Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa Ic, kirjan luvut Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 1

2 YHTEENVETO. VÄSYMISANALYYSI KUN JÄNNITYS ON VAKIO JA YKSIAKSIAALINEN (Kirjan luku 13) Väsymisanalyysin helpottamiseksi annetaan alla yhteenveto edellisten lukujen sisällöistä. Tapaukset, joissa dynaaminen jännitys on yksiaksiaalinen ja vakio-amplitudinen, muodostavat käytännössä eräässä mielessä väsymisanalyysin perustapauksen. Ensimmäisessä taulukossa on yhteenveto varmuuskertoimista ja vastaavista vaurioitumisriskeistä. Seuraavissa taulukoissa on yhteenveto Haigh-diagrammin luomiseen tarvittavista parametreistä joukolle eri aineita. Jännityksen yksikkönä on taulukoissa MPa silloin, kun sitä ei ole erikseen merkitty. Valssatuille ja taotuille teräspinnoille on vaikeaa löytää keskihajonnan testiarvoja. Voidaan kuitenkin konservatiivisena likiarvona käyttää raakojen pallografiittivalurautojen valettujen sekä kuulapuhallettujen pintojen arvoja hyväksi. Kuulapuhalletun teräspinnan väsymisrajan keskiarvo on vähintään yhtä hyvä kuin koneistetun ja kiillotetun pinnan. Nyt esitettävä yhteenveto tehtiin ennenkuin defektijakaumien merkitys väsimysluujuuden kannalta oli kunnolla tutkittu. Siksi tässä annettavat suositukset on tarvittaessa hyvää täydentää tarkastamalla defektijakaumista lähtien sekä tilastollisen kokokertoimen K size että suhteellisen keskihajonnan s r arvot. Jos K size ja s r valitaan näin ottaen huomioon anisotropia on ehkä myös syytä luopua erillisen anisotropia- ja teknologiakertoimen käytöstä koska ne on jo huomioitu itse defektin mediaaniarvossa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 2

3 Suositeltavat vaurioitumisriskit ja vastaavat varmuuskertoimet Varmuuskerroin väsymisrajan mediaaniarvoon nähden keskihajonnan ja sallitun vaurioitumisriskin funktiona. Suositusarvot eri tilanteissa Populaation keskihajonta Vaadittu varmuuskerroin sln S F e, kun suurin sallittu vaurioitumisriski on P. Suhteellinen keskihajonta Katastrofaalisia seurauksia s r Vastaava logaritminen keskihajonta s ln -ln(1- s r ) Vähäiset seuraukset. Osan vaihto helppo. P = 10-2 = Vähäisiä jälkiseurauksia, mutta osan vaihto kallis. P = 10-3 = Vakavia taloudellisia tai ihmishenkien menetyksen riskejä P = 10-4 = P = 10-5 = Jos tiheysfunktio on vino on suurinta sallittua vaurioitumisriskiä P sall vastaava jännitys af,psall ja vastaava varmuuskerroin S F määriteltävä kertymäfunktion F( af ) avulla, s.o. S F af, med af, P sall F F 1 1 (0.5) ( P sall ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 3

4 Terästen Haigh-diagrammien luomiseen tarvittavat tiedot Tavanomaisten teräksien Haigh-diagrammin luomiseen tarvittavat tiedot. Aineen sisällä ja silloin, kun muokkausaste on epämääräinen Yhdensuuntainen raevuo Kohtisuora raevuo Pinnassa ja sen läheisyydessä silloin, kun muokkaus-aste on tasainen Yhdensuuntainen raevuo Kohtisuora raevuo Koneistetut pinnat Kuulapuhalletut pinnat s r (otosarvo) s rc s ln = -ln(1-s rc90 ) S F,P10-4 = e 3.719s ln K AT, taul ) K R Kaava (8.1), s K N Kaava (10.1), s R m ja R p0.2 [MPa] Testattu tai 6 % standardin minimiarvoa suurempi (esimerkki 4.5) ar=-1 [MPa] Testattu tai =1 = , pätee kun A eff = 225 mm 2 k Testattu tai = =0 = =0 =0 = =1 (1 ) Haigh-diagrammin =1 0.2 = =1 + silloin, kun lineaarinen osa 2(1) =0 M M = -k b = 2(1 + 2) ( ) = (1 + 2) =1 [(2 + )] Haigh-diagrammin loppupiste oikealla Mourierin paraabeli 2) = =1 1 2 (2) 2 (2 ) silloin, kun =0 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 4

5 Pallografiittivaluraudan Haigh-diagrammien luomiseen tarvittavat tiedot Pallografiittivaluraudan väsymisdiagrammin luomiseen tarvittavat ja testeihin perustuvat tiedot. Muut väsytyssuheet seuraavan kuvan mukaan. Jännityksien yksikkö on MPa. Suure Suuri hiekkavalu EN-GJS Mäntävalu EN-GJS kun R m = 517 R mc -800 ja R p0.2 = 307 kun R m = 625 R mc -800 ja R p0.2 = 338 suoraan valusta R m = R mc R p0.2 = valun perlitointi R m = R mc R p0.2 = Väsytyssuhde f R = ar=-1 Kuvan 5.3 mukaiselle sauvalle, kun A ref = 1039 mm 2 ja s r = 0.10 / R m (C = 90 %) 1) ar= = =0 =1 = ar=0 = ar=-1 /(1-k) Lineaarinen osa af ar 1 k m, kun ar1 R p0.2 R p0.2 ar Koneistettu pinta Kuula- 2) puhallettu (sinkopuhdistettu) pinta Valettu pinta 3) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 5 m2 1 k m m1 s r (otos) 0.10 Käytä samoja arvoja kuin hiekkavaluille. s rc (0.13) Käytettiin vain 15 sauvaa s rc per porraskoe, ja keskihajonnan oli määrittäminen vaikeaa. s ln s ln = s lnc90 -ln(1-s rc90 ) = -ln(1-0.12) = S F S F = e = 1.6 vaadittu varmuuskerroin, kun P = 10-4 s r (otos) s rc s rc s ln s ln = s lnc90 -ln(1-s rc90 ) = -ln(1-0.18) = S F S F = e = 2.1 vaadittu varmuuskerroin, kun P = 10-4 s r (otos) 0.15 s rc s rc k 1

6 Suomugrafiittivaluraudan Haigh-diagrammien luomiseen tarvittavat tiedot Suomugrafiittivalurautojen väsymisdiagrammin luomiseen ja testeihin perustuvat tarvittavat tiedot. Suuret hiekkavalut Keskipakovalut ISO 185/JL/250 ISO ISO 185/JL/300 ISO 185/JL/ /JL/300 R m 1) R mc R p R pc Väsytyssuhde 2) Suhteet pätevät kuvan 5.3 mukaiselle sauvalle, kun A eff = 1039 mm 2 ja s r = 0.10 f R = ar=-1 /R m 0.26, esimerkki 7.4 f R = R m, kaava (11.1) ar= ar0 ar1 3) 3 k , esimerkki 7.4 k R m,kaava (11.3) ar0-0.45, -0.51, taul. taul.(11.3) (11.3) ar= Haigh-diagrammin af ar1 k m, kun ar1 Rpc0.1 R p0.1 ar1 m2 m m1 lineaarinen osa 1 k 1 k K R Kuva 8.3a, paitsi että kuulapuhalluksessa pinnan laadun kerroin on K R = 1 K AT Valujen teknologinen kerroin on K AT = 1 s r 0.10 (otosarvo) s rc (0.13) Koneistettu s rc pinta s ln s ln = s lnc90 -ln(1-s rc90 ) = -ln(1-0.12) = S F S F = e = 1.6 vaadittu varmuuskerroin, kun P = 10-4 Valettu s r (otosarvo) sekä s rc Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 6

7 Varmuuskerroin ja vaurioitumisriski Varmuuskertoimen S F ja vaurioitumisriskin P laskeminen. Suure > < a Jännityksen paikallinen amplitudi m Paikallinen keskijännitys C Varmuusraja s r Tyypillinen suhteellinen otoskeskihajonta (C 50 %) s ln ln(1 ) kaava (4.29 kun = -1) A eff Referenssiarvot A ref tai V ref löytyvät kuvista = ln ln 0.5 missä = 1 ln ja = 1, 2 3.3, 5.3b ja 7.17 kaavat (7.20, 7.18b ja 7.19) tai 95 %:n sääntöä 2 2 = kaava (7.21) = kaava (7.23) n lenkkien lukumäärä Harvemmin = Lenkkien lukumäärää Iteroidaan = = 1 vastaava kaavat (7.4, 7.5 ja 7.6) s ln,c,90 ln(1 90 ),10 ln(1 10 ) K size tilastollinen = mutta = mutta mahdollisesti kokokerroin mahdollisesti =,C90 kaava (7.8) =,C10 kaava (7.8) K N käyttöikäkerroin Jos ydintyminen tapahtuu pinnan alla, kaavat (10.1) ja (10.2) ar=-1,pinta 1) =1, = =1 =1, = =1 k pinta lineaarisen osan = = kaltevuuskerroin ar=0,pinta ar0, pint a ar1, p int a /( 1 k p int a ) af,pinta pinnan Haigh-diagrammin lineaarinen osa S (keskijännitys ) af, p int a ar1, pint a k pint a m Useimmiten liikutaan lineaarisella alueella. Jos plastisoituminen tapahtuu, käytetään esimerkiksi splinejä. af, pint a S F, pint a kaava (3.34) a Iteratiivinen varmuuskertoimen määritys, niin kuin luvussa 3.2 on Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 7

8 Pallografiittivaluraudan väsytyssuhde Pallografiittivaluraudan väsytyssuhde F( k, l) F k F l k R k R l k R 2 m, i m, i l f m, i R, i l R l f ja m, i R, i R m, i 0 2 f Murtoraja R m [MPa] Testipisteet R, i k Regressiosuora Pallografiittivaluraudan väsytyssuhde (C = 90 %) laskee lineaarisesti murtorajan mukaan. On syytä muistaa myös J.-P. Lepistön diplomityö jonka mukaan väsymisrajan ja myötörajan suhde on melko vakio pallografiittivaluraudoille Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 8

9 Kriittisten pisteiden yhteisvaikutus Jos kone-elimessä on useita kriittisiä pisteitä, joiden lasketut luotettavuudet ovat R 1, R 2,, R n, on suositeltavaa laskea yhteisvaikutus vaatimuksella, että sallittua maksimivaurioitumisriskiä ei ylitetä. = 1 2 =1 Tilanne on mutkikkaampi jos koneessa on monta samanlaista kone-elintä. Moottorissa voi olla 20 kiertokankea, ja jos jokaisen vaurioitumisriski on 10-4, on yhteenlaskettu vaurioitumisriski niinkin suuri kuin 0.2 %, kun yllä olevia kaavoja sovelletaan suoraan. Tällaista vaurioitumisriskiä ei tietenkään voida sallia. Kaavojen soveltaminen käyttämällä jokaisessa pisteessä 90 %:n luotettavuutta on ilmeisesti liian tiukka vaatimus. On suositeltavaa käyttää keskihajonnan odotusarvoa silloin, kun lasketaan monen erillisen koneelimen yhteisvaikutus. Näin menetellen voisi esimerkiksi teräkselle yhteenlaskettu vaurioitumisriski olla seuraava: 90 = 0.08 suhteellisen keskihajonnan arvo, jota on käytetty yksittäisen kriittisen pisteen vaurioitumisriskin arvioimisessa. Sallittua maksimivaurioitumisriskiä P = 10-4 vastaava varmuuskerroin on silloin S F = Yhteisvaikutusta laskettaessa on käytettävä otoskeskihajonnan mediaaniarvoa, ts , = = ja 50 ln( 50 ) = Yksittäisen kiertokangen vaurioitumisriski on näin ollen keskimäärin P keski, kun yksittäisen kriittisen pisteen laskettu varmuuskerroin on S F. ln ln =- = = Näin laskettuna olisi yllä kiertokangen keskimääräinen vaurioitumisriski P keski = Kahdenkymmenen kiertokangen yhdistetty vaurioitumisriski olisi P = Toisin sanoen suurinta sallittua vaurioitumisriskiä ei ylitettäisi, vaikka moottorin kaikki kiertokanget huomioitaisiin. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 9

10 MITOITUSKUORMA (Kirjan luku 14) Edellisissä luvuissa on oletettu, että käytetty jännitysamplitudi ei vaihtele varmuuskerrointa määritettäessä. Ainoastaan väsymisrajaa on pidetty satunnaismuuttujana. Sen ohella, että kone-elimeen vaikuttava jännitys on usein vaihteleva, niin monesti myös jännitys eri installaatioiden kesken voi vaihdella satunnaisella tavalla. Tämä seikka yritetään monissa lujuuslaskentaan liittyvissä standardeissa huomioida käyttämällä niin sanottuja osavarmuuskertoimia sekä jännitykseen että väsymisrajaan nähden. Koko varmuuskerroin on näin ollen näiden osavarmuuskertoimien tulo. Kuormitukseen liittyvällä osavarmuuskertoimella on joskus myös tarkoitus huomioida dynaamisia lisäkuormituksia, joita usein syntyy koneen toimintatavasta ja kuorman vaikutustavasta riippuen. Tarkalla dynaamisella vasteanalyysillä voidaan toisinaan laskea tietyn installaation dynaamiset lisävoimat, mutta usein tiedot tähän liittyvistä reunaehdoista ovat sen verran puutteelliset, että on käytettävä kokemukseen liittyviä osavarmuuskertoimia. Hyvä tapa koneenosan dynaamisien lisäjännityksien määrittelemiseksi on suorittaa mittaukset käyttöolosuhteissa. Esimerkiksi hammasvaihteen osalta puhutaan usein niin sanotusta käyttö-kertoimesta, jolla nimellinen kuormitus on kerrottava. Vanhoista hammaspyörästandardeista, kuten esimerkiksi SFS 4790, , saadaan seuraava taulukko käyttökertoimen arvioimiseksi. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 10

11 Hammaspyörästandardin SFS 4790, käyttökertoimet Hammaspyörästandardin SFS 4790, antamat käyttökertoimet. Käyttävän koneen Käytettävän koneen käynti käynti Tasainen Kohtalaiset sysäykset Keskisuuret sysäykset Voimakkaat sysäykset Tasainen Kevyet sysäykset Keskisuuret sysäykset Voimakkaat sysäykset Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 11

12 Interferenssivaurioitumistodennäköisyys Kuormitus ja sen aiheuttama jännitys ovat usein satunnaismuuttujia. Kuten yllä on esitetty, voidaan jännitykseen liittyvää epävarmuutta pienentää tarkoilla dynaamisilla vasteanalyyseillä tai tarkoilla mittauksilla. Tämä on periaatteessa aina mahdollista suorittaa tietylle installaatiolle. Tiettyyn installaatioon liittyvää kuorman satunnaisuutta tai käyttöön liittyviä vaihteluja pitää käsitellä kumulatiivisen osavaurioteorian avulla, katso osa II, vaihteleva-amplitudinen jännitys. Usein on kuitenkin kysymys koneen sarjatuotannosta, ja näin ollen kuorman satunnaisuus liittyy siihen, että konetta tullaan käyttämään hyvin monissa erilaisissa ympäristöissä. Silloin eri installaatioiden kuorma voi olla satunnaismuuttuja, ja tällöin on tarkoituksenmukaista käyttää kone-elinten mitoituksessa interferenssiteoriaa. Kun sekä jännitys että väsymisraja ovat satunnaismuuttujia, on suurinta sallittua vaurioitumisriskiä vastaava varmuuskerroin määritettävä jännitysjakauman ja väsymisrajajakauman interferenssianalyysillä. Jakaumien suureet merkitään seuraavasti:, normaali- tai lognormaalijakautuneen väsymisrajan mediaaniarvo, normaalijakautuneen väsymisrajan keskiarvo (, =, ) f f ( af ) s r,f väsymisrajan af tiheysfunktio, normaalijakauma tai lognormaalijakauma väsymisrajan suhteellinen keskihajonta s f väsymisrajan absoluuttinen keskihajonta, eli s f = s r,f f,mean s f,ln väsymisrajan logaritminen keskihajonta, eli s f,ln -ln(1-s r,f ), normaali- tai lognormaalijakautuneen jännityksen mediaaniarvo, normaalijakautuneen jännityksen keskiarvo (, =, ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 12

13 Interferenssi-integraali f s ( s ) s r,s jännityksen s tiheysfunktio, normaalijakauma tai lognormaalijakauma jännityksen suhteellinen keskihajonta s s jännityksen absoluuttinen keskihajonta, eli s s = s r,s s,mean s s,ln jännityksen logaritminen keskihajonta, eli s s,ln -ln(1-s r,s ) P suurin sallittu vaurioitumisriski, kun huomioidaan sekä jännityksen että lujuuden satunnaisluonne vaurioitumisriskiä P vastaava normaalijakauman arvo Interferenssivaurioitumistodennäköisyys lasketaan seuraavalla kaavalla =1 ( ) Seuraavassa kuvassa on tämän integraalin käyttö havainnollistettu, kun sekä jännitys että väsymisraja ovat normaalijakautuneita. Jos kuvan esimerkissä laskettaisiin vaadittu varmuuskerroin suurimmalla sallitulla vaurioitumisriskillä 1/100, pelkästään väsymisrajaan nähden olisi se normaalijakaumaa käyttäen S F = ja lognormaalijakaumaa käyttäen S F = Kun tässä tapauksessa huomioidaan, että jännityksen suhteellinen keskihajonta on 15 %, on sen keskiarvo redusoitava arvoon MPa, jotta vaurioitumisriski olisi 1/100. Varmuuskerroin väsymisrajan keskiarvoon nähden on näin ollen oltava S F = 500.9/321.6 = Interferenssivaurioitumisriskin integraali voidaan ratkaista vain numeerisesti. On kuitenkin osoitettavissa, että jos sekä jännitys että väsymisraja ovat molemmat joko normaalijakautuneita tai lognormaalijakautuneita, voidaan kaksoisintegraali muuttaa yksinkertaiseksi integraaliksi, koska yhdistetty eli efektiivinen keskihajonta voidaan laskea seuraavalla tavalla: Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 13

14 Interferenssi-integraalin graafinen esitys annetulle esimerkille Tiheys 1.2E E E E E E-03 Esimerkki: af, med sr, f 0.12 s s,med sr, s 0.15 P SF d s P 1 1 f ( ) d s s f ( ) d s P s, i s, i1 s, i s s, i1 P af 2 s s f f ( af ) daf s s s f f ( af ) d af S F af, med s, med 0.0E s Jännitys [MPa] tiheys(ss) tiheys(saf) keskiarvo Ss = keskiarvo Saf = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 14

15 Interferenssin kaksoisintegraalin muuttaminen yksinkertaiseksi integraaliksi a) Normaalijakaumaa käyttäen Muodostetaan ensin efektiivinen keskihajonta, = =,, 2 +,, 2 =1 1 2 mutta koska =,, = 2 2 missä =,,,,,, voidaan yhdistämällä nämä kolme yhtälöä laskea vaurioitumisriskiä P vastaava varmuuskerroin seuraavalla kaavalla 1 2, , 1 2,1 2 2, 1 Vaurioitumisriskiä P vastaava -arvo valitaan niin kuin ennen käyttäen standardoitua normaalijakaumaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 15

16 Interferenssin kaksoisintegraalin muuttaminen yksinkertaiseksi integraaliksi b) Lognormaalijakauma Kaavat yksinkertaistuvat hiukan, kun lognormaalijakaumaa käytetään sekä jännitykselle että väsymisrajalle. 2 2,, =, +, =1 2 2 missä = ln, ln,,, Kun tiedetään suurinta sallittua vaurioitumisriskiä P vastaava -arvo, saadaan vaadittu varmuuskerroin seuraavalla kaavalla, so. =,, =,, Edellisen kuvan esimerkissä lognormaalijakaumaa käyttämällä efektiivinen logaritminen keskihajonta on s f,ln,eff = ja vaadittu varmuuskerroin S F = vaurioitumisriskillä P = Lognormaalijakaumien vinouden takia on vaadittu varmuuskerroin tässä tapauksessa jopa hieman suurempi kuin normaalijakaumaa käyttäen. Seuraavassa taulukossa näytetään lognormaalijakaumaa käyttäen, miten varmuuskertoimet muuttuvat, jos jännityskin on satunnaismuuttuja. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 16

17 Interferenssianalyysin varmuuskertoimien havainnollistaminen Varmuuskerroin väsymisrajan mediaaniarvoon nähden, kun myös jännitys on satunnaismuuttuja, jolla on keskiarvo ja keskihajonta. Lognormaalijakaumaa on käytetty. Suhteelliset keskihajonnat Varmuuskerroin =,, Väsymisraja, Jännitys, P = 10-2 = P = 10-3 = P = 10-4 = P = 10-5 = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 17

18 Jännityksen efektiivinen keskihajonta Harvoin vain yksi kuorma vaikuttaa kone-elimeen. Tyypillisesti siihen vaikuttaa useita kuormia, joilla kaikilla on erilainen keskihajonta. Esimerkiksi keskinopeassa dieselmoottorissa vaikuttavat väsyttävästi keskeisiin kone-elimiin, kuten kampiakseliin ja kiertokankeen sekä kaasunpaineesta johtuvat voimat että kierrosnopeudesta johtuvat massavoimat. Lisäksi kuvaan voivat tulla mukaan värähtelyistä johtuvat dynaamiset jännitykset. Palotilan yhteydessä olevat komponentit voivat altistua suurille lämpölaajenemisesta aiheutuville jännityksille. Lämpötilasta johtuva jännityssyklien määrä on kuitenkin rajoitettu ja aiheuttaa lähinnä kumulatiivista vaurioitumista. Kumulatiivinen väsymisanalyysi käsitellään myöhemmin kirjan luvuissa Yleisessä tapauksessa vaikuttavat useat kuormat, jotka vuorostaan synnyttävät useita jännityskomponentteja. Väsymisanalyysissä käytetään silloin jotakin moniaksiaalista väsymiskriteeriä, esimerkiksi Findleyn kriteeriä, jota käsitellään myöhemmin kirjan osassa III. Näiden jännityskomponenttien yhteisvaikutusta kutsutaan väsymisvaurioksi ja merkitään usein kirjaimella D. Usean satunnaisjännityskomponentin aiheuttaman vaurion varianssi on seuraava: 2 = =1 () =1 =+1 ( ) ( ) = (, ) korrelaatiokerroin, missä (, ) on jännityskomponentien välinen kovarianssi Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 18

19 Soveltaminen Komponenttien välinen kovarianssia on cov( i, j ). Sen avulla voidaan laskea korrelaatiokerroin, josta käytetään merkintää ij. Korrelaatiokerroin on ij = 0, jos jännityskomponentit ovat riippumattomia ja ij = 1 tai -1, jos ne ovat riippuvaisia. Riippuvaisia jännityskomponentteja syntyy esimerkiksi silloin, kun jokin kuorma synnyttää niitä useita. Lausekkeen osittaisderivaattoja voi joskus olla vaikea laskea analyyttisesti. Nämä osittaisderivaatat voidaan kumminkin approksimoida differenssilausekkeilla, eli lasketaan vaurion muutos, kun jokaiselle komponentille annetaan vuorotellen pieni muutos. Asiaa voidaan tässä valaista seuraavalla Findleyn kriittisen tason moniaksiaalisella väsymiskriteerillä: = 2 + Kriteeri huomioi jännitysmatriisin kaikki komponentit, kun lasketaan kriittiseen tasoon vaikuttava leikkausjännitysamplitudi /2 ja normaalijännitys. Useimmiten on kysymys suhteisesta kuormituksesta, eli kaksi eri kuormitus-tapausta (aika 1 ja aika 2) määräävät jännitysten vaihteluvälit. Kun tunnetaan yksiaksiaalisen jännitystilan väsymisrajat 1 ja =0, voidaan kriteerin vakiot k ja f (leikkausväsymisraja) laskea seuraavilla kaavoilla = =0 ja = = =1 2 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 19

20 Esimerkki1: kahden samansuuntaisen jännityksen summa Tilanne voi syntyä esimerkiksi kun on kysymys yhdistetystä taivutuksesta ja veto-puristuksesta a) Yksiaksiaalinen kuormitustilanne, jossa on kaksi jännityskomponenttia, = effektiivinen keskihajonta missä, jännityksien yhteisvaikutuksesta syntyvä keskihajonta 1 2 ensimmäisen jännityksen keskihajonta toisen jännityksen keskihajonta korrelaatiokerroin 1 Summajännityksen Tässä tapauksessa suhteellinen on tärkeää keskihajonta huomata, että summajännityksen suhteellinen keskihajonta s,eff /( s1 + s2 ) on yleensä pienempi kuin suurin, komponenttiarvo. ( ) yleensä Erotuksen pienenee, suhteellinen mutta erotuksen keskihajonta suhteellinen keskihajonta, s,eff /( s1 - s2 ) sitä vastoin voi kasvaa ( 1 2 ) sitä vastoin kasvaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 20

21 Esimerkki1: pyörimisnopeudesta aiheutuvan massavoiman vaikutus b) Yhdestä satunnaismuuttujasta epälineaarisesti riippuva yksiaksiaalinen jännitys Olkoon = () funktio, joka on riippuvainen muuttujasta x. Muuttuja x voi olla esimerkiksi jonkin koneen kierrosnopeus. Jos on muuttujan x odotusarvo (keskiarvo), on muuttujan y varianssin odotusarvo () seuraava () [ ()] 2 () Jos on kulmanopeus, kulmanopeuden keskihajonta, massa ja säde, saadaan seuraava keskipakovoima ja siihen liittyvä keskihajonta. = 2 =2 2 = (2) 2 2 = 2 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 21

22 Varianssin laskeminen satunnaislukugeneraattorin avulla y y n x xy Kriittinen taso x x Biaksiaalinen jännitystapaus, jossa vaikuttavat väsyttävästi x-suuntainen normaalijännitys ja xysuuntainen leikkausjännitys. Kuvan mukaiselle jännitystapaukselle voidaan johtaa seuraavat kaavat kriittisellä tasolla vaikuttavalle normaalijännitykselle ja leikkausjännityksen vaihteluvälille. Findleyn kriteerissä käytetään kriittisen tason maksiminormaalijännitystä. Jännityksen vaihteluväli on määritelmänsä mukaan aina positiivinen. Edellytys sille, että esitetyt kaavat pätisivät kriittisen tason etsimisessä ilman itseisarvomerkintää on, että normaalijännitys ja leikkausjännitys ovat samassa vaiheessa ja että ajanhetket on valittu niin, että ääriarvoille on voimassa seuraavaa: 1 > 2 ja 1 > 2 Silloin saadaan seuraavat kriittisen tason jännitykset = 1 cos sin 2 sin 2 = ( 1 2 ) cos 2 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 22

23 Varianssin lausekkeen derivaatat yllä olevassa esimerkissä Findleyn moniaksiaalisuuskriteeri: = 2 + Sijoittamalla n ja tähän yhtälöön saadaan kriittisen tason suunta derivoimalla lausekkeen kulman suhteen ja ehdosta, että derivaatan nollakohdat antavat ääriarvot. tan2 = ( 1 2 ) Tangentin jakso on 180 o, ja näin ollen kulman jakso on 90 o. Minimiarvo esiintyy kulmalla +90 o, mutta koska vaihteluväli ei voi olla negatiivinen, se ei välttämättä ole todellinen minimiarvo. Vauriosumman osittaisderivaatat ovat tässä tapauksessa seuraavat: 1 sin2 4 +cos 2 = cos2 +sin2 1 2 ja ja = sin2 2 4 cos2 2 2 Esimerkissä käytetään 10 %:n suhteellista keskihajontaa jokaiselle jännityskomponentille. Lasketaan kaksi tapausta, a) kaikki komponentit ovat riippumattomia ja b) kaikki komponentit ovat riippuvaisia sellaisella tavalla, että saadaan mahdollisimman suuri keskihajonta. Saadaan seuraava varianssi vauriosummalle: riippumattomat komponentit 2, = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 23

24 Esimerkin korrelaatiokertoimet riippuvaiset komponentit 2 2, =, Yhtälössä olevat korrelaatiokertoimien arvot ovat tässä tapauksessa: 12 1 jännityskomponenttien 1 ja 2 välinen korrelaatiokerroin 13 =1 jännityskomponenttien 1 ja 1 välinen korrelaatiokerroin 14 1 jännityskomponenttien 1 ja 2 välinen korrelaatiokerroin 23 1 jännityskomponenttien 2 ja 1 välinen korrelaatiokerroin 24 =1 jännityskomponenttien 2 ja 2 välinen korrelaatiokerroin 34 1 jännityskomponenttien 1 ja 2 välinen korrelaatiokerroin Tässä yhteydessä on tarkasti mietittävä korrelaatiokertoimien etumerkkejä ja huomioitava vauriosumman kaava. Esimerkkitapauksena on käytetty seuraavia lähtöarvoja: 1 = 400 MPa MPa 1 = 200 MPa ja keskihajonta 1 = 40 MPa ja keskihajonta 2 = 30 MPa ja keskihajonta 1 = 20 MPa MPa ja keskihajonta 2 = 15 MPa =1 = MPa =0 = MPa Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 24

25 Resultoiva analyyttisesti laskettu keskihajonta Simuloinnin tulokset on näytetty seuraavassa kuvassa ja verrattu simuloinnilla saatuun tulokseen. Findleyn kriteerin jännityksien mediaaniarvoja vastaavat vakiot ovat seuraavat: = normaalijännitysherkkyys = MPa leikkausjännitysväsymisraja = 0,1,2, huomaa, että perusarvo on negatiivinen Kun jännityskomponentit ovat riippumattomia, laskee vauriosumman suhteellinen keskihajonta jännityskomponenttien arvoista 10 % arvoon 5.6 %. Jos kaikki jännityskomponentit ovat riippuvaisia, säilyy suhteellinen keskihajonta samana kuin komponenttien, so. 10 %. Kuvassa näytettyjen simulointien perusteella voidaan vetää kolme tärkeää johtopäätöstä: Yleensä resultoiva suhteellinen keskihajonta on pienempi tai yhtä suuri kuin suurin jännityskomponentin vastaava arvo. Käytännössä tämä johtaa usein siihen, että todellinen vaurioitumisriski on pienempi moni-aksiaalisuustilanteissa kuin silloin, kun jännitystila on vain yksiaksiaalinen. Vain sellaisessa kuvaa vastaavassa tapauksessa, jossa jännityskomponentit vaikuttavat eri suuntaan, kasvaa suhteellinen resultoiva keskihajonta. Resultoiva varianssi ja keskihajonta on usein käytännöllistä laskea käyttämällä satunnaislukugeneraattoria. Tärkeä johtopäätös on että jos vauriosumman suhteellinen keskihajonta valitaan suurimman suhteellisen keskihajonnan omaavan jännityskomponentin mukaan toimitaan interferenssianalyysissä yleensä varmalla puolella! Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 25

26 Edellinen esimerkki graafisessa muodossa Simuloitu tiheysfunktio Simuloidut jännityskomponentien arvot: x1, med ja sx x2, med ja sx xy ja sxy xy ja sxy Vauriosumma ja sen keskihajonta : a) simulointi b) analyysi riippumattomat riippuvaiset riippumattomat riippuvaiset D sd, rpm D sd, rpv D sd, rpm D sd, rpv ar ar k f o Korrelaatiokertoimet : Jännitysamplitudit ja Findley vaurio [MPa] Sig1 Sig2 Tau1 Tau2 D(riippumaton) D(riippuvainen) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 26

27 Esimerkki: Interferenssivaurioitumisriskin approksimatiivinen laskeminen Huom! Kaksoisintegraalin summalauseke auttaa ymmärtämään tämän integraalin Tiheys P 1 f ( ) d f ( ) d 0.25 P 1 Pf af s s s s af af Ps s, i s s, i1 s, i s, i f P s P s P s Ps P P s s P Ps s Jännitys ja väsymisraja [MPa] Jako vain kahdeksaan tasoväliin antaa jo tässä esimerkissä kohtalaisen tarkan interferenssiintegraalin likiarvon Jännitys Väsymisraja keskiarvo = keskiarvo = 500 Pf11 Pf21 Pf3= Pf4= Pf5=0.734 Pf6=0.266 Pf7=0.304 Pf8= Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 27

28 Mitoituskuorma Väsymisanalyysiä voidaan usein järkeistää ottamalla käyttöön mitoituskuorma F mit, johon liittyy hyvin pieni ylitystodennäköisyys P e. Kun tunnetaan kuorman mediaaniarvo ja keskihajonta, saadaan seuraava: = + = (1+, ) normaalijakaumaa käyttäen =, lognormaalijakaumaa käyttäen = 1 2 =1 2 2 todennäköisyys, että kuorma F F mit ylitystodennäköisyys (probability of exceedance) missä kuorma mitoituskuorma, jonka alapuolella kuorma on todennäköisyydellä normaalijakautuneen kuorman keskiarvo ( = ) kuorman mediaaniarvo, mitoituskuormaa vastaava jännitys, kuormaa vastaava mediaanijännitys suurin sallittu vaurioitumisriski ottaen huomioon sekä jännityksen että väsymisrajan satunnaisuuden vaurioitumisriskiä P vastaava standardinormaalijakauman -arvo vaadittu todennäköisyys siihen, että kuorma on pienempi tai yhtä suuri kuin mitoituskuorma F mit (probability of nonexceedance) sallittu mitoituskuorman maksimiylitystodennäköisyys (probability of exceedance) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 28

29 Osavarmuuskertoimet,, 1 2 ylitystodennäköisyyttä vastaava standardinormaalijakauman -arvo väsymisrajan kokonaisvaurioitumisriskiä vastaava standardinormaali-jakauman -arvo, kun interferenssi otetaan huomioon kuorman (jännityksen) keskihajonta valitulla varmuustasolla kuorman suhteellinen keskihajonta / kuorman (jännityksen) logaritminen keskihajonta kokonaisvarmuuskerroin osavarmuuskerroin kuormalle osavarmuuskerroin väsymisrajalle Tässä tapauksessa voidaan jakaa kokonaisvarmuuskerroin kahteen osittaisvarmuuskertoimeen. Saadaan ensin: a) osavarmuuskerroin mitoituskuorman ylitystä vastaan 1 = =1+, normaalijakaumaa käyttäen 1 =, lognormaalijakaumaa käyttäen Moniaksiaalisuustilanteissa on jännityksen effektiivinen keskihajonta laskettava edellä esitetyillä kaavoilla b) osavarmuuskerroin väsymisrajaan nähden Jakamalla aikaisemmin annettujen kaavojen mukaiset kokonaisvarmuuskertoimet kuorman osavarmuuskertoimella saadaan osavarmuuskerroin väsymisrajaan nähden ja vastaavan standardoidun normaalijakauman -arvo. 2 = 1 = 1, normaalijakaumaa käyttäen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 29

30 Mitoituskuorman graafinen esitys Tiheysfunktio P 10 P s s S S S e r, s r, f F 10 F1 F % 8 % S F af, med s, med 2 2 sr, f 1 S n F1 1 nsr, s s, med af, med 1 S S F2 F2 f s, mit sr, f SF2 n s r, s s, med f s r, f af, med sr, f sr, s 2 2 sr, f 1 S 1 Normaalijakauma med mean F1 S F s,med (F med ) s, mit ( Fmit) af,med Jännitysamplitudi [MPa] jännitys väsymisraja mitoitusjännitys=397.3 mediaanijännitys=339.1 väsymisraja=500.9 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 30

31 Suositeltavat riskitasot Suositeltavat riskitasot ja osavarmuuskertoimet, kun väsymisrajan suhteellinen keskihajonta on, = 0.08 (esim. teräs ja yhdensuuntainen raevuo). Tapaus ja kokonaisriski Normaalijakauma Vaurion seuraukset katastrofaalisia (Ydinvoimalaitoksen primääripiiri) = 10 6 Vaurion seuraukset hyvin vakavia. Laajoja henkilövahinkoja (Matkustajalentokoneet) = 10 5 Vaurion seuraukset vakavia. Henkilövahinkoja ja/tai laajoja ainevahinkoja (Dieselmoottorit) P = 10-4 = Mitoituskuorman ylitysriski P e = 1/200 n = ) Kuorman hajonta, Lognormaalijakauma ) ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 31

32 Interferenssianalyysin mahdollinen soveltaminen haaveritapauksessa Ongelma: Eräs kiertokangen koneistuksen alihankkija oli puutteellisista ohjeista johtuen jättänyt ruuvireijän vaadittua pohjasädettä tekemättä. R 0.4 mm Seurauksena tästä tapahtui muutamia kiertokangen murtumia joissa väsymissärö ydintyi tästä lovesta Tällaisia kiertokankeja oli jo ehditty toimittaa tuhatkunta ja niiden kaikkien vaihtaminen olisi maksanut paljon Kysymyksenasettelu oli näin ollen seuraava: Mikä oli vaurioitumistodennäköisyys kentällä jäljessä olevilla virheellisillä kiertokangilla, eli voitiinko tämä riski hyväksyä? Vastauksen antaminen tähän kysymykseen edellyttää että Mitataan kentällä olevien virheellisten pohjasäteiden mediaaniarvo ja keskihajonta Tämän jakauman perusteella voidaan laskea vastaavan jännityksen keskiarvo ja keskihajonta Interferenssianalyysin avulla voidaan laskea kyseinen vaurioitumisriski Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 32

33 Mitoituskuorman määrittäminen Oikean mitoituskuorman määritteleminen on tärkeä ja vaativa tehtävä. Alimitoituksen välttämiseksi se on yhtä tärkeä vaikka tätä arvoa käytettäisiin vain staattisena suurena ja luovuttaisiin itse interferenssianalyysistä Apuna mitoituskuorman määrittämisessä voidaan nykyään käyttää hyvin sofistikoituja dynaamisia analyysejä simulointeja Myöhemmin kun laite on jo toiminnassa on hyvää suorittaa kuormitusmittauksia eri työympäristöissä Interferenssianalyysien käyttö on toistaiseksi vähäistä suomalaisissa teollisuusyrityksissä Myöskin Wärtsilä on tähän asti määritellyt mitoituskuormansa vain staattisena suurena, jota ei ole sallittua ylittää missään olosuhteissa Wärtsilä on kuitenkin alkanut suorittaa kenttämittauksia tarvittavan datan keräämiseksi myös mahdollisia interferenssianalyysejä ajatellen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 33

34 Esimerkki: Dieselmoottorin sytyspaineen mitoituspaine Uutta dieselmoottoria suunniteltaessa eräs projektiryhmän ensimmäisiä tehtäviä on määritellä, mille sytytyspaineen mitoituspaineelle moottori pitää mitoittaa. Koska suoritusarvokäsikirjan mukaan tätä sytytyspaineen maksimiarvoa ei saa missään olosuhteissa ylittää, on moottori säädettävä niin, että ehto toteutuu mahdollisimman hyvin. Asetusarvo, eli sytytyspaineen mediaaniarvo, voi olla mitoituspaineen alapuolella esimerkiksi noin 4 %...9 % riippuen installaation yksityiskohdista. Kysymys on esimerkiksi siitä, onko kysymys voimalaitos- vai laiva-moottorista ja varsinkin siitä, onko moottori varustettu säädettävällä pakokaasujen ohivirtausventtiilillä (WG, Waste Gate). Erityyppisten moottoreiden varusteet poikkeavat huomattavasti toisistaan ja vaikuttavat tapauskohtaisesti kyseiseen asetusarvoon. Asetusarvoa päätettäessä huomioidaan ainakin seuraavat 5 kohtaa: a) painemittauksen tarkkuus, b) painevaihtelut eri sylinterien välillä, c) turboahtimen likaantumisen vaikutus, d) turboahtimen valmistustoleranssi ja e) ulkolämpötilan vaikutus. Seuraavassa kuvassa on esitetty erään moottorityypin simuloitu sytytyspaineen tiheysfunktio. Kaikki muut vaikutukset paitsi turboahtimen likaantumisen vaikutus tapahtuvat symmetrisesti asetusarvon molemmin puolin. Turboahtimen likaantuminen aiheuttaa kasvavan sytytyspaineen siten, että puhtaalla ahtimella vaikutus on olematon ja hyvin likaisella ahtimella se on noin 2 %. Jos moottori on varustettu säädettävällä ohivirtausventtiilillä, ei likaantuminen vaikuta kyseiseen marginaaliin, ja asetusarvo on silloin 4 %. Ohivirtausventtiili säätää 100 %:n kuormalla ahtopaineen halutulle tasolle mikä johtaa siihen, että asetuspaine on vain 4 % mitoituspaineen alapuolella. Silloin, kun kuormitus on pienempi kuin 85 %, ei voimalaitos- ja merimoottoreissa ole ohivirtausventtiiliä käytössä, ja ahtopaine pääsee myös ulkoisten tekijöiden, kuten imuilman lämpötilan ja turbon likaantumisen vuoksi muuttumaan. Tällöin asetuspaine on 9 % mitoituspaineen alapuolella. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 34

35 Simuloituja dieselmoottorin sytytyspainejakaumia 0.16 Simuloitu tiheysfunktio Voimalaitosmoottori PP (Power Plant) pmit 200 baari pmed 182 baari s p 6.5 baari s p sr, p pmed P e Myös PP moottorissa voi joissakin tapauksissa olla WGventtiili jolloin oikeanpuoleinen käyrä pätee. 9 % Laivamoottori SP (Ship Propulsion) 4 % pmit 200 baari pmed 192 baari s p 2.9 baari s p sr, p pmed P e p mit = Maksimi sytytyspaine eri olosuhteissa [baari] PP ja SP(<85%, WG kiinni) SP (WG auki) pmed=182 pmed=192 pmit=200 Simuloituja, realistisia dieselmoottorien installaatiosta riippuvia sytytyspainejakaumia. Todennäköisyydet normaalijakauman mukaan. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 35

36 KRIITTISEN ETÄISYYDEN TEORIA (TCD) (Kirjan luku 15) Kriittisen etäisyyden teoria on hyvin uusi ja perustuu moderniin murtumismekaniikkaan Ne murtumismekaniikkaan liittyvät käsitteet ja kaavat, joita tarvitaan tämän teorian yhteydessä, ovat verrattain yksinkertaisia. On mahdollista ymmärtää nämä ilman syvällisempää perehtymistä murtumismekaniikan teoriaan. Useimmissa tapauksissa todennäköisyyteen perustuva väsymisanalyysi ja tämän teorian antaman tilastollisen kokokertoimen käyttö antavat tarkat tulokset. Väsymissärö ydintyy tavallisesti jostakin aineviasta loven pinnassa tai sen välittömässä läheisyydessä. Eri materiaaleilla on erikokoisia, tyypillisiä ainevikoja, olkoon kyse sitten sulkeumista, onkaloista tai jonkun ainerakeen liukunauhan suunnasta. Nuorrutusteräksen murtopinnoista löydettyjen vikojen tyypillinen koko on m, kun se pallografiittivaluraudoilla on kymmenkertainen, eli noin m. Harmaalla valuraudalla on tästä vielä suurempi tyypillinen efektiivinen ainevika, eli 1 2 mm. Kun heikoimman lenkin teoriaa käytetään tilastollisen kokokertoimen laskemiseksi, perustuu se ajatukseen, että jännitysgradientti aiheuttaa vain merkityksettömän jännityseron ainevian yli Särö lähtee kuitenkin kasvamaan vasta, kun jännityksen aiheuttama jännitysintensiteettikerroin ylittää kynnysarvon. Jos jännitysgradientti on hyvin jyrkkä ja ainevika lisäksi iso, vaikuttavat nämä asiat yhdessä hyvin paljon jännitysintensiteettikertoimen arvoon vian syvimmässä kohdassa. Tällaisissa tapauksissa tilastollinen teoria, joka olettaa, että jännitysamplitudi on approksimatiivisesti sama vian jokaisessa kohdassa, antaa hyvin konservatiivisen tuloksen, mikä eräissä tapauksissa voi johtaa jopa suureen ylimitoitukseen. Tilanne on havainnollistettu seuraavassa kuvassa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 36

37 Jännitysgradientin vaikutus jännitysintensiteettikertoimeen Mahdollisen ylimitoituksen välttämiseksi on tämä gradienttivaikutus huomioitava tilanteissa, joissa jännitysgradientti on erikoisen jyrkkä, erityisesti, kun on kyse valuraudoista. Viimeisten 15 tai 20 vuoden aikana on D. Taylor kehittänyt uuden teorian, jota kutsutaan kriittisen etäisyyden teoriaksi (Theory of Critical Distances eli TCD). Teoria perustuu lineaarisen elastisen murtumismekaniikan (LEFM) luovaan soveltamiseen ja antaa useimmiten verraten tarkkoja väsymislujuuden ennusteita. Jännitysamplitudi väsymisrajalla [MPa] d 6.04 mm -1 max dr ar 1, QT 510 ar 1, GJS 225 ar 1, GJL a, a,max max Akselisuhde a/c silloin kun jännitysintensiteettikertoimet K I [MPam 1/2 ] ovat yhtä suuria pinnassa ja pohjassa Materiaali a/mm c/mm KI/MPam 1/2 QT-teräs GJS-rauta GJL-rauta QT, nuorrutusteräs GJS, pallografiittivalurauta GJL, harmaa valurauta 2c K I,pinta K I,pohja Säteensuuntainen etäisyys loven pohjasta [mm] sa,nim=157.2 a(teräs)=0.015 a(gjs-valu)=0.25 a(gjl-valu)=0.85 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 37 R Kt 3.58 A 2.92 mm 2 eff kun sr Kun lovi on niin jyrkkä kun oheisessa kuvassa kestää TCDteorian mukaan tällainen sauva saman jännitysamplitudin materiaalista huolimatta.

38 Kriittisen etäisyyden teoria Niin kuin luvussa 7.3 osoitettiin, olivat jo väsymistutkimuksen edelläkävijät, kuten Neuber ja Peterson, tietoisia siitä, että loven väsymiseen liittyi myös tietty pituuteen liittyvä skaalausvaikutus. Tämän asian huomioimiseksi he ottivat käyttöön uuden, usein elementaarisäteeksi kutsutun materiaalivakion. Tätä vanhaa teoriaa on vaikeaa yleistää Taylorin kehittämän kriittisen etäisyyden teorian käyttö on hyvin yksinkertaista. Ensimmäiseksi lasketaan murtumismekaniikasta tunnettua kaavaa käyttäen kriittinen pituusskaala L, eli kriittinen etäisyys. Tätä pituusskaalaa on mahdollista käyttää eri tavoilla kriittisen jännitysamplitudin ac määrittämiseksi. Suositeltavaa on käyttää pistemenetelmää (PM), jolloin kriittinen jännitys otetaan loven pinnasta katsoen sellaiselta etäisyydeltä r c, joka on puolet kriittisestä etäisyydestä. Linjamenetelmä (LM) on toinen yleinen käyttötapa. Tällöin kriittinen jännitys on yhtä kuin etäisyyden 2L yli pinnasta laskettu keskijännitys. Kasvavan särön ehto on tällöin, että kriittinen jännitys on yhtä kuin tai korkeampi kuin sileän testisauvan (referenssisauvan) nimellinen väsymisraja af,nim. On huomionarvoista, että eräänlaisen TCD-teoriaan luonnostaan kuuluvan geometrisen kokovaikutuksen ansiosta tämä teoria käytännössä kuvaa kokovaikutuksen aika lailla samanlaisella tavalla kuin käyttämällä tilastollista kokokerrointa. Molemmissa tapauksissa loven jännitysgradientti on määräävä. Tämän tosiasian vuoksi ei ole yleensä tarpeellista huomioida tilastollista kokokerrointa erikseen, kun käytetään kriittisen etäisyyden teoriaa. Päähuomio on alla kiinnitetty PM-menetelmään. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 38

39 TCD-teorian kaavat Limeaarisen kimmoisen murtumismekaniikan (LEFM) mukaan lasketaan jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli seuraavalla kaavalla silloin kun niin sanottu geometriakerroin C = 1 K a Tätä kaavaa käyttäen D. Taylor määrittelee seuraavan kriittisen etäisyyden L ja seuraavat PM:menetelmän yhteydet: = 1 2 kriittinen etäisyys = 2 kriittisen pisteen etäisyys loven pinnasta, = 1 = 2 kriittisen teorian kriteeri suhteellinen jännitysgradientti jännityksen paikallinen amplitudi ja keskijännitys tällä etäisyydellä pinnasta (kriittinen piste) verrataan Haigh-digrammin vastaaviin nimellisarvoihin, so. sileän testisauvan väsymisrajaan. kriittinen jännitysamplitudi, eli paikallinen amplitudi etäisyydellä pinnasta, nimellinen (sileän sauvan) väsymisraja, joka vastaa kriittisen pisteen paikallista keskijännitystä. jännitysintensiteettikertoimen vaihteluvälin kynnysarvo, joka vastaa kriittisen pisteen jännityksen keskiarvoa tai jännityssuhdetta nimellinen (sileän sauvan) väsymisrajan vaihteluväli, joka vastaa kriittisen pisteen paikallista keskijännitystä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 39

40 Lisää TCD-teoriasta. Särön sulkeutuminen väsymisraja (paikallinen tai nimellinen, jos kokokerroin on huomioitu) varmuuskerroin, joka vastaa suurinta sallittua vaurioitumisriskiä suhteellinen jännitysgradientti etäisyys loven juuresta pinnan normaalin suunnassa. Taylorin mukaan särön sulkeutumista ei ole olemassa vaan voidaan käyttää näennäisiä arvoja sekä jännitysintensiteettikertoimen kynnysarvolle että väsymisrajalle, kun lasketaan kriittinen etäisyys. Tämä kysymys ei kuitenkaan ole aivan selvä. Jotkut tutkijat, kuten esim. Baicchi, ovat varovaisia ja vertaavat näin saatua arvoa efektiivisiä arvoja käyttämällä saatuun kriittiseen etäisyyteen. Särön mahdollisen sulkeutumisesta johtuvan vaikutuksen poistamiseksi Baicchi jopa yhdistää kriittisen etäisyyden kaavassa jännityssuhteella = 0.5 saadun intensiteettikertoimen kynnysarvon,=0.5 ja vaihtokuormalla saadun väsymisrajan 1. Baicchi olettaa, että vaihtokuormalla ainoastaan jännityssyklin positiivinen osa on efektiivinen ja että intensiteettikertoimen kynnysarvo voi olla puhdas ainevakio. Näin menetellen saadaan kriittiselle etäisyydelle mahdollisimman pieni ja näin ollen konservatiivinen arvo. Baicchi osoittaa myös, että näin saatu arvo on ainakin harmaalle valuraudalle hyvin lähellä sitä arvoa, joka saadaan yhdistämällä kaavaan (jännityssuhteella =0 sekä intensiteettikertoimelle että väsymisrajalle saadut vaihteluvälit. Loven suhteellinen jännitysgradientti on tärkeä suure. Kriittinen jännitys luetaan sellaisessa syvyydessä, joka on lovesta johtuvan mahdollisen plastisen alueen takana. Tässä syvyydessä aine käyttäytyy kimmoisesti, ja sen vuoksi ei Taylorin mukaan ole yleensä edes tarvetta suorittaa jännitysanalyysiä käyttäen elastoplastista ainemallia. Kuitenkin plastisoituminen voi aiheuttaa pienen keskijännityksen siirron, ja siksi on suositeltavaa käyttää elastoplastista ainemallia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 40

41 Nykyaikainen käsitys särön sulkeutumisesta Muutamia vuosikymmeniä sitten uskottiin yleisesti että ydintynyt särö sulkeutuu kun jännitys on negatiivinen. Oletettiin lisäksi että särö avautuu vasta kun vetojännitys ylittää tietyn kynnysarvon Esimerkiksi tunnettu US-Airforcen kehittämä AFGROW-niminen mutrtumismekaniikan ohjelma lähtee siitä että kun jännityssuhde R < 0 käytetään vain jännityksen positiivista osaa max kun määritellään jännityksen ja jännitysintensiteettikertoimen vaihteluvälit Vaikka asiasta kiistellään vielä paljon tutkijapiireissä niin uusi koulukunta, kts. esimerkiksi A.K. Vasudevan, K. Sadananda ja G. Glinka. Critical parameters for fatigue damage. International Journal of Fatigue 23 (2001) S39-S53 kiistävät että mitään särön kärjen jännitystilaan vaikuttavaa sulkeutumista tapahtuisi Tämä tuntuu varsin luonnolliselta, etenkin lyhyen särön kohdalla. Särön kärki plastisoituu ja tylpistyy joten se pysyy aina auki. On enemmän kysymys kärjen jäännösjännitystilasta Alkutilanne. Terävä särö Kärjen plastisoituminen ja tylpistyminen Kärki ei sulkeudu vaikka jännitys on < 0 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 41

42 Esimerkki: Lovetuilla pallografiittivalurautasauvoilla tehty porraskoe TCD-menetelmän soveltaminen on havainnollistettu seuraavassa kuvassa aikaisemmin kuvattuihin pallografiittivaluraudasta GJS valmistettujen testisauvojen porraskokeiden tuloksiin. R K t = 1.67 A eff =24.2 mm 2 kun s r = 0.10 Havaittu K size = 249.4/195.5 = vaatii s r = Sileä testisauva, kuva 5.3b: K t = ar=-1,nim = MPa Axial stress [MPa] d mm K, R MPam th max dr Taylor /1/ 1 K, 1 1 th R LR 2 ar1, nim Linjamenetelmä mm r L c jännitysamplitudi (maks. = 249) nimellinen amplitudi = 149 PM kriittinen amplitudi = 207 kriittinen etäisyys L/2 = Etäisyys loven pohjasta [mm] 1/2 Tässä tapauksessa linjamenetelmä on tarkempi. Pistemenetelmä on jonkin verran konservatiivinen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 42

43 Edellisen esimerkin kommentit Huomataan, että TCD-menetelmällä laskettu kriittinen jännitysamplitudi MPa on vain noin 10.6 % korkeampi kuin sileillä sauvoilla testattu nimellinen väsymisraja MPa. Tässä tapauksessa kriittisen etäisyyden teoria antaa hiukan konservatiivisen arvon. Tämä on yleinen piirre, kun käytetään TCD-teorian pistemenetelmää. Linjamenetämä antaa tässä tapauksessa tarkemman tuloksen On kuitenkin myös mahdollista että nimellinen väsymisraja olisi vielä korotettava tietyllä kokokertoimella. Kuvan tapauksessa olisi kriittistä etäisyyttä kasvatettava noin 64 %, jotta kriittiseksi jännitykseksi saataisiin tarkasti sileän sauvan testattu nimellinen väsymisraja. On kuitenkin vaikeaa saada täysin luotettavia jännitysintensiteettikertoimien kynnysarvoja. Osa epätarkkuudesta johtunee tästä. On syytä panna merkille, että kuvan tapauksessa tilastollinen teoria antaa tarkemman tuloksen kuin kriittisen etäisyyden teoria. TCD-menetelmää on syytä käyttää vasta, kun jännitysgradientti on niin suuri, että jännitys laskee huomattavasti tyypillisen sisäisen ainevian yli. Taylorin mielestä jo silloin, kun muotoluku K t > 2, on lovenvaikutus hyvin olematon harmaan valuraudan nimelliselle väsymisrajalle. Toisaalta kuvan esimerkki osoittaa, että kun on kysymys pallografiittivaluraudasta, voidaan turvallisesti käyttää tilastollista teoriaa ja paikallisia jännityksiä vielä, kun muotoluku on 2. Myöhemmin osoitetaan, että kun on kysymys harmaasta valuraudasta, on syytä käyttää TCDmenetelmää jo silloin, kun muotoluku K t > 1.5. Kun on kysymys nuorrutusteräksestä, on kriittisen etäisyyden teoriasta hyötyä vasta, kun jännitystila on singulaarinen, eli lovi on terävä, niin kuin se voi olla joissakin tilanteissa, joissa kitkaväsyminen (fretting fatigue) aiheuttaa ongelmia Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 43

44 Geometriakerroin ja ainevikajakaumat Tutkimalla väsytystestauksessa murtuneiden sauvojen murtopintoja on havaittu, että särö ydintyy usein jostakin aineviasta. Tyypilliset keskimääräiset aineviat ovat kooltaan noin m teräksille ja noin m pallografiittivaluraudalle. Puolielliptinen pintasärö aiheuttaa suurimman jännitysintensiteettikertoimen. Särö lähtee kasvamaan silloin, kun jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli K ylittää kynnysarvon K th. Koska pintasärön jännitysintensiteettikerroin voi puoliakselien suhteesta riippuen olla isompi joko särön pohjassa tai pinnassa, kasvaa tällainen särö sellaiseen muotoon, jossa kerroin on sama sekä pohjassa että pinnassa. Kun vaikuttavan jännityksen amplitudi on lähellä väsymisrajaa, voi särönkasvu joko pysähtyä tai alkaa samanaikaisesti molemmissa kohdissa. On helppoa nähdä, että Taylorin kaavan antama kriittinen etäisyys vastaa suurin piirtein Kitagawa-Takahashi-diagrammin yhteydessä käytettyä lyhyen särön korjauksen käyttämää sisäistä (intrinsic) särön pituutta a o. Kuitenkin tässä tapauksessa on jätetty särön geometriakerroin huomioimatta. Lisäksi on murtuneita väsytystestisauvoja tutkimalla havaittu, että PM-menetelmän käyttämä arvo, eli puolet tästä etäisyydestä, vastaa melko läheisesti murtopinnoista löytyvää keskimääräistä ainevian kokoa särön ydintymiskohdassa. Tämä on havainnollistettu seuraavissa kuvissa pallografiittivaluraudalle EN-GJS tehtyjen porraskokeiden tuloksilla. Murtopintojen ydintymiskohdista havaitut aineviat on kuvassa sijoitettu suuruusjärjestykseen. Nähdään, että Gumbel-jakauman kertymäfunktio kuvaa hyvin saatua vikajakaumaa. Pallografiittivaluraudan keskimääräinen, ekvivalentti, puolielliptisen ainevian syvyys on kuvan mukaan noin a mean = 0.25 mm. (Gumbel-jakauma esitetään tarkemmin myöhemmin) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 44

45 Murtopintojen särön ydintymiskohdan tyypilliset aineviat Taylorin mukaan riittää, että jännitysgradienttia seurataan vain syvyys-suunnassa. Jos särönkasvu pysähtyy tässä suunnassa, sen kasvu leveys-sunnassa pintaa pitkin pysähtyy myös, kun tietty särön syvyys-leveyssuhde on saavutettu. Tässä yhteydessä oletetaan, että pinnassa oleva ainevika on puolielliptinen. Ellipsin puoliakseli syvyyssuunnassa merkitään kirjaimella a, ja puoliakseli pintaa pitkin kirjaimella c. R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa Sauvan pinta Kiillotettu aksiaalisesti K t = A eff = 1040 mm 2 kun s r = 0.10 a) Testisauva. b) Jännitysjakauma. c) Onkalo ydintymiskohdassa. 240 m 360 m d) Sulkeumaryhmä. Paikallinen amplitudi [MPa] R = -1 ar murtunut murtumaton Tiheysfunktion sovittaminen suurimman uskottavuuden menetelmällä antoi seuraavaa: ar=-1 = MPa otosväsymisraja s = 17.6 MPa otoskeskihajonta f) Porraskoe jossa katkaisuraja on 10 miljoona sykliä e) Grafiittisaostuma. Testisauva nr. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 45

46 Redusoitu muuttuja y Edellä esitetyn esimerkin murtopintojen ainevikajakauma () = ( ) = ln( ln ) redusoitu muuttuja = m paikkaparametri = 85.8 m skaalaparametri P on todennäköisyys siihen että ainevika on pienempi tai yhtä suuri kuin a: a y y ln ln P a mean m s m 6 kertymäfunktio = + vikakoko on lineaarinen redusoidun muuttujan funktio = vikajakauman keskihajonta 6 vikakoko, paikkaparametri ja skaalaparametri a med 232 m keskihajonta Puolielliptisen särön syvyys a [m] havainto Gumbel varmuusväli 95 % mediaani=232 n=1/43 (lovisauva) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb P Saatu mediaaniarvo 232 m sopii hyvin yhteen Taylorin mukaiseen arvoon 245 m. Huom! Jakauma on hieman harhainen koska murtumattomia sauvoja ei tutkittu Ekstrapoloidun ainevian mediaani kuvan 15.2 lovisauvalle 87.9 m

47 Pinnassa olevan puolielliptisen pintasärön jännitysintensiteettikerroin = = ( + ) = 1 2 a vakio 1.12sin C 2 2c a c 2 2 a 3 8 c 2 2 pitkän särön jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli (LEFM) cos 2 1/ 4 El Haddad et al. lyhyen särön modifiointi sisäinen vikakoko (intrinsic crack lemgth), a = 0 ja af asymptoottinen arvo kynnysarvo silloin, kun särö alkaa kasvaa geometriakerroin jännityksen vaihteluväli väsymisrajaa vastaava jännityksen vaihteluväli särön pituus K I C ( amed a GJS500-7 paikallinen väsymisraja : MPa a a a ar0, lovi ar0, sileä o K MPa mm (sileä) mm (lovi) mm med med th, R0 8.8 MPam (Viite;luku 12, /4/) r r 8x Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 47 1/2 o ) a max 2c x, loven säde r a) Tasainen jännitystila. b) Loven aiheuttama jännitysgradientti. max

48 Tilanne kun särön kasvu pysähtyy Geometriakerroin ja jännitysintensiteettikerroin sileän sauvan tapauksessa silloin, kun jännitysjakauma on tasainen ja jännityksen vaihteluväli = 2 ar=0,nim,sileä = MPa, a med = mm ja a o = mm. Akselisuhde a/c Jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli K th [MPam 1/2 ] Geometriakerroikertoimen Jännitysintensiteetti- Geometria- vaihteluväli kerroin C K th [MPam 1/2 ] C Geometriakerroin ja jännitysintensiteettikerroin lovetun sauvan tapaukselle silloin, kun jännityksen vaihteluväli = 2 ar=0,lovi = MPa, a med = mm ja a o = mm. Akselisuhde a/c Geometriakerroin C Jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli K th [MPam 1/2 ] Geometriakerroin C Jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli K th [MPam 1/2 ] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 48

49 Testitulokset El Haddad et al. modifioidussa K-T-diagrammissa Jännityksen vaihteluväli 2 a [MPa] r c Arvioimalla väsymisrajan keskihajonta ainevika-jakaumasta se olisi noin 28.6 = 17.2 MPa. Vaadittu varmuuskerroin ei muutu vaikka lähdetään ainevikajakaumasta! EN-GJS500-7 ± 24.7 MPa L m ± 110 m 2 R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa af,r=-1 = MPa af,r=0 = MPa K th,r=0 = 8.8 MPam 1/2 af C K th, R0 a a o, eff missä C 0.713(puolielliptinen särö) 30 M22 1 Aksiaalisesti kiillotettu GJS R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 Puolielliptisen pintasärön syvyys [m] 2saR=0=246.6 LEFM(C=0.713) El Haddad et al. amed=232 Asym.=292.9 ao=565 rc(baicchi)=210 2saf = sdef = Testi=257.6 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 49

50 Moniaksiaalinen jännitystila ja TCD Kriittisen tason mukaisia moniaksiaalisia väsymiskriteerejä voidaan Taylorin ja hänen kollegansa Susmelin suorittamien tutkimusten mukaan soveltaa menestyksellä yhdessä kriittisen etäisyyden teorian kanssa. He ovat kehittäneet ja soveltaneet uuden Susmel-Lazzarin kriteeriksi kutsutun teorian. Tämä kriteeri muistuttaa läheisesti tunnettua Findleyn kriteeriä. Näitä Susmel-Lazzarin tai Findleyn kriteereitä voidaan näin ollen soveltaa kriittisen pisteen (PM) jännitysmatriisiin. Susmel-Lazzarin kriteeri on seuraavaa muotoa: +, 2 kriittisen tason leikkausjännitysamplitudi kriittisen tason normaalijännitys, sileän sauvan leikkausväsymisraja (nimellinen arvo) sileän sauvan väsymisraja (nimellinen arvo) Tämän kriteerin kehittäjät väittävät, että kriteeriä sovellettaessa on saatu hyvin tarkkoja ennusteita suurelle joukolle sekä sitkeitä että hauraita aineita. Tämä yhteensopivuus laskelmien ja testitulosten välillä on ollut hyvä myös silloin, kun on käytetty erilaisia kuormitustapoja ja jännityssuhteita. Tämä toteamus vahvistaa sitä käsitystä, että Findleyn kriteeriä voidaan käyttää myös esimerkiksi valuraudoille. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 50

51 Pinnan laadun kerroin ja TCD Taylor ei kerro mitään pinnan karheuden mahdollisesta vaikutuksesta väsymisrajaan silloin, kun käytetään kriittisen etäisyyden teoriaa. Tämä tuntuu luonnolliselta ottaen huomioon, että kriittinen jännitys otetaan pisteestä, joka sijaitsee pinnan alla, missä pinnan karheudella ei ole mitään vaikutusta tai missä vaikutus on joka tapauksessa hyvin pieni. Tämä toteamus koskee tietysti vain lovellisia tapauksia, joissa on selvä jännitysgradientti, ja kriittinen etäisyys on paljon isompi kuin pinnan profiilinsyvyys. Kun vielä huomioidaan, että kriittisen etäisyyden teoriaa sovelletaan vain lovien jännitystiloihin, on muistettava, että pinnan karheus toimii niin kuin lovi lovessa. Yhdistetty vaikutus on pienempi kuin mitä saataisiin suoraan superponoimalla niiden vaikutuksia erikseen. Jos pinnan karheus ei ole erikoisen huono, voidaan olettaa, että pinnan laadun kerroin on 1, jos seuraava ehto täyttyy: =1 missä profiilinsyvyys pinnan laadun kerroin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 51

52 Kitkaväsyminen ja TCD Kitkaväsyminen (fretting fatigue) voi syntyä kahden yhteenpuristetun kappaleen kontaktipinnoissa, erityisesti, jos pintojen välillä syntyy osittaisluistoa ja pintojen kulumista, ks. A. Lehtovaara et al. Usein kysymys on täydellisestä kontaktista, jossa toisella kappaleella on terävä reuna. Tällaisessa kontaktissa syntyy reunalla singulariteettipiste, eli jännitys nousisi kohti ääretöntä, jos aine käyttäytyisi kimmoisesti, ks. Churchman et al.. Aineen plastisuus rajoittaa tietysti maksimijännityksen tiettyyn arvoon, joka voidaan laskea käyttämällä elastoplastista ainemallia jännitysanalyysissä. Tällaisissa tapauksissa syntyy usein niin jyrkkä jännitysgradientti, että tilastollinen teoria yliarvioi pahasti tapauksen kriittisyyden, mikä helposti johtaa ylimitoitukseen. Kriittisen etäisyyden teoria toimii hyvin myös teräksille tällaisissa tapauksissa. On kuitenkin muistettava, että erityisesti osittaisluistotapauksissa voi kulumisen edistyessä syntyä kasvavaa lovenvaikutusta. Tällaisia tapauksia voidaan ratkaista epälineaarisella elementtimallilla, johon on liitetty kulumista kuvaava ohjelmasilmukka ja elementtiverkon päivitystä, kuten A. Mäntylä on esittänyt diplomityössään. Seuraavissa kuvissa näytetään A. Lehtovaaran täydellisen kontaktin tutkimista varten rakentama frettingtestilaite Tampereen teknillisessä yliopistossa. Tässä kuvatussa testissä sekä ulokepalkki että sitä vastaan puristetut teräväreunaiset pidinkappaleet oli tehty pallografiittivaluraudasta EN-GJS Sauvat oli irrotettu suuresta paperikoneen telasta, jonka seinämäpaksuus oli 92 mm ja halkaisijat D/d = 1164/980 mm. Testattu väsymisraja ar=-1 = MPa oli ehkä näiden suurien dimensioiden takia yllättävän matala, eli väsytyssuhde f R vain noin Testeissä oli koneen suhteellisen matalan taajuuden (noin 40 Hz) takia katkaisuraja valittu niin matalaksi kuin 3 miljoonaa sykliä. Siksi väsymisraja on ekstrapoloitu käyttäen kuvan 15.8 testattuja S-Nkäyriä vastaamaan tilannetta 5 miljoonan syklin kohdalla. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 52

53 A. Lehtovaaran suunnittelema täydellisen kontaktin fretting-testauslaite Aluksi testitulokset tuntuivat aivan selittämättömiltä, koska reunan singulariteettipisteen korkealla jännitysamplitudilla ei huomattu olevan minkäänlaista vaikutusta väsymiskestävyyteen. Kriittisen etäisyyden teoria selitti täysin tilanteen, niin kuin kuvista käy ilmi. Kuvan mukaan ovat nimelliset väsymisrajat frettingtilanteessa samat kuin ilman frettingiä. Testattu nimellinen väsymisraja tykyttävällä kuormalla on kuvassa esitetty, eli noin ar=0 = MPa. Käyttäen yllä olevaa tykyttävän kuorman väsymisrajaa voidaan laskea seuraava kriittinen etäisyys: = = mm Pyöristetyt reunat R = 1 mm 10 K t = = 0.2 mm -1 A eff = 485 = 354 mm 2 silloin kun s r = 0.10 a) Testilaite. b) Perus-S-N-käyrän testauksessa oli sauva lovettu. Pallografiittivalurautasauvoille teräviä pidinkappaleita käyttäen suoritettu frettingväsymistesti. Itse frettingtesteissä oli sauvan leveys kauttaaltaan 40 mm. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 53

54 Pallografiittivaluraudasta tehdyn ulokepalkin paikalliset jännitykset Alla ilmoitetut siirtymäkuormitukset ulokepalkin päässä johtivat murtumaan noin 3 miljoonan syklin kohdalla. Seuraavalla sivulla testatun S-N-käyrän avulla arvioitiin että todellinen väsymisraja olisi noin 5 miljoonan syklin kohdalla. S-N-käyrän avulla määriteltiin väsymisrajat ekstrapoloimalla tähän rajasyklilukuun. Aksiaalisuuntainen jännitys [MPa] Etäisyys neutraalitasosta y [mm] keskijännitys jännitysamplitudi TCD(0.19) = TCD(0.25)=188.6 gradientti Jännitysgradientti [1/mm] Aksiaalisuuntainen jännitys [MPa] Etäisyys neutraalitasosta y [mm] keskijännitys jännitysamplitudi TCD(rc=0.19) = TCD(rc=0.25)=133.3 gradientti Jännitysgradientti [1/mm] a) Jännityssuhde R = -1 (siirtymäamplitudi ±2.5 mm) b) Jännityssuhde R = 0 (siirtymäkuorma 2±2 mm) Elasto-plastisella ainemallilla lasketut jännitysgradientit. Kuvissa on kriittisen pisteen etäisyys pinnasta oletettu olevan välillä 0.19 mm 0.25 mm. Huom! Yllä olevien kuvien siirtymäkuormat ovat hiukan isompia kuin itse väsymisrajoja vastaavat Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 54

55 Pallografiittivaluraudasta tehdyn ulokepalkin frettintestin tulokset Nimellinen väsymisamplitudi [MPa] EN-GJS R m = 570 MPa R p0.2 = 360 MPa N a N a N 510 a 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Syklien lukumäärä Taivutustesti (R=-1) murtumaton Perus S-N(R=-1) Saf(R=-1) = Fretting,R=0 fretting S-N (R=0) Saf(R=0) = Fretting,R=-1 fretting S-N (R=-1) Saf(R=-1) = Naf = 5 10^6 (Nimellinen) väsymisraja [MPa] Keskijännitys [MPa] R=0 Smax=Rp0.2 SaR=-1,paik = (rc=0.25) SaR=0,paik= (rc=0.25) y af,nim = m a) S-N-käyrät. Kun N = sykliä on b) Ekstrapoloitu paikallinen ja kriittinen = - siirtymäamplitudi ±2.5 mm, kun R = -1 nimellinen jännitys Haigh-diagrammissa. - siirtymäamplitudi 2±2 mm, kun R = 0 Kriittisen pisteen jännitysamplitudi on melkein tarkasti yhtä suuri kuin lovettomalla ulokepalkilla testatun Haigh-diagrammin mediaaniarvo. Kriittisen pisteen jännitysamplitudi joka tässä tapauksessa on hyvin lähellä nimellistä jännitysamplitudia määrää väsymiskestävyyden! Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 55

56 Venymäväsyminen ja spektrikuorma ja TCD Taylorin mukaan kriittisen etäisyyden teoriaa voidaan käyttää myös silloin, kun vaihteleva-amplitudinen kuorma aiheuttaa kumulatiivista väsymistä. Äärimmäisen matalan sykliluvun alueella, missä on hyvin suuri venymä-amplitudi, teoriaa ei voida käyttää. Jos liikutaan sellaisella low cycle-alueella, jossa elinikä on pidempi kuin noin sykliä, teoria antaa kohtuullisen tarkkoja ennusteita. Eräs vaikeus on siinä, että kriittinen etäisyys pyrkii muuttumaan sykliluvun funktiona matalan eliniän alueella. Jos tunnetaan sekä sileän sauvan että jonkun lovetun sauvan S-N-käyrät, on mahdollista määritellä jonkun low cycle-alueella olevan pisteen kriittinen etäisyys siitä ehdosta, että lovesta on valittava sellainen kriittinen etäisyys, jonka jännitysamplitudi vastaa sileällä sauvalla saatua väsytysamplitudia. Kun vielä tunnetaan varsinainen väsymisrajaa vastaava kriittinen etäisyys, saadaan näiden kahden pisteen avulla määriteltyä kriittistä etäisyyttä vastaava S-N-käyrä. = = missä syklien lukumäärä tasolla i väsymiseen johtava sykliluku ( ) kriittinen etäisyys, vakiot Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 56

57 Eräitä jännitysintensiteettikertoimen kynnysarvoja TCD:llä Jotta kriittisen pystyttäisiin tekemään tarkkoja ennusteita, edellytetään, että eri materiaalien jännitysintensiteettikertoimen vaihteluvälin kynnysarvot eri jännityssuhteilla tunnetaan riittävän hyvin. Koska kiinnostuksen kohteena on särön ydintyminen, eli väsymisrajaa vastaava ainevika, liikutaan niin kutsutun lyhyen särön alueella, joka on toistaiseksi riittämättömästi tunnettu Tämän artikkelin kirjoittajalla ei ole omaa testidataa, vaan hän joutuu käyttämään eri lähteiden antamia arvoja, joihin saattaa liittyä paljon epävarmuutta varsinkin silloin, kun jännityssuhde on R < 0. Seuraavassa taulukossa on esitetty joukko kynnysarvoja, joita voi käyttää parempien arvojen puuttuessa. Taylor käyttää intensiteettikertoimen nimellistä (ekstrapoloitua) kynnysarvoa sekä nimellistä jännityksen vaihteluväliä huomioimatta särön sulkeutumista silloin, kun minimijännitys on min < 0. Baicchin laskee kriittinen etäisyys kun R = -1 seuraavalla konservatiivisellä tavalla. Hän käyttää vain jännitysvaihteluvälin positiivista osaa sekä hyvin korkealla jännityssuhteella saatua intensiteettikerrointa. 1 = 1,= Taulukossa esitetyissä AFGROWin mukaisissa arvoissa on huomioitava särön avautumiseen liittyvä jännitys sekä kynnysarvoissa että lasketuissa intensiteettikertoimissa. Tässä yhteydessä viitataan AFGROWin käsikirjaan. Sekä Baicchin että Taylorin testidatan mukaan on harmaan valuraudan väsymisrajan keskijännitysherkkyys huomattavasti suurempi kuin kirjoittajan suorittamien testien perusteella annetut arvot. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 57

58 Eräitä lueteltujen lähdeviitteiden antamia kynnysarvoja Materiaali Harmaa valurauta 0.2 [MPa] 249/202 =, [MPa] [MPam 1/2 ] [mm] Lähde Taylor 1 Harmaa valurauta GJL / Baicchi Nodular Pallografiittivalurauta 517/307 cast iron GJS Taylor -0.3, = 224 = AFGROW ASTM A536 Grd Nuorrutusteräs AISI UTS 1170/ , = 731 = ) käytä mieluummin Baicchin antamia arvoja 2) Haigh-diagrammi on annettu seuraavassa kuvassa 3) ekstrapoloitu arvo Taylorin antamia arvoja hyväksi käyttäen 4) käyttäen omia testattuja väsymisrajoja mutta kynnysarvoja mainituista lähteistä 5) AFGROW-data. Kun R < 0 on vain K max, jännityksen negatiivista osaa ei huomioida. AFGROW Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 58

59 Baicchin datan perusteella luotu harmaan valuraudan Haigh-diagrammi Väsymisraja [MPa] EN-GJL-300 R m = 230 MPa R p0.2 = 200 MPa R mc -840 MP R pc MPa Jännityssuhteen R ja keskijännityksen m välinen suhde: 1 R m af 1 R K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 M Keskijännitys [MPa] Lineaarinen B-splini B-splini R=0 Smin=Rpc0.1 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 59

60 Esimerkki: Erään kampakselin kitkaväsymiseen liittyvä testi Kampiakselin ja kampeen liittyvän vastapainon välisessä liitoksessa oli syntynyt kitkaväsymisestä väsytyssäröjä. Ongelman tutkimiseksi käynnistettiin frettingtestit seuraavassa kuvassa esitetyllä testilaitteella. Litteä testisauva tehtiin kampiakselitoimittajan, materiaalista 40CrMo8. Tasomaiset ja teräväreunaiset puristuskappaleet tehtiin vastapainomateriaalista, pehmeästä rakenne-teräksestä EN S355J2. Seuraavissa kuvissa on annettu elasto-plastisen elementtianalyysin avulla laskettu laahaavan reunan (alempi reuna) jännitysjakauma. Analyysissä kitkakertoimen arvona on käytetty = 0.6. Q 1 = -3 kn 26 kn Q 1 = -3 kn ylempi reuna 13 kn P = 12 kn alempi reuna P = 12 kn T 1 = T max = 32 kn Q 2 = 3 kn Q 2 = 3 kn P = 12 kn T 2 = T min = 7 kn kuormitustapaus 1 kuormitustapaus 2 Litteän vetosauvan poikkipinta-ala A sauva = 100 mm 2 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 60

61 Elasto-plastisen jännitysanalyysin tulokset Testissä on käytetty vakio vaihto-leikkausvoimaa Q = ±3000 N ja vakio puristusvoimaa P = N. Puristuskappaleiden poikkipinta-ala on A p = 120 mm 2, joten nimellinen leikkausjännitysamplitudi kontaktipinnassa on a,nim = 25 MPa ja nimellinen puristusjännitys, = 120 MPa. Jännitysamplitudi väsymisrajalla [MPa] max d 92.0 mm dy Pinnan polku r c 1 K 2 17 mm -1-1 y th, R0.5 ar mm Vetojännitys pinnassa [MPa] etäisyydellä 2r c pinnasta Etäisyys pinnasta laahavan reunan kohdalla[mm] Kuormitustapaus 2 Kuormitustapaus 1 Elasto-plastinen ainemalli Etäisyys pinnan polkua pitkin [mm] rc0.01 mm Sa(kriitt.)520 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 61