MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin"

Transkriptio

1 MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin Samuli Hanski 28. huhtikuuta 2014 Tehtävät ja niiden numerointi pohjautuvat oppikirjan 2., korjattuun painokseen. 5.1 Jaollisuus ja jakojäännös Harjoitustehtäviä Tehtävä 1. a) Ei ole. On. On. d) Ei ole. a) Jakaa. Jakaa. Ei jaa. d) Ei jaa. Tehtävä 3. a) 3 66,koska66= ,koska120:7=17 1 7,jokaeiolekokonaisluku. 15 ( 330),koska 330= d) 11 ( 619),koska 619:11= ,jokaei ole kokonaisluku. Tehtävä 4. Väite on a) epätosi, tosi, tosi, d) tosi, e) tosi. a) 7= = = d) 3858= Tehtävä 6. Huomaa, että jakojäännös on aina ei-negatiivinen. a) 22= = =

2 Tehtävä 7. a) 9= = = d) 124= Tehtävä 8. a) 2, 4, 26, d) 41. Tehtävä 9. a) 10täyttäpussia,ylijää täyttä pussia, yli ei jää yhtään. 43täyttäpussia,ylijää2. d) 65 täyttä pussia, yli ei jää yhtään. Tehtävä 10. Kello oli Tehtävä 11. a) 1671, 1092, 48, d) 1,5,13tai65. Tehtävä 12. a) Osamäärä on 8, jakojäännös on 2. Osamääräon9,jakojäännöson10. 1 Tehtävä13. Aloitaesittämälläluvutbjacluvunaavulla. Tehtävä14. Aloitaesittämälläcluvunaavullajadluvunbavulla. Tehtävä 15. Missä muodossa jokainen pariton luku voidaan esittää? Tehtävä16. Jokoa=btaia= b.miksi? Tehtävä 17. a) Osamääräonn,jakojäännöson3.Jakoyhtälöon5n+3=n 5+3. Osamääräonn+1,jakojäännöson1.Jakoyhtälöonn 2 +2n+2=(n+1)(n+1)+1. Osamääräonn 2 1,jakojäännöson0.Jakoyhtälöonn 3 +3n 2 n 3=(n 2 1)(n+3).Ohje:jaa tekijöihin ryhmittelemällä. d) Osamääräonn 2 +2,jakojäännöson3.Jakoyhtälöon2n 3 +3n 2 +4n+9=(n 2 +2)(2n+3)+3. Tehtävä 18. a) Jakojäännösvoisaadaarvot0,1,2ja3. Tee epäsuora todistus. Käy läpi eri vaihtoehdot jakojäännökselle, kun a ja b jaetaan kolmella. 1 Tässä tehtävässä laskimen laskentatarkkuus loppuu kesken. Laskimen käytöllä voi aloittaa, mutta oikea jakojäännös on pääteltävä jollain muulla tavalla. Miten?

3 Kotitehtäviä Tehtävä 1. a) On. Ei ole. Ei ole. d) On. a) Jakaa. Ei jaa. Ei jaa. d) Jakaa. Tehtävä 3. Ks. tarvittaessa apua esimerkistä Tehtävä 4. a) Ei ole. On. Ei ole. d) On. e) On. a) 9= = = Tehtävä 6. a) 12= = = Tehtävä 7. a) 3= = = d) 88= Tehtävä 8. a) 3, 1, 56, d) 79. Tehtävä 9. a) Tiistai. Sunnuntai. Tehtävä tunnin kuluttua on perjantai klo Tehtävä 11. a) C Tehtävä 12.

4 a) d) 11,13tai143. Tehtävä13. Otayhteiseksitekijäksi(3n+1) 3. Tehtävä 14. Poista sulkeet esimerkiksi symbolisen laskimen avulla. Tehtävä 15. a) Vaillinainenosamääräon49,jakojäännöson50jajakoyhtälöon =49(7 48 1)+50. Osamääräon7 25 1,jakojäännöson0jajakoyhtälöon7 25 1=(7 25 1)( )+0. Tehtävä16. Koskaa b,niinb=kajollakinkokonaisluvullak.jatkaesittämälläb+cvastaavasti. Tehtävä 17. Toimi samalla tavalla kuin tehtävässä 16. Tehtävä 18. Toimi samalla tavalla kuin tehtävässä 16. Tehtävä19. Jos3 a 2b,niin(a 2=3kjollakinkokonaisluvullak.Kirjoitasittena+bmuodossa, jostakolmellajaollisuusnäkyy.toisaalta,jos3 (a+,niina+b=3mjollakinkokonaisluvullam.kirjoitanyt a 2b muodossa, josta kolmella jaollisuus näkyy. Tehtävä 20. a) Vaillinainenosamääräon2n 3,jakojäännöson1jajakoyhtälöon2n 2 n 2=(2n 3)(n+1)+1. Vaillinainenosamääräonn 2 n+2,jakojäännöson2jajakoyhtälöonn 3 +n 2 +6=(n 2 n+2)(n+2)+2. Vaillinainenosamääräonn+2,jakojäännöson 1jajakoyhtälöonn 2 +2n 1=(n+2) n 1. 2 Tehtävä 21. Muokkaa tapauksen a 0 todistusta. Tehtävä 22. a) 10, , Polynomienjakolaskussajakojäännökseltavaaditaan,ettäsenastelukuonjakajaapienempi.Jakojäännösvoisiksiollanegatiivinen.

5 5.2 Kongruenssi Harjoitustehtäviä Tehtävä 1. Ks. apua esimerkistä a) 2, 0, 5. Tehtävä3. 19,31,43,55,67,79,91,103,115,127.Minkäsäännönluvuttoteuttavat? Tehtävä 4. Eivät sammuneet. a) 15.00, On lauantai. Tehtävä 6. Kannattaa soveltaa kongruenssin laskusääntöjä. a) 3, 2, 1. Tehtävä7. 0.Se,ettänjättääviidelläjaettaessajakojäännöksen2,tarkoittaa,ettän 2(mod5). Tehtävä 8. Käy läpi eri vaihtoehdot jakojäännökselle. Tehtävä 9. Mitkä ovat pienimmät ei-negatiiviset kokonaisluvut, joiden kanssa n voi olla kongruentti modulo 2? Tarkista, että väite pätee kaikilla näillä vaihtoehdoilla. Ks. apua esimerkistä Tehtävän voi tietenkin ratkaista myös ilman kongruenssien käsittelyä. Tehtävä 10. Parilliset luvut ja vain ne ovat kongruentteja luvun 0 kanssa modulo 2. Ks. esimerkki Tehtävä 11. Ks. esimerkki Tehtävä 12. Ks. esimerkki Tehtävä 13. Ks. esimerkki Tehtävä 14. Ks. esimerkki Tehtävä 15. Modulo 3 tarkoittaa, että tarkastellaan jaollisuutta kolmella. Kolmella jaollisuuden tarkastelu osittaa kokonaislukujen joukon kolmeen osajoukkoon. Millaiset luvut näihin osajoukkoihin kuuluvat? Kongruenssin toteuttavatkaikkineluvut,jotkaovatkongruenttejaluvun2kanssamodulo3,ts.x=2+3k,k Z. Tehtävä16. Oletetaan,ettäa b(modk)sekäa=mk+r 1 jab=nk+r 2,joissar 1 jar 2 ovatjakojäännökset ja0 r 1,r 2 <k.etenekirjoittamallaa btoisellatavalla.mitähuomaatluvunr 1 r 2 jaollisuudesta?osoita, ettätästäseuraar 1 = r 2.Toisaalta,josajabjättävätluvullak jaettaessasamanjakojäännöksenr,niin a=mk+rjab=nk+r.tutkinyterotustaa b. Tehtävä 17. Osaat kyllä itse! Tehtävä 18.

6 a) Osaat kyllä! Tämänkin osaat itse! f(n)=n 13(mod28),f(n)= 1 3 (n 7)(mod28). Kotitehtäviä Tehtävä 1. Ks. apua esimerkistä a) 0, 4, 2. Tehtävä3. 45, 37, 29, 21, 13, 5,3,11,19,27,35,43.Minkäsäännönluvuttoteuttavat? Tehtävä 4. On. Ketkään henkilöistä eivät ole syntyneet samana viikonpäivänä. Vastaus ei riipu siitä, osuuko vuosi 2000(joka ei ollut karkausvuosi) tarkastelujaksolle. Tehtävä 6. a) On toukokuu. Oli lokakuu. Tehtävä 7. Kannattaa soveltaa kongruenssin laskusääntöjä. a) 7, 0, 2. Tehtävä Tehtävä9. Oletuksistaseuraa,ettäa c=mkjab d=nkjoillakinm,n Z.Tarkastelenytlauseketta a b c+d. Tehtävä 10. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 11. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 12. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 13. Ks. apua esimerkistä Tehtävä14. x=4+7k,jossak Z. Tehtävä15. Väiteonepätosi.Etsivastaesimerkkielivalitsesopivatluvuta,bjam,joillaab 0(modm) muttasiltia 0jab 0. Tehtävä 16. Väite on epätosi. Etsi vastaesimerkki. Tehtävä 17.

7 a) Jäännösluokatmodulo5ovat0={5k k Z},1={5k+1 k Z},2={5k+2 k Z}, 3={5k+3 k Z}ja4={5k+4 k Z} d) e) f) Jäännösluokkien0,1,2,3ja4vasta-alkiotovat0,4,3,2ja1. Jäännösluokalla 0 ei ole käänteisalkiota. Jäännösluokkien 1, 2, 3 ja 4 käänteisalkiot ovat 1, 3, 2 ja 4. x=3. x=2 x= Kongruenssin sovelluksia Harjoituksia Tehtävä 1. a) 4, 1, 0. a) 3, 4, 0, d) 2. Tehtävä3. Käytäapunatietoa,että7 1(mod3)ja2 1(mod3). Tehtävä4. 0.Summakoostuumuotoa3n 2,3n 1ja3nolevienlukujenkuutioista.Tarkastele,minkä jakojäännöksen nämä luvut jättävät, ja sovella kongruenssin laskusääntöjä. a) 2, 3. Tarkastele pienemmillä luvuilla, kuinka viimeinen numero muuttuu eksponentin kasvaessa. Tehtävä6. Huomaa,että7 1(mod3). Tehtävä 7. Aloita yksinkertaistamalla lauseketta potenssin laskusääntöjen avulla. Tehtävä 8. a) Luku on jaollinen kolmella. Luku ei ole jaollinen kolmella. Tehtävä 9. a) 8, 3. Tehtävä10. Huomaa,että10 1(mod9).

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2 46. Väite: Luku 3 1 704 71 on jaollinen luvulla 71. Todistus: 1704 71 70 4+ 4 70 3+ 31 70 4 4 70 3 31 70 70 3 3 3 1(mod 71), 1(mod 71) 1 3 4 4 1 3 3 31 4 31 (3 ) 3 ( ) 36 40 67(mod 71) Luku 3 1 704 71

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Kongruenssin sovelluksia

Kongruenssin sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Filosofian maisterin tutkielma Tiina Vuorimaa Kongruenssin sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

2. Eukleideen algoritmi

2. Eukleideen algoritmi 2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y =

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Gaussin kokonaisluvuista

Gaussin kokonaisluvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Elina Holopainen Gaussin kokonaisluvuista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 2. Eukleideen algoritmi à 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastelemme annettujen

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Solmu 3/2007 1 Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Heikki Apiola Dosentti Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Johdanto Lukuteoriaa on joskus pidetty esteettisesti kauniina, mutta käytännössä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Ville-Matti Erkintalo. Lukuteoria ja RSA

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Ville-Matti Erkintalo. Lukuteoria ja RSA TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ville-Matti Erkintalo Lukuteoria ja RSA Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenny Virolainen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenny Virolainen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenny Virolainen Kongruenssista Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja losoan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Algebra I. Kevät 2004 Pentti Haukkanen

Algebra I. Kevät 2004 Pentti Haukkanen Algebra I Kevät 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Lukuteoriaa 4 1.1 Jaollisuus...... 4 1.2 Suurin yhteinen tekijä... 5 1.3 Jakoalgoritmi.... 6 1.4 Lineaarinen Diofantoksen yhtälö... 9 1.5 Alkuluvuista.....

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 5 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin

Lisätiedot

TAMMIKUU 2017 VIIKKO 1

TAMMIKUU 2017 VIIKKO 1 TAMMIKUU 2017 VIIKKO 1 MAANANTAI 2 TIISTAI 3 KESKIVIIKKO 4 TORSTAI 5 PERJANTAI 6 Loppiainen LAUANTAI 7 SUNNUNTAI 8 1 TAMMIKUU 2017 VIIKKO 2 MAANANTAI 9 TIISTAI 10 KESKIVIIKKO 11 TORSTAI 12 PERJANTAI 13

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Matematiikkaa logiikan avulla

Matematiikkaa logiikan avulla Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematiikkaa logiikan avulla Lyhyt lukuteorian kurssi Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 5, Oct 2008 Matematiikkaa logiikan

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot