205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset."

Transkriptio

1 Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset, on b 0. on b:n vieruskulm, joten + b 80 eli 80 b Vstus: ) 7 j b 7 b) 0 j b 0 0. ) Kuvioss yläällä on tssivuinen kolmio, jonk kikki sivut ovt ytä pitkiä. Tssivuisess kolmioss myös kikki kulmt ovt ytä suuri eli b) Kuvss on tskylkinen kolmio, jonk kntkulmt ovt ytä suuri eli molemmt ) 9 :n kulmn vieruskulm on Siis suort s j l eivät ole ydensuuntiset. b) :n kulmn vieruskulm on 80 69, joten kuvn kolmion kolms kulm on Tämän vieruskulm on , jok on siis ytä suuri kuin suorll l sijitsev smnkotinen kulm. Siis suort s j l ovt ydensuuntiset. Vstus: ) Suort eivät ole ydensuuntiset. b) Suort ovt ydensuuntiset. 06. Olkoon sellinen luku, että jnn AB pituus on 8. Tällöin AP eli j PB Vstus: Jnn PB pituus on Kosk 6 + +, niin merkitään muttujll sellist luku, että 6, 9 m 6,9 m. Tällöin, m j Jonin loikkien pituudet ovt 6 6, m 6,78 m,, m, m j, m,6 m. Vstus: Jonin loikkien pituudet ovt 6,78 m;, m j,6 m. Kulm on 6 :n kulmn knss smnkotinen kulm eli ytä suuri. Tskylkisen kolmion uippukulm on , joten b Vstus: ) b 00 b) 6 j b Kertom! MAB 7

2 Tsokuviot 08. ) Suunnikkn kulmien summ on 60. Kosk , niin merkitään muuttujll sellist luku, että Tällöin 60 6 j suunnikkn kulmt ovt 6 j 6. 0 b) Viisikulmio voidn jk kolmeksi kolmioksi, joiden kulmien summ on 80. Tällöin viisikulmion kulmien summ on kikkien näiden kolmioiden kulmien summ eli ( ) 0 Olkoon sellinen luku, että 0 eli. Tällöin viisikulmion suurin kulm on 80. c) Suunnikkn vstkkiset kulmt ovt ytä suuret, joten suunnikkss on vin kdensuuruisi kulmi. Merkitään pienempää kulm :ll. Silloin suurempi kulm on. Suunnikkn kulmien summ on 60 eli , joten suunnikkn kulmt ovt,, j. d) Merkitään uippukulm :ll. Tällöin kntkulm on + 0. Kolmion kulmien summ on 80, joten sdn ytälö: + ( + 0) , , 7. Vstus: ) Suunnikkn kulmt ovt 6, 6, j. b) Viisikulmion suurin kulm on 80. c) Suunnikkn kulmt ovt,, j. d) Huippukulm on 6, ) Suunnikkn vstkkiset kulmt ovt ytä suuret, joten kulm b on ytä suuri kuin kulmn 80 vieruskulm eli b Suunnikkn kulmien summ on 60, joten Siis suunnikkn erisuuruiset kulmt ovt 80 j 00. b) Nelikulmion kulmien summ on 60, joten Siis 60 0 eli nelikulmion kulmt ovt 60, 90, 90, j 0. Vstus: ) 80 j b 00, joten suunnikkn kulmt ovt 80, 80, 00 j 00. b) 60 j 0, joten nelikulmion kulmt ovt 60, 90, 90 j ) Puolisuunnikkn pint-ln kvll sdn: + 0 A 7 (mm ). b) + 6 Pint-l on siis 6 pint-lyksikköä. Kertom! MAB 8

3 c) Kuvn monikulmio voidn jk vktsoss suorkulmioon j puolisuunnikkseen, jolloin koko kuvion pint-lksi sdn: 6 A A + A + + suork puolis 6 ( 8 ) d) Suorkulmion oikess ylänurkss on neliö, jonk pint-l on m, jolloin sen sivun pituus on (m). Siis suorkulmion A leveys 7 sdn ytälöstä 7 eli (m) j sen korkeus y ytälöstä 0 y 0 eli y 0 (m). Siis A:n pint-l on 0 0 (m ) j koko kuvion yteispint-l on (m ). d) Suorkiteen A sivujen pituudet ovt m j 0 m, joten pint-l on 0 m. e) ± ( ) f) ( ) toisen steen ytälön rtkisukv ( ) ± ( ) ( 8) ± ± ( ) 7 Vstus: ) Pint-l on 7 mm. b) Pint-l on 6 pint-lyksikköä. c) Pint-l on m. d) Pint-l on 00 m. e) f) 7. Puolisuunnikkn pint-ln kvll sdn ytälö: + ( + ) ( + ) 0 ( + ) ( m) Vstus: 7 m. ) Jn AC puolitt jnn BD. Lisäksi kolmiot ABC j ACD ovt ytenevät, kosk niillä on ytä pitkät sivut, joten koko nelikulmion pint-lksi sdn: AC BD A AABC + AACD AABC AC BD 8 ( cm ) b) )-kodn nojll sdn ytälö: AC BD A A AC BD 7 ( ) ( + 7 ) 87 ( )( + 7) ± 0 ( 888) 9 60 ± ( ) Vstus: ) Pint-l on cm. b) 8 Kertom! MAB 9

4 Ydenmuotoisuus j mittkv. ) Kosk kolmiot ovt ydenmuotoiset, sdn verrnto:, 68, 68,,, 68,, 87,, b) Sdn verrnto: 9, 0 9,, 8 0 Vstus: ),87 b) 8. ) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset kk-luseen nojll, kosk niillä on molemmill suor kulm j lisäksi niiden toiset terävät kulmt ovt ytä suuret, kosk ne ovt toistens ristikulmt. Sdn siis verrnto: , 7 7 b) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset, sillä ne jkvt keskenään ristikulmt, joiden lisäksi niillä on yksi smnsuuruinen kulm. Sdn verrnto: + kerrotn ristiin ( + ) 9 9 9, Vstus: ) 0,86 b),. Sdn verrnto: , (cm) 0 Punkin koko luonnoss on siis 0 0 cm 0, cm mm. Vstus: Punkin koko luonnoss on mm. -os siitä, mikä se on kuvss eli 0 6. ) 8, km 8 00 m cm. Mittkv on : b) Sdn verrnto: (cm) Metsälmmen pituus on 9 00 cm 9 m,9 km. c) Oletetn, että lmpi on ympyrän muotoinen. Merkitään lmmen, 9 sädettä r:llä. Siis r 0, 96 (m), joten lmmen pint-l on A πr π 0, 96, , (km ). Vstus: ) Mittkv on :7 00. b) Metsälmmen pituus on,9 km. c) Ympyränmuotoisen lmmen pint-l on,9 km. Kertom! MAB 60

5 7. m 00 dm cm. Pint-lojen sude on mittkvn neliö. Tp Merkitään mittkv :m. Pint-lojen sude on mittkvn neliö verrnto:, 0 m 0 000, 0m :, 0 m 000 m ± ( ) 000 m 00 Tällöin mittkv on :m :00. ( ), joten sdn m m 8. Keppi j sen vrjo määrittävät suorkulmisen kolmion, jok on ydenmuotoinen lipputngon j sen vrjon määrittämän kolmion knss. Merkitään lipputngon korkeutt :ll. Tällöin sdn verrnto: 9. 8, 07, 8, 6,... 6, (m) 07, Vstus: Lipputnko on 6, metriä korke. 8, m m 0,7 m Tp Merkitään mittkv k:ll. Pint-lojen sude on mittkvn neliö, joten mittkv sdn ottmll pint-lojen suteest neliöjuuri. Siis mittkv k sdn ytälöstä k eli k :. Vstus: Mittkv on :00. 6 ) Neliön pint-l on 6. b) Neliön yläpuolelle muodostuu suuren kolmion knss ydenmuotoinen pikkukolmio, jonk knt on siis neliön sivu eli. Merkitään ison kolmion korkeutt :ll, jolloin pikkukolmion korkeus on. Pikkukolmion j ison kolmion knnlle j korkeudelle sdn verrnto: 6 kerrotn ristiin 6( ) Siis ison kolmion pint-l on A 6. Vstus: ) Neliön pint-l on 6. b) Kolmion pint-l on 6. Kertom! MAB 6

6 Suorkulminen kolmio 0. ) + 9+ ± ( ) c) tn 6,... 6, b) sin 0 sin 0 : sin 0 0 sin 0 Vstus: ) b) 0 c) 6,. ) Kolmio on tskylkinen, joten sen uippukulmn puolittj puolitt myös knnn j muodost siis kksi ytenevää suorkulmist kolmiot, joiden knt on 6 j sen vstinen kulm on 0 j ypote- nuus on. Tällöin sin sin 7, , sin b) Kolmio on tssivuinen, joten sen korkeus noudtt kv:. Siis 8 8 : 8 ( 6, )., c) cos eli, 8..., 8 8 Vstus: ) 7, b) ( 6, ) c),8. Pytgorn luseell sdn: ( + ) + Tp Kerrotn sulut uki jolloin sdn neljännen steen ytälö. ( + ) + ( + )( + ) Merkitään tässä neljännen steen ytälössä pumuuttujll y. Näin sdn toisen steen ytälö, joss on muuttujn y. Rtkistn ensin y toisen steen ytälön rtkisukvll: y + 8y y ± ( ) 8 6 y ± 8 y 9 tiy 7 Jos y 9, niin sdn ytälö: 9 ± 9 ± Jos ts y 7, niin sdn ytälö 7, joll ei ole rtkisu. Siispä on oltv ±. Tp Otetn puolittin neliöjuuri. ( + ) + ( + ) 69 + ± 69 + ± Kertom! MAB 6

7 Sdn kksi ytälöä. Rtkistn molemmt ytälöt erikseen. + 9 ti + 7 ± 9 Ytälöllä ei ole rtkisu ± Siispä on oltv ±. Vstus: ±. Piirretään mllikuv. Merkitään kysyttyä kulm :ll., sin 6,, 0 6, m, m Vstus: Tikkiden j seinän väliin muodostuu steen kulm.. Suorkulmisess kolmioss ypotenuus on pisin sivu, joten ypotenuus on joko + ti sivu +. Huomtn myös että sivun pituuden on oltv positiivinen, joten on oltv > 0. Jos + on ypotenuus, niin sivut toteuttvt Pytgorn luseen ytälön muodoss + ( + ) ( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) ± ( ) Jos ts + on ypotenuus, niin sivut toteuttvt Pytgorn luseen ytälön muodoss + ( + ) ( + ) ± ( ) Vstus: ti Kertom! MAB 6. Merkitään knnn pituutt :llä. Tällöin kylkien pituus on. Kolmio voidn jk uippukulmn puolittjll kteen suorkulmiseen kolmioon, joiden toinen kteetti on puolet ison kolmion knnst eli j ypotenuus on ison kolmion kylki eli. Tällöin ison kolmion kntkulm sdn selville kosinin vull: cos : 7, 76. Vstus: Kntkulmt ovt 76 stett. 6. Piirretään mllikuv. Korkeuden muutos rinteen lun j lopun välillä on (m). Rinnettä voidn jtell suorkulmisen kolmion, jonk pystysuor kteetti on 0 m j sen vstinen kulm on 9. 0 m 9

8 Tällöin mäen pituus on kolmion ypotenuus, jonk pituus sdn 0 selville sinin vull: sin , ( m) sin m m 0 km/,...m/s s 600 s mtk mtk Nopeus, jotenik ik nopeus 88, m 0, 90 0 s min s,... m/s Vstus: Rinne on noin 90 metriä pitkä j sen lskeminen kestää noin min s. 7. Tilnne. Jos nnetut sivut ovt kteettej, on niiden välinen kulm tietysti 90. Tilnne. Jos nnetut sivut eivät molemmt ole kteettej, niin sivun 7 täytyy oll ypotenuus, sillä se on pidempi. Tällöin sivu on sivujen väliselle kulmlle viereinen kteetti, joten kulm sdn kosinin vull: cos eli,...,. 7 Vstus: Sivujen välinen kulm on joko, ti Piirretään mllikuv. Merkitään toisen kteetin pituutt :llä. Tällöin toisen kteetin pituus on 0 7. Sivujen tulee toteutt Pytgorn luse, joten sdn ytälö: + ( 7 ) + ( 7 )( 7 ) : ( 7) ± ( 7) 60 7 ± 7 0 ti Kun, niin toinen kteetti on 7 7. Kun, niin toinen kteetti on 7 7. Vstus: Kteettien pituudet ovt cm j cm. 9. Mtk kymmenen metrin päästä jään pinnst mlin ylänurkkn sdn Pytgorn luseen vull: 0 +, 0, 88 0, (m) Se on siis 0,07... metriä pidempi mtk kuin mlin lnurkkn. s Tällöin mlivdill on t v 0, m 0 0, , millisekunti m/s enemmän ik torju kiekko ylänurkst kuin lnurkst. 7 0 m cm Vstus: Aik on, millisekunti enemmän. Kertom! MAB 6

9 0. B Liv myöemmin Liv ensin Pojoinen s A km C Mjkk Merkitään etäisyyttä mjkst tunnin kuluttu kirjimell. Piirretään kolmioon korkeusjn kärkeen C, jolloin muodostuu kksi suorkulmist kolmiot. Rtkistn näiden vull etäisyys. Etäisyys y: y sin 0 y y Etäisyys :,, sin 0, 6 Livn lätöpiste A, päätepiste B j mjkk C muodostvt suorkulmisen kolmion, joss on lisäksi kulm ABC. Siis livn etenemä mtk eli jnn AB pituus sdn tngentin vull: tn s s tn s km km km Siis livn nopeus on v km/. t min min 60 min Vstus: Livn nopeus on km/.. solmu,8 km/ solmu,8, km/ Liv siis etenee tunnin ikn, km. Merkitään livn lätöpistettä A:ll j loppupistettä B:llä sekä mjkk C:llä. Piirretään mllikuv: B, km y, km C, 6 sin 80, 6 sin 80, 89, 8 Vstus: Etäisyys mjkkn on,8 km.. Säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudest ytenevästä tssivuisest kolmiost, joten jokisen kolmion pint-l on 00 0 (cm ). 6 Tssivuisen kolmion pint-l sivun vull ilmistun on A. Sdn siis ytälö: ± ( ) 0, 7... (cm) Vstus: Kolmion sivun pituus on noin cm. 0 A Kertom! MAB 6

10 6 Ympyrä. Merkitään sädettä r:llä. Sdn ytälö: π r 7, 7, r 9,... 9, (m). π Vstus: Säde on 9, m.. Keskuskulm sdn rtkistu sektorin pint-ln vull ytälöstä: π r A 60 π π : 00π 9 0 6, π Vstus: Keskuskulm on 6 stett.. Ympyrän säde r CF: + r eli r. Ympyräsektorin ACE pint-l on 90 A sektori ( ) 60 π π π. Tällöin vrjostetun lueen pint-l on π π 6, 0..., pint-lyksikköä. Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on, pint-lyksikköä. 6. Merkitään :ll neliön sivun pituutt. Neliön pint-ln vull sdn ytälö: 00 ± ( ) 00 0 (cm) Neliön lävistäjän pituus d sdn joko Pytgorn luseen vull: d + d 00 d ti kvll d 0. r r Neliön lävistäjä on ympyrän lkisij, joten ympyrän säde on d 0 r. Siis ympyrän pint-l on A πr π ( ) π 0π 7, (cm ). Vstus: Neliön ympäri piirretyn ympyrän l on 60 cm. 7. 0, m Jos ympyrän pint-l on 000 m, niin sen säde r sdn selville ytälöstä: πr r π 000 r ± ( ) 9, (m). π Siis ympyrän lkisij on 9,89... m 79,788 m 80 m < 90 m. Tetävän metsä ei siis voi oll ympyrän muotoinen. Vstus: Metsä ei voi oll ympyrän muotoinen. 8. Ari j Seppo juoksevt puoliympyrän muotoisen krteen, jonk pituus Sepon ensimmäisellä rdll on 00 m. Siis ensimmäisen rdn ympyräkren säde r sdn ytälöstä: 00 eli r, (m) π r 00 π Ari juoksee kolmnnell rdll, joten änen krteens pituus on π ( r +, ) π (, , ) π,... 07,... (m). Yteensä Ari juoksee Sepon knss smss jss siis + 7,..., (metriä) enemmän kuin Seppo. Vstus: Ari on juossut, metriä pidemmän mtkn. Kertom! MAB 66

11 9. Jos kuvn lemmn puoliskon peil suorn, (eli ison ympyrän pystykselin) suteen, voi nädä että vrjostettu lue muodost -säteisen ympyrän, jok on peitetty -säteisellä ympyrällä. Siis vrjostetun lueen pint-l on A r r ( ) π π π π π π π,..., (m ). Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on, m. 0. Piirretään mllikuv. Nosturin svuttm lue on ovlin muotoinen j se voidn jk neliöön, jonk sivut ovt 0 m ( 0 m + 0 m) sekä kteen puoliympyrään, jotk ydessä muodostvt kokonisen ympyrän, jonk säde on 0 m. 0 m 0 m 0 m Koko lueen pint-l on A Aneliö+ Aympyrä 0 + π π 7, (m ). Vstus: Nosturin svuttm lue on 70 m.. Piirretään krt b vstv tskylkinen keskuskolmio j sille korkeusjn knt vsten. Korkeusjnn pituus on 6,, (m). Tämän vull voidn rtkist krt vstvn keskuskulmn puoliks :, cos eli, ,. Siis keskuskulm on, ,0... j sitä vstvn kren pituus on 06, 0... b πr π 9, 6, , 9(m) Vstus: Kren pituus on 6,9 metriä. 0 m, m 9, m b. Rngistuspilkku j mliviiv määrittävät,66 m tskylkisen kolmion, jok voidn jk m puolittmll sen uippukulm, jolloin sdn kksi suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt m j 7, m 66, m. Tällöin uippukulmn puoliks 66, sdn tngentin vull: tn eli 8, Potkisij näkee siis mlin kulmss 8,0... 6, ,8. Jos kulm suurennetn ydellä steell, niin sen vstinen kteetti ksv. Merkitään kteetin uutt pituutt :llä. Siis tn( + ) tn( + ) tn 90,..., (m) Pllo menee siis mlist oi,66,87...,66 0, (cm). Vstus: Potkisij näkee pllon 6,8 steen kulmss. Jos pllo potkistn steen verrn oi mlist, niin pllo menee n. cm oi.. ) Merkitään kysyttyä kulm :ll. Suorkulmisest kolmiost sdn: 808 tn eli, 07...,. 000 b) Mpllon säde R on noin 6 70 km. Rkennuksen uipult A piirretty tngentti sivu mn pint pisteessä B. Jos O on mpllon keskipiste, sdn suorkulmisest kolmiost OBA ytälö, jost voidn rtkist keskuskulm AOB seurvsti: R 6 70 cos eli 0, R m 6 70, 808 Siis kuimminen etäisyys, jonk tornin uipult km voi nädä eli ympyräkren pituus A:st B:en, on 0, 9... b πr π 670 0,... 0 (km) Vstus: ) Rkennus näkyy, steen kulmss kilometrin päästä. b) Rkennuksen uipult voi nädä etäisyydelle 0 km. 808 m A 808 m B 670 km 670 km O b Kertom! MAB 67

12 . Kolmion pint-l on. Rtkistn kulm BAC tngentin BC vull: tn eli. Ympyräsektorin ABE pint-l on AB A ABE 7 60 π π,, joten sektorin ulkopuolelle jäävän π lueen pint-l on A, 7 0,. Symmetrin vuoksi tämä on puolet vrjostetust lueest, joten vrjostetun lueen pint-l on A A π π 0, 88 09,. ( ) Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on π 0,9. 7 Avruuskppleet. ) V πr π π 00π 9, (m ). b) Lieriön korkeus sdn tngentin vull: tn 60,, tn 60, (m) Siis lieriön tilvuus on V πr π, ,6... 8,6 (m ). c) säde r, V πr π, π 9,... 9, (m ) d) V πr 7 7 π π,... (m ) e) V A p 8 (m ) f) V Ap (m ) Vstus: ) V 9 m b) V 8,6 m c) V 9, m d) V 7 m e) V 8 m f) V m 6. ) 0 cm 0, dm. Korkeus sdn selville ytälöstä V Ap V 0 dm dm A 0 0, dm p b) Pojympyrän säde r sdn selville pojympyrän piirin vull: π r eli r, (cm). π Siis lieriön tilvuus on V πr π (,909...cm) cm 7,0... cm 0, dm 0, l. Jott lieriön tilvuus olisi m 000 dm cm, tulisi oll π, π 7 66, 6... (cm), Korkeuden tulisi oll 87 66,6 cm 87,666 m 87 m. Vstus: ) Lieriön korkeus on 0 dm. b) Lieriön tilvuus on 0, litr. Jott lieriön tilvuus olisi m, sen pitäisi oll 87 metriä korke. 7. ) Nu trvitn (cm). b) Ltikon vruuslävistäjän pituus on d + b + c , 9 (cm). Kosk vruuslävistäjä on lyyempi kuin kulttnko (6,9 cm < 7 cm), niin kulttnko ei voi mtu ltikkoon. Vstus: ) Nu trvitn 80 cm. b) Kulttnko ei sovi ltikkoon cm 0, m Ptjn tilvuus on V 0,, (m ). Siis ptj pin (ptjn mss on), 000 kg 00 kg. Vstus: Vesiptjn mss on 00 kg. Kertom! MAB 68

13 9. Tötterön tilvuus on VT πr π 9,, 0... (cm ). Pllon tilvuus on VP πr π, 79, (cm ) < (cm ). Pllo ei siis mtuisi kokonn tötteröön. Vstus: Jäätelöpllo ei mtuisi kokonn tötteröön. 0. Olkoon kuution sivu. Kuution pint-lst sdn ytälö: A 6 6 ± ( ) 0, 77 ( m), joten kuution tilvuus: V 0, 77 0, 9 09, (m ). Vstus: Kuution tilvuus on 0,9 m.. Olkoon kuution sivu. Siis kuution tilvuudest sdn: 7 7 (m). Kuution pint-l on siis (m ). Kosk,0 mm 0, 00 m, niin mli trvitn m 0,00 m 0,0 m dm l. Vstus: Mli trvitn litr.. Olkoon kuution sivu. Avruuslävistäjän kvn vull sdn ytälö: d Ytälöstä rtkistn kuution sivu.. Tp Ottmll neliöjuuri: > 0 :,..., (m) Tp Korottmll puolittin neliöön: () ± ( ),..., (m) Kuution pint-l on A 6 (, m) 80, m. Vstus: Pint-l on 8,0 m. R b r R Olkoon R puoliympyrän säde. Krtion pojympyrän keän pituus πr on ytä suuri kuin titeltvn puoliympyrän kren pituus b. Kren 80 pituus on b πr R R 60 π π. Olkoon r krtion pojympyrän säde. Tämä sdn rtkistu R:n suteen pojympyrän keän pituuden vull: π r b πr πr πr R r π Kertom! MAB 69

14 Krtion korkeus sdn myös kirjoitettu R:n suteen suorkulmisen kolmion vull, jonk muodostvt pojympyrän säde r, krtion korkeusjn j krtion sivujn R: r + R R ( r R ) R R R R R R R R R ± ( ) Hlutn siis, että πr 0 R R π 0 ( ) π R R 0 R π 0 0 R π 0 R,..., (dm) π Vstus: Ympyrän säteen tulee oll, dm.. Merkitään pojn kolmion sivu :ll. Tssivuisen kolmion pint-l on tällöin A. Kosk V A l dm 000 cm, niin kysytty : n rvo sdn tilvuuden ytälöstä: V A A V : : ± ( ), 9..., (cm). Vstus: Kolmion sivujen tulee oll, cm.. Olkoon pllon lkisij luksi d. Kun ilmpllon kutistuess lkisij lyeni %, niin uusi lkisij oli tällöin 0,8 d. Pienemmän pllon lkisijn sude suuremmn pllon lkisijn verrttun eli pllojen välinen mittkv on 08 (, d , 7 : 0. d 00 0 Tilvuuksien sude on mittkvn kuutio, joten V V 7 9 ( ) 8 000,... Pllon tilvuus siis pieneni 00 % 6,... % 8,8... % 9 %. Vstus: Pllon tilvuus pieneni 9 %. Kertom! MAB 70

15 6. Kosk kution tilvuus on dm, niin kuution sivun pituus on dm j kuution pint-l on A K 6 dm 6 dm. Tilvuus pysyy smn. Jos pllon tilvuus on dm, niin sen säde r sdn rtkistu ytälöstä πr πr : π r π r 0, (dm). π Tällöin pllon pint-l on A P πr π 0,60...,8... (dm ). Muutos prosenttein:, , Siis pint-l pienenee 00 % 80,8 % 9,0 % 9, %. Vstus: Pint-l pienenee 9, %. 7. Pylväästä ktkistu krtion uippu (pikkukrtio) on ydenmuotoinen kokonisen (ison) krtion knss. Jos pikkukrtion korkeutt merkitään :ll, ison krtion korkeus on +, j sdn verrnto:, kerrotn ristiin +,,,, ( +, ),, + 8, 7,, 8, 7 0, 8, 7 9, (m). Siis pylvään tilvuus on V Visok Vpikkuk πr + r (, ) π π π, 06,, 9, 88,... 88, (m ). Vstus: Pylvään tilvuus on 88, m. +, m, m, m, m 8. Krtion pojneliön sivu sdn pint-ln ytälöstä: (m). Tällöin pojneliön lävistäjä d sdn Pytgorn luseell: d d (Ti suorn kvll d 0. ) Lävistäjän puoliks on siis 0. Krtion korkeus sdn nyt lskettu korkeusjnn (), pojneliön lävistäjän puolikkn ( ) j krtion sivusärmän (s) muodostmn suorkulmisen kolmion vull: tn0 tn 0 8, 6... (m). Krtion tilvuus on siis V A p 00 m 8,6... m 8,69 m 8 m. Vstus: Krtion tilvuus on 8 m. 8 Geometri koordintistoss 9. ) Pisteet A j B sijitsevt suorll y, joten jnn AB pituus on sm kuin pisteiden A j B -koordinttien etäisyys lukusuorll eli. b) Luku on lukujen j eli pisteiden A j B -koordinttien keskirvo eli +. Siispä jnn AB keskipiste on (, ). Vstus: ) Jnn AB pituus on. b) Jnn AB keskipiste on (, ). s 0 Kertom! MAB 7

16 Piirretään pisteiden (, 7), (, ) j (, ) vull kolmio koordintistoon. Piirretään kullekin kolmion sivulle toinen kolmio, jonk kksi muut sivu ovt koordinttikselien suuntisi j kolmion ulkopuolell. Tällöin muodostuu suorkulminen kuvio, jok siis koostuu lkuperäisen kolmion lisäksi kolmest suorkulmisest kolmiost. Koko tämän kuvion pint-l on Kun siitä väennetään äsken muodostettujen suorkulmisten kolmioiden pint-lt, sdn tetävän kolmion pint-l: A Vstus: Kolmion pint-l on 8. B 6 Lsketn kulmt pukulmien vull. Lsketn ensin kulm pukulmien j vull. A B b g C Apukolmioist sdn: tn eli j tn eli 8, Tällöin 90 6,6 6,6. Lsketn vstvsti kulm γ pukulmien γ j γ vull. Apukolmioist sdn: tng eli g j tng eli g. Tällöin γ 80 γ γ 90 b g C Kosk kolmion kulmien summ on 80, niin viimeinen kulm on b , 6,. Vstus: Sivujen pituudet ovt 0, j 8.Kulmt ovt 90 ; 6,6 j 6,. A Merkitään A (, ), B (, ) j C (0, 0). Lsketn sivujen pituudet: AB ( ( ) )+( ( ) ) + 0 BC ( 0) + ( 0) ( ) + AC ( 0 ( ) ) + ( 0 ( ) ) + 8 Kertom! MAB 7

17 Hrjoituskokeet Pikosio. sin 7, 89, 8. Vstus:,8 km 000 m cm cm Vstus: Mtk on krtll cm.. Pytgors: c + c Vstus: Hypotenuus on.. A 0 0 Vstus: Al on 0.. Pienin kulm on pienimmän sivun () vstinen. tn eli 8, Vstus: Pienin kulm on Säde: r (cm). Keän pituus: p Vstus: Keän pituus on 9 cm. 7. A πr π 9π 8, (cm ) Vstus: Pint-l on 8 cm. πr π 88,... 9 (cm). 8. Merkitään kysyttyä kulm :ll. Sdn ytälö: π r πr π r 60 9, π Vstus: Keskuskulm on Olkoon r pllon säde. Siis π r r π r ± ( ) 0, , (cm) π Vstus: Pllon säde on 0,6 cm. 0. V πr π,...,..., (cm ) Vstus: Pllon tilvuus on, cm.. V A πr π 0 0, 07...( cm ) 07 cm 0, dm 0, l Vstus: Tilvuus on noin,0 litr.. Tilvuus on V litr dm 000 cm. Pojn l on A πr π (0 cm) π 00 cm. Tilvuudest sdn ytälö: V A A V A V : A V 000 9, 9 9, 6 ( cm). A π 00 Vstus: Korkeus on noin 9,6 cm. Kertom! MAB 7

18 . A πrs v + r s s± + r ± ± 00 A v πrs π , 8 ( cm ) Vstus: Vipn pint-l on 700 cm.. Etutkon l on yteensä 8 cm j tktkon pint-l on myös 8 cm. Vsemmn sivun särmät ovt cm j cm eli pint-l on cm. Oiken sivun l on (cm ). Pojn l on 9 cm. Koko l on siis (cm ). Vstus: Pint-l on 8 cm. Hrjoituskoe. ) Rtkistn Pytgorn luseen vull: + 9 ± 6 ( ). sin eli 6, , 9 j cos eli, 0..., b) tn 0 8, , tn 0 j sin 0 y y 0 sin 0 Lisäksi Vstus: ), 6,9 j b, b) 60, 8,7 j y 0. cm krtll on 00 metriä luonnoss. Lsketn mitttu etäisyys luonnoss : ( cm) Mitttu etäisyys olisi luonnoss cm 000 m Prosenttein: 000 0, Mitttu etäisyys on siis 00 % 96,77 %, %, % pienempi kuin oike etäisyys. Vstus: Mittuksess tetiin, prosentin vire.. Auto kulkee ydessä tunniss 0 km, joten uto kulkee ydessä minuutiss mtkn 0 km km 0, km. 60 Siis yksi renkn pyörädys on 0, km 666, m,.. m. 0 0 Siis renkn lkisij d sdn selville ympyrän piirin ytälöstä: p πd p,... d,..., m. π π Vstus: Renkn lkisij on, metriä.. ) Kolmion l A c sin 7, 89, sin0,9667,0 (cm ) Kertom! MAB 7 b) 0 cm cm 0 cm cm Puolisuunnikkn korkeus : tn 0 tn 0 8,660 ( cm) Pint-l: A + 0 8,660 08, 0 (cm ). Vstus: ) Kolmion pint-l on,0 cm. b) Puolisuunnikkn pint-l on 0 cm.

19 . Kolikon lkisij on cm, joten säde r, cm, dm. Lsketn kolikon tilvuus V m (dm ρ 00 9, )., Kolikko on lieriö, joten sen pksuus sdn rtkistu ytälöstä: V πr V, dm πr π 0,9...dm, cm. (, dm) Vstus: Kolikon pksuus on, cm. 6. Kolmion sivujen pituudet: AB ( ) + ( ( ) ) ( ) + 0 BC ( ) + ( ) ( ) + ( ) 0 AC ( ) + ( ( ) ) ( + ) Täydennetään kuvio suorkulmioksi, jonk kärkipisteet ovt (, ), (, ), (, ) j (, ). Suorkulmion pint-l on A suork 0. Väennetään tästä kolmen suorkulmisen kolmion pint-lt: A kolmiot + +. Kysytyn kolmion l on A A suork A kolmiot 0 7. Vstus: Kolmion sivujen pituudet ovt 0, 0 j sekä pint-l on Vesi muodost molemmiss tpuksiss lieriön. Aluss lieriön pojksi voidn jtell suorkulminen kolmio. Tnkiss on siis vettä 0 0 V Ap (cm ). Kun tnkki käännetään tkisin vktsoon, pojn muodost suorkulmio j V (cm). A p 0 60 Vstus: Vedenpint settuu cm:n korkeudelle. 8. Suorkulmiset kolmiot DFG j DCE ovt ydenmuotoiset, kosk niissä on yteinen kulm D j molemmiss on suor kulm. Siis kk-luseen edot ovt voimss. Sivu DE sdn Pytgorn luseen vull: DE + CE CD DE + DE ± ( ). Kosk kolmiot ovt ydenmuotoiset, sdn verrnto FG FG 0 : FG 6, 6,. 600 Vstus: Jnn FG pituus on 6,. Hrjoituskoe. ) Kulm on kuvn merkityn 0 kulmn smnkotisen kulmn vieruskulm. Kosk suort s j l ovt ydensuuntiset, niin kulm b) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset, kosk niillä on yksi yteinen kulm j yksi vstinkulm on merkitty ytäsuureksi, joten sdn verrnto: + 6 ( + ) :,. Vstus: ) 0 b), Kertom! MAB 7

20 . A p dm 0 cm dm Lieriön tilvuus on V A p 9 (dm ) 9 (l).. Vstus: Lieriön tilvuus on 9 litr., cm, cm Tskylkisen kolmion korkeusjn knnlle puolitt uippukulmn j knnn. Rtkistn kolmion korkeus muodostuvst suorkulmisest kolmiost:, tn, tn,70 Kolmion pint l on A,70,76,(cm ). Vstus: Kolmion pint-l on, cm.. Merkitään rdn sädettä luss R:llä. Tällöin rdn pituus on p πr. Kun stelliitin rdn säde ksv km, niin uusi säde on R +. Rdn pituus on nyt π(r + ) πr +π. Rdn pituus on siis ksvnut πr + π πr π 6,8 6, (km). Vstus: Kiertort pitenee 6, kilometriä.. Lsketn kolmion sivujen pituudet kvll d ( ) + ( y y ). Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ( )) Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ) Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ) Sivu d on pisin, joten vin se voi oll ypotenuus. Tutkitn toteuttvtko pituudet Pytgorn luseen. ( 0 ) + ( ) 8 ( 8 ) 8 Pytgorn luse on siis voimss, joten kolmio on suorkulminen. Vstus: Kolmio on suorkulminen. 6. Tilnne Teemu j Tero ovt smll puolell pylvästä. Teemun etäisyys pylväästä: tn tn 8,7 (m). y Teron etäisyys pylväästä: tn y y tn 7, (m). m Teron j Teemun etäisyys on y 7, m 8,7 m 7,76 m 7 m. y Teemu Tero Kertom! MAB 76

21 Tilnne Teemu j Tero ovt pylvään eri puolill. Tero Nyt Teron j Teemun etäisyys on y + 7,... m + 8,7 m 6,7 m 60 m. Vstus: Teron j Teemun etäisyys on 7 m ti 60 m riippuen siitä, ovtko eidän mökkinsä smll vi eri puolell pylvästä. 7. Kuvion piiri on ( ) Sdn ytälö: Kuvio koostuu losn suorkulmiost j yläosn tskylkisestä kolmiost. Suorkulmion sivut ovt + j +. Kun 7, niin sivut ovt j 0. Suorkulmion pint-l on A s 0 0. Tskylkisen kolmion knt on Kun 7, niin knnn pituus on. Rtkistn kolmion korkeus Pytgorn luseen vull. Sivu on ypotenuus j knnn puoliks, on toinen kteetti. Sdn ytälö: +, 6 y m ± ( ) 6, 9,987 9,987 Kolmion pint-l on A k,8. Kokonispint-l on 0 +,8 (pint-lyksikköä). Vstus: Kuvion pint-l on pint-lyksikköä. Teemu 8. Ympyräsektorin säde on cm. Pojympyrän keän pituus on sm kuin ympyräsektorin kren pituus: p 0 0 (cm). Pojympyrän säde sdn keän pituuden vull: πr 0 eli 0 r,77 (cm). Merkitään krtion korkeutt :ll. π Nyt Pytgorn luseen vull sdn: + r (,77 ),8 (cm). Krtion tilvuus on siis V πr π (,77 ),8, cm. Vstus: Krtion tilvuus on cm. Hrjoituskoe. ) Pytgorn luseen mukn: Lisäksi sin eli 9, , j cos eli 70,... 70, , 8 b) Tskylkisessä kolmioss korkeusjn knnlle puolitt uippukulmn j knnn, joten sin 0 sin 0,876,8. Tskylkisen kolmion kntkulmt ovt ytä suuret. Merkitään niitä :ll. Tällöin: Vstus: ),8; 70, j b 9, b),8 j kntkulmt 70 Kertom! MAB 77

22 . Merkitään keskuskulm :ll. Se voidn rtkist kren pituuden ytälöstä: b r π 60 r b π 60 π π π,0,0. Vstus: Keskuskulm on,0 stett.. Lsketn kden pienemmän kuution sivujen pituudet j y kuutioiden tilvuuksien vull: (cm) j y 6 6 (cm) Lsketn vstvt pint-lt: A 6 0 (cm ) j A 6 96 (cm ), yteensä (cm ). Suurimmn kuution sivun pituus: z 6 z 6 6 (cm) Suurimmn kuution pint-l: A (cm ). Prosenttin: 6, 8... joten pienempien kuutioiden vlmistmiseen 6 menee,8 % % enemmän peltiä. Vstus: Pienempien kuutioiden vlmistmiseen menee % enemmän peltiä.. Merkitään neliön sivu :ll. Siis eli ± ( ) (cm). Tämä on myös neliön sisään piirretyn ympyrän lkisij, joten ympyrän säde on, (cm). Siis ympyrän pint-l on: πr π, 9, cm. Vstus: Neliön sisään piirretyn ympyrän pint-l on 0 cm.. Merkitään särmiön pituutt :llä. Tällöin leveys on j korkeus on. Särmiön tilvuus on 6. Sdn ytälö: (cm). Särmiön mitt ovt siis 6 cm, cm j 8 cm. Avruuslävistäjän pituus sdn kvll d + y + z d ,9 (cm) Vstus: Avruuslävistäjän pituus on cm. 6. Rtkistn ensin mpllon säde R: π R R 6 66, 9... (km) π Leveyspiirin 60 vstvn pikkuympyrän säde sdn ytälöstä: r cos , 9... r 6 66, 9... cos 60 8, (km). Siis leveyspiirin pituus p π 8,09... km km eli 0 % päiväntsjn pituudest (0 000 km). Vstus: 60. leveyspiirin pituus on km eli 0 % päiväntsjn pituudest. Kertom! MAB 78

23 7. Rtkistn ensin pesäpllon säde: πr eli r,0... (cm). π Ktsojn etäisyys pllon keskipisteestä on siis 0,00 metriä. Näkökulm on tngenttikulm. 0,00 Sdn ytälö: sin 0, 00 0,999 Siis näkökulm on 0,999 0,. Vstus: Pesäpllo näkyy 0, steen kulmss. 8. Lsketn ensin mittkv. Tp Merkitään mittkv :m. Pint-lojen sude on mittkvn neliö ( ) m m, joten sdn verrnto: m m m ± ( ). Tp Merkitään mittkv k:ll. Pint-lojen sude on mittkvn neliö, joten mittkv sdn ottmll pint-lojen suteest neliöjuuri. Siis k eli k. Tällöin mittkv on k : m :. Tilvuuksien sude on mittkvn kuutio eli sdn ytälö: Vpieni k Viso V pieni V ( ) iso ( ) V iso ( ) ( ), , (). l V iso Vstus: Suuremmn knsisterin tilvuus on,8 litr. Kertom! MAB 79

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c) Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9

Lisätiedot

Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja

Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja Sisällys Alkusnt Tehtävien rtkisuj Vektorit (MAA) Vektoreill lskeminen Vektorit geometrin käytössä 9 Vektorit koordintistoss Lisätehtäviä Todennäköisyys j tilstot (MAA) Tilstot Todennäköisyys Todennäköisyysjkum

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä. Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm. 1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot