Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi"

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa Ib, kirjan luvut Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 1

2 TILASTOLLINEN KOKOKERROIN (Kirjan luku 7) Se, että koneenosan koko vaikuttaa väsymisrajaan, on ollut jo kauan tiedossa. On havaittu, että mitä suurempi koneenosa, sitä matalampi väsymisraja Syy tähän oli huonosti ymmärretty ennen todennäköisyysteorian mukaan tuomista väsymisanalyysiin Edelleen esiintyy ristiriitaisia tulkintoja. Joidenkin lähteiden, mukaan koko vaikuttaa lähinnä vain taivutuksessa ja väännössä, kun taas joidenkin toisien lähteiden mukaan koko voi vaikuttaa veto-puristus-tapauksissakin Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi antaa loogisen selityksen tälle ilmiölle. Asian ymmärtämiseksi ajatellaan ensin, että jännitysamplitudi on kaikkialla sama Koska väsymisraja on satunnaismuuttuja, johtaa tämä siihen, että isoimmissa pinnoissa tai volyymeissä on väsymisraja todennäköisesti matalampi kuin pienissä, koska isommasta pinnasta löydetään todennäköisesti suurempi defekti kuin pienestä Väsymissärö ydintyy melkein aina jostakin defektistä, olkoon se sitten jokin sulkeuma, jännitysvuohon nähden epäedullisesti orientoitunut materiaalirakeen liukunauha tai jokin muu defekti Kokokerroin voidaan täten, niin kuin Kapur et al. kertovat, laskea heikoimman lenkin teorian avulla. Näissä laskelmissa on tietysti huomioitava, että jännitys-amplitudi vaihtelee koneenosan eri kohdissa. Tämä mutkistaa laskelmia jonkin verran Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 2

3 Heikoimman lenkin teoria On myös hyvin tärkeää ymmärtää, että aikaisemmin, kun väsymisrajan satunnaisluonnetta ei ymmärretty ja käytettiin niin kutsuttuja nimellisjännityksiä koneenosien mitoituksessa, johti se erääseen toiseen vakavaan virhetulkintaan. Ei ymmärretty, että terävien lovien testeissä havaittu korkeampi väsymisraja oli myös heijastus kokoefektistä. Siksi alettiin käyttää sellaisia vaikeasti selitettävissä olevia suureita kuin lovenherkkyyslukua ja muotoluvun (jännityskonsentraatiokertoimen) redusointia lovenvaikutusluvuksi sen avulla. F R i R R i1 i 2 Ri3 R i 4 F Jos aluksi edellytetään niin kuin kuvassa on hahmotettu, että sama jännitysamplitudi vaikuttaa jokaisessa lenkissä, on helppoa ymmärtää kokokertoimen johtaminen. Koneenosa ajatellaan jaetuiksi osiksi. Koneenosa murtuu, jos väsymissärö ydintyy missä hyvänsä näistä osista, eli voidaan ajatella, että on kysymys sarjakytkennästä. Koko koneenosan luotettavuus on näin ollen seuraava: = =1 systeemin luotettavuus n R i P i = 1-R i lenkkien lukumäärä yksittäisen lenkin luotettavuus yksittäisen lenkin vaurioitumistodennäköisyys Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 3

4 Yksittäisen lenkin vaadittu luotettavuus Tässä yhteydessä on tarkoituksenmukaista käyttää keskiarvoja, eli lähteä siitä, että koko systeemin luotettavuus on 50 %. Kysymys on näin ollen siitä, mihin tasoon on yksittäisen lenkin luotettavuus korotettava, jotta koko systeemin luotettavuus olisi yhtä kuin haluttu. Jos vielä oletetaan, että jokaisen lenkin luotettavuus on se sama R, saamme seuraavan yhtälön tämän kysymyksen ratkaisemiseksi. 1 = 2 = = = 1 2 = = 0.5 = 0.5 Oletetaan, että yksittäinen lenkki vastaa väsytystestissä käytettyä testisauvaa. Oletetaan vielä, että tutkitun komponentin saman jännityksen alla oleva kuormitettu pinta (tai volyymi) on n kertaa suurempi kuin testisauvan. Silloin väsytystestissä saatu väsymisraja on redusoitava yllä olevan kaavan mukaiseen luotettavuuteen, jotta komponentin luotettavuus olisi 50 %, kun tätä vastaava jännitysamplitudi vaikuttaa sen kuormitetussa pinnassa. Tätä väsymisrajaa vastaava sauvan vaurioitumisriski P ja standardoidun normaalijakauman arvo saadaan seuraavalla tavalla Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 4

5 = 1 = Tilastollinen kokokerroin Tilastollinen kokokerroin, eli se kerroin, jolla Haigh-diagrammin keskiarvoa on korjattava, jotta saataisiin komponentin väsymisraja, lasketaan nyt periaatteessa samanlaisilla kaavoilla kuin aikaisemmin käytettiin varmuuskertoimen laskemiseksi, so. = 1 1+ = tilastollinen kokokerroin normaalijakaumaa käyttäen tai mieluummin lognormaalijakaumaa käyttäen yksittäisen lenkin (testisauvan) luotettavuus silloin, kun kaikilla on sama arvo yksittäisen lenkin vaurioitumistodennäköisyys silloin, kun kaikilla on sama arvo vaurioitumistodennäköisyyttä P vastaava standardoidun normaali-jakauman muuttujan arvo väsymisrajan suhteellinen keskihajonta väsymisrajan logaritminen keskihajonta Jännitysamplitudi vaihtelee valitettavasti todellisuudessa koneenosan eri pisteissä, mikä on myös huomioitava. Tilastollisen kokokertoimen laskeminen on tämän takia hiukan monimutkaisempaa käytännössä. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 5

6 Tehollinen jännityspinta-ala Kun käytetään heikoimman lenkin teoriaa tilastollisen kokokertoimen laskemiseksi todellisille koneenosille, joudutaan myös huomioimaan niissä vallitseva jännitysjakauma lenkkien lukumäärä laskettaessa. M. Makkonen on näyttänyt väitöskirjassaan, että luonnollinen menetelmä lenkkien lukumäärän laskemiseksi on muodostaa tutkittavan koneenosan ja väsytystestissä käytettyjen sauvojen tehollisten jännityspinta-alojen välinen suhde. Jos tarvetta ilmenee, voidaan vastaavasti laskea myös tehollinen jännitysvolyymi, mutta koska väsymissärö melkein aina ydintyy jonkun loven pinnasta, keskitytään tässä esityksessä jännityspinta-alan laskemiseen. A 1 = A ref a1 af Jännitystä a1 vastaava luotetta - vuus on R A m 2 A2, eff A2 2, R1 R m A eff 2 R 2 ln R ln 2 R A 2 2, eff A2 A2 lnr1 ln 0.5 A 2 a2 a2 R 2 a1 a1 1 2 s r R A 2,eff (1 s 1 a1 a2 1 r ) Montako A 1 kokoista vaurioitumisriskiä R 2 olevaa lenkkiä m tarvitaan jotta luotettavuus olisi R 1 Jos jännitys a1 vaikuttaisi pinnassa A 2,eff niin sen vaurioitumisriski olisi sama kuin pinnan A 2 kun siihen vaikuttaa jännitys a2 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 6

7 Tehollisen jännityspinta-alan laskeminen Kuvassa on havainnollistettu tehollisen jännityspinta-alan laskeminen käyttäen heikoimman lenkin teoriaa tähänkin. Pinnassa A 1, jota käytetään referenssinä, vaikuttaa jännitysamplitudi a1. Oletetaan, että tämä amplitudi on yhtä suuri kuin väsymisraja af. Toisin sanoen tätä jännitysamplitudia vastaava luotettavuus on 50 %, eli R 1 = 0.5. On olemassa toinen alue, jonka pinta-ala on A 2, jossa vaikuttaa pienempi jännitysamplitudi a2. Ongelmana on laskea, mikä on toisen pinnan vaurioitumisriski suhteessa ensimmäiseen pintaan. Jotta tämä vertailu olisi mahdollinen, on ensin tiedettävä, mihin kokoon A 2,eff toista pintaa on redusoitava, jotta sen vaurioitumisriski jännitysamplitudin a1 vaikuttaessa olisi sama kuin alkuperäisen pinnan silloin, kun siihen vaikuttaa a2. Pinnassa A 2 vaikuttavaa jännitysamplitudia vastaava luotettavuus (tai vaurioitumisriski) saadaan jo aikaisemmin esitetyillä kaavoilla: 2 = 1 (1+ ) 2 = ln 1 2 normaalijakaumaa käyttäen lognormaalijakaumaa käyttäen 2 = = 1 2 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 7

8 Tehollisen jännityspinta-alan ja lenkkien lukumäärän laskeminen Tarvitaan m kpl luotettavuustasoa R 2 olevaa lenkkiä, jotta luotettavuus olisi R 1. Lenkkien lukumäärä vastaa nyt alkuperäisen ja redusoidun pinnan suhdetta, eli = 2 2, 2 2 = 2, 2 = 1 2, = 2 ln 2 ln 1 = 2 ln 2 ln 0.5 Tämä merkitsee, että pintojen A 2 ja A 1 välinen tilastollinen kokokerroin K size saadaan aikaisemmin annetulla kaavalla kun lenkkien lukumäärä on seuraava: = 2, 1 lenkkien lukumäärä, kun 2, > 1 = 1 2, lenkkien lukumäärä, kun 1 > 2, Tilastollista kokokerrointa käytetään redusoimaan pienemmän jännitys-pinta-alan omaavaa väsymisrajaa vastaamaan suuremman jännityspinta-alan omaavan väsymisrajan odotusarvoa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 8

9 Komponentin väsymisraja Tilastollisen kokokertoimen laskemista ja käyttöä valaistaan käyttämällä aikaisemmin pallografiittivaluraudalle GJS esitettyä testiä ja testisauvaa referenssinä. Samassa yhteydessä kuin missä suoritettiin tämän kuvan mukainen porraskoe, suoritettiin toinen porraskoe lovetuilla sauvoilla, joiden aihiot oli otettu samasta sylinterikannesta. Tämä porraskoe ja sen testisauva on esitetty alla. Aine oli sama kuin ennen eli EN 1563 GJS Staattiset lujuusarvot 10 vetokokeen keskiarvona = 517 MPa 0.2 = 307 MPa = 1.67 muotoluku FEM analyysin mukaan 1 12 R Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] ar MPa Testisauva nr. murtunut murtumaton K t = 1.67 A eff = 24.9 mm 2 kun s r = 0.10 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 9

10 Osa-alueen jännitystä vastaavan väsymisrajan luotettavuus Tehollinen jännityspinta-ala lasketaan yleisesti edellisen sivun kaavan yleistyksellä seuraavalla tavalla: Ensin jaetaan tutkittavan alueen pintajännitysjakauma (amplitudi tai käytetyn moniaksiaalisuuskriteerin vaurio) pieniin osa-alueisiin i = 1,2,,n laskevan jännityksen mukaisesti. Oletetaan, että maksimijännitys-amplitudi a,max (kriittinen piste) vastaa vaurioitumisriskiä P = 50 %, eli keski-arvoa. Saadaan seuraavaa: ai osa-alueen nro i jännitysamplitudin keskiarvo Suhteessa kriittisen pisteen jännitysamplitudiin tämä vastaa seuraavaa standardoidun normaalijakauman muuttujan arvoa i, kun suhteellinen keski-hajonta s r tunnetaan. = 1, 1 osa-alueen vastaava -arvo normaalijakaumalla = 1 ln, lognormaalijakaumaa käyttäen (suositeltava) Tehollista jännityspinta-alaa laskettaessa on tärkeää, että käytetään samaa suhteellista keskihajontaa sekä koneenosan jännityspinta-alaa laskettaessa että referenssitestisauvan jännityspinta-alaa laskettaessa. Yleensä voidaan käyttää tyypillistä otoskeskihajontaa näissä laskelmissa, koska keskihajonnan suuruuden vaikutus on samansuuntainen molemmissa pinta-aloissa. Näin ollen lenkkien lukumäärä muuttuu verraten vähän suhteellisen keskihajonnan muuttuessa. Jos on erityinen syy saada hyvin tarkkoja tuloksia, voidaan tietysti käyttää samoja varmuusrajoja kuin itse kokokertoimen laskemisessa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 10

11 Tehollisen jännityspinta-alan summaus Kaavan -arvoa vastaava luotettavuus R i saadaan todennäköisyysintegraalista: =1 = Näin ollen on koko alueen tehollinen jännityspinta-ala seuraava = =1 ln ln 0.5 Summa konvergoi suhteellisen nopeasti. Nyrkkisääntönä voidaan pitää, että kun osaalueen jännitysamplitudi on noin 60 % 70 % kriittisen pisteen arvosta, sen osa-alueen efektiivinen pinta-ala lähestyy nollaa ja summaus voidaan lopettaa. Niin kuin esimerkissä myöhemmin näytetään, saadaan tehollisen jännityspinta-alan suuruus laskettua riittävällä tarkkuudella käsinlaskennassa silloin, kun tämä alue jaetaan noin 10 osa-alueeseen. Heikoimman lenkin teoriaa sovellettaessa tilastollisen kokokertoimen laskemiseksi määritellään lenkkien lukumäärä koneenosan tehollisen jännitys-pinta-alan A eff ja Haighdiagrammin testeissä käytetyn referenssitestisauvan jännityspinta-alan A koe,eff = A ref ref suhteena seuraavalla tavalla: A eff A ref tutkittavan kone-elimen kriittisen pisteen tehollinen jännityspinta-ala Haigh-diagrammia vastaavan referenssitestisauvan tehollinen jännityspinta-ala Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 11

12 Tilanne kun A eff > A ref Tässä tapauksessa on koneenosan väsymisraja pienempi kuin Haigh- diagrammista otettavan testisauvan. Näin ollen redusoidaan diagrammista otettavaa väsymisrajaa kokokertoimella. Tässä tapauksessa voidaan haluttaessa redusoinnissa käyttää suurta varmuusrajaa sisältävää suhteellista keskihajontaa, esim. s r = s rc90, jotta redusointi olisi varmalla pohjalla. On kuitenkin loogisempaa käyttää suurimman uskottavuuden arvoa, eli lähinnä otosarvoa tai s rc50 silloin, kun lasketaan kokokerroin. Varmuustasoa 90 % käytetään näin ollen ainoastaan, kun lasketaan vaadittu varmuuskerroin. = huomio! lenkkien lukummärän on oltava > 1, muuten teoria ei toimi Tilastollinen kokokerroin lasketaan tämän jälkeen aikaisemmin annettuja kaavoja käyttäen: = 0.5 =1 2 = 1 = 1 1+ = 2 2 normaalijakaumaa käyttäen lognormaalijakaumaa käyttäen (mieluummin), =, Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 12

13 Tilanne kun A ref > A eff (lovi-tapaus) Tässä tapauksessa on koneenosan väsymisraja suurempi kuin Haigh- diagrammista otettavan testisauvan. Näin ollen suurennetaan diagrammista otettavaa väsymisrajaa tällä kertoimella. Tässä tapauksessa voidaan haluttaessa redusoinnissa käyttää pienen varmuusrajan sisältävää suhteellista keskihajontaa, esim. s r = s rc10, jotta tämä suurentaminen olisi varmalla puolella. = = 0.5 =1 = 1 2 = 1 1+ = 2 2 normaalijakaumaa käyttäen lognormaalijakaumaa käyttäen (mieluummin), =, Huomautus: Tilastollista kokokerrointa laskettaessa on loogisempaa käyttää keskihajonnan odotusarvoa s rc50, eli otosarvoa ilman varmuus-rajoja. Varmuusrajojen käyttäminen on loogisempaa vain silloin, kun väsymisrajaa redusoidaan vaaditulle vaurioitumisriskille, ts. vain varmuuskerrointa laskettaessa. (Tämä ei ole niin varmaa johtopäätös kun tullaan myöhemmin osoittamaan kun defektijakaumat ovat käsittelyn alla!) Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 13

14 Kaavojen soveltaminen sivulla 8 annetun lovellisen sauvan tapauksessa Sivulla 98 esitetyn lovellisen testisauvan tehollinen jännityspinta-ala on kaavan mukaan seuraava, kun se on laskettu luodun ohjelman avulla summaamalla yhteen jokaisen elementin tehollinen jännityspinta-ala yksi kerrallaan käyttäen elementtien pintojen keskijännityksiä. = 24.9 mm 2, kun suhteellinen keskihajonta on s r = 0.10 Tilastollinen kokokerroin suhteessa sileään sauvaan saadaan seuraavasti = = = 41.7 =1 0.5 = a) käyttäen normaalijakaumaa = = b) käyttäen lognormaalijakaumaa ln( 0.10) = = = Havaittu kokokerroin on testitulosten mukaan =,, ä = = M22 1 On syytä vielä kerran korostaa, että tilastollista kokokerrointa käytetään tässä tapauksessa lovetun sauvan väsymisrajan odotusarvon laskemiseksi kertomalla sileän sauvan väsymisraja tällä kertoimella. Laskettu kokokerroin täsmää erittäin hyvin havaitun kokokertoimen kanssa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb Aksiaalisesti kiillotettu GJS R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = R2.25 K t = 1.67 A eff = 24.9 mm 2 kun s r = 0.10

15 Tehollisen jännityspinta-alan likimääräislaskenta Havainnollistetaan tehollisen jännityspinta-alan laskeminen edellä esitetylle lovelle. Kuvassa näytetään, miten loven maksimipääjännitys on jaettu 14 väliin 100 MPa:n ja maksimiarvon MPa:n välillä. Laskennan yhteenveto on näytetty taulukossa 7.1. seuraavalla sivulla. Taulukossa esitetyt arvot osoittavat, että laskenta konvergoi melko nopeasti. Kahdennestatoista osa-alueesta, missä jännitysamplitudi on MPa, eli noin 70 % maksimiarvosta, ei käytännössä enää tule mitään lisäystä, ja summaus voidaan lopettaa siihen. Tehollisen jännityspinta-alan suuruudeksi saadaan summaamalla: 12 = =1, = mm 2 Näin käsin laskettu arvo on vain noin 5 % pienempi kuin ohjelmalla laskettu arvo 24.9 mm 2. Käsin laskettu arvo on käytännön laskuja varten riittävän tarkka. Tehollisen jännityspinta-alan likiarvo, kun s r 0.10, saadaan tämän alueen nettopinta-alana f al = a / min > 94 % y i (4.113 ; ) (4.051 ; ) (3.995 ; ) (3.944 ; ) (3.899 ; ) (3.860 ; ) (3.827 ; ) (3.799 ; ) (3.778 ; ) (3.762 ; ) (3.753 ; ) (x ; y) = (3.75 ; 15) 1 y 2 sin i i R bi i R bi bi bi 1 Ai 2 xo bi nettopinta - ala xo on ympyräkaaren painopiste en etäisyys testisauvan akselista Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 15

16 Osa-alueiden teholliset jännityspinta-alat edellisessä esimerkissä Osa-alueiden teholliset jännityspinta-alat silloin, kun suhteellinen keskihajonta on s r = 0.1. Osaalue i Kaari b i [mm] Nettopintaala A i [mm 2 ] Jännityksen keskiarvo ai [MPa] Normaalijakauman muuttuja i Jännitykseen liittyvä luotettavuus R i Tehollinen jännityspintaala A i,eff [mm 2 ] eff A i, eff 23.6 A mm 2 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 16

17 Prosenttisääntö jännityspinta-alan laskentaa varten Hyvin usein voidaan laskea riittävän tarkka arvo teholliselle jännityspinta-alalle laskemalla sen alueen netto pinta-ala, jossa jännitysamplitudi on noin 95 % tai enemmän maksimiarvosta. Tästä suhdeluvusta käytetään merkintää f al. Kuvan tapauksessa saadaan näin menetellen seuraavaa: > = = MPa Tästä nähdään, että reuna on kuvan toisessa väriosa-alueessa lähellä sen kolmannen osaalueen rajaa. Kun interpoloidaan viivotinta käyttäen, saadaan seuraavaa: 95 = mm 95 = 2 sin = = = mm = 22.5 mm 2 Kun valitaan reuna siellä, missä suhdeluku f al on 94 % maksimiarvosta, on tämän alueen nettopinta-ala 24.9 mm 2, eli täsmälleen yhtä suuri kuin tehollisen jännityspinta-alan oikea arvo. On helppoa ymmärtää, että tehollinen jännityspinta-alan suuruus vaihtelee hiukan suhteellisen keskihajonnan mukaan. Valuraudoille, joiden tyypillinen otoskeskihajonta on 10 %, on tehollisen jännityspinta-alan laskenta nyrkkisäännön avulla ulotettava alueelle, jossa jännitys on 94 % tai suurempi maksimiarvosta. Tämä suhdeluku f al muuttuu noin 96 %:ksi, kun s r on noin 0.065, joka on tyypillinen teräksille. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 17

18 Vertailu vanhoihin käsitteisiin, loviherkkyysluku, tukiluku, etc. Uusi käsite, tilastollinen kokokerroin, korvaa ennen käytetyt käsitteet, loviherkkyysluvun ja lovenvaikutusluvun. Ennen, kun todennäköisyysteoriaa ei käytetty, oli vaikea ymmärtää, miksi esimerkiksi lovissa oli korkeampi väsymisraja kuin muualla. Tällöin kehitettiin väsymisanalyysin nimellisjännitysmenetelmä. Empiirisiin havaintoihin perustuen otettiin käyttöön enemmän tai vähemmän kuviteltu suure loviherkkyysluku jolla redusoitiin muotoluku K t teholliseksi arvoksi, eli lovenvaikutusluvuksi K f. =1+( 1) Neuber, Kuhn ja Hardrath kehittivät loviherkkyysluvulle seuraavan empiirisen kaavan, joka toimii suhteellisen hyvin, jos todellinen tilanne ei poikkea liian paljon testitilanteesta = 1 1+ Kaavassa on loven säde, ja a on materiaalista riippuva vakio, niin kutsuttu materiaalin alkeissäde. Voidaan ajatella tämän materiaalivakion olevan verrannollinen väsymisrajan keskihajontaan. Niin kuin myöhemmin tullaan näkemään, on alkeissäde suuruudeltaan myös aika lähellä testisauvojen säröjen ydintymiskohdista löydettyjen defektien keskimääräistä kokoa. Koska kaava lisäksi sisältää ainakin yhden teholliseen jännityspinta-alaan verrannollisen ulottuvuuden, eli säteen, on ymmärrettävää, että tämä menetelmä voi toimia, mikäli tilanne muistuttaa testitilannetta. Seuraavassa kuvassa on esitetty teräksen alkeissäde murtorajan funktiona ruotsalaisen Mekanresultat 80002:n mukaan. Eräille muille materiaaleille Kuhn et al. antaa seuraavat arvot loviherkkyysluvun laskemiseksi: Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 18

19 Alkeissäteen neliöjuuri a [mm^1/2] Alkeissäteitä K f 1( Kt 1) lovenvaikutusluku 1 loviherkkyysluku a 1 loven säde Murtoraja [MPa] alkeissäteen neliöjuuri alkeissäde Alumiiniumi = 0.5 mm Harmaa valurauta = 0.2 Huom! katso myös kirjassa,luvussa esitetty kritiikki Pallografiittivalurauta = 9 ä Valuteräs < ä joten konservatiivinen arvio on teräs Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb Alkeissäde a [mm] Teräksen alkeissäde murtorajan funktiona ruotsalaisen Mekanresultat 80002:n mukaan

20 Saksalaisten ennen suosima tukiluvun käsite Saksankielisissä maissa käytetään myös laajasti erästä toista nimellisjännitysmenetelmää, joka perustuu niin sanotun tukiluvun n (Stützziffer) käyttöön. Lovenvaikutusluku saadaan tässä menetelmässä redusoimalla muotolukua tällä luvulla, so. = Tukiluku n lasketaan syvyyssuunnan suhteellisen jännitysgradientin (Bezogene Spannungsgefälle) ja materiaalin funktiona. Seuraavassa kuvassa on esitetty muutamia tällaisia Haibachin kirjasta otettuja jännitysgradienttitapauksia ja vastaavia eri aineiden tukilukuja. Monimutkaisissa tapauksissa jännitysgradientti on laskettava elementtimenetelmällä. = 1 suhteellisen jännitysgradientin määritelmä Eri saksalaiset lähteet voivat antaa hyvinkin erilaisia tukilukuja. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 20

21 Haibachin mukaisia tukilukuja Loven muoto Kuormitustapaus [mm -1 o ] Vetopuristus [mm -1 ] Austeniittiset teräkset Taivutus Taivutus Vääntö Vetopuristus Vetopuristus Taivutus Vääntö Tukiluku (vaihtokuormitus) n() AlCuMg Pehmeät teräkset Vääntö Nuorrutusteräkset Jousiteräkset Taivutus Suhteellinen jännitysgradientti Vääntö Loven säde [mm] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 21

22 FKM:n (Forschungs-kuratorium Mascinenbau) antamat tukiluvut FKM:n antamat tukiluvut poikkeavat aika paljon Haibachin antamista. Lisäksi tukiluvun suuruus riippuu kuormituksesta, veto-puristus, taivutus, etc. Loven muoto 1,2 Tukiluku n Teräs Suhteellinen jännitysgradientti G [mm -1 ] Pyöreä tai litteä sauva 1 Kaavat ovat voimassa pyöreille osille mutta pätevät myös likimääräisesti reijällisille osille. 0 kun t/d > 0.25 tai t/b > /(4 t / r 2) kun t/d 0.25 tai t/b 0.25 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 22

23 Lovenvaikutusluvun vaihtelu eliniän funktiona Lovenvaikutusluku pienenee sykliluvun mukana äärellisen eliniän alueella. Tämä merkitsee että S- N-käyrä tulee jyrkemmäksi, s.o. kaltevuuseksponentti pienenee. Niinkuin myöhemmin osoitetaan luvussa 17, saadaan sama vaikutus esille myös kun käyttää paikallisia jännityksiä Lovenvaikutusluku K f K f lg N 1 ( N) K 6 lg N 10 6 f E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Kuormitussyklit N Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 23

24 Suomugrafiittivaluraudan loviherkkyysluku Kirjan luvussa 7.3 mainittiin Hedneriin viitaten, että harmaan valuraudan loviherkkyysluku on niin alhainen kuin = 0.2. Tämä on osittain harhaanjohtavana tieto Kun vertaa FKM:n antamiin tukilukuihin huomataan, että suomugrafiittivaluraudan ja pallografiittivaluraudan tukiluvut, ja näin ollen lovenvaikutusluvut, ovat sen mukaan verraten samanlaisia Suomugrafiitti-valuraudankin loviherkkyysluku vaihtelee säteen mukaan ja voi todellisuudessa poiketa hyvin paljon yllä olevasta arvosta 0.2 Viime aikoina on kuitenkin kehitetty nykyaikainen murtumismekaniikkaan perustuva teoria, joka melko hyvin selittää, miksi lovenherkkyysluku voi jopa olla nolla, kun jännitysgradientti on hyvin jyrkkä. Tämä kriittisen etäisyyden teoria (TCD) selitetään kirjan luvussa 13 Seuraavat kaksi porraskoetta Rabbin väitöskirjasta osoittavat, että harmaan valuraudan loviherkkyysluku voi olla yllättävän korkea silloin, kun jännitysgradientti on kohtuullinen Näissä testeissä käytettiin sauvoja, joiden aihiot oli otettu aikaisemmin näytetyn sylinterikannen liekkipohjasta. Sylinterikannen aine oli suomugrafiittivalurauta ISO 185/JL/250 Toisessa porraskokeessa käytettiin nimellisesti sileitä sauvoja, ja toisessa porraskokeessa lovellisia. Molemmissa kokeissa käytettiin vaihtokuormitusta, eli jännityssuhde oli R = -1 Aine: ISO185/JL/250 R m = 281 MPa ja keskihajonta s = 23.1 MPa 4 vetokokeen kerskiarvona Aksiaalisesti kiillotettuja sauvoja joissa R a < 0.2 mm Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 24

25 Nimellinen amplitudi [MPa] Jännitysamplitudi [MPa] Suomugrafi ittivalura uta ISO185/JL/250. Testissä Suomugrafiittivalurauta ISO185/JL/250 Jännityssuhde R 1 ar1, nim s 4.66 s.o s r Porraskokeet JL-250 sauvoilla ar1, nim s Testisauva nr. Aeff murtunut murtumaton kun sr R 1 M16 1 M Testisauva nr. Aeff 47.7 mm murtunut murtumaton kun sr s.o s r 591mm Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb K f K t K f K t K t

26 Uuden menetelmän ja vanhan menetelmän vertailu esimerkin avulla Tehtävänä on laskea yllä esitetyillä kolmella eri tavalla loven kriittisen pisteen varmuuskerroin silloin, kun huomioidaan vain muodosta ja koosta johtuvia vaikutuksia väsymisrajaan. Käytetään hyväksi sileille pallografiittivalurautasauvoille (GJS-500-7) tehdyn porraskokeen tuloksia, jossa testattu paikallinen otosväsymisraja oli ar=-1 = MPa ja suhteellinen otoskeskihajonta s r = ja verrataan lovetuilla sauvoilla tehtyyn porraskokeeseen jossa testattu paikallinen otosväsymisraja oli ar=-1 = MPa Lovetun sauvan varmuuskerroin, kun käytetään paikallisia jännityksiä ja tilastollista kokokerrointa. Sileä sauva Lovettu sauva Paikallinen otosväsymisraja ar=-1 [MPa] Muotoluku K t Nimellinen väsymisraja ar=-1,nim = ar=-1 /K t [MPa] Tehollinen jännityspinta-ala, kun A eff (s r = 0.10) [mm 2 ] Lenkkien lukumäärää (A eff,sileä /A eff,lovi ) vastaava -arvo Lovetun sauvan tilastollinen kokokerroin suhteessa sileään sauvaan K size = e -sln Lovetun sauvan laskettu varmuuskerroin, kun nimellinen vaihtojännitys ±149.4 MPa. S F = K size 195.5/ Kirjassa taulukossa 7.4 on sanottu että lovetun sauvan väsymisraja on MPa. Tämä vastaa erään alustavan testidatan käsittelyä joka on vahingossa jäänyt. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 26

27 Varmuuskerroin nimellisjännityksiä käyttäen Varmuuskerroin, kun käytetään nimellisjännityksiä ja lovenvaikutuslukua ä = 0.2 mm, kuva 7.7 =9 ä = 1.8 mm Lovellisen sauvan loven säde on = 2.25 mm = = loviherkkyysluku = ( ) = = 1,, ä 1,, = = Laskettu varmuuskerroin on hiukan epätarkempi mutta varmalla puolella. Tässä tapauksessa se on kuitenkin riittävän lähellä odotusarvoa yksi. - FKM:n mukaan (Haibach ei anna pallografiittivaluraudan arvoja) = = = 2 (1+)= 2 = 0.8(8) 2.25 mm mm -1 < < 1.0 mm -1 = 0.05 ja = 3200 MPa =1+0.8(8) = tukiluku = = = aivan liian optimistinen arvo! Eri nimellisjännitysmenetelmillä saadaan hyvin erilaisia tuloksia! Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 27

28 Yhteenveto nimellisjännitysmenetelmän suurimmista heikkouksista Kun kappaleen geometria ja kuormitus ovat monimutkaisia on mahdotonta määritellä mitään nimellistä jännitystä. Nykyaikainen elementtianalyysi antaa yleensä paikallisia jännityksiä Nimellisjännitymenetelmä käyttää fysikaalisesti epämääräisiä suureita kuten loviherkkyys-luku ja elementaarisäteitä, y.m. Uudenaikaisessa väsymisanalyysissä käytetään sen sijaan fysikaalisesti olemassa olevia mitattavia suureita kuten väsymisrajan mediaaniarvoa ja keskihajontaa Nimellisjännitysmenetelmä toimii toki jos kappaleen geometria ja kuormitus muistuttaa väsytystesteissä käytettyä geometriaa Nimellisjännitysmenetelmä ei kuitenkaan pysty järkevällä tavalla selittämään havaittua matalempaa väsymisrajaa kun kappaleen tehollinen jännityspinta-ala on suurempi kuin testisauvan Näin ollen nimellisjännitysmenetelmä on ottanut käyttöön hyvin huonosti määritetltyä teknologista kokokerrointa Nimellisjännityksien käyttö on johtanut siihen että varmuuskerroin voidaan määritellä neljällä hyvin erilaisella tavalla y.m. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 28

29 Suomugrafiittivaluraudan ISO 185/JL/300 Haigh-diagrammi Suomugrafiittivalurautaa ei ole testattu niin systemaattisesti. Joka tapauksessa on kirjassa esitetty suoritettujen testien perusteella seuraava periaatteellinen Haigh-diagrammi: f ar1 R 0.26 R m testattu väsytyssuhde suurille hiekkavaluille on täten paljon pienempi kuin esimerkiksi Leitfadenin antama arvo 0.39 k kaltevuuskerroin on yllättävän pieni. Leitfaden ja Hänchen antavat arvon k =-0.50 Paikallinen väsymisraja [MPa] Vasen B-splini P1 ar1 R mc m, P1 ; 1 k a, P1 ar1 k m, P1 P0 R mc ;0 0 t 1 P, 2 a, m P2 P2 1 k k ar1 ar1 Paikallinen keskijännitys [MPa] m, P1 a, Oikea B-splini m, P0 ar0; P 0 a, P0 ar0 ar k 0 ( 1 ) 2 af t ar0 Lineaarinen oikea splini Ohjauspisteet vasen splini Ohjauspisteet R pc0.1 m, P ; 2 P1 P1 0 t 1 1 ; P2 Rm;0 Diagrammin lineaarinen osa af ar1 km m 30 M Axially polished Kt mm 2 Aeff kun sr 0.10 R m 339 MPa R p MPa Rmc 960 MPa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 29

30 Tehollinen jännitysvolyymi Väsymissärö ydintyy testattaessa hyvin harvoin pinnan alla. Kuitenkin se voi tapahtua, jos pinnan jännityskeskittymät ovat pieniä ja jännityskenttä hyvin tasainen läpi koko kone-elimen ja lisäksi koekappale on iso. Tällaisissa tapauksissa on tietysti käytettävä tehollisia jännitysvolyymejä, kun tilastollinen kokokerroin lasketaan. Hyvän referenssi-arvon saaminen teholliselle jännitysvolyymille on kuitenkin ongelmallista, koska useimmiten särö ydintyy pinnasta, kun väsymisraja testataan pienillä sauvoilla. Mitä suurempaa testisauvaa väsytystestissä käytetään, sitä suuremmalla todennäköisyydellä aineen sisältä löytyy tarpeeksi suuri defekti, josta väsymissärö ydintyy ennen kuin ydintyminen tapahtuu pinnasta. Eräs tällainen testi, joka suoritettiin nuorrutusterässauvoilla, on näytetty seuraavassa kuvassa. Niin kuin taulukosta käy ilmi, oli 9:stä murtuneesta vain 2:lle särön ydintyminen tapahtunut pinnasta. Loput 7 sauvaa oli kokenut särön ydintymisen pinnan alla. Näin ollen voidaan olettaa, että kun terässauva on näin iso, se on lähellä sitä rajaa, jolloin särön ydintyminen siirtyy pinnasta sisäpisteeseen. Annetun tehollisen jännityspinta-alan kaavaa hiukan muokaten saadaan kuvan mukaisen testisauvan tehollisen jännitysvolyymin arvoksi seuraava = = ln ln 0.5 = 2650 mm 3 kun s r = Kuvan Sivu 33:n 7.18 defektiä arvioitaessa huomaa, että se on hyvin suuri ja pyöreä, mikä on tyypillistä, kun sulatukseen lisätään kalsiumia teräksen koneistettavuuden lisäämiseksi. Tämä defektin pyöreä muoto vaikuttaa antavan pienemmän jännityskeskittymän (jännitysintensiteettikertoimen) kuin terävä-muotoinen defekti. Kun verrataan tätä sauvaa valittuun teräksen referenssitestisauvaan, huomataan, että tehollinen jännitysvolyymi kasvaa nopeammin kuin tehollinen jännityspinta-ala. Silloin, kun suhteellinen keskihajonta on s r = 0.065, on jännitysvolyymi kasvanut 6.79-kertaiseksi, kun jännityspinta-ala on kasvanut vain 3.96-kertaiseksi. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 30

31 Porraskoe Tämä testi on mielenkiintoinen myös koska saatu väsymisraja on suurin piirtein yhtä kuin C. Mourierin odotusarvo, huolimatta siitä että ydintyminen tapahtuu sisäisesti On myös hyvää huomata että kun testaa uudelleen korkeammalla jännitysamplitudilla murtumaton sauva tämä tuntuu nostavan tämän sauvan väsymisrajan Nominal Nimellinen stress jännitysamplitudi amplitude [MPa] [MPa] Jännityssuhde R= -1 3 käypää murtunutta tasolla 480 Katkoviiva ja nuoli tarkoittaa että kyseinen sauva on testattu uudestaan korkeammalla tasolla Joko 3 käypää murtumatonta tasolla 465 MPa 400 tai 2 murtumatonta ja1 murtunut jos W-7:tä pidetään murtuneena af, nim MPa vaikka se ylittää normaalin riippuen siitä miten huomioidaan testisauva W-7 katkaisurajan E E E E+08 Number Syklien lukumäärä of cycles N Yksi käypä murtumaton tasolla W -1/run M32 1 W -1/fail W -2/run W -2/fail W -3/run W -3/fail W12-4/fail W -5/fail W -6/fail W -7/fail W -8/fail W -9/run W -10/fail 34CrNiMo6+QT R m = 1016 MPa R p0.2 = 911 MPa Kiillotettu aksiaalisesti R a = 0.4 m K max t nim 479 Aeff mm kun sr Veff Vref mm kun sr Veff Vref mm kun sr 0.10 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 31

32 Testitulokset taulukkomuodossa Väsytyskokeet materiaalille: Päiväys: CrNiMo6 QT, sileät pyörösauvat Raportti: J. Solin Suoritus: H. Laukkanen, R. Sirviö Kokeen kuvaus: Asiakas: Wärtsilä Finland Aksiaalinen vaihtoväsytys, keskij. 0 Mpa Rabb, Silvonen (FATE 2007, LoviSpe Staircase menetelmä, N < 10 milj. Sauva Halk. P-ala Fkeski F ampl Keskij. Amplitudi Kestoluku Run-out mm mm^2 kn kn (+/-) MPa MPa (+/-) Nf N(r-o) huomauutukset W , ,47 0,000 45,390 0,0 400, W , ,47 0,000 46,525 0,0 410, W , ,47 0,000 47,659 0,0 420, W , ,47 0,000 49,361 0,0 435, W , ,47 0,000 51,064 0,0 450, W , ,47 0,000 52,766 0,0 465, sulk myy W , ,06 0,000 52,573 0,0 465, W , ,06 0,000 54,269 0,0 480, sulk myy W , ,14 0,000 54,305 0,0 480, W , ,14 0,000 56,002 0,0 495, W , ,14 0,000 57,699 0,0 510, pinnasta W , ,19 0,000 57,728 0,0 510, sulk myy W , ,25 0,000 56,058 0,0 495, pintasulk myy W , ,14 0,000 54,305 0,0 480, sulk myy W , ,38 0,000 52,722 0,0 465, sulk myy W , ,32 0,000 54,395 0,0 480, sulk myy W , ,40 0,000 52,731 0,0 465, W , ,40 0,000 54,432 0,0 480, W , ,40 0,000 56,133 0,0 495, Kierre petti W , ,27 0,000 54,368 0,0 480, sulk myy Huom: Porrasmenetelmä ei toimi loogisesti, koska sulkeumakoko on hallitseva. Amplitudilla on vain "sekundäärinen" merkitys sauvan kestämiseen. Muutamilla sauvoilla useampi run-out ennen murtumaa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 32

33 Tyypillinen ainevika särön ydintymiskohdassa Kalsiumia lisätään muun muassa koneistettavuuden parantamiseksi Tämä toimenpide kasvattaa kuitenkin ainevikojen kokoja ja vaikka ne samalla tulevat pyöreimmiksi voi väsymisraja silti laskea. Y. Murakami varoittaa kalsiumkäsittelystä 80 m Sulkeuma 2 mm Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 33

34 PINNAN LAADUN KERROIN (Kirjan luku 8) Väsymistestauksessa pyritään yleensä minimoimaan ulkopuolisten tekijöiden vaikutus materiaalin väsymislujuuteen Siksi käytetään yleensä aksiaalisuunnassa kiillotettuja testisauvoja, ellei nimenomaan halutaan tutkia pinnan laadun vaikutusta väsymisrajaan Tiedetään, että pinnan laadulla on suuri vaikutus väsymisrajaan, joten Haigh-diagrammista otettua arvoa on pienennettävä pinnan laadun kertoimella, jota yleensä merkitään symbolilla K R Kirjallisuudessa löytyy hyvin paljon enemmän tai vähemmän tarkkoja suosituksia tämän kertoimen arvoksi eri olosuhteissa Leitfaden antaa koneistetuille teräspinnoille seuraavan konservatiivisen kaavan tämän kertoimen laskemiseksi. Seuraavassa kuvassa on esitetty tämän kaavan avulla laskettu diagrammi. = (log 10 ) 0.64 log (log 10 ) 0.53 kun 1.0 m missä K R R z R m pinnan laadun kerroin profiilinsyvyys m (R z 4R a, R a = keskipoikkeama) murtoraja Pinta ei ole aina koneistettu ja vaikka se olisikin, se voi olla altis korroosiolle tai ympäristön syövyttävälle vaikutukselle Monissa kohdissa voidaan käyttää koneistamattomia pintoja, kuten valssaus-, taonta-, ja valupintoja. Pinnan tila vaikuttaa usein sekä väsymisrajan keskiarvoon että keskihajontaan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 34

35 Kirjallisuudesta otettuja pinnan laadun kertoimia Saksalaisissa lähteissä usein käytetty koneistetun teräspinnan pinnan laadun kerroin. KR log10 Rz 0.64 log10 Rm 0.45 log10 Rz 0.53 kun Rz 1.0 m Rz profiilinsyvyys ( 4Ra keskipoikkeama) 1.0 R z 1m 0.9 Pinnan Pinnan laadun laadun kerroin kerroin KR K R Murtoraja Rm R m [MPa] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 35

36 Pinnan laadun kertoimia ruotsalaisen normin Mekanresultat mukaan 7.5 d 60 o 0.1 mm Pinnan laadun kerroin K R a - kiillotettu pinta b - hiottu pinta c - höylätty pinta d - teräväpohjainen sorvattu lovi (kuva) e - vesijohtoveden syövyttämä pinta f - raaka valssaus- ja takomispinta g - meriveden syövyttämä pinta Murtoraja R m [MPa] On vaikeaa sanoa miten tarkkoja tällaiset kirjallisuudesta otetut kertoimet ovat. Epäselvissä tapauksissa on syytä suorittaa testausta. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 36

37 Valettuja koneistettuja ja koneistamattomia pintoja Entinen DDR:n teollisuusstandardi TGL antaa seuraavat kertoimet Pinnan laadun kerroin K R R z = m R z = 3.2 m Valupinta Suomugrafiittivalurauta Murtoraja [MPa] kiillotettu tarkkuushionta hionta leikattu rouhittu valupinta Pinnan laadun kerroin K R 1.00 R z = m 0.95 R z = 3.2 m Valupinta 0.75 Pallografiittivalurauta Murtoraja [MPa] kiillotettu tarkkuushionta hionta leikattu rouhittu valupinta Pinnan laadun kerroin K R 1.00 R z = m R z = 3.2 m Valupinta 0.85 Teräsvalu Murtoraja [MPa] Kuvien pallografiittivaluraudalle ja valuteräksille antamat kertoimet koskevat lähteen mukaan sekä veto-puristus- että taivutuskuormitusta. Kuvan suomugrafiittivaluraudalle antama kerroin koskee vain taivutusta. Veto-puristuskuormituksella on kerroin suurempi, eli vaikutus pienempi, seuraavan kaavan mukaisesti: K R, veto puristus K R, taivutus K 1 R, taivutus 1.2 kiillotettu tarkkuushionta hionta leikattu rouhittu valupinta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 37

38 Toimenpiteitä pinnan laadun parantamiseksi On olemassa suuri määrä erilaisia toimenpiteitä, joilla voidaan tietoisesti vaikuttaa pintojen väsymisrajaan Tavallisia tapoja korottaa pintojen väsymislujuutta ovat esimerkiksi valssaus, kuulapuhallus ja pintakarkaisu Edellisten kuvien raakojen pintojen pinnan laadun kertoimet eivät päde, jos esimerkiksi pinta on kuulapuhallettu Raakojen valssaus- ja valu-pintojen pinnan laadun kerroin on huono. Kuulapuhalluksen ansiosta nousee väsymisrajan keskiarvo vähintään samalle tasolle kuin koneistetun pinnan, i.e. 1. Väsymisrajan keskihajonta nousee kuitenkin silloin Kuulapuhalletun pinnan keskihajonta voi kuitenkin olla paljon suurempi Pinnan laadun kerroin voi pienetä, kun materiaalin kovuus suurenee Karkaistun pinnan kerroin on ainakin kirjallisuuden mukaan vastoin odotuksia yllättävän korkea Saksalainen hammaspyörästandardi DIN 3990 antaa esimerkiksi seuraavan kaavan pinnan laadun kertoimen laskemiseksi hiiletyskarkaistuille ja induktiokarkaistuille hammaspyörille. = ( + 1) 0.1 Hiiletyskarkaisun vaikutus väsymislujuuteen käsitellään erikseen tämän luentosarjan lopussa perustuen laajaan Wärtsilässä suoritettuun CASH nimisen tutkimusprojektin tuloksiin. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 38

39 Pallografiittivaluraudan valettu pinta erään testin valossa Jännitysamplitudi [MPa] GJS R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa 20 F toinen porraskoe kiillotettuna ja toinen valupintaisena A eff = 229 mm 2 käyttäen mainittua 95 %:n sääntöä. Koneistettu pinta af todennäköisesti on s d 13.5, s.o. 8.4 % Testisauva nr. murtunut murtumaton mm, (95 % sääntö) jännitysamplitudi [MPa] Valupinta af s 21.4 eli14.9 % Testisauva nr. murtunut Pinnan laadun kerroin on näin ollen tässä tapauksessa (C = 90 %), = = Testattu arvo on jonkin verran isompi kuin edellisen kuvan antama arvo, noin Toisaalta suhteellisen keskihajonnan voimakas kasvu merkitsee, että on käytettävä paljon suurempaa varmuuskerrointa. Esimerkiksi, jos vaatimuksena on, että vaurioitumisriski ei saa ylittää P = 10-4, saadaan ln( ) = = = 2.37 murtumaton Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 39

40 ANISOTROPIA JA TEKNOLOGINEN KERROIN (Kirjan luku 9) Kun levyä tai tankoa valssataan, pitenevät aineen rakeet valssaussuunnissa. Myös aineen sisäiset defektit pitenevät tässä suunnassa ja puristuvat pienempään kokoon kohtisuoraan valssaussuuntaa vastaan, eli paksuussuunnassa. Defektit laajenevat näin ollen valssaussuuntien määräämässä tasossa. Aineeseen tulee etsauksessa selvästi esille rakeiden vuosuunta. Taonta vaikuttaa vastaavalla tavalla. Taonta on kuitenkin vähemmän hallittu operaatio, ja vuosuunta voi vaihdella paikasta toiseen. Valssauksessa tai taonnassa käytetty muokkausaste vaikuttaa tietysti paljon syntyvään raevuohon. Yleensä koneenosat pyritään valmistamaan siten, että niissä vaikuttava suurin jännitysamplitudi on rakeiden vuosuunnassa, koska materiaalin väsymislujuus on luonnollisesti suurimmillaan tässä suunnassa. Väsymisraja kohtisuoraan raesuuntaa vastaan voi olla huomattavasti huonompi kuin raesuunnassa. Puhutaan väsymisrajaan liittyvästä anisotropiasta. Väsytys-testeissä käytettävät sauvat on yleensä valmistettu rakeiden vuosuunnassa. Silloin tällöin joudutaan kuitenkin olosuhteiden pakosta valmistamaan kone-elin, jonka materiaalin vuosuunta on kohtisuoraan jännitysvuota vastaan. Kun jännitysvuo on kohtisuoraan rakeiden vuosuuntaan nähden on tärkeää huomioida väsymisrajan aleneminen redusoimalla väsymisraja niin kutsutulla teknologisella kertoimella K T ja/tai anisotropiakertoimella K A. Seuraavassa kuvassa näytetään, miten erään taotun kiertokangen vuosuunnat näkyvät selvästi etsauksen jälkeen. Vuosuunnan merkityksen selville saamiseksi valmistettiin väsytystestisauvoja sekä vuosunnassa että kohtisuoraan vuosuuntaa vastaan tästä kiertokangesta. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 40

41 Aine: EN CrNiMo6+QT R m = 885 MPa R p0.2 = 730 MPa Taotun kiertokangen anisotropian testaus Alue jossa on huono tai epämääräinen vuosuunta Yhdensuuntaiset sauvat Kohtisuorat sauvat Selvä vuosuunta toivotussa silmukan suunnassa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 41

42 Tiimalasinmuotoiset testisauvat 70 M EN CrNiMo6+QT Staattinen lujuus (laatuohje): R m 885 MPa ja R p MPa K t = ja A eff = 53.9 mm 2 kun s r = Suhteessa kuvan 3.3 referenssitestisauvaan on K size = Väsymisrajan paikallinen odotusarvo on Mourierin kaavan mukaan ar1, populaatio MPa ar1. otos MPa Kiillotettu aksiaalisuunnassa a) Tiimalasinmuotoinen b) Loven jännitysjakauma kun nimellinen testisauva. väsymisraja MPa kuormittaa. Valitettavasti vetokokeita ei suoritettu staattisten lujuusarvojen selville saamiseksi. Tiedossa on vain kuvassa esitetyt ainestandardin edellyttämät murtorajan ja myötörajan rajat sekä testauksen jälkeen suoritetun sauvojen kovuusmittaukseen perustuva murtorajan määritys Näiden testitulosten tulkintaa vaikeuttaa myös se seikka, että testisauvat otettiin kahdesta eri toimittajan (RE ja FDL) toimittamasta kiertokangesta Valitettavasti näitä testejä ei pyritty suorittamaan johdonmukaisina porraskokeina, vaan jännitystasot on valittu ilman systematiikkaa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 42

43 Kiertokangelle suoritettujen porraskokeiden tulokset Paikallinen amplitudi [MPa] ar todennäköisesti s d ( sr 4.6 %) Testisauva nr. murtunut murtumaton - raevuo yhdensuuntainen jännityksen kanssa 1 = MPa otosväsymisraja on vain 4.1 % pienempi kuin odotusarvo MPa < = MPa todennäköinen otoskeskihajonta kun käytetään teoreettisia otosarvojen jakaumia, saadaan seuraavat varmuusrajaa 90 % olevat populaation arvot: 1 = = MPa 90 = = 28.2 MPa keskihajonta = 28.2 = suhteellinen keskihajonta Paikallinen amplitudi [MPa] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb ar s 43.6, s.o. sr Testisauva nr. murtunut murtumaton 10.4 % raevuo kohtisuoraan jännitystä vastaan 1 = MPa otosväsymisraja on selvästi pienempi kohtisuorassa suunnassa = 43.6 MPa otoskeskihajonta = 43.6 = suhteellinen otos keskihajonta on hyvin suuri 1 = = MPa = = 62.5 MPa keskihajonta = 62.5 = suhteellinen keskihajonta Anisotropiakerroin K A on saatujen populaatioiden väsymisrajojen suhde, so. = = 0.92

44 Kiertokangen testeistä määritellyt S-N-käyrät Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] N a 450 sn s 350 r 1 s / k e N E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä RE-murtunut FDL-murtunut RE-murtumaton FDL-murtumaton S-N-käyrä Väsymisraja Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] sn sr 1 sn / k e N a E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä RE-murtunut FDL-murtunut RE-murtumaton S-N-käyrä Väsymisraja Nämä kiertokangelle suoritetut testit ovat monessa suhteessa puutteellisia, osittain johtuen huonosti määritellyistä testeistä Raevuo on osittain epämääräinen ja osittain se voi selittää kohtisuorassa suunnassa havaittua suuri keskihajonta Testit näyttävät kuitenkin selvästi että väsymisraja on matelempi silloin kun jännitysvuo on kohtisuoraan raevuota vastaan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 44

45 Teknologiakertoimesta Useimmissa vanhoissa ohjeissa mainitaan teknologiakertoimen merkitys väsymislujuuteen. Esim. Leifaden korostaa tämän kertoimen muun muassa seuraavasti: Tällä käsitteellä ymmärretään kaikki valmistusprosessista ja lämpökäsittelystä johtuvat ja koosta riippuvat muutokset aineen olotilassa ja tämän vaikutus väsymislujuuteen. Teknologinen kokovaikutus on dominoiva suhteessa geometriseen ja tilastolliseen kokovaikutukseen Lisäksi annetaan seuraavia kaavoja tämän kertoimen laskemiseksi, mutta kuitenkin ilman riippuvuutta koosta: Murtorajan R m yksikkönä kaavoissa on MPa. = = = vapaa taonta jatkuvarakenteinen taonta (CGF, continuous grain flow) keskimäärin Allekirjoittanut ei ollut kohdannut omissa testeissään mitään tällaista mahdollisesta teknologiakertoimesta johtuvaa vaikutusta väsymisrajaan silloin kun hän kirjoitti kirjansa. Lisäksi oli vaikeaa keksiä mitään järjellistä syytä tällaiseen ilmiöön. Kuitenkin on kirjan ilmestymisen jälkeen kirjoittaja löytänyt uskottavan selityksen tähän ilmiöön. Kysymys on lähinnä siitä mikä on todennäköisen defektin mediaaniarvo kriittisessä pisteessä. Defektijakaumia ja lyhyen särön murtumismekaniikkaa käyttäen löytyy selitys niinkuin edessäpäin tullaan osoittamaan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 45

46 Isokokoisen kampiakselin teknologia- ja anisotropiakertoimiet Huolellisella taonnalla, niin kutsutulla CGF- (continuous grain flow), eli jatkuva-rakenteisella taonnalla, voidaan vähentää anisotropian vaikutusta kriittisissä kohdissa Kuvassa on esitetty erään suuren kampiakselin yhdestä kammesta otettujen testisauvojen paikat. Kampi oli CGF-taonta, ja tarkoitus oli tutkia väsymisrajaa ja sen vaihteluita eri syvyyksillä Mitä syvemmältä sauvat on otettu, sitä huonompi on muokkausaste ja epämääräisempi vuosuunta On syytä panna merkille tämän takeen suuret mitat. Akselin halkaisijan valmis mitta on 700 mm ja tapin halkaisija 600 mm Aine on nuorrutusterästä ISO 683/1 36CrNiMo6 Q+T. Kaikki testit suoritettiin vaihtokuormalla A B C D Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 46

47 Tiimalasinmuotoiset testisauvat M ISO 683/1-36CrNiMoQ T Staattinen lujuus 20 vetokokeen keskiarvona : Rm MPa ja Rp MPa Kt Aeff mm 2 kun sr Aksiaalisuuntainen keskipoikkeama : R a 0.19 m C. Mourierin mukainen väsymisrajan odotusarvo: ar 1 K t R m 0.309Rp MPa 56 Suoritettiin 4 porraskoetta. Kaksi koetta eri syvyyksistä otetuilla sauvoilla akselin puolella ja vastaavat kokeet tapin lovesta otetuilla sauvoilla. Kaikissa porraskokeissa käytettiin vaihtokuormitusta, so. jännityssuhdetta R = -1. Jokaisesta neljästä eri paikasta A, B, C ja D otetuille sauvoille suoritettiin ensin 5 vetokoetta, eli yhteensä 20 vetokoetta. Staattiset lujuusarvot vaihtelivat hyvin vähän eri paikoissa. Vetokokeiden keskiarvo oli seuraava: R m = MPa murtorajan keskiarvo ja s r = 9.8 %, so. suhteellinen keskihajonta oli huomattavan suuri R p0.2 = MPa ja s r = 6.9 % myötörajan suhteellinen keskihajonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 47

48 Porraskokeiden tulokset akselin puolelta otetuilla sauvoilla Paikallinen amplitudi [MPa] ar s 19.3, s.o. s r 4.9 % Paikallinen amplitudi [MPa] ar s 60.1, s.o. s r 15.4 % Testisauva nr Testisauva nr. murtunut murtumaton murtunut murtumaton lisä-murtumaton a) Kohdasta A otetut sauvat b) Kohdasta B otetut sauvat (30 mm pinnan alla) Molemmissa testeissä on testattu paikallinen väsymisraja hyvin lähellä laskettua oletusarvoa 402 MPa. Mitään teknologia kertoimeen viittaavaa ei kuitenkaan löydy Keskihajonta on kasvanut voimakkaasti kohdasta B otetuilla sauvoilla. Tämä voi johtua siitä että raevuon suunta on tullut epämääräisemmäksi Niinkuin myöhemmin osoitetaan on kuitenkin syytä käyttää koko kampiakselin yli summattua tehollista jännityspinta-alaa ja defektijakaumia hyväksi kun määritellään kampiakselin kriittisen pisteen väsymisraja Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 48

49 Porraskokeiden tulokset tapin puolelta otetuilla sauvoilla Paikallinen amplitudi [MPa] ar s 30.5 sr Testisauva nr. Paikallinen amplitudi [MPa] ar s 39.1, s. o. s r 9.75 % Testisauva nr. murtunut murtumaton murtunut murtumaton a) Kohdasta D otetut sauvat b) Kohdasta C otetut sauvat (30 mm pinnan alla) Testatut väsymisrajat ovat kumpikin Mourierin odotusarvojen mukaisia Syvemmältä otetuilla sauvoilla on isompi keskihajonta Näitä testejä voidaan arvostella siitä että käytettiin niin vähän testisauvoja kyseisissä porraskokeissa. Niinkuin ennen on mainittu olisi syytä käyttää vähintään 25 sauvaa per testi jos halutaan saada luotettava arvo myös keskihajonnalle. Testien trendi on kuitenkin selvä, mitään teknologiakerrointa ei näy mutta kyllä merkkejä anisotropiasta joka heijastuu lähinnä keskihajonnan suuruudessa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 49

50 Jatkuvarakenteisen taonnan periaate Jatkuvarakenteinen taonta Vapaa taonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 50

51 Teknologisen kokokertoimen oikea tulkinta. CASH-projekti Todennäköisyysteorian soveltaminen odotettavissa oleviin defektijakaumiin on avain asian oikealle ymmärtämiselle. Pohjimmiltaan on nytkin kysymys tilastollisesta kokokertoimesta mutta laskettuna defektijakaumasta defetijakaumasta Defektijakaumat ja niiden testaus ja tilastollinen käsittely ääriarvoteorioita käyttäen selitetään vasta näiden luentojen loppupuolella. Kuitenkin sovelletaan siinä olevaa opetusta teknologisen kokokertoimen tulkintaan jo nyt Vuosina suoritettiin Wärtsilässä laajoja tutkimuksia hiiletyskarkaisuteräksen 18CrNiMo7-6 väsymislujuudesta CASH nimisessä tutkimusprojektissa. Tämän tutkimuksen hyvin tärkeät tulokset eivät ehtineet mukaan Rabbin kirjaan. Tämän luentosarjan lopussa esitetään tarkemmin nämä tulokset sen jälkeen kun ensin on käsitelty defektijakaumia ja ääriarvoteorian käyttö. Tämän luentosarjan ensimmäisessä luennossa esitettiin kuitenkin se Haigh diagrammi joka oli saatu tälle aineelle ennen karkaisua kun perusaineen kovuus oli 450 HV. Perusaineen hyvin matala testattu väsymisraja suhteessa C. Mourierin kaavalla laskettuun oletusarvoon oli aluksi mysteerio Kun tilastollinen kokokerroin laskettiin perustuen havaittuun ainevikajakauman mediaaniarvoon käyttäen El Haddad-Smith-Topper-modifioitua Kitagawa-Takahashidiagrammia hyväksi ratkesi tämä mysteerio niinkuin edessäpäin osoitetaan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 51

52 Paikallinen väsymisraja af [MPa] Perusmateriaalin 18CrNiMo7-6 testattu Haigh-diagrammi (C= 90 %) 18CrNiMo7-6 High grade R m = 1437 MPa R p0.2 = 1116 MPa Paikallinen keskijännitys [MPa] Aks. raevuo Rad. raevuo R=0 Smax=Rp0.2 Smin=-Rp0.2 Aks. Testipiste Rad. Testipiste f R K A V t eff 10 eff kun s M mm 1100 mm r Aksiaalisesti kiillotettu, R a 0.4 m C. Mourierin kaavan mukaan väsymisrajan pitäisi olla seuraava: ar 0.144R 0.309R MPa m p, tämä on noin 33 % korkeampi kuin testattu arvo MPa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 52

53 Sauvojen murtopinnoista havaitut särön ydintymiskohdan aineviat Tämän tekstin kirjoitushetkellä fraktografia on vielä kesken. Muutamia murtopintoja on kuitenkin tutkittu ja vertailemalla FATE-DEFEX-projektissa testattuihin ainevikajakaumiin voidaan kuitenkin luottaa alla esitettyihin arvoihin ja laskelmiin. Alla on näytetty kolme murtopintaa CASH-projektin perusmateriaalin testeistä mm Pa mm mm Pa1 Pa1 Pa1 = m Pa1 = m Pa1 = m Pa2 Pa2 = 87.5 m Pa2 = 75.1 m Pa2 Pa2 Pa2 = 59.1 m Pa1 Pa1 Pa1 Havaittujen ainevikojen koko on yllättävän iso Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 53

54 Ainevikajakauman mediaanikoko ja keskihajonta Väsymissärön ydintymiskohdasta havaitut aineviat viidelle poikittaisella raevuolla valmistetulle testisauvalle. Testisauva nr. Ainevian koko 2c 2a [m] Etäisyys pinnasta [m] Pinta-ala A = ac [m 2 ] Pinta-alan neliöjuuri A [m] Vastaavan pyöreän sisäisen ainevian säde = [m] BT BT BT BT BT Normaalijakautuneen sisäisen ainevian keskiarvo = 5 [m] Keskihajonta = 1 ( ) 2 [m] Suhteellinen keskihajonta = Lognormaalijakautuneen sisäisen ainevian keskiarvo = ln 5 Logaritminen keskiarvo = (ln ) 2 4 Mediaaniarvo = [m] Keskiarvo = [m] Laskettujen ainevika-arvojen relevanssin arvioimiseksi ja pitkittäisellä raevuolla valmistettujen sauvojen mediaaniarvon arvioimiseksi tehtiin seuraava vertailu FATE-DEFEXin tuloksiin Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb

55 Kertymä [%] FATE-DEFEX-projektin pitkittäiset taivutussauvat Nuorrutusteräksestä taottu tela jonka staattiset lujuusarvot olivat: Aksiaalisuunta Tangentiaalisuunta R m = 1036 MPa R m = 1022 MPa R p0.2 = 791 MPa R p0.2 = 777 MPa Aksiaalinen 4-piste - taivutustestisauva A eff = 730 mm 2, s r = Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali 7.52 medln=48.6 medfre=44.5 medgum= Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = logaritminen keskihajonta s oikea = m s vasen = m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = 50.7 m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 55

56 FATE-DEFEX-projektin pitkittäiset hiet Defektijakauman ääriarvojakauma tutkittiin mikroskoopin alla käyttäen 18 hiettä Kertymä [%] Aksiaaliset hiet A o = 25 mm Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=19.6 medfre=18.4 medgum= Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = logaritminen keskihajonta s oikea = 8.99 m s vasen = 6.16 m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = 7.46 m keskihajonta s r = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 56

57 FATE-DEFEX-projektin poikittaiset taivutussauvat Kertymä [%] Tangentiaalinen 4-piste - taivutustestisauva A eff = 730 mm 2, s r = Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali 7.52 medln=80.1 medfr=75.2 medgum= Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = logaritminen keskihajonta s oikea = 47.0 m s vasen = 29.6 m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 57

58 FATE-DEFEX-projektin laakeriteräsksen 100Cr väsytyssauvat Kovuusvaatimus oli 62 HRC. Kuitenkin keskimääräinen kovuus niin sanotussa B materiaalissa oli 61 HRC mitattuna 15 sauvasta. Defektijakauma 47 murtuneen testisauvan otoksesta. Pitkittäinen raevuo. Kertymäfunktio [%] Through hardened 100Cr with 62 HRC A eff 250 mm 2 V eff 420 mm 3 K t = 1.04 according to Ainevian koko area [m] Fi = i/(n+1) Gumbel ame,gu=26.66 Frechet ame,fr=24.42 Lognor ame,lo=25.64 Plovi=8.86e-4 alovi,gu=3.7 alovi,lo= Gumbel (ML-sovitus) = m paikka parametri = m skaala parametri a med = m mediaani arvo s = m keskihajonta s r = s/a m = Frechet = m skaala parametri = 1.63 muoto parametri (< 2!) a med = m mediaani arvo s keskihajonta Lognormal ln = logaritminen mediaani s ln = logaritminen keskihajonta a med = m mediaani arvo s r = suhteellinen keskihajonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 58

59 FATE-DEFEX-projektin laakeriteräsksen 100Cr hiet Hieiden maksimidefektijakaumat selvitettiin elektronimikroskoopin avulla käyttäen 35 hiettä. Pitkittäinen raevuo. Kertymäfunktio [%] A eff = 25 mm 2 V eff = mm Ainevian koko area [m] Fi = i/(n+1) Gumbel ame,gu=8.681 Frechet ame,fr=8.01 Lognor me,lo=8.55 Psauva = % asauva,lo = 32.2 Plovi=3.85 % alovi,gu=3.1 alovi,lo=4.3 5 Läpi karkaistu 100Cr, kovuus 62 HRC Gumbel (ML-sovitus) = m paikka parametri = m skaala parametri a med = 8.68 m mediaani arvo s = 4.64 m keskihajonta s r = s/a m = Frechet = 7.22 m skaala parametri = 3.53 muoto parametri a med = 8.01 m mediaani arvo s = 4.71 m keskihajonta s r = s/a m = Lognormal ln = logaritminen mediaani s ln = logaritminen keskihajonta a med = 8.55 m mediaani arvo s r = suhteellinen keskihajonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 59

60 CASH testisauvojen arvioitu ääriarvojakauma Edellä esitettyjen ainevikajakaumien perusteella tuntui kuitenkin luonnolliselta käyttää edellisessä taulukossa testattua jakaumaa hyväksi vaikka se perustui vain 5 havaintoon. Tämä siitä huolimatta että ydintymiset tapahtuivat sekä sisäpisteistä että pinnasta. Sisäpisteessä tarvitaan hiukan isompaa ainevikaa aiheuttamaan särön ydintymistä Tätä kompensoitiin käyttämällä arvioitus sisäisen pyöreän ainevian sädettä suoraan myös pinnassa olevan puolipyöreän ainevian syvyytenä Mukavuussyistä testattu lognormaalijakaumaa muutettiin Gumbel-jakaumaksi jolla oli sama mediaaniarvi ja suhteellinen keskihajonta a) Poikittainen raevuo =, = 63.3m ainevian mediaaniarvo poikittaisessa sauvassa + 2 = 34.6m Saadaan täten seuraava skaala parametri ja paikkaparametri = 6 = 27.0m = 0.5 = ln( ln 0.5) 27 = 53.4m Keskiarvo a m ja suhteellinen keskihajonta s r ovat näin ollen seuraavat: = + = = 69.0m = = = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 60

61 b) Pitkittäinen raevuo CASH pitkittäisten testisauvojen arvioitu ääriarvojakauma Perustuen FATE-DEFEX_projektissa suoritettuihin testeihin oletetaan että testisauvojen ainevian mediaanikoko pitkittäissuunnassa on 55 % poikittaissuunnan arvosta, toisin sanoen = 34.8 m. Lisäksi oletetaan että suhteellinen keskihajonta on sama, eli noin s r = Käyttäen näitä oletuksia saadaan seuraava Gumbel-jakauman mukaiset parametrit kun raevuo on aksiaalinen: = 29.4m = 14.8m = 29.4 ln( ln 0.5) 14.8 = 34.8m = = 37.9m = = 19.0m ja täten = = Ekstrapoloimalla iteratiivisesti niinkuin myöhemmin näytetään lenkkien lukumäärää n = V sauva /V hie 2973 käyttämällä saadaan näytettyjen hieiden vastaavat jakaumat: a) poikittainen raevuo hiessä = 12.5m = 6.3m = = + = = 14.8m = 8.1m = = 16.14m = = b) pitkittäinen raevuo hiessä = 6.6m = 3.3m Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 61 = = + = = 7.81m = 4.23m = = 8.50m = = 0.498

62 Jännitysintensiteettikertoimien kynnysarvot Koska murtumismekaniikan parametreja ei testattu nojaudutaan M. Chapettin artikkelissa Prediction of threshold for very high cycle fatigue (N > 107 cycles. Procedia Engineering 2 (2010) esittämiin keskimääräisiin arvoihin. u K R m th, R1 3.26H V H [MPam 1/2 3/ H [N/mm ] V V ] Ehjät viivat näyttävät kynnysarvon kehityssuunta murtorajan funktiona. Tämä suuntaus silloin kun jännityssuhde R = -1 saadaan seuraavalla kaavalla: K thr R m Jossa R m :n yksikkö on MPa ja K th :n yksikkö on MPam 1/2. Niinkuin nähdään löytyy vain muutamia harvoja testipisteitä korkeille murtolujuuksille R m silloin kun R = -1 johtuen niistä vaikeuksista jotka liittyvät kynnysarvon K th testaukseen erikoislujille materiaaleille. Kuvan suuntaus silloin kun R = -1 on saatu ekstrapoloimalla korkeimmille lujuuksille suhteella K thr=-1 /K thr= joka on havaittu pehmeimmille aineille. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 62

63 CASH-projektin testipisteet El Haddad et al. modifioidussa K-T-diagrammissa Väsymisraja ar=-1 [MPa] ar1 K size 2C K th a a o Puolipyöreän pintasärön syvyys [m] a K size Huom! ar=-1 = on yhtä kun Mourierin oletusarvo 630 MPa Vaakasuora asymptootti valitaan niin että käyrä leikkaa testattuja pisteitä. Kirjassa on hiukan väärin selitetty El Haddad et al. LEFM SaR=-1,asymp=716.8 ao = 30 Pitk,hie(amed=7.8) Poik,hie(amed=14.8) Pitk,sauva(amed=34.8) Poik,sauva(amed=63.3) Saf,sauva,pitk=487.7 Saf,sauva,poik=406.5 Saf,hie,pitk=638.5 Saf,hie,poik=586.6 Saf,pitk,Testi=493.2 Saf,poik,Testi=406.6 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 63 Selitys matalaan testattuun väsymisrajaan on että mediaanidefekti on niin lähellä lineaarisen kimmoisen murtumismekaniikan aluetta Sileillä sauvoilla testatut väsymisrajat sopivat erinomaisen hyvin K-T-diagrammin arvoihin, ainoastaan noin 1 % ero pitkittäisillä sauvoilla, ja täydellinen yhteensopivuus poikittaisilla

64 Tilastollinen kokokerroin K size Väsymisrajan suhteellinen keskihajonta kokokertoimet K-T-diagrammin mukaan Edellisen sivun K-T-diagrammia voidaan muuttaa tilastolliseksi kokokertoimeksi referenssin arvoon nähden Jos lisäksi olettaa että defektijakauman suhteellinen keskihajonta pysyy ekstrapoloinnissa vakiona (50 % tässä kuvassa) niin väsymisrajan suhteellinen keskihajonta muuttuu kuvan mukaan. Toiset testit tukevat tällaisen olettamuksen mutta ei aivan johdonmukaisesti K K size size ar1( a) ( a 14.8) ar ar ar1 1( a) ( a 7.8) Puolipyöreän pintasärön syvyys [m] Relative standard deviation on the fatigue limit [%] Ksize,pitk Ksize,poik amed,pitk,ref=7.8 amed,poik,ref=14.8 amed,pitk,lovi=3.29 amed,poik,lovi=6.24 Ksize=1.29 Ksize=1.371 sr,defekti=50 [%] sr,defekti=36 [%] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 64 s r d da af s r, def af a 5 Longitudinal grain flow = 6.6 m Referenssi pinta-ala 5 A ref = 25 mm 2 Transversal grain flow = 12.5 m = 3.3 m = 6.3 m a med = 7.8 m a med = 14.8 m

65 FATE-DEFEX-projektin suuri taottu paperitela Anisotropian ja koon vaikutuksen valaisemiseksi esitetään vielä telaan liittyvät väsytystestit. Johtuen kuormitustapauksesta, pyörivä taivutus, ydintyivät väsymissäröt melkein aina pinnasta 12 K t 1.05 A eff 718 mm 2 kun s r = Nuorrutusteräksestä taottu tela Aksiaalisuunta Tangentiaalisuunta R m = 1036 MPa R m = 1022 MPa R p0.2 = 791 MPa R p0.2 = 777 MPa 226 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb Akasiaalisuuntaisilla sauvoilla on C. Mourierin mukainen oletusväsymisraja referenssisauvalle jonka A eff = 225 mm 2 näin ollen: ar R 0.309R MPa m p0. 2

66 Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] s Telan testatut väsymisrajat N a ar 1, nim s / k sr 1 e N E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä murtunut murtumaton murtunut? S-N Saf=463.4 SN-sN Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] s / k sr 1 e N E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb s N a ar 1, nim murtunut murtumaton S-N Saf=382.3 SN-sN Saf-s=361.2 Testatut arvot ovat melko epävarmoja johtuen testaustavasta. Aksiaalisuunnassa on kuitenkin paikallinen väsymisraja seuraava: ar K a) Aksiaalisauvat b) Tangentiaalisauvat t ar1, nom MPa Testattu arvo olisi näin ollen jopa hiukan isompi kuin Mourierin mukainen oletusarvo huolimatta siitä että käytetyn sauvan tehollinen jännityspinta-ala on isompi. Tämä vahvistaa että saatuun arvoon MPa pitää suhtautua varovaisesti. Sivulla 54 näytettiin aksiaalisauvojen testattu defektijakauma. Lognormaalijakaumaa käyttäen saatiin että a med = 48.6 m sekä tämän jakauman keskihajonta noin s ln =

67 1000 Paikallinen väsymisraja ar=-1 [MPa] 100 ar1 Telan aksiaalisauvojen K-T-diagrammi 2C K a a Puolipyöreän pintasärön syvyys [m] th o ar s 1 LEFM El Haddad amed,testi=48.6 Saf,testi=486.6 Saf,ao=725.3 ao=39.8 a-s(ln)=27.6 a+s=72.9 a(aref225)=29.8 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb a saf-s(ln)=430.6 Testattu saf+s(ln)=549.8 vastaten Kritiikki: miten kuvata hajontaa oikein? Sehän vastaa vain hitausmassan sädettä. Kun tiheysfunktio on vino olisi kenties osuvampaa muuttaa symmetrisesti sekä väsymisraja että defekti yhtä monta prosenttia Testattu s ln Sekä testatut väsymisrajan ja defektien mediaanit että näiden keskihajonnat sopivat hyvin laadittuun El Haddad et al. Modifioituun K-T-diagrammiin s r s ln

68 Väsymisrajan tilastollinen kokokerroin Telan aksiaalisuuntaisten sauvojen kokokerroin ja suhteellinen keskihajonta K size ar1 a Puolipyöreän pintasärön syvyys [m] Suhteessa normaaliin referenssisauvaan jolla on 2 Aeff 225 mm on diagrammien antama koko - kerroin suhteessa defekteihin Ksize ja suhteessa väsymisrajaan K size Väsymisrajan suhteellinen keskihajonta d 1 s ( a) a s ar r r da ar1( a) a a 1000 ar amed=48.6 a(aref225)=29.8 Ksize=Saf/486.6 Ksize=1 Ksize=1.127 Valittu defektien suhteellinen keskihajonta 0.5 voi olla hiukan liian iso koska testattu väsymisrajan keskihajonta on jonkin verran pienempi kuin K-T-diagrammin arvo Defektien keskihajonta s r 0.4 olisi kenties parempi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 68 sr sr=13.8 % sr=10.7 % Heikoimman lenkin teorian mukaan : n A / A 730/ P vasta kun s 0.138, i.e. s on K size eff n e ref r ln ( a)

69 Yhteenveto koko- ja teknologiakertoimiin liittyvistä tuloksista Väsymisanalyysissä on aina huomioitava tilastollinen kokokerroin. Yleensä jos dimensiot ovat pieniä ja staattinen lujuus kohtuullinen voidaan kokokerroin laskea niinkuin on aikaisemmin esitetty perustuen väsymisrajan keskihajontaan Kun kappaleen tehollinen jännityspinta-ala tai volyymi on iso ja lisäksi staattinen lujuus hyvin suuri ajaudutaan helposti tilanteeseen että ekstrapoloidun ainevian koon mediaaniarvo lähestyy lineaarisen kimmoisen murtumismekaniikan aluetta ja kokokerroin kasvaa enemmän kuin yllä oleva menettely osoittaa On näin ollen syytä aina täydentää väsymisanalyysin myös arvioimalla väsymisraja defektijakauman ja K-T-diagrammin avulla. Jos tämä edellyttää suuremman kokokertoimen ja suhteellisen kokokertoimen niin tätä on käytettävä Vanhat käsite teknologínen kokokerroin saa suurimmalta osalta selityksensä ja loogisen pohjan tällä tavalla. Pohjimmiltaan on kysymys defektijakauman määräämästä kokokertoimesta Olisi tärkeää testata sekä defektijakaumat että väsymisraja sekä niiden hajonnat erikokoisilla sauvoilla jotta saataisiin luotettavampaa tietoa siitä mitä ovat todelliset keskihajonnat ja säilyykö ekstrapoloinnissa suhteellinen arvo Huomioi että edellisen sivun kuvan mukaan olisi referenssialueen kokoisen hiiletyskarkaistun kappaleen väsymisanalyysissä käytettävä seuraava varmuuskerrointa redusoitaessa vaurioitumisriskiin P = 10-4 (kun raevuo on pitkittäinen) S F e s ln e Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 69

70 KÄYTTÖIKÄKERROIN (Luku 10 kirjassa), Viimeaikaisessa väsymistutkimuksessa on törmätty aikaisemmin tuntemattomaan ilmiöön, että teräksen väsymisraja voi tietyissä olosuhteissa aleta sykliluvun mukaan, vaikka vaikuttava jännitysamplitudi on normaalin väsymisrajan alapuolella. Tämä ilmiö esiintyy hyvin suurilla sykliluvuilla, eli kun syklejä on satoja miljoonia tai enemmän. Puhutaan niin sanotusta gigasykliväsymisestä tai hyvin korkean sykliluvun alueesta. Näissä tapauksissa ydintyminen teräksille ja valuraudoille tapahtuu aina pinnan alla. Tämä tarkoittaa sitä, että jos kone-elimellä on kohtuullisen jyrkkä lovi, niin kriittinen piste on aina pinnassa, eikä tätä ilmiötä tarvitse huomioida mitoituksessa. Murakami et al. ovat tutkineet tämän ilmiön ja havainneet, että sen syy on sisäinen defekti, jonka ympärille aineessa oleva vety kerääntyy aiheuttaen hyvin suuren sisäisen paineen Tyypillisesti särön ydintymiskohta voidaan havaita niin kutsuttuna kalansilmänä, niinkuin näytetään seuraavassa. Alumiini- ja kupariseoksien väsymisrajojen on aina tiedetty laskevan sykliluvun mukana myös gigasykli-alueella. Niissä ydintymismekanismi voi olla toisenlainen kuin teräksien, ja gigasykliväsyminen voi näin ollen tapahtua yhtä helposti myös pinnasta. Gigasykliväsymisen käyttöikäkertoimen K N arvoksi suositellaan seuraavaa: Teräkset ja valuraudat Väsymisraja laskee sisäisesti 5 % per dekaadi syklejä miljoonan ja kymmenen miljardin syklin välillä. Sen jälkeen se on vakio, so. K N = 0.8 = 1 (log 10 6) 0.05, Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 70

71 Giga-sykli-väsymisen näyttävä kuva Murakamin kirjasta Jännitysamplitudi [MPa] : murtunut : murtumaton On tärkeää huomata, että jos teräksille ja valuraudoille pinnan kriittisen pisteen jännitys on noin 20 % suurempi kuin sisäpisteiden, niin ydintyminen tapahtuu joka tapauksessa pinnasta. Pinnan kriittisessä pisteessä ei huomioida käyttöikäkerrointa, vaan sen arvo on siellä aina K N = 1. Jos ydintyminen tapahtuu sisäpisteestä, niin pinnan laadun kerrointa ei tarvitse mitoituksessa huomioida vaan K R = 1 sisäpisteessä. Syklien lukumäärä : testisauvat QT : nuorrutettu : testisauvat VA1 : 1 h:n tyhjiöhehkutus 300 o C QT:n jälkeen : testisauvat VA2 : 2 h:n tyhjiöhehkutus 300 o C QT:n jälkeen : testisauvat VQ : tyhjiölämpökäsittely ja nuorrutus Tähti * tarkoittaa niitä testisauvoja jotka olivat murtumattomia ja murtuivat vasta jännitystason noston jälkeen Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 71

72 Ydintymiskohdan kalasilmä a) Kalasilmä. b) Ydintyminen sulkeumasta jonka ympärille vety kasaantuu. ODA:n kriittinen koko, areac Väsymissärön kasvua ilman vedyn myötävaikutusta Sulkeuma area ( A o ) ODA, optisesti tumma alue (Optically Dark Area) Vedyn edesauttamaa särön kasvua Alumiini- ja kupariseokset Alumiini- ja kupariseosten väsymisraja alenee sekä pinnassa että sisäisesti noin 10 % per dekaadi syklejä miljoonan ja kymmenen miljardin syklin välillä. = 1 (log 10 6) 0.1, Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R.Rabb 72

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa II: Muuttuva-amplitudinen jännitys Kirjan luvut 16...21 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi,

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb CASH-projekti (2010-2013): Hiiletyskarkaistujen koneenosien väsyminen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Rakenteiden Mekaniikka Vol. 45, Nro 3, 2012, s. 162-187 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Roger Rabb Tiivistelmä. Teollisuutemme kilpailukyvyn ylläpitäminen ja kehittäminen edellyttää jatkuvaa

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa IV: Defektijakaumiin Perustuva Mitoitus Kirjan luvut 26...30 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET 18.12.2008 ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA 1 Johdanto Muovauksen vaikutuksesta metallien lujuus usein kasvaa ja venymä pienenee.

Lisätiedot

Väsymissärön ydintyminen

Väsymissärön ydintyminen Väsymissärön ydintyminen 20.11.2015 1 Vaurio alkaa särön muodostumisella Extruusio Intruusio Deformoitumaton matriisi S-N käyrät Testattu sauvan katkeamiseen Kuvaavat aikaa "engineering särön muodostumiseen"

Lisätiedot

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 31.3.2016 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Murtumismekanismit: Väsyminen

Murtumismekanismit: Väsyminen KJR-C2004 Materiaalitekniikka Murtumismekanismit: Väsyminen 11.2.2016 Väsyminen Väsyminen on dynaamisen eli ajan suhteen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Väsymisvaurio ilmenee särön, joka johtaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 17.12.2015 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Pienahitsien materiaalikerroin w

Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien komponenttimenettely (SFS EN 1993-1-8) Seuraavat ehdot pitää toteutua: 3( ) ll fu w M ja 0,9 f u M f u = heikomman liitettävän osan vetomurtolujuus Esimerkki

Lisätiedot

VÄSYMISMITOITUS Pasila. Antti Silvennoinen, WSP Finland

VÄSYMISMITOITUS Pasila. Antti Silvennoinen, WSP Finland TIESILTOJEN VÄSYMISMITOITUS Siltaeurokoodikoulutus- Teräs-, liitto- ja puusillat 29.-30.3.2010 Pasila Antti Silvennoinen, WSP Finland TIESILTOJEN VÄSYMISMITOITUS Väsymisilmiö Materiaaliosavarmuuskertoimet

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella.

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. Aineen koestus Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. 1 Väsyminen Väsytyskokeella on

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien TUTKIMUSSELOSTUS Nro RTE3261/4 8..4 Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien mittausarvojen määritys Tilaaja: Salon Tukituote Oy VTT RAKENNUS- JA YHDYSKUNTATEKNIIKKA TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE3261/4

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Mittaustulosten tilastollinen käsittely Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N HIS-(R)N Hilti HIT-RE 500 + Injektointijärjestelmä Hyödyt Hilti HIT-RE 500 330 ml pakkaus (saatavana myös 500 ml 500 ml ja 1400 ml pakkaus) Sekoituskärki BSt 500 S - soveltuu halkeilemattomaan betoniin

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Valujen raaka-ainestandardit - Valurauta

Valujen raaka-ainestandardit - Valurauta Valujen raaka-ainestandardit - Valurauta Valunhankinta-koulutus 15.-16.3.2007 Marko Riihinen Metso Foundries Jyväskylä Oy Valurauta / rautavalun valumateriaali - rakkaalla lapsella on monta nimeä Suomugrafiittivalurauta

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia

Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia Master käyrä Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia Charpy kokeissa suuri hajonta K Ic kokeet kalliita ja vaativat isoja näytteitä Lämpötilariippuvuuden huomioiminen? (pitääkö testata kaikissa lämpötiloissa)

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston Fysikaalisten tieteiden laitos FORS-iltapäiväseminaari 2.6.2005 Esityksen sisältö Peruskäsitteitä: luonnollinen kasvihuoneilmiö kasvihuoneilmiön

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Vaasan ammattikorkeakoulu, University of Applied Sciences Publications OTHER PUBLICATIONS C10

Vaasan ammattikorkeakoulu, University of Applied Sciences Publications OTHER PUBLICATIONS C10 Vaasan ammattikorkeakoulu, University of Applied Sciences Publications OTHER PUBLICATIONS C10 VÄSYMISLUJUUDEN MITOITUSMENETELMÄT - nykytila ja tulevaisuuden näkymät Matti Makkonen Vaasa 2011 TIIVISTELMÄ

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot