. Lukujoukot j lskutoimitukset. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) ( ) b) (7,) 7, c) ( ) d) (π ) π. ) 0 0 b) c) d) 7. ) 9 b) 0,0 c) 9 d) π
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) Luvun - vstluku on -(-). Luvun vstluku on. 9 9 b) Luvun käänteisluku on. Luvun 9 käänteisluku on 9. c), 9 9 d) ei ole määritelty, kosk juurrettv - < 0. 9 9. ),9, b) ei määritelty, kosk juurrettv - < 0 c) 0, 7
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ), sillä 9. b) Ei voi lske, sillä < 0. c), sillä 7. ), kosk b), kosk ( ) c) 7, kosk 7 d) ( ). ),, - 7 b) π ( 7) π 7
. Lukujoukot j lskutoimitukset 9. ) ( ) 9 9 9 b) ( ) -9-0. ),, b),,. ei ole lkuluku 7 on lkuluku - < ei ole lkuluku on lkuluku ei ole lkuluku 0 < ei ole lkuluku Alkulukuj ovt 7 j.
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) 7 b) 7 c) 0. ) 0 0 7 7 b) Molemmt ovt jollisi yhteisillä tulon tekijöillä. Tulojen tekijöistä yhteisiä ovt:, j.. Kirjoitetn luvut lkulukujen tuloin. Tulojen tekijöistä yhteisiä ovt:,,, j.
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) 0 b) c) ( ) ( ). ) 9 b) 0 c) 7 7. ) { [ ( ) ]} [ ( ) ] ( ) b) { [ 7 ( ) ]} { [ 7 ] } ( 9) c) { [ ( 000 00) ]} ( 000 00) { ( 00) } 00 000 0
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) - { [0 ( 0) ] } - { [0 ( ) ] } - { [0] } - {-0} - 0 - b), 0,(0,,)(,,), 0,(-)( 0), (-0,)(-0), 0, 9. ) 7 (7 ) 000 000 b) 7 7 7( - ) 7 00 00 7
. Lukujoukot j lskutoimitukset 0. ) 7 (-0) (7 0) 7 b) 9 ( 9). ) 9 9 (9 ) b) 0 0 ( 0) ( 0 0 ) 0(0 0 ) 0 0
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) 0 b) c). ) b). ) b) 9 c) 0 0 9
. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) : 7 ( ) 7 (-) 7 7 b) {0 [ ( 0) ] } {0 [ ( ) ] } {0 [ 0 ] } {0 [0] } {-9} 9. ) 9 9 0 9( 0) 9 b) (-) 97 ( - 97) 0
. Murtoluvuill lskeminen. Murtoluvuill lskeminen 7. ) ( b) ( 0 7. ) ) 0 7 j ) 7 b) j 9 9 c) ) j ) 9
. Murtoluvuill lskeminen 9. ) b) 9 9 7 0 9 7 0 0 7 79 0 9 0. ) 9 9 b) c) 0 0 9
. Murtoluvuill lskeminen. ) 0 7 7 7 ( b) 7 7 ) ) c) ) (. ) ( 0 b) ) ( c) 0 9 0 0 ) 0) )
. Murtoluvuill lskeminen. ) ( 7) 7 b) 9 ti 9 ( ( ) ( ) 9 ( ( ) ( ) c) 7 7 7 7. ) 7 : 7 7 b) ( ) 9 c) 7 : 7 7 7
. Murtoluvuill lskeminen. ) / / b) 0 0 0 : : / 9 9 9/ 0 c) 9 : / 9 / ( 9) / /. ) ) 7 ) 7 7 9 9 b) ) 7 ) 7 7 9 / 7/ c) 7/ / d) 7 : 7 7 7 7 7 9
. Murtoluvuill lskeminen 7. ) 0 7 ) 9 7 9 7 9 ) 7 9 9 b) : ( ) : ( ) : ( ) / 9 / 9 9. ) 00 00 b) 7 7 : 7 7 7 c) : 9 9 9 9 ) ) / 9/ /
. Murtoluvuill lskeminen 9. ) 7 ) / / b) ) ( : ( ) c) 9 9 : 9 9 00 9 9 ) 9 7
. Murtoluvuill lskeminen 0. Luvut ovt: ) 7 7 7 7 j. ) 7 ) 7 b) 7 7 7 7. ) ) ) 0 0 7 b b on edellisen käänteisluku eli 7
. Murtoluvuill lskeminen. ) ) 7 j 0 0 ) 7 b) j 9 9 9 c) ) 7 j 7 ). ) ) ) 7 0 0 0 0 0 b) ) 7 / / c) / / d) : 7 7 : 7 7 7/ 7/ ( 9 9
. Murtoluvuill lskeminen. ) ) ) b) 9 9 9 9 : 9 ) 9 7 9 9 c) 7 : 7 : 7 9 7 ). ) 7 ) ( b) 7 ) ( c) 799 7 7 0
. Potenssien lskusäännöt. Potenssien lskusäännöt 7 b) ( ). ) c) d) e) ( ) 9 f) 7. ) 7 b) 7 c) 79 d) 79. ) 9 7 b) : : ) 0 c) ( ) ( ) 9 9 ( 7) 7 9 d) [ ( ) ] : ( ) [ ( ) ] : ( ) [ ] : ( ) (
. Potenssien lskusäännöt 9. ) 7 b) b b b b c) y y 7 y 7 y d) 0 0 0. ) ( ) b) ( ) y ( ) y 7 y c) d) ( )
. Potenssien lskusäännöt. ) ( ) 0 y y y b) ( ) ( ) c) ( ) ) ( ) ( ) ( s s s s. ) b) 9 c) ( ) 9 d). ) / / b) ( ) ( ) 9 9 c) ( ) ) ( y y y y y y y y y y
. Potenssien lskusäännöt. ) 90000 0,9 0,9 0 0,9 b) 00 0, 0, 0 0, c) d) ( ) 0 0 ) ( ) ( e) 0 ) ( ) ( 0 f) 9 9 ) ( ) (. ) 0 9 0 0 9 0 0 0 9 0
. Potenssien lskusäännöt b) ( ) ( ) ( ). ) - 0 - - b) c) d) 0 e) 9 7. ) b) 7 7 c) 7 ) ( d) ) ( 0 k k
. Potenssien lskusäännöt. ) ) ( b) 0 / / c) 9 9 9 t t t t t t t t t d) 7 7 7 7 7 7 t t t t t t t t e) ) ( f) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 9. ) 7 0) ( 0 0 7 7 ) ( b) ( ) ( ) 0 7 7 9) ( ) ( 9 ) ( ) ( b b b b b b c) ) ( ) ( ) (
. Potenssien lskusäännöt 0. ) ) (0, 70 70 b) 0 0 0 0 0 0 0, 0,0 c) 0 0 0 0 ) ( 0 79 00 79 00. ) 0 0 99 00 99 00 99 00 99 00 99 99 00 b) ( ) ( ) 0 00 0 00 0 00 00 0 0 0 00 ( 7
. Potenssien lskusäännöt. Sievennetään ensin lusekett: ) ( m m m m m Kun, niin 7. ) 7 0 7 0 b) () () c) ( ) ( ) 9 ) ( d) 79 ) (
. Potenssien lskusäännöt. ) 9 : : b) ( ) ( ) ( ) 0 0 c) : d) ( - ) - - (-). ) 0 c c c c c c b) t t t t t t t t t c) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( y y y y d) 7 9
. Potenssien lskusäännöt. ) 0 70 70 70 70 70 ) (70 9 0 9 9 / / b) t t t c) 7 7 9 9 d) 7 7 0 7 k k k k k k k k 7. ) 0 00 00 b) b b b b 0 7 0 0 7 0
. Luseke j lskutoimitukset. Luseke j lskutoimitukset. ) b) 9 9. Lusekkeen rvo, kun ) 0 on 0 0 0 b) on ( ) ( ) 0 c) on 70. Lusekkeen rvo, kun ) on 0 b) on ( ) ( ) 7 c) on / 9/
. Luseke j lskutoimitukset 7. ) Auton jrrutusmtkksi, kun uton nopeus on 0 km/h, sdn 0, 0 0,0 0 7, (metriä). b) Jos nopeus ksv kksinkertiseksi nopeudest 0 km/h nopeuteen 00 km/h, niin jrrutusmtkksi sdn 0, 00 0,0 00,0 (metriä). Jrrutusmtk ksv,0 m 7, m 7, m Vstus: ) 7, m b) 7, m 7. ) 7 ( ) ( ) 7 b) ( ) ( ) c) ( ) ( )
. Luseke j lskutoimitukset 7. ) y y y y y y y y y y b) ) ( ) ( y y y y y c) ) ( ) ( y y y y y y y y y y y 7. ) ) ( ) ( ( )
. Luseke j lskutoimitukset b) [ ( ) ] ( ) c) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 7. Sievennetään lusekett ( ) ( ) Lusekkeen rvo, kun 999 on 999 999 9970000.
. Luseke j lskutoimitukset 7. ) Lusekkeiden j summ ( ) 7 b)lusekkeiden j erotus ( ) 77. Lusekkeiden j summ on 7 ) ( ) ( Lusekkeiden j erotus on ) ( ) ( Summn j erotuksen erotus on siis ( ) ( ) 7 7 7
. Luseke j lskutoimitukset 7. Suorkulmion knnn pituus on j korkeus yksikköä knt lyhyempi eli 7. ) Piirin lusekkeeksi sdn knt korkeus ( ) ( 7) 0 0 0 b) Piirin rvo, kun 0, on 0 0 00 7. Vstus: ) 7 b) 7 79. ) (7 ) 7 b) ( ) ( ) 0 c) ( 9) ( ) ( 9) 9
. Luseke j lskutoimitukset 0. ) ( ) ( ) 0 b) (p ) 7 p 7 7 7 p p c) ( k) ( k ) k k. ) ( ) 0 b) ( ) c) ( ) 0 0 0. Perunoiden hint on /kg. Keskimääräinen myynti päivässä on 00 kg. ) Keskimääräinen päivämyynti ksv kg, joten myynti päivässä on siis 00 (kg). Päivän myyntitulot ovt tällöin (00 ) 00 00 00 ( ). 7
. Luseke j lskutoimitukset b) Päivän perunn myynti on 0 kg keskimääräistä pienempi, joten 0. Päivän myyntitulot ovt siis ( 0) 00 00 00 900 ( ). Vstus: ) 00 b) 900. ) b) c) 9 9. ) y y b) y 0 0 0 0 c) ( ) 0 0 0
. Luseke j lskutoimitukset. ) / / / / t t t b) / / / / c) / / / 9 9 ( ). ) 7 7 7 7 7 7 b) s s s s c) y y y y y y y y 9
. Luseke j lskutoimitukset 9 7 9 7 7. ) 9 9 b) z z z z z z z z ( 9) z z z z z z 9. ) 0 b) ( ) ( ) 9 c) Lusekkeen rvo, kun, on 9 0
. Luseke j lskutoimitukset 9. )( ) ( ) 9 9 b)( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 7 90. ) (9 ) 9 ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( )
. Luseke j lskutoimitukset 9. ) 7 7 b) 7 7 7 y 9y y 9y c) y y 9. ) Olkoon kun käyntikertojen määrä. Kustnnuksi kuntoslill A, kuv luseke 70 ( ). Kustnnuksi kuntoslill B kuv luseke ( ). b) Lsketn kustnnukset, kun käyntikertoj on kpl eli. Kuntosli A: 70 70 7 ( ) Kuntosli B: 0 ( ) Kosk <, niin kuntosli A on edullisempi käyttää. Vstus: ) kuntosli A: 70, kuntosli B: b) Kuntosli A on edullisempi käyttää.
. Polynomi. Polynomi 9. Polynomej ovt, c, d, e, f, g, sillä näissä lusekkeiss muuttujtermien eksponenttein positiivisi kokonislukuj. Lusekkeess b on muuttuj nimittäjässä j lusekkeess h muuttuj juurrettvn. Nämä eivät ole polynomej. 9. Polynomi Nimi Termit Termien Kertoimet Muuttujost Polynomin steluvut steluku binomi,, 0, -,, trinomi,,,,,, 0,,,,,,,,,,, 9. () P() Q.
. Polynomi 9. Polynomin R lusekkeeksi sdn: R() P( ) ( ) 97. ) Polynomien Q j P summ Q() P() 7 b) Polynomien Q j P erotus Q() P() ( ) c) Q() P() ( ) ( ) 9. Polynomit ovt P() 7 j Q() 9. ) P() Q() ( 7) ( 9) 7 9 7 9 7
. Polynomi b) P() Q() ( ) ( ) 9 7 ) 9 ( ) ( 7 9 7 99. ) ) ( ) ( ) ( R Q P ) ( ) ( b) [ ] ) ( ) ( Q P ) ( ) ( Q P ) ( ) (
. Polynomi 00. Polynomit ovt P() j Q(). R() [Q() P()] [( ) ( )] [ ] R(-) ( ) ( ) 9 0. ) b) ( ) ) ( ) ( c) () ( ) ( ) 0. ) ( ) ( ) 0 0 7 b) ( ) ( ) ( ) 0
. Polynomi 0. ) ( ) ( ) ( ) b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. ) ( )( ) 7 b) ( )( ) 0. ) ( )( ) 0 0 7
. Polynomi b) ( )( ) ) ( ) ( 0 0. ) ( )( ) ) ( ) ( 7 b) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 07. ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0
. Polynomi b) ( ) ( )( ) 0. ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9 9 0 09. ) - ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 9
. Polynomi b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 7 0. ) ( ) ( ) 9 b) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0. ) ( y)( y)( y ) ( y y y )( y ) ( y )( y ) y y y y 0
. Polynomi b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ). ) [( ) ( ) ]( [ ) ( ) ] [ ][ ] ( )( 7 7) b) [( )( ) ] ( 0 0) ( 0 9 0) 0 9 0 0 9 9
. Polynomi. HUOM! Kirjn. pinoksess vstuksess virhe. ( )( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) 7 ( 7 ) 0 P() Näin ollen ) P(0) 0, b) P() 0, c) P() 0.. ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) m m m m m b) ( ) ( ) m ( m) m m m ( m ) m m
. Polynomi. Väite: b c, kun mn, b m n j c m n. Todistus: Kun mn j b m n, niin b (mn) ( m n ) m n ( m n )( m n ) m n m m n n m m n n Toislt, kun c m n, niin c (m n ) ( m n )( m n ) m m n n Näin ollen b c, kun mn, b m n j c m n.
. Polynomi. Suurennetun suorkulmion knt on (cm) j korkeus y (cm). ) piiri on: ( )(y ) y y (cm) b) Pint-l on knnn j korkeuden tulo: ( )( y ) y y (cm ) Vstus: ) Piiri: y (cm) b) Al: y y (cm ) 7. ) Merkitään lipun hinnn muutost euroin kirjimell. Muodostetn myyntitulojen luseke tulukon vull. Lipun hint ( ) Kävijöiden määrä (kpl) 00 00 0 00 0 00 0
. Polynomi Myyntitulot hint kävijämäärä ( )( 00 0) 00 ( 0) 00 ( 0) 000 00 00 0 0 00 000 b) Kun lipun hint on,0, niin hinnnkorotus on,0 -,0, joten,0. Myyntitulot ovt tällöin 0, 00, 000 7, ( ) Vstus: ) 0 00 000 b) 7,0. )Suorkulmion muotoisen m-lueen ympärysmitt on 00 m. Merkitään toist sivu muuttujll, jolloin toinen sivu on 00 0 (m). b) Pint-lksi A() sdn knnn j korkeuden tulo A() ( 0 ) 0 (m ).
. Polynomi c) Pint-l A(), kun 0 m on A(0) 0 0 0 00 (m ) Vstus: ) 0 (m) b) 0 (m ) c) 00 m 9. ( b) ( b) ( b)( b) ( b)( b) ( b b b ) ( b b b ) ( b b ) ( b b ) b b b b b Kun 00 00 j b 00 00, niin ( b) ( b) b 00 00 00 00.
. Polynomi 0. ) y y 7 ( ) y 9 y b) y( y y ) y y y y y y. ) ( 7)( ) 7 7 7 7 b) ( )( ) c) ( )( ) ( ) ( ) 7
. Polynomi. )( ) ( )( ) 9 9 b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( 0 c) ( )( ) ( )
. Polynomi. Kun til plkk ylimääräistä poimij, niin poimijoit on 0. Jokinen näistä poimii keskimäärin 00 0 kg. Stokuden ikn kerätty mrjmäärä m() (0 )(00 0) 0000 00 00 0 0000 700 0 (kg) 0 poimij keräsivät mrjoj m(0) 0000 700 0 0 0 000 (kg) Vstus: Kuden ikn kerätty mrjmäärä m() 0000 700 0. 0 poimij keräävät mrjoj yhteensä 000 kg. 9
. Murtolusekkeit. Murtolusekkeit. ) 9 9 7 7 b) c) d) n n n n n n n n n n. ) ( ) / / / / b) ( ) ( ) 0 0
. Murtolusekkeit. ) ) ) b) ( ) 7. ) ( ) ( ) 7 ) b) ( ) ( ) 0 0 ) ) b b b b b b 0 7 b. ( ) ( ) ) ) y y y y 0 y y y
. Murtolusekkeit 9. ) ( ) b) ( ) ) ) 0. ) ( ) ( ) ( ) ) ) / / b) ( )( ) ( ) ( ) ) )
. Murtolusekkeit. ) ( ) ) ( ) ) / / / / b) ) )( ( c) n n n n n n n 7 7 7 7 7 7. Sievennetään ensin lusekett j sijoitetn vst sitten. ( ) ) ) ( Sijoitetn. ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
. Murtolusekkeit. Lvennetn smnnimisiksi y y y y y y y y y ) ) Sijoitetn lusekkeeseen y j y y y. ) 0 9 0 9 0 / / / / b) 0 0 0 0 : / /. ) : / / / / b) ( ) : / / b b b b b b
. Murtolusekkeit. ) : / / ( ) b) 0 : 9 / 9/ 0 0 7. ) ( ) b) b ( b ) c) y ( y). ) 0 ( ) b) y 7 ( y 7) c) ( )
. Murtolusekkeit 9. ) 0b 0 ( ) 0 b b) y y ( ) y y c) b b ( ) b b 0. HUOM! Kirjn. pinoksess -kohdn vstuksess virhe. ) ( ) ( ) 0 / / b) ( ) ( ) 0. ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ) ( 9
. Murtolusekkeit. 9 : 9 ( ) / ( ) /. ) ) ) ( t ) ( t ) t t t t t 9 ( t ) 9/ t / b) 0) s ) s 0 0 0s 0 s 0 s 0 ( s ) ( s ) 0 0s 0 (s ) 0 7
. Murtolusekkeit. ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ) b) ( )( ) 9 9 9 9 9. ) ( ) ( ) / / b) 9 0 9 0 0 9 : / /. ) 7 ( ) 9 b) y ( ) y c) ( )
. Murtolusekkeit 7. y y : 0 y 0 y ( y) 0 ( y) ( y) 0 ( y) 9
. Ensimmäisen steen yhtälö. Ensimmäisen steen yhtälö. ) 7 :7 7 b) ( ) ( ) :( ) 9. ) ( ) : 70
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ( ) ( ) : ( ) 0. ) ( ) ( ) ( 7 ) 9 7 9 7 : ( 9 b) c ( c) ( c ) c ( c ) c c c c c c c c c c c : c 7
. Ensimmäisen steen yhtälö. ) ( )( ) ( ) 9 9 b) ( ) ( )( ) :( ). ) ( ) ( ) 0 0 0 epätosi Yhtälöllä ei ole rtkisu. 7
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ( - ) ( ) 0 0 0 0 identtisesti tosi Yhtälön rtkisuj ovt kikki reliluvut.. ) ( ) ( ) ( ) 0 0 9 7 7 9 7 7 9 identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole rtkisu. b) ( ) ( ) : 0 0 7
. Ensimmäisen steen yhtälö. Sijoitetn yhtälöön j rtkistn. :. Jos on yhtälön rtkisu, niin se toteutt yhtälön. Sijoitetn siis yhtälöön ( k). ( k) 0 k k ( ) : ( ) k 7
. Ensimmäisen steen yhtälö. ) Merkitään otetut kopiot. Kuukuden lsku oli 0 euro. 0 0, 0 0 0,0 0 0 : 0,0 0 00 0,0 Kopioit otettiin 00 kpl. b) Merkitään kopion hint. Kuukuden lsku oli euro. 0 00 00 0 : 00 0,07 00 Kopion uusi hint on 0,07 euro. Kopion hint nostettiin 0,07 0,0 0,0 Vstus: ) 00 kpl b) 0,0 eli snt 7
. Ensimmäisen steen yhtälö 7. Luonnolliset luvut ovt kokonislukuj. Esimerkiksi: n, n j n ovt kolme peräkkäistä luonnollist luku. ( ) ( ) n n n 9 n n n 9 n 9 : 9 n Tällöin n n Vstus: Luvut ovt, j.. Merkitään: Lillin ikä tällä hetkellä Petrn ikä tällä hetkellä vuoden kuluttu: Lillin ikä Petrn ikä 7
. Ensimmäisen steen yhtälö Petrn ikä (Lillin ikä) ( ) : Lilli j Petr Vstus: Lilli v j Petr v. 9. Merkitään nopeusero 0, h kuluttu välimtk on 0 eli 0,7 km on kurottu kiinni. 0, 0, 7 :0, 0, 7 km km, 0, h h Vstus: Nopeusero oli, km/h. 77
. Ensimmäisen steen yhtälö 0. Merkitään lkuperäinen kokonisluku Jos lukuun lisätään yhdeksän loppuun, luvun ykköset ovt 9 j luku itse on kymmeniä. 0 9 0 9 ( ) 9 : Vstus: Alkuperäinen kokonisluku on.. ) ) ) ) 0 0 0 : 0 7
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ) ) ) :. HUOM! Kirjn. pinoksess on -kohdss virhe. ) ) ) 9 9 9 :( ) 79
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ) ) ) ( ) : (. ) 7 ) ) 7 ( ) ( 7) 9 ( ) 9 9 0 0 0 0 tosi Yhtälön rtkisuj ovt kikki reliluvut. 0
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ) ) ( ) ( ) ( ) :( ). ) ) ) ) ) 9 :
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ( ) ( ) ( ) 0 9 :0 9 9 0 0. Merkitään käteen stu kuukusiplkk 0 0 0) ) 0 ) 0) 0 0) 000 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 000 ( ) 7 000 : 7 000 7 0,... 09 Vstus: Kuukusiplkk oli n. 09 euro.
. Ensimmäisen steen yhtälö. Merkitään tilusmtkn hint 0 ) ) ) 0 0 0 0 0 Kustnnukset: 0 euro 0euro Vstus: 0
. Ensimmäisen steen yhtälö 7. Jos on rtkisu, niin se toteutt yhtälön. Sijoitetn. 0 0 0 ) 9 : 9 9 Vstus:
. Ensimmäisen steen yhtälö p p. p ) ) p p p ) p p p p p p 7p :7 p 7 7 Vstus: p 7 9. ) ( ) ( 7) 7 7 :
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ( ) ( ) 9 9 9 :9 9 ( 70. ) ) ) ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 9 :
. Ensimmäisen steen yhtälö b) ) ) 0 0 epätosi Yhtälöllä ei ole rtkisu. 7. Merkitään korkeus (cm), jolloin knt (cm) Piiri 0 cm ( ) 0 0 0 : Knt on 9. Vstus: Korkeus on cm j knt on 9 cm. 7
. Ensimmäisen steen yhtälö 7. Merkitään luokn oppilt (kpl) Tnsseihin osllistui Kolme tnssijoist oli sirn, jolloin tnssijoit oli 0. 0 0 :( ) Vstus: Oppilit luokll oli. 7. ) ) ) ( ) Vstus:
. Villininen toisen steen yhtälö. Villininen toisen steen yhtälö 7. ) ( )( ) 0 0 ti 0 : b) ( )( ) 0 0 ti 0 ti 0 : 7. ) ( )( ) 0 0 : ti 0 : ( ) 9
. Villininen toisen steen yhtälö b) 0 ( ) 0 0 : ti 0 0 : 7. ) 0 ( ) 0 0 ti 0 : b) 0 ( ) 0 0 ti 0 ti 0 90
. Villininen toisen steen yhtälö c) 0 ( ) 0 0 ti 0 :( ) 77. ) 0 ( ) 0 0 ti 0 : b) 0 ( ) 0 0 ti 0 0 ti :( ) 9
. Villininen toisen steen yhtälö c) 0 0 ( ) 0 :( ) ti 0 0 : 7. ) 0 0 0 ( ) 0 0 ti 0 :( ) b) ( ) 0 0 0 0 ti 0 :( ) 9
. Villininen toisen steen yhtälö 79. ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ti 0 b) ( ) 0 0 ti ( ) 0 ( )( ) 0 : 0 ti 0 : 0. ) 0 0 ( ) 0 0 ti 0 0 9
. Villininen toisen steen yhtälö b) ( ) ( ) 0 0 ti 0 :. Esimerkiksi yhtälöt ) ( )( ) 0 b) ( )( ) 0 c) ( )( b) 0. Polynomeill on sm rvo, kun ne ovt yhtäsuuret. ) 0 0 0 : 9
. Villininen toisen steen yhtälö b) 0 0 ( ) 0 0 ti 0 :. ( 7 )( 7 ) 0 7 0 ti 7 0 7 7 9
. Villininen toisen steen yhtälö. h( t) t t ) h () b) Kun pllo osuu mhn, on korkeus 0 m. t t t ( t) 0 0 t 0 ti t t t 0 :( ) Vstus: ) Pllo on m korkeudell. b) Pllo osuu mhn s kuluttu.. )( ) 0 b) 0 9
. Villininen toisen steen yhtälö. Jos on juuri, se toteutt yhtälön. ( ) ( p) p ( ) 9 p 9 p :( ) p Jos p, niin yhtälö on muoto: ( ) 0 0 ( ) 0 0 ti 0 0 ti Vstus: Kun p, niin yhtälön toinen juuri ( lisäksi) on 0. 97
. Villininen toisen steen yhtälö 7. ) ±9 b) ± ±,7 c) Ei rtkisu, kosk yhtälön oikelt puolelt ei voi ott neliöjuurt.. ) 0 ± b) 0 ± c) 9 0 9 ei rtkisuj 9
. Villininen toisen steen yhtälö 9. ) 0 0 ± b) ( ) 0: 0 ± c) ( ) : ± ±, 99
. Villininen toisen steen yhtälö 90. ) 7 7 ti 7 b) 0 7 0 7 0 7 0 7 : 9 ti c) :( ) Minkään reliluvun neliö ei voi oll negtiivinen, joten yhtälöllä ei ole rtkisu. 9. ) 0,0s 00 s 00 s ± 00 s ± 0 00
. Villininen toisen steen yhtälö b) 0,0k 0, 0 0,0k k k 0, : 0.0 0, 0 0,0 ± 0 9. ) ( t ) t t t t t : ( ) ei rtkisuj b) 7 : ( ) 9 ei rtkisuj 0
. Villininen toisen steen yhtälö 9. ) t t 0 t 0 b) t t t 9 ± c) t t Yhtälöllä ei ole rtkisuj, t : n rvoill eli ei millään 9. Merkitään neliön sivu kirjimell, > 0. Neliön pint-l on tällöin. Sdn yhtälö ±, kosk > 0. Neliön piiri on silloin m,9...m,9 m. Vstus:,9 m 0
. Villininen toisen steen yhtälö 9. Turon liturin l on,m 7,m. m Merkitään Petterin liturin sivu kirjimell, > 0. Sdn yhtälö 7, ± 7, 7,,7 ; > 0 Vstus: Petterin liturin sivu on,7 m. 9. Kikkin lut rkentmiseen kului cm 00m 0,m 0m. 00 m Jos neliönmuotoisen lttin sivun pituus on m ( > 0), sdn yhtälö 0 ± 0 0, ; > 0 Vstus: Neliön muotoisen kuistin mitt ovt, m j, m. 0
. Villininen toisen steen yhtälö 97. Sijoitetn lusekkeeseen v :n rvot j rtkistn yhtälöistä kirjin v. ) kun, v ( ) 0 v 0 v v ± ±, b) kun, v 0 v 0 v Tällä yhtälöllä ei ole rtkisuj eli ei millään v:n rvoll. c) kun 0, v 0 0 v 0 v 0 0
. Villininen toisen steen yhtälö 9. Kun hlkisij d on, m, säde r on 0,7 m Ympyrän l on π r π (0,7 m) 0,π m. Jos neliön sivu on, > 0, sdn yhtälö 0,π (m ± 0,π 0,π, (m); ) > 0 Vstus: Neliön muotoisen pöydän mitt ovt, m, m. 99. Neliön l on (,0m),0m. Olkoon ympyrän säde r, r > 0. Khden ympyrän l on silloin π r, jolloin sdn yhtälö r π,0 : r,0 π π,0 r ± π,0 r 0,797... ; r > 0 π Vstus: Ympyrän säde on 0,0 m. 0
. Villininen toisen steen yhtälö 00. ) 9 ±7 b) 0 : ± c) 0 0 0 : ± 0. ) ( )( ) 0 0 ti 0 : 0
. Villininen toisen steen yhtälö b) ( ) 0 0 0 0 : ti 0 0 : 0. ) ( ) ( ) ti 0 : ti 0 0 ti 0 0 0 0 07
. Villininen toisen steen yhtälö b) ( ) 0 0 ( ) 0 0 : 0 ti ti 0 :( ) 0 ti c) ( ) ( ) 0 0 :( ) 0 0
. Villininen toisen steen yhtälö 0. Esimerkiksi seurvt yhtälöt: ) ( )( ) 0 b) ( )( ) 0 c) 0 0. Pöytäliinn l A 7 0 0 (cm ) Tästä muodostuu neliön muotoinen pöytäliin, jonk sivun pituutt merkitään kirjimell, > 0. 0 (cm ) ± 0 0 0,0...(cm), > 0 Vstus: Pöytäliinn sivun pituus on noin 0 cm. 09
. Täydellinen toisen steen yhtälö. Täydellinen toisen steen yhtälö 0. ) 0 ti ± ± b) 0 ti ) ( ) ( ± ± 0. ) 0 ti ) ( ± ± 0
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 0 ± ( 0) ± ti 07. ) 0 ± ( ) ( ) ± ± ± ti
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 0 ± ( ) ( 0) ± 0 ± 7 ± 0 ti 0. ) 0 ± ( ) ( ) ( ) ± 9 ± 9 ± ti
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 ± ± 0 ± ± ti 0 09. ) 7 0 ( 7 ) 0 0 ti 7 0 7 : 7 7 b) 0 ( ) 0 0 : ti 0 0
. Täydellinen toisen steen yhtälö 0. ) 0 9 0 0 ) ( 9) ( ) ( ± ± ± ± b) 0 y y 0 0 ± ± y y y y y
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 0 ± ± ± ti 0,07... 0,,79...,79 b) 0 0 ( ) ± ( ) ( ) ±,7 ti 0,7
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 7 7 0 7 ± 7 7 ± 9 7 ± 7 ti 7 7 0,79... 0,7 7 7,70...,7 b) ( ) 0 ± ± 0, ti,
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 0 9 ) ( ) ( ) ( 0 ± ± Negtiivisest luvust ei s neliöjuurt, joten yhtälöllä ei ole rtkisuj. b) 0 ti ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ± ± 7
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 0 9 ( ) ( ) 0 9 0 9 ± ± b) 0 t t 0 t t ( ) ( ) ti ± ± t t t t
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 0 k k 0 ) ( ) ( 0 ± ± k k k k b) 9 ) ( ti ) ( 0 9 ± ± 9
. Täydellinen toisen steen yhtälö. Polynomien rvot ovt yhtäsuuret, kun ) ( ) ( Q P 7 0 ti 0 0) ( 0 0 0 7 ± ± ± ± Vstus: ti 0
. Täydellinen toisen steen yhtälö 7. Sijoitetn yhtälöön, jolloin ( ) ( ) 0 0 p p 0 p : ( p Sijoitetn p yhtälöön j rtkistn. 0 0 0 0 ( ) ± ± ( ) ( 0) 0 ti Vstus: Kun p, niin toinen juuri ( lisäksi) on.
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 000 000 000 0 :000 0 0 ± ± b) 0,000 0,000 0,000 0 0000 ti ) ( 0 ± ±
. Täydellinen toisen steen yhtälö 9.,7 ti 0, ) ( ) ( 0 ± ± ±
. Täydellinen toisen steen yhtälö 0. Sijoitetn t yhtälöön. ( ) ( ) 0 0 r r r r 0 r r 0 r r ti ) ( ) ( ) ( ± ± r r r r Kun r, sdn lkuperäinen yhtälö muotoon 0 t t ti ) ( ) ( ) ( 0 ± ± t t t t t t
. Täydellinen toisen steen yhtälö Kun r, yhtälö sdn lkuperäiseen muotoon t t t 0 t 0 ( ) ± t t t ± ti t ( ) ( ) Vstus: Kun r, toinen juuri (t lisäksi) on t. Kun r, toinen juuri (t lisäksi) on t.. 0 ( ) ± ( ) ( ) ±, ti 0, Juurist inostn jälkimmäinen on vditull välillä. Vstus: 0,
. Täydellinen toisen steen yhtälö. ) 0 ti ) ( ) ( ± ± b) 0 9 9 ti 0 9 9 ) ( 9) ( 9) ( ± ±. HUOM! Kirjn. pinoksess -kohdn vstuksess virhe. ) 0 s s 0 ± ± s s
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 0 ± ± ( ) ( 0) ( ) Ei rtkisu, kosk neliöjuurt ei voi ott negtiivisest luvust ( < 0).. ) 0 ± ( ) ± 7 ti 7
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 0 ± ( ) ± ± ti. ) 9 0 ( 9) ± ( 9) 9 ± 0 0 9 ± 0 9,..., 0 ti 9 0 0,... 0,
. Täydellinen toisen steen yhtälö b) 0 ± ( ) ± 9 ± ti 0,0... 0,0,0...,0. Jos on rtkisu, niin se toteutt yhtälön. Voidn siis sijoitt yhtälöön. t 0t 0 t 0t 0 t 0t 0 0t t 0 9
. Täydellinen toisen steen yhtälö Rtkistn yhtälöstä t. 0t t 0 ± ( 0) ( ) t ( 0) ± t 0 Ei rtkisu, sillä neliöjuurt ei voi ott negtiivisest luvust ( < 0). 0
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Toisen steen yhtälön sovelluksi 7. Olkoot kksi peräkkäistä kokonisluku j. ( ) 0 Tällöin Vstus: Luvut ovt j.. Olkoot luvut j y, jolloin y y
. Toisen steen yhtälön sovelluksi Neliöiden summst sdn yhtälö ( ) 0 0 0 ( ) ± ( ) ± 0, jolloin y, jolloin y. 0 ti Vstus: Luvut ovt j. 9. Olkoot kyseiset luvut,, j, > 0. Tällöin on pienin luvuist j se on prillinen. Prillisten tulo: ( ) Prittomien summ: ( ) ( )
. Toisen steen yhtälön sovelluksi Sdn yhtälö ( ) ( ) 0 ( ) ± ( ) ( ) ± ti (ei kelp,kosk > 0) Luvut ovt 7 Vstus: Luvut ovt,, j 7.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi 0. HUOM! Kirjn. pinoksess vstuksess virhe. Olkoon sivujen pituudet j y. Tällöin y 9 (m) y (m) Kosk sivujen pituudet eivät voi oll negtiivisi lukuj, on muuttujn on oltv välillä [0,]. Suorkulmion pint-ln luseke on y ( ). Sdn yhtälö y 0 ( ) 0 0 0 ± ± ( ) ( 0) ( ) 0,, jolloiny jolloiny 0 ti Vstus: Sivujen pituudet ovt siis m j 0 m.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Jos polun leveys on (m), ovt polun j ksvimn yhteismitt, j,., Näin ollen sdn yhtälö (, )(, ), ( m ),,, 0, ±,, ± 7, 0, ti, (,) Negtiivinen rtkisu ei käy, kosk polun leveys > 0. Vstus: Polun leveys on 0, m.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Merkitään lkuperäisen neliön sivu kirjimell (cm), jolloin l on (cm ). Uudet mitt ovt,0 j,0. Muodostuneen suorkulmion pint-l on, jolloin sdn yhtälö ( )( ) 0 ± ± 7 0,... ( ) ( ) ti,... Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk neliön sivu > 0. Neliön lksi sdn (, cm), cm Vstus: Neliön l on cm.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Levyn piiri on 0 m. Merkitään sivuj kirjimill (m) j y (m). y 0 (m) y 0 (m) Kosk sivujen pituudet eivät voi oll negtiivisi lukuj, voi sd rvoj välillä [0,0]. Sdn yhtälö y (m (0 ) 0 0 0 ± ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ±,...ti 7,7... Jos,, niin y 0, 7,7 Jos 7,7, niin y, Vstus: Korkeus on, m ti 7, m. 7
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Olkoon ristin leveys, > 0. Risti muodostuu neljästä suorkulmiost j yhdestä neliöstä. Aln luseke on tällöin Yhden ltn l on ( cm) cm. Näin ollen sdn yhtälö 0 900 0 ( cm) ( 900) 0 ± 0 0 ± 700,... ti 7,... Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk ristin leveys > 0. Vstus: Ridn leveys on, cm.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Jos mittojen lisäys on (cm), uudet mitt ovt j. Vnhn ilmoituksen l on cm cm. cm Uuden ilmoituksen l on ( )( ) 0 0 (cm ) ± ( 0) ±,7...ti 0,7... Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk mittojen lisäys > 0. Uuden ilmoituksen mitt ovt (,7... )cm 7,7 cm j (,7... )cm,7 cm. Vstus: Mitt ovt, cm j 7, cm. 9
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Kosk kysyntä on 00 kpplett, niin 00 7 p 0,0p 00 0,0p 7 p 00 0 ( 7) ± ( 7) 0,000 p 0,0 7 ± p 0,0 p,...ti p,9... Riippuvuus oli voimss silloin, kun hint oli lle 0 euro. Rtkisuksi kelp vin p,9 (euro.). Vstus: 0
. Toisen steen yhtälön sovelluksi 7. Jos korotus on (euro), hint on (euro). Luuti myydään tällöin 00 0 kpplett. Myyntitulot ovt ( )(00 0). Sdn siis yhtälö ( )(00 0) 00 (euro) 00 0 00 0 00 0 70 00 0 70 ± 70 ( 0) ( 00) ( 0) 70 ± 0 0 ti ( ) ei kelp, kosk. Hint on siis korotettv ( ). Uusi hint on siis ( ) Vstus: Luuti voi myydä hintn eli korotus on.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Jos hint korotetn (euro), > 0, myyntihint on 0 (euro). Levyjä myydään 0 (kpl) Kustnnukset ovt,( 0 ) Voitto: (0 )(0 ),(0 ) 00 0 Jos voitto on 00 (euro), niin sdn yhtälö 00 0 ± ( ) () ( ) ± 0 0,0...ti,0... Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk hinnn korotus > 0. Kun,0, niin levyn uusi hint on 0 0,0.,0 ( ) Vstus: Levyn hinnn oltv,0.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi 9. Alkuperäisen minoksen l on cm cm cm, jolloin uuden minoksen l on cm cm cm. Jos lisättyä korkeutt/leveyttä merkitään kirjimell (cm), uuden minoksen mitt ovt (cm) j (cm). Uuden minoksen l on ( )( ) (cm ) 0 ( ) ± ±,09... ti 9,09... Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk > 0. Uuden minoksen mitt ovt :,09,09 j,09,09 Vstus: Uuden minoksen mitt ovt, cm, cm.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi 0. Merkitään korkeus (m), > 0, jolloin knt on,0 (m). Suorkulmion l on (,0) 0 ( ) ± ± ( ) ( ) 7 ti Negtiivinen rtkisu ei kelp, kosk korkeus > 0. Kun 7,0, niin knt on,0 7,0,0,0. Vstus: Sivut ovt 7,0 m j,0 m.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Merkitään hint kirjimell ( 7). Kävijämäärä on tällöin 0 0. Päivätuotto kuv luseke ( 0 0). Sdn siis yhtälö (0 0) 000 (euro) 0 0 000 0 0 ± 0 ± 70 0 ti, 0 ( 0) ( 000) ( 0) Kosk 7, niin vin kelp rtkisuksi. Vstus: Lipun hint oli.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Vlitn priton luku. Seurv priton luku on. Näiden tulo on 9, joten sdn yhtälö ( ) 9 9 0 ± ( 9) ± 7 ti 0 Kun, niin. Kun, niin. Vstus: Luvut ovt j ti j.
. Toisen steen yhtälön sovelluksi. Luku on. Sen käänteisluku on. Näille on voimss yhtälö ) 0 ( ) ± ± ( ) ( ) ( ) ( ( ti Kun, niin käänteisluku. Kun, niin käänteisluku. Vstus: Luvut ovt j. 7
. Suhde j verrnto. Suhde j verrnto m 00cm /. ) 0 : 0cm 0cm / 00g 00g / / b) : 00 0kg 0000g / / 00 mm mm c) : 00 dm 00mm 00 0/ d) : 9 / 9. Jäseniä on 00. Ruotsinkielisiä näistä on 00 0 j suomenkielisiä loput eli 00 0 0. 0 / ) : 0/ b) 0 / : 00/
. Suhde j verrnto. Noor 0, Iiro 90, Apo 0 ) 0 90 9 ( b) 0 0 ( 7. Lukujen suhde on :, joten luvut ovt j. Tällöin lukujen summ on 7 :7 Luvut ovt 0. Vstus: Luvut ovt 0 j. 9
. Suhde j verrnto. Lukujen suhde on :. Merkitään lukuj j. Lukujen tulo on 9 eli 9 9 ± 9 : ± Kun, niin luvut ovt. Kun, niin luvut ovt ( ) ( ). Vstus: Luvut ovt j ti j. 0
. Suhde j verrnto 9. Knnn j korkeuden suhde on :. Olkoot knt (cm) j korkeus. (cm) ( > 0). Aln luseke on ±, jolloin ±,707... Negtiivinen rtkisu ei kelp, sillä > 0. Knt,707, j korkeus,707,90 Vstus: Knt, cm, korkeus cm
. Suhde j verrnto 0. ) : b) : c) ( )
. Suhde j verrnto. ) ( ) ( ) : b) ( ) ( )( ) 7 : 7
. Suhde j verrnto. ) ( ) 9 0 9 0 b) 9 ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 9 9 9 ± ± ± ± 0 ti
. Suhde j verrnto. ) 0 00 ± 0 b) 0 0 0 :0 ±. ) ( ) ( ) 9 :( )
. Suhde j verrnto b) ( )( ) ( ) 0 ( ) ± ( ) ( ) ± 9 Ei rtkisu, kosk negtiivisest luvust ei voi ott neliöjuurt ( 9 <0).. Merkitään lkuperäinen luku ( >0). Muodostetn verrntoyhtälö k k : k Vstus: k
. Suhde j verrnto. Olkoon sikkn pituus (cm). Pienoismllin korkeuksien suhteest sdn verrnto 7 : 7, Vstus: Asikkn pituus on cm. 7. Tlon korkeus mlliss olkoon (cm). Muutetn pituudet smoiksi yksiköiksi. m 00 cm Tlon j kirkon korkeuksien suhteist sdn verrnto 00 70 00 0 : 00 9,7... Vstus: Tlon korkeus on 9,7 cm. 7
. Suhde j verrnto. HUOM! Kirjn. pinoksess vstuksess virhe. Merkitään lkuperäisen tornin korkeutt kirjimell, > 0. Jos ensimmäisen kopion korkeus on, niin tornin pituuksien suhteest sdn Jos toisen kopion korkeus on y, niin tornin pituuksien suhteist sdn y y 9 y : 9 9 y Viimeisen kopion j lkuperäisen suhde on 9 9/ : 9 :. / Vstus: 9:
. Suhde j verrnto 9. ) : ( 9 b) ( ) ( ) 0 : ( ) 0. ) ( ) ( ) 0 ( ) ± ± ti ( ) 9
. Suhde j verrnto b) 0 0 ( ) ti 0 0 ) ( 0 0 0 0 0. ) ( ) 0 ti ) ( 0 ± ± 0
. Suhde j verrnto b) h h h h ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ti 0 0 0 0 9 0 ± ± h h h h h h h h h h h h h h h h. Lukujen suhde on :. Olkoot luvut j. ( > 0) Tällöin lukujen tulo on 00 00 ± Kosk > 0, vin toinen rtkisuist kelp eli j 0. Vstus: Luvut ovt j 0.
. Suhde j verrnto. Olkoon Kyöstin pituus (cm), jolloin Mikin pituus on (cm). Sdn yhtälö ( ) Vstus: Kyöstin pituus cm j Mikin 0 cm.
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. ) Mtk s on vkio. Tulukost nähdään, että nopeuden v ksvess ik t pienenee smss suhteess. Kyseessä on kääntäen verrnnollinen tpus. nopeus v mtk s ik t mtk s v t 0 m/s 00s 000m km Vstus: kääntäen verrnnollisuus, mtk km b) Nopeus v on vkio. Tulukost nähdään, että mtkn s ksvess ik t ksv smss suhteess. Kyseessä on suorn verrnnollinen tpus. s v t 0km h 0 km/h Vstus: suorn verrnnollisuus, nopeus 0 km/h
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Muodostetn verrnto, joss on oliivien määrä. Juhelih (g) Oliivit (g) 00 0 00 00 00 0 00 7000 0 Vstus: Trvitn 0 g oliivej.. Merkitään kysyttyä mkkrmäärää (kg) kirjimell. henkilöiden lkm mkkrn määrä (kg), 7 Mkkrn määrä j vieriden lukumäärä ovt suorn verrnnollisi, joten sdn verrnto 7, 7,: 7,,..., (kg) Vstus: Mkkr trvitn, kg.
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Olkoon kilpikonnn ikä. Tällöin,, 70, 7 0 :, Vstus: Kilpikonn on 0-vuotis.. h min 0 min min. Muodostetn verrnto, joss on ik minuuttein. Mtk (km) 0 00 0 7000,... Aik (s) 0 00 Muutetn ik tunneiksi j minuuteiksi,... min h,... min Vstus: h 7 min
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 9. Merkitään ik, jok skootterill jettess kuluu kirjstoon, kirjimell. Kosk keskinopeus pysyy muuttumttomn, ovt ik j mtk suorn verrnnollisi. ik (min) mtk (km) 0, 9, 0, 9,, 0 9, 9, :,,... (min) Vstus: Mtkn kuluu ik min.
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 70. Olkoon Vernerin loppuik. Merkitään nnetut tiedot tulukkoon. ) Mtk (km) Aik (s) 00, 000 00, 0000 00 000 0 ( s) 0 s 0 min 0 s b) Mtk (m) Aik (min) 00 000 00 0000 00 0000,... (min) eli min 0 s. Vstus: ) 0 min 0 s b) min 0 s 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. ) on minuuttiviisrin kiertymä Merkitään nnetut tiedot tulukkoon j muodostetn verrnto. Aik (min) Kiertymä ( ) 90 90 0 b) Olkoon tuntiviisrin kiertymä. 0 minuutiss tuntiviisri kiertyy 0 stett. Merkitään nnetut tiedot tulukkoon j muodostetn verrnto. Aik (min) Kiertymä ( ) 0 0 0 0 0 70 Vstus: ) b)
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Merkitään kysyttyä nopeutt kirjimell. nopeuden neliö (km/h) jrrutusmtk (m) 0 0 Jrrutusmtk on suorn verrnnollinen nopeuden neliöön. 0 0 0 0 : 9000 ± 9000 ±,9... Kosk nopeus ei voi oll negtiivinen, vstukseksi kelp,9 km/h km/h. Vstus: Nopeus on km/h. 9
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Pumppujen määrä on suorn verrnnollinen reiän hlkisijn d neljänteen potenssiin. Jos hlkisij on,9 cm, pumppuj trvitn kpplett. Pumput (kpl) d (cm ),,9 Sdn verrnto,,9,07,0,... Vstus: Jott vene pysyy tyhjänä, trvitn 7 pumppu. 70
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Tulukoidn ensin tiedot: Klle Ville Aik (h) Määrä Aik (h) Määrä k k k tunniss Klle j Ville kntvt tiiliä määrän k k k. Määrään k heiltä menee tunti (suorn verrnnollisuus), jolloin sdn yhtälö: k k h 0 min 0 min h 0 min Vstus: h 0 min 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Kun etäisyys torist ksv, sitä lyhyemmiksi jutut muodostuvt. Plsttil j etäisyys torist ovt kääntäen verrnnollisi. Al (plstmm) Etäisyys (m) 00 70 000 Sdn verrnto 00 000 70 000 7000 : 000 7, Vstus: noin 0 plstmillimetriä 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. Apulisten lisääntyessä trvittv ik pienenee. Kyseessä on kääntäen verrnnollisuus. Henkilöt (kpl) Aik (h) 7 Sdn verrnto 7 :, Neljä henkilöä tekee urkn lle neljässä tunniss. Priskunt trvitsee siis kksi pulist lisää. Vstus: Trvitn kksi henkilöä lisää. 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 77. Kun ltn pint-l pienenee, niin trvittvien lttojen kpplemäärä ksv. Kyseessä on kääntäen verrnnollisuus. Al (cm ) Ltt (kpl) 00 0 0 Sdn verrnto 00 0 0 0 000 : 0,... Jott ltti sdn kkeloitu, lttoj trvitn kpl. Vstus: noin kpl lttoj 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 7. ) Olkoon nopeus (km/h). Aik (min) Nopeus (km/h) Aik j nopeus ovt kääntäen verrnnolliset. 0,0... Nopeus noin km/h. b) Työmtkn kuluu ik min 0,7 h. Mtk ik nopeus 0,7 h km/h 9km. Puolet mtkst on siis, km. Olkoon loppumtkn nopeus. Koko mtkn s kulu ik min h. 0 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet Kosk ik mtk/nopeus, sdn yhtälö,, 0,, 0 0,, 0, 70 7,... Loppumtkn nopeus on 7 km/h. 79. Merkitään kysyttyä ik kirjimell. nopeus (km/h) ik (min) 9 Kosk jettu mtk pysyy vkion, niin nopeus j ik ovt kääntäen verrnnollisi. Sdn siis verrnto 9 9 : 9 9,9... (min) Vstus: Aik kuluu min. 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet 0. ) Merkitään kysyttyä tiheyttä kirjimell. tilvuus (dm ) tiheys (kg/dm ) 0,, 0, Tiheys j tilvuus ovt kääntäen verrnnollisi, joten sdn verrnto 0, 0, 0, 0,, b) Kosk,,0 0, tiheys : 0,,..., ( kg / dm ) mss tilvuus, niin mss tiheys tilvuus. Kppleiden msst ovt siis kg,dm,,0kg, kg dm 0 kg,dm,...,0kg, kg dm 0 Vstus: ), kg/dm b), kg molemmt 77
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Pine j tilvuus ovt kääntäen verrnnollisi. Pine (kp) Tilvuus (l), 0 9, Sdn verrnto, 9, 0 9, : 9,,... Vstus:, l 7
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Olkoon intensiteetti etäisyydellä 0 m k, jolloin se on etäisyydellä d metriä 00k. Intensiteetti Etäisyys (m ) k 0 00k d Sdn verrnto d k 00k d 0 00 0 d d ± Etäisyys d ei voi oll negtiivinen, joten d. Vstus: Mill siirtyi metrin päähän. 79
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Asunnon koko j hint ovt suorn verrnnollisi. Merkitään sunnon koko kirjimell (m ). Tulukoidn nnetut tiedot. Al (m ) Hint (euro) 0 000 0 000 Sdn verrnto 0000 0000 0000 70000,7... Vstus: m 0
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. ) Minont j myynti ovt suorn verrnnollisi. Merkitään minontn käytetty rh kirjimell. Tulukoidn nnetut tiedot. Minont (euro) Myynti (euro) 00 700 00 Sdn verrnto 00 700 00 700 0000,9... b) Merkitään myynnin ksvu kirjimell. Minont (euro) Myynti (euro) 00 700 00 Sdn verrnto 00 700 00 00 00000 00 Vstus: ) 0 b) 00
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Vlistus on kääntäen verrnnollinen etäisyyden neliöön. Tulukoidn nnetut tiedot. Vlistus (l) Etäisyys (m ),, Sdn verrnto,,, 9 :, 9,... Vstus: l
. Suorn j kääntäen verrnnolliset suureet. Merkitään kysyttyä nopeutt kirjimell. nopeuden neliö (km/h) normlikiihtyvyys (m/s ) 0,7,9 Normlikiihtyvyys on suorn verrnnollinen nopeuden neliöön, joten sdn verrnto 0,7,7,9 0 77,7,9:,7 ± 77,7 ± 0,07... Kosk nopeus ei voi oll negtiivinen, vstukseksi kelp km km 0,07 0 h h Vstus: 0 km h
. Prosenttilskennn perustilnteit. Prosenttilskennn perustilnteit 7. ) 0,77... % b) 0,0... %. tytöt, pojt 9 9, yhteensä 9 9 77 ) 0,9... 9% 77 99 b) 0,0... % 77 9. On selvitettävä, montko prosentti 0 euro on lkuperäisestä vuokrst (0 euro). 0 0 0,07 %
. Prosenttilskennn perustilnteit 90. ) Poiss oli oppilst :st. 0,... % b) Poiss olevist oppilst sirn oli. 0,7 7% 9. Liuoksen mss on g, joss on, g kuprisulftti. Pitoisuus eli kuprisulftin osuus mssprosenttein koko liuoksest, g g 0,09... 9,%.
. Prosenttilskennn perustilnteit 9. Vksuorn plkin pint-l A (pint-lyksikköä, py) Pystysuorn plkin pint-l A ( ) (py) Koko ristin pint-l A A 7 (py) Koko lipun pint-l 9 7 Sinisen osuus 0,99... 9% 9 Vstus: 9 %
. Prosenttilskennn perustilnteit 9. Prosentti on sdsos. ) 0, 0, b) 0, 0, 9. 0, l 0,7 l 9. Liike A:n lennus prosenttein 0 0,,% Liike B:n lennus oli %., % > % Vstus: Liike A:n lennus oli suurempi, joten sieltä si puhelimen hlvemmll. 7
. Prosenttilskennn perustilnteit 9. Tiin mks vero 0, 700 Omn käyttöön jää 00 % % 7 % 0,7 700 TAI: 700 Vstus: Vero mksetn. Omn käyttöön jää. 97. Uusi hint: 00 % 0 % 0 %. 0,0,00 9,0 (euro) TAI: Alennus: 0,,00, 0, Uusi hint:, 00, 0 9, 0 ( ) Vstus: 9,0
. Prosenttilskennn perustilnteit 9. Koko liuoksen mss on kg Liuoksen suolpitoisuus on 0, %, joten suoln määrä liuoksess on 0,00 kg 0,0kg. Liuoksest hihtuu nestettä kg, jolloin liuost on jäljellä 0 kg. Suoln määrä ei tällöin muutu, joten suolpitoisuus hihtumisen 0,0 kg jälkeen on 0,00 0,% 0 kg 99. Yhtiövstike ennen korotust:, 9 (euro ) Yhtiövstike % korotuksen jälkeen:,0 9 9,9 Vstus: 9,97 euro 9
. Prosenttilskennn perustilnteit 00. Mtk on 0 km. Nopeudell 90 km/h Vilmll kuluu ik ik s t mtk 0 km nopeus v,... 90 km/h h Nopeus ksv % eli 0, 90 km/h,km/h Uusi nopeus 90 km/h,km/h 0, km/h TAI: Uusi nopeus sdn myös suorn:, 90 km/h 0, km/h Aik kuluu tällöin 0km 0,km/h,... h Vilm voitt jss, h, h 0, h 0, h 0,... 0 min 0 min Vstus: Vilm voitt 0 min. 90
. Prosenttilskennn perustilnteit 0. 00 kpl levyä, joist jzz-levyjä on % eli 0, 00 kpl. Jzz-levyistä suomlisi on 0 % eli 0,0 9 kpl. 0. Omenoit:, 00kg kg Bnnej:, kg 79,7kg. Vstus: Omenoit 00 kg j bnnej 700 kg. 9
. Prosenttilskennn perustilnteit 0. kotitlouksien lukumäärä m Mtkpuhelin 0,7 (7, %) l Lnkpuhelin 0,7 (7, %) v Vin mtkpuhelin 0,9 (,9 %) Niiden kotitlouksien määrä, joill on käytössä puhelin. l v 0,7 0,9 0,97 Vin lnkpuhelin on niillä, joill ei ole mtkpuhelint. 0,97 0,7 0,0 Vin lnkpuhelin 0, %:ll kikist kotitlouksist. Molemmt puhelimet ovt niillä, joill ei ole vin toist. 0,97 0,9 0,0 0, Tätä verrtn lnkpuhelimien käyttäjiin eli määrään 0,7. 0, 0,7 0,7... 7,% Vstus: Vin lnkpuhelin oli 0, %:ll. Lnkpuhelimen käyttäjistä 7, %:ll oli myös mtkpuhelin. 9
. Prosenttilskennn perustilnteit 0. ), 0 % eli ksvnut 0 % b) 0, % eli lentunut % c) 0,00 0, % eli lentunut 99,7 % d), 0 % eli ksvnut 0 % 0. ), 0 % suurempi 0 b) 0, 7 % pienempi 0 0. ) Verrtn diplodocuksen pinoon 70000 0000,7 7% 7 % 00 % 7 % eli 7 % pinvmpi b) Verrtn friknnorsun pinoon 70000 000 7, 70% 70 % 00 % 0 % eli 0 % pinvmpi Vstus: ) 7 % b) 0 % 9
. Prosenttilskennn perustilnteit 07. ), 0, prosenttiyksikköä, b) 0,0... % 0 0. suolpitoisuus ennen, %, suolpitoisuus jälkeen, % ) lennus prosenttiyksiköinä,, 0, lennus 0, b) 0, % pitoisuus luss, 09. Lsketn luksi montko prosentti 99,0 euro on,0 eurost. 99,0,0 0,0... % Alennusprosentti oli 00 % % %. 9
. Prosenttilskennn perustilnteit 0. Täysinäisestä stist puuttuu l l l. Tyhjänä on siis l. Prosenttein 0,... % Vstus: %. Tilvuus ksv % eli 0,0 0, l 0,0 l Ksvnut tilvuus 0, l 0,0 l 0,9 l < l TAI: Ksvnut tilvuus sdn suorn:,0 0,l 0,9l < l Vstus: Pullo ei hlke. 9
. Prosenttilskennn perustilnteit. Toimistotyössä olev kulutti % vähemmän kuin rskn työn rtj. Toimistotyössä olevn osuus energist on siis: 00 % % 7 % 0,7 000 kj 090 kj Vstus: noin 000 kj. HUOM! Kirjn. pinoksen vstuksess virhe. Lääkkeessä on vikuttv inett jäljellä: 00 % % % 0, 0 mg 7 mg Vstus: 70 mg 9
. Prosenttilskennn perustilnteit. Tuotteen hint luss (euro). Joulun myynti 00 % % % Hint on nyt, Alennusmyynti (0 %) 00 % 0 % 0 % Hint on tämän jälkeen 0,, 0, 9 Aluss hint oli (00 %). Hint oli muuttunut: 00 % 9 % % Vstus: Hint lski %.. Aluss klt pinoivt.. ksvu % pino:,. ksvu % pino:,,. ksvu % pino:,0,,,90 (9,0 %) Lisäystä on siis tullut 9,0 % 00 % 9,0 % Vstus: Klt olivt ksvneet 9 %. 97
. Prosenttilskennn perustilnteit. Vteliike:. lennus 0 %, joten uusi hint on 0,,0 7,90 (euro). lennus 0 %, jolloin uusi hint on 0, 7,90,7 (euro) Tvrtlo: Alennus on 70 %, jolloin uusi hint on 0,,0,9 (euro),9 <,7, joten pit knntt ost tvrtlost. Vstus: Knntt ost tvrtlost. 7. Hint luss (euro) Vuoden luss, Vuoden lopuss,,, Muutos lkuperäiseen verrttun:, % 00 %, % Vstus: Hint nousi %. 9
. Prosenttilskennn perustilnteit. Merkitään tuotteen hint luss kirjimell j kysyntää kirjimell y. Kootn tehtävän tiedot tulukkoon. Tilnne luss Tilnne lopuss Hint ( ), Kysyntä (kpl) y 0,77 y Myyntitulot ( ) y, 0,77 y Myyntitulot muutoksen jälkeen ovt siis, 0,77y 0,90y. Verrttun luss oleviin myyntituloihin y se on 0,90- kertistunut eli lskenut (00 90,) % 9, % 9, %. Vstus: Myyntitulot lskivt 9, %. 9. ) Veroj mksetn euro 00 eurost. 0,..., % 00 b) Käteen jää loput eli 00 %, % 7, %. Vstus ) % b) 7, % 99
. Prosenttilskennn perustilnteit 0. Korotus %. Uusi hint on,,9,9 (euro) TAI: Korotus 0,,9 0, 9 (euro) Uusi hint,9 0, 9,9, (euro) Vstus:,0 (ti,9 ). Vero on, %, jolloin rh jää 00 %, % 7, %. Rh jää verojen jälkeen: 0,7 00, (euro). Linojen mksuun: 0,,, (euro) Rh jää tämän jälkeen:,, 0,0 (euro) Vuokrn (00 euro) jälkeen käyttörh jää: 0, 0 00 0, 0 (euro). Vstus: 0 00
. Prosenttilskennn perustilnteit. Hmeen pituus luss. Lyhennys %, jolloin hmeen pituus oli 00 % % % lkuperäisestä eli 0,. Uusi lyhennys 0 %, jolloin hmeen pituus oli 00 % 0 % 0 % edellisestä pituudest eli 0,0 0,. 0,0 0, 0,. Hmeen pituus luss oli (00%) Hmeen pituus muuttui 00 % % %. Vstus: Pituus lyheni %. 0
. Prosenttilskennn perustilnteit. Merkitään vdelmmehun määrää kirjimell Vdelmmehuss sokeri 0,0. Sekoitussuhde on :, jolloin os on vdelmmehu j os puolukkmehu. Puolukkmehun määrä Puolukkmehuss sokeri 0,0 Sokeri yhteensä 0,0 0,0 0, Mehu yhteensä Sokeripitoisuus 0, 0,0...,9% Vstus:,9 % 0
. Prosenttiyhtälöitä. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään kysyttyä luku kirjimell., 7 :, 7, 0 Vstus: Luku on 0.. Merkitään pino kesän lopuss 0, :0,,... Vstus: Hylkeen pino oli kg.. Merkitään kysyttyä nopeutt kirjimell., 9 :, 9, 0,0 (km/h) Vstus. km/h 0
. Prosenttiyhtälöitä 7. Sokeriliuoksess on sokeri 0, 0 000 kg 000 kg Merkitään sokerijuurikkiden määrä 0, 000 :0,,... Vstus: Sokerijuurikkit trvitn n., tonni.. Merkitään sokerin määrä 0, 0 00 00 0,0 00 ( ) 0 0,0 0,9 0 :0,9,9... ( ) Vstus: grmm 9. Merkitään bensiinin hint ennen korotust,0,0,,9, :,9,099...,09( euro) Vstus:,09 0
. Prosenttiyhtälöitä 0. Merkitään käyttörj 0,0 0 :0,0 000 Merkitään y bruttotulot 0,y 000 :0, y 0000 Vstus: Vuotuiset bruttotulot ovt 0 000. Merkitään kirjn tukkuhint kirjimell. Myyntihint on tällöin,. Jos kirjn myyntihint on,00, niin sen tukkuhint sdn yhtälöstä,,00,00, :,,7...( ) Tukkuhint lennettiin, eli uusi tukkuhint on,7,, ( ). Uusi myyntihint on tällöin,,,7. 0
. Prosenttiyhtälöitä. Bruttoplkk 00 euro. Nettoplkk 0, 00 700 (euro) Käteen jää 0, 700 9 (euro) Olkoon vuokr. Nettoplkst otetn pois vuokr j 00 euro, jolloin sdn käteen jäävä osuus 9 euro. 700 00 9 : ( ) Vstus: Vuokr oli.. Merkitään lkuperäinen perushint,0,0,0,0 :,0 0,... Uusi perushint: 0,,0, ( ) Uusi myyntihint sdn lisäämällä % uuteen perushintn.,0,... 7,7 7,7 ( ) Vstus: 7,7 0
. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään myyntihint 0,, 0, 0 :0, 70,... 70 Vstus: Myyntihinnn on oltv 70.. Suol 0,, l 0,7 l Merkitään limennetun liuoksen tilvuus Suoln määrä säilyy limennettess. 0,0 0,7 7, : 0,0 Vstus: Liuoksen tilvuus limennettun 7, litr. 07
. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään prosenttikerroint kirjimell. 0 9 :0, Tästä voidn päätellä kysytty prosenttiluku % 00 % % Vstus: suurennettv % 7. Merkitään prosenttikerroin, 0, :, 0, 0,70... 7%, Hint on lskettv 00 % 7 % 9 % Vstus: 9 % 0
. Prosenttiyhtälöitä. kk sähkölsku luss 970 kk sähkölsku nyt 0 ) Sähkölsku pienenee siten, että se -kertistuu luss olevn lskuun nähden, jolloin sdn yhtälö 970 0 0 970 : 970 0,79... Sähkönkulutus siis lski (00 79,) % 0, % %. b) Merkitään kuukusikohtist tvoitett siten, että sähkölsku j kulutus -kertistuu kuukusittin. sähkölsku luss 970 ( ) kk jälkeen 970 kk jälkeen 970 970 Sdn siis yhtälö 970 ± 0 :970 0 970 0 970 ± 0,907... Kuukusittinen säästö on (00 9,07) % 0,9 % %. Vstus: ) % b) % 09
. Prosenttiyhtälöitä 9. Merkitään myyntiä luss kirjimell. Myynti vuoden jälkeen on. Merkitään vuosittist ksvu siten, että myynti -kertistuu vuodess. Tutkitn myynnin muuttumist tulukon vull. Aik (vuosin) Myynti ( ) 0 Kosk toislt vuoden kuluttu myynti on, niin sdn yhtälö : ( 0) ± ±,... Ksvu on siis (, 00) %, % % Vstus: % 0
. Prosenttiyhtälöitä 0. Merkitään mtkustjmäärä luss 0,77 : 0,77 : 0,77,97... 0% Mtkustj määrän on lisäännyttävä 0 % 00 % 0 %. Vstus: 0 %. Lssi pin 0 kg kg kg. Merkitään prosenttikerroin. 0 0 0,909... 9% On siis lihduttv 00 % 9 % 9 % Vstus: 9 %
. Prosenttiyhtälöitä. Turpeen mss Vettä 0, Muut 0, Hihduttmisen jälkeen: Turpeen mss Vettä 0, Muut 0, Muun ineen määrä pysyy smn: 0, 0, : 0, 0, Vettä hihdutuksen jälkeen: 0, 0, 0, Vettä on hihdutettu: 0, 0, 0,. 0, Tämä on prosenttein: 0,... % 0, Vstus: Vettä on hihdutettv %.
. Prosenttiyhtälöitä. Aluss Lopuss Määrä 0, Hint b b Tulot b b 0, b b : b 0, : 0,,90... 9,0...% Nousu 9,0 % 00 % 9,0 % Vstus: Hinnn on noustv 9 %.. Merkitään plkk. Pidätys 7 %, jolloin jäljelle jää (käteen) 00 % 7 % % 0, : 0, 7,0... Verojen osuus oli siis: 77,0 9,0... (euro) Vstus: 9
. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään H Heikin pisteet L Liisn pisteet M Mijn pisteet H,L j L, 0M,L :, L 7, 7, 0 M L :, 0 L M, 0 7,... M 9, 7... 9, 0 Vstus: Liis si 7 pistettä. j Mij si 9 pistettä.
. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään linn määrä (euro). lyhennys: jäljellä 0,9. lyhennys: 0,9 0,9. lyhennys 0,9 0,9 0,9 0,9 Lin on nyt jäljellä 7 (euro). Sdn yhtälö 0,9 7 0,77 7 : 0,77 0000,9... Vstus: 0 000 euro
. Prosenttiyhtälöitä 7. suksluku luss 00 suksluku vuoden kuluttu 00 Merkitään vuosittist ksvu siten, että suksluku -kertistuu. Tutkitn suksluvun muutost tulukon vull. Aik (vuosin) Myynti ( ) 0 00 00 00 00 Kosk toislt suksluku vuoden kuluttu on 00, sdn yhtälö 00 00 :00 ± 00 00 00 00 ±,07... Vuosittist ksvu on siis (0,7 00) %,7 %, %. Vstus:, %
. Prosenttiyhtälöitä. Merkitään hint luksi. Uusi hint,07 Merkitään prosenttikerroin Uusi hint lennuksen jälkeen on,07 Tämän hinnn tulee oll 9 % lkuperäisestä hinnst. Sdn siis yhtälö, 07 0,9 :, 07 0,9/ 0,9...,9...%, 07/ Hint on siis lskettv 00 %,9 %,0 % Vstus: % 7
Kertusos Kertusos. ) b). ) 0 b) 00. ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( 0) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9
Kertusos. ) ( ) 000 000 b) ( ) 00 00. ) ) ) 0 0 0 b) / / c) : 7 7. ) ) ) 0 b) 9
Kertusos c) : 7 ( 9) 7 7 7 7. ) 7 7 ) 9 b) : 0 9. ) 7 0 b) ( t ) t t c) 9 9 d) ( y ) ( ) ( y ) y 0
Kertusos 9. ) 7 7 7 Kun,. ( ) b) Kun,. 0. ) 0 00 0 00 b) ( ) ( ) c) 7 7 7 9 9
Kertusos. ) 99 99 99 900 0, 0 0 0, 0 ( ) 00 00 00 0, 0 0 99 99 b) ( ) m m m m m m m m m m m m m. ( ) ( ) 0 0. ) ( ) 9 9 b) ( ) ( ) [ ] [ ] 7 b b b b b b b
Kertusos. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y. ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) y y y y 7. ) 0 0 b) ( )
Kertusos 7. ) P ( ) Q( ) 7 ( ) 7 9 9 b) P ( ) P( ) Q( ) 7 ( 7)( ) 7 7 0 0 ( 0 ) 9 7. ) ( ) 0 0 b) ( )( ) 0 0 0 c) ( )( )
Kertusos 9. ) ( )( ) b) [( ) ( )][( ) ( )] ( )( ) (- )( ) 0. ) ( ) ( )( ) ( ) b)( ) ( )( )
Kertusos. hint ( ) määrä (kpl) 9,00 9,00 0,0 0, 9,00 9,00,, 9,00 Myyntiä kuv polynomi m() (9,00 )( ) ) m(,00) (9,00,00)(,00) 9,00 ( ) b) m(,0) (9,00,0)( (,0)),0 ( ). ) 7 ( 7 ) 7 b) ) 7
Kertusos. ) ( ) ( ) 0 0 / / b) ( ) 0 : / / / /. ) ( ) b) ( ) b b b b. ) ( ) 0 / / / / b) ( ) ( ) 7
Kertusos. ) 9 9 : b) ( ) ( ) : 7. ) ) ( ) ( ) ( ) ) 0 0 0 0 : ( )
Kertusos b) ) ) ) 0 0 0 0 0 0 0 7 : 7 0 (-0) 7 0. ) Kulutus, l/00 km 0,0 l/km Merkitään jettujen kilometrien määrää kirjimell. Ajminen dieselillä mks 0 0,0 0,9 Ajminen bensll mks 0,0, Lsketn kilometrimäärä, joll diesel j bens ovt yhtä edulliset. 0 0,0 0,9 0,0, 0 0,09 0,077 0 0,077 0,09 0 0,0 0,0 0 :0,0 0, 00 (km) 9
Kertusos b) Dieselin kulutus :,0 l/00 km 0,0 l /km Bensn kulutus:,0 l/km 0,0 l /km Lsketn kilometrimäärä, joll diesel j bens ovt yhtä edulliset, kun jetn km. 0 0,9 0,0 0,0, 0 0,07 0,07 0 0,07 0,07 0 0,07 0,07 0 :0,07 7,7 00 (km) Vstus: ) Dieselutoll jettv vähintään 00 km. b) Dieselutoll on jettv vähintään 00 km. 0
Kertusos 9. Perusos 00 Provisio 0, 0 /puhelin /puhelin Merkitään myytyjen puhelimien määrää kirjimell. ) Kuukusiplkk kuv luseke 00 b) Kuukusiplkk, kun myydään 0 puhelint, on 00 0 0 ( ). c) 00 000 000 00 00 : 00 000 kuukusiplkkn on myytävä 00 kpl puhelimi.
Kertusos 0. Merkitään knojen määrää kirjimell. Sikojen määrää kuv luseke. Kosk eläimillä on jlkoj yhteensä kpplett sdn yhtälö: ( ) 0 0 :( ) Knoj on kpl, joten sikoj on kpl.. ) 0 ( ) 0 0 ti 0 Vstus: 0 ti
Kertusos b) 0 ( ) 0 0 ti 0 : Vstus: 0 ti. ) 0 : ± b) 0 : ± c) 0 Ei rtkisu.
Kertusos. 0 0 ( ) 0 0 ti 0 :( ) Vstus: 0 ti. ) 0 ( ) ± ± ± 0 ti
Kertusos b) 9 0 ( ) ( ) 7 0 9 ± ± Vstus: ) ti b) 7. ) ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 9 ti 9 9 ± ± ±
Kertusos b) 0 ( ) ( ) ( ) 7 ± ± Juurrettv 7 negtiivinen, joten ei rtkisu.. ) 0 ( ) ( ) ti ± ± ± Vstus: ti
Kertusos b) 0 ( ) ± ( ) ± ± ti Vstus: ti 7. 0 Kosk on yhtälön rtkisu, niin ( ) ( ) 0 0 :( ) 7
Kertusos Yhtälö on siis muoto: 0 ( ) 9 ti 9 9 ± ± ± Vstus:, toinen rtkisu. 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 7 ti ± ± ±
Kertusos 9. y y rnt y A Pint-lst sdn: A y ( ) 0 ± ± 9 y ( ) ( ) ti Jos 9, niin y. Jos, niin y. Vstus: Jos rnnnsuuntinen mitt on m, niin muut sivut ovt 9 m. Jos ts rnnnsuuntinen mitt on m, niin muut sivut ovt m. 9
Kertusos 0. Olkoot luvut j. ( ) 0 0 : 0 0 ( 0) ± ± 0 ti Jos 0, niin. Jos, niin 0. Vstus: Luvut ovt 0 j ti j 0.. 0 ( ) ( ) 0 0 0 : 0 ± ± 0 Vstus h 0
Kertusos. SIVU ALA Alkuperäinen Suurennos ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 0 : 0 ( ) ( ) ± ± ti < 0, ei käy Vin kelp, jolloin lkuperäinen l 9 j suurennos on( ).. ) 0 0 (
Kertusos b) 9 : 9. ) 0 ± b) ( ) ti 0 ± ±
Kertusos. Olkoot suorkulmion sivut j. A 0 000 (m ) 0 000 0 000 : 0 000 ± 0 000 00 ti 00 < 0, ei käy Sivut ovt 00 m j 00 m. Vstus: 00 m j 00 m. 0 : Vstus: oppilst
Kertusos 7. Pituus (cm) Pino (kg) 7 Suorn verrnnollisuus, joten sdn yhtälö: 700 : 700 79,9... 79 Vstus: 79 kg. ) Vjus (h) Työteho (%) 0, 0, 0, Suorn verrnnollisuus, joten sdn yhtälö: 0, 0, : 0, 0, 0,... (h) 0, 0,... 0 min 0 min
Kertusos b) Vjus (h) Työteho (%) 0, 0, Suorn verrnnollisuus, joten sdn yhtälö: 0, 0, :0, 0, 0, 0, Prosenttein: 0, 00 0% 9. Suure b Suureen kuutio ( ) 00 0 Suorn verrnnollisuus, joten sdn yhtälö: 00 0 :00 0 00,7... Vstus: Ksv %
Kertusos 0. ) 0, 70 b) 0,9... Prosenttein: 0,9... 00 % 7 c) 0,... %. ),, 0, 0, b) 0,7..., Prosenttein: 0,7... 00% % Vstus: ) 0, prosenttiyksikköä b) %. 0, 00 ml 0 ml. 9, 0,... % 00 % % % Vstus: %
Kertusos. Pilli sijoitti 00 euro. Pull % enemmän, joten Pull sijoitti, 00 7 (euro) Yhteensä he sijoittivt: 00 7 (euro) Vstus:. Ennen muutost Muutoksen jälkeen Hint,0 Levikki b 0,b Tulot b,0 0,b,0 0,b 0,9...b Tulot lskevt (00 9, ) %, % Vstus: Tulot lskevt, % 7
Kertusos. Työntekijöitä oli luss. 0, 0 : 0, 0,7... 0, Irtisnottuj työntekijöitä on siis: 0 Vstus: henkilöä 7. Luku Suurennetn %, Pienennetään % 0,, 0,, 00 0,90 00 : 0,90 00 0,9... 0 0,90 Vstus: Luku oli 0.
Kertusos. Kohonnut hemoglobiini oli,0, 9. Merkitään lsku kuvv prosenttikerroin, 9 0 :, 9 0 0,99..., 9 Hemoglobiini siis lskee (00 9,9 ) %,0.. % Vstus:,0 % 9. Merkitään sijoitust kirjimell. Nousun jälkeen:,09 Lskun jälkeen: 0,,09 0, 900 Tppiot on siis tullut (00 90,0) % 9,9 % 0, 099 70 : 0, 099 70 7,... 700 ( ) 0, 099 Vstus: Sijoitus oli 700. 9
Hrjoituskokeet. Hrjoituskoe. ) b) / / / / c) 9 0 :. ) 0 0 0 0 0 0 9 9 b) ( ) ) ( k k k k k k k c) 7 7 7 ) ( 0
Hrjoituskokeet. ) P( ) Q( ) 7 b) P Q ( ) ( ) 7 ( ) 7 7. ) 0 : ± b) 0 ( ) 0 0 ti 0 0 c) ( )( ) 9 ± 9 ±
Hrjoituskokeet. )Verrtn Kllion suntoon. 00 00,7... % % 00 % % % klliimpi b) Verrtn Kivopuiston suntoon. 00 00 0,7... % 00 % % % % hlvempi. vedonlyöntisuhde :0 ) Merkitään stu voitto kirjimell. Sijoitettu summ on, joten sdn yhtälö 0 0 0 ( ) b) Merkitään sijoitettu summ kirjimell. Stu voitto on, joten sdn yhtälö 0 0 : 0,0 ( ) Vstus: ) 0 b),0