χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A"

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus, Homogeenisuus, Jakaumaoletus, χ 2 -jakauma, χ 2 -homogeenisuustesti, χ 2 -riippumattomuustesti, χ 2 -testi, χ 2 -yhteensopivuustesti, Merkitsevyystaso, Nollahypoteesi, Odotettu frekvenssi, Parametri, p-arvo, Riippumattomuus, Testi, Vapausasteet, Yhteensopivuus Kahdelle henkilölle A ja B on kummallekin annettu noppa ja kumpaakin on pyydetty heittämään sitä 120 kertaa. A ja B kertovat saaneensa heittojen tuloksena alla esitetyt silmälukujen jakaumat. (a) (b) Tutki χ 2 -yhteensopivuustestin avulla voidaanko A:n ja B:n heittämiä noppia pitää virheettöminä eli symmetrisinä? Tämä tapahtuu testaamalla nollahypoteesia, että nopanheiton tulos noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Suuret χ 2 -testisuureen arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Tutki χ 2 -yhteensopivuustestin avulla, kuinka todennäköistä on se, että A ja B ovat rehellisiä kertoessaan heittäneensä noppaa? Tämä tapahtuu testaamalla nollahypoteesia, että nopanheiton tulos noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Pienet χ 2 -testisuureen arvot viittaavat siihen, että tulokset ovat liian hyviä ollakseen todellisia. Käytä (a)-kohdan testeissä sekä 1 %:n että 5 %:n merkitsevyystasoja ja (b)-kohdan testeissä 1 %:n merkitsevyystasoa. Silmäluku A:n tulokset B:n tulokset Ratkaisu: χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta k 2 ( Oi Ei) χ = E i= 1 O i = havaittu frekvenssi luokassa i E i = odotettu frekvenssi luokassa i i 2 Ilkka Mellin (2004) 1/15

2 Huomaa, että k k Oi = Ei = n i= 1 i= 1 n on havaintojen kokonaislukumäärä. Odotetut frekvenssit E i määrätään käyttämällä hyväksi nollahypoteesia H 0 : Havainnot noudattavat todennäköisyysjakauma F(x) Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 - jakaumaa vapausastein f = k 1 m, k on luokkien lukumäärä ja m on odotettujen frekvenssien E i määräämiseksi estimoitavien parametrien lukumäärä. Tehtävän nollahypoteesi on Tällöin H 0 : Pr(Saadaan silmäluku i) = p = 1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 E i = np = 20, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A:n käyttämälle nopalle χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 13.1 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) 2 /E i Sum B:n käyttämälle nopalle χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 0.3 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) 2 /Ei Sum Ilkka Mellin (2004) 2/15

3 Koska k = 6 ja m = 0 (yhtään parametria ei ole estimoitu), vapausasteiden lukumäärä testeissä on f = k 1 m = = 5 χ 2 -jakauman taulukoiden mukaan 1 %:n merkitsevyystasoa vastaavat kriittiset arvot ovat, kun vapausasteiden luku f = 5: Jakauman oikea häntä: Jakauman vasen häntä: χ 2 -jakauman taulukoiden mukaan 5 %:n merkitsevyystasoa vastaavat kriittiset arvot ovat, kun vapausasteiden luku f = 5: Jakauman oikea häntä: Jakauman vasen häntä: 1.15 (a) A:n noppa ja 1 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 13.1 < = 1 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman oikealla hännällä niin nollahypoteesi jää voimaan 1 %:n merkitsevyystasolla A:n nopan tapauksessa. B:n noppa ja 1 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 0.3 < = 1 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman oikealla hännällä niin nollahypoteesi jää voimaan 1 %:n merkitsevyystasolla B:n nopan tapauksessa. A:n noppa ja 5 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 13.1 > = 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman oikealla hännällä niin nollahypoteesi hylätään 5 %:n merkitsevyystasolla A:n nopan tapauksessa. Ilkka Mellin (2004) 3/15

4 B:n noppa ja 5 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 0.3 < = 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman oikealla hännällä niin nollahypoteesi jää voimaan 5 %:n merkitsevyystasolla B:n nopan tapauksessa. (b) χ 2 -testisuureen liian pienet arvot viittaavat siihen, että havainnot noudattavat liian hyvin nollahypoteesin kiinnittämää jakaumaa. A:n noppa ja 1 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 13.1 > = 1 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman vasemmalla hännällä niin voimme päätellä, että A on todennäköisesti todella heittänyt noppaa. B:n noppa ja 1 %:n merkitsevyystaso: χ 2 = 0.3 < = 1 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo χ 2 jakauman vasemmalla hännällä niin, on epäuskottavaa, että B on heittänyt noppaa. B on todennäköisesti keksinyt nopanheiton tulokset, mutta on aliarvioinut satunnaisvaihtelun merkityksen. Ilkka Mellin (2004) 4/15

5 11.2. Geiger-mittari laskee radoaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja, jonka voidaan olettaa noudattavan Poissonin jakaumaa. Erään aineen kohdalla rekisteröitiin emissioiden lukumäärät 101 samanmittaisella lyhyellä aikavälillä. Alla olevassa taulukossa on annettu emissioiden lukumäärien frekvenssit. Tutki χ 2 -testin avulla onko Poisson-jakaumaoletus sopusoinnussa havaintojen kanssa. Käytä testissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Emissioiden lkm Frekvenssi Ratkaisu: χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta Huomaa, että k 2 ( Oi Ei) χ = E i= 1 i O i = havaittu frekvenssi luokassa i E i = odotettu frekvenssi luokassa i k k Oi = Ei = n i= 1 i= 1 n on havaintojen kokonaislukumäärä. 2 H 0 : Havainnot noudattavat todennäköisyysjakauma F(x) Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 - jakaumaa vapausastein f = k 1 m, k on luokkien lukumäärä ja m on odotettujen frekvenssien E i määräämiseksi estimoitavien parametrien lukumäärä. Tehtävän nollahypoteesi on H 0 : Emissioiden lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa Poisson-jakauman pistetodennäköisyysfunktio on x e λ λ f( x) = Pr( X = x) =, x = 0,1,2, x! Ilkka Mellin (2004) 5/15

6 Parametrin λ suurimman uskottavuuden estimaattori on havaintojen aritmeettinen keskiarvo: ioi n i = 0 x = = 103 = n = havaintojen kokonaislukumäärä = 101 O i = havaittu frekvenssi luokassa i Siten odotetut frekvenssit ovat E 0 = Pr(X = 0) n = E 1 = Pr(X = 1) n = E 2 = Pr(X = 2) n = E 3 = Pr(X = 3) n = 6.44 E 4 = Pr(X = 4) n = 1.64 E 5 = Pr(X = 5) n = 0.33 Koska luokissa 4 ja 5 odotetut frekvenssit ovat < 5, luokat 4 ja 5 yhdistetään luokkaan 3. Sama tehdään vastaaville havaituille frekvensseille. χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) 2 /E i tai yli Sum Koska k = 4 ja m = 1 (yksi parametri on estimoitu), vapausasteiden lukumäärä on f = k 1 m = = 2 Siten 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo on χ 2 -jakauman taulukoiden mukaan χ 2 = < 5.99 niin nollahypoteesi jää voimaan 5 %:n merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Havainnot saattavat noudattaa Poisson-jakaumaa. Ilkka Mellin (2004) 6/15

7 11.3. Erään tehtaan johto epäili, että työntekijöiden keskuuteen oli levinnyt tapa venyttää viikonlopun viettoa perjantaihin ja maanantaihin ilmoittautumalla sairaaksi. Asiaa tutkittiin neljän viikon ajan rekisteröimällä poissaolojen lukumäärät jokaisena työpäivänä. Keskiarvotiedot ko. ajanjaksolta on annettu alla olevassa taulukossa. (a) (b) Testaa nollahypoteesia, että poissaolojen lukumäärä jakautuu tasaisesti työpäiville. Yhdistä sekä perjantain ja maanantain että tiistain, keskiviikon ja torstain havainnot. Miten (a)-kohdan nollahypoteesia on tällöin modifioitava? Testaa modifioitua nollahypoteesia. Käytä testeissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Viikonpäivä ma ti ke to pe Summa Poissaolojen lukumäärä (ka) Ratkaisu: Käytämme tehtävän testisuuretta. (a) Odotetut frekvenssit E j määrätään käyttäen nollahypoteesia H 0 : Poissaolot jakautuvat tasaisesti eri viikonpäiville Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 -jakaumaa vapausastein f = k 1 m, k on luokkien lukumäärä ja m on odotettujen frekvenssien E i määräämiseksi estimoitavien parametrien lukumäärä. Odotetut frekvenssit: Viikonpäivä ma ti ke to pe Summa Poissaolojen lukumäärä χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 4.90 Ilkka Mellin (2004) 7/15

8 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): Päivä ma ti ke to pe Summa O i E i Khi Koska k = 5 ja m = 0 (yhtään parametria ei ole estimoitu), vapausasteiden lukumäärä on f = k 1 m = = 4 Siten 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo on χ 2 -jakauman taulukoiden mukaan χ 2 = 4.90 < niin nollahypoteesi jää voimaan 5 %:n merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Poissaolot saattavat jakautua tasaisesti eri viikonpäiville. (b) Yhdistämällä sekä perjantain ja maanantain havainnot sekä tiistain, keskiviikon ja torstain havainnot saadaan seuraava havaittujen frekvenssien taulukko: Viikonpäivä pe-ma ti-ke-to Summa Poissaolojen lukumäärä (ka) Vastaava yhdistäminen (a)-kohdan odotettujen frekvenssien taulukossa tuottaa taulukon Viikonpäivä pe-ma ti-ke-to Summa Poissaolojen lukumäärä χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 4.08 Ilkka Mellin (2004) 8/15

9 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): Päivä pe-ma ti-ke-to Summa O i E i Khi Koska k = 2 ja m = 0 (yhtään parametria ei ole estimoitu), vapausasteiden lukumäärä on f = k 1 m = = 1 Siten 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittinen arvo on χ 2 -jakauman taulukoiden mukaan χ 2 = 4.08 > niin nollahypoteesi voidaan hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Poissaolojen jakautumisessa voidaan havaita viikonloppuefekti. Opetus: Köytetty luokitus vaikuttaa χ 2 -yhteensopivuustestin tulokseen Erään rokotuskokeen tulokset on esitetty alla. eri (a) (b) Testaa nollahypoteesia, että rokotettujen ja rokottamattomien sairastuvuudessa ei ole eroa käyttäen suhteellisten osuuksien vertailuun tarkoitettua testiä. Sovella rokotuskokeen tuloksiin χ 2 -testiä, kun nollahypoteesi olettaa, että sairastuvuus ei riipu rokotuksesta. Käytä molemmissa testeissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Vertaa (a)- ja (b)-kohtien testien tuloksia toisiinsa. Voivatko (a)- ja (b)-kohtien testit johtaa tulokseen? Sairastuminen Rokotus Sairastui S Ei sairastunut ei-s Rokotettiin R 9 42 Ei rokotettu ei-r Ilkka Mellin (2004) 9/15

10 Ratkaisu: (a) Nollahypoteesina on H 0 : p 1 = p 2 p 1 = todennäköisyys sairastua, jos on rokotettu p 2 = todennäköisyys sairastua, jos ei ole rokotettu Suhteellisten osuuksien vertailuun käytetään testisuuretta (ks. 10. harjoitukset) z = npˆ pˆ = n pˆ pˆ pˆ(1 pˆ) + n1 n2 + npˆ + n Nollahypoteesin pätiessä testisuure z on jakautunut suurissa otoksissa approksimatiivisesti kuten standardoitu normaalijakauma N(0,1). Tehtävän tapauksessa: ˆp 1 = 9/(9 + 42) = 0.18 n 1 = = 51 ˆp 2 = 17/( ) = 0.38 n 2 = = 45 ˆp = 0.27 z = 2.21 Olkoon vaihtoehtoinen hypoteesi 1-suuntainen: H 1 : Sairastuvuus on rokotettujen joukossa pienempää Tällöin 5 %:n merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittiseksi arvoksi saadaan normaalijakauman taulukosta Koska 1.65 z = 2.21 < 1.65 niin nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi hyväksytään. Johtopäätös: Sairastuvuus on rokotettujen joukossa pienempää kuin rokottamattomien joukossa. Ilkka Mellin (2004) 10/15

11 (b) Käytetään testisuuretta 2 χ r c ( O ) 2 ij Eij = E i= 1 j= 1 ij odotetut frekvenssit E ij määrätään käyttäen nollahypoteesia H 0 : Sairastumistodennäköisyys ei riipu rokotuksesta Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure on jakautunut suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 -jakauman mukaan vapausastein (r 1)(c 1), r = frekvenssitaulun rivien lukumäärä c = frekvenssitaulun sarakkeiden lukumäärä Odotetut frekvenssit E ij saadaan kaavasta E ij = R i C j /n R i = i. rivisumma C j = j. sarakesumma n = kokonaissumma Tehtävän tapauksessa χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 4.91 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmalla): O ij S ei-s Sum R ei-r Sum E ij S ei-s Sum Tark R ei-r Sum Tark Khi 2 S ei-s Sum R ei-r Sum Vapausasteiden lukumäärä on tässä f = (r 1)(c 1) = (2 1)(2 1) =1 Ilkka Mellin (2004) 11/15

12 Siten 5 %:n merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittiseksi arvoksi saadaan χ 2 -jakauman taulukosta 3.84 Koska testisuureen arvo χ 2 = 4.91 > 3.84 niin nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi hyväksytään. Johtopäätös: Sairastumistodennäköisyys riippuu rokotuksesta. Huomautus: (a)-kohdan z-testisuureen arvon neliö on täsmälleen sama kuin (b)-kohdan χ 2 - testisuureen arvo. Tämä ei ole sattumaa, vaan perustuu χ 2 -testisuureen ja χ 2 --jakauman ominaisuuksiin 2 2-frekvenssitaulun tapauksessa. On hyvä muistaa, että z-testin ja χ 2 -testin ekvivalenssia 2 2-frekvenssitaulun tapauksessa ei voi yleistää Kahdelle henkilölle A ja B on kummallekin annettu noppa ja kumpaakin on pyydetty heittämään sitä 120 kertaa. A ja B kertovat saaneensa heittojen tuloksena alla esitetyt silmälukujen jakaumat. Tutki χ 2 -testin avulla, onko mahdollista, että A ja B ovat käyttäneet samaa noppaa. Tämä tapahtuu χ 2 -homogeenisuustestiä käyttämällä. Käytä testissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Silmäluku A:n tulokset B:n tulokset Ratkaisu: Tehtävän ratkaisussa käytetään tehtävän kohdan (b) χ 2 -testisuuretta, odotetut frekvenssit E ij määrätään tällä kertaa käyttäen nollahypoteesia H 0 : A- ja B-frekvenssit ovat peräisin samasta todennäköisyysjakaumasta Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure on jakautunut suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 -jakauman mukaan vapausastein (r 1)(c 1), r = frekvenssitaulun rivien lukumäärä c = frekvenssitaulun sarakkeiden lukumäärä Ilkka Mellin (2004) 12/15

13 Odotetut frekvenssit saadaan kaavasta E ij = n i C j /n n i = i. rivisumma C j = j. sarakesumma n = kokonaissumma Tehtävän tapauksessa χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = 2.41 Laskutoimitukset (Microsoft Excel -ohjelmalla): O ij Sum A B Sum E ij Sum A B Sum Khi Sum A B Sum Vapausteiden lukumäärä on tässä f = (r 1)(c 1) = (2 1)(6 1) = 5 Siten 5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittiseksi arvoksi saadaan χ 2 -jakauman taulukosta Koska testisuureen arvo χ 2 = 2.41 < niin nollahypoteesi jää voimaan. Johtopäätös: A:n ja B:n tulokset voivat olla peräisin samasta nopasta. Ilkka Mellin (2004) 13/15

14 11.6. Alla oleva taulukko koskee USA:n äänioikeutettujen joukosta poimittua pientä otosta. Otoksesta on määrätty äänioikeutettujen puoluekanta ja suhtautuminen käsiaseiden rajoituksiin. Ovatko puoluekanta ja suhtautuminen aserajoituksiin toisistaan riippumattomia? Käytä χ 2 -riippumattomuustestissä 0.5 %:n merkitsevyystasoa. Suhtautuminen aserajoituksiin Puoluekanta Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Demokraatti Republikaani Riippumaton Ratkaisu: Käytetään tehtävän kohdan (b) testisuuretta. Odotetut frekvenssit E ij määrätään käyttäen nollahypoteesia H 0 : Suhtautuminen aserajoituksiin ei riipu puoluekannasta Nollahypoteesin pätiessä χ 2 -testisuure on jakautunut suurissa otoksissa approksimatiivisesti χ 2 -jakauman mukaan vapausastein (r 1)(c 1), r = frekvenssitaulun rivien lukumäärä c = frekvenssitaulun sarakkeiden lukumäärä Odotetut frekvenssit saadaan kaavasta E ij = R i C j /n R i = i. rivisumma Havaitut frekvenssit: C j = j. sarakesumma n = kokonaissumma O ij Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Yhteensä Dem Rep Riip Yhteensä Ilkka Mellin (2004) 14/15

15 Odotetut frekvenssit: E ij Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Yhteensä Dem Rep Riip Yhteensä χ 2 -testisuureen arvoksi saadaan χ 2 = Laskutoimitukset (Microsoft Excel -ohjelmalla): O ij Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Yhteensä Dem Rep Riip Summa E ij Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Yhteensä Dem Rep Riip Summa Khi 2 Puoltaa Ei kantaa Vastustaa Yhteensä Dem Rep Riip Summa Vapausteiden lukumäärä on tässä f = (r 1)(c 1) = (3 1)(3 1) = 4 Siten 0.5 %:n merkitsevyystasoa vastaava kriittiseksi arvoksi saadaan χ 2 -jakauman taulukosta Koska testisuureen arvo χ 2 = > niin nollahypoteesi hylätään merkitsevyystasolla Johtopäätös: Puoluekanta ja suhtautuminen aserajoituksiin riippuvat toisistaan. Ilkka Mellin (2004) 15/15

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Genetiikan perusteet 2009

Genetiikan perusteet 2009 Genetiikan perusteet 2009 Malli selittää, mutta myös ennustaa ja ennusteen voi testata kokeella. Mendel testasi F 2 -mallinsa tuottamalla itsepölytyksellä F 3 -polven Seuraava sukupolvi tai toinen, riippumaton

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot