,14m 10m 5,8m U-PLKIN PINT-L Kuva: U-palkki Esimerkki 5. Putken pinta-ala on 10m ja sen pituus on 50 metriä. Mikä on putken halkaisija? putki putki l l 10m 50m 6,7 mm U-palkin piiri voiaan laskea kaavalla: P a 4 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 11

12 Copyright Isto Jokinen 01 TILVUUSLSKENT Esineet ovat aina kolmiulotteisia. Kolmiulotteisuuesta johtuen niillä on tilavuus. Yksinkertaisten muotoisten esineien tilavuus voiaan laskea laskukaavojen avulla. Monimuotoisten tilavuutta ei voia suoraan laskea. Tilavuuen yksiköt ovat pituusmittoja kolmannessa potenssissa; esim. m, m, cm ja mm. Tilavuusyksikköjä jouutaan usein muuntamaan. Muunnoksissa pilkku siirtyy aina askelta. Esimerkiksi 00 m on 0, m ja myös 00000cm. Kolmiulotteisia muotoja KUUTION TILVUUS Kuution tilavuus: V = a. Esimerkki 6. Kuution sivun pituus on 100. Mikä on sen tilavuus yksikössä m? Vastaus: Pituusmitta muutetaan yksikköön metri, jolloin vastaus saaaan suoraan yksikössä m. V=(1,m) =,197m Esimerkki 7. Kuution tilavuus on 400 litraa. Mikä on kuution sivun pituus. a 400m 7, 7m Tilavuusmittojen muuntaminen m 0,0015 m ( l ) 000 1,5 cm ( ml ) mm ( µl ) SUORKULMISEN SÄRMIÖN TILVUUS 0, ,0049 4, Yleisimmin käytettyjä yksiköitä ovat m, l ja ml. Suorakulmaisen särmiön tilavuus lasketaan kertomalla sivujen pituuet keskenään, eli V a c Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

13 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 8. Laske suorakulmaisen särmiön tilavuus kun: a = 100, = 600 ja c = 800 V 1,m 0,6m 0,8m 0,576m KOLMIOSÄRMIÖN TILVUUS Esimerkki 0. Lieriön korkeus on 800 ja halkaisija 400. Mikä on sen tilavuus yksikössä litra ( m )? r h V m; 8m 100,5m m 100l 8m Kolmiosärmiön tilavuus lasketaan kaavalla: V L h Esimerkki 9. Kuvan kolmiosärmiön mitat ovat: L = 0000, = 8000,h = 4000 Mikä on sen tilavuus? V 0m 8m 4m LIERIÖN TILVUUS 0m PLLON TILVUUS Pallon tilavuus lasketaan kaavalla: V pallo tai V pallo 4 6 r Esimerkki 1. Pallon halkaisija on 50 mm. Mikä on sen tilavuus litroina? V pallo 0,5m 6 0,065m Esimerkki. Pallon tilavuus on 100 l. Mikä on sen halkaisija? Lieriön tilavuus lasketaan kaavalla V r h V pallo 6 V 6 100m 6 5,76m 576mm Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

14 Copyright Isto Jokinen 01 KRTION TILVUUS Esimerkki 5. Lattian pinta-ala on 8 m. Lattian päälle levitetään mm tasoitetta. Mikä on tasoitteen tilavuus litroina? V 8m 0,00m 0,04m 4l Laskettaessa tasoitteien kulutusta voiaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus ( mm ) Kartion tilavuus saaaan laskukaavalla: V kartio 1 Esimerkki. Kartion korkeus on 800 ja halkaisija 600. mikä on sen tilavuus litroina? 6m 8m V kartio 75, 4m 1 Esimerkki 4. Kartion tilavuus on 10 litraa ja halkaisija 0 cm. Mikä on sen korkeus? V kartio h h V 1 h 1 10m 1 h 4,4m 44mm m Esimerkki 6. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 4,5 mm. Paljonko tasoitetta kuluu litroina? V 1m 4,5mm 54l MLIKLVON TILVUUS Pinnassa olevan maalikalvon tai metallipinnoitteen tilavuus on sen peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuuella. Esimerkki 7. Teräslevyjen pinta-ala on 80 m. Niien päälle levitetään 0 µm sinkkiä. Mikä on sinkin tilavuus litroina? V 80m 0,0000m 0,004m Laskettaessa maalien ja metallipinnoitteien kulutusta voiaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus (µm )/1000 Esimerkki 8. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 150 µm maalikerros. Paljonko maalia kuluu litroina? PINNOTTEIDEN TILVUUS Pinnassa olevan pinnoitteen tilavuus on sen peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuuella. 1m 10 m V 1, 44l 1000 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 14

15 Copyright Isto Jokinen 01 PROSENTTILSKENT Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,4 4 0,01 1, 1,00 100, 1/5 100/5=4 /45 51,1 Tarkista laskimella tulos 51,1 %. PROSENTTIRVON LSKEMINEN Esimerkki 41. Laske prosenttia luvusta ,8 Esimerkki 4. Paljonko on 14 %:a 0 kg:sta? 14 0kg 44, 8kg 100 PROSENTTILUVUN LSKEMINEN Esimerkki 4. Kuinka monta prosenttia 55 kg on 790 kg:sta? 55kg 790kg 100% 6,96% Esimerkki 44. Kuinka monta prosenttia 75 mm on 65 cm:stä? Ennen laskutoimitusta yksiköt on muutettava samoiksi. 75mm 650mm 100% 11,54% Tulos olisi sama jos yksiköt olisivat olleet cm:nä. PERUSRVON LSKEMINEN Esimerkki 45. Mistä rahamäärästä 15 %:a on 8 euroa? 8e 5, e 0,15 LISÄTTY RVO Esimerkki 46 Lisää 0 kg:aan 1 %:a. 0kg 0kg 0,1 57, 6kg Lisäys voiaan laskea myös seuraavasti: 0 kg 1,1 57, 6kg Eellisessä kertoimen 1,1 luku 1 vastaa alkuperäistä arvoa ja 0,1 lisäystä. Esimerkki 47. Lisää 860 euroon 4 %:a. 860 e 1,4 1066, 4e Esimerkki 48. Lisää 45 grammaan 140 %:a 45 g,4 108g tai toisella laskutavalla: 45 g 45g 1,4 108g Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 15

16 Copyright Isto Jokinen 01 Käytä sitä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. VÄHENNETTY RVO Esimerkki 49. Vähennä 480 eurosta 4%:a. 480 e 480e 0,4 64, 8e Toisella tavalla: 480 e 0,76 64, 8e Eellisessä tavassa kerroin 0,76 on saatu vähentämällä luvusta yksi luku 0,4. Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. Jos vähennetystä arvosta halutaan laskea alkuperäinen arvo, saaaan se jakamalla vähennetty arvo vähennyskertoimella. Esimerkki 50. lkuperäisestä massasta on vähennetty 64 %:a jolloin on saatu tulos 100 kg. Mikä on ollut alkuperäinen massa? 100kg 611, 1kg 1 0,64 tai 100kg 611, 1kg 0,6 Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. Laskiessa on tärkeää ymmärtää kysymyksen muoosta mikä on alkuperäinen arvo. Esimerkki 51. uton hinta laski omistuksen aikana ostohinnasta e myyntihintaan 8500 e. Paljonko auton arvo laski prosentteina? 14000e 8500e 14000e 100% 9,8% Esimerkki 5. Kunnostettavan huonekalun ostohinta oli 45 e ja myyntihinta oli 80 e. Paljonko huonekalun arvo nousi prosentteina? 80e 45e 45e 100% 77,8% Esimerkki 5. Pekan palkka on 14,5 e tunnilta ja Hilkan palkka 1,75 e tunnilta. Montako prosenttia Pekan palkka on suurempi kuin Hilkan palkka? 14,5e 1,75e 1,75e 100% 11,76% Entä montako prosenttia Hilkan palkka on pienempi kuin Pekan palkka? 14,5e 1,75e 14,5e 100% 10,5% Entä montako prosenttia Hilkan palkka on Pekan palkasta? MUUTOS J VERTILU Prosentuaalista muutos lasketaan: 1,75 14,5 100% 89,47% muutos alkuperäinen_ arvo 100% Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 16

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1 Copyright Isto Jokinen

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2016 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan klo

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein MAOL ry:n pisteytyssuositus PITKÄ MATEMATIIKKA KEVÄT 00. yhtälöt a) y = ) = + c) y= + + d) y= + + kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa + a)- ja )-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin.

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. 1 MITTAAMINEN II Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: Suomen maantieto, nopeus, matka ja aika, erilaisten

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä Turun MATIKKAKAHVILA 22.09.2016 Teija Laine 1. OTTEITA UUDESTA OPETUSSUUNNITELMASTA: "Vuosiluokkien 3 6 matematiikan opetuksessa tarjotaan kokemuksia, joita oppilaat hyödyntävät matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2013

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2013 Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2013 MFKA-Kustannus Oy Rautatieläisenkatu 6, 00520 HELSINKI, puh. (09) 1502 378 http://www.mfka.fi

Lisätiedot

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI. A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Ryhmätyöprojekti, 9. luokka

Ryhmätyöprojekti, 9. luokka Ryhmätyöprojekti, 9. luokka Opettajan määräämissä noin kolmen hengen ryhmissä toteutetaan projekti, jossa yhdistyy yhtälöiden ratkaiseminen hahmotuskyky ja luovuus annettujen resurssien käyttö tutustuminen

Lisätiedot

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan.

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3 pistettä 1. Kenguru astuu sisään sokkeloon. Se saa käydä vain kolmion muotoisissa huoneissa. Mistä se pääsee ulos? A) a B) b C) c D) d E) e 2. Kengurukilpailu on pidetty Euroopassa

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Rakennusten pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen:

Rakennusten pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen: Rakennusten pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen: RT-ohjekortti RT 12-10277 Rakennuksen pinta-alat (1985) Kerrosalan laskeminen, Ympäristöopas 72 (2000) RAKENNUSALA: Rakennusala on se alue tontilla,

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio : Geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 8. Kappaleiden pinta-aloja Kappaleiden kokonaispinta-alassa

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5 Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5 3 pisteen tehtävät 1) Miettisen perhe syö 3 ateriaa päivässä. Kuinka monta ateriaa he syövät viikon aikana? A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37 2) Aikuisten

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

LISTAT. Tehtävä 1: LISTAT

LISTAT. Tehtävä 1: LISTAT LISTAT Tammikuussa julkaistiin Rokkisydän ja Sarvipäät -yhtyeiden uudet CD:t. Helmikuussa niitä seurasivat Sinkkubingo ja Metalliväki -yhtyeiden CD:t. Alla oleva kuvaaja esittää näiden yhtyeiden CD-levyjen

Lisätiedot

RATA- ja PELAAMISSÄÄNNÖT ETERNIITTIRADAT Painos 2016

RATA- ja PELAAMISSÄÄNNÖT ETERNIITTIRADAT Painos 2016 RATA- ja PELAAMISSÄÄNNÖT ETERNIITTIRADAT Painos 2016 Ratagolfin eterniittiratojen ratasäännöt ja mittapiirustukset Copyright SUOMEN RATAGOLFLIITTO ry TEKNINEN KOMITEA Toimittanut ARI AHRENBERG ERSÄÄ2016

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot