Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb"

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa II: Muuttuva-amplitudinen jännitys Kirjan luvut Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 1

2 JOHDANTO (Kirjan luku 16) Kone-elimeen vaikuttava jännitysamplitudi ja keskijännitys ovat harvoin vakioita. Useimmiten ne vaihtelevat eri käyttöolosuhteissa kone-elimen käyttöiän aikana niinkuin esimerkiksi sylinterikannen liekkiphjassa. liekkipohjassa. Moottoria käynnistettäessä ja pysäytettäessä voi useissa kohdissa syntyä lämpölaajenemisen takia suuria jännitysamplitudeja. Nämä niin kutsutut low-cycle jännityssyklit ovat verrattain harvalukuisia, korkeintaan muutamia kymmeniätuhansia moottorin eliniän aikana. Sytytyspaine voi aiheuttaa lisäksi jopa miljardeja pienempiä, niin kutsuttuja high-cycle jännityssyklejä. Useimmiten puhutaan low-cycle jännityksistä, kun tarkoitetaan harvoin esiintyviä suuria jännityssyklejä, joiden amplitudi kuitenkin ylittää varmuuskertoimella redusoidun väsymisrajan. Vastaavasti puhutaan high-cycle jännityksistä, kun tarkoitetaan usein esiintyviä pienempiä jännityssyklejä, joiden amplitudi on pienempi kuin varmuuskertoimella redusoitu väsymisraja. Tässä luvussa harvoin ja usein tarkoittavat yleensä joko pienempää tai suurempaa lukumäärä kuin S-Nkäyrän rajasyklilukua. Kun kuormitussyklien lukumäärä on suurempi kuin S-N-käyrän rajasykliluku N af, puhutaan useimmiten high-cycle väsymisestä HCF (High Cycle Fatigue). Jos syklien lukumäärä on pienempi kuin tämä rajaarvo, puhutaan low-cycle väsymisestä LCF (Low Cycle Fatigue). Lisäksi puhutaan usein, erityisesti jos kuormitus on vaihteleva-amplitudinen, VHCF-väsymisestä (Very High Cycle Fatigue) tai jopa giga-cycle väsymisestä, jos high-cycle kuormitussyklejä on satoja miljoonia tai miljardeja. Yllä oleva kielenkäyttö on tietysti hyvin epätäsmällistä. Siksi olisi toivottavaa löytää suomenkielisiä vastineita sanoille high-cycle ja low-cycle. Eräs mahdollisuus olisi esimerkiksi high-cyclen tilalla käyttää sanaa taajasyklinen ja low-cyclen tilalla käyttää sanaa harvasyklinen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 2

3 Puhdas low-cycle väsyminen eli venymäväsyminen Jos low-cycle amplitudi on niin suuri, että se aiheuttaa huomattavan plastisen venymäamplitudin, puhutaan useimmiten venymäväsymisestä tai paikallisen venymän menetelmästä (SAE-menetelmä). Tässä yhteydessä ei ole tarkoitus sen enempää käsitellä venymäväsymistä, vaan viitataan esimerkiksi J. Bannantinen et al. kirjaan Kirjaan aiheesta tai SAE-käsikirjaan. Venymäväsymisen yhteydessä on kuitenkin oma tapa määritellä low-cycle- ja high-cycle-alueet pisteestä, missä väsymiskestävyyttä vastaava kimmoinen venymäamplitudi ja plastinen venymäamplitudi ovat yhtä suuria, kts kuvaa. Low-cycle väsyminen tarkoittaa silloin sitä, että plastinen venymäamplitudi on dominoiva. Basquinin, Coffinin ja Mansonin tutkimusten mukaan on venymäväsymisen elinikää kuvaava yhtälö seuraava: = 2 (2) + (2) (kimmoinen ja plastinen venymäamplitudi) /2 kokonaisvenymäamplitudi (total strain amplitude) 2 venymäsyklien puolijaksojen lukumäärää, (reversals) = kaksi kertaa syklien lukumäärä N, käytetään historiallisista syistä elinikä, kestoluku [sykli] kimmokerroin [MPa] väsymislujuuskerroin (fatigue strength coefficient) [MPa] väsymislujuuseksponentti (fatigue strength exponent) väsymissitkeyskerroin (fatigue ductility coefficient) väsymissitkeyseksponentti (fatigue ductility exponent) On mielenkiintoista huomata, että tämä menetelmä ei tunne väsymisrajaa, vaan kimmoisen venymäamplitudin käyrä jatkuu koko ajan alaspäin. Tämä tosiasia vahvistaa sen, että tätä menetelmää on syytä käyttää vasta, jos syklimäärät ovat kaikki low-cycle-alueen sisällä. Tässä kirjassa tullaan käytännössä käyttämään S-N-käyrän rajasyklilukua N af erottamaan high-cycle- ja low-cycle-alueet toisistaan. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 3

4 SAE-menetelmän elinikä-venymäamplitudi-käyrä Venymäamplitudi Low cycle alue. Käytä Basquin- Coffin-Mansonia Nuorrutusteräs High cycle alue. Käytä S-N-käyrää (Wöhlerkäyrää) R R 1160 MPa 1090 MPa p0.2 ' f 1530 MPa b m ' f c E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Elinikä [sykli] kimmoinen amplitudi plastinen amplitudi summa-amplitudi Raja Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 4

5 S-N-käyrä ja muuttuva-amplitudinen kuorma Nimitys S-N-käyrä on vakiintunut kielenkäyttöön ja tulee englanninkielen sanoista Stress (jännitys) ja Number (lukumäärä). Aikaisemmassa luvussa on jo selitetty, miten S-N-käyrä voidaan selvittää testaamalla vakioamplitudikuormalla muutamilla jännitystasoilla väsymisrajan yläpuolella. S-N-käyrästä käytetään myös usein nimitystä Wöhler-käyrä August Wöhlerin ( ) kunniaksi. August Wöhler oli ensimmäinen henkilö, joka systemaattisesti suoritti tällaista väsytystestausta. Todellisuudessa kuormitus on kuitenkin harvoin vakioamplitudinen. Keskinopeiden dieselmoottorien kohdallakin kone-elimiä kuormittavat muuttuva-amplitudiset kuormat, joissa on jopa miljardeja highcycle syklejä. Moottorin käynnistys ja pysäytys voivat lämpölaajenemisen johdosta synnyttää eräissä komponenteissa suuria, harvalukuisia jännityssyklejä, jonka syklimäärä voi vaihdella välillä Massavoimista ja sytytyspaineesta johtuva high-cycle kuorman sykliluku voi nousta miljardeihin sykleihin. Tämän moottoreille tyypillisen 2-tasoisen kuormitusspektrin johdosta on kirjoittaja suunnitellut vuosien mittaan useita spektritestejä näiden spektrien aiheuttaman vaikutuksen selvittämiseksi. Luvussa 10 osoitettiin, että tietyissä olosuhteissa, esimerkiksi kun särön ydintyminen tapahtuu sisäisesti, väsymisraja ei ole vakio vaan alenee sykliluvun mukaan myös rajasyklilukua suuremmilla sykliluvuilla. Muuttuva-amplitudinen kuorma, jossa on sallitun väsyttävän jännitysamplitudin yläpuolella olevia lowcycle syklejä, saa myös aikaan samanlaisen ilmiön, vaikka ydintyminen tapahtuu pinnasta. S-N-käyrä ei enää lopu rajasyklilukuun, vaan jatkaa alenemistaan, vaikkakin loivemmin, myös suuremmilla sykliluvuilla. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 5

6 Kumulatiivinen vaurioteoria Ruotsalainen tutkija A. Palmgren oli ensimmäinen, joka jo ennen toista maailmansotaa tutki johdonmukaisesti, miten muuttuva-amplitudinen kuorma vaikuttaa laakerikuulien väsymiskestävyyteen. Hänen työnsä ei jostain syystä herättänyt paljon huomiota, vaan vasta M. A. Minerin työ sodan jälkeisinä vuosina tuli yleisesti tunnetuksi. Näiden tutkijoiden työn tuloksena syntyi niin kutsuttu Palmgren-Minerin lineaarinen kumulatiivinen vaurioteoria. Englannin- kielisessä maailmassa sitä nimitetään yleensä vain Minerin säännöksi. Koska Palmgren kuitenkin oli ensimmäisenä kehittämässä tätä teoriaa, niin erityisesti Skandinaviassa tätä halutaan korostaa nimittämällä teoriaa Palmgren-Minerin teoriaksi. Todellinen kuorma voi vaihdella hyvin monella tavalla. Usein se on myös osittain satunnainen. Tämä kuormitus- ja vastaava jännityshistoria on ensin järjestettävä jännityskollektiiviksi, joka sisältää oleellisia jännitystasoja amplitudeina ja vastaavina keskijännityksinä. Alla olevissa kuvissa kuvataan, miten yksinkertaisessa tapauksessa, jossa keskijännitys pysyy koko ajan vakiona, jännityshistoria muutetaan ensin histogrammiksi ja sitten jännitysspektriksi. Jännitysspektriä käytetään varsinaisessa osavaurio-analyysissä. Jokaiselle spektrin tasolle lasketaan sen aiheuttama osavaurio. Kun jännitys muuttuu mielivaltaisesti satunnaisella tavalla, on jännitys-histogrammin luominen itsessään vaativa tehtävä. Vuosien saatossa on yritetty muodostaa tehollisia amplitudi- ja keskijännitystasoja hyvin monella tavalla. Suosituin tapa muodostaa kuormitushistogrammi on nykyään niin sanottu sadevirtaussyklien laskentamenetelmä rainflow counting. Seuraavissa luvuissa annetaan parempi kuvaus näistä menetelmistä. Eräs heikkous spektrin luomisessa tällä tavalla on se, että tieto syklien esiintymisjärjestyksestä, sekvenssistä, menetetään. On todettu, että sekvenssillä voi monesti olla huomattava vaikutus väsymisvaurion syntymisessä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 6

7 Jännityshistoria ja jännitysspektri a) Jännityshistoria a1 a2 a3 a4 Jännitysamplitudi [MPa] a1 a2 a3 a4 Kuormitussyklien lukumäärä n 1 n 2 n 3 n 4 n 1 n 2 n 3 n 4 Jännitysamplitudi tai ai / a3 a3 a1 a4 a2 n 3 n 1 n 4 n 2 b) Jännityshistorian histogrammi c) Jännitysspektri Syklien kumulatiivinen lukumäärä n tai log(n) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 7

8 Johdanto kumulatiiviseen osavaurioanalyysiin Eräs vaikea mutta tärkeä kysymys on, että onko olemassa kynnysarvoja low-cycle jännityssyklien suuruudelle ja lukumäärälle, jonka alapuolella kumulatiivinen vaurioituminen ei enää käynnisty? Tähänastiset spektritestit ovat osoittaneet, että tällaisia kynnysarvoja ei ole olemassa. Kumulatiivinen väsyminen käynnistyy aina tietyllä todennäköisyydellä, jos low-cycle amplitudi on suurempi kuin suurimmalle sallitulle vaurioitumisriskille redusoitu väsymisraja. Myöhemmin esitetään useita spektritestituloksia, jotka selvästi osoittavat tämän. Laajennuksen alkupiste N s (rajasykliluku) ja kaltevuuseksponentti k s muuttuvat kuitenkin, kun syklisuhde kasvaa ja ylityskerroin pienenee, ks. käsitteiden selitykset myöhemmin. Alkuperäisessä muodossaan Palmgren-Minerin teoria ei huomioinut väsymisrajan alapuolella olevia jännityssyklejä. Pian huomattiin kuitenkin, että kun kumulatiivinen vaurioituminen on syntynyt, vaikuttavat kaikki syklit vauriosummaan. Low-cycle syklien johdosta väsymisraja ei ole enää vakio vaan se alenee koko ajan kuormanvaihtoluvun mukaan. Vuosien varrella on tehty lukuisia yrityksiä parantaa teoriaa. Mitään kaiken kattavaa teoriaa ei kuitenkaan ole onnistuttu kehittämään. Ongelma on myös siinä, että teoria ei pysty huomioimaan eri kuormitustasojen järjestystä. Nykyään lupaavimmat kehitysnäkymät tulevat murtumismekaniikasta. Materiaalissa on pieniä ainevikoja, ja esimerkiksi jos low-cycle amplitudi aiheuttaa laskevan keskijännityksen (alikuorma), niin ainevian pohjassa syntyy vetojäännösjännitystila, kun kuormitus palautuu. Tämän jäännösjännityksen ansiosta high-cycle jännityksen vaikutus korostuu. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 8

9 Johdanto osavaurioanalyysiin jatkuu Vastaavasti, jos low-cycle sykli on ylikuormaa, syntyy puristusjäännösjännitys ainevian juuressa, joka voi jopa pienentää high-cycle syklien vaurioittavaa vaikutusta. Kun suoritetaan kumulatiivinen vaurioanalyysi, lähtökohtana on rajasykli-luvun yli laajennettu S-N-käyrä. Jos laajennetun elinikäkäyrän määrittäminen on suoritettu oikeaa kuormitusta muistuttavalla spektrikuormalla, nimitetään tätä käyrää usein myös Gaßner-käyräksi, koska hän oli edelläkävijä tällaisten testien suorittamisessa. Perustaksi S-N-käyrän laajentamiselle rajasyklin yli meneville sykleille on E. Haibach ehdottanut muodon, jota nykyään useimmiten käytetään. E. Haibachin mukaan laajennus lähtee samasta rajasykliluvusta N af mutta loivemmin. Teräkselle on laajennuksen kaltevuuseksponentti 2k-1 ja valuraudalle 2k-2, jossa k on perus- S-N-käyrän kaltevuuseksponentti. Toinen usein käytetty laajennus muistuttaa Cortenin ja Dolanin alun perin ehdottamaa, eli jatketaan koko alueella perus-s-n-käyrän kaltevuus-eksponenttia käyttäen. On merkillepantavaa, että Eurocode 3 suosittelee näitä molempia S-N-käyrän modifiointeja kumulatiivista osavaurioanalyysia suoritettaessa. Kumulatiivinen vauriosumma lasketaan seuraavalla tavalla kuormituksen spektriä (kertymää) käyttäen, ks. seuraavaa kuvaa. Kuvassa oletetaan, että kaikkien jännitystasojen S-N-käyrä on sama, toisin sanoen, että keskijännitys on sama kaikille jännitystasoille. Eri tasojen keskijännitys on harvoin sama, ja useimmiten on käytettävä omaa S-N-käyrää jokaiselle jännitystasolle. Käyttämällä Corten-Dolanin laajennusta saadaan yleensä hyvin konservatiivinen tulos, ja vaarana on ylimitoittaminen. Sitä vastoin Haibachin mukaisen laajennuksen käyttö voi toisinaan olla epäkonservatiivinenkin. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 9

10 E. Haibachin ja Corten-Dolanin mukaiset S-N-käyrän laajennukset Ajatellaan, että kone-elimeen vaikuttava jännityshistoria on järjestetty sopivaksi sarjaksi amplituditasoja ja vastaavia keskijännityksiä, toisin sanoen ai, mi -pareiksi. Kullakin tasolla on oma kuormanvaihtoluku n i ja vastaava kestoluku N i. Vauriosumma lasketaan S-N-käyrän ja sen laajennuksen avulla seuraavasti: a) silloin, kun käytetään Corten-Dolan tyyppistä S-N-käyrän laajennusta tai ai af,p. Kaavat pätevät myös, kun väsymisraja af on redusoitu tiettyä vaurioitumisriskiä P vastaavalle tasolle af,p, toisin sanoen oletetaan, että väsymisrajan keskihajonta on sama sekä low-cycle- että high-cycle-alueella. Tämä oletus ei välttämättä ole ihan totta, niin kuin myöhemmin osoitetaan. =, kestoluku (elinikä) tasolla ai b) silloin, kun käytetään Haibachin ehdottamaa S-N-käyrän laajennusta ja ai af,p. =, 2 missä l = 1 l = 2 kestoluku (elinikä) tasolla ai valssatut ja taotut teräsosat valetut ja hitsatut osat jokainen kuormitustaso aiheuttaa pienen osavaurion = näin ollen on koko vauriosumma ja useimmiten vaadittu ehto mitoituksen riittävyydelle seuraava: = 1 1 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 10

11 Esimerkki Palmgren-Miner vauriosummasta Haibachin ja Corten-Dolanin mukaan Jännitysamplitudi [MPa] N a 11.6 D D Haib CD 3 n i N i1 3 n i N i1 i i perus S-N Saf=462 Naf=6.3 10^5 E. Haibach Corten-Dolan Sa1=550/n1 n1=27800 N1=83360 Sa2=430/n2 n2+n1= ^ E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Kestoluku [sykli] N2=3.1 10^6 Sa3=360/n3 n3+n1+n2= ^6 N3= ^6 Esimerkissä on oletettu että kaikilla kolmella tasolla on sama keskijännitys ja täten sama S-Nkäyrä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 11

12 Edellisesen esimerkin kommentit Symbolien merkitys yllä olevissa kaavoissa on seuraava: jännitysamplitudi spektrin tasolla i ( = 1 ) keskijännitys spektrin tasolla i kuormitussyklien lukumäärä tällä tasolla, väsymisraja redusoituna sallitulle vaurioitumisriskille rajasykliluku, missä S-N-käyrä saavuttaa väsymisrajan S-N-käyrän kaltevuuseksponentti. Koska yleensä S-N-käyrää piirretään muodossa =, /( ), on tavallisempaa kutsua lukua -1/k S-N-käyrän kaltevuuseksponentiksi kestoluku (elinikä) spektrin tasolla i. Teorian mukaan on vauriosumman oltava pienempi tai yhtä suuri kuin 1, jotta savutettaisiin vaadittu kokonaiselinikä sykleinä, joko mediaaniarvoa tai tiettyä vaurioitumisriskiä vastaava elinikä. Testit ovat kuitenkin osoittaneet, että silloin, kun kone-elin tai testisauva murtuu, vauriosumma voi vaihdella hyvin paljon eri tapauksissa. Esimerkin kuva havainnollistaa tämän. Haibachin teorian mukaan vauriosumma on 1, kun se Corten-Dolanin mukaan on jopa Kirjallisuudessa esitetään usein, että vauriosumma voi kone-elimen murtuessa vaihdella välillä 0.1 ja 2. Myöhemmin tässä luvussa tullaan näyttämään muutamia spektritestituloksia, jotka valaisevat, mistä tämä johtuu. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 12

13 Vauriosumman sallittu arvo E. Haibachin laajennusta käyttäen Jotta toimittaisiin varmalla pohjalla 90 %:ssa tapauksista, IIW (International Institute of Welding) antaa alla olevan taulukon mukaiset sallitut vauriosummat, kun käytetään Haibachin mukaista S- N-käyrän laajennusta, kts. Sonsino. Sallittu vauriosumma IIW:n mukaan, kun käytetään Haibachin mukaisesti modifioitua S-N-käyrää (Sonsino). Materiaali (teräs, aluminiumi) Sallittu vauriosumma D keskijännitys on vakio keskijännitys muuttuu Hitsaamattomia osia (valssattu, taottu) Hitsatut tai valetut osat Seuraavassa kuvassa on havainnollistettu, miten paljon edellisen kuvan mukaisia jännitysamplitudeja joudutaan pienentämään, jotta toisaalta saavutettaisiin vauriosumma 0.1 Haibach-modifioitua S-N-käyrän laajennusta käyttäen ja toisaalta vauriosumma 1.0 Corten- Dolanin mukaista S-N-käyrän laajennusta käyttäen. Huomataan, että kummassakin tapauksessa joudutaan jännitysamplitudeja redusoimaan melkein yhtä paljon, eli noin %. Vaatimus, että vauriosumma ei saa ylittää 0.1:tä Habachin laajennusta käyttäen, johtaa melkein samaan lopputulokseen kuin silloin, kun käytetään Corten-Dolanin mukaista vaurioanalyysiä. Eräs hämmentävä asia on se, että eri tasojen osuus vauriosummasta vaihtelee hyvin paljon näiden kolmen kriteerin välillä. Käyttämällä Haibachia ja vauriosummaa 1.0 on kaikilla tasoilla suurin piirtein sama prosentuaalinen osuus vauriosummasta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 13

14 Jännitysamplitudi [MPa] Vauriosumman termien vaihtelut käytetyn kriteerin mukaan Kun käytetään Haibachia ja vauriosumma on 0.1, korkeimman amplituditason osuus on kuitenkin noin 70 %, kun sitä vastoin Corten-Dolania käyttäen alin amplituditaso aiheuttaa noin 82 % vauriosummasta, kts. taulukko alla olevien kuvien taulukot. Kumulatiivinen vaurioteoria nykymuodossaan ei pysty kovin hyvin selittämään jännitysspektrin aiheuttamaa väsymistä. Murtumismekaniikka tulee tulevaisuudessa antamaan luotettavamman lähestymistavan ja paremmat ennusteet. Myöhemmin tässä luvussa näytetään useita testituloksia, jotka osoittavat, että low-cycle kuorman aiheuttama osavaurio on usein mitätön. Sen vaikutus piilee siinä, että se kiihdyttää highcycle kuorman säröä (ainevika) kasvattavaa vaikutusta. Näin ollen Corten-Dolan kriteeri, joka tuntuu panevan enemmän painoa high-cycle-vauriolle, tuntuisi luonnollisemmalta ai Ni Di E E E Di = E+03 1.E+05 1.E+07 1.E+09 Kestoluku [sykli] E. Haibach Sa1=479.7/n1 n1=27800 N1= Sa2=375/n2 n2+n1= ^6 N2= ^7 Sa3=314/n3 n3+n1+n2= ^6 N3= ^7 0 1.E+03 1.E+05 1.E+07 1.E+09 Kestoluku [sykli] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 14 Jännitysamplitudi [MPa] ai Ni Di E E E Di = Corten-Dolan Sa1=473.1/n1 n1=27800 N1= Sa2=369.9/n2 n2+n1= ^6 N2= ^6 Sa3=309.7/n3 n3+n1+n2= ^6 N3= ^7 a) Haibach ja vauriosumma 0.1. b) Corten-Dolan ja vauriosumma 1.0.

15 S-N-käyrän muuttaminen sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaksi Jo aikaisemmin osoitettiin, että S-N-käyrää ja sen laajennusta voidaan turvallisesti redusoida vastaamaan vaadittua, sallittua maksimivaurioitumisriskiä yksinkertaisesti olettamalla, että kaikilla amplitudiarvoilla on sykliluvusta riippumatta sama suhteellinen keskihajonta kuin väsymisrajalla. Silloin kaltevuuseksponentti k ja rajasykliluku N af säilyvät. Vaadittu varmuuskerroin väsymisrajalle lasketaan niin kuin aikaisemmin annatussa kaavassa on kerrottu. =, = Tämän yksinkertaistetun laskentatavan oletuksena on, että S-N-käyrän eliniän logaritminen keskihajonta on joka pisteessä verrannollinen väsymisrajan logaritmiseen keskihajontaan ja että annetussa kaavassa näytetty relaatio pätee, ts. ln( )= oletettu eliniän logaritminen keskihajonta Näin hitsausstandardit, kuten Eurocode 3, ja IIW:n ohjeet menettelevät. Hitsien yhteydessä tämä menettelytapa ei johda suuriin epäloogisuuksiin koska hitseille annetaan niin pieniä kaltevuuskertoimia: perus-s-n-käyrälle k = 3 ja sen laajennukselle 2k-1 = 5. Kun hitsien annettu väsymisrajan logaritminen keskihajonta on = 0.158, niin tämä merkitsee sitä, että low-cycle alueella on varmuuskerroin elinikään nähden S N = 5.8 ja highcycle alueella S N = 18.9, kun vaaditaan, että vaurioitumisriski ei saa ylittää P = Ongelmana on kuitenkin se, että tämän yhtälön kuvaama relaatio ei voi päteä S-N-käyrän jokaisessa pisteessä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 15

16 Varmuuskertoimen elinikään nähden ja väsymisrajan keskihajonta Kun suorittaa testejä S-N-käyrän määrittämiseksi, yleinen suunta on, että käyrän alkupäässä, missä eliniät ovat lyhyet, on myös eliniän keskihajonta pienempi kuin lähellä väsymisrajaa. Lisäksi yhtälöön liittyy toinenkin ongelma: jos olettaa, että relaatio on voimassa myös laajennukselle, tämä merkitsee sitä, että kun laajennus loivenee, eli sen kaltevuuseksponentti on suuri, on käytettävä jatkuvasti kasvavaa eliniän keskihajontaa, ks. suraavaa kuvaa. Eliniän logaritminen keskihajonta Tilanne kun: s ln -ln(1-s r ) = s N = s N = S N = 36.5 Varmuuskerroin S N e S N = Kaltevuuseksponentti Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb sn,ln kun sr=0.08 varmuuskerroin SN k = 11.6 (perus S-N) k(haibach) = 2k-1= 22.2 s N 10 1 Varmuuskerroin elinikään nähden

17 Laajennuksen keskihajonta ei voi riippua väsymisrajan keskihajonnasta Myöhemmin esitetään useita spektritestituloksia, joista käy ilmi, että laajennuksen keskihajonta ei kasva kaavan osoittamalla tavalla, vaan pysyy kohtuullisena. Silloin kun käytetään E. Haibachin ehdottamaa S-N-käyrän laajennusta, tuntuu järkevimmältä olettaa, että eliniän logaritminen keskihajonta on suunnilleen sama sekä high-cycle- että lowcycle-alueella. Lisäksi tuntuu turvalliselta määritellä eliniän keskihajonta väsymisrajan keskihajontaa ja perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponenttia käyttäen, koska ainakin lähellä väsymisrajaa niiden on vastattava toisiaan. Suositeltu menettelytapa on havainnollistettu seuraavassa kuvassa. Kun redusoidaan S-Nkäyrää ja sen laajennusta suurinta sallittua vaurioitumistodennäköisyyttä vastaaviksi, saa redusoitu käyrä myös vaakasuoran osuuden. Seuraavat yhteydet pätevät: = = 2 ln( ) = perus-s-n-käyrä (mediaani) Haibachin ehdottama laajennus high-cycle-alueelle väsymisrajan logaritminen keskihajonta, missä s r on väsymisrajan suhteellinen keskihajonta varmuuskerroin väsymisrajaan nähden, kun vaurioitumisriski on suurin sallittu P, = väsymisraja, kun vaurioitumisriski on P = S-N-käyrän ja laajennuksen logaritminen keskihajonta = vaadittu varmuuskerroin eliniän mediaaniarvoon nähden Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 17

18 S-N-käyrän ja sen laajennuksen redusoiminen kun s N on vakio, =, = 2 laajennuksen leikkauspiste suoran af kanssa laajennuksen väsymislujuuden vastaava keskihajonta, =, varmuuskerroin laajennusta redusoitaessa, =, laajennuksen kuvitellun alkupisteen väsymislujuus rajasykliluvun kohdalla, kun vaurioitumisriski on P Saadaan seuraava redusoitu S-N-käyrä ja sen laajennus, kun vaurioitumisriski on P =, redusoitu perus-s-n-käyrä =, 2 =, 2 redusoitu laajennus Koska mikään high-cycle amplitudi ei saa ylittää sallittua vakioamplitudiarvoa,, on redusoidulla S-N-käyrällä ja sen laajennuksella vaakasuora osuus rajasykliluvulta lähtien siihen asti, kunnes se leikkaa redusoidun laajennuksen, eli kunnes sykliluku on = 2,, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 18

19 Edellinen tilanne graafin muodossa väsymislujuuden amplitudi [MPa] 1000 N S F e N af af, P af S af,ph F, H e s ln / S s F ln, H af a k s ln af, PH af / S F, H s N N af, P Low cycle alue s N N High cycle alue s ln,h N af s N k s ln s N SN e N Naf, P S s s N ln, H 2 k l af N af a 2k l E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 Elinikä [sykli] perus S-N Saf Naf E. Haibach Saf,P = Saf/SF Saf.PH = Saf/SF,H Suositeltu laajennuksen redusoiminen suurinta sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaksi. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 19

20 Tilanne jos laajennuksella on oma eliniän keskihajonta Voidaan myös valita laajennuksen logaritminen keskihajonta siten, että se on jossakin ks ln ja (2k-l)s ln välillä. Myöhemmin näytetään joitakin testituloksia, jotka voivat puoltaa tällaista menettelyä. Redusoitu S-N-käyrä ja sen laajennus on näytetty seuraavassa kuvassa Seuraavat kaavat saadaan laajennuksen redusoimiseksi suurinta sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaksi. Niin kuin seuraavassa luvussa osoitetaan, laajennuksen rajasykliluku ja kaltevuuseksponentti eivät välttämättä ole sidottu S-N-käyrän toisiinsa yllä vastaaviin osoitetulla arvoihin tavalla. yllä osoitetulla tavalla. Täten käytetään alaindeksiä s asian korostamiseksi laajennukseen viittaavissa symboleissa. Laajennuksen mediaanikäyrä annetaan näin ollen seuraavalla kaavalla: = missä laajennuksen alkupiste (rajasykliluku), kun jännitysamplitudi on yhtä kuin väsymisrajan mediaaniarvo af (N s = N af, jos Haibach) laajennuksen kaltevuuseksponentti (k s = 2k-l, jos Haibach) Valitaan laajennuksen eliniän logaritminen keskihajonta s N siten, että seuraava ehto on täytetty: Laajennuksen redusoiminen suurinta sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaksi tapahtuu nyt seuraavalla tavalla: = vaadittu varmuuskerroin elinikään nähden, = laajennuksen alkupisteen (rajasykliluvun) redusointi =, redusoitu laajennus Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 20

21 S-N-käyrän redusoimisen graafinen esitys kun laajennuksen s N on riippumaton Niin kuin seuraavassa kuvassa on näytetty, käytetään tietysti hyväksi vain sen laajennuksen osaa, joka on redusoidun väsymisrajan, alapuolella Väsymislujuuden amplitudi [MPa] N s, P N S af,p s N s N S N e s N N E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] perus S-N Saf Naf E. Haibach Sa,P=Sa/SF Sa,PH Ns,P Saf,P = Saf/SF N s af k s a k s af N N s, P a Haibachin mukainen laajennus: N N k s s af 2k l Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 21

22 Eräs erikoinen mutta tavallinen laajennuksen muoto Keskinopeiden dieselmoottorien eräitä kone-elimiä kuormittaa erikoinen, pääasiassa 2- tasoinen jännitysspektri. Ensimmäinen, low-cycle jännitystaso, aiheutuu moottorin käynnistyksestä ja pysäytyksestä, kun lämpölaajeneminen synnyttää useissa paikoissa suuria jännityksiä. Näitä low-cycle syklejä on korkeintaan muutamia kymmeniätuhansia moottorin eliniän aikana. Tähän superponoituvat sytytyspaineen aiheuttamat miljardit high-cycle syklit. Seuraavilla sivuilla annetaan useita tuloksia, jotka on saatu testaamalla tämäntyyppisillä spektreillä. Tuloksille on tyypillistä, että low-cycle vaurio on aivan mitätön lineaarista Palmgren-Minersääntöä käyttäen. Lisäksi laajennuksen alkupiste siirtyy suhteessa perus-s-n-käyrän rajasyklilukuun tietyllä systemaattisella tavalla. Varsinaisissa Gaßner-tyyppisissä testeissä käytetään usein standardispektrejä, joissa kokeen aikana seurataan, miten elinikä muuttuu, kun spektrin maksimiamplitudi muutetaan. Tässä esitetyt testitulokset eivät näin ollen ole varsinaisia Gaßner-testejä, vaan niitä on luonnollisempaa nimittää vain spektritesteiksi. Seuraavassa kuvassa on näytetty tyypillinen spektritestitulos. Kuvassa käytetty symboli R c kuvaa kuormituslohkon syklisuhdetta, eli R c = n HC /n LC, missä n HC on high-cycle syklien lukumäärä ja n LC low-cycle syklien lukumäärä. Yhden kuormituslohkon jännityshistoria on näytetty samassa kuvassa. Tätä kuormituslohkoa toistettiin, kunnes sauva murtui tai kokonaissykliluku saavutti katkaisurajan, joka oli 250 miljoonaa sykliä. Tämän spektritestin tarkoitus oli tutkia, miten ruuvien avaaminen ja uudelleenkiristäminen vaikuttaa kierteen väsymislujuuteen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 22

23 Spektritesti ruuviliitosta simuloivalla olosuhteilla Kuvasta voidaan päätellä, että laajennuksen alkupiste N s siirtyy niin paljon eri syklisuhteella, että tämä on syytä ottaa huomioon laajennuksen kaltevuuseksponentin k s ohella, kun soveltaa Palmgren-Minerin mukaista osavaurioanalyysiä. On myös tärkeää huomata, että laajennuksen kaltevuuseksponentti seuraa pikemminkin Corten-Dolanin kun Haibachin mukaista ennustetta. Eräs hyvin mielenkiintoinen ja tärkeä piirre näissä testituloksissa on, että eliniän logaritminen keskihajonta pysyy melko vakiona ja kohtuullisena kaikissa testeissä. (s N = kun R C = 10 6 ) Nimellinen high cycle amplitudi [MPa] N perus a, nim N 7 Rc 10 af Ns a k 900 s s S N af N e N s, P N P, HC Ns, P 750 a Vaurioitumisriskiä P = s vastaava käyrä SN e N 10 Ns, P Ns / SN 0 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] Perus S-N Väs.raja Testi,Rc=10^6 Rc=10^6 Testi,Rc=10^7 Rc=10^7 Naf Ns(Rc=10^7) Saf(P=10^-4) P10^-4,Rc=10^7 k s a, nim Nimellinen jännitys sln sn ksln Aika b) Yhden kuormituslohkon jännityshistoria. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 23

24 Ekvivalentti vakiojännitysamplitudi Usein laskettu vauriosumma muunnetaan ekvivalentiksi vakioamplitudiseksi jännitystilaksi, joka vastaa jotain valittua syklien lukumäärää n ref. Kääntäen voidaan myös laskea ekvivalentti sallittu syklien lukumäärä vastaamaan jotakin valittua vakioamplitudia a,ref. Referenssiarvot voidaan laskea käyttäen joko redusoitua perus-s-n-käyrää tai redusoitua laajennusta. Tarkoituksenmukaista on tehdä tämä valinta sen perusteella, onko ekvivalentti arvo redusoidun väsymisrajan ylä- vai alapuolella. Esimerkiksi SFS 2378 laskee ekvivalentin jännitysvaihteluvälin 5 miljoonan syklin kohdalla. Seuraavat kaavat voidaan johtaa ekvivalentin jännitysamplitudin laskemiseksi. Kaavoja esitetään erilaisissa muodoissa eri lähteissä, mutta lopputulos on kuitenkin sama. Vauriosumma jaetaan ensin low-cycle osaan (indeksi i) ja high-cycle osaan (indeksi j) = + = + Sijoittamalla S-N-käyrän ja laajennuksen kaavat saadaan seuraava muoto = 1, + 1 2, tai jos Haibach laajennuksen tilalla käyttää erillistä high-cycle laajennuksen kaavaa = 1, + 1, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 24

25 Ekvivalentti vakiojännitysamplitudi, jatkuu Kun halutaan laskea tiettyä referenssisyklimäärää n ref vastaava ekvivalentti jännitysamplitudi,, lasketaan ensin se ekvivalentti elinikä, joka antaa yllä olevilla kaavoilla lasketun vauriosumman. = Näin ollen, jos käytetään perus-s-n-käyrää, kun lasketaan ekvivalentti arvo, saadaan =,, Sijoittamalla tämä yhtälö yhtälöön D = n ref /N ekv saadaan lopuksi, =, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 25

26 S-N-KÄYRÄN KALTEVUUS JA RAJASYKLILUKU (Kirjan luku 17) Edellisessä luvussa on käynyt ilmi, että on välttämätöntä kyetä arvioimaan perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponentti ja rajasykliluku tietyllä tarkkuudella, ennen kuin voidaan suorittaa kumulatiivinen osavaurioanalyysi. Kirjallisuudesta löytyvät kaavat näiden muuttujien arvioimiseksi perustuvat kaikki nimellisjännitysmenetelmään. Näissä kaavoissa käytetään vanhentunutta käsitettä lovenvaikutuslukua. Toisin sanoen, ensin joudutaan laskemaan muotoluku ja sen jälkeen muuttamaan se lovenvaikutusluvuksi loviherkkyysluvun avulla. Esimerkiksi Leitfadenissa tehdään näin. Teräksille annetaan seuraavat kaavat kaltevuuseksponentin k ja rajasykliluvun N af laskemiseksi silloin, kun pinnan laadun kerrointa ja anisotropiakerrointa ei tarvitse huomioida: = ja = Leitfadenin kaavat eivät riipu ollenkaan keskijännityksestä. Myöhemmin selostetuissa testeissä havaitaan, varsinkin pallografiittivaluraudan kohdalla, kaltevuuseksponentin voimakasta muuttumista käytetyn keskijännityksen mukaan. Nykyaikaisessa jännitys- ja väsymisanalyysissä käytetään kuitenkin paikallisia jännityksiä. On selvää, että nykyaikaisesta analyysistä saatu jännitysgradientti ja väsymisrajan keskihajonta, joka suurelta osalta määrää tilastollisen kokokertoimen suuruuden, sisältävät samaa informaatiota kuin nämä vanhat käsitteet. Kuitenkaan ei ole olemassa mitään suoraa ja ilmeistä tapaa muodostaa uusia kaavoja, jotka perustuvat nykyaikaisiin käsitteisiin, alkaen yllä olevista kaavoista. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 26

27 Nuorrutusteräksen testaus projektissa DAMTH Jotta saataisiin selville, onko olemassa kynnysarvoja, joiden alapuolella kumulatiivinen väsyminen ei käynnisty, suoritettiin vuosina yhteistyössä VTT:n kanssa laajoja testejä erään DAMTH-nimisen projektin yhteydessä. Käytettiin nuorrutusterästä 34CrNiMo6. Nämä testit yhdistettynä entisiin testeihin auttoivat luomaan empiirisiä kaavoja, jotka käyttävät pinnassa olevaa jännitysgradienttia hyväkseen. Kaupallinen väsymisanalyysiohjelma nimeltä FEMFAT on kehittänyt suurin piirtein vastaavia kaavoja, mikä vahvistaa alla olevat tulokset ja johtopäätökset. Seuraavassa kuvassa on potenssikäyrä sovitettu DAMTHin perus-s-n-käyrien testauksissa sileillä ja lovetuilla sauvoilla saatuihin testituloksiin, ks. porraskokeiden kuvat. Lisäksi kuvaan on lisätty Leitfadenin antamat ennusteet. Tämän perusteella johdettiin seuraava kaava perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponentin laskemiseksi suhteellisen jännitysgradientin ja pinnan laadun kertoimen funktiona: = (1+ ) = 1 S-N-käyrän kaltevuuseksponentti suhteellinen jännitysgradientti sileän testisauvan kaltevuuseksponentti = 11.6 ydintyminen pinnasta = 16.8 ydintyminen pinnan alta eksponentti hyvin terävälle lovelle ( 3, vertaa Parisin kaavaan). Tämä arvo on myös Leitfadenin oletusarvo. pinnan laadun kerroin eksponentti, jonka arvo on = 0.77 ydintyminen pinnasta = ydintyminen pinnan alta Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 27

28 Kaltevuuseksponentti k S-N-käyrä suhteellisen jännitysgradientin funktiona Nuorrutusteräksen (34CrNiMo6) S-N käyrän kaltevuuseksponentti k 1 k o p k K 1 p R k 1 k o k Suhteellinen jännitysgradientti [1/mm] sileän sauvan testattu eksponentti kun R 1 eksponentti hyvin terävälle lovelle ( 3, vertaa Pariisin kaavaan) Testien mukaan on k = 4.89 kun = 6.10 mm -1. Eksponentti p voidaan laskea käyttäen tätä tietoa ja saadaan p = 0.77 kun särö ydintyy pinnasta ja p = kun särö ydintyy sisäpisteestä. Testin mukaan: k o = 11.6 ydintyminen pinnasta k o = 16.8 ydintyminen sisäpisteestä k()/ko=3/11.6 (ydint. pinnasta) k()/ko=3/16.8 (ydint. sisäpisteestä) k=4.89 (testattu/damth) = Leitfaden (Kf:n funktiona) Leitfadenin arvot perustuvat ilmeisesti testeihin, joissa ydintyminen on tapahtunut sisäpisteestä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 28

29 Eräitä huomioita Kuvassa havainnollistettu kaava kaltevuuseksponentin laskemiseksi muistuttaa jonkin verran Leifadenin antamaa kaavaa, jossa kuitenkin nimittäjässä käytetään lovenvaikutuslukua korotettuna toiseen potenssiin. On tärkeää huomata, että teräksille (seuraavissa kuvissa esitettyjen testitulosten mukaan) jännityssuhde ei juuri vaikuta kaltevuuseksponentin arvoon. Leitfaden antama kaava rajasykliluvun N af laskemiseksi antaisi sileän sauvan rajasykliluvuksi noin ja testissä käytetyn lovetun sauvan rajasykliluvuksi vastaavasti noin Kuvissa ei voida havaita mitään merkkiä tällaisista eroista. Suuntaus on päinvastoin, että lovetulla sauvalla on hiukan korkeampi rajasykliluku silloin, kun käytetään sitä sileän sauvan kaltevuuseksponenttia k o, joka vastaa ydintymistä pinnasta. Ainoastaan mikäli lähtökohtana on k o, joka vastaa ydintymistä pinnan alla, voidaan mahdollisesti käyttää Leitfadenin kaavaa. On tärkeää huomata, että koska jännitykset ovat näissä testeissä kimmoisella alueella, niin paikallinen jännitys saadaan kertomalla nimellisjännitykset muotoluvulla. Tämä tarkoittaa sitä, että kaltevuuseksponentti on sama myös silloin, kun käytetään paikallisia jännityksiä. Varmuuskertoimen määrittämiseksi elinikään nähden on kuviin merkattu eliniän logaritminen keskihajonta, sekä otosarvo että populaation arvo luotettavuustasolla 90 %. On mielenkiintoista huomata yleinen suuntaus, jossa hajonta on pienempi S-N-käyrän yläpäässä. Tämä voitaisiin mahdollisesti huomioida mitoituksessa, mutta tässä yhteydessä on laskettu keskihajonnan keskimääräinen arvo luonnollisia logaritmeja käyttäen. Seuraavassa taulukossa on yhteenveto lasketuista keskihajonnoista. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 29

30 Sileillä terässauvoilla suoritetut väsytystestit (DAMTH) 34CrNiMo6+QT R m = 1179 MPa R p0.2 = 1065 MPa A eff = 225 mm 2 kun s r = K t = R mm a) Testisauva. Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] N sn (kaikki pinnasta ydintyneet) s NC90 a, nim E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä N N a, nim S-N (pinnasta) S-N (kaikki) S-N(sisäpisteet) pinnasta sisäpisteestä ei huomioitu murtumaton Väsymisraja = 565 Naf = Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] N a, nim N E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä N a, nim 20.8 S-N (pinnasta) S-N (kaikki) pinnasta sisäpisteestä murtumaton Väsymisraja = 462 Naf = b) testitulos vaihtokuormalla R = -1 c) testitulos keskijännityksellä m,nim = 450 MPa (R 0) sn (kaikki pinnasta ydintyneet) s NC90 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 30

31 Lovetuilla terässauvoilla suoritetut väsytystestit (DAMTH) 45 o Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] K t = A eff = 3.20 mm 2 kun s r = Tilastollinen kokokerroin suhteessa sileään sauvaan kuvassa 17.2 : K size = N a, nim sn (kaikki murtuneet) s NC90 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä N S-N käyrä murtunut murtumaton väsymisraja Naf = Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] M R a) Testisauva mm N a, nim sn (kaikki murtuneet) s NC90 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä N 4.94 S-N käyrä murtunut ei huomioitu murtumaton väsymisraja = 165 Naf = b) testitulos vaihtokuormalla R = -1 c) testitulos keskijännityksellä m,nim = 165 MPa (R 0) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 31

32 Eliniän logaritmiset keskihajonnat ja vastaavat väsymisrajan suhteelliset keskihajonnat DAMTHin testisarjojen keskimääräiset logaritmiset keskihajonnat (luonnolllinen logaritmi). Testisarja Sileä sauva, R = -1 Sileä sauva, R = 0 Lovettu sauva, R = -1 Lovettu sauva, R = 0 Kaikki pinnasta ydintyneet 2 = 1 1 [ln ( ln )] 2 (otos) 90 = 1 90 Kaikki murtuneet (otos) Amplituditaso, jossa suurin keskihajonta Taso [MPa] (otos) Testituloksista arviodut väsymisrajan suhteelliset keskihajonnat ovat lähellä tai pienempiä kuin valittu otosoletusarvo sr = Nämäkin testit vahvistivat omalla tavallaan valinnan oikeaksi. Ilmeisesti on ainevian mediaaniarvo lyhyen särön alueella. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 32

33 DAMTH testien eräs kritiikki Testien perusteella laadittu Haigh-diagrammi on yllättävän loiva, ja herättää tiettyjä epäilyjä. Olisi ollet parempi määritellä väsymisrajat omilla varsinaisilla porraskokeilla. 900 Paikallinen otosväsymisraja [MPa] M A eff = 225 mm 2 kun s r = K t = CrNiMo6+QT R m = 1179 MPa R p0.2 = 1065 MPa Havaittu kokokerroin: K size = kun R = -1 K size = kun m = 472 MPa Paikallinen keskijännitys [MPa] Testi-sileä testipiste C. Mourier Testi-lovettu testipiste R= R0.3 M A eff = 3.20 mm 2 kun s r = K t = o Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 33

34 Kritiikki jatkuu, testin katkaisuhetken vaikutus kaltevuuseksponenttiin S-N-käyrän testauksessa, on mietittävä, halutaanko määritellä kaltevuuseksponentti silloin, kun havaittava särö on ydintynyt vai vasta silloin, kun särö on kasvanut loppumurtumaan asti. Korkeilla jännitysamplitudeilla menee suhteellisesti pienempi osuus kokonaiseliniästä särön ydintymiseen ja suurempi osuus särön kasvattamiseen. Tämä johtaa siihen, että kaltevuuseksponentti riippuu siitä hetkestä, jolloin päätetään lukea sykliluvut, so. käytetystä testin katkaisurajasta. Kirjan luvussa selostetaan eräs testi, jossa käytettiin terävästi lovettuja testisauvoja. Oli hyvin vaikeaa määritellä särön ydintymishetkeä, joten lopuksi päätettiin, että se määritellään silloin, kun resonanssikoneen taajuus on laskenut 0.2 %. Ydintynyt särö pienentää hiukan sauvan jäykkyyttä, mikä näkyy taajuuden alenemisena. Seuraavassa kuvassa on havainnollisesti näytetty, miten havaittu S-N-käyrän kaltevuus muuttuu, kun luetaan sykliluvut eri taajuuden alenemisien kohdalla. Nuorrutusteräksen kaltevuuseksponentti vaihtelee katkaisuhetken mukaan arvosta k = 13.5 (kun taajuuden aleneminen on vain 0.05 %) arvoon k = 3.1, kun loppumurtuma tapahtuu. Osoittautuu, että on aina syytä kysyä, missä vaiheessa sykliluvut on luettu, kun ilmoitetaan perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponentti. Jos kuormitus on vakioamplitudinen, voidaan todeta, että saadaan sitä konservatiivisempi tulos, mitä suurempaa eksponenttia käytetään. Toisaalta, kun liikutaan low-cycle-alueella, on usein tarkoituksenmukaista määritellä varmuuskerroin loppumurtumaa vastaavaan elinikään nähden, eli pienin eksponentin arvo. Kun on high-cycle syklejä hyvin paljon, on tilanne päinvastainen varsinkin silloin, kun käytetään E. Haibachin mukaista tapaa suorittaa kumulatiivinen osavaurioanalyysi. Mitä jyrkempi käyrä (eli mitä pienempi eksponentti), sitä konservatiivisemmaksi laskut tulevat. Toisaalta, kun vaaditaan hyvin suuria elinikiä high-cycle-alueella tuntuu jollakin tavalla luonnollisemmalta käyttää mitoituskäyrää, joka vastaa mahdollisimman aikaisessa vaiheessa havaittua särön ydintymistä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 34

35 Kritiikki jatkuu, kaltevuuseksponentin riippuvuus katkaisuhetkestä graafisessa muodossa S-N-käyrän kaltevuus riippuu kokonaan siitä miten määritellään särön ydintyminen. Särö kasvaa niin paljon nopeammin korkealla amplitudilla että miten myöhemmässä vaiheessa määritellään S-N-käyrän kaltevuuseksponentti sitä jyrkemmäksi se tulee! Kuvassa esimerkiksi dn = 0.5 % tarkoittaa että sykliluku luettiin silloin kun resonanssikoneen taajuus oli tippunut 0.5 %. S-N-käyrän yhteydessä olisi aina ilmoitettava missä vaiheessa koe on katkaistu! 70 Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] a 57.1 a 48.5 k af N N af a N k N af [ %] [sykli] murtui ei laskua dn=0.05% dn=0.1% dn=0.2% dn=0.5% dn=1% dn=2% N(murtui) N(0.05%) N(0.1%) N(0.2%) N(0.5%) N(murtui) Saf= E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä o 50 M R0.2 34CrNiMo6+QT R m = 1002 MPa R p0.2 = 893 MPa K t = 5.86 Huomioiden plastisoituminen on A eff = 6.9 mm 2 kun s r = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 35

36 S-N-käyrän kaltevuuseksponentti pallografiittivaluraudalle. Projekti SCILLED Tässä yhteydessä käytetään hyväksi SCILLED-nimisen vuosina harjoitetun testausprojektin tuloksia. Testattu Haigh-diagrammi (sekä sileille että lovetuille sauvoille) on esitetty seuraavassa kuvassa. Sitä seuraavassa kuvassa on näytetty sileillä sauvoilla testatut S-N-käyrät kolmella erilaisella jännityssuhteella. Voidaan havaita, että päinvastoin kuin nuorrutusteräksen kohdalla, nyt voidaan nähdä kaltevuuseksponentin voimakas riippuvuus keskijännityksestä. Myös rajasykliluku pienenee säännönmukaisesti hiukan, kun keskijännitys kasvaa. Seuraavassa kuvassa on lovetuilla testisauvoilla saatuja S-N-käyriä. Seuraavassa kuvassa on testatut pisteet kuvattu paikallisen keskijännityksen ja murtorajan suhteen funktiona (keskijännityssuhde). Se saa käyrät näyttämään suhteellisen kauniilta. Jos pisteet kuvataan jännityssuhteen funktiona, muuttuvat käyrät rumemmiksi. Testattujen S-N-käyrien havaitut keskihajonnat ovat tärkeitä elinikälaskuja suoritettaessa. Kuviin on siksi lisätty luonnollista logaritmia käyttäen laskettuja keskimääräisiä otos- ja 90- prosenttista luotettavuustasoa vastaavia eliniän keskihajontoja. Seuraavassa taulukossa on yhteenveto testituloksista lasketuista keskihajonnoista. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 36

37 SCILLED-projektissa testattu Haigh-diagrammi 450 Paikallinen (otos) väsymisraja [MPa] M GJS / SCILLED R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 K t = A eff = 24.9 mm 2 kun s r = 0.10 K t = 1.67 K size = 1.25 R2.25 M Paikallinen keskijännitys [MPa] testi (sileä) R=0 Smax=Rp0.2 lovi (el.-plast. kun 260) lovi (el.-plast. kun -200) Smin=-Rp0.2 Kt*260 Kt*-200 Saf,lovi(odotusarvo) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 37

38 Sileillä sauvoilla tehdyt väsytystestit projektissa SCILLED Nimellinen amplitudi [MPa] s s N M22 1 GJS R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa 12 NC A eff = 1039 mm 2 kun s r = K t = = mm -1 Aksiaalisesti kiillotettu a) Sileä testisauva. N E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä Havainto S-N käyrä Väs. raja Nf = 3.26*10^6 muut murtuneet murtumaton a E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä Havainto S-N käyrä Väsymisraja 208 Nf = ^6 muut murtuneet murtumattomia c) Nimellinen keskijännitys m = MPa. d) Nimellinen keskijännitys m = 260 MPa. Nimellinen amplitudi [MPa] Nimellinen amplitudi [MPa] s s N NC90 s s N a b) Jännityssuhde R = -1. N NC N a E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Syklien lukumäärä Havainto S-N-käyrä Saf=107.4 Nf=1.0210^6 muut murt. murtum. koe.murt. koe.murtum. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 38

39 Lovetuilla sauvoilla tehdyt väsytystestit projektissa SCILLED Nimellinen amplitudi [MPa] R2.25 s s M N NC GJS R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa A eff = 24.9 mm 2 kun s r = 0.10 K t = 1.67 = 0.79 mm -1 a) Lovettu sauva N a E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Syklien lukumäärä Havainto S-N käyrä väs. raja = Nf = c) Nimellinen keskijännitys 170 MPa. Myötämisen jälkeen on paikallinen keskijännitys MPa N a sn snc E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä murtunut keskeytetty kaikki havainnot vain murtuneet väs. raja = Nf = 2.466*10^6 d) Nimellinen keskijännitys 260 MPa. Myötämisen jälkeen on paikallinen keskijännitys MPa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 39 Nimellinen amplitudi [MPa] b) Nimellinen keskijännitys -200 MPa. Myötämisen jälkeen on paikallinen keskijännitys MPa. Nimellinen amplitudi [MPa] s s N NC N a 0 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Syklien lukumäärä 4.68 Havainto S-N käyrä väs. raja = 82.9 Nf =

40 Sovitus projektissa SCILLED saatuihin testituloksiin Seuraavassa kuvassa on testidatan perusteella esitetty, miten kaltevuuseksponentin odotusarvo voidaan laskea keskijännityssuhteen ja jännitysgradientin funktiona. Sovittamalla on johdettu seuraavan muotoinen kaava: = (1+ ) (1+ ) + Kun kaava sovitetaan testidataan, saadaan seuraavat arvot eksponentille ja vakiolle: = 12 lovettoman kappaleen kaltevuuseksponentti, kun paikallinen keskijännitys on nolla =3 eksponentti hyvin terävälle lovelle ( 3, vertaa Parisin kaavaan). Leitfadenin oletusarvo pallografiittivaluraudoille on yllättäen niinkin suuri kuin 6. = 0.8 eksponentti jännitysgradientin vaikutuksen huomioimiseksi = 1.65 vakio, joka huomioi keskijännityssuhteen vaikutuksen = 0.01 eksponentti, joka huomioi, miten vakio C muuttuu jännitysgradientin funktiona paikallinen keskijännitys suhteellinen jännitysgradientti R m murtoraja (nimellinen arvo) Rajasykliluku N af ei tunnu olevan kovin herkkä k-arvon vaihteluille. Testitulokset ovat tässä suhteessa vaikeasti tulkittavissa. Leitfaden ehdottaa seuraavaa kaavaa, joka jotenkuten sopii yllä oleviin testituloksiin = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 40

41 Sovitus keskijännityksen ja murtorajan suhteeseen nähden (SCILLED) Kaltevuuseksponentti k Testidatan niukkuuden ja esitetyn yritefunktion muodon takia on interpolointi rajoitettava seuraavaan alueeseen: 0.3 m / R 0.5 M R p 0. 8 k o 12 eksponentti sileällä sauvalla ja R 3 eksponentti hyvin terävälle lovelle k k k o k m 1 p K p R 1.65 R -1 m m 0.01 k M Paikallisen keskijännityksen ja murtorajan suhde m /R m ktesti(sileä) ktesti(lovi) sovitus(lovi) sovitus(sileä) yrite (khi=0) yrite(khi=0.79) yrite(khi=2.5) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 41

42 Pallografiittivaluraudan S-N-käyrän kaltevuuseksponentti tulosten valossa Pallografiittivalurauta (GJS-500-7) Kaltevuuseksponentti k k 1 p p 0.8 paikallinen keskijännitys m k o k K p R 1.65 R m m 0.01 k Sm = 0 Sm/Rm = Sm/Rm = Sm/Rm = Sm,lin/Rm = Sileä(Sm/Rm=0) Sileä(Sm/Rm=0.292) Sileä(Sm/Rm=0.416) Lovi(Sm/Rm=-0.098) Lovi(Sm/Rm=0.277) Lovi(Sm/Rm=0.409) 4 2 FREFA (R = 0) k = 3 (alaraja) k = yläraja? 0 Leitfaden Jännitysgradientti [mm -1 ] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 42

43 Projektissa SCILLED testatut S-N-käyrien keskihajonnat Testisarjojen keskimääräiset logaritmiset keskihajonnat (luonnollinen logaritmi) (SCILLED) Testisarja Eliniän keskihajonta Suhteellinen Vaurioitumisriskiä P = 10-4 Otos Populaatio keskihajonta vastaava varmuuskerroin 1 = elinikään = 1 90/ nähden Sileä sauva, R = Sileä sauva, m,nim = Sileä sauva, m,nim = Lovettu sauva, m,nim = Lovettu sauva, m,nim = Lovettu sauva, m,nim = Kahta poikkeusta lukematta ovat testatut keskihajonnat suurin piirtein odotusten mukaiset. Poikkeavat arvot selittyvät kun katsoo kyseiset väsytystestit. Kummassakin on yksi hyvin poikkeava havainto. Kysymys: Miten suhtautua yksittäisiin hyvin poikeaviin havaintoihin huomioida vai ei huomioida? Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 43

44 Mitatut pallografiittivaluraudan kaltevuuseksponentti projektissa FREFA Pallografiittivalurautasauvoilla on myös tehty frettingtestejä täydellisellä kontaktilla aikaisemmin mainitussa FREFA-nimisessä tutkimushankkeessa. Seuraavassa kuvassa on kuvattu näiden testien oleelliset tekijät, kun haluttiin tutkia terävän reunan aiheuttamaa äärimmäisen jyrkän jännitysgradientin vaikutusta frettingtilanteessa. Kuvassa on näytetty, miten ensin testattiin aineen normaalia S-N-käyrää käyttäen lovettua sauvaa, joka ohjasi ydintymisen frettingalueen ulkopuolelle. On huomioitava, että näissä testeissä on käytetty katkaisurajana sykliä. Tämä katkaisuraja oli liian alhainen. Myöhemmät täydentävät testit osoittivat, että väsymisraja saavutetaan vasta noin viiden miljoonan syklin kohdalla. Siksi kuvan väsymisrajat on ekstrapoloitu tähän arvoon. Aluksi on hyvin hämmentävää huomata, että frettingtilanne ei vaikuta ollenkaan nimelliseen väsymisrajaan tässä tapauksessa, jolloin kontaktitilanne aiheuttaa erittäin jyrkän jännitysgradientin terävän reunan kohdalla. Tulokset voidaan kuitenkin selittää kriittisen etäisyyden teoriaa käyttäen. Tässä yhteydessä on tärkeintä huomata, että havaitut S-N-käyrän kaltevuuseksponentit ovat jotenkuten kaavan mukaisia. Perusaineen kaltevuuseksponentti on kuitenkin yllättävän alhainen, vaikka suhteellinen jännitysgradientti siinä tapauksessa on vain noin 0.2 mm -1. Testissä käytettiin seuraavaa ainelaatua sekä ulokepalkissa että puristuskappaleissa: EN-GJS R m = 570 MPa R p0.2 = 360 MPa Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 44

45 FREFAn tulokset jatkuu Vaihtokuormalla olisi näin ollen kuvan mukainen väsymisrajan nimellinen odotusarvo, noin 189 MPa. Kuvassa olevan testituloksen mukaan se on kuitenkin vain ar=-1,nim MPa. Syytä tähän alhaiseen arvoon ei tarkalleen tiedetä. Sauvat leikattiin kuitenkin hyvin massiivisesta paperikoneen telasta. Telan ainepaksuus oli 92 mm, eli halkaisijat D/d = 1164/980. Näin ollen voidaan olettaa, että aineen rakenne, jäännösjännitystila ja aineviat voivat vaihdella hyvin paljon. Kuvassa nähdään, että kun Haigh-diagrammi laaditaan kuvan testidatan perusteella, pystyy kriittisen etäisyyden teoria täysin ennustamaan testitulokset. Tällöin on kriittisen etäisyyden arvioitu olevan noin 0.50 mm, so. jännitysamplitudi otetaan syvyydeltä r c = 0.25 mm pinnasta jossa suhteellinen jännitysgradientti on enää vain noin 1 mm -1. Pinnassa jännitysgradientti on 41.8 mm -1 (R = 0) ja jopa mm -1 kun R = -1. Kaikki jännitykset on ekstrapoloitu vastaamaan 5 miljoonan syklin kohdalla olevaa tasoa. Tässä on esitetty muutamia kitkaväsymiseen liittyviä testituloksia, joissa kriittisen etäisyyden teorian antamat ennusteet sopivat hyvin yhteen testitulosten kanssa. Näin ei kuitenkaan välttämättä aina ole. Kitkaväsymiseen vaikuttaa usein myös pintojen kuluminen, ja kitkakerroin voi vaihdella eri kohdissa. Vaikeissa tapauksissa se pitää myös ottaa huomioon, niin kuin A. Mäntylä on diplomityössään osoittanut. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 45

46 FREFAn testilaite Pyöristetyt reunat R = 1 mm 10 K t = = 0.2 mm -1 A eff = 485 = 354 mm 2 silloin kun s r = 0.10 a) frettingtestauskone b) lovettu testisauva perus S-N käyrän testauksessa Pallografiittivalurautasauvoilla suoritetut frettingtestit, kun kontakti-tilanne on täydellinen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 46

47 Pallografiittivaluraudalle testatut S-N-käyrät projektissa FREFA Nimellinen väsymisamplitudi [MPa] EN-GJS R m = 570 MPA R p0.2 = 360 MPa N 510 a N N E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Syklien lukumäärä 4.82 Testien katkaisuraja oli vain sykliä. Myöhemmin suoritetut testit osoittivat että todellinen väsymisraja on kuitenkin noin viiden miljoonan syklin kohdalla. Taivutustesti (R=-1) murtumaton Perus S-N(R=-1) Saf(R=-1) = Fretting,R=0 fretting S-N (R=0) Saf(R=0) = Fretting,R=-1 fretting S-N (R=-1) Saf(R=-1) = Naf = 5 10^6 a logaritminen suhteellinen keskihajonta 1 keskihajonta Sarja otos popul. (otosarvo) s N s NC90 s r Perus R =-1 Fretting, R = -1 Fretting, R = 0 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 47 a 4.44 Keskihajonnat: 1 luonnollinen logaritmi Näyttää siltä, että sen valun äärimmäisen suurista mitoista, josta sauvat otettiin on johtanut siihen, että valun rakenne ja aineviat ovat olleet hyvin suuria. Tämä voisi selittää että väsymisraja on noin 34 % pienempi kuin oletusarvo ja S-N-käyrän kaltevuuseksponentti vain noin puolet odotusarvosta. Näihin tuloksiin on syytä suhtautua varovaisesti.

48 Suhteelliset jännitysgradientit FREFAn frettingtestitilanteessa Aksiaalisuuntainen jännitys [MPa] Etäisyys neutraalitasosta y [mm] Jännitysgradientti [1/mm] keskijännitys jännitysamplitudi S.TCD(0.19) = s.tcf(0.25)=188.6 gradientti Aksiaalisuuntainen jännitys [MPa] Etäisyys neutraalitasosta y [mm] Jännitysgradientti [1/mm] keskijännitys jännitysamplitudi TCD(rc=0.19) = TCD(rc=0.25)=133.3 gradientti a) Jännityssuhde R = -1. b) Jännityssuhde R = 0. Gradientit vetoreunassa y = +5 mm. Jännityssuhteella R = -1 on tilanne melko symmetrinen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 48

49 FREFAssa suoritettujen testitulosten perusteella luotu Haigh-diagrammi Pallografiittivalurauta EN-GJS-500-7: R m = 570 MPa R p0.2 = 360 MPa (Nimellinen) väsymisraja [MPa] y af,nim = m Keskijännitys [MPa] R=0 Smax=Rp0.2 SaR=-1,paik = (rc=0.25) SaR=0,paik= (rc=0.25) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 49

50 DAMTH-PROJEKTIN KYNNYSARVOTESTIT JA S-N-KÄYRÄN LAAJENNUS (Kirjan luku 18) Edellä oli tarkemmin esitetty S-N-käyrien testaus sekä sieleillä että lovetuilla sauvoilla. Väsymisrajoja arvioitiin S-N-käyrien testitulosten perusteella. Arvioidut väsymisrajat vastaavat jotenkin huonosti C. Mourierin oletusarvoja. Varsinkin Haighdiagrammin kaltevuuskerroin on suuruudeltaan paljon pienempi kuin odotettu. Ilmeistä on, että väsymisrajat kannattaa määritellä porraskokeina, jos halutaan luotettava arvo. Seuraavassa kuvassa on testien perusteella laadittu nimellinen Haigh-diagrammi. Haigh-diagrammiin on lisäksi merkitty spektritestien high-cycle ja low-cycle keskiarvot ja amplitudit. Tyypillinen kuormitusspektri on esitetty kuvassa Haigh-diagrammia seuraavassa kuvassa. S-N-käyrien testauksessa sileillä sauvoilla kävi ilmi, että lähellä väsymisrajaa testattaessa tapahtui särön ydintyminen yhtä usein sisäpisteestä kuin pinnasta. Korkeimmilla amplitudeilla särö ydintyi sen sijaan aina pinnasta, kuten toivottiinkin, koska todellisissa kone-elimissä on useimmiten lovi, joka pakottaa ydintymisen tapahtumaan pinnasta. Eräs DAMTHin tulos oli näin ollen se, että pystytään määrittelemään kaksi erilaista S-Nkäyrää riippuen siitä, onko särö ydintynyt pinnasta vai sisäpisteestä. Väsymisrajan kohdalla ydintyminen tapahtuu pinnassa noin yhden miljoonan syklin jälkeen, ja sisäpisteestä vasta lähellä 10 miljoonaa sykliä. Kun ydintyminen tapahtuu sisäpisteestä, syntyy ongelma testitulosten tulkinnan kanssa, koska silloin väsymisraja ei ole vakio vaan laskee sykliluvun mukaan (niin sanottu gigasykliväsyminen, ks. kirjan luku 10). Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 50

51 Yksi lohko käytetystä kuormitusspektristä Nimellinen jännitys [MPa] R R C C max LC mlc n HC syklisuhde nlc alc ja10 min LC max HC mhc f LC max alc mlc ar k 1 k 1/ flc max alc alc k ar1 max mlc ahc Aika f LC ylityskerroin merkitsee low-cycle-amplitudin ja low-cycle-keskijännitystä vastaavan väsymisrajan suhdetta Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 51

52 Haigh-diagrammi johon on merkattu spektritestin testauspisteet Nimellinen väsymisraja [MPa] f LC 1.5 f LC f LC CrNiMo6+QT R m = 1179 MPa R p0.2 = 1065 MPa K t = A eff = 225 mm 2 kun s r = M mhc = Nimellinen keskijännitys [MPa] testi SaHC1=400 SaHC2=375 LC1-piste LC2-piste R=0 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 52

53 Spektritestin tulokset Spektritesteissä satiin johdonmukainen ydintyminen pinnasta vain korkeimmalla LCamplitudilla. Jo keskimmäisellä LC-amplitudilla ydintyminen oli etupäässä sisäpisteestä. Siksi päätettiin suorittaa myöhemmin muutamia spektritestejä lovetuilla sauvoilla, jotta saataisiin ydintyminen tapahtumaan pinnasta. Seuraavassa kuvassa on tulokset kaikista tähän asti sileillä sauvoilla suoritetuista spektritesteistä. On mietittävä, miten hyvin tulokset voidaan selittää kahdella alimmalla low-cycle testitasolla kumulatiivisen vaurioitumisen seurauksena ja miten paljon gigasykliväsyminen on vaikuttanut. Keskimmäisellä low-cycle tasolla on kuitenkin muutamia pinnasta ydintyneitä sauvoja, mikä merkitsee, että ainakin sillä tasolla kumulatiivinen vaurioituminen on varmasti vaikuttanut. Lisäksi oletus on, että terästen väsymisraja alenee noin 5 % per dekadi syklejä 10 6 ja 10 9 syklin välillä silloin, kun on kysymys giga-sykli-väsymisestä. Silloin 10 miljoonan syklin kohdalla olisi väsymisrajan alentunut noin 5 %, ja 100 miljoonan syklin kohdalla noin 10 %. Jo korkeampi HC-testiamplitudi on noin 12.5 % matalampi kuin väsymisraja, ja alempi testitaso jopa 18 % matalampi kuin väsymisraja. Näin ollen kumulatiivinen vaurioituminen näyttää merkitsevän eniten. Johtopäätös ei ole aivan kiistaton, mutta vastaa kuitenkin hyvin niin sanotun sivistyneen arvauksen vaatimuksia. On vedettävissä se johtopäätös, että kumulatiivinen väsyminen ydintyy aina, jos kuormitushistoria sisältää joitakin harvoja ylikuormia, jopa silloinkin, kun nämä ylittävät vain hiukan normaalin high-cycle kuorman. Tilastollisesti ilmiö voitaisiin ymmärtää siten, että ylikuorma aiheuttaa aina defektin kasvua ainakin niissä paikoissa, joissa alkuperäinen ainevika on tarpeeksi suuri. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 53

54 Nimellinen high-cycle amplitudi [MPa] Spektritestin tulokset graafisena esityksenä Perus S-N käyrä: N a N s = N s = af = 462 N s = N s = Low-cycle-amplitudin suhde vastaavaan väsymisrajaan f LC = alc /( ar=-1 -k mlc ) kun ahc = 400 kun ahc = n HC /n LC = k s = N s = k s = S - N käyrän laajennus k 462 s N N s a E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] SaLC=870/10^4,5P SaLC=600/10^4,4S/1P SaLC=500/10^4,1S/1R SaLC=870/10^5,6P SaLC600/10^5,3S/2P SaLC=500/10^5,2S/1R SaLC=845/10^4,5P SaLC=610/10^4,2S SaLC=510/10^4,1R! SaLC=845/10^5,5P SaLC=610/10^5,2S SaLC=510/10^5,- SN( /10^4) SN( /10^5) SN( )/10^4 SN( )/10^5 SN( )/10^4?? P ydintyminen pinnasta S ydintyminen sisäisesti R murtumaton Sileillä sauvoilla suoritettujen spektritestien tulokset. (Esimerkiksi 4S/1P tarkoittaa 4:ää sisäpisteestä ja 1:tä pinnasta ydintynyttä testisauvaa). ( mhc,nim = 470 MPa). Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 54 k s = k s = k s = 26.4

55 Laajennuksen sovitus testidataan Testidatasta voidaan johtaa seuraavat kaavat laajennuksen rajasykliluvun N s ja kaltevuuseksponentin k s laskemiseksi sileille sauvoille, ks. seuraavaa kuvaa: = silloin, kun syklisuhde on R C = 10 4 ja = , Symboli f LC kaavoissa merkitsee LC-amplitudin ja LC-keskijännitystä vastaavan väsymisrajan suhdetta. Tätä suhdetta nimitetään tässä ylityskertoimeksi, ja jos Haigh-diagrammin kaltevuuskerroin merkitään symbolilla k H, saadaan = 1 ylityskerroin Yllä oleva rajasykliluvun kaava antaa kauniin käyrän, jos R C 10 6, mutta se vääristyy ja antaa ilmeisesti liian pienet arvot, jos syklisuhde on suurempi kuin 10 6 ja vaikutus kasvaa, mitä pienempi ylityskerroin f LC on. Koska perus-s-n-käyrän arvo, kun se leikkaa myötörajan, on yleensä välillä sykliä, on oletettu, että laajennuksen matalin mahdollinen arvo on 5000 sykliä. Lisäksi väsymisraja on karkeasti ottaen maksimissaan noin puolet murtorajasta, ja kimmoisella alueella on tuskin mahdollista, että ylityskerroin voisi ylittää arvoa 2. Lähtö-kohtaoletusten mukaan on myös mahdotonta, että se olisi pienempi kuin väsymisrajaan nähden käytetyn varmuuskertoimen käänteisarvo. Arvo 0.7 on teräksille käytännössä alin mahdollinen arvo. Kuvan mukaan voidaan kaltevuuseksponentti parhaiten kuvata suoralla viivalla. Koska eksponentin arvo tuskin voi koskaan olla pienempi kuin 3, on johdettu myös potenssi-lauseke, joka täyttää tämän ehdon. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 55

56 Laajennuksen sovitus testidataan, jatkuu Potenssilausekkeen käyttöä puolustaa myös se tosiasia, että jos low-cycle amplitudi on yhtä kuin high-cycle amplitudi, niin laajennuksen pitää olla suora, eli =. Näin ollen saadaan seuraava yrite kuvan 18.3 testitapaukselle: = 29.2 ( +0.08) tai vaihtoehtoisesti suora viiva (ainakin kun f LC < 1) = ( ) = minimiarvo kuitenkin 3 missä laajennuksen kaltevuuseksponentti laajennuksen rajasykliluku, toisin sanoen ekstrapoloitu laajennus saavuttaa väsymisrajan tällä sykliluulla ylityskerroin, eli low-cycle-amplitudin suhde väsymisrajaan syklisuhde, eli high-cycle-syklien ja low-cycle-syklien suhdeluku high-cycle-syklien lukumäärä low-cycle-syklien lukumäärä perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponentti Haigh-diagrammin kaltevuuskerroin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 56

57 Laajennuksen rajasykliluku ja kaltevuuseksponentti Rajasykliluku N s 1.E+10 1.E+09 1.E+08 1.E+07 1.E+06 1.E+05 1.E+04 1.E+03 1.E+02 N s f LC N s f LC Ylityskerroin f LC testi(10^4) testi(10^5) sovitus(10^4) sovitus(10^5) 6 10 R 4 C 1.5 f f LC LC 5000 Kaltevuuseksponentti k s k s f LC testi(10^4) suora(10^4) R 10 C 4 Ylityskerroin f LC tai suora R 25.2 f 52.6 C LC 4 10 testi(10^5) 1.35 suora a) Laajennetun S-N-käyrän rajasykliluku. b) Laajennetun S-N-käyrän kaltevuuseksponentti. Rajasykliluku ja laajennuksen kaltevuuseksponentti ylityskertoimen funktiona sileille sauvoille silloin, kun high-cycle-amplitudi on noin varmuuskertoimen verran väsymisrajan alapuolella ( ahc af / S F,P ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 57

58 Johdettujen kaavojen sitominen perus S-N-käyrään On toivottavaa sitoa nämä kaavat perus-s-n-käyrän rajasyklilukuun N af ja kaltevuuseksponenttiin k. Sivistynyt arvaus on, että yllä olevat kaavat voidaan korjata perus-s-n-käyrän rajasykliluvun ja kaltevuuseksponentin avulla seuraavalla tavalla: a) Johdetut rajasykliluvun kaavat muuttuvat seuraavaan muotoon = silloin, kun syklisuhde on R C = 10 4 ja = , b) Johdetut laajennuksen kaltevuuseksponentin kaavat muuttuvat seuraavaan muotoon = 29.2 ( +0.08) tai vaihtoehtoisesti suora viiva (ainakin kuin f LC < 1) = ( ) minimiarvo kuitenkin 3 Voidaan vetää seuraavat yleiset johtopäätökset: 1. Kun syklisuhde R C kasvaa, loivenee S-N-käyrän laajennus ja rajasykliluku N s tuntuu pienenevän jonkin verran, sitä enemmän, mitä loivempi laajennus on. 2. Rajasykliluku N s kasvaa voimakkaasti, kun ylityskerroin f LC pienenee. 3. Low-cycle kuorman aiheuttama osavaurio on sinänsä mitätön. Lineaarista osavaurioteoriaa käyttäen se vaihtelee eri testisarjoissa 0.02 % %:n välillä 4. Kirjan luvussa on esitetty, että yllä olevat kaavat eivät toimi, jos tapahtuu voimakasta myötämistä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 58

59 Esimerkki: Apumoottorin 10 %:n tehon ylitys Laivojen apumoottoreihin kohdistuu sellainen vaatimus, että niillä voitaisiin ajaa 10 %:n ylikuormalla 10 h. Yllä olevat testitulokset auttavat antamaan positiivisen vastauksen tähän vaatimukseen, niin kuin alempana esitetään. Ensin on hyvä huomata, että käytetty kuormitus, jossa low-cycle osuus muodostuu alikuormasta, on mahdollisimman ankara. Tällainen alikuorma aiheuttaa nimittäin vetojäännösjännityksiä loviin, mikä puolestaan kasvattaa väliaikaisesti tehollista jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväliä high-cycle-amplitudille, katso kuvaa alla. da dn LYHYET SÄRÖT (Vetojäännösjännitys) K nim Kasvun pysähtyminen Ksis ALIKUORMAT Vetojäännösjännitys K th PITKÄT SÄRÖT Vakioamplitudi väsyminen YLIKUORMAT Puristusjäännösjännitys K da/dn särön kasvunopeus [mm/sykli] K K th K nim K sis jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväli [MN/m 3/2 ] kynnysarvo nimellinen intensiteettikerroin jäännösjännitysten aiheuttama intensiteettikertoimen kasvu Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 59

60 Yhteenveto DAMTH-projektissa suoritetuista spektritesteistä Testisarja A, jossa nimellinen high-cycle-amplitudi on ollut 400 MPa ( /1.144). Sarja Syklisuhde = Testisauvojen lukumäärä Low-cycle-silmukka minlc,nim [MPa] maxlc,nim [MPa] High-cycle-silmukka minhc,nim [MPa] maxhc,nim [MPa] A A A A A A Testisarja B, jossa nimellinen high-cycle-amplitudi on ollut 375 MPa ( /1.220). Sarja Syklisuhde = Testisauvojen lukumäärä Low-cycle-silmukka minlc,nim [MPa] maxlc,nim [MPa] High-cycle-silmukka minhc,nim [MPa] maxhc,nim [MPa] B B B B B B Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 60

61 Yhteenveto DAMTH-projektissa suoritettujen spektritestien tuloksista Sarja Elinikä sykleinä Sauva 1 Sauva 2 Sauva 3 Sauva 4 Sauva 5 Sauva 6 A P P P P P - A S S S S P - A R S running A P P P P P P A P/S S S P/S S - A S S R B P/S P/S P P P B S S B R B P/S P P/S P P B S S B6 (running) P ydintyminen pinnasta, S ydintyminen sisäpisteestä, R murtumaton (runout). Testi keskeytettiin ennen murtumaa. P/S pinnasta [tarkemmalla mikroskooppitarkastelulla voi löytyä sulkeuma (pinnasta)] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 61

62 Eliniän logaritmisen keskihajonnan valinta Seuraavassa taulukossa on laskettu eri testisarjojen keskimääräiset eliniät ja keskihajonnat lognormaalijakaumaa käyttäen. ln = = ln 1 ln = 1 1 (ln ln ) 2 Keskihajonnan keskiarvo s N,otos perustuu 31 testisauvan otokseen. Seuraava keskihajonnan populaation arvo saadaan 90 %:n luotettavuustasolla Khi-toiseen-jakaumaa käyttäen. = 31 1 = 20.6 =, 1 1 = Tämä keskihajonnan arvo tuntuu kuitenkin turhaan isolta. Yhteenvetona on teräksille kuitenkin esitetty oletusarvoksi s N = Kun edellytetään, että ainoastaan yhdellä kymmenestä tuhannesta saa olla pienempi elinikä kuin vaadittu, on varmuuskertoimen S N eliniän suhteen oltava seuraava = = = 30 Tämä on ankara vaatimus. Kirjallisuudessa mainitaan usein tässä yhteydessä, että varmuuskerroin on välillä 10 ja 20. On tutkittava, voidaanko yllä olevien tietojen perusteella sallia mainittu 10 %:n ylikuorma apumoottoreille. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 62

63 Eri testisarjojen keskimääräiset eliniät ja logaritminen keskihajonta (DAMTH) Sarja Keskimääräinen elinikä [sykli] Logaritminen (luonnollinen) keskihajonta s N Muodostettujen S-N-käyrän laajennusten keskimääräiset otoskeskihajonnat Seuraavista sarjoista määritelty laajennus s N = 1 A A1 ja B A A2 ja B2 A3 ( ) A3 ja B3 A A4 ja B A A6 ( ) B B2 ( ) B3 B B5 ( ) B6 Keskiarvo (otos), = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 63

64 Muut lähtötiedot Oletetaan, että kysymyksessä on Wärtsilä 32 -moottori n = 750 r/min kierrosluku L e = h, vaadittu elinikä käyttötunteina L y = 10 h ajoaika 10 %:n ylikuormalla Aine on kuvan 18.1 mukainen nuorrutusteräs 34CrNiMo6 Pahin mahdollinen spektritestien mukainen spektri, jossa low cycle osa aiheuttaa alikuorman k = 11.6 perus-s-n-käyrän kaltevuuseksponentti Tutkittu komponentti on sileän testisauvan mukainen, eli jännitysgradientti on mitätön P = 10-4 suurin sallittu vaurioitumisriski. S F = väsymisrajaan nähden vaurioitumisriskiä vastaava varmuuskerroin vakioamplitudikuormalla Low-cycle ja high-cycle syklien lukumäärät ovat = 60 2 = sykliä ja = 60 2 = sykliä Seuraava approksimatiivinen syklisuhde on laskettavissa edellyttäen, että low-cycle syklit ovat kutakuinkin tasaisesti jakautuneet pitkin moottorin elinikää. = = Oletetaan, että nimellinen high-cycle keskijännitys on mhc = 470 MPa, niin kuin spektritesteissä. Kun tässä tapauksessa vertailtavuuden helpottamiseksi käytetään nimellisiä jännityksiä, saadaan keskijännitystä vastaavaksi väsymisrajaksi, = = MPa Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 64

65 Arvioitu S-N-käyrän laajennus Oletetaan lisäksi, että high-cycle amplitudi on juuri yhtä suuri kuin vakioamplitudikuormalla sallittu. Sallittu väsyttävä amplitudi vakioamplitudikuormalla olisi näin ollen seuraava: =, =, = MPa Apumoottorin 10 %:n ylitys aiheuttaa enimmillään seuraavan low-cycle amplitudin: = 1.1 = MPa Konservatiivinen olettamus on, että tämä kuorman nousu aiheuttaa keskijännityksen siirron alaspäin (alikuorma), toisin sanoen voidaan käyttää aikaisemmin johdettuja kaavoja low-cycle keskijännityksen ja ylityskertoimen laskemiseksi. = = ( ) = MPa Low-cycle keskijännitystä vastaava väsymisraja on, = = = MPa = = 0.793, Kaavojen mukaan saadaan seuraava S-N- käyrän laajennus = = ( ) 2 = ( ) = laajennuksen aloituspiste sykleinä = 42.6 kaltevuuseksponentti potenssilausekkeen mukaan = kaltevuuseksponentti lineaarisen estimaatin mukaan Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 65

66 Laskennan tulos niinkuin se on hiukan virheellisesti selitetty kirjassa Tämä kuormitustilanne on havainnollistettu seuraavassa kuvassa. Kuvasta nähdään, että kun käytetään kaltevuuseksponentin lineaarista estimaattia on laskettu varmuuskerroin vaadittuun elinikään nähden vähintään S N = 513, eli yli 10-kertainen vaadittuun nähden. Jos käytetään potenssilausekkeen kaavalla saatua kaltevuuseksponenttia, on varmuuskerroin vielä noin 7 kertaa suurempi, eli S N = Esimerkin tapauksessa voidaan näin ollen sallia 10 %:n tehon ylitys ilman, että se on riski moottorin turvallisuudelle. Seuraavassa kuvassa on tutkittu, millä jännitysgradientin arvolla vaadittu varmuuskerroin alittuu silloin, kun käytetään potenssilauseketta kaltevuuseksponentin laskemiseksi. Nähdään, että jos suhteellinen jännitysgradientti on isompi kuin 2.1 mm -1, niin S-N-käyrän laajennuksen kaltevuus on silloin niin jyrkkä, että vaadittu varmuuskerroin S N = 30 ei enää täyty. Tämä suhteellisen jännitysgradientin arvo vastaa suurin piirtein muotoluvun arvoa 2.0. Harvoin nuorrutusteräksistä tehdyillä kone-elimillä on näin suuri muotoluku. Voidaan todeta, että 10 %:n kuorman ylitys 10 h ei yleensä muodosta mitään vaaraa. Tämä johtopäätös korostuu, jos vielä huomioidaan, että monesti low-cycle kuorma on ylikuormaa, joka ehkä voi vaikuttaa vain edullisesti elinikään, kunhan syklien lukumäärä on pienempi kuin väsymisrajan rajasyklilukua. Huom! Kirjassa on epämääräisesti mainittu että low-cycle vauriota ei tarvitse huomioida. Lowcycle vaurio on tietysti lisättävä vauriosummaan jos se muuttuu merkittäväksi!! Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 66

67 Apumoottorin tehon 10 %:n ylitys (kirjassa annettu virheellinen estimaatti) Jännitysamplitudi [MPa] Vaurio ja varmuuskerroin : n n D LC HC ( NLC NHC 1 SN vaadittu D n LC = n HC = E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14 Syklien lukumäärä Perus S-N Laaj.(lin.) Laaj.(polyn.) SaLC=368.9 SaHC=335.3 Väsymisr.=457.4 Haibach ) N LC Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb N HC Yllä olevassa diagrammissa on yritetty laskea varmuuskerroin mediaanikäyriin nähden. Tämä ei ole sallittua koska LC-piste on low-cycle S-N-käyrän alapuolella. On käytettävä redusoituja S-N-käyriä. 3

68 Apumoottorin tehon 10 %:n ylitys kun vauriosumma lasketaan oikein Jännitysamplitudi [MPa] n D N a, P10 4 a, med S F N / N /11.6 a, laaj, P E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14 LC LC n N HC HC Syklien lukumäärä a, laaj, med Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb N N / S N 6 1/ SN,LC Naf=63000 Saf,LC=465.1 SNlaaj(lin) SNlaaj(pol) Ns=28.9e6 Saf,HC=457.4 SaLC=368.9 nlc= perus S-N,P NLC,P= SaHC=335.3 nhc=4.5e9 Laaj,P(lin) NHC,P=7.34e10 Haibach 68

69 Jännitysgradientin arvo jolla varmuus on juuri riittävä (kirjassa annettu virheellinen estimaatti) Jännitysamplitudi [MPa] Vauriosumma on seuraava silloin kun = 2.10 mm -1 : On huomioitavaa että tässä tapauksessa koko vaurio syntyy vain high cycle kuormasta D SN 30.0 yhtä kuin vaadittu D Perus S-N elinikä(lc) N a 0 1.E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14 Syklien lukumäärä Vaaditun varmuuskertoimen alitus tapahtuu vasta, kun suhteellinen jännitysgradientti ylittää arvon 2.1 mm -1. Apumoottorin tapauksessa, syklisuhde R C = , ylityskerroin f LC = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 69 9 Kt=1 Kt = 1.67 (sallittu) Kt = 3.54 (kielletty) kappa = 2.1 (raja) LC (368.9/ ) HC (335.3/2.25e9) Väsymisr.=457.4 elinikä(hc)

70 Jännitysamplitudi [MPa] Jännitysgradientin arvo jolla varmuus on juuri riittävä (oikein laskettuna) D a 543 N / E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14 5 a 1/ SN(k=11.6) SN(kappa=0.826) SN(kappa=1.36) Naf= SN,P(kappa=1.36) N,HC(k=11.6) N,HC(kappa=0.826) N,HC(kappa=1.36) N,HC,P(kappa=1.36) SaLC=429.9 SaHC=390.8 SafLC=543 SafHC=533 nhc=4.5e9 NHC,med=3.679e11 N,HC,P=1.226e10 nlc= NLC,P= Syklien lukumäärä Kun suhteellinen jännitysgradientti on 1.36 mm -1 on vauriosumma D = 1 kun P = 10-4 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb N

71 Spektritestit pallografiittivaluraudalle projektissa SCILLED Jo aikaisemmin mainitun SCILLED-väsytysprojektin päätarkoitus oli suorittaa väsytystestausta pallografiittivaluraudasta GJS tehdyillä sileillä ja lovetuilla testisauvoilla sellaista spektrikuormaa käyttäen, joka muistuttaa eräiden moottorin osien kokemaa vaihteleva-amplitudista jännitystilaa. Testattu Haigh-diagrammi ja S-N-käyrät on jo esitetty sivuilla , missä on myös näytetty, miten paikallinen keskijännitys siirtyy plastisen venymän takia kahdessa lovetun sauvan testipisteessä. Edessäpäin on esitetty käytetyn spektrikuorman periaatteellinen kuvaaja, ja seuraavassa taulukossa on tarkemmin esitetty käytetty testimatriisi. Tässä projektissa selvitettiin testaamalla sekä low-cycle keskijännitystä vastaava perus-s-nkäyrä että high-cycle keskijännitystä vastaava perus-s-n-käyrä. Nimellinen high-cycle keskijännitys 260 MPa oli sen verran korkea, että myötöraja ylittyi, kun siihen lisättiin jännitysamplitudi. Tämä johti siihen, että loven paikallinen high-cycle keskijännitys oli hiukan pienempi, eli noin MPa, niinkuin seuraavassa kuvassa käy ilmi. Koska tässä tapauksessa särö voi kuitenkin ydintyä missä hyvänsä sauvan sileässä osassa, on mahdollista olettaa, että nimellinen keskijännitys on vakio ja yhtä kuin 260 MPa. Tässä luvussa on eri kuvissa käytetty vaihdellen joko nimellisiä jännityksiä tai paikallisia jännityksiä. Myötämisen jälkeen jännitysamplitudit toimivat kuitenkin lineaarisesti, so., paikallinen jännitysamplitudi on yhtä kuin muotoluku kertaa nimellinen jännitys. Myötäminen vaikuttaa vain keskijännitykseen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 71

72 Haigh-diagrammi ja High-Cycle testauspiste Paikallinen väsymisraja [MPa] EN-GJS R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa M Paikallinen jännitys [MPa] jännitys = 252.4(+-)112 Smean = eps.plast=0.2% Paikallinen venymä [%] Paikallinen keskijännitys [MPa] testi Sm=Kt*260 Sm(plast.)=252.4 R=0 Smax=Rp0.2 Nimellinen high-cycle keskijännitys 260 MPa aiheutti sileässä sauvassa pienen plastisen venymän, joka muutti paikallisen keskijännityksen arvoon MPa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 72

73 Testipisteet ja kuormitusspektri sileillä sauvoilla Paikallinen väsymisraja [MPa] EN-GJS R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa R=0 Smax=Rp0.2 SaHC1=115.8 SaHC2=94.9 SaHC3=87.1 SaHC4=67.8 SaLC1=188.3 SaLC2=177.8 SaLC3=174.0 SaLC4= Paikallinen keskijännitys [MPa] Nimellinen jännitys maxhc = maxlc = mhc + ahc mhc = 260 = vakio minlc = 10 = vakio Aika ahc alc mlc 3300 n HC nlc SminLC=10 (vakio) SmHC=260=vakio SmaxHC=SmaxLC SminHC SmLC SCILLED-projektin testausmatriisi sileille sauvoille spektri-kuormalla. Testisarja nr. Sauvojen lukumäärä Paikallinen low-cycle jännitys [MPa] Paikallinen highcycle jännitys [MPa] n Ylityskerroin f LC Syklisuhde = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb

74 SCILLED-projektin spektritestien tulokset Paikallinen high cycle amplitudi [MPa] s N af = N EN-GJS N a 7.52 R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa N s N a 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 Elinikä [sykli] perus S-N (Sm,nim=260) sarja 1 (RC=3300) sarja 2(RC=10^4) sarja 3(RC=2 10^4) sarja 4(RC=2.2 10^5) sarja 5(RC=3 10^5) sarja 5 (murtumaton) Saf = S-N-laaj.(sarjat1ja3) S-N-laaj.(sarjat4ja5) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb a 8.32 f LC f LC 1.143

75 SCILLED-projektin spektritestien tulokset taulukkomuodossa Spektritestin tulokset sileillä sauvoilla SCILLED-projektissa. Paikallinen high-cycle keskijännitys on mhc = MPa jokaisessa testi-sarjassa. Myös paikallinen low-cycle minimijännitys on vakio ja yhtä kun minlc = 10.4 MPa jokaisessa sarjassa (paikallisia high-cycle amplitudeja [MPa]) Elinikä N [sykli] Testisauva i Sarja 1 R C = ahc = ja f LC = Sarja 2 R C = 10 4 ahc = 94.9 ja f LC = Sarja 3 R C = ahc = 87.1 ja f LC = Sarja 4 R C = ahc = 87.1 ja f LC =1.192 Sarja 5 R C = ahc = 67.8 ja f LC = murtunut murtumaton Testisarjan keskimääräiset arvot (luonnollinen logaritmi) = = = = = = = = = = ) koska murtumattomat on käsitelty niin kuin ne olisivat murtuneet, ovat todellinen keskiarvo ja keskihajonta paljon suurempia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 75 1)

76 Muutamia johtopäätöksiä SCILLED-projektin tuloksista sileillä sauvoilla 1. S-N-käyrän laajennuksen aloituspiste siirtyy suhteessa peruskäyrän rajasyklilukuun suurin piirtein vastaavalla tavalla kuin nuorrutusteräkselle ylityskertoimen ja syklisuhteen funktiona. Koska laajennus on niin jyrkkä, kasvattaa syklisuhteen suurentaminen tässä tapauksessa myös rajasyklilukua N s. 2. S-N-käyrän laajennus tulee loivemmaksi syklisuhteen kasvaessa, kuten havaittiin myös nuorrutusteräksen kohdalla. 3. Käytetyillä syklisuhteilla lasketut kaltevuuseksponentit ovat aika lähellä E. Haibachin mukaista oletusarvoa (k-1) = Vertailu DAMTH-testin tuloksiin on vaikeaa testimatriisien periaatteellisista eroista johtuen. Tuloksia voidaan tulkita varauksella siten, että ylityskerroin vaikuttaa samalla tavalla myös pallografiittivaluraudan tapauksessa. 5. Low-cycle kuorman aiheuttama osavaurio on mitätön. Lineaarista osavaurioteoriaa käyttäen se on vain noin 0.3 %. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 76

77 SCILLED-projektin spektritestit lovetuilla sauvoilla Testissä käytettiin kuvassa jo aikaisemmin näytettyä pallografiittivaluraudasta GJS tehtyä lovettua sauvaa. Käytetty spektri oli hyvin samanlainen kuin aikaisemmassa kuvassa näytetty sileiden sauvojen spektri. Seuraavassa taulukossa 18.7on näytetty koko testimatriisi. Lovettuja sauvoja vastaava Haigh-diagrammi oli jo hahmoteltu kuvassa sivulla 37, josta voi nähdä, että loven pohjassa tapahtuu voimakasta plastisoitumista maksimijännityksen vaikuttaessa. Plastisoitumisen jälkeen on paikallinen high-cycle jännitys mhc MPa, eli melkein sama kuin nimellinen jännitys. Näin ollen saadaan paikallisia jännityksiä käyttämällä approksimatiivisesti taulukon 18.8 mukainen testimatriisi. Seuraavassa kuvassa on näytetty arvioidussa Haigh-diagrammissa lovetun sauvan spektritestin high-cycle ja low-cycle testipisteet. Spektritestin tulokset on näytetty tätä kuvaa seuraavassa kuvassa. Tuloksista voidaan nähdä, että sarjan nro 1 high-cycle amplitudi on valittu hiukan epätarkoituksenmukaisesti, kun sekin sijaitsee väsymisrajan yläpuolella. Tämä valinta on johtanut siihen, että jos S-N-käyrän laajennus lasketaan käyttäen hyväksi testisarjoja 1 ja 2, niin se poikkeaa hyvin vähän perus-s-n-käyrästä. Sen sijaan käyttämällä hyväksi testisarjoja 2 ja 3 saadaan käyttökelpoinen käyrä, joka voi jossain määrin vastata todellista tilannetta. Lisäksi tämän laajennuksen kaltevuuseksponentti on melkein sama kuin sileiden sauvojen testisarjoista 4 ja 5 saatu. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 77

78 Lovetuilla sauvoilla suoritettujen spektritestien testimatriisit Taulukko SCILLED-projektin lovettujen sauvojen spektritestin nimellisiä jännityksiä. Testisarja nr. Nimellinen low-cycle-jännitys [MPa] Nimellinen highcycle-jännitys Sauvojen lukumäärä n,, Ylityskerroin f LC [MPa],, Syklisuhde = Taulukko SCILLED-projektin lovettujen sauvojen spektritestin paikallisia jännityksiä. Testisarja Paikallinen low-cyclejännitys nr. Sauvojen lukumäärä n [MPa] Ylityskerroin f LC Paikallinen highcycle-jännitys [MPa] Syklisuhde = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 78

79 Lovetuilla sauvoilla suoritettujen spektritestien testauspisteet Haigh-diagrammissa EN-GJS R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa Paikallinen väsymisraja [MPa] M R R=0 Smax=Rp0.2 Smax=Rp0.2 SaHC1=162.7 SaHC2=113.6 SaHC3=83.2 SaLC1=289.2 SaLC2=264.7 SaLC3= Paikallinen keskijännitys [MPa] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 79

80 Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] SCILLED-projektin spektritestien tulokset lovetuilla sauvoilla EN-GJS s N R m = 625 MPa R p0.2 = 338 MPa N Perus S-N-käyrä Saf=138.4 sarja 1(RC=3300) sarja 2(RC=20 000) sarja 3(RC= ) sarja 3(murtumaton) Laajennus(sarjat 1-2) Laajennus(sarjat 2-3) s s N N N a 50 sn f LC 1.17 N f LC 1.33 a sn E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 80 Elinikä [sykli] Testisarjojen 2 ja 3 avulla piirretty S-N-käyrän laajennus on todellisuudessa vielä loivempi, vaikka käyrän määrittämisessä huomioitiin myös murtumattomat sauvat. Logaritminen keskihajonta s N on laskettu luonnollista logaritmia käyttäen. Kuvassa on merkattu laajennuksien määrittämisessä käytettyjen sarjojen keskimääräinen ylityskerroin a 4.68

81 SPEKTRITESTIEN TULOSTEN MUUTTAMINEN SUUNNITTELUKÄYRIKSI Itse Rabbin kirjassa on spektritestien tulosten muuttaminen suunnittelukäyriksi kosketeltu hyvin lyhyesti. Kirjan kuva näyttää tällaisen käyrän, josta kuitenkin puuttuu low-cycle kuorman vaikutus joka on lisättävä silloin kun lowcycle-vaurio tulee merkittäväksi Alla oleva esitys koskee lähinnä sellaisia yksinkertaisien kuormitusspektrien vaikutus missä on vain kaksi dominoivaa tasoa, s.o. vakio low-cycle taso ja vakio high-cycle taso Tällaisille kuormituksille on mahdollista luoda nopeita suunnittelukäyriä jossa annetaan vaadittu varmuuskerroin vain high-cycle jännitysamplitudia ja keskijännitystä huomioiden Tällaisien käyrien luominen voi myös auttaa päättämään koska on tarvetta suorittaa perusteellisen kumulatiivisen osavaurioanalyysin ja koska ei Alla olevaa järkeilyä on myös mahdollista laajentamaan hiukan monimutkaisempia spektrejäkin, mutta suositus on kuitenkin silloin että suoritetaan kunnollisen osavaurioanalyysin. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 81

82 Yhden lohkon jännityshistoria Mediaani väsymisraja af Yksi kuormituslohko jossa syklisuhde RC Peruskäsitteet ja yhtälöt (kertaus) nhc nlc 800 Aika 700 f alc LC 600 aflc k H 500 m sahc alc 400 salc2 mlc 300 smhc aflc 200 smlc2 afhc S F ahc safhc ahc 100 saflc mlc 0 afhc S F Keskijännitys m Määritelmät ja symbolit: ar=-1 väsymisrajan mediaani kun R = -1 Haigh diagrammin kaltevuuskerroin keskijännitys low-cycle jännitysamplitudi low-cycle keskijännitys väsymisraja low-cycle keskijännityksellä high-cycle jännitysamplitudi high-cycle keskijännitys väsymisraja high-cycle keskijännityksellä high-cycle varmuuskerroin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 82 f LC C nhc nlc R syklisuhde n HC n HC high-cycle syklien lukumäärä low-cycle syklien lukumäärä ar1 k alc H mlc ylityskerroin Haigh diagrammin lineaarisella osalla

83 Nimellinen high-cycle amplitudi [MPa] Teräksen laajennettu S-N-käyrä DAMTH-projektin tulosten mukaan Perus S-N käyrä: N a N s = N s = af = 462 N s = N s = Low-cycle-amplitudin suhde vastaavaan väsymisrajaan f LC = alc /( ar=-1 -k mlc ) kun ahc = 400 kun ahc = n HC /n LC = k s = N s = k s = S - N käyrän laajennus k 462 s N N s a E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] SaLC=870/10^4,5P SaLC=600/10^4,4S/1P SaLC=500/10^4,1S/1R SaLC=870/10^5,6P SaLC600/10^5,3S/2P SaLC=500/10^5,2S/1R SaLC=845/10^4,5P SaLC=610/10^4,2S SaLC=510/10^4,1R! SaLC=845/10^5,5P SaLC=610/10^5,2S SaLC=510/10^5,- SN( /10^4) SN( /10^5) SN( )/10^4 SN( )/10^5 SN( )/10^4?? P ydintyminen pinnasta S ydintyminen sisäisesti Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 83 k s = k s = k on perus S-N-käyrän kaltevuuseksponentti ja N af tämän käyrän rajasukliluku k s on laajennuksen kaltevuuseksponentti ja N s laajennuksen rajasykliluku k s = 26.4

84 S-N-käyrä ja sen yleinen laajennus 1000 Väsymislujuus af alc 1/ k n LC Naf perus S-N hajonta - snlc Naf saf laajennettu S-N hajonta - snhc Ns hajonta sln s NLC N af s NLC k s ln E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä s ln väsymisrajan logaritminen keskihajonta s NLC vastaava perus S-N-käyrän eliniän logaritminen keskihajonta s NHC laajennuksen eliniän logaritminen keskihajonta s ln N s s NHC af alc 1/ k n s HC N s Symbolit ja yhtälöt: N af perus S-N-käyrän rajasykliluku N s laajennuksen rajasykliluku Jos käytetään Haibachin ehdottamaa muotoa: N s = N af k s = 2k-l l = 1 teräs l = 2 valurauta k perus S-N-käyrän kaltevuuseksponentti k s laajennuksen kaltevuuseksponentti Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 84

85 Analyysissä käytettävä eliniän logaritminen keskihajonta Seuraavia oletuskeskihajontoja käytetään väsymisrajalle ja perus S-N-käyrälle tapauksissa joissa raevuo on samansuuntainen jännityksen kanssa: s r = 0.08 teräksen suhteellinen keskihajonta s r = 0.12 valuraudan suhteellinen keskihajonta Käyttäen kirjassa ehdotettua karkeaa mutta konservatiivista likiarvoa saadaan s ln ln(1 s r ) s s ln ln logaritminen keskihajonta teräkselle logaritminen keskihajonta pallografiittivaluraudalle Olettamalla että normaali- ja lognormaalijakaumalla olisi suurin piirtein sama suhteellinen keskihajonta saataisiin: 2 s ln 1 s Väsymisrajan läheisyydessä on väsymisrajan keskihajonnan ja eliniän keskihajonnan vastattava toisiaan, s.o., eliniän logaritminen keskihajonta on seuraava perus S-N-käyrälle: s NLC = k s ln ln r s s ln ln Laajennuksen eliniän logaritminen keskihajonta valitaan vastaavalla tavalla, mutta kuitenkaan sen ei pidä olla isompi kuin s NHC,max = teräkselle ja s NHC,max = valuraudalle, s.o. s s NHC NHC k s s s ln jos NHC,max k s jos s k ln s s s ln NHC,max s NHC,max Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 85

86 Mediaani S-N-käyrän ja laajennuksen redusoiminen Jännitysamplitudi a [MPa] alc n N af, LC 1/ k LC af af, LC, P af, LC / S af, HC, P af, HC Ns, P N s SN alc, P F / S F n N N af Varmuuskerroin jolla väsymisrajan mediaaniarvo redusoidaan: af, LC, P 1/ k LC af N s S F ahc N e Cr s N s, P Jos nhc NCr ei monesti tarvitse huomioida spektri - kuormaa Jännityssyklien lukumäärä ln S missä F k s Varmuuskerroin laajennuksen eliniän mediaaniarvon redusoimiseksi: s S NHC N e n N af, HC 1/ HC s k s ahc, P S F n n N HC n N HC s, P af, HC 1/ HC 1/ s, P k s kun kun k s af, HC ahc, P P 10 P S-N,med S-N,P Saf,LC,med Saf,HC,med Naf Ns Ns,P S-N-laaj S-N-laaj,P Saf,LC,P Saf,HC,P Ncross Jos voidaan jättää LC-kuormaa huomioimatta Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 86

87 Tilanne kun low-cycle vaurio on huomioitava ja sallittu vaurio on Dsall < 1 Jännitysamplitudi a [MPa] D all = suurin sallittu vauriosumma ( 1) D LC = n LC /N LC low-cycle vaurio s.o. D HC D allow -D LC sallittu high-cycle vaurio N s,pd = N s,p D HC alc nlc n Dsall DLC DHC NLC N Jos high - cycle amplitudi on D HC D sall D LC ahc n (kun ahc HC HC HC on syklien lukumäärän oltava DHC Ns, P n N D ) HC CR HC af ahc k s n LC N LC n HC,lim = N Cr D HC N Cr n HC N HC N s,p Syklien lukumäärä S-N,med S-N,P Saf,LC Saf,LC,P Saf,HC Ns Ns,P S-N-laaj S-N,P,DHC Saf,HC,P NCr SaLC nlc NLC SaHC nhc NHC Ns,P,D N,Cr,red S-N,P,(DHC) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 87

88 Suunnittelukäyrän tekeminen jos low-cycle vaurio on vakio Vaadittu varmuuskerroin S F (N) = af / ahc Jos sekä low-cycle vaurio D LC että amplitudi ahc ovat vakioita, silloin ei tarvita korottaa high-cycle osuuden normaalia varmuuskerrointa ennen kuin ylitetään seuraavaa high-cycle syklien raja-arvoa n HC,lim. S F e s ln 1/ k s n S HC F ( nhc ) DHC N s, P nhc,lim NCr DHC k Ns, P S F s DHC High-cycle syklien lukumäärä n HC Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 88

89 Yhteenveto tarvittavista yhtälöistä teräkselle silloin kun syklisuhde on vakio Low-cycle vaurio muuttuu suoraan verrannollisesti high-cycle syklien lukumäärään kun käytetään vakiota syklisuhdetta, mikä on normaali tapaus ja myös testeissä käytetty tapaus. ylityskerroin, s.o. alc / af,lc jos on useita low-cycle tasoja on konservatiivista käyttää korkeinta f LC R C syklisuhde, s... n HC /n LC S n D S F LC LC F e s n R n N ln ja ja R n D n HC kun n n N D S HC HC C LC LC Teräs (DAMTH) C HC s N n N N NHC LC HC af, LC 1/ k s, P N s k s ln SF 11.3 LC af, LC f korkeintaan Naf, HC 5 af, HC 10 R af, LC af, LC HC,lim R ks 25.2 flc jos käytetään Haibachia niin N N ja N s af, P af, LC alc k alc s s HC k R C N n N HC Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 89 4 C C f f k S S S s LC N F F LC f s, P e f k k 1 s af, LC LC LC k af, LC HC NHC F 5000 ja k k s ja N D N S s, P N HC af, HC af, LC k F flc / S af, LC (kuitenkaan, ei pienempi kuin 3) D N N s sall N D LC

90 Esimerkki: suunnittelukäyrä teräkselle kun ylityskerroin on f LC = 1.15 Vaadittu high-cycle varmuuskerroin a) Ilman jännitysgradienttia. Väsymismurtuma noin 4000 low-cycle syklin jälkeen E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 High-cycle syklien lukumäärä SF(RC=10^4) nhc,lim=1.7e7 nlc=4.0e7 SF(RC=10^5) nhc,lim=3.5e8 nlc=4.0e8 SF(RC=10^6) nhc,lim=2.8e9 nlc=4.0e9 SF=1.346 b) Jännitysgradientti 6.1 mm -1 (K t = 3.54). Murtuma noin low-cycle syklin jälkeen Vaadittu high-cycle varmuuskerroin E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 High-cycle syklien lukumäärä SF(RC=10^4) nhc,lim=8.1e5 nlc=7.1e8 SF(RC=10^5) nhc,lim=9.8e5 nlc=7.1e9 SF(RC=10^6) nhc,lim=3e6 nlc=7.1e10 SF=1.346 R k C LC k s k s s ln s N S N Vaurioitumisriski P = 10-4 jokaisessa käyrässä R k C LC k s k s s ln s N S N Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 90

91 Yhteenveto tarvittavista yhtälöistä valuraudalle silloin kun syklisuhde on vakio s s s r 0.12 k sln k s NLC NHC s ln s ln ln 1 s 2 r jos pienempi kuin s ja S NHC,max F e s ln muuten 156. kun s NHC P Nyt pitää tarkasti huomioida että low-cycle keskijännitys mlc on erilainen kuin high-cycle keskijännitys mhc koska nyt on myös low-cycle S-N-käyrän kaltevuuseksponentti k LC erilainen. Rajasykliluvut N af,lc ja N af,hc ovat myös erilaiset S n D S N LC LC F e s n R NHC 1/ k s NHC,max k n HC ja n n N D S s HC HC C n N LC LC S ja R C n D HC N,max N n N N LC HC af, LC s, P e N s af, LC SF alc af, LC af, P, LC alc k HC ( 150 LC k R jos P 10 LC C n N HC HC,lim N af, LC af, LC S s, P 4 F ) S f F LC HC ja f LC k af, LC LC F N s, P N af, LC s k / S LC D N HC S N af, LC k F flc D sall LC D LC Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 91

92 Esimerkki: suunnittelukäyrä valuraudalle kun ylityskerroin on f LC = 1.15 Vaadittu high-cycle varmuuskerroin a) Ilman jännitysgradienttia. Väsymismurtuma noin 8000 low-cycle syklin jälkeen E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 High-cycle syklien lukumäärä SF(RC=10^4) nhc,lim=2.87e6 nlc=9.5e7 SF(RC=10^5) nhc,lim=2.45e6 nlc=7.8e8 SF(RC=10^6) nhc,lim=2.87e6 nlc=7.5e9 SF,HC=1.56 Vaadittu high-cycle varmuuskerroin b) Jännitysgradientti 0.79 mm -1 (K t = 1.67). Murtuma noin low-cycle syklin jälkeen E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 High-cycle syklien lukumäärä SF,HC nhc,lim=2.19e6 nlc=2.60e8 SF(RC=10^5) nhc,lim=1.92e6 nlc=2.40e9 SF(RC=10^6) nhc,lim=1.55e6 nlc=2.20e10 SF,HC=1.56 R k C LC k s s ln s N S N Vaurioitumisriski P = 10-4 jokaisessa käyrässä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 92 R k C LC k s s ln s N S N

93 Suunnittelukäyriin liittyvät jälkikommentit S-N-käyrän laajennusta ajatellen on ilmeistä että suurin sallittu vaurioitumisriski P pätee vasta kun lähestytään eliniän loppua. Tätä ennen on vaurioitumisriski paljon pienempi. Onko näin ollen järkevää vaatia että P 10-4 juuri ennen kuin on muutenkin tarkoitus romuttaa koneen? Ehkä tätä vaatimusta voitaisiin käyttää vain perus S-N-käyrälle ja laajennukselle esimerkiksi P Jos käytettäisiin laajennukselle suurinta sallittua vaurioitumisriskiä P = 10-3 se merkitsisi että eliniän varmuuskertoimen maksimiarvo laskisi arvosta 30 arvoon 17 teräkselle ja arvosta 150 arvoon 64 valuraudalle. Tätä on tosiaan syytä harkita! Sellaisia spektrejä missä low-cycle kuormitus on ylikuorma voidaan käsitellä yllä olevilla kaavoilla koska riippuen high-cycle syklien suuresta lukumäärästä särön kärjessä oleva puristusjäännösjännitys relaksoituu ja näin ollen särön kasvun hidastuminen voidaan jättää luultavasti huomioimatta. Vaikka jokainen dieselmoottori kokee tällaisen 2-taso-kuormitusspektrin se on merkittävää että on hyvin vähän raportoituja haaveritapauksia jotka voitaisiin liittää tähän. Tämä tosiasia vahvistaa omalla tavallaan yllä olevia laskelmia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 93

94 ERÄÄT MUUT SPEKTRITESTIT (Kirjan luku 19) FADEL-projekti: sileillä terässauvoilla suoritettu spektritesti 2000-luvun alkuvuosina suoritettiin eräässä FADEL-nimisessä projektissa spektriväsytystestausta sileillä testisauvoilla nuorrutusteräkselle. Koska ne olivat ensimmäisiä kirjoittajan suunnettelemia tämän tyyppisiä testejä ne eivät olleet yhtä systemaattisia kuin esimerkiksi DAMTH-projektin testit. Kuormitusspektri ja testisauva on esitetty alla. Pidettiin high-cycle keskijännitys mhc = 556 MPa ja low-cycle jännityksen minlc = MPa vakioina. Käytettiin kahta syklisuhdetta R C = 10 4 ja R C = 10 5 Paikallinen jännitys [MPa] alc max LC max HC mhc 556 mlc R C n n HC LC 10 4 min LC ja 10 5 ahc 65 M16 1 EN CrNiMo6 Kahden vetokokeen keskiarvona: Rm = 1165 MPa R p0.2 = 1064 MPa K t = A eff = 383 mm 2 kun s r = SigmHC = 556 = vakio Aika SigminLC = = vakio Aksiaalisesti kiillotettu Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 94

95 FADEL-projektin testausmatriisi. Testisarja nr. Sauvojen lukumäärä n FADEL-projektin testausmatriisi ja porraskokeet Paikallinen low-cyclejännitys [MPa] Ylityskerroin f LC Paikallinen highcycle-jännitys [MPa] Syklisuhde Paikallinen amplitudi [MPa] af s r murtunut Testisauva nr. murtumaton Paikallinen amplitudi [MPa] af s Testisauva nr. murtunut d 29 murtumaton a) Paikallinen keskijännitys MPa. b) Paikallinen keskijännitys 556 MPa. Porraskokeet. Katkaisuraja testeissä 10 7 sykliä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 95

96 FADEL-projektin testattu S-N-käyrä Porraskokeiden tulokset ovat keskihajontojen suhteen hiukan ristiriitaisia. Jännitysinkrementti 29 MPa on keskijännityksellä 556 MPa ollut liian suuri, koska havaintoja on vain kolmella tasolla, mikä tekee keskihajonnan laskemisen mahdottomaksi. Voidaan vain todeta, että se on luultavasti pienempi kuin inkrementti, eli s r < Toisaalta inkrementti on toisessa porraskokeessa keskijännityksellä MPa ollut pikemminkin liian pieni, koska havaintoja on niin monella tasolla. Tämän kokeen mukaan suhteellinen keskihajonta on , eli kuitenkin aika lähellä ensimmäisen testin asettamaa ylärajaa. Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] N a 0 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Elinikä [sykli] pintaydintyminen sisäydintyminen? kaikki havainnot pintaydintyneet N a väsymisraja= Huomioitu vain pinnasta ydintyneet: Testitaso Keskimääräinen keskihajonta: s N 1 n 1 s N n 1 ln N i eliniän logaritminen keskihajonta s N ylin keskimmäinen alin A k ln ai 2 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 96

97 FADEL-projektin testattu Haigh-diagrammi ja spektritestien testauspisteet Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] EN CrNiMo6+QT R m = 1165 MPa R p0.2 = 1064 MPa Testattu väsymisraja yhtyy hyvin C. Mourierin oletusarvoon MPa Haigh diagrammi porraskoe porraskoe R=0 SaLC(1,2)=789 SaLC(3,4)=775.3 SaLC(5)=749.4 SaHC(1,2)=400.4 SaHC(3,4)=373 SaHC(5)=321.2 SmHC= Paikallinen keskijännitys [MPa] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 97

98 FADEL-projektin spektritestien tulokset Paikallinen high-cycle amplitudi [MPa] N a N a N a E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] 400/ / / / / perus S-N käyrä 400ja373/10^4 400ja373/10^5 väsymisraja = 428 Eliniän logaritminen (luonnollinen) keskihajonta eri testisarjoissa Sarja s N Jättäen huomioimatta poikkeava sarja 5 saadaan seuraava keskiarvo: s N,otos = s N = s N,C90 = Testitulokset vahvistavat DAMTH testien tulokset. Laajennus siirtyy kohti korkempia elinikiä kun syklisuhde kasvaa, j.n.e. Havaitus elinikien keskihajonnat ovat kuitenkin paljon isompia kuin DAMTHtesteissä havaitut Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 98

99 FATE-projektissa suoritetut väsytys ja spektritestit Tavoitteena tässä FATE-nimisessä vuosina suoritetussa projektissa oli tutkia ruuvien kaltaisiin kone-elimiin liittyviä väsymisongelmia. Ruuvien kierteet muodostavat hyvin teräviä lovia. Esikiristettäessä kierteiden pohjissa tapahtuu voimakasta plastisoitumista, koska yleensä ruuvia esikiristetään niin voimakkaasti, että nimellinen vertailujännitys kierteen niin kutsutussa jännityspoikkipinnassa on 90 % aineen myötörajasta. Tutkimuksella oli kaksi päätavoitetta: a) selvittää, voidaanko ruuvien mitoituksessa käyttää yhtä hyvin nykyaikaisia menetelmiä tähän asti käytetyn saksalaisen ohjeen VDI 2230 sijaan, ja b) tutkia, aiheuttavatko huoltojen yhteydessä ruuvien avaamisesta ja uudelleenkiristämisestä syntyvät harvat suuret kuormitussyklit kumulatiivista vaurioitumista ja vaaran ruuvien turvallisuudelle. Tutkimukset suoritettiin kahdessa eri projektissa. Ensimmäisessä, JUHAksi nimitetyssä projektissa, tutkittiin vakioamplitudikuorman aiheuttamaa väsymistä ja toisessa, FATEnimisessä projektissa, tutkittiin spektrikuorman aiheuttamaa väsymistä. Ruuvit valmistetaan yleensä korkealaatuisesta hienorakeisesta nuorrutusteräksestä EN CrNiMo6+QT. Haluttiin myös tutkia, miten paljon kierteiden valssaus nostaa väsymisrajaa sorvattuihin kierteisiin verrattuna. Tähän tarkoitukseen käytettiin kahdessa porraskokeessa kuvan mukaista kierteistettyä testisauvaa, joista toisessa käytettiin sorvattuja kierteitä ja toisessa valssattuja kierteitä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 99

100 FATE-projektin testisauvat ja staattinen lujuus Nuorrutusteräksen 34CrNiMo6+QT staattiset lujuusarvot kahden vetokokeen keskiarvona. Projekti Vetolujuus R m [MPa] Myötöraja R p0.2 [MPa] Murtovenymä A [%] Poikkipinnan suppeuma Z [%] JUHA FATE M32 1 M32 1 M R K t = 5.86 = 8.6 mm -1 A eff = 4.0 mm 2 (kimmoinen) A eff = 6.9 mm 2 (plastinen) ja s r = Suhteessa sileään sauvaan on K size = K t = A eff = mm 2 ja s r = M K t 2.7 A eff = 19.5 mm 2 ja s r = Suhteessa sileään sauvaan on K size = d) Vetosauva e) Sauva syklisen -käyrän testausta varten. a) Lovettu sauva. b) Sileä sauva. c) Kierteistetty sauva. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 100

101 FATE: Monotoninen jännitys-venymä-käyrä Ruuvikierteiden pohjassa tapahtuu voimakasta plastisoitumista esikiristettäessä. Elasto-plastista jännitysanalyysiä varten piti testata monotoninen -käyrä Jännitys-venymä vaste Stress strain response Todellinen: paikallinen kuroutuman kohdalla True: Locally at necking Nimellinen: Nominal: alkuperäisen Per original area poikkipinnan suhteen Halkaisija: Diameter: tulkki Gage + optinen + optical 9,5 9,0 8,5 Jännitys Stress [MPa] Sauva nr.: True paik. stress jänn. WD8 WD8 True paik. stress jänn. WD7 Nominal nim. jänn. stress WD8 WD8 Nominal stress WD7 nim. jänn. WD7 Diameter WD8 halkaisija WD8 Diameter WD7 halkaisija WD7 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 Halkaisija [mm] Diameter [mm] 800 5, CrNiMo6 R m = 1016 MPa R p0.2 = 911 MPa 4, , True strain [%] Paikallinen venymä [%] murtuminen a) kurouma b) paikallinen ja nimellinen jännitys-venymä käyrä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 101

102 FATE: Kimmokerroin ja plastinen venymä Testattaessa monotoninen -käyrä löydettiin uusi ilmiö kimmokerroin laskee plastisen venymän mukaan. Tämä vaikuttaa pinenevästi esikiristetyn kierteen pohjassa olevaan jännitysamplitudiin. Nimellinen jännitys [MPa] E E E Nimellisiä jännitys-venymä käyriä monotoninen kuorman poisto WD 1 WD 2 WD 3 WD 4 WD 6 WD Venymä [%] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 102

103 FATE: syklinen jännitys-venymä-käyrä Syklinen plastinen venymä aiheuttaa pehmenemistä Ruuvin pohjassa esikiristettäessä laskenut kimmokerroin ei relaksoidu low-cycle venymäsyklien vaikutuksesta Nimellinen jännitys [MPa] Testisauva WD 13. Kuormituslohkot 1 ja 5 esikuormitus WD 13 blocks 1 and 5 preload lohko 1 ; sykli 1 bl. 1; cycle 1 lohko 1 ; sykli 10 bl. 1; cycle 10 lohko bl. 11; ; cycle sykli bl. 5; cycle 1 lohko 5 ; sykli 1 bl. 5; cycle 10 lohko bl. 55; ; cycle sykli lohko 5 ; sykli 99 E soft Low cycle venymäamplitudi 5% sekä high cycle venymä noin +/- 0,2 %. Relaksaatio ja pehmeneminen. E soft 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5, strain (%) Venymä [%] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 103

104 FATE: Väsytystestaus sileillä sauvoilla ja vaihtokuormalla Huomioiden tilastollinen kokokerroin on testattu väsymisraja jopa hiukan isompi kuin Mourierin oletusarvoa noin 474 MPa (K size = 1.069) Murtumattoman testisauvan testaus uudelleen ei ilmeisesti kannata jos halutaan tarkkoja tuloksia Useimmat sauvat kokivat ydintymisen sisäpisteestä mikä asia heijastuu myös korkeissa sykliluvuissa Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] R = -1 ja katkaisuraja noin 10 7 sykliä Murtumattomien sauvojen uudelleen testaus johti selvästi kasvavaan väsymisrajaan. af,nim 479 MPa E E E E+08 Syklien lukumäärä W1/kesti W1/murtui W2/kesti W2/murtui W3/kesti W3/murtui W4-8ja10/murtui W9/kesti b) Särön ydintyminen testisauvassa W1 oli tapahtunut sisäisestä sulkeumasta jonka koko oli m. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 104

105 FATE: Särön ydintymisajankohta oli vaikea määritellä lovetuilla sauvoilla Lopuksi päätettiin määritellä ydintymisajankohdaksi hetki jolloin resonanssitestauskoneen tajuus oli laskenut 0.2 % Suhteellinen testitaajuus [%] Testisauva nr. Amplitudi [MPa] Specimen (ampl. MPa) W01 (57,1) W06 (48,5) W07 (46,3) W12 (46,3) W13 (44,1) W09 (44,1) W05 (44,1) W11 (44,1) W14 (42,0) W10 (42,0) W16 (42,0) W17 (42,0) W15 (39,8) W03 (35,5) W02 (31,1) ,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 Syklien lukumäärä a) Muutos testikoneen taajuudessa. c) Yhdensuuntaiset pintasäröt viittaavat ydintymiseen pinnasta. b) Ydintyminen monessa kohdassa pitkin kehää ja säteittäisiä ojia joissa ne kasvoivat yhteen. Loppumurtuma Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 105

106 FATE: Väsytystesti lovetuilla saivoilla nimellisellä keskijännityksellä 741 MPa Tässäkin testissä nähtiin se ilmiö että uudelleen testaus murtumattomalla sauvalla tuntui nostamaan tämän sauvan väsymislujuus Ottaen huomioon muotoluku K t = 5.86 on paikallinen väsymisraja niin korkea kuin 292 MPa Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] N a, nim 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Elinikä [sykli] R0.2 M murtunut murt.kunn>10^7 murtunut W2(kesti) W2(murt.) W9(kesti) W9(murt.) W10(kesti) W10(murt.) W11(kesti) W11(murt.) S-N käyrä väs. raja=49.9 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 106

107 FATE: Väsytystestien perusteella laadittu Haigh-diagrammi ja vertailu VDI 2230:aan Testitulokset vastaavat VDI 2230:n suositukset erittäin hyvin Hyvin jyrkästikin lovetuille ruuvinkaltaisille osille voidaan suorittaa normaali väsymisanalyysi Paikallinen väsymisraja [MPa] VDI 2230:n mukaan K t af,nim EN CrNiMo6+QT R m = 1013 MPa (JUHA) ja 1031 MPa (FATE) R p0.2 = 903 MPa (JUHA) ja 927 MPa (FATE) 28.1 % Testin mukaan on valssatun kierteen väsymisraja 28.1 % korkeampi kuin leikatun, kun VDI 2230:n mukaan se on noin 24 % korkeampi Sileä sauva Lovi (Ksize=1.2) R=0 Smax=Rp0.2 Testi/JUHA FATE(Ekimmoinen) FATE(Eplastinen) leikattu kierre valssattu kierre VDI2230(leikattu) VDI2230(valssattu) extra Paikallinen keskijännitys [MPa] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 107

108 FATE: Kuormitusspektri lovetuilla sauvoilla Testissä käytettiin kuormitusspektriä, joka muistutti ruuvien kuormitusta, kun huomioitiin seuraavat vaiheet: 1. Esikiristys joko hydraulityökalulla tai momenttiavainta käyttäen, kunnes määräävän poikkipinnan nimellinen vertailujännitys on 90 % myötörajasta. Tässä tapauksessa käytettiin kuitenkin max = 741 MPa, joka vastaa vain noin % myörörajasta. Testisarjassa 1 unohdettiin huomioida kimmoinen takaisinjousto, ja maxhc = maxlc = 741 MPa pidettiin vakiona. 2. Työkalua poistettaessa tapahtuva % kiristysvoiman takaisinjousto. Testisarjoissa 2, 3 ja 4 huomioitiin 15 %:n takaisinjousto, ja minhc = 630 MPa pidettiin vakiona. 3. Nimelliset high-cycle-amplitudit eri tasoilla väsymisrajasta lähtien ja sen alapuolella. Seuraavassa kuvassa on esitetty sekä käytetyn kuormitusspektrin periaatekuva että ensimmäisen testisarjan paikat Haigh-diagrammiin piirrettyinä. Testissä käytettiin 3 eri syklisuhdetta: 10 5, 10 6 ja Tulokset on nimellisjännityksinä ilmoitettuina näytetty seuraavassa kuvassa ja taulukossa. S-N-käyrän laajennus on hyvin jyrkkä. Ensimmäisellä syklisuhteella 10 5 se lähtee suurin piirtein peruskäyrän rajasykliluvusta mutta paljon jyrkemmin kuin itse peruskäyrä. Suuremmilla syklisuhteilla laajennus alkaa korkeammilta rajasykliluvuilta ja hiukan loivemmin. On kuitenkin merkille pantavaa, että vielä korkeimmalla syklisuhteella 10 7 laajennuksen kaltevuuseksponentti on pienempi kuin peruskäyrän. Tässä tapauksessa, jossa tapahtuu hyvin voimakasta plastisoitumista voidaan todeta niin, että aikaisemmin johdetut kaavat niin peruskäyrälle kuin sen laajennuksellekaan eivät toimi. Toisaalta niinkuin kuvasta nähdään, voidaan ilmiö hyvin selittää särönkasvuna. Alussa HCsykleillä ei ole merkitystä, mutta LC-syklit synnyttävät ja kasvattavat pientä alkusäröä. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 108

109 FATE: Kuormitusspektri ja testauspisteet Haigh-diagrammissa Ylityskerroin on tietysti näissä testeissä vakio ja yhtä kuin f LC = 2.04 Paikallinen väsymisraja [MPa] Ylityskerroin f LC 2.04 a) Haighdiagrammi. b) Spektritestin jännityshistoria Paikallinen keskijännitys [MPa] Sileä Lovettu R=0 Smax=Rp0.2 SaLC SaHC Loven nimellinen jännitys [MPa] 0 max LC Esikiristys=741 (SmaxHC=SmaxLC, sarja 1) Takaisinjousto=630 (SminHC=630, sarjat 2,3 ja 4) max HC Hydraulista Poistettaessa työkalua hydraulinen poistettaessa työkalu tapahtuu noin noin % min HC kimmoinen % kimmoinen takaisinjousto Syklisuhde n R HC C n Aksiaalin suuntaisesti loven pohjassa Kuorma plastinen jännitys nom venymä [MPa] % % LC Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 109

110 FATE: Spektritestien tulokset graafisessa muodossa Nimellinen high cycle amplitudi [MPa] 100 af, nim 49.9 af ap S 36.7, nim F N perus N LC a N LC 52 ks 5.38 ks 3.93 ks Ns Ns Ns E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 Elinikä [sykli] Perus S-N Rc=10^5(741) Rc=10^5 Rc=10^6 Rc=10^7 Ekstrap.Rc=10^8 P=10^-4 E. Haibach Jos ruuviin vaikuttava sallittu HC-amplitudi on normaalioloissa 36.7 MPa, on ruuvi vaihdettava noin 10 avaamisen jälkeen! Vaadittu varmuuskerroin elinikään nähden S s N N e Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb N LC 54 Laajennuksien havaitut keskihajonnat ovat yllättävän pieniä, katso myös seuraava taulukko k s N s

111 FATE: Spektritestien tulokset voidaan ymmärtää särönkasvuna HC-sykliä lohkoa kohti WL 36 (New 35MPa) Resonanssitaajuus [Hz] Resonant frequency [Hz] Testisauva Specimen WL36 WL36 at nominal kun nimellinen HC-amplitudi oli 35 MPa high cycle stress amplitude 35 MPa and cycle ratio 10 ja syklisuhde f = 0.2 % Taajuuden lasku 0.2 % käytettiin ydintymisen määrittämiseksi Kuormitussyklien lukumäärä Kuormitussyklien Number of load cycles lukumäärä Mitoiltaan mm puolielliptinen alue muistuttaa LC-väsymisen aiheuttamaa. Tämän jälkeen myös HC kuorma kasvattaa särön pituutta. 8 rantaviivaa joka johtuu kuorman poistosta, näkyy tämän jälkeen ennen loppumurtumaa. ensimmäisen rantaviivan sisällä olevan 0.1 mm särön kasvu vastaa murtumusmekaniikassa usein käytettyä kasvunopeutta da/dn = m/sykli kynnysarvoa määriteltäessä. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 111

112 FATE: Spektritestien tulokset taulukkomuodossa Suhde R C = 10 5 ja Suhde R C = 10 5 ja Syklisuhde R C = 10 6 ja Syklisuhde R C = 10 7 ja = = 630 MPa = 630 MPa = 630 MPa (sarja 1) (sarja 2) (sarja 3) (sarja 4) Elinikä N i, Elinikä N i, Elinikä N i, Elinikä N i [MPa] [sykli] [MPa] [sykli] [MPa] [sykli] [MPa] [sykli] Testitulosten mukainen S-N-käyrän laajennus (luonnollinen logaritmi), N s = k s = s N = s N,C90 = N s = k s = s N = s N,C90 = N s = k s = s N = s N,C90 = Ennusteet DAMTHin kaavojen mukaan k = 4.51 k = 4.51 N s = 8835 N s = 5480 k s = 8.50 k s = 10.8 N s = k s = k = 4.51 N s = 5061 k s = 14.1 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 112

113 Harmaalle valuraudalle suoritettu spektritesti Ennen oli yleistä käyttää harmaata valurautaa useissa moottorin komponenteissa, kuten lohkossa ja sylinterikannessa. Nykyään pallografiittivalurauta on suurimmaksi osaksi syrjäyttänyt harmaan valuraudan, mutta edelleen esimerkiksi sylinteriholkit on valettu keskipakovaluina harmaasta valuraudasta koska sillä on hyvät liukumis- ja kulumisominaisuudet. Päätös tässä kuvattujen testien suorittamisesta syntyi noin 20 vuotta sitten sen jälkeen, kun erään moottorin sylinteriholkin jäähdytysrei istä löytyi väsymissäröjä. Koska sytytyspaineesta johtuvat high-cycle amplitudit olivat turvallisen matkan päässä väsymisrajasta, kohdistuivat epäilyt moottorin käynnistyksen ja pysäytyksen aiheuttamiin suuriin low-cycle amplitudeihin ja niiden aiheuttamaan kumula-tiiviseen väsymiseen. Nämä testit olivat tämän kirjoittajan suunnittelemat ensimmäiset testit vaihtelevilla kuormitusamplitudeilla ja kirjoittajan kokemattomuudesta sillä hetkellä nämä testit eivät ole niin systemaattisia kuin ne pitäisi olla Testisauvat päätettiin valmistaa paloista, jotka leikattiin erään suuren sylinterikansivalun liekkipohjasta. Aine oli harmaata valurautaa EN-GJL-300. Suoritettiin 10 vetokoetta murtorajan ja sen keskihajonnan määrittämiseksi. Murtorajan keskiarvoksi saatiin R m = 339 MPa, ja keskihajonta s = 18.6 MPa, so. s r = 5.5 %. Varsinaisessa spektritestissä pidettiin nimellinen high-cycle keskijännitys koko ajan vakiona mhc = 160 MPa. Näin ollen ensin oli testattava aineen väsymisraja ja perus-s-n-käyrä tätä keskijännitystä käyttäen. Olisi ollut hyödyllistä testata väsymisraja (ja ehkä S-N-käyrä) myös vaihtokuormalla, mutta tämä jäi tekemättä. Kuvassa on näytetty suoritetun porraskokeen tulokset sekä käytetty sileää testisauvaa. Nimelliseksi väsymisrajaksi saatiin af,nim = 31.1 MPa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 113

114 Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] Väsytystestit high-cycle keskijännityksellä 160 MPa sekä käytetty testisauva Nimellinen amplitudi [MPa] m,nim = 160 af,nim = 31.1 murtunut murtumaton havainto S-N käyrä Saf,nim = 31.1 Naf = ^6 Aksiaalisesti kiillotettu R a 1.5 m EN-GJL vetokokeen keskiarvona: R m = 339 MPa s = 18.6 MPa K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb M Testisauva nr. 90 Harmaa valurauta 80 EN-GJL R m = 339 MPa m, nim 160 MPa N a, nim 20 sn sn 10 s 1 k r e E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Elinikä [sykli] 12 Eliniän logaritmisen (luonnollinen) keskihajonnan vaihtelu eri testitasolla Testitaso logaritminen a,nim keskihajonta [MPa] s N Suuntaus että keskihajonta kasvaa kohti väsymisrajaa on selvä. Muuten on keskihajonta yllättävän pieni.

115 Haigh-diagrammi ja käytetty kuormitusspektri Koska väsymisraja testattiin vain nimellisellä high-cycle keskijännityksellä on Haighdiagrammin kaltevuuskerroin arvioitu aikaisempien porraskokeiden valossa Nimellinen väsymisraja [MPa] R = 0 porraskoe SaHC1=30.5 SaHC2=28.0 SaHC3=25.5 SaLC1=90.2 SaLC2=89.0 SaLC3=87.8 EN-GJL R m = 339 MPa Nimellinen keskijännitys [MPa] Nimellinen jännitys [MPa] max HC mlc max LC Aika ahc Syklisuhde : 5000 n R HC C nlc minlc =10 alc mhc mhc ahc 160 SminLC=10=vakio SmHC=160=vakio SmaxHC=SmaxLC SminHC SmLC (vakio) Ylityskerroin on välillä ja on näin ollen hyvin suuri. Spektri on kuitenkin valittu vastaamaan erään sylinteriholkin jäähdytysreikien pyöristyksessä olevaa jännitystä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 115

116 Spektritestien tulokset taulukkomuodossa Spektritestin tulokset. Sekä nimellinen high-cycle-keskijännitys 160 MPa että nimellinen lowcycle-minimijännitys 10 MPa ovat vakioita. Oletuksena on lognormaalijakautunut elinikä. 1 Syklisuhde R C = 5000 (sarja 1) Syklisuhde R C = (sarja 2) Syklisuhde R C = (sarja 3), Elinikä N i [sykli], Elinikä N i [sykli], Elinikä N i [sykli] [MPa] [MPa] [MPa] Keskimääräiset arvot = sykliä = Keskimääräiset arvot = sykliä = eliniän keskihajonta on laskettu luonnollista logaritmia käyttäen Keskimääräiset arvot = sykliä = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 116

117 Nimellinen high cycle amplitudi [MPa] Harmaalle valuraudalle suoritettujen spektritestien tulokset diagammimuodossa Myös harmaalle valuraudalle laajennuksien yleinen käyttäytyminen noudattaa muissakin spektritesteissä havaittua s N N a, nim N a, s Perus S-N sarja 1 (RC=5000) sarja 2 (RC=27500) sarja 3 (RC=200000) Laaj.(sarjat 1-2) Laaj.(sarjat 2-3) väsymisraja = N a, nim sn E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 Elinikä [sykli] N nim 30 M Aksiaalisesti kiillotettu R a 1.5 m EN-GJL vetokokeen keskiarvona: R m = 339 MPa s = 18.6 MPa K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 117

118 YHTEENVETO OSAVAURIOANALYYSIN SUORITTAMISESTA (Kirjan luku 20) Jos luotettavia spektritestejä ei ole suoritettu, on tarkoituksenmukaisinta käyttää E. Haibachin ehdottamaa S-N-käyrän laajennusta. Lisäksi silloin on syytä noudattaa aikaisemmin annetun taulukon sallimia vauriosummia. On kuitenkin muistettava, että jos käytetään hyväksi spektritesteillä saatua S-N-käyrän laajennusta, ehtona on, että vauriosumma on yhtä kuin yksi. Jokaiselle jännitysspektrin keskijännitykselle on laadittava oma S-N-diagrammi, tämä on erikoisen tärkeää valuraudalle koska silloin keskijännitys vaikuttaa myös kaltevuuseksponentin arvoon. Toistaiseksi on oletettu, että jännitys on yksiaksiaalinen, vaikka jännitystila yleensä on moniaksiaalinen. Toistaiseksi ei ole kehitetty mitään hyvää kumulatiivista teoriaa, joka pystyisi suoraan analysoimaan moniaksiaalisia jännityksiä. Joudutaan tyytymään siihen, että muutetaan ensin moniaksiaalinen jännitystila ekvivalentiksi yksiaksiaaliseksi jännitystilaksi. Kirjan osassa III käsitellään moniaksiaalisia jännitystiloja käyttäen varsinaisia moniaksiaalisia väsymiskriteerejä, kuten Findleyn ja Dan Vanin kriteerejä. Näiden kriteerien moniaksiaalisuudesta antamat vauriot on helppoa muuttaa ekvivalentiksi yksiaksiaaliseksi jännitysamplitudiksi ja keskijännitykseksi. Osavaurioanalyysi on yksinkertaisimmillaan silloin, kun voidaan, niin kuin Eurocode 3 ja IIW käyttää samaa väsymislujuuden keskihajontaa sekä low-cycle- että high-cycle-alueilla. Jos näin menetellään myös high-cycle alueella silloin kun laajennuksen kaltevuuseksponentti on hyvin suuri, voi vaadittu varmuuskerroin elinikään nähden nousta tuhatkertaiseksi Testien mukaiset havaitut keskihajonnat eivät tue tällaista menettelyä. Viitaten yllä olevaan tekstiin tuntuvat seuraavat taulukon mukaiset suositukset turvallisilta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 118

119 Yhteenveto osavaurioanalyysin suorittamiseksi Teräs Valurauta Eliniän logaritmisen keskihajonnan oletusarvo s N,max Varmuuskerroin, =,, kun vaurioitumisriski on P = 10-4 Kaltevuuseksponentin raja-arvo ( s r = 0.08) ( s r = 0.12), <, 1) ln (1 ), 11.0, 10.5 (1+ ) +1 Teräs = + 1 tai testattu k 0 sileän sauvan testattu arvo, kun = 1 3 alaraja, ks. myös luku N af rajasykliluku, ydintyminen pinnasta N af rajasykliluku, sisäinen ydintyminen S-N-käyrä Valurauta = (1+ ) (1+ ) 0.01 tai testattu 0 sileän sauvan testattu arvo, kun = alaraja N af , ks. kuvat 17.9 ja S-N-käyrien ja niiden laajennuksien redusoiminen Haibach 2-tason testi Teräkselle on DAMTH-testien rajoissa 2) ( ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb (min 3) tai ) ( +0.08) Teräkselle on DAMTH-testien rajoissa =

120 S-N-käyrän pätevyysalue Luvun johdannossa oli maininta, että jos plastinen venymäamplitudi on suurempi kuin kimmoinen, on syytä käyttää SAE-menetelmää. Tämän lisäksi esitetään usein, kuten esimerkiksi Leitfaden tekee, että nimellinen maksimijännitys ei saa ylittää myötörajaa. Jos S-N-käyrää on testattu vastaamaan tiettyä keskijännitystä, saadaan seuraava ehto:, =, +, 0.2, 0.2, Koska näissä kaavoissa käytetään nimellisjännityksiä, sallitaan S-N-käyrän käyttö, vaikka paikallisesti esiintyy melkoista plastisoitumista. Niin kuin yllä on näytetty, tulokset alkavat poiketa huomattavasti kumulatiivisen osavaurioanalyysin odotusarvoista, jos low-cycle sykli aiheuttaa suuren venymäamplitudin. Kumulatiivista osavaurioanalyysiä suoritettaessa käytetään hyväksi jännitystasojen keskijännityksiä ja jännitysamplitudeja. Tarvitaan siis S-N-käyrä, joka on testattu vakiokeskijännityksellä. Kirjallisuudessa voidaan kohdata kuitenkin sellaisia S-N-käyriä, jotka on saatu pitämällä testeissä jännityssuhteen R vakiona. Silloin yllä oleva ehto, että nimellinen maksimijännitys ei saa ylittää myötörajaa, muuttuu muotoon: = 1+ ja, =, + 1+,, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 120

121 Venymäväsymisen arvioiminen S-N-käyrän avulla Aikaisemmin mainittiin, että yleensä käytetään venymäamplitudien käyttöön perustuvaa SAEmenetelmää, kun syklinen kuormitus aiheuttaa tuntuvan plastisen venymäamplitudin. Tässä tullaan osoittamaan suoritettuihin testeihin nojaten sellaisia tuloksia, että jos lovetun osan jännitys on syklinen ja amplitudi vakio, niin S-N-käyrää laajentamalla voidaan saada melko tarkkoja tuloksia myös alueella, missä elinikä lasketaan tuhansissa tai jopa vain sadoissa sykleissä. Todellisessa elämässä on monia osia, joiden vaadittu elinikä on tätä luokkaa, mikä on tärkeää huomioida, jotta paino pysyisi mahdollisimman pienenä. Tyypillisiä tällaisia osia ovat ruuvien kiristykseen käytettävät hydrauliset ja pneumaattiset työkalut, tietyt nostovälineet jne. Kun osaan vaikuttavan jännityksen suuruutta kasvatetaan monotonisesti yli myötörajan, tapahtuu metallissa muokkauslujittumista. Tämä jatkuu, kunnes murtoraja saavutetaan, minkä jälkeen kuroutumiseksi kutsuttu ilmiö alkaa vaikuttaa ja paikalliset jännitys-venymäarvot alkavat jyrkästi poiketa nimellisistä, kunnes lopullinen murtuma tapahtuu. Nimelliset ja paikalliset arvot poikkeavat kuitenkin koko plastisoitumisen ajan toisistaan, kuten eräässä kuvassa näytettiin. Jos ulkoinen kuorma on syklinen, tapahtuu aineessa sen johdosta vielä joko lujittumista tai pehmenemistä. Sen vuoksi on vielä määritettävä syklinen jännitys-venymäkäyrä, kts. seuraavaa kuvaa. Nyrkkisääntönä teräksille on, että pehmeä teräs lujittuu ja luja teräs pehmenee syklisen kuorman vaikutuksesta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 121

122 Syklisen jännitys-venymäkäyrän testaaminen Projektissa FATE testattu nuorrutusteräksen 34CrNiMo6+QT syklinen jännitysvenymäkäyrä. Sama testaussarja kun aikaisemmin näytettiin sivulla 103. Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] Nominal stress amplitude [MPa] Ensimmäinen sykli ennen pehmenemistä Syklinen pehmeneminen Kuormituslohkon 15 valittua venymäamplitudeja ia on järjestetty sekventiaalisesti tässä kuvassa Tavallisesti käytetään puoli-elinikäkäyrää suunnittelukäyränä Syklinen Cyclic jännitys-venymä-käyrä, stress strain curve, CSSC CSSC sauvalle for WD 11 (ea kun < 1 a %) < 1 % sykli cycle: puoli half life elinikä Strain amplitude [%] Nimellinen venymäamplitudi [%] 34CrNiMo6+QT R m = 1031 MPa R p0.2 = 927 MPa Testisauva WD11 (e ampl < 1%): CSSC inkrementaalinen venymäaskel spektritesti 100 syklin toistoilla. Testisauva murtui 9200 syklin jälkeen. Suurin osa pehmenemisestä tapahtui jo 100 ensimmäisen syklin aikana. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 122

123 Ramberg-Osgoodin kaava Yleensä käytetään niin kutsuttua Ramberg-Osgood-kaavaa jännitys-venymäkäyrän matemaattiseen kuvaamiseen. = + = + Ramberg-Osgood-kaavan muuttujat ovat: kokonaisvenymä kimmoinen venymä plastinen venymä jännitys kimmokerroin lujuuskerroin muokkauslujittumiseksponentti Kun tunnetaan jännitys-venymäkäyrän kaksi pistettä, esimerkiksi myötöraja ja murtoraja sekä vastaavat kokonaisvenymät, voidaan iteratiivisesti laskea vakioiden n ja K arvot tämän kaavan avulla. a) Lujuuskertoimen iteratiivinen laskenta seuraavasta lausekkeesta: 1 ln ln 1 1 K E 2 ln ln 2 2 K E ja muokkauslujittumiseksponentti Nimellinen jännitys P l S ja nimellinen venymä e A l o Pätee siihen asti kun kurouma alkaa S( 1 e) ln K n 2 ln ln 2 2 E ja paikallinen venymä ln( 1 e) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 123

124 FATE-projektissa testatut lyhyen eliniän S-N-käyrät Aikaisemmin esitettyjen testien lisäksi suoritettiin FATE-projektissa S-N-käyrän testausta lovetulla sauvalla käyttäen sellaista kuormaa, joka sai aikaan hyvin suuren, plastisen venymäamplitudin loven pohjassa. Nämä testitulokset on esitetty seuraavassa kuvassa nimellisiä jännityksiä käyttäen. Jos haluaa esittää tulokset paikallisia jännityksiä käyttäen, on tietysti ensin laskettava oikea keskijännitys ja jännitysamplitudi elasto-plastista elementtimallia ja edellisessä luvussa esitettyä syklistä jännitys-venymäkäyrää käyttäen. Kuvassa on pohjana se S-N-käyrä, joka saatiin testaamalla pienen plastisen venymäamplitudin alueella. Kuvassa näytetyt valitut nimelliset testitasot aiheuttavat loven pohjassa hyvin suuren plastisen muodonmuutoksen. Myötäminen on niin suuri, että todellisuudessa jännitysamplitudi on melko tasainen yli koko pinnan ja lähellä teräksen myötörajaa. Tämä merkitsee sitä, että mitä ylemmäksi mennään käyrällä kohti pieneneviä elinikiä, sitä enemmän todellinen jännityssuhde lähenee puhdasta vaihtokuormaa. Tulosten tulkinnassa tämä on tärkeä ymmärtää, niin kuin myöhemmin käy ilmi. FADEL-projektin yhteydessä suoritetut spektritestit täydennettiin myöhemmin seuraavassa kuvassa näytetyillä sileillä sauvoilla tehdyillä eliniän testauksilla sellaisella kuormalla, joka vastasi spektritesteissä käytettyä low-cycle-kuormaa Ensimmäisessä testissä nimellinen jännitys vaihtelee -600 MPa:n ja 924 MPa:n välillä, ja toisessa testissä -600 MPa:n ja 846 MPa:n välillä. Nimellinen maksimijännitys ylitti näin ollen ensimmäisessä tapauksessa selvästi myötörajan On ilmeistä, että jännitystila myötämisen jälkeen on hyvin lähellä vaihtojännitystä, missä jännitysamplitudi on melko tasainen yli koko poikkipinnan ja suhteellisen lähellä myötörajaa. Todellisuudessa seuraavien kahden kuvan esittämät testitilanteet ovat jännitystilojen kannalta lähellä toisiaan. Tämä tosiasia ilmenee siinä, että todelliset jännitysamplitudit sekä 1000 syklin kohdalla että 10 6 syklin kohdalla ovat melko lähellä toisiaan. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 124

125 Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] N R, nim1 s s NC50 NC90 FATE-projektissa testattu lyhyen eliniän S-N-käyrä N R, nim a S N 4, P a Kuvan mukaan ekstrapoloitu S-N-käyrä 10 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Elinikä sykleinä testi (Sm=0) S-N(Rnim=-1) testi (Sm=370) S-N(Rnim=0) testi (Sm=741) S-N(Rnim=0.87) testi (Sm=650) S-N(Rnim=0.86) 3.24 Testti- m,nim a,nim N murt sauva MPa MPa Sykli WL WL WL WL WL Erään toisen väsytystestin tulokset silloin kun m,nim = 650 MPa 34CrNiMo6+QT R m = 1031 MPa R p0.2 = 927 MPa K t = 5.86 A eff = 4.0 mm 2 kun s r = Jos huomioidaa että paikallinen amplitudi on tuhatkolmen syklin kohdalla ±Rp0.2 = ±927 MPa ja kahden miljoonan kohdalla (R = -1, s.109) MPa niin kaltevuuseksponentti olisi oikeastaan noin k = ln(1300/2106)/ln(608.9/927) = 17.5 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb o M R0.2

126 FADEL-projektissa sileillä sauvoilla testattu lyhyen eliniän S-N-käyrä Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] 1000 a, nim m, nim a, nim m, nim N 610 a E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Elinikä sykleinä testi(sa/sm=762/162) testi(sa/sm=723/123) S-N(arvio kun Sm,nim=142) 16.4 Arvioidun S-N-käyrän kaltevuuseksponentti on määritelty siten että käyrä leikkaa testipisteen missä a,nim = 723 MPa kun m,nim = 123 MPa 49 M CrNiMo6+QT R m = 983 MPa R p0.2 = 861 MPa K t = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 126

127 Nyrkkisääntö kaltevuuseksponentin määrittämiseksi hyvin lyhyen eliniän alueella Nämä tulokset johtaavat seuraaviin nyrkkisääntöihin, kun on tarve approksimoida S-N-käyrän laajennusta hyvin pieniä elinikiä vastaavaksi, ja tunnetaan vain väsymisraja ja vastaava rajasykliluku. Teräksille saadaan seuraava approksimoidun S-N-käyrän kaltevuuseksponentti: = log 103 log,, =1000 kaltevuuseksponentti,= nimellinen väsymisraja 1000 syklin kohdalla silloin kun R 0.,= nimellinen väsymisraja 1000 syklin kohdalla silloin kun R -1. Kun jännityssuhde on -1 ja 0 välillä, voidaan nimellisen väsymisrajan arvoa,=1000 interpoloida annettujen kaavojen avulla. Ensimmäisestä kuvasta näkyy se tunnettu tosiasia, että väsymisrajan keskihajonta pienenee, mitä enemmän jännitysamplitudi lähestyy staattisia lujuusarvoja. Koska merkatulla tasolla käytettiin vain neljää testisauvaa, joutuu otoskeskihajontaa suurentamaan verraten paljon 90 %:n luotettavuustason saavuttamiseksi. Kuvan taulukosta saadaan seuraavat keskihajonnan arvot: = eliniän logaritminen keskihajonta, kun nimellinen amplitudi on 370 MPa 90 = ,=10 4 = = 5.6 = keskihajonta varmuustasolla 90 % vaadittu varmuuskerroin tällä amplituditasolla, jotta vaurioitumisriski olisi 10 4 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 127

128 Esimerkki: Hydraulinen työkalu ruuvien esikiristystä varten Dieselmoottorin eräät ruuvit kiristetään seuraavassa kuvassa näytetyllä hydraulisella työkalulla. Asennustyön helpottamiseksi työkalun on oltava mahdollisimman kevyt. Koska varsinkin kenttäolosuhteissa kiristysten lukumäärä moottorin eliniän aikana on varsin pieni, on tärkeää mitoittaa työkalu vain vaadittu elinikä huomioiden. Tämä työkalu oli asennusolosuhteissa tehtaassa murtunut kuvan osoittamasta kohdasta muutaman tuhannen käyttökerran jälkeen. Sen johdosta työkaluruuveille suoritettiin tarkka tutkimus, johon sisältyi väsytystestausta noin 10 %:n ylikuormaa käyttäen suhteutettuna asennusolosuhteissa annetuille arvoille. Kierre oli valssattu nuorrutuksen jälkeen. Työkaluruuvi oli valmistettu pyörötangosta, jonka halkaisija oli 45 mm ja aine 34CrNiMo6+QT. Viiden vetokokeen tuloksena saatiin seuraavat staattiset lujuusominaisuudet: Teräs EN CrNiMo6+QT ja valssatun ruuvin koko M = 1048 MPa ja keskihajonta 1.1 MPa 0.2 = 950 MPa ja keskihajonta 5.0 MPa 5 = 17.0 % = 61.4 % = 24 mm ruuvin ulkohalkaisija = 1.5 mm taajakierteen nousu 2 = = mm kylkihalkaisija 3 = = mm sydänhalkaisija = ( 2+ 3 ) 2 = mm 2 ruuvin jännityspoikkipinta 16 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 128

129 Hydraulinen työkalu Työkaluruuveille suoritettiin väsytystestaus seuraavassa kuvassa näytettyä kiinnityskappaletta ja tykyttävää kuormaa, N, käyttäen. Nimellinen keskijännitys ja amplitudi jännityspoikkipintaan nähden laskettuna oli näin ollen MPa. Kuorma oli valittu niin, että se oli noin 10 % korkeampi kuin ruuveja esikiristettäessä. Nimellinen maksimijännitys 998 on lähellä testattua murtorajaa 1048 MPa, mikä merkitsee sitä, että plastisoituminen on voimakasta ja että muokkauslujittumista tapahtuu. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 129

130 Työkaluruuvin testijärjestely Loppumurtuma Särön kasvu Suoritettiin neljä testiä taulukossa esitetyillä tuloksilla. Kaikissa tapauksissa särö ydintyi ensimmäisen kantavan kierteen pohjassa ja kasvoi syvyydessä noin 6 mm, kunnes loppumurtuma tapahtui. Kehää pitkin särön pituus oli noin 30 mm loppumurtuman tapahtuessa. Kaikkien neljän sauvan testatut eliniät olivat hyvin lähellä toisiaan. Tulos vahvisti taas kerran, että hajonta pienenee, kun mennään pieniin elinikiin. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 130

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Rakenteiden Mekaniikka Vol. 45, Nro 3, 2012, s. 162-187 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Roger Rabb Tiivistelmä. Teollisuutemme kilpailukyvyn ylläpitäminen ja kehittäminen edellyttää jatkuvaa

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

Murtumismekanismit: Väsyminen

Murtumismekanismit: Väsyminen KJR-C2004 Materiaalitekniikka Murtumismekanismit: Väsyminen 11.2.2016 Väsyminen Väsyminen on dynaamisen eli ajan suhteen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Väsymisvaurio ilmenee särön, joka johtaa

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa Ib, kirjan luvut 7...12 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu

Lisätiedot

Pienahitsien materiaalikerroin w

Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien komponenttimenettely (SFS EN 1993-1-8) Seuraavat ehdot pitää toteutua: 3( ) ll fu w M ja 0,9 f u M f u = heikomman liitettävän osan vetomurtolujuus Esimerkki

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb CASH-projekti (2010-2013): Hiiletyskarkaistujen koneenosien väsyminen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva

Lisätiedot

Väsymissärön ydintyminen

Väsymissärön ydintyminen Väsymissärön ydintyminen 20.11.2015 1 Vaurio alkaa särön muodostumisella Extruusio Intruusio Deformoitumaton matriisi S-N käyrät Testattu sauvan katkeamiseen Kuvaavat aikaa "engineering särön muodostumiseen"

Lisätiedot

Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia

Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia Master käyrä Murtumissitkeyden arvioimisen ongelmia Charpy kokeissa suuri hajonta K Ic kokeet kalliita ja vaativat isoja näytteitä Lämpötilariippuvuuden huomioiminen? (pitääkö testata kaikissa lämpötiloissa)

Lisätiedot

VÄSYMISMITOITUS Pasila. Antti Silvennoinen, WSP Finland

VÄSYMISMITOITUS Pasila. Antti Silvennoinen, WSP Finland TIESILTOJEN VÄSYMISMITOITUS Siltaeurokoodikoulutus- Teräs-, liitto- ja puusillat 29.-30.3.2010 Pasila Antti Silvennoinen, WSP Finland TIESILTOJEN VÄSYMISMITOITUS Väsymisilmiö Materiaaliosavarmuuskertoimet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET 18.12.2008 ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA 1 Johdanto Muovauksen vaikutuksesta metallien lujuus usein kasvaa ja venymä pienenee.

Lisätiedot

Lataa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi - Roger Rabb. Lataa

Lataa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi - Roger Rabb. Lataa Lataa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi - Roger Rabb Lataa Kirjailija: Roger Rabb ISBN: 9789522862105 Sivumäärä: 460 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 29.85 Mb Tekniikan tohtori Roger Rabb

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 17.12.2015 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 31.3.2016 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa IV: Defektijakaumiin Perustuva Mitoitus Kirjan luvut 26...30 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva

Lisätiedot

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE9 (8) LIITE Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu Sisältö Sisältö... Johdanto... Tulokset.... Lämpökynttilät..... Tuote A..... Tuote B..... Päätelmiä.... Ulkotulet.... Hautalyhdyt,

Lisätiedot

JÄNNEVIRRAN SILLAN VÄSYMISMITOITUS MITATULLA LIIKENNEKUORMALLA

JÄNNEVIRRAN SILLAN VÄSYMISMITOITUS MITATULLA LIIKENNEKUORMALLA JÄNNEVIRRAN SILLAN VÄSYMISMITOITUS MITATULLA LIIKENNEKUORMALLA DIPLOMITYÖN SISÄLTÖ Teoria osuus Väsymismitoitus Eurokoodin mukaan Väsymisluokka Hitsin jälkikäsittelymenetelmät Mitatut liikennekuormat Jännevirran

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Metalli Konetekniikan koulutusohjelma KESTOMAGNEETTIKONEEN ROOTTORIN VÄSYMISANALYYSI

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Metalli Konetekniikan koulutusohjelma KESTOMAGNEETTIKONEEN ROOTTORIN VÄSYMISANALYYSI LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Metalli Konetekniikan koulutusohjelma Tommi Veiste KESTOMAGNEETTIKONEEN ROOTTORIN VÄSYMISANALYYSI Tarkastajat: Professori Aki Mikkola DI Janne

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta TERÄSSILTAPÄIVÄT 2012, 6. 7.6.2012 Jani Meriläinen, Liikennevirasto Esityksen sisältö Lyhyet esimerkkilaskelmat FLM1, FLM3, FLM4 ja FLM5 Vanha silta Reposaaren silta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

TyEL-kuolevuusperusteesta

TyEL-kuolevuusperusteesta TyEL-kuolevuusperusteesta 26.5.2015 29.5.2015 Kuolevuusperusteesta Tuomas Hakkarainen 1 Tarve kuolevuusperusteelle TyEL-vakuutuksessa Työnantajan eläkevakuutuksen vanhuuseläkevastuut ovat pitkäikäisiä,

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Mittaustulosten tilastollinen käsittely Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2017 Harjoitus 4 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi Tehtävä 1 a) Kokonaistarjonta esitetään AS-AD -kehikossa tuotantokuilun ja inflaation välisenä yhteytenä. Tämä saadaan

Lisätiedot

Seuratiedote 2/09 LIITE 4

Seuratiedote 2/09 LIITE 4 CSA-järjestelmä Johdantoa USGAn Course Rating -järjestelmässä todetaan: USGAn Course Ratingin ja Slope Ratingin määritysten tulee vastata olosuhteita kauden aikana, jolloin suurin osa kierroksista pelataan.

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Stabiliteetti ja jäykistäminen

Stabiliteetti ja jäykistäminen Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Vastaanotettu Hyväksytty Julkaistu verkossa

Vastaanotettu Hyväksytty Julkaistu verkossa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 3, 2017, s. 153-157 https://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.23998/rm.65049 Kirjoittaja(t) 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu.

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella.

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. Aineen koestus Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. 1 Väsyminen Väsytyskokeella on

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

3R-menetelmän käyttö vaihtuva-amplitudisesti kuormitettujen hitsausliitosten väsymisanalysoinnissa

3R-menetelmän käyttö vaihtuva-amplitudisesti kuormitettujen hitsausliitosten väsymisanalysoinnissa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 49, Nro 4, 2016, s. 176-201 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ Kirjoittajat 2016. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. 3R-menetelmän käyttö vaihtuva-amplitudisesti kuormitettujen

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot