Mallivastaukset DIA-yhteisvalinnan arkkitehtihakukohteiden matematiikan kokeeseen 2017

Transkriptio

1 Mallivastaukset DIA-yhteisvalinnan arkkitehtihakukohteiden matematiikan kokeeseen 017 Mallivastaukset on laatinut Teho-Opiston matematiikan opettaja Jarno Parviainen Teho-Opisto järjestää valmennusta arkkitehtiopintoihin haluaville. Vuonna % opiskelijoistamme sai haluamansa opiskelupaikan. Teho-opiston yhteystiedot: Nettisivut: Sähköposti: Puhelin: Jarno Parviainen

2 A1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? c) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 1 + x + =? d) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 4x 16 =? e) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x >? f) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x + 1 <? a) x = ± b) x = ± c) x = 1 + x + = x + 4 = 6 4 x = d) x = ± x 4x 16 = x 4x 18 = 0 x = 4 ± ( 18) 1 4 ± x = x = ± e) x < tai x > f) x < 1 x + 1 < 1 x < 1

3 A. Neliön muotoisesta levystä leikataan jokaisesta kulmasta pois kolmio niin, että syntyy säännöllinen kahdeksankulmio. a) Piirrä kuva neliön sisään syntyvästä kahdeksankulmiosta. b) Olkoon neliön sivun pituus 7 metriä. Mikä on kahdeksankulmion sivun pituus? Anna vastauksen tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. a) x a Muistikolmio: a 1 1 x a = 1 ) a x = a x = x:n voi selvittää myös pythagoraan lauseella: x + x = a a = x a = x b) a + a = 7 ( + 1)a = 7 a = 1 ) a = 7( 1) 1 a = 7( 1) m a =, a, 90 m

4 A. Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu D-tulostimen tulostusprosessissa on 1. Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat 6 toisistaan riippumattomia. a) Mikä on todennäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta kaikki ovat ehjiä? Anna vastauksen tarkka arvo. b) Mikä on todennkäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta ainakin yksi on ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. c) Tulostusprosessin jälkeen kappale (viallinen tai ehjä) menee jälkikäsittelyyn, missä todennäköisyys kappaleen vioittumiseen on 1 riippumatta siitä, onko 5 kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Mikä on todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. a) Todennäköisyys ehjälle tulosteelle: = 5 6. ( ) 5 Todennäkösyys, että kaikki kolme ovat ehjiä: = b) Todennäköisyys, että kaikki ovat rikki: ( ) 1 = Todennäköisyys, että ainakin yksi on ehjä: = c) Todennäköisyys, että kappale ei vioitu jälkikäsittelyssä: = 4 5 Todennäköisyys, että kappale selviää ehjänä koko prosessista: =

5 A4. Arkkitehti K. Kansalainen omistaa hienon omakotitalon. Omakotitalon lämmittäminen suoralla sähkölämmityksellä maksaa 000 euroa vuodessa. Arkkitehti K. Kansalainen harkitsee ilmalämpöpumppua, jonka asentaminen maksaisi 5000 euroa. Vaihtoehtona ilmalämpöpumpulle K. Kansalainen harkitsee maalämpöä, jonka asentaminen maksaisi euroa. Ilmalämpöpumppu tuottaisi 5 % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämpö puolestaan tuottaisi 55 % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Oletetaan, että yleinen kustannustaso pysyy muuttumattomana. a) Laske jokaisen kolmen lämmityskustannusvaihtoehdon kokonaiskustannus 10 vuoden aikana. b) Arkkitehti K. Kansalainen päätyy ilmalämpöpumppuun. Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? Entäpä, jos K. Kansalainen päätyykin maalämpöön? Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdonkokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? Ilmalämpöpumpun vuotuiset kustannukset: Maalämmön vuotuiset kustannukset: (1 0, 5) 000 = 50 AC (1 0, 55) 000 = 150 AC a) b) Suora sähkö: Ilmalämpöpumppu: Maalämpö: = AC = AC = AC Ilmalämpöpumppu: t < 000t 000t 50t > t > 5000 t > t > 6, 67 t 7 vuotta Maalämpö: t < 000t 000t 150t > t > t > 1650 t > 1, 1 t 1 vuotta

6 A5. Omakotitalossa ollaan vaihtamassa lämmitysjärjestelmää. Omistaja haluaa asentaa uuden järjestelmän vasta, kun öljysäiliössä oleva öljy on käytetty loppuun. Maan alle vaakasuoraan asennetun suoran ympyrälieriön muotoisen säiliön tilavuus on 000 l ja pääty-ympyröiden halkaisija on 100 cm. Öljynpinnan korkeus on säiliön alimmasta kohdasta mitattuna 0 cm. Kuinka moneksi viikoksi öljy riittää, kun öljyä kuluu 70 litraa viikossa? Muodostuu ympyräsektori, joka jakautuu edelleen ympyräsegmenttiin ja keskuskolmioon. Merkitään ympyräsektorin keskuskulmaa θ, keskuskolmion kantaa l ja keskuskolmion korkeutta d. Muutetaan mitat desimetreiksi, jolloin ne ovat yhteneviä litrojen kanssa. d = 5 = dm 5 dm l = 8 dm d = dm dm cos ( ) l + = 5 l = 8 dm ( ) θ = 5 ) ( θ = cos 1 5 θ = 106, 6 = 1, 8546 rad Ympyräsektorin pinta-ala on A = θr θ, kun θ on radiaaneina tai A = 60 πr kun θ on asteina. Ympyräsegmentin ala on ympyräsektorin ala vähennettynä keskuskolmion alalla. A o = A A k A o = θr ld A o = 1, A o = 11, 18 dm Öljyn ja säiliön tilavuuksien suhde on sama kuin päätypinta-alojen suhde.

7 V o = A o d V s A s d V o 11, 18 = 000 π 5 11, 18 V o = π V o = 47, 0 l Öljyä riittää = 6, 1 6 viikoksi.

8 A6. Pallon P säde on 6, 5 cm. Pallon P sisään asetetaan suora ympyräkartio K (pohjaympyrän säde r, korkeus h) siten, että kartion K kärki ja pohjaympyrän kehä ovat pallon P sisäpinnalla. Piirrä kuva. Mikä on suoran ympyräkartion K suurin mahdollinen tilavuus? Anna vastauksen tarkka arvo. Piirretään kuva pallon keskipisteen ja kartion kärjen kautta kulkevasta poikkileikkauksesta. R r R h Ympyräkartion tilavuus V = πr h. r + (R h) = R r = R (R h) r = R R + Rh h r = Rh h V = π(rh h )h V (h) = π (Rh h ) V (h) = π (4Rh h ) V (h) = 0 0 h 1, 5 π (4Rh h ) = 0 4Rh h = 0 h(4r h) = 0 h = 0 tai 4R h = 0 h = 4 R h = h = 5

9 Jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin arvo on välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Tässä nähdään, että tilavuusfunktio saa arvon nolla välin päätepisteissä, joten suurin arvo on derivaatan nollakohdassa. ( ) ( 5 V = π 5 4 ( ) 5 V = 1565π 16 ( ) 5 cm ( ) ) 5