Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Samankaltaiset tiedostot
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

j = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

EX1 EX 2 EX =

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

2. välikokeen mallivastaukset

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

D ( ) E( ) E( ) 2.917

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

1 Eksponenttifunktion määritelmä

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

Ehdollinen todennäköisyys

Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

S Laskennallinen systeemibiologia

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

Tilastolliset luottamusvälit

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

Aritmeettinen jono

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

Numeeriset menetelmät

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio)

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Vuosi Indeksi , ,7. a) Jakamalla 1, ,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Transkriptio:

Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma, Nomaaliappoksimaatio, Nomaalijakauma, Odotusavo, Poissojakauma, Stadadi-poikkeama, Stadadoiti, Taulukot, Tiheysfuktio, Vaiassi 5.. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa Bi(, p). Määää satuaismuuttuja X odotusavo. Ohje: Odotusavo voidaa laskea soveltamalla suoaa diskeeti jakauma odotusavo määitelmää; ks. luetokalvoja kussi kotisivulla. Biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyysfuktio o f ( ) = p ( p),0< p<, 0,,2,, jossa! =, = 0,,2,,!( )! Suoaa diskeeti jakauma odotusavo määitelmä mukaa E( X) = f( ) 0! = p ( p)!( )! 0! = p ( p)!( )!! = p ( p) ( )!( )! ( )! = ( )!( )! p p ( p) = p TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) /4

Yhtälöketju viimeie yhtälö peustuu siihe, että ( )! p ( )!( )! ( p) = mikä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet. 5.2. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa egatiivista biomijakaumaa X ~ NegBi(, p). Määää satuaismuuttuja X odotusavo. Ohje: Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyyksie summa (= ) o todeäköisyyde p fuktio. Deivoi summa muuttuja p suhtee ja sovella diskeeti satuaismuuttuja odotusavo määitelmää; ks. luetokalvoja kussi kotisivulla. Negatiivise biomijakauma NegBi(, p) pistetodeäköisyysfuktio o f( ) = ( p) p,0< p<,, +, + 2, jossa ( )! =,, +, + 2, ( )!( )! Diskeeti jakauma odotusavo määitelmä mukaa E( X ) = f ( ) = ( p) p Negatiivise biomijakauma NegBi(, p) pistetodeäköisyyksie summa S( p) = f( ) = ( p) p = o todeäköisyyde p fuktio. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 2/4

Deivoidaa summa S(p) todeäköisyyde p suhtee: Koska S( p) = ( ) ( p) p + ( p) p p = ( p) p + ( p) p ( ) + p p = ( p) p + ( p ) p p + ( p ) p ( ) p p = S ( p ) ( ) p p = E( X ) voidaa summa S(p) deivaatta kijoittaa muotoo S( p) = E( X ) + + p p p p = E( X ) + p p( p) Toisaalta, koska S(p) ii S( p) = 0 p Saamme site yhtälö S( p) = E( X ) + = 0 p p p( p) josta voimme atkaista odotusavo E(X). Ratkaisuksi saadaa E( X ) = p p p TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 3/4

5.3. Sähkölampu eliikä X (yksikköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka tiheysfuktio o f() = c/ 3, missä c o vakio. Määää vakio c avo. (b) Millä todeäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h? (c) Mikä o lampu keskimäääie eliikä? (d) Määää lampu eliiä mediaai eli määää aika, jolla P(X ) = 0.5. Vakio c saadaa määätyksi ehdosta f ( d ) joka seuaa siitä, että vama tapahtuma todeäköisyys =. Site c 3 2 2 2 2 c d c = c 0 = = josta saamme c = 2 (b) Tapahtuma {Lampu eliikä X > 5000 h} todeäköisyys saadaa itegoimalla satuaismuuttuja X tiheysfuktio välillä (5, ): P( X > 5) = f( ) d 5 2 = d = 3 2 5 = 0= = 0.04 25 25 5 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 4/4

(c) Lampu keskimäääie eliikä o lampu eliiä X odotusavo: E( X) = f( ) d 2 2 2 = d d 3 2 = = 2 0= 2 Site lampu keskimääääie eliikä o 2000 h. (d) Lampu eliiä mediaai saadaa ehdosta P( X ) = f( t) dt 2 = dt = 3 2 t t = = 0.5 2 josta mediaai avoksi saadaa 3 = =.225 2 Site lampu eliiä mediaai o siis o. 225 h. 5.4. Eäässä laitteessa o kompoetti, joka eliikä X (yksikköä kuukausi) oudattaa ekspoettijakaumaa paametiaa /4. Mikä o kompoeti keskimäääie eliikä? (b) Määää kompoeti eliiä mediaai eli määää ikä site, että P(X ) = 0.5. (c) (d) (e) Määää todeäköisyys, että kompoetti kestää kauemmi kui 6 kuukautta. Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vähitää vielä yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kuukaude? Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vähitää vielä yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kaksi kuukautta? Tehtävässä satuaismuuttuja X Ep(/4) Ekspoettijakauma tiheysfuktio o muotoa f() = λep( λ), 0 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 5/4

Tehtävä atkaisussa o hyötyä seuaavasta aputuloksesta: P(X > ) = P(X ) = F() = ep( λ) jossa F( ) = f( t) dt 0 = λep( λtdt ) 0 [ ep( λt) ] = = ep( λ), 0 o ekspoettijakauma ketymäfuktio 0 Keskimäääie eliikä: E(X) = /λ = 4 kuukautta (b) Aputuloksesta seuaa, että P(X > ) = 0.5 ep( λ) = 0.5 = log(2)/λ = 4log(2) = 2.773 Site satuaismuuttuja X mediaai o. 2.773 kuukautta. (c) Aputuloksesta seuaa, että P(X > 6) = ep( 6λ) = ep( 3/2) 0.223 (d) ja (e) Aputuloksesta seuaa, että P(X > ) = ep( λ) = ep( /4) 0.779 Koska espoettijakaumalla o s. uohtamisomiaisuus, saadaa kohdissa (d) ja (e) sama vastaus: P( Toimii vähitää vielä kuukaude O toimiut jo a kuukautta ) = P(X > a + X > a) = P(X > a + )/P(X > a) = ep( λ(a + ))/ep( λa) = ep( λ) 0.779 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 6/4

Tehtävissä 5.5. ja 5.6. hajoitellaa omaalijakauma taulukoide käyttöä. 5.5. Olkoo satuaismuuttuja Z N(0, ). Määää satuaismuuttuja Z mediaai eli piste z site, että P(Z z) = 0.5. (b) Määää P(Z >.85). (c) Määää P(Z.85). (d) Määää z site, että P(Z z) = 0.2. (e) Määää z site, että P(Z z) = 0.8. (f) Määää P( Z 2). (g) Määää z site, että P( Z z) = 0.. Olkoo satuaismuuttuja X N( 3, 9). (h) Määää P(X 2). (i) Määää site, että P(X ) = 0.05. Käytämme tehtävä atkaisemisessa stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita. Taulukoihi o taulukoitu stadadoidu omaalijakauma N(0,) ketymäfuktio avoja F() = P(X ) ku saa avoja väliltä [ 3.59, +3.59] 0.0: välei: = 3.59(0.0)3.59 Koska satuaismuuttuja Z jakauma o symmetie jakauma paiopistee 0 suhtee, ii P(Z 0) = 0.5 = P(Z 0) Tämä ähdää myös stadadoidu omaalijakauma taulukoista. (b) P(Z >.85) = P(Z.85) = 0.9678 = 0.0322 (c) P(Z.85) = 0.0322 Tulos saadaa myös (b)-kohdasta, koska stadadoitu omaalijakauma N(0, ) o symmetie jakauma paiopistee 0 suhtee: P(Z.85) = P(Z.85) = P(Z >.85) TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 7/4

(d) P(Z z) = 0.2 z = 0.84 (e) Todetaa esi, että P(Z z) = 0.8 P(Z z) = P(Z z) = 0.8 = 0.2 (d)-kohdasta: P(Z z) = 0.2 z = 0.84 (f) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z 2) = P( 2 Z +2) = P(Z +2) P(Z 2) = P(Z +2) ( P(Z +2)) = 2 P(Z +2) P(Z +2) = 0.9772 Site P( Z 2) = 2 P(Z +2) = 2 0.9772 = 0.9544 (g) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z z) = 2 P(Z z) Site P( Z z) = 2 P(Z z) = 0. P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.95 z =.64 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 8/4

Olkoo satuaismuuttuja X N( 3, 9), jolloi E(X) = µ = 3 Va(X) = D 2 (X) = σ 2 = 9 D(X) = σ = 3 Tällöi stadadoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X + 3)/3 N(0, ) ja X = σ Z + µ = 3 Z 3 N( 3, 9) (h) Todetaa esi, että P(X 2) = P(Z ( 2 + 3)/3) = P(Z /3) P(Z /3) = 0.6293 = P(X 2) (i) P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.95 z =.64 Site = 3 z 3 = 3.64 3 =.92 5.6. Olkoo satuaismuuttuja X N(4, 4). Määää P(X = ). (b) Määää satuaismuuttuja X mediaai eli site, että P(X ) = 0.5. (c) Määää P(X 3). (d) Määää site, että P(X ) = 0.99. (e) Määää site, että P(X ) = 0.0. (f) Määää satuaismuuttuja X odotusavoo µ suhtee symmetiset pisteet µ ja µ + ii, että iide ulkopuolelle jää todeäköisyysmassasta 5%. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 9/4

Jos satuaismuuttuja X N(4, 4), ii E(X) = µ = 4 Va(X) = D 2 (X) = σ 2 = 4 D(X) = σ = 2 Tällöi stadadoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X 4)/2 N(0, ) ja X = σ Z + µ = 2 Z + 4 N(4, 4) Kaikilla jatkuvilla jakaumilla yhde pistee todeäköisyys = 0. Site P(X = ) = 0 (b) Koska omaalijakauma o symmetie jakauma paiopistee suhtee, ii P(X 4) = 0.5 = P(X 4) (c) Todetaa esi, että P(X 3) = P((X 4)/2 (3 4)/2) = P(Z 0.5) jossa Z = (X 4)/2 N(0, ) P(Z 0.5) = 0.3085 = P(X 3) (d) P(Z z) = 0.99 z = 2.33 Site = 2 (2.33) + 4 = 8.66 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 0/4

(e) P(Z z) = 0.0 z = 2.33 Site = 2 ( 2.33) + 4 = 0.66 Kommetti (d)- ja (e)-kohtii: Pisteet 0.66 ja 8.66 sijaitsevat symmetisesti omaalijakauma N(4, 4) odotusavo 4 molemmilla puolilla. Piste 0.66 eottaa jakauma vasemmalle häälle tode äköisyysmassa 0.0, piste 8.66 eottaa jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa 0.0. Pisteide 0.66 ja 8.66 välii jää todeäköisyysmassa P(X 0.66) P(X +8.66) = 0.0 0.0 = 0.98 (f) Todetaa esi, että stadadoidu omaalijakauma N(0, ) symmetia takia P( Z z) = 2 P(Z z) Site P( Z z) = 2 P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.025 Koska P(Z z) = P(Z z) voimme atkaista z: yhtälöstä P(Z z) = P(Z z) = 0.025 = 0.975 z =.96 Site µ + = µ + σ z = 4 + 2.96 = 7.92 µ = µ σ z = 4 2.96 = 0.08 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) /4

5.7. Heität viheetötä oppaa 60000 ketaa. Mikä o odotettavissa oleva kuutoste lukumäää? (b) Mikä o todeäköisyys, että kuutoste lukumäää o suljetulla välillä [9900, 050]? Ohje: Käytä (b)-kohdassa keskeisee aja-avolauseesee peustuvaa omaalijakaumaappoksimaatiota. Kuutoste lukumäää X opaheitossa oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa = 60000 p = /6 Site odotettavissa oleva kuutoste lukumäää o E(X) = p = 0000 (b) Keskeise aja-avolausee mukaa stadadoitu satuaismuuttuja jossa X E( X) Z = D( X ) E(X) = p = 0000 a N(0,) D 2 (X) = Va(X) = p( p) = 8333.33 D(X) = 9.287 Stadadoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde appoksimaatioksi: P(9900 X 050) = P((9900 0000)/9.287 (X 0000)/9.287 (050 0000)/9.287) = P(.0 Z.64) = P(Z.64) P(Z.0) = 0.9495 0.357 = 0.838 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 2/4

5.8. Radioaktiiviste aieide säteilyä mitataa Geige-putkella. Mittaus tapahtuu ekisteöimällä impulssie lukumäää 60 sekui aikaa. Oletetaa, että impulssie lukumäää oudattaa Poisso-jakaumaa, jossa tapahtumaitesiteetti o 0 impulssia/s. (b) Mikä o odotettavissa oleva impulssie lukumäää miuuti aikaa? Mikä o keskimäääie odotusaika esimmäiselle impulssille? (c) Mikä o todeäköisyys, että impulsseja tulee miuutissa kokeitaa 550? Ohje: Käytä (c)-kohdassa keskeisee aja-avolauseesee peustuvaa omaalijakaumaappoksimaatiota. Impulssie lukumäää X yhde miuuti aikaa oudattaa Poisso-jakaumaa Poisso(λt), jossa λ = 0 t = 60 s Site Poisso-jakauma paametia o λt = 0 60 = 600 Odotettavissa oleva impulssie lukumäää o Poisso-jakauma odotusavo kaava mukaa E(X) = λt = 0 60 = 600 (b) Jos Poisso-jakauma tapahtumaitesiteettiä o λ ii. impulssi odotusaika Y Ep(λ) Site keskimäääie odotusaika esimmäiselle impulssille ekspoettijakauma odotusavo kaava mukaa E(Y) = /λ = /0 = 0. s (c) Keskeise aja-avolausee mukaa stadadoitu satuaismuuttuja X E( X) Z = D( X ) a N(0,) jossa E(X) = λ = 600 D 2 (X) = Va(X) = λ = 600 D(X) = 24.4949 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 3/4

Stadadoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadadoidu omaalijakauma N(0, ) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde appoksimaatioksi: P(X 550) = P((X 600)/24.4949 (550 600)/24.4949) = P(Z 2-04) = 0.0207 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 4/4