JOHDANTO MONIANTENNITEKNIIKOIHIN MODERNIA JA TULEVAISUUDEN LANGATONTA VIESTINTÄÄ. Taustaa ja johdantoa
|
|
- Antero Tikkanen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 1 JODANTO MONIANTENNITEKNIIKOIIN MODERNIA JA TULEVAISUUDEN LANGATONTA VIESTINTÄÄ Taustaa ja johdantoa IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 2 Perinteisesti langattomassa tietoliikennetekniikassa käytetyt fysikaaliset resurssit sijaitsevat aika- ja taajuustasossa Toisin sanoen langaton kommunikointi kahden käyttäjän välillä vaatii tietyn määrän aikaresursseja aika-akselilta ja tietyn määrän taajuusresursseja (taajuuskaistaa) jostain kohtaa taajuus-akselia Teoriassa, mitä enemmän kaistaa on, sitä suurempiin yhteysnopeuksiin lopulta päästään Valitettavasti tietoliikenteeseen soveltuva osa taajuusakselista on kuitenkin suhteellisen kapea ja sen käyttö on tarkasti säädeltyä viranomaisten toimesta Tästä johtuen eri tietoliikennejärjestelmille (DVB-T, GSM, UMTS, GPS, ) onkin määrätty erilliset rajatut taajuuskaistat, joiden puitteissa niiden tulee toimia Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka jukkatalvitie@tutfi, tonilevanen@tutfi, mikkoevalkama@tutfi Tässä oleva esitys pohjautuu mm ao kurssien sisältöön: TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi Tarkoituksena on antaa esimerkkejä matriisi- ja vektorilaskennan ja yleisesti lineaarialgebran merkityksestä moniantennitekniikoiden tehokkaaseen hyödyntämiseen modernissa ja tulevaisuuden langattomassa viestinnässä Useimmiten resurssit tietoliikennejärjestelmän sisällä jaetaan nimenomaan aika- ja taajuus-akselien suhteen Näin voidaan muun muassa erotella tiedon kulkusuunta (esim uplink/downlink: mobiili lähettää tukiasemalle/tukiasema lähettää mobiilille) ja jakaa resurssit eri käyttäjien kesken Esimerkiksi GSM-operaattori jakaa käytössään olevan taajuuskaistan uplink- ja downlink-osiin sekä tarjoaa osaa kaistasta eri käyttäjille tarpeen mukaan Taajuuksien jaon lisäksi myös aika-akselia jaetaan eri käyttäjien kesken Itse asiassa peräti 8 käyttäjää voi GSM:ssä saada käyttöönsä täsmälleen saman taajuuden Tällöin eri käyttäjät lähettävät/vastaanottavat signaalia eri ajanhetkillä amplitudispektri ~900Mz n 200kz f 1 f 2 f 3 f 4 f Aikajakoinen multipleksaus: 1,2,,8 Taajusjakoinen multipleksaus: f 1,f 2,,f 5 (operaattorin käytössä olevat taajuudet) aika taajuus Yksi GSM-puhelu kuluttaa n 200kz taajuuskaistaa 1/8 ajasta (per käyttäjä) Järjestelmäsuunnittelijan näkökulmasta mahdolliset resurssit järjestelmän luotettavuuden ja yhteysnopeuksien nostoon ovat siis varsin rajalliset: yksinomaan aika- ja taajuus-akselien varassa Entä jos näiden lisäksi olisi mahdollista ottaa käyttöön vielä yksi
2 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 3 ylimääräinen ulottuvuus tila (space)? Yksinkertaisuudessaan tämä onnistuu lisäämällä lähettimeen ja/tai vastaanottimeen useampia antenneja, jotka erottuvat toisistaan ainoastaan niiden fyysisellä sijainnilla Se, kuinka lähelle toisiaan antennit voidaan sijoittaa, jotta ne todella toimisivat eri tilassa, riippuu käytettävän radiosignaalin aallonpituudesta (etäisyyden tulee olla vähintään puolet käytettävästä aallonpituudesta) sekä antennien suuntaavuudesta (vertaa ihmisen kuuloaisti ja korvalehtien toiminta) Tilaulottuvuuden lisääminen mahdollistaa lukuisia uusia sovelluksia ja käyttökohteita langattomassa tietoliikennetekniikassa Itse asiassa tekniikkaa on jo varsin menestyksekkäästi käytetty esim GSM ( 2G )- ja UMTS/SPA ( 3G/35G )-verkkojen tukiasemissa Lisäksi esim TTY:n käytävillä sijaitsevat WLAN-yhteyspisteet sisältävät yleensä useampia antenneja Suurimmat edistysaskeleet moniantennitekniikoille ovat kuitenkin vielä ottamatta Esimerkiksi tulevassa neljännen sukupolven (4G) matkapuhelinverkossa LTE:ssä (Long Term Evolution) tukiasemien lisäksi myös moniin käyttäjälaitteisiin suunnitellaan otettavaksi käyttöön useita antenneja Tosin tälläkin hetkellä monet älypuhelimet sisältävät useita eri antenneja mutta ne ovat tarkoitettu vain mahdollistamaan rinnakkaisten järjestelmien (matkapuhelinverkot, WLAN, GPS, ) käytön Toisin sanoen, antennit on sovitettu eri taajuuskaistoille eikä tietty järjestelmä pysty hyödyntämään väärälle taajuuskaistalle sovitettua antennia IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 4 Kyseiset MIMO-tekniikat eivät ole kuitenkaan ainoa vaihtoehto useiden antennien hyödyntämiseen Toinen lähetymistapa on muodostaa antenneista ns antenniryhmiä (Antenna Array), joilla on lähettimen ja/tai vastaanottimen kannalta radioaaltoja suuntaavia ominaisuuksia Tässä tapauksessa antennien tulee kuitenkin olla alle puolen aallonpituuden päässä toisistaan, sillä nyt antennien toivotaan ikään kuin sijaitsevan samassa tilassa Yleisesti tällöin puhutaan ns tilasuodatuksesta (spatial filtering), jota voidaan pitää tilaulottuvuuden vastineena perinteisille aika- ja taajuustason suodattimille Antenniryhmä toimii siis aivan kuin yhtenä yksikkönä ja pyrkii suodattamaan radioaaltoja niiden tulo- tai lähtösuunnan (kulman) mukaan Toisin sanoen tiettyyn suuntaan lähtevät radiosignaalit pyritään säilyttämään ja loput vaimentamaan Tästä käytetään yleisesti termiä beamforming (keilanmuodostus/keilanmuokkaus) Tärkeimpiä työkaluja beamformingin tehokkaaseen toteuttamiseen on DOA-kulman käsite (Direction of Arrival) Tällöin vastaanottimessa pyritään optimoimaan tietystä suunnasta tulevan signaalin voimakkuus käyttämällä hyväksi signaalin vaihe-eroja eri antennien sisäänmenossa Näistä tekniikoista kerrotaan tarkemmin viimeisessä osiossa Edellisen perusteella langattomassa tietoliikenteessä käytettyjen aaltomuotojen suunnittelu on perinteisesti perustunut nimenomaan signaalien aika- ja taajuusominaisuuksien muokkaamiseen Tilaulottuvuuden myötä yhdessä laitteessa on esimerkiksi mahdollista käyttää samanaikaisesti useampia fyysisiä tietoliikennekanavia varaamatta ylimääräisiä (ja erittäin arvokkaita!) aika- ja taajuusresursseja Prosessoimalla näitä kanavia tarkoitukseen sopivalla tavalla, saavutetaan merkittäviä etuja suhteessa yksittäisen antennin tapaukseen Yleisesti useita lähetys- ja vastaanottoantenneja käyttävät menetelmät tunnetaan nimellä MIMO-tekniikat (Multiple-Input Multiple- Output) Erilaisia lähestymistapoja näiden tekniikoiden hyödyntämiseen on erittäin runsaasti, joista vastaanottodiversiteetti (saman viestin vastaanotto useampaa antennia käyttäen) ja spatiaalinen multipleksaus (eri viestien lähettäminen eri antenniparien välillä) esitellään myöhemmin lyhyesti
3 ESIM 1: MIMO - Vastaanottodiversiteetti IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 5 Diversiteetillä (karkea suomennos: eriytys ) pyritään parantamaan tietoliikennesignaalin vastaanottamisen luotettavuutta Mobiili langaton tietoliikennekanava on luonteeltaan erittäin haasteellinen ympäristö Käyttäjän ja muun ympäristön liikkumisen vuoksi (dynaamisuus) kanava aiheuttaa lähetetylle signaalille jatkuvaa vaihe- ja amplitudiheilahtelua, joka aika ajoin vaimentaa signaalin saavuttamattomasti normaalin lämpökohinan alle Tällöin fyysisen yhteyden voi ajatella hetkeksi katkeavan ja tiedonsiirtäminen käy mahdottomaksi Diversiteetillä signaali eriytetään toisistaan riippumattomiin tietoliikennekanaviin, jolloin vastaanottimella on tietoa vastaanottaessaan useampi riippumaton kanava käytössään Perinteisesti diversiteettiä on saavutettu käyttämällä hyväksi aika- ja taajuus-akseleita Kuten jo aiemmin mainittiin, aika- ja taajuusakseleiden käyttö kuitenkin kuluttaa arvokkaita resursseja järjestelmän tiedonsiirtokapasiteetista Kyseinen ongelma voidaan välttää hyödyntämällä moniantennitekniikoiden mahdollistamaa tilaulottuvuutta diversiteetin luomisessa Tällaista ns spatiaalista diversiteettiä voidaan saavuttaa esimerkiksi vastaanottamalla sama signaali eri antenneilla yhtä aikaa Tällöin kanavassa tapahtuvat signaalihäviöt ovat toisistaan riippumattomat (antennien etäisyyden tulee olla tarpeeksi suuri), jolloin todennäköisyys sille, että kaikki signaalit vaimenisivat samaan aikaan, on huomattavasti pienempi Menetelmää kutsutaan yleisesti vastaanottodiversiteetiksi (katso kuva alla) IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 6 Kun eri vastaanottoantennit ovat spatiaalisesti riittävän etäällä toisistaan, ovat myös radiokanavat lähetinantennista eri vastaanottoantenneihin erilaisia Oletetaan, että yksittäinen linkki lähettimestä vastaanottimeen i voidaan yhden lähetettävän symbolin s (tiedonsiirron yksikkö, joka voi sisältää useampia bittejä) osalta kuvata muodossa xi = hs i + ni missä h i on kanavan aiheuttamaa amplitudi- ja vaihesiirtoa kuvaava kompleksinen kerroin ja n i on kompleksinen kohinanäyte Kompleksinen kerroin on äärimmäisen kätevä, sillä se sisältää jo alun alkaen mallinnuksessa tarvittavan amplitudi- ja vaiheinformaation Kokoamalla vastaanottimien signaalit x i yhteen vektoriin voidaan järjestelmä ilmaista kätevästi x = hs + n (toisin sanoen: x h n x2 h 2 n2 = s + ) x N n R h N NR R Voidaan osoittaa, että signaali-kohinatehosuhde (SNR) mielessä paras tapa yhdistää vastaanotetut signaalit on ns maximum ratio combining (MRC), jossa jokainen vastaanotettu symboli kerrotaan kanavakertoimen kompleksikonjugaatilla: s TX h 1 h NR RX(1) RX( N R ) x 1 x NR COMBINER y y = NR h 1 ix i= i NR NR 2 NR h ( ) i 1 i hs i ni h i 1 i s h i 1 in = = = i = + = + Yllä oleva laskutoimitus voidaan selvästikin esittää (sisätulon määritelmän mukaan) vektorien h ja x välisenä sisätulona Tällöin kombinoitu signaali y voidaan ilmaista kätevämmin vektorimuodossa:
4 y = hx, = h x= h ( hs + n) 2 = h hs + h n = h s + h n IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 7 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 8 jossa yläindeksi viittaa kompleksikonjugaattitranspoosiin Tämä kompleksikonjugaatilla kertominen on itse asiassa varsin intuitiivista Ensinnäkin kanavan aiheuttama vaihemuutos nollautuu 2 ( hh i i 2 = hi tai h h = h on aina reaalinen ja argumentti on siis nolla) Toisaalta koska vaimentunutta kanavaa vaimennetaan ja vahvistunutta kanavaa vahvistetaan, SNR pysyy optimaalisena Tämä siksi, että vahvasti vaimentuneen signaalin vahvistaminen vain nostaisi kohinatehoa tarpeettomasti (vrt vanhan ja kuluneen c-kasetin äänenlaadun parantaminen nostamalla äänenvoimakkuutta) Symbolin kokema efektiivinen kanava muuntuu siis kaikkien rinnakkaisten kanavien tehovasteiden summaksi: h i N R hi h = i= Koska oletuksena on mobiilikanavien riippumattomuus, useamman antennin tapauksessa kokonaissignaalin voimakas vaimeneminen on epätodennäköisempää (todennäköisyys sille, että kaikki koetut kanavat vaimenevat yhtä aikaa) Tällöin yhdenkin kanavan tehovasteen pysyminen riittävällä tasolla mahdollistaa symbolien luotettavan vastaanoton Esimerkistä nähdään, että MRC-yhdistetyn signaalin keskimääräinen tehotaso on ylempänä kuin yhdenkään yksittäisen kanavan ja että yhdistetty signaali ei koe yhtä syviä häipymiä kuin yksittäinen kanava uomaa myös desibeliasteikko (-40dB vastaa esim sitä, että 1 watin teho vaimenee 0,0001 wattiin!) Seuraavassa kuvassa on esitetty kaksi riippumatonta Rayleigh-kanavaa (yleinen kanavamalli mobiilijärjestelmissä, joissa ei ole suoraa näköyhteyttä lähettimen ja vastaanottimen välillä) ja näistä MRC periaatteen mukaisesti kombinoitu kanava
5 RESAPE ESIM 2: MIMO - Spatiaalinen multipleksaus IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 9 Diversiteetin lisäksi useampia lähetin- ja vastaanotinantenneja on mahdollista hyödyntää myös suoraan ns spektraalisen tehokkuuden kasvattamiseen Spektraalisella tehokkuudella tarkoitetaan sitä määrää informaatiota, joka pystytään lähettämään 1 ertzin kaistalla yhden sekunnin aikana (yksikkö esim bittejä käytettäessä on [bits/z/s]) Tällöin puhutaan yleisesti nimellä spatiaalinen multipleksaus, joka tarkoittaa että usean rinnakkaisen lähetys- ja vastaanottoantennin avulla yritetään kommunikoida samaan aikaan usean päällekkäisen bittivirran avulla Ideaalisessa tapauksessa voidaan ajatella, että kahden laitteen välinen yhteysnopeus moninkertaistuu käytettävissä olevien lähetys- ja vastaanottoantenniparien lukumäärällä Yksinkertaisimmillaan voidaan ajatella, että eri antenneista lähetetään toisistaan riippumattomat symbolit s1, s2,, s N T, kuten on esitetty alla olevassa kuvassa (huom olettaen, että N R N T ) x = s + n h1,1 hn T,1 s1 n1 = + h s 1, N h R NT, N N n R T NR IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 10 Kussakin antennikohtaisessa vastaanottimessa havaitaan siis eri kanavien läpi kulkeneita summia lähetetyistä signaaleista Esimerkiksi ensimmäiseen antenniin saapuva signaali on muotoa (suoraan edellisestä matriisinotaatiosta) N T x = h s + n 1 j,1 j 1 j= 1 Näin ollen eri lähetteet häiritsevät toisiaan, minkä vuoksi tarvitaan ns spatiaalinen ekvalisaattori (häiriön poisto) pienentämään häiriötä (edellisessä kuvassa vastaavan tehtävän suorittaa MSI (mutual symbol interference) mitigation blokki) snt s1 s 1 TX(1) TX( N T ) h 1,1 h NT, 1 h N T, N R h 1,NR RX(1) RX( N R ) x 1 MSI MITIGATION snt s1 s NT x NR Multipleksattava symbolimäärä voi olla maksimissaan min{ NT, N R}, sillä lähetys- tai vastaanottoantennien minimilukumäärä määrittää mahdollisten eroteltavissa olevien rinnakkaisten kanavien lukumäärän Määrä voi tosin olla myös pienempi riippuen spatiaalisen kanavan ominaisuuksista Vastaanotettu vektori symboleita voidaan helposti esittää matriisimuodossa (yksittäisinä yhtälöinä esitettynä melko epämukavaa!) Yksi tunnetuimmista lineaarisista ekvalisointirakenteista on ns spatiaalinen zero-forcing-ekvalisaattori (kuva yllä), jossa kanavan aiheuttama symbolien keskinäisvaikutus pyritään absoluuttisesti kumoamaan Tähän päästään kertomalla signaalia x jollain sopivalla matriisilla W siten, että lopputulokseen jää jäljelle vain alkuperäinen symbolivektori s ja painotettu kohinavektori Wn Toisin sanoen, kohinainen arvio lähetetystä symbolivektorista (kohinaa ei tietystikään voida poistaa) Päädytään siis seuraavanlaiseen yhtälöön: ˆ s = Wx = W( s + n) = Ws + Wn
6 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 11 Jotta kanavan vaikutus lähetettyihin symboleihin s häviäisi, niin tulisi tietysti olla W = I (I on yksikkömatriisi) Näin ollen siis ˆs = Ws + Wn = s + Wn = I kohinaa Jos matriisi on kääntyvä neliömatriisi, niin ratkaisu yhtälölle on suoraan inverssi W= -1 Yleisesti matriisi ei kuitenkaan ole kääntyvä (esim aina silloin kun ei ole neliömatriisi eli N T N R ) Tällöin päädytään käyttämään ns pseudoinverssiä W= pinv (tällöin pinv z on pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälölle z=b) Jos oletetaan nyt, että matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat, niin silloin matriisi on kääntyvä ja voidaan valita pinv 1 W = = ( ) Tästä nähdään välittömästi, että W=( ) -1 ( )=I, ja saadaan 1 1 ˆ s = Wx = ( ) s + ( ) n 1 = s + ( ) n Zero-forcing-ekvalisaattori poistaa siis symbolien välisen keskinäisvaikutuksen kokonaisuudessaan ( jäljelle jää vääristymätön s ja kohinaa) Toisaalta vääristämättömyyden hintana on usein tarpeettoman suuri kohinan voimistaminen Esimerkiksi, kun kanava vaimentaa lähetettyjä symboleita, suhteellinen kohinan osuus signaalista kasvaa ( huono signaali-kohina suhde) Tällöin kuitenkin ekvalisaattori nimenomaan vahvistaa signaalia, jolloin signaali tuhoutuu pahimmassa tapauksessa täysin hyödyttömäksi Kehittyneempi tapa pelkän vastaanotinprosessoinnin (esim edellä mainitun Zero-forcing-ekvalisoinnin) sijaan on esiprosessoida signaalia jo lähetinpäässä Tämä tapahtuu kertomalla symbolivektoria s jollain sopivalla matriisilla V siten, että z = Vs, x = z + n = Vs + n IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 12 Vastaavasti, jos vastaanottimessa havaittu signaali x kerrotaan jollain matriisilla U, niin kokonaissignaaliksi lähetin- ja vastaanotinprosessoinnin jälkeen saadaan y = Ux = UVs + Un Kuten jo arvata saattaa, kyseisestä toteutuksesta ei sinänsä ole mitään hyötyä, mikäli prosessointimatriiseja V ja U ei osata valita järkevällä tavalla Kokeneempi matemaattinen silmä saattaa kuitenkin havaita, että valitsemalla prosessointimatriisit V ja U kanavamatriisin singulaariarvohajotelman singulaarivektorien mukaisesti (läheinen yhteys ominaisarvoihin ja vektoreihin), kanavan kokonaisvaikutus yksinkertaistuu muotoon UV {,, }, = diag λ1 λ2 λ R missä λ i on matriisin i:s singulaariarvo Efektiivinen kokonaiskanava muodostuu näin ollen diagonaaliseksi, jolloin symbolien välinen keskinäisvaikutus häviää Tämän lisäksi voidaan osoittaa, että lähetettävien symbolien kannalta myös signaali-kohinasuhde optimoituu Esiprosessointiin perustuvassa järjestelmässä on kuitenkin syytä huomioida, että matriisin V valinta riippuu suoraan kanavasta, jota ei perinteisesti ole tunnettu lähettimessä Toisin sanoen, jotta lähetin pystyisi esiprosessoimaan lähetteen oikein (matriisi V), kanava on tunnettava jo etukäteen Käytännössä tämä onnistuu esimerkiksi yksinkertaisella takaisinkytkennällä vastaanottimen ja lähettimen välillä Jos tiedetään, että kanava muuttuu verrattain hitaasti suhteessa takaisinkytkennän kokonaiskestoon, vastaanottimen tarvitsee vain estimoida kanavan tila etukäteen ja palauttaa tämä tieto lähettimelle Sekä vastaanottodiversiteetti että prekoodaamaton & prekoodattu spatiaalinen multipleksaus ovat käytössä 4 sukupolven LTE matkaviestinverkossa missä z on kanavaan lähetettävä pre-koodattu symbolivektori Vastaanotettu signaali on näin ollen muotoa
7 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 13 ESIM 3: Beamforming ja DOA (Direction Of Arrival) Antenni 2 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 14 Antenni 4 MIMO-tekniikoiden avulla useita antenneja käytetään lisäämään mahdollisten tiedonsiirtokanavien lukumäärää Kuten jo aiemmin todettiin, useita antenneja voi myös koota antenniryhmiksi, joiden avulla lähettimeen tai vastaanottimeen saadaan radioaaltoja suuntaavia ominaisuuksia (tilasuodatus, spatial filtering) Toisin sanoen tällaisella antenniryhmällä varustettu lähetin kykenee kohdistamaan lähetyksensä johonkin tiettyyn suuntaan ja vastaavalla tavalla vastaanottimessa signaali pystytään vastaanottamaan vain halutusta suunnasta Menetelmää kutsutaan nimellä beamforming Vaikka kyseistä menetelmää tarkastellaankin tässä vain langattoman tietoliikenteen kannalta, sillä on lukuisia sovelluksia myös muilla aloilla (tutka, kaikuluotain, akustiikka, ) Lisäksi mm ihmisen kuuloaisti käyttää beamformingissa käytettyä DOA-estimointimenetelmää äänen suunnan arvioimiseen matalilla taajuuksilla Antenni 1 d Antenni 3 Antenni 5 Tilasuodatus perustuu radioaaltojen vaiheen ja amplitudin muokkaamiseen eri antennielementeissä Tämä on intuitiivista, sillä eri suunnista saapuvat signaalit havaitaan hieman eri ajanhetkillä eri antennielementeissä (ks kuva alla) Jos näitä signaaleita viivästetään sopivasti kussakin antennielementissä, niin signaalit eri suunnista saadaan joko vahvistamaan tai heikentämään toisiansa (katso alla oleva kuva) Oletetaan nyt, että antenniryhmään saapuu tasoaaltosignaali saapumiskulmasta θ (DOA-kulma) Tällöin j:s antenni vastaanottaa signaalin Seuraavassa analyysissä keskitytään vain ns tasajakoiseen lineaariseen antenniryhmämuodostelmaan, jossa antennit sijaitsevat (yksiulotteisesti) vierekkäin rivissä Muut muodostelmat ovat tietysti myös mahdollisia (jopa toivottavia) mutta esimerkkien kannalta ne ovat turhan haastavia s () t = acos(2 πf t + ψ ), j c j jossa a on signaalin amplitudi, fc on signaalin taajuus ja ψj on signaalin vaihe Jos tarkastellaan signaalin vaihe-eroa vain kahdessa vierekkäisessä antennissa, saadaan
8 d ψj+ 1 ψj = 2π sinθ, λ IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 15 jossa d on antennien välinen etäisyys ja λ signaalin aallonpituus Tulos saadaan määritettyä suoraan trigonometrian avuin (kokeile vaikka itse seuraavaa kuvaa apuna käyttäen) IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 16 Nyt voidaan kirjoittaa yhtälöt vastaanotetulle signaalille jokaisessa antennielementissä (muista, että ψj+ 1 ψj = Φ): s ( t) = αcos(2 πft+ ψ ) = αcos(2 πft+ ψ ) 0 c 0 c 0 s( t) = αcos(2 πft+ ψ ) = αcos(2 πft+ ψ +Φ) 1 c 1 c 0 s ( t) = αcos(2 πft+ ψ ) = αcos(2 πft+ ψ + MΦ) M c M c 0 Käyttämällä kompleksilukujen perusominaisuuksia ja laskusääntöjä j 0 sekä määrittelemällä α = ae ψ, voidaan yllä olevat yhtälöt kirjoittaa 0 j2πf t jψ j2πf t s t ae e e c 0 c () = Re[ ] = Re[ α ] j2πf t jψ jφ j2πf t jφ s t ae e e e e c 0 c ( ) = Re[ ] = Re[ α ] 1 M j2πf t jψ jmφ j2πf t jmφ s t ae e e e e c 0 c () = Re[ ] = Re[ α ] Vaihe-eroa kahden antennielementin välillä kutsutaan yleisesti nimellä electrical angle ja se voidaan siis kirjoittaa d Φ= ψj+ 1 ψj = 2π sinθ λ Jos halutaan yksikäsitteinen yhteys saapumiskulman (DOA) ja electrical anglen välille, joudutaan rajoittamaan antennien välinen etäisyys siten, että d<λ/2 Tämän vuoksi myös esimerkiksi ihmisen kuuloaistin suunnanarviointi DOA-menetelmää käyttäen rajoittuu karkeasti alle 750z:n taajuuksiin (korkeita ääniä on siis vaikeampi kohdistaa, vaikka niillekin tietysti löytyy kuuloaistista omat menetelmänsä) j 2 c f t Termi e π on ns moduloiva signaali, joka siirtää kantataajuisen (eli karkeasti nollataajuuden ympäristössä sijaitsevan) signaalin taajuuden f c ympäristöön (esim FM radio-lähetyksissä f c on n Mz) Kyseinen moduloiva signaali (sama kaikille antennielementeille) ei vaikuta laskettaviin suureisiin, minkä vuoksi se voidaan jättää tässä huomioitta Tällöin saadaan edellistä vastaava diskreetti (k=1,2,,k) kantataajuinen malli u(0, k) = α + v(0, k) jφ u(1, k) = αe + v(1, k) j2φ u(2, k) = αe + v(2, k) jmφ umk (, ) = αe + vmk (, ) missä u(j,k) on j:nen antennin ulostulo ajanhetkellä k ja v(j,k) on tätä vastaava kohinakomponentti
9 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 17 Edelliset yhtälöt voidaan nyt koota vektorimuotoon, jolloin saadaan: IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 18 u() k = [(0, u k) u(1, k) u( M, k)] v() k = [(0, v k) v(1, k) v( M, k)] jφ jmφ T s( Φ ) = [1 e e ] Tässä vektori s(φ) on ns ohjausvektori (steering vector), jonka avulla määrätään mistä saapumiskulmasta (DOA) signaali halutaan vastaanottaa/lähettää (muista saapumiskulman θ ja electrical anglen Φ yhteys) Nyt ulostulo M+1 kokoiselle antenniryhmälle voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti T T u() k = αs( Φ ) + v () k Vaikka edellinen esimerkki jo sinänsä tarjoaa erittäin merkittävän lisän tietoliikennesovelluksiin, monissa käytännön sovelluksissa halutaan kuitenkin prosessoida useampaa signaalilähdettä samanaikaisesti Olettaen nyt L signaalia, jotka saapuvat suunnista θ 1, θ 2,, θ L, antenniryhmän ulostulo voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa superpositiota (siis summaa) käyttäen L u() k = α s( Φ ) + v () k j= 1 j j Tällaista systeemimallia käytetään perustana ns adaptiivisessa beamformingissa, jossa antenniryhmä pyrkii seuraamaan haluttua käyttäjää ja poistamaan muiden käyttäjien aiheuttaman häiriön (huomaa myös, että yllä olevan yhtälön kirjoittaminen ja analysointi ilman matriisi/vektori-esitystä olisi melko vaivalloista) Alla olevassa kuvassa on esitetty esimerkkitilanne, jossa tukiasema pyrkii seuraamaan käyttäjän 1 lähetettä sekä minimoimaan käyttäjien 2 ja 3 tuottamaa häiriötä (adaptiivisen antenniryhmän periaatteellinen lohkodiagrammi on hahmoteltu kuvassa oikealla) Kyseisen järjestelmän ulostulo voidaan kirjoittaa (suoraan kuvan perusteella) yk () = w u () k Perusideana olisi siis säätää jollain tietyllä algoritmilla painokertoimet w 1 (n), w 2 (n),, w M (n) (eli vektori w), siten että käyttäjän 1 signaali (tietystä kulmasta) säilyy entisellään muiden käyttäjien signaalien vaimentuessa Eri algoritmeja ja niiden käyttämiä suorituskriteereitä löytyy alan kirjallisuudesta monia Eräs tunnettu adaptivinen beamforming algoritmi on Minimium-variance Distortionless Response (MVDR) Tämän algoritmin lähtökohtana on minimoida ulostulon varianssi (teho) 2 E[ y( k) ] = w E[ u( k) u( k) ] w = w Rw siten, että halutusta suunnasta θ saapuvan signaalin vaste säilyy vääristymättömänä, eli toisin sanoen w s () θ = 1
10 IMA-2 Excursio: Johdanto moniantennitekniikoihin / 19 Yksinkertaisen mutta melko työlään matemaattisen pyörittelyn jälkeen voidaan optimaalinen ratkaisu parametrivektorille kirjoittaa w o = 1 R s() θ 1 s() θ R s() θ, missä siis R = E ()() k k u u jθ jmθ T s() θ = [1 e e ] Käytännössä havaintovektorin korrelaatiomatriisi R estimoidaan esim näytekorrelaation avulla Adaptiivisen beamformingille löytyy lukuisia sovelluksia langattomassa tietoliikennetekniikassa Erityisesti tulevaisuuden matkapuhelinverkot omaavat valtavia odotuksia adaptiiviselle beamformingille Ideaalisesti onnistuessaan jokainen käyttäjä pystyttäisiin yksilöimään tilaulottuvuudessa, jolloin järjestelmän hetkellinen suorituskyky kasvaisi merkittävästi Adaptiivinen beamforming onkin yksi lupaavimmista menetelmistä langattoman tietoliikenteen kehityksessä
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotSuodatus ja näytteistys, kertaus
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.
1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotKorkean resoluution ja suuren kuva-alueen SAR
Korkean resoluution ja suuren kuva-alueen SAR Risto Vehmas, Juha Jylhä, Minna Väilä ja prof. Ari Visa Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos Myönnetty rahoitus: 50 000 euroa Esityksen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotDeterminantti. Määritelmä
Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)
LisätiedotUudet teknologiat ja perinteinen antennivastaanotto
Uudet teknologiat ja perinteinen antennivastaanotto Antennialan tekniikkapäivä 8.11.2012 Kari Kangas Taajuuksien käyttö tehostuu Radioympäristö muuttuu Taajuuksien käyttö tehostuu - tv vastaanotolle uusia
LisätiedotDeterminantti. Määritelmä
Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotRADIOTAAJUUSPÄIVÄ 2014. Tuulivoimapuistojen vaikutus radiojärjestelmiin
RADIOTAAJUUSPÄIVÄ 2014 Tuulivoimapuistojen vaikutus radiojärjestelmiin Tuulivoimapuistot ja suunnitelmat Lähde: Suomen Tuulivoimayhdistys ry Radiotaajuuspäivä 2014, Heidi Himmanen 20.11.2014 2 Tuulivoimalan
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Lisätiedotnykyään käytetään esim. kaapelitelevisioverkoissa radio- ja TVohjelmien
2.1.8. TAAJUUSJAKOKANAVOINTI (FDM) kanavointi eli multipleksointi tarkoittaa usean signaalin siirtoa samalla siirtoyhteydellä käyttäjien kannalta samanaikaisesti analogisten verkkojen siirtojärjestelmät
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
LisätiedotSuunta-antennin valinta
Lähtötiedot Ennen antennin valintaa selvitettävä seuraavat asiat: Tukiaseman sijainti ja etäisyys Millä taajuuskaistalla 4G data liikkuu (800, 1 800, 2 100, 2 600 MHz) Maasto- ja rakennusesteet Antennin
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotÄlypuhelinverkkojen 5G. Otto Reinikainen & Hermanni Rautiainen
Älypuhelinverkkojen 5G Otto Reinikainen & Hermanni Rautiainen Johdanto [1][2] Viimeisen 30 vuoden aikana mobiiliverkkojen markkinaosuus on kasvanut merkittävästi Langattomia laitteita on joillain alueilla
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotRYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN
ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotOhjelmistoradio tehtävät 4. P1: Ekvalisointi ja demodulaatio. OFDM-symbolien generoiminen
Ohjelmistoradio tehtävät 4 P: Ekvalisointi ja demodulaatio Tässä tehtävässä dekoodata OFDM data joka on sijotetty synknonontisignaalin lälkeen. Synkronointisignaali on sama kuin edellisessä laskutehtävässä.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotTehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla
Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla Johdanto Tarkastellaan tilannetta, jossa tietokone A lähettää datapaketteja tietokoneelle tiedonsiirtovirheille alttiin kanavan kautta. Datapaketit ovat biteistä eli
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotV astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa
Antennit osana viestintäjärjestelm ää Antennien pääk äy ttö tark o itu s o n to im inta v iestintäjärjestelm issä. V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotLU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24
LU-hajotelma 1 / 24 LU-hajotelma Seuravassa tarkastellaan kuinka neliömatriisi voidaan esittää kahden kolmiomatriisin tulona. Käytämme alkeismatriiseja tälläisen esityksen löytämiseen. Edellä mainittua
LisätiedotLangattoman verkon spektrianalyysi
Langattoman verkon spektrianalyysi on päijät-hämäläinen yritys- ja yhteisöasiakkaita palveleva ICTkokonaisratkaisutoimittaja. Olemme tuottaneet laadukasta palvelua jo vuodesta 2005 Päijät- Hämeessä ja
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotKapeakaistainen signaali
Tiedonsiirrossa sellaiset signaalit ovat tyypillisiä, joilla informaatio jakautuu kapealle taajuusalueelle jonkun keskitaajuuden ympäristöön. Tällaisia signaaleja kutustaan kapeakaistaisiksi signaaleiksi
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2015
Radioamatöörikurssi 2015 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 5.11.2015 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus,
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotRadioyhteys: Tehtävien ratkaisuja. 4π r. L v. a) Kiinteä päätelaite. Iso antennivahvistus, radioaaltojen vapaa eteneminen.
1S1E ietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki adioyhteys: ehtävien ratkaisuja 1. Langatonta laajakaistaa tarjoavan 3.5 GHz:n taajuudella toimivan WiMAX-verkon tukiaseman lähettimen lähetysteho
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotOrganization of (Simultaneous) Spectral Components
Organization of (Simultaneous) Spectral Components ihmiskuulo yrittää ryhmitellä ja yhdistää samasta fyysisestä lähteestä tulevat akustiset komponentit yhdistelyä tapahtuu sekä eri- että samanaikaisille
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLuento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.1-10.6.3]
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotHelsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S38.211 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Syksy 1997 8. Luento: Kaiunpoisto
LisätiedotMONITILAISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 18 Kari Kärkkäinen Syksy 2015
1 MONITILAISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 2 M-tilaisilla yhdellä symbolilla siirtyy k = log 2 M bittiä. Symbolivirhetn. sasketaan ensin ja sitten kuvaussäännöstä riippuvalla muunnoskaavalla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
Lisätiedot1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
Lisätiedot8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151
Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotRADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT
1 RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT Millaisia stokastisia ilmiöitä kanavassa tapahtuu? ONGELMAT: MONITIE-ETENEMINEN & KOHINA 2 Monitie-eteneminen aiheuttaa destruktiivista interferenssia eri reittejä edenneiden
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotSeminaariesitelmä. Channel Model Integration into a Direct Sequence CDMA Radio Network Simulator
S-38.310 Tietoverkkotekniikan diplomityöseminaari Seminaariesitelmä Channel Model Integration into a Direct Sequence CDMA Radio Network Simulator Teemu Karhima 12.8.2002 Koostuu kahdesta eri kokonaisuudesta:
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot