Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 017 Mallivastaukset 7. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 500 000 asukasta. Taidemuseoilla on kummallakin kaksi mahdollista toimenpidettä: avata tulevalle vuoden mittaiselle näyttelykaudelle suositun klassikkotaiteilijan suurnäyttely tai avata perusnäyttely, jossa on esillä vähemmän tunnetun taidenimen teoksia. Museot eivät tiedä toistensa näyttelyvalintoja ennen näyttelykauden alkamista. Kaupunkilaiset käyvät kukin yhdessä taidenäyttelyssä vuoden aikana. He valitsevat kaikki suurnäyttelyn, jos sellainen on kaupungissa meneillään. Jos molemmissa museoissa järjestetään saman kategorian näyttely, kaupunkilaisista puolet käy museon 1 ja puolet museon näyttelyssä. Suurnäyttelyn avaaminen yhdessä tai useammassa kaupungin museossa tuo kaupunkiin 100 000 kävijää kaupungin ulkopuolelta. Jos molemmat museot avaavat suurnäyttelyn, näistä kävijöistä 30% käy molemmissa näyttelyissä ja loput jakautuvat tasan museoiden välille. Jos vain toinen museoista avaa suurnäyttelyn, kävijät käyvät vain siinä. Kate yhdestä myydystä näyttelylipusta on näyttelytyypistä riippumatta e. Tilannetta voi mallintaa siirtämällä museoiden voitot tulosmatriisiin (tuhatta euroa): Taidemuseo 1 Taidemuseo Suurnäyttely Perusnäyttely Suurnäyttely (500 + 30 + 0) = 100, 100 100, 0 Perusnäyttely 0, (500 + 100) = 100 50 = 500, 500 Suurnäyttelyn avaaminen antaa museolle aina paremman voiton kuin perusnäyttelyn järjestäminen, eli se on kummallekin museolle dominoiva strategia. Tasapaino on (Suurnäyttely, Suurnäyttely).. (a) Molemmilla yrityksillä on kaksi mahdollista toimenpidettä, joten pelissä on = potentiaalisesti erilaista tulemaa. i. Jos Row Corporation valitsee Mainosta ja Column Industries valitsee Mainosta, niin molemmat myyvät (5)16m = 8m lamppua. Kun kate on P MC = 1 = 1, voitoksi saadaan 8m 3m = 5m (miljoonaa e). ii. Jos Row valitsee Mainosta ja Column valitsee Älä mainosta, niin A myy (75)16m = 1m lamppua ja saa voitoksi 1m(-1) 3m = 9m. B myy (1-75)16m = m lamppua ja saa voitoksi m(-1) = m.
iii. Jos Row valitsee Älä mainosta ja Column valitsee Älä mainosta, niin tilanne on tasan päinvastainen edelliseen kohtaan verrattuna, eli A saa voitoksi m ja B 9m. iv. Jos molemmat valitsevat Älä mainosta, molemmat myyvät (5)16m = 8m lamppua ja saavat voitoksi 8m( 1) = 8m. Yritysten tulosmatriisi (miljoonia euroja): Row Corporation Column Industries Mainosta Älä mainosta Mainosta 5, 5 9, Älä mainosta, 9 8, 8 (b) Row lle mainostaminen on dominoiva strategia, koska se antaa suuremman voiton kuin mainostamatta jättäminen sekä silloin, kun Column päättää mainostaa (5 > ) että silloin, kun Column ei mainosta (9 > 8). Myös Column illa mainostaminen on dominoiva strategia. Nash-tasapaino on (Mainosta, Mainosta) ja tulemat ovat (5, 5). Tilanne, jossa kumpikaan ei mainosta, toisi suuremmat voitot molemmille yrityksille. Se ei kuitenkaan ole tasapaino, koska olemalla ainoa, joka mainostaa tienaa vielä paremmin kuin jos kumpikaan ei mainosta. Tästä tulemasta kummankin yrityksen kannattaisi siis poiketa. (c) Yritysten tulosmatriisi nyt (miljoonia euroja): Row Corporation Column Industries Mainosta Älä mainosta Mainosta 5, 5 16α 3, 16(1 α) Älä mainosta 16(1 α), 16α 3 8, 8 Mainostaminen on dominoiva strategia niin kauan, kun 5 > 16(1 α) ja 16α 3 > 8. Ehdot toteutuvat, kun α > 11/16 eli kun α > 6875. Tilanne on Row n ja Columnin osalta symmetrinen, ja niin kauan, kun mainostaminen on dominoiva strategia, tasapaino on (Mainosta, Mainosta). Kun α < 6875, Älä mainosta on kummallekin yritykselle dominoiva strategia. Tasapaino on tällöin (Älä mainosta, Älä mainosta). 3. (a) Kummallakin yrityksellä on samanaikaisessa pelissä viisi mahdollista tuotannon tasoa. Kukin yritys valitsee tuotantonsa joukosta Q A,B s = {0,,, 6, 8} ja kunkin yrityksen kustannukset ovat vastaavasti T C A,B = {0, 7, 9, 11, 13}. Tasapainohinta riipuu kummankin yrityksen yhteenlasketusta tuotannosta, ja se voi olla Q A+B = {0,,, 6, 8, 10, 1, 1, 16}. Mahdolliset tasapainohinnat saadaan kullekin Q A+B arvolle asettamalla Q d (p) = Q A+B ja ratkaisemalla
p. Voidaan kirjoittaa p(q A+B ) = 0 Q A+B. Kokonaistuotantoa vastaavat tasapainohinnat ovat siten p = 0, 16, 1, 8,, 0, 0, 0, Kunkin yrityksen voitot ovat π A,B = Q A,B p(q A+B ) T C A,B ja ne on kuvattu alla pelimatriisissa Yritys A Yritys B 0 6 8 0 0, 0 0, 5 0, 39 0, 37 0, 19 5, 0 17, 17 9, 3 1, 13-7, -13 39, 0 3, 9 7, 7-9, -11-9, -13 6 37, 0 13, 1-11, -9-11, -11-11, -13 8 19, 0-13, -7-13, -9-13, -11-13, -13 Etsitään ja poistetaan pelaajien dominoidut strategiat (huomaa, että pelaajat ovat symmetrisiä, eli riittää kun tarkastellaan toista pelaajista). Neljän tuotantolinjan avaaminen (tuotetaan 8) on aina dominoitu strategia, joten alin rivi ja oikimmaisin sarake voidaan poistaa tarkastelusta. Yritys A Yritys B 0 6 0 0, 0 0, 5 0, 39 0, 37 5, 0 17, 17 9, 3 1, 13 39, 0 3, 9 7, 7-9, -11 6 37, 0 13, 1-11, -9-11, -11 Jäljelle jäävässä matriisissa tuotannon asettaminen tasolle 6 on dominoitu strategia. Tämän tehtyämme huomataan, ettei tuotantoa kannata myöskään koskaan asettaa tasolle Karsitaan dominoidut strategiat matriisista: Yritys A Yritys B 17, 17 9, 3 3, 9 7, 7 Jäljelle jäävässä pelimatriisista on kaksi Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa: (,) ja (,). Yritysten kannattaa pyrkiä aina valitsemaan päinvastainen toimenpide kuin vastapuolella. Tasapainot ovat symmetrisiä, eli kummassakin tasapainossa toinen yritys tuottaa 3
ja toinen, kokonaistuotannon ollessa 6. Tasapainohinta on siten 8 ja yksikköä tuottava yritys saa 3 rahayksikköä voittoa kun yksikköä tuottava yritys joutuu tyytymään 9 rahayksikön voittoon. Lisähuomio: Pelissä on myös sekastrategiatasapaino, jossa molemmat käyttävät strategiaa, jossa valitaan q {1, } todennäköisyyksillä {5, 75}. Tätä ei tarvinnut vastauksessa. (b) Tarkastellaan edellisessä kohdassa olevaa 5x5 pelimatriisia. Yritys A tietää, ettei yritys B koskaan valitse tuotannon tasoa, jolla se tuottaisi tappiota. Yritys A ei siten voi koskaan itsekään tuottaa tappiota, eli sen ei kannata myöskään valita tuotantonsa tasoksi Tarkastellaan kutakin mahdollista tuotannon tasoa (,,6,8) ja vertaillaan voittoja annettuna Yritys B:n paras vastaus. Jos A tuottaa, B tuottaa ja A:n voitot ovat 7. Jos A tuottaa, B tuottaa ja A:n voitot ovat 3. Jos A tuottaa 6, B tuottaa ja A:n voitot ovat 13. Jos A tuottaa 8, B tuottaa 0 ja A:n voitot ovat 19. Selkeästi Yritys A:n kannattaa asettaa tuotanto tasolle, jos se saa valita ensin. Yritykset ovat symmetrisiä, eli vastaus on sama jos yritys B asettaisi ensin. Tasapainossa tuotettu määrä on 6, tasapainohinta on 8 ja ensimmäisenä valinneen yrityksen voitot 3, toisena valinneen 9. 0 (5,0) (17,17) 6 (9,3) 8 (1,13) (-7,-13) 0 (39,0) (3,9) Ensimmäisen yrityksen valinta (tuotantotaso) 6 Toisen yrityksen valinta (tuotantotaso) 8 0 8 0 6 8 (7,7) (-9,-11) (-9,-13) (37,0) (13,1) (-11,-9) (-11,-11) (-11,-13) (19,0) (-13,-7) (-13,-9) (-13,-11) (-13,-13) Tehtävän 3b pelipuu.
(c) Jos yritykset fuusioituisivat monopoliksi, ei monopolin tarvitsisi tuotantoa valitessaan huolehtia vastapuolen vastaukseta. Yrityksen päätöstilanne vastaisi siis pelimatriisia, jossa toinen yritys valitsee aina Edellä piirretystä matriisista nähdään, että monopolin optimaalinen tuotannon taso on, joka on myös kokonaistuotanto. Tällöin se tekee voittoa 39 rahayksikköä tasapainohinnan ollessa. Rahamäärissä mitattu tulosmatriisi: Mies Nainen Split Steal Split 50075, 50075 0, 100150 Steal 100150, 0 0, 0 Peli on symmetrinen eikä kummallakaan ole vahvasti dominoivaa strategiaa. Jos yksi pelaaja valitsee Splitin, niin toisen kannattaa valita Steal. Mutta jos yksi valitsee Stealin niin toiselle on samantekevää, kumman hän valitsee: sekä Split että Steal ovat paras vastaus strategiaan Steal. Pelissä on siten kolme Nash-tasapainoa: (Steal, Split), (Steal, Steal) ja (Split, Steal). Kumpikaan pelaaja ei yksinään voi parantaa tulostaan poikkeamalla näistä tulemista. Lisähuomio Tämä peli on siitä erikoinen, että vaikka Split ei ole dominoitu strategia, niin se ei myöskään ole ikinä ainoa paras vastaus toisen tekemisiin: silloin, kun se on paras vastaus, se on vain tasapelissä toisen strategian kanssa. Split on ns. heikosti dominoitu strategia. On toki luontevaa ajatella, että pelaajien ei kannata käyttää heikosti dominoituja strategioita, jos muitakin vaihtoehtoja on. Huomaa kuitenkin, että videopätkän mies ei olisi parantanut omaa tuloaan valitsemalla Steal. Lisähuomio. On uskottavaa, että pelaajien tavoitteisiin kuuluu muitakin asioita kuin pelissä voitettu rahamäärä. Voi olla noloa esiintyä televisiossa varkaana. Jos nolouden aiheuttama negatiivinen hyöty kuvataan rahamääräisellä parametrillä C (joka riippuu pelaajan preferensseistä), niin tulosmatriisi näyttää tältä: Split Nainen Steal Mies Split 50075, 50075 0, 100150 C N Steal 100150 C M, 0 C M, C N 5
Jos molempien C:t ovat yli 50 075, niin pelissä on vain yksi (ja vahva ) Nash-tasapaino, (Split, Split). Videopätkän tapahtumat voisi tulkita myös siten, että C M oli korkea, ja mies virheellisesti uskoi, että myös C N on korkea. Monimutkaisempiakin tulkintoja on toki olemassa! Bonusmateriaalia: http://www.youtube.com/watch?v=s0qjk3twze8&feature=related 5. (a) Siirretään kansalaisten kulutuspäätökset tulosmatriisiin: Kansalainen A Kansalainen B Yksityishyödyke Julkishyödyke Yksityishyödyke 1, 1 75, 75 Julkishyödyke 75, 75 5, 5 Tasapainossa kumpikin pelaaja pelaa parasta vastaustaan. Kansalaisen A dominoiva strategia on kuluttaa aina yksityiseen hyödykkeeseen. Tämä on myös kansalaisen B dominoiva strategia. Tasapaino on siis (Käytä yksityishyödykkeeseen, Käytä yksityishyödykkeeseen), jolloin tulemat ovat (1, 1). (b) Oletetaan, että kansalainen A valitsee ensin ja kansalainen B tämän jälkeen. Peli ratkaistaan nyt induktiolla taaksepäin. Tilanteen voi mallintaa pelipuuna seuraavasti: A Julkishyödyke B Yksityishyödyke B Julkishyödyke Yksityishyödyke Julkishyödyke Yksityishyödyke 5, 5 75, 75 75, 75 1, 1 Jos A käyttää rahayksikkönsä yksityishyödykkeeseen, B valitsee tulemien 75 (julkishyödyke) ja 1 (yksityishyödyke) väliltä. B:n on siis optimaalista kuluttaa yksityishyödykkeeseen. Jos taas A käyttää yksikkönsä julkishyödykkeeseen, pelaaja B valitsee tulemien 5 (julkishyödyke) ja 75 (yksityishyödyke) väliltä. Tällöinkin B:n kannattaa kuluttaa yksityishyödykkeeseen. B valitsee strategian Kuluta yksityishyödykkeeseen riippumatta A:n valinnasta. A:n kulutuksen maksimoiva valinta on kuluttaa yksityishyödykkeeseen, jolloin kulutus (1) on suurempi kuin julkishyödykkeeseen kulutettaessa (75). Tasapaino ei muutu kohtaan 5a verrattuna: (Käytä yksityishyödykkeeseen, Käytä yksityishyödykkeeseen). 6
(c) Tulosmatriisi näyttää nyt seuraavalta: Yksityishyödyke Kansalainen A Yksityishyödyke 1+β, 1+β Julkishyödyke 75+75β, 75+75β Kansalainen B Julkishyödyke 75+75β, 75+75β 5+5β, 5+5β Yksityishyödykkeeseen kuluttaminen on kummallekin kansalaiselle dominoiva strategia niin kauan, kun 5(1 + β) > 5(75 + 75β) ja 5(75 + 75β) > 5(5 + 5β) eli kun β < 1/3. Kun altruismin taso on riittävän suuri ja β > 1/3, julkishyödykkeeseen sijoittamisesta tulee dominoiva strategia. Molempien kansalaisten on tällöin optimaalista kuluttaa julkishyödykkeeseen, ja pelin tasapaino on (Kuluta julkishyödykkeeseen, Kuluta julkishyödykkeeseen). Kansalaiset saavuttavat tällöin tasapainossa suuremman kulutustason kuin tilanteessa, jossa β on matala ja kansalaiset saavat hyötyä ensisijaisesti omasta kulutuksestaan. 7
6. Oligopolipeli - tehtiin luokassa Johdat riskineutraalia voittoa maksimoivaa yritystä. Se tekee päätöksen samaan aikaan toisen yrityksen kanssa, joka tuottaa samaa hyödykettä samalla teknologialla, ja jota johtaa toinen (satunnaisesti valittu) opiskelija tässä luokassa. Data: Kysyntä P d (Q) = 10 Q, jossa määrä Q = q oma + q toinen Kustannukset MC = 1 ja FC = 0 kaikille yrityksille (a) Valitsette tuotannon tason. Mikä on oma tuotantosi taso q oma? (b) Valitsette hinnan. Tasapelin sattuessa, molemmat yritykset tuottavat puolet kokonaiskysynnästä, muuten alempi hinta saa koko kysynnän. Mikä on hintasi? (c) Kuten 6a, mutta markkinoilla on kolme yritystä, joista kahta muuta johtavat muut (satunnaisesti valitut opiskelijat) tässä luokassa. Mikä on tuotantosi taso q oma? Pisteytysperusteet Jokaisesta kohdasta sai pistettä, jos valitsi strategian, joka olisi perusteltavissa jollain uskomuksilla muiden osallistujien strategiasta. Määrä tai hinta, joka ylittää monopolin optimaalisen, ei voi olla paras vastaus mihinkään muiden yritysten valintaan: kohdissa 6a ja 6c monopolimäärän q m =.5 ylittävät ja kohdassa 6b monopolihinnan p m = 5.5 ylittävät valinnat ovat siten dominoituja strategioita. Lisäksi kohdassa kohdassa 6b rajakustannuksen MC = 1 alittavat hinnat ovat dominoituja strategioita. Luokkatehtävän osallistujien valitsemat strategiat ja niiden tuomat odotusarvoiset voitot on raportoitu seuraavissa kuvissa. Odotusarvoinen voitto on sama asia kuin keskimääräinen voitto turnauksessa, jossa kaikki pelasivat vuorotellen kaikkia vastaan (kohdassa 6c kaikkia kahden pelaajan kombinaatioita vastaan). Täydet 5 pistettä sai, jos valitsi strategian, jolla pärjäsi paremmin kuin mediaaniosallistuja. 8
8 8 Todennäköisyys (tiheys) 6 6 Todennäköisyys (kertymä) 5 5..5 3. 3.5..5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 1 q i Kuva 1: Valittujen kapasiteettien jakauma kohdassa 6a. E[Π 1 (q 1,q )] 6 1 3 5 q 1 - E[Π 1 (.9,q )] = 6. Kuva : Odotettu voitto oman kapasiteetin funktiona kohdassa 6a. Strategialla väliltä.5 q 3.5 tienasi paremmin kuin puolet osallistujista. 9
8 8 Todennäköisyys (tiheys) 6 6 Todennäköisyys (kertymä) 5 5..5 3. 3.5..5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. p i Kuva 3: Valittujen hintojen jakauma kohdassa 6b. E[Π 1 (p 1,p )] 3 1 6 8 p 1-1 - E[Π 1 (90,p )] =.80-3 - Kuva : Odotettu voitto oman hinnan funktiona kohdassa 6b. Strategialla väliltä 8 p.90 tienasi paremmin kuin puolet osallistujista. 10
8 8 Todennäköisyys (tiheys) 6 6 Todennäköisyys (kertymä) 5 5..5 3. 3.5..5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 1 q i Kuva 5: Valittujen kapasiteettien jakauma kohdassa 6c. E[Π 1 (q 1,q +q 3 )] 1 3 q 1 - E[Π 1 (65,q +q 3 )] =.71 - Kuva 6: Odotettu voitto oman kapasiteetin funktiona kohdassa 6c. Strategialla väliltä 1 q.5 tienasi paremmin kuin puolet osallistujista. 11