Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi"

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa IV: Defektijakaumiin Perustuva Mitoitus Kirjan luvut Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 1

2 JOHDANTO (Kirjan luku 26) Huolimatta siitä, miten tarkka materiaalin valmistusprosessi onkaan, syntyy siihen kuitenkin aina ainevikoja eli defektejä. Nämä aineviat ovat tyypillisesti epämetallisia sulkeumia, mutta varsinkin valuraudoille ja valuteräksille voidaan saada myös huokosia. Väsytystestauksessa huomataan useimmiten, että väsymiseen johtanut särö on ydintynyt tällaisen ainevian kohdalla. Voidaan olettaa, että ainevika muodostaa itsessään jonkinlaisen alkusärön. On helppo ymmärtää, että saavutettaisiin tiettyjä etuja, jos väsymisanalyysissä voitaisiin käyttää hyväksi mahdollisia tietoja materiaalin defektijakaumista. Edellytyksenä on tietysti, että jollakin tavalla osataan laskea tiettyä defektiä vastaava väsymisraja. Nykyaikainen murtumismekaniikka keskittyy nykyään tiivisti niin sanottuun lyhyen särön problematiikkaan. Viimeaikainen kehitys antaa toivoa siitä, että on mahdollista arvioida väsymisraja, kun tunnetaan ainevian koko, sijainti ja muoto. Lisäksi ovat ainetta rikkomattomat tutkimustyökalut kehittyneet niin paljon, että on mahdollista luoda tilastollisesti luotettavaa tietoa eri materiaalien defektijakaumista joko tutkimalla kiillotettuja hieitä tai väsytyspintojen murtopintoja. Tietoa materiaalien defektijakaumista voidaan myös hyödyntää, kun laaditaan erilaisia laatuohjeita. Lisäksi tästä on tulossa arvokas lisäys haaveritutkimukselle. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 2

3 JOHDANTO jatkuu Kun arvioidaan ja käytetään hyväksi defektijakaumia, joudutaan sen tosiasian eteen, että vaikka defektejä on kappaleessa runsaasti, niin väsymissärö ydintyy suurimman defektin kohdalta. On tehtävä ero ainevikojen perusjakauman ja näiden vikojen niin sanotun maksimiarvojakauman välillä. Tämä ääriarvojakauma voidaan muodostaa, kun esimerkiksi lukuisista samankokoisista hieistä valitaan vain suurin. ainevika. Koska väsytystestauksessa särö ydintyy luonnollisesti, maksimidefektin kohdalla saadaan murtopintoja tutkimalla suoraan kyseinen ääriarvojakauma. Asia mutkistuu, jos vielä yritetään huomioida, että erilaiset epämetalliset sulkeumat usein seuraavat omia jakaumafunktioita. Sulkeuma voi myös osittain tukea ainetta, joten oletus, että sulkeuma muodostaa alkusärön, voi olla ylikonservatiivinen. Kun tutkitaan jonkin satunnaismuuttujan ääriarvojakaumaa, käytetään useimmiten tähän tarkoitukseen teoreettisesti soveltuvia jakaumia. Eräs tällainen hyvin tunnettu ääriarvojakauma on Gumbelin jakauma, jota perinteisesti on paljon käytetty arvioimaan tietyn ajanjakson sisällä tapahtuvan suurin odotettavissa oleva myrsky tai tulva. Japanilainen tutkija Y. Murakami on ollut eräs edelläkävijä ainevikajakaumien tutkimuksessa ja hyödyntämisessä. Y. Murakami ryhtyi myös käyttämään Gumbelin jakaumaa kuvaamaan materiaalien defektit. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 3

4 JOHDANTO jatkuu/projekti FATE-DEFEX Ääriarvojakaumia on olemassa useita. Niin kuin myöhemmin osoitetaan, voidaan usein päästä melkein yhtä hyvään tulokseen käyttämällä väsymisrajan kuvaamiseen käytettyä lognormaali-jakaumaa. Tämä ei ole sinänsä mitenkään hämmästyttävää ottaen huomioon, että maksimidefekti määrää väsymisrajan. Meteorologiassa käytetään useimmiten ekstrapoloinnissa defektianalyysille vieraalta tuntuvaa muuttujaa toistuvuusjaksoa (return period). Toistuvuusjaksoa vastaava ääriarvo ylitetään keskimäärin kerran tämän jakson aikana. Kun on kysymys väsymisestä, on tarkoituksenmukaisempaa käyttää mediaaniarvoja ja heikoimman lenkin teoriaa myös defektien ekstrapoloinnissa, niin kuin myöhemmin osoitetaan. Näiden kysymysten tutkimiseksi käynnistettiin vuonna 2008 laajan 3-vuotisen strategisen tutkimusprojektin FATE-DEFEX. Siihen osallistui tutkijoita kahdesta teknillisestä yliopistosta, Tampereeen teknillisestä yliopistosta ja Aalto-yliopistosta sekä myös tutkijoita VTT:ltä. Lisäksi oli mukana 3 osallistujaa teollisuudesta. Projektibudjetti oli noin 1.1 miljoona euroa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 4

5 FATE-DEFEX-projekti Vuosina käyty laaja 3-vuotinen tutkimusprojekti: Clean steels and fatigue survival with material imperfections (FATE-DEFEX) Projektin johtoryhmä: TkT Roger Rabb; Wärtsilä; puheenjohtaja TkT Pekko Juvonen; Ovako Bar DI Hannu Vuorikari; Metso Paper Prof. Hannu Hänninen; TKK Prof. Lauri Holappa; Tkk Prof. Keijo Ruhonen; TTY Prof. Gary Marquis; LTY (TKK 2008) Akatemianprof. Kim Wallin; Suomen Akatemia DI Eila Lehmus; VTT Process metallurgy; Mechanics of materials; Optimisation of steel Component performance (HUT/MRG) (HUT/LUJ, VTT) Applied mathematics; Probabilistic approach (TUT, VTT, all) Fracture mechanics; Physical metallurgy; Cracking control Material performance (VTT, HUT/KMTL) (HUT/KMTL, VTT) Tutkijat: DI Jussi Solin - kokeellinen väsymistutkimus FT dos. Lasse Makkonen ääriarvoteoria, luotettavuusanalyysi Prof. Keijo Ruohonen - tilastomatematiikka Prof. Lauri Holappa prosessimetallurgia, terästen kehittäminen Prof. Hannu Hänninen - materiaalitekniikka Prof. Gary Marquis lujuusoppi, väsymistutkimus Prof. Kim Wallin murtumismekaniikka Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 5

6 ÄÄRIARVOJAKAUMAT (Kirjan luku 27) Ääriarvoteorian perusteet on hyvin selitetty esimerkiksi Stuart Colesin kirjassa. Tässä on pääpaino mahdollisimman yksinkertaisten ja käytännöllisten ohjeiden luomisessa. Siksi keskitytään erityisesti vain kahteen varsinaiseen ääriarvojakaumaan, nimittäin Gumbelin jakaumaan ja Frechetin jakaumaan. Kuitenkin esitetään myös yleistettyä ääriarvoteoriaa (GEV). Lisäksi verrataan näiden jakaumien ennusteet lognormaalijakauman ennusteeseen. Frechetin jakauma on mielenkiintoinen siksi, että ekstrapoloinnissa säilyy suhteellinen keskihajonta (variaatiokerroin) vakiona. Tämä on sopusoinnussa sen kanssa, että väsytystestauksien tulokset viittaavat lähinnä siihen, että väsymisrajan suhteellinen keskihajonta ei muutu koesauvan koon mukaan. Gumbelin keskihajonnan absoluuttinen arvo pysyy ekstrapoloinnissa muuttumattomana. Eri jakaumien valaisemiseksi käytetään aluksi pallografiittivalurautasauvoilla tehtyä porraskoetta ja näiden sauvojen murtopinnoista havaittuja ydintymiskohdan defektejä. Seuraavassa taulukossa on havaitut aineviat lueteltu suuruusjärjestyksessä. Valitettavasti testiä suoritettaessa ei ymmärretty, että murtumattomien sauvojen maksimidefektit olisi myös pitänyt selvittää väsyttämällä ne korotetulla amplitudilla murtumaan asti. Taulukon arvot ovat tämän johdosta harhaisia, eli keskiarvo on liian suuri ja keskihajonta ehkä liian pieni. Järjestetystä vioista muodostetaan empiirinen kertymäfunktio seuraavalla tavalla: Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 6

7 Empiirinen kertymä Järjestetystä vioista muodostetaan empiirinen kertymäfunktio seuraavalla tavalla: = +1 = missä, 1 2 empiirinen kertymäfunktio. On empiirinen todennäköisyys, että ainevika on pienempi tai yhtä suuri kuin havaittu vika numero i, eli ( ) a elliptisen särön lyhyempi puoliakseli c elliptisen särön pitempi puoliakseli n havaittujen vikojen lukumäärä A ellipsin muotoisen särön pinta-ala Eräs huomioitava asia seuraavan taulukon arvoissa on, että aikaisemmin annettu variaatiokertoimen ja logaritmisen keskihajonnan yhteyden kuvaava likimääräinen kaava ei enää toimi, kun keskihajonnat ovat näin isoja. Tämä kaava liioittelisi nyt voimakkaasti logaritmisen keskihajonnan suuruutta. Sitä käyttäen saataisiin ln( )= 0.518, joka on noin 36 % suurempi kuin logaritmisia arvoja käyttäen laskettu. Sen sijaan, käyttämällä tarkkaa kaavaa = ln( ln ) ihan niinkuin normaalijakaumalla saatu keskiarvo ja keskihajonta myös pätisi lognormaalijakaumalle saadaan hyvin tarkka arvo, eli = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 7

8 Murtuneiden GJS sauvojen ydintymiskohdasta löydetyt järjestetyt aineviat Katso sivulla 418 kirjassa Sauva nro i Empiirinen kertymä = + 1 Vikakoko 2 2 [m] Etäisyys pinnasta [m] Pintaala = [m 2 ] Pintavian syvyys a i 1.4 [m] Ainevian tyyppi lähekkäistä kutistusonkaloa kutistusonkalo grafiittisaostuma lähekkäistä kutistusonkaloa grafiittipalloryhmä kutistusonkalo grafiittisaostuma kutistusonkalo grafiittipalloryhmä kutistusonkalo kutistusonkalo kutistusonkaloryhmä grafiittipalloryhmä kutistusonkalo kutistusonkalo kutistusonkalo grafiittipalloryhmä kutistusonkalo kutistusonkalo kutistusonkalo iso grafiittisaostuma kutistusonkalo lähellä pintaa kutistusonkalo kutistusonkaloryhmä kutistusonkalo kutistusonkalo kutistusonkalo kutistusonkalo iso kutistusonkalo kutistusonkalo lähellä pintaa Normaalijakaumaa käyttäen ( = 30): Momenttimenetelmä: = = m, keskiarvo = 1 ( 1 ) 2 = m Lognormaalijakaumaa käyttäen: = ln = 5.606, s.o. = m, keskiarvo = m, mediaaniarvo = = , suht. keskihajonta = 1 (ln 1 ) 2 = log. keskihajonta Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 8

9 Sisäinen ainevika ja pinnassa oleva ainevika Niin kuin taulukossa nähdään, on mitattu ainevian pituus 2c, leveys 2a ja etäisyys pinnasta. Tämän jälkeen on karkeasti laskettu ainevian pinta-ala olettaen, että kyseessä on idealisoitu elliptinen muoto, kts. seuraava kuva. Tässä testissä tapahtuvati useimmat ydintymiset pinnassa tai sen läheisyydessä. Tieto on näin ollen hävitty siitä, miten suuri osuus alkuperäisestä pinta-alasta on mahdollisesti leikattu pois sauvan koneistuksen yhteydessä. Perusoletus on kuitenkin sama kuin Trondheimin teknillisen korkeakoulun A. Wormsen et al. esittää. Pintasäröjen kohdalta tämä merkitse, että ainevika aluksi sivuaa pintaa ja kasvaa tasaisessa jännityskentässä nopeasti kuvan mukaiseen puoliympyrän muotoon, jossa on sama pinta-ala kuin alkuperäisessä viassa. Silloin, kun on kysymys sisäviasta tasaisessa jännityskentässä oletetaan yleensä, että se on ympyrämuotoinen ja että säde on a. Jos jännityskenttä on voimakkaasti muuttuva niin kuin terävässä lovessa, voidaan tarvittaessa murtumismekaniikan avulla laskea, millä akselisuhteella a/c jännitysintensiteettikerroin on sama kummankin akselin suunnassa. Silloin, kun jännityskenttä on tasainen, antaa M. Janssen seuraavan kaavan jännitysintensiteettikertoimen laskemiseksi silloin, kun pintasärö on pieni suhteessa kappaleeseen: = sin cos Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 9

10 Pintavian idealisoitu muoto Särön kasvu terävien reuna-alueiden läpi tapahtuu nopeasti. Tämä vaihe kompensoidaan sillä että pintasärön syvyyden oletetaan olevan 1.414a eikä 2a. 2.8a 1.4a a 2c 2c = 2a A 2 sisä ac a, ( a c) 2 (1.414a) A 2 pinta a 2 Silloin, kun a = c, ja jännityskenttä tasainen, on jännitysintensiteettikertoimen arvo sama särön pohjassa ( = 90 o ) kuin särön sivuissa ( = 0). Huolimatta siitä, minkä muotoinen vika on alkuaan ollut, kasvaessa se muuttuu ympyränmuotoiseksi. Kokemus on osoittanut, että väsymissärö ydintyy kappaleen pinnasta helpommin kuin aineen sisältä. Tämä tosiasia voidaan osoittaa laskemalla sisävian ja pintavian jännitysintensiteettikertoimet El Haddad et al. modifioidulla kaavalla. Aluksi oletetaan siis, että sisäinen särö on ympyrämäinen ja säde a. Vastaavalla pintasäröllä on, niin kuin yllä oleva kuva osoittaa, puoliympyrän säde noin 1.4a. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 10

11 Samankokoisten pintavikojen ja sisävikojen jännitysintensiteettikertoimien suhde Sisäpisteelle antaa M. Janssen et al. seuraavan jännitysintensiteettikertoimen kaava:,ä = 0.637( + ) Pintavian vastaava jännitysintensiteettikerroin on, = 0.713(1.4 + ) Kun säröt ydintyvät, ovat jännitysintensiteettikertoimien kynnysarvot yhtä suuria molemmissa tapauksissa. Oletetaan vielä, että niin kutsuttu sisäinen särön pituus a o (intrinsic crack length) on noin 50 % suurempi kuin ulkoisen särön pituus väsymisrajalla. Tämä merkitsee, että saadaan seuraava sisäpisteen ja pintapisteen väsymisrajojen suhde:,ä = 0.713, = Laskettu arvo tuntuu testitulosten ja heikoimman lenkin teorian valossa hyvin uskottavalta. Voidaan nimittäin laskea, miten paljon isompi tehollinen jännitysvolyymi verrattuna pintaaluetta vastaavaan jännitysvolyymiin tarvitaan, jotta ydintyminen tapahtuisi sisäpisteessä. Kun yllä olevan mukaan laskettu tilastollinen kokokerroin on = 1.206, saadaan esimerkiksi teräkselle, jonka logaritminen keskihajonta on noin = , että lenkkien lukumäärän on oltava seuraava: ln ln = = = 260 ln Jotta ydintyminen tapahtuisi sisäisesti, on testisauvan tehollisen jännitysvolyymin oltava 260 kertaa suurempi kuin tehollista jännityspinta-alaa vastaava volyymi. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 11

12 Suoritetut porraskokeet vahvistavat tämän eron pinta- ja sisäisen ydintymisen välillä Jotta ydintyminen tapahtuisi sisäisesti, on testisauvan tehollisen jännitysvolyymin oltava 260 kertaa suurempi kuin tehollista jännityspinta-alaa vastaava volyymi. Suoritetut väsytystestit erikokoisilla testisauvoilla tukevat aika hyvin näitä laskelmia. Seuraavassa kuvassa näytetään kaksi erikokoista testisauvaa, joista pienemmän sauvan väsymissärö ydintyi pinnasta ja suuremman sauvan väsymissärö ydintyi sisäisesti. Kun lasketaan pienimmän sauvan tehollista jännityspinta-alaa vastaava jännitysvolyymi, käytetään Y. Murakamin suositusta kertoa tehollinen jännityspinta-ala keskimääräisellä defektin syvyydellä, joka tässä tapauksessa oli noin 25 m. Pienempi sauva = = 5.6 mm 3 Suurempi sauva Redusoidaan yksinkertaisuuden vuoksi sauvan suoran osan vastaavaa volyymiä samassa suhteessa kuin pienen sauvan tehollinen jännityspinta-ala suhtautuu sen suoran osuuden nettopinta-alaan: = = = 2680 mm Näin ollen on lenkkien lukumäärä seuraava = = 479 Lenkkien lukumäärä tässä tapauksessa on aika lähellä sitä, mitä teorian mukaan tarvitaan, jotta ydintyminen siirtyisi pinnasta sisäiseksi ydintymiseksi. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 12

13 Kaksi testisauvaa joista toiselle ydintyminen tapahtui pinnasta ja toiselle sisäpisteestä Teräs: a) ydintyminen pinnasta b) ydintyminen sisäpisteestä 10 M Kt A 2 eff 225 mm kun sr Tehollinen jännitys - volyymi Murakamin mukaan : Vref Aref am mm 3 M Kt A 2 eff 894 mm kun sr Tehollinen jännitysvolyymi : Vref mm 3 30 Defektijakaumia ja murtumismekaniikkaa käyttäminen selittää miksi särön ydintyminen siirtyy pinnasta sisäpisteeseen kun tietty sauvan koko on ylitetty. Testisauva valittaessa tämä on hyvää muistaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 13

14 Gumbelin jakauma Hyvin usein käytetään Gumbelin jakaumaa erilaisten satunnaismuuttujien ääriarvojen mallintamiseksi. Esimerkiksi Y. Murakami käyttää tätä jakaumaa myös ainevikojen maksimiarvojen kuvaamiseksi. Kuitenkin Murakami käyttää yksinkertaisesti karakteristina vikakokona vian pinta-alan neliöjuurta, eli -muuttujaa. Gumbelin jakauman tiheys- ja kertymäfunktio ovat seuraavat: () = 1 () = = (vikakoko ) missä () tiheysfunktio () kertymäfunktio todennäköisyys vikakoko paikkaparametri, () =1 = skaalaparametri luonnollisen logaritmin kantaluku ( = ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 14

15 Gumbelin jakauma jatkuu Saadaan seuraava odotusarvo, keskihajonta ja variaatiokerroin: = + missä on seuraava vakio 1, odotusarvo (keskiarvo) ln ln 1 = =, 6 = keskihajonta, Eulerin luku, suhteellinen keskihajonta eli variaatiokerroin Perinteisesti on kertymäfunktio esitetty graafeissa suorana viivana ottamalla käyttöön niin kutsuttua redusoitua muuttujaa: ln( ln ), redusoitu muuttuja Saadaan näin ollen seuraava lineaarinen yhteys redusoidun muuttujan ja vikakoon välillä. On kuitenkin syytä kyseenalaistaa tällaisen muunnoksen tarkoituksenmukaisuutta nykyään, kun elektroniset laskukoneet voivat nopeasti hoitaa vaadittavat laskennat. = + Mediaaniarvo saadaan kun P = F = 0.5, s.o. 0.5 ln( ln 0.5) = = Huom! Jakauman epäsymmetrisyydestä johtuen on keskiarvo isompi kuin mediaaniarvo. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 15

16 Teoreettisen jakauman sovittaminen testidataan On olemassa kolme tavallista tapaa sovittaa Gumbelin jakauman tiheys- tai kertymäfunktio saatuihin havaintoihin. Murakamin mukaan kertymäfunktio voidaan sovittaa testidataan pienimmän neliösumman (LSQ, method of Least Squares) menetelmää käyttäen. Vielä parempi menetelmä on kuitenkin käyttää tiheysfunktion sovittaminen testidataan suurimman uskottavuuden (ML, Maximum Likelihood) menetelmää käyttäen. Kolmas usein käytetty menetelmä on niin kutsuttu momenttimenetelmä (MOM, Methods Of Moments). Momenttimenetelmää käytettiin jo annetun taulukon yhteydessä. Valitettavasti voidaan saada melko erilaisia paikka- ja skaala-parametrien arvoja riippuen käytetystä sovitusmenetelmästä. Yhdysvaltalainen standardi ASTM E käyttää ja kommentoi myös näitä kolmea sovitusmenetelmää. Tämän standardin mukaan LSQ-menetelmä antaa epätarkimmat tulokset. ML-menetelmä on tarkin, mutta MOM-menetelmä antaa kohtuullisen tarkkoja arvoja, joita voi hyödyntää muun muassa ML-menetelmän alkuarvoina. Seuraavassa oletetaan, että on olemassa n kpl satunnaismuuttujan järjestettyjä havaintoja a i. Pienimmän neliösumman menetelmää käyttäen käytetään Gumbelin jakauman linearisoitua yhtälöä ja ratkaistaan paikka- ja skaala-parametrien arvot seuraavalla tavalla: 1 2 suuruuden mukaan järjestetyt ainevikahavainnot = +1 empiirinen jakauma Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 16

17 Pienimmän neliösumman mukainen sovitus = ln( ln ) () = =1 [ ( + )] 2 = 0sekä = 0 = 2 = missä vakiot A, B, C ja D ovat seuraavat 2 = =1, = =1, = =1 ja = Sovittamalla Gumbelin jakauma aikaisemmassa taulukossa olevaan pallografiittivaluraudan defektijakaumaan saadaan seuraavaa: = m = m = m paikkaparametri skaalaparametri keskiarvo = m mediaaniarvo = m keskihajonta, s.o. = = Huom! Defektijakaumien suhteellinen keskihajonta on paljon suurempi kuin väsymisrajojen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 17 =1 Lognormaalia käyttäen saatiin jo aikaisemmin näytetty: a med = m ja s 108 m

18 Sovittaminen suurimman uskottavuuden menetelmällä Kun käytetään ML-menetelmää, maksimoidaan seuraava yhtälö: (, ) = =1 ( ;, ) Usein käytetään logaritmisia arvoja ja saadaan yhtälö seuraavaan muotoon: (, ) = ln[(, )] ln =1 =1 Maksimiarvot haetaan virittämällä 2-ulotteisessa, -avaruudessa verkko, jossa jokaisessa solmupisteessä lasketaan yhtälöiden arvot niinkuin jo selitettiin porraskokeen yhteydessä. Suurinta arvoa vastaavat ja ovat haetut paikka- ja skaalaparametrien arvot. Sovittamalla näin saadan annetulle esimerkille seuraavaa: = m paikkaparametri = 84.2 m skaalaparametri Lognormaalia käyttäen saatiin jo aikaisemmin näytetty: = m keskiarvo a = m mediaaniarvo med = m ja s 108 m = mm keskihajonta s.o. = = Seuraavassa kuvassa on vertailtu näillä kahdella eri sovitusmenetelmillä saadut Gumbelin kertymäfunktiot keskenään sekä log-normaalijakauman kertymäfunktioon. Pienimmän neliösumman avulla saadun Gumbelin kertymäfunktio sopii verraten huonosti testidataan varsinkin alkupäässä. Huomionarvoista on, että suurimman uskottavuuden menetelmällä saadun Gumbelin jakauma yhtyy hyvin tarkasti lognormaalijakaumaan. Käytännön kannalta voidaan näin ollen todeta, että vikajakaumia voidaan kuvata riittävän tarkasti lognormaalijakaumaa käyttäen, niin kuin on jo totuttu kuvaamaan väsymisrajaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 18

19 Eri sovituksilla saadut pallografiittivaluraudan jakaumat graafisessa muodossa 100 Kertymä [%] F ( a) e e ML am s a F ( a) e e LSQ am s a Fln( a) ln a5.606 a 1 e da 2 a Puolielliptinen pintasärö (a/c = 1) [m] havainto(i/n+1) Gumb,ML Gumb,LSQ Lognorm medg,ml=271.4 medg,lsq=275.1 medln=272.1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 19

20 Gumbelin jakauman varmuusrajat Jo aikaisemmin käsiteltiin varmuusrajojen (konfidenssin) asettaminen normaali- tai lognormaalijakautuneeseen satunnaismuuttujan otosarvoihin. Jos aineviatkin käsitellään lognormaalijakautuneena, voidaan asettaa varmuusrajoja, niin kuin silloin selitettiin. Tässä näytetään myös, että saadaan kohtuullisen hyviä arvioita, kun asetetaan paikka- ja skaalaparametreille konfidenssirajoja käyttäen Studentin jakaumaa paikkaparametrin otosarvolle ja Khi-toiseen- jakaumaa skaalaparametrin otosarvolle. Edellisessä luvussa mainittu ASTM E antaa seuraavat kaavat 95 %:n konfidenssiintervallin laskemiseksi. Valitettavasti standardi ei tarkemmin selitä, miten näitä kaavoja on johdettu. Tässä yhteydessä on kuitenkin päätarkoitus verrata tämän standardin varmuusrajoja niihin rajoihin, jotka saadaan käyttämällä Studentin ja Khi-toiseen-jakaumia. Standardin E mukaan saadaan havaitun Gumbelin jakauman seuraava standardivirhe SE ainevian koon a ja vastaavan redusoidun muuttujan y funktiona silloin, kun ML-menetelmä on käytetty jakauman sovituksessa. Standardivirhe on keskihajonnan approksimaatio: () = Saadaan seuraava likimääräinen 95 %:n konfidenssi-intervalli vähentämällä otosarvosta noin ±2 keskihajontaa. standardivirhettä. Tämä merkitsee standardoitua normaalijakaumaa käytettäessä, että alin raja on 2.3 % ja ylin raja 97.7 %, eli intervalli on tarkasti ottaen 95.4 %. 95 = ±2 () Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 20

21 Gumbelin jakauman varmuusrajat jatkuu Seuraavassa kuvassa on näytetty tässä esimerkissä käsitellylle tapaukselle ASTM:n luotettavuusrajat verrattuna siihen, että nämä rajat on laskettu panemalla paikka- ja skaalaparametreille konfidenssirajoja käyttäen Studentin ja Khi-toiseen-jakaumia. On huomioitava, että kun käytetään Studentin ja Khi-toiseen-jakaumia, joudutaan yhdistämään neljä mahdollista arvoa siten, että maksimivaikutus saavutetaan. Diagrammissa käytetään perinteistä redusoidun muuttujan avulla linearisoitua esitystä. Silloin, kun muutetaan arvioitu ainevika sitä vastaavaksi väsymisrajaksi, ei ole tarvetta asettaa varmuusrajoja itse vioille. Nämä varmuusrajat asetetaan silloin väsymisrajalle ja sen keskihajonnalle, niin kuin aikaisemmin on esitetty. Kun ajatellaan laatuohjeiden ja haaveritutkimuksen tarpeita, on hyvä, että on kuva myös ainevikojen konfidenssi-intervalleista. On syytä huomata että voidaan mahdollisesti puolustaa hyvin poikkeavan testihavainnon jättäminen tilastollisen käsittelyn ulkopuolelle viittaamalla siihen että se kuitenkin mahtuu valittujen varmuusrajojen sisäpuolelle. Mitä on matemaatikkoiden mielipide? Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 21

22 Varmuusrajat perinteisessä Gumbelin diagrammissa Redusoitu muuttuja y = -ln(-ln(p)) GJS testisauvojen murtopintojen defektijakauma. ASTM E :n mukaiset 95%:n varmuusrajat verrattuna saatuihin rajoihin, kun varmuusrajoja on laskettu suoraan paikka- ja skaalaparametreihin P e a e e a e C/% t 2 C h 1 C Puolielliptisen pintasärön (a/c = 1) yläarvo koko [m] [m] P e havainto Gumbel(C50) Cm97.5Cs97.5 Cm2.5Cs2.5 Cm97.5Cs2.5 Cm2.5Cs97.5 ASTM(C2.5%) ASTM(C97.5%) mediaani=271.4 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb [%] e y Cm paikkaparametrin varmuusraja Cs skaalaparametrin varmuusraja

23 Frechetin jakauma Niin kuin jo luvun alussa mainittiin, Frechetin jakauma on mielenkiintoinen siksi, että ekstrapoloinnissa suhteellinen keskihajonta pysyy vakiona. Tällainen ominaisuus tuntuu vastaavan parhaiten väsytystestauksessa havaittua keskihajonnan käyttäytymistä. Frechetin kertymäfunktion yleinen muoto, niin kutsuttu 3-parametrimuoto, on seuraava: () = > Niin kuin Gumbelin jakauman yhteydessä, parametri :ta kutsutaan paikkaparametriksi, mutta nyt se tarkoittaa muuttujan pienintä mahdollista arvoa. Kun on kysymys ainevioista, on luonnollista olettaa, että paikkaparametri on yhtä kuin nolla, ja saadaan Frechetin jakauman 2-parametrimuoto: () = 1, 0 ()= missä () tiheysfunktio () kertymäfunktio a vikakoko skaalaparametri muotoparametri. Keskihajonta kasvaa kohti ääretöntä, jos 2. Tämä merkitsee silloin, että Frechetin jakaumaa ei pidä käyttää. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 23

24 Frechetin jakauma jatkuu Saadaan seuraava odotusarvo, keskihajonta ja variaatiokerroin: = 1, odotusarvo (keskiarvo) Gammafunktio on aikaisemmin esitetty Weibulljakauman yhteydessä = =, keskihajonta, suhteellinen keskihajonta eli variaatiokerroin Skaala- ja muotoparametrien laskeminen tapahtuu parhaiten sovittamalla tiheysfunktion MLmenetelmällä. Seuraavassa kuvassa on vertailtu Frechetin jakaumaa käyttäen saatu kertymäfunktio Gumbelin ja lognormaalijakaumien kertymäfunktioihin käyttäen edellisen taulukon pallografiittivalurautatestisauvojen havaittuja murtopintojen vikoja. On helppo huomata, että Frechetin kertymäfunktio ylikorostaa alku- ja loppupään havaintojen merkityksen. Erityisesti nähdään, että sen antama keskihajonta on hyvin paljon suurempi kuin Gumbelia ja lognormaalia käyttäen saadut. Johtopäätös on nytkin, että ainevikajakaumien kuvauksessa kannattaa käyttää joko Gumbelin jakaumaa tai lognormaalijakaumaa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 24

25 Frechetin jakauman graafi esimerkkitapauksessa Kertymä [%] F ( a) e e Gumb am s a Fln ( a) a F ( ) Frech a e am s Puolielliptisen pintasärön yläarvo [m] ln a5.606 a 1 e da a 0 havainto(i/n+1) Gumbel Frechet Lognormaali medgu=271.4 medfr=255.4 medln=272.0 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 25

26 Yleistetty ääriarvojakauma GEV Voidaan yhdistää kolme eri mahdollista ääriarvojakaumaa: Gumbel, Frechet ja Weibull niin kutsutuksi yleistetyksi ääriarvojakaumaksi (Generalized Extreme Value distribution GEV). Weibull-jakauma on ylhäältä rajoitettu, joten se ei ole kovin mielenkiintoinen tässä yhteydessä. Yleistetty ääriarvojakauma muuttuu Gumbelin jakaumaksi, kun sen muotoparametri on nolla. Kun lähestytään Frechetin jakaumaa. Jakaumalla on seuraavat tiheys- ja kertymäfunktiot. () = 1 1+ () = 1+ missä vikakoko paikkaparametri skaalaparametri muotoparametri 1 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 26

27 Yleistetty ääriarvojakauma GEV jatkuu Yleistetyn ääriarvojakauman käyttö ei ole yhtä suoraviivainen kuin Gumbelin tai Frechetin jakaumien käyttö. Jos jakauman sovituksessa muotoparametri lähenee nollaa, eli oikea jakauma on Gumbelin mukainen, voidaan saada ML-sovituksessa konvergenssivaikeuksia koska eksponentti 1/. Saadaan seuraava odotusarvo a m ja keskihajonta s. = + ()1 = ( 2)[()]2 kun 0<< 1 2 Oikea defektijakauma voi myöhemmin esitettävien testitulosten valossa eniten muistuttaa tätä jakaumaa. Erityisesti tuntuu siltä, että eskstrapoloinnissa saadaan parhaat ennusteet keskihajonnalle käyttämällä yleistettyä ääri-arvoteoriaa. Kun sovitetaan GEV-jakauma edellisen taulukon testidataan, kasvaa muotoparametri kohti nollaa. Toisin sanoen Gumbelin jakauma sopii tässä tapauksessa parhaiten kuvaamaan tätä testidataa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 27

28 EKSTRAPOLOINTI: FATE-DEFEX-PROJEKTIN TULOKSET (Kirjan luku 28) Suurimpia hyötyjä ainavikajakaumien tuntemisesta on mahdollisuus laskea, minkä suuruinen vika on odotettavissa erikokoisissa materiaalivolyymeissä tai niiden pinnoissa. Koska meteorologit olivat edelläkävijöitä ääriarvoteorian soveltamisessa, he ottivat käyttöön ekstrapoloinnissa sellaisen muuttujan kuin toistuvuusjakson T (return period). Toistuvuusjakso meteorologiassa on tutkittavan ajanjakson pituus suhteessa sen ajanjakson T o pituuteen, josta tulvan tai myrskyn maksimiarvo on tilastoitu. Usein tilastoidaan jokaisen vuoden aikana mitattu maksimiarvo kymmenien vuosien aikana. Toistuvuus-jaksoa käyttäen saadaan voimakkuus sille myrskylle, joka ylittyy keskimäärin kerran tämän jakson aikana. Tällaisen määritelmän täsmällisen merkityksen on vaikea ymmärtää varsinkin, kun on kysymys materiaalien vikajakaumista. Siksi L. Makkonen et al. kehittivät FATE-DEFEX-projektin yhteydessä vikajakaumia varten oman täsmällisemmän toistuvuusjakson määritelmän, jota käytetään mediaaniarvon ekstrapoloinnissa. Ekstrapoloinnissa voidaan myös (niin kuin L. Makkonen et al. esittävät) käyttää heikoimman lenkin teoriaa. Jotta tämä tärkeä asia tulisi mahdollisimman hyvin ja monipuolisesti valaistuksi, käytetään hyväksi FATE-DEFEX-projektissa saatuja laajoja testituloksia. Tässä yhteydessä esitettävät testitulokset koskevat jo Rabbin kirjan luvussa 9.1 esitettyä, isosta paperitelasta otettuja väsytystestisauvoja ja hieitä, joille suoritettiin vikakartoitus mikroskoopin avulla. Kyseiset testit on tarkemmin selostettu A. Roikon diplomityössä /luku 9.3/. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 28

29 FATE-DEFEXin isosta telasta otetut hiet ja testisauvat Seuraavassa kuvassa on telan periaatekuva, jossa on näytetty, miten aksiaali- ja tangentiaalisauvat ja hiet otettiin. Koekappaleet otettiin kolmesta eri syvyydestä, mutta tässä esityksessä ei yritetä selvittää mahdollista syvyysvaikutusta defektijakaumiin. Hieistä löydetyt maksimidefektijakaumat aksiaalisuunnassa ja tangentiaalisuunnassa on esitetty seuraavissa kahdessa kuvassa. Väsytystestisauvojen murtopinnoista särön ydintymiskohdasta löydetyt defektit on esitetty aksiaalisuunnassa kahdessa seuraavassa kuvassa ja tangentiaalisuunnassa niitä seuraavassa kuvassa. Koska aksiaalisuuntaisista testisauvoista löydettiin yksi poikkeava, hyvin iso ainevika, oli kyseenalaista, voiko sitä enää ottaa mukaan kyseiseen jakaumaan. Aksiaalisuunta Tangentiaalisuunta R m = 1036 MPa R m = 1022 MPa R p0.2 = 791 MPa R p0.2 = 777 MPa A o = 25 mm 2 K t 1.05 A eff 730 mm 2 kun s r = Pyörivä taivutus, R = -1 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 29 Hie

30 FATE-DEFEX-projekti jatkuu Siksi kuvataan aksiaalisuunnan jakaumaa myös ilman tätä poikkeavaa havaintoa. On myös huomioitava, että tässä tapauksessa tutkittiin myös murtumattomien sauvojen maksimidefektit ajamalla nämä sauvat murtumaan korotetulla jännitysamplitudilla. Särö ydintyi näissä testisauvoissa melkein aina pinnasta. Siksi ekstrapoloinnissa voidaan käyttää hyväksi sauvojen tehollista jännityspinta-alaa. Kuvissa on vaaka-akselissa muuttujana aikaisemmin näytetyn kuvan mukainen puolipyöreä pintasärö. Jos halutaan muuttaa nämä pintasäröt vastaaviksi pinnan alla oleviksi pyöreiksi säröiksi, saadaan vastaava säde jakamalla kuvissa näytetty syvyys kertoimella 2. Seuraavassa taulukossa on yhteenveto havaituista mediaaniarvoista ja testisauvojen havaitut tilastolliset kokokertoimet suhteessa hieiden mediaaniarvoihin. Eri jakaumilla saadut kokokertoimet ovat mitoituksen kannalta hyvin lähellä toisiaan. Näiden arvojen perusteella on vaikea sanoa, mikä jakauma olisi paras. Myöhemmin osoitetaan kuitenkin, että Frechetin jakauma antaa osittain hyvin huonoja ennusteita ekstrapoloitaessa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 30

31 Aksiaalihieiden maksimidefektijakauma Tässä tapauksessa GEV-jakauma yhtyy käytännössä Frechet-jakaumaan. On syytä panna merkille suhteellisen keskihajonnan suuruus. Kertymä [%] Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=19.6 medfre=18.4 medgum=19.5 GEV-jakauma 5 Aksiaaliset hiet A o = 25 mm 2 Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = log. keskihajonta s oikea = 8.99 m s vasen = 6.16 m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = 7.46 m keskihajonta s r = GEV = m paikkaparametri = m skaalaparametri = muotoparametri Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 31 5

32 Tangentiaalihieiden maksimidefektijakauma Tässä tapauksessa GEV-jakauma yhtyy käytännössä Gumbel-jakaumaan. On syytä panna merkille että Frechetin-jakaumaan mukaan on keskihajonta ääretön silloin kun muotoparametri on pienempi kuin 2. Kertymä [%] Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=31.6 medfr=29.5 medgum=33.0 GEV-jakauma 5 Tangentiaaliset hiet A o = 25 mm 2 Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = log. keskihajonta s oikea = m s vasen = m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s 2 = varianssi! Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = GEV = m paikkaparametri = m skaalaparametri = muotoparametri Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 32 5

33 Aksiaalisaauvojen murtopinnat kun kaikki havainnot huomioidaan Tässä tapauksessa GEV-jakauma yhtyy käytännössä Frechet-jakaumaan. Vaikea kysymys: Pitääkä huomioida yksittäisen hyvin poikkeava havainto kun kumminkin yritetään luoda suurimman uskottavuuden mielessä suunnittelukäyrä? Kertymä [%] Aksiaalinen 4-piste - taivutustestisauva A eff = 730 mm 2, s r = Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=54.2 medfre=48.3 medgum=62.2 GEV-jakauma Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = log. keskihajonta s oikea = m s vasen = m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s 2 = varianssi! Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = GEV = m paikkaparametri = m skaalaparametri = muotoparametri Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 33

34 Aksiaalisaauvojen murtopinnat kun poikkeavaa suurinta ainevikaa ei huomioida GEV-jakauma makaa Gumbelin ja Frechet-jakaumien välissä. Kertymä [%] Aksiaalinen 4-piste - taivutustestisauva A eff = 730 mm 2, s r = Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav.(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=48.6 medfre=44.5 medgum=50.7 GEV-jakauma Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = log. keskihajonta s oikea = m s vasen = m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = 50.7 m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = GEV = m paikkaparametri = m skaalaparametri = muotoparametri Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 34

35 Tangentiaalisaauvojen murtopintojen maksimidefektijakauma GEV-ja Gumbelin-jakaumien yhtyvät. Kertymä [%] Tangentiaalinen 4-piste - taivutustestisauva A eff = 730 mm 2, s r = Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c = 1) [m] hav(i/n+1) Gumbel Frechet lognormaali medln=80.1 medfr=75.2 medgum=81.6 GEV=Gumbel Lognormaali ln = logaritminen keskiarvo a med = m mediaaniarvo s ln = log. keskihajonta s oikea = 47.0 m s vasen = 29.6 m s r Frechet = m skaalaparametri = muotoparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta Gumbel (ML-sovitus) = m paikkaparametri = m skaalaparametri a med = m mediaaniarvo s = m keskihajonta s r = GEV = 0.0 muotoparametri, s.o. GEV ja Gumbel yhtyvät Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 35

36 Havaitut kokokertoimet ja johtopäätöksiä Taivutustestisauvojen murtopinnoista sovituksessa saadut mediaaniarvot ja vastaavat kokokertoimet suhteessa hieisiin. Raevuo Gumbel Frechet Lognormaali Aksiaalinen (sis m) Aksiaalinen (ilman 312.2) [m] [m] [m] Tangentiaalinen Ei ole mahdollista vetää yksikäsitteisesti sellaista johtopäätöstä, että defektijakaumat olisivat tietyntyyppisiä. Kahdessa tapauksessa GEV- ja Gumbel-jakaumat yhtyvät, ja kahdessa tapauksessa GEV- ja Frechet- jakaumat yhtyvät. Yhdessä tapauksessa GEV on Gumbelin ja Frechet jakaumien keskellä. Vaikka lognormaalijakaumaa ei pidetä varsinaisena ääriarvojakaumana, se sopii kuitenkin silmämääräisesti katsoen myös erittäin hyvin kuvaamaan testituloksia. Gumbelin ML-sovituksella saatu jakauma ja lognormaalijakauma antavat hyvin samansuuntaisia tuloksia. Poiketen Gumbelin jakauman ennusteesta muuttuu keskihajonta voimakkaasti, kun mennään hiestä testisauvaan. Frechetin jakauma tuntuu sopivan silmämääräisesti katsoen huonoimmin testituloksiin. Tämä korostuu, kun alla ekstrapoloidaan hieistä testisauvoihin. Testitulokset ovat kuitenkin keskihajonnan osalta hyvin lähellä tämän jakauman ennustetta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 36

37 Havaitut keskihajonnat ja eräitä muita johtopäätöksiä kohde Odotusarvo = Havainnot [m] Lognormaali Keskihajonta Suht. 1) <0.5 keski- >0.5 hajonta 2) Odotusarvo = + Gumbel Suht. keski = 6 Aksiaaliset hiet Tangentiaaliset hiet Aks. sauvat kaikki viat Aks. sauvat ilman suur Tang. sauvat ) Jakauman epäsymmetrisyydestä johtuen on <0.5 = ja >0.5 = + 2) Keskiarvona = <0.5+ >0.5 2 On kiistatonta, että keskihajontakin kasvaa, kun kappaleen koko kasvaa. Frechetin jakauman ennuste, että suhteellinen keskihajonta pysyy vakiona, tuntuu olevan aika yhdenpitävä empiiristen tulosten kanssa. Yleisenä suosituksena voisi näin ollen olla Gumbelin jakauman tai lognormaalijakauman käyttö defektijakaumien kuvaamiseen. Kuitenkin lisäolettamuksena on, että suhteellinen keskihajonta pysyy vakiona ekstrapoloinnissa. Väsymisrajan anisotropia saa luonnollisen selityksen, koska tangentiaalikappaleilla, sekä sauvoilla että hieillä, on noin %:n suuremmat defektien mediaaniarvot. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 37

38 Toistuvuusjakson käyttö ekstrapoloinnissa Oletuksena on, että on olemassa referenssialue (kontrollialue), jolle on todettu maksimeille jakauma F(a) tekemällä sovitus, jolloin pätee arvon a ei-ylitys-todennäköisyys: () = () Kun toistuvuusjakso määritellään, niin kuin Y. Murakami (ja meteorologit) tekee käyttäen kappaleen pinta-alan ja referenssipinta-alan suhdetta, joudutaan loogisiin vaikeuksiin. Nämä vaikeudet ovat L. Makkonen et al. selvästi osoittaneet. Defektijakaumille on siksi kehitetty loogisempi toistuvuusjakson määritelmä, eli = + tai = +, toistuvuusjakso (pinta-alasuhde) Toistuvuusjaksoa vastaavan ainevian hyvä likimääräinen mediaaniarvo saadaan seuraavan kertymäfunktion arvon kohdalla: =1 1 = + Käyttämällä heikoimman lenkin teoriassa olevaa lenkkien lukumäärää hyväksi voidaan kaavalla johtaa myös seuraava muoto: = = +1 tai =, lenkkien lukumäärä On tärkeää huomata, että toistuvuusjaksoa käyttäen saa lenkkien lukumäärä myös olla pienempi kuin yksi. Kun tarkastellaan molemmille kappaleille niitä muuttujan arvoja, joille 0.5 (mediaani), saadaan,50% = 0.5,50% =, referenssi kappale, tutkittava kappale Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 38

39 Toistuvuusjakson käyttö ekstrapoloinnissa jatkuu Vastaavat vikakoot saadaan kertymäfunktion käänteisfunktiolla, eli,50% = 1 (0.5),50% = 1 () Saadaan seuraava tilastollinen kokokerroin, jos se määritellään niin, että se on aina suurempi kuin yksi. Tällöin kerrotaan referenssiarvon kokokertoimella, jos kappaleen jännityspinta-ala on suurempi kuin referenssin vastaava ala, ja jaetaan, jos se on pienempi. =,50%,50% jos > =,50%,50% jos < vikakoko () referenssialueen vikajakauman kertymäfunktio () referenssialueen vikakoon ei-ylitystodennäköisyys toistuvuusjakso (pinta-ala tai volyymisuhde) referenssialueen tehollinen jännityspinta-ala referenssialueen tehollinen jännitysvolyymi kappaleen tehollinen jännityspinta-ala kappaleen tehollinen jännitysvolyymi toistuvuusjaksoa vastaava ei-ylitystodennäköisyys, jonka kohdalla saadaan kappaleelle approksimatiivinen vian mediaaniarvo tilastollinen kokokerroin,50% referenssikappaleen vikakoon mediaani,50% kappaleen vikakoon approksimatiivinen mediaani Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 39

40 Ekstrapolointi tangentiaalisesti ylöspäin hiestä sauvaan Gumbeliä käyttäen Kun toistuvuusjakso määritellään loogisemman kaavan avulla, saadaan mediaaniarvo oikeaan kohtaan, koska kun A eff = A ref, on P = 0.5, niin kuin pitääkin. Seuraavissa kuvissa on havainnollistettu, että toistuvuusjakson käyttö antaa normaalisti hyviä ennusteita sekä ekstrapoloitaessa ylöspäin että alaspäin P ekst Tiheys Kertymä [%] Ekstrapoloitu arvo: a med,ekst = m Testattu arvo: a med = m Puolielliptisen pintasärön syvyys (a/c=1) [m] 20 Ekstrapoloitu arvo on melko tarkka! tiheys kertymä a,med=32.95 a,ekst=75.86 P=50 % Pekst= % Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 40

41 Ekstrapolointi tangentiaalisesti alaspäin sauvasta hieseen Gumbeliä käyttäen Gumbel jakauma lähtee miinus äärettömästä. Näin ollen jos Gumbelin-jakaumaa käyttäen ekstrapoloidaan isommasta pienempään voidaan saada negatiivinen mediaaniarvo jos pinta-ala suhde on hyvin iso. Tällainen tulos on tietysti järjetön. Turvallisinta on suorittaa ekstrapolointi aina ylöspäin pienemmästä isompaan. Silloin tarvitaan iteratiivinen laskenta jos isompi on se tunnettu referenssi. Tiheys P ekst Kertymä [%] Ekstrapoloitu arvo: a med,ekst = m Testattu arvo: a med = m Ekstrapoloitu arvo on hämmästyttävän tarkka! Puolielliptisen pintavian syvyys (a/c=1) [m] tiheys kertymä a,med=81.62 a,ekst=32.72 P=50 % Pekst=3.311 % Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 41

42 Heikoimman lenkin teoria. Ekstrapolointi kun A eff > A ref Jotta saataisiin järjellisiä tuloksia heikoimman lenkin teoriaa käyttäen on (niin kuin jo luvussa 7 esitettiin) lenkkien lukumäärän aina oltava isompi kuin yksi. Tämä ei sinänsä aiheuta mitään ongelmaa. Se merkitsee vain, että kun ekstrapoloidaan lovelle, jonka tehollinen jännityspinta-ala on pienempi kuin referenssin pinta-ala, on kuitenkin laskut suoritettava niin kuin loven vikajakauma olisi referenssi. Jos loven vikajakauma ei ole tunnettu, voidaan käyttää suuremman kappaleen, eli todellisen referenssin, vikajakaumaa hyväksi ja laskea iteratiivisesti kokokerroin tätä käyttäen. Tässä tapauksessa joudutaan (niin kuin ennenkin on näytetty) redusoimaan referenssin mediaaniarvo kokokertoimella, jotta saataisiin loven ekstrapoloitu mediaaniarvo. Ekstrapolointi kun > Oletuksena on, että pienelle kappaleelle (referenssi) on todettu maksimeille jakauma F tekemällä sovitus, jolloin pätee arvon a ei-ylitystodennäköisyys. () = () Kun tarkastellaan n-kappaletta pieniä näytteitä vastaavaa isoa kappaletta, niin vastaava todennäköisyys on () = () Kun tarkastellaan molemmille kappaleille niitä muuttujan arvoja, joille = 0.5 (mediaani) saadaan,50% = 0.5,50% = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 42

43 Heikoimman lenkin teoria. Ekstrapolointi kun A eff > A ref jatkuu Mediaanidefektikoko, jolle tässä haetaan riippuvuutta näytteen koosta, on nyt,50% = 1 (0.5),50% = 1 (0.5 ) tilastollinen kokokerroin =,50% = ,50% 1 (0.5) Kuvassa on tilanne hahmoteltu, kun ekstrapolointi on suoritettu tangentiaalihieistä tangentiaalisauvoihin. Ekstrapoloitu arvo on hyvin tarkka n Asauva Ahie Tiheys P 0.5 1/ n aekst ln ln P Puolielliptisen pintasärön syvyys (a/c=1) [m] tiheys kertymä a,med=32.95 a,ekst=80.79 P=50 % Pekst=97.65 % Kertymä [%] Ekstrapoloitu arvo: a med,ekst = m Testattu arvo: a med = m Ekstrapoloitu arvo on hyvin tarkka! K size Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 43

44 Heikoimman lenkin teoria. Ekstrapolointi kun A eff < A ref Tehtävä olisi nyt tarkasti ottaen löytää loven mediaaniarvo kokeilemalla eri mediaanin arvoja (ja vastaava keskihajonta), kunnes ekstrapoloimalla tästä saataisiin referenssisauvan tunnettu mediaaniarvo. Käytännössä ei ole tarvetta menetellä näin, vaan voidaan käyttämällä referenssin tunnettua jakaumaa laskea ensin kokokertoimen odotusarvo riittävällä tarkkuudella käyttäen lenkkien lukumääränä referenssin jännityspinta-alaa suhteessa loven jännitys-pinta-alaan. Tällä tavalla saatua kokokerrointa käytetään nyt kuitenkin siten, että redusoidaan referenssin mediaaniarvo tällä kertoimella loven odotus-mediaaniarvon selville saamiseksi. = = 0.5 1/ = 1 () =,, =, lovessa löytyvän vian odotettu mediaaniarvo Seuraavassa kuvassa on hahmoteltu tangentiaalisauvan jakaumasta ekstrapoloitu tilastollinen kokokerroin tangentiaalihieiden mediaanivikakoon arvioimiseksi. Laskettu kokokerroin on jonkin verran pienempi kuin se aikaisemmin laskettu tarkempi arvo ekstrapoloitaessa hieistä sauvoihin. Tässä tapauksessa, kun hieiden jakauma ja mediaaniarvo olivat valmiiksi tiedossa, on helppoa kokeilla, millä loven mediaaniarvolla voidaan ekstrapoloimalla saada tangentiaalisauvan tunnettu mediaaniarvo. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 44

45 Heikoimman lenkin teoria. Ekstrapolointi kun A eff < A ref jatkuu Käytetään laskujen nopeuttamiseksi hyväksi sivulla (kalvo) 43 olevaa tietoa, että oikea haettu mediaaniarvo saadaan todennäköisesti korottamalla kuvan mediaaniarvoa tangentiaalisauvan testatun mediaaniarvon ja ekstrapoloidun arvon suhteella, so. suhteella 81.62/80.79 = Oletusarvona on nyt, että haetun loven jakauman paikkaparametri ja skaalaparametri saadaan korottamalla tangentiaalihien arvoja tällä suhteella. Näin menetellen saadaan: = = m = = m ja = = = 29.2 Lähtien yllä olevasta oletetusta loven defektijakaumasta on voitava laskea tangentiaalisauvan mediaaniarvo seuraavan ei-ylitystodennäköisyyden kohdalla: = 0.5 1/ = , = ln( ln ) = m sama kuin testattu arvo Saadaan tällä tavalla iteroimalla seuraava loven ekstrapoloitu mediaaniarvo:, = ln( ln 0.5) = m = = Yhteenvetona voidaan ekstrapoloinnista esittää seuraavaa: Toistuvuusjakson käyttö toimii sekä silloin, kun n > 1, että silloin, kun n < 1 (rajoitetusti) Heikoimman lenkin teoria toimii vain, jos lenkkien lukumäärä on suurempi kuin yksi. Yksinkertaisinta on silloin, jos on kysymys lovesta ensin määritellä referenssijakauman avulla se kokokerroin, jolla redusoidaan referenssin mediaaniarvo ekstrapoloitavan arvon laskemiseksi. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 45

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Rakenteiden Mekaniikka Vol. 45, Nro 3, 2012, s. 162-187 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Roger Rabb Tiivistelmä. Teollisuutemme kilpailukyvyn ylläpitäminen ja kehittäminen edellyttää jatkuvaa

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa Ib, kirjan luvut 7...12 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Rakenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro. 2, 2008, s Esko Valkeila

Rakenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro. 2, 2008, s Esko Valkeila Rakenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro. 2, 2008, s. 79 85 Ääriarvoista Esko Valkeila Tiivistelmä. Artikkelissa esitellään lyhyesti ääriarvojen teorian perusteet sekä niihin liittyvää tilastollista päättelyä.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa II: Muuttuva-amplitudinen jännitys Kirjan luvut 16...21 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 Vuorikadulla V0 ls Muuttujien muunnokset Usein empiirisen analyysin yhteydessä tulee tarve muuttaa aineiston muuttujia Esim. syntymävuoden

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Mittaustulosten tilastollinen käsittely Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina. [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb CASH-projekti (2010-2013): Hiiletyskarkaistujen koneenosien väsyminen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Väsymissärön ydintyminen

Väsymissärön ydintyminen Väsymissärön ydintyminen 20.11.2015 1 Vaurio alkaa särön muodostumisella Extruusio Intruusio Deformoitumaton matriisi S-N käyrät Testattu sauvan katkeamiseen Kuvaavat aikaa "engineering särön muodostumiseen"

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot