Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
|
|
- Helena Härkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi, Harhato estimaattori, χ -jakauma, Luottamustaso, Luottamuskerroi, Momettimeetelmä, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otatajakauma, Otos, Otoskoko, Otosvariassi, Riippumattomuus, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvessi, Suhteellie osuus, Suurimma uskottavuude meetelmä, Todeäköisyys, Uskottavuusfuktio, Variassi, Yksikertaie satuaisotos. Kolme tutkijaa A, B ja ovat määrittäeet erää teollisuuslaitokse jätevesistä ph-arvoja tavoitteeaa estimoida jätevesie keskimääräie ph-arvo µ havaitoje perusteella. Määritykset tehtii ottamalla useita toisistaa riippumattomia vesiäytteitä ja määräämällä äytekohtaiste ph-arvoje keskiarvot. Tutkijoide saamat tulokset: Tutkija Näytteide lukumäärä ph-lukuje aritmeettie keskiarvo A B (a) Näytä, että estimaattorit X A + XB + X X A, XB, X ja X AB = 3 ovat harhattomia keskimääräiselle ph-arvolle µ. (b) Mikä estimaattoreista o luotettavi siiä mielessä, että se variassi o piei? (c) Näytä, että vielä pieempi kui yhdelläkää ym. estimaattori variassi o estimaattorilla, joka saadaa laskemalla äytteide lukumäärillä paiotettu aritmeettie keskiarvo (ts. aritmeettie keskiarvo, joka saadaa yhdistämällä tutkijoide aieistot ja laskemalla yhdistety aieisto ph-lukuje aritmeettie keskiarvo). Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o. Ilkka Melli (004) /3
2 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Olkoo X = X i i = havaitoje X, X,, X aritmeettie keskiarvo. Tällöi E( X ) = µ Var( X ) = (a)&(b) Kaikki estimaattorit ovat harhattomia, koska E( X ) = E( X ) = E( X ) = µ ja A B E( X AB ) = E ( X A + XB + X ) 3 = E( X A ) E( XB ) E( X ) = ( µ + µ + µ ) = µ 3 Estimaattoreide variassit ovat Var( X A) = = 0. 0 Var( X B) = = Var( X ) = = Näistä estimaattoreista luotettavi o X, mikä johtuu siitä, että se perustuu suurimpaa äytteide lukumäärää. Estimaattori X AB variassi o suurempi kui estimaattori X : Var( X AB ) = Var ( X A + XB + X ) 3 = Var( X A ) Var( XB ) Var( X ) = + + = Ilkka Melli (004) /3
3 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Tämä johtuu siitä, että luotettavita estimaattoria X epäluotettavammat estimaattorit X A ja X B saavat estimaattorissa X AB yhtä suure paio kui estimaattori X. Huomautus: Estimaattori X AB variassia määrättäessä o käytetty hyväksi sitä, että satuaismuuttujie summa variassi o variassie summa, jos satuaismuuttujat ovat riippumattomia, mikä o tässä totta, koska äytteet oletettii riippumattomiksi. (c) Määritellää äytteide lukumäärillä paiotettu aritmeettie keskiarvo X kaavalla 0X + 5X + 00X X = A B Estimaattori X o harhato parametrille µ, koska E( X ) = E( X A) + E( XB) + E( X) = µ + µ + µ = µ Estimaattori X variassiksi saadaa aritmeettiste keskiarvoje X A, XB, X riippumattomuude takia: X 5 X X X = + + Var( ) = 0 Var( ) 5 Var( ) 00 Var( ) A + B = = Estimaattori X variassi o pieempi kui estimaattoreide X A, XB, X ja X AB. Tämä johtuu siitä, että estimaattorissa X estimaattorit X A, XB, X o paiotettu sopivasti iihi liittyvie havaitoje lukumäärillä. Opetus: Parametrilla saattaa olla useita erilaisia harhattomia estimaattoreita, joide odotusarvot ovat siis yhtä suuria, mutta variassit eivät ole. Jos parametrilla o useita erilaisista harhattomista estimaattoreita, iistä parhaimpaa voidaa pitää sitä, joka variassi o piei. Tätä vaatimusta kutsutaa miimivariassisuus-kriteeriksi. Ilkka Melli (004) 3/3
4 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku. Olkoot X i, i =,,, riippumattomia, samaa ekspoettijakaumaa oudattavia satuaismuuttujia, joide odotusarvo E(X i ) = β, ts. satuaismuuttujat X i muodostavat yksikertaise satuaisotokse ekspoettijakaumasta parametrilla /β. Määrää parametri β suurimma uskottavuude estimaattori. Merkitöjä: Satuaismuuttuja X i tiheysfuktio: f(x i ; β) Otokse X, X,, X yhteisjakauma tiheysfuktio: f(x, x,, x ; β) Uskottavuusfuktio: L(β ; x, x,, x ) = f(x, x,, x ; β) Logaritmie uskottavuusfuktio: l(β ; x, x,, x ) = log L(β ; x, x,, x ) Parametri β suurimma uskottavuude estimaattori saadaa maksimoimalla uskottavuusfuktio β: suhtee. Koska logaritmifuktio o mootoie fuktio, voidaa maksimi atava β: arvo etsiä yhtäpitävästi logaritmoidusta uskottavuusfuktiosta. Maksimi löydetää etsimällä logaritmise uskottavuusfuktio derivaata ollakohdat: f( xi; β ) = exp xi, i=,,, β β L( x, x,, x; β) = f( x; β) f( x; β) f( x; β) = exp x i β β i= l( x, x,, x ; β) = log L( x, x,, x ; β) = x log( β) i β i= (,,, ; β) = x 0 i = β β i= β lx x x ˆ β = xi = x i= Kyseessä o todellaki uskottavuusfuktio maksimi atava β: arvo, mikä ähdää esim. sijoittamalla saatu ratkaisu logaritmise uskottavuusfuktio. derivaata lausekkeesee. Ilkka Melli (004) 4/3
5 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku 3. Satuaismuuttuja X tiheysfuktio o f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < Kysymys: Miksi parametri θ pitää toteuttaa ehto θ >? Oletetaa, että satuaismuuttujasta X o saatu havaiot 0.5, 0.3, 0., 0., 0.. (a) Hahmottele tiheysfuktio kuvaaja parametri θ arvoilla 0.5, 0,, ja arvioi mikä arvoista sopisi parhaite havaitoihi. (b) Estimoi θ momettimeetelmällä. (c) Estimoi θ suurimma uskottavuude meetelmällä. (d) Vertaa estimoii tuloksia (b)- ja (c)-kohdissa. Koska f(x) o tiheysfuktio, se o toteutettava ehto: θ 0 θ f( x) dx= ( + θ ) x dx= x = mikä o mahdollista vai, jos + θ > 0 Site parametri θ o toteutettava ehto θ > (a) Kuvio alla esittää tiheysfuktiota f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < parametri θ arvoilla 0.5, 0,,. 5 4 θ = f(x) 3 θ = 0.5 θ = x θ = 0 Ilkka Melli (004) 5/3
6 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Havaiot sopivat selvästi parhaite jakaumaa, jossa θ < 0, koska tällöi suuri osa jakauma todeäköisyysmassasta keskittyy väli (0,) vasemmapuoleisee päähä kute havaiot. (b) Parametri θ estimoiti momettimeetelmällä. Määrätää esi satuaismuuttuja X odotusarvo: 0 + θ θ + θ + θ E( X) = x( + θ ) x dx = x = + θ + θ Parametri θ momettiestimaattori ˆMM θ toteuttaa yhtälö 0 jossa E( X ) = X X X i i = = o havaitoje aritmeettie keskiarvo. Site + ˆ θ MM X = + ˆ θ MM Koska tarkastellussa otoksessa X = 0.4 ii saadaa yhtälö + ˆ θ MM 0.4 = + ˆ θ MM josta edellee ˆ θ MM = (c) Parametri θ estimoiti suurimma uskottavuude meetelmällä. Riippumattoma otokse X, X,, X uskottavuusfuktio o L( θ; x, x,, x) = f( x, x,, x; θ) θ θ θ = ( + θ) x ( + θ) x ( + θ) x θ = ( + θ ) u missä u = xx x Ilkka Melli (004) 6/3
7 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori ˆML θ saadaa maksimoimalla uskottavuusfuktio L(θ) parametri θ suhtee. Tämä tapahtuu etsimällä fuktio L derivaata ollakohdat: L = + u + + u = + + u = θ ( θ) 0 ( θ) ( ( θ)log ) 0 ( θ)log 0 Site ˆ θ ML = log u josta saadaa ˆ θ ML = koska = 5 ja u = (d) Momettimeetelmä ja suurimma uskottavuude meetelmä tuottavat eri tulokse. Opetus: Momettimeetelmä ja suurimma uskottavuude meetelmä saattavat tuottaa eri estimaattori parametrille. Hyvä estimaattori valita o vaikea ogelma; juuri se takia estimaattoreide vertailuu käytetää iide hyvyysomiaisuuksia kute harhattomuus, miímivariassisuus, tyhjetävyys, tarketuvuus. Suurimma uskottavuude estimaattorille voidaa hyvi yleisi ehdoi todistaa tyhjetävyys ja tarketuvuus sekä asymptoottie ormaalisuus. 4. Tehdas väittää, että se valmistamista tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii tuotteide joukosta yksikertaise satuaisotokse, joka koko o 50 ja löytää 5 viallista tuotetta. Voidaako tehtaa väitettä vialliste suhteellisesta osuudesta pitää oikeutettua? Ohje: Määrää otoksesta 95 %: ja 99 %: luottamusvälit tehtaa väittämälle vialliste suhteelliselle osuudelle. Kysymys: Mite valittu luottamustaso vaikuttaa luottamusväli pituutee? Olkoo tapahtuma A = {Satuaisesti valittu tuote o viallie} ja olkoo tapahtuma A todeäköisyys Pr(A) = p Määritellää satuaismuuttuja X = Tapahtuma A havaittu frekvessi otoksessa, joka koko o Ilkka Melli (004) 7/3
8 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Tiedämme, että (aiaki approksimatiivisesti) X ~ Bi(, p) Määritellää tapahtuma A havaittu suhteellie frekvessi (osuus): P = X/ Parametri p (= tapahtuma A todeäköisyys) luottamusväli saadaa käyttämällä hyväksi sitä, että keskeise raja-arvolausee mukaa P o suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakautuut: P a N(p, pq/) jossa q = p. Approksimatiivie luottamusväli todeäköisyydelle p o muotoa P± z α / PQ Luottamuskerroi z α/ saadaa ehdosta Pr(Z > z α/ ) = α/ jossa Z ~ N(0, ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä = 50 P = 5/50 = 0. sqrt(pq/) = 0.04 Normaalijakauma taulukosta saadaa: α = 0.95 z α/ =.96 α = 0.99 z α/ = %: luottamusväli parametrille p o muotoa 0. ± = 0. ± = (0.05, 0.48) Väli ei peitä parametri p oletettua arvoa %: luottamusväli parametrille p o muotoa 0. ± = 0. ± = (0.037, 0.63) Väli peittää parametri p oletetu arvo Evidessi viittaa siihe suutaa, että valmistaja väitteesee voidaa kohdistaa joki verra epäilyjä. Asiaa tarkastellaa lisää tilastollise testaukse yhteydessä. Opetus: Luottamusväli leveee, ku luottamustasoa kasvatetaa. Ilkka Melli (004) 8/3
9 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku 5. Tehdas valmistaa ruuveja. Ruuvie paio vaihtelee satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Ruuvie joukosta poimittii yksikertaie satuaisotos. Otoskeskiarvoksi saatii tällöi 5 g. Oletetaa (epärealistisesti), että ormaalijakauma variassi 0.5 g o tuettu. Määrää 99 %: luottamusvälit paio odotusarvolle, jos otoskokoa oli (a) (b) 00 (c) 0000 Vertaa saatuje luottamusvälie pituuksia toisiisa. Mite luottamusväli pituus käyttäytyy otoskoo fuktioa? Normaalijakauma odotusarvo luottamusväli, ku variassi o oletettu (epärealistiseksi) tuetuksi perustuu siihe, että ormaalijakautueesta perusjoukosta poimitusta riippumattomasta satuaisotoksesta lasketu otoskeskiarvo otosjakauma o ormaalie. Jos X i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot X i ovat riippumattomia, ii otoskeskiarvo X N µ, Jos variassi oletetaa tuetuksi, odotusarvo µ luottamusväli o muotoa X ± zα / Luottamuskerroi z α/ saadaa ehdosta Pr(Z > z α/ ) = α/ jossa Z ~ N(0, ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä X = 5 = 0.5 α = 0.0 Normaalijakauma taulukosta saadaa: z α / =.58 (a) = : Luottamusväli: 5 ±.9 = (3.7, 6.9) (b) = 00: Luottamusväli: 5 ± 0.9 = (4.87, 5.9) (c) = 0000: Luottamusväli: 5 ± 0.09 = (4.987, 5.09) Ilkka Melli (004) 9/3
10 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Opetus: Luottamusväli kapeee, ku otoskokoa kasvatetaa. Luottamusväki kapeee vai /0-osaa, ku otoskoko kasvaa 00-kertaiseksi. Jos siis luottamusväli pituus halutaa puolittaa, pitää kerättävie havaitoje lukumäärä elikertaistaa. Ym. jakaumatulos ei ole voimassa, jos joudutaa estimoimaa otoksesta. Suurissa otoksissa luottamusväliä voidaa käyttää ym. ormaalijakaumaa perustuvaa väliä myös tilateessa, jossa korvataa vastaavalla otossuureella. Tämä perustuu keskeisee rajaarvo-lauseesee, joka mukaa otoskeskiarvo o hyvi yleisi ehdoi ormaalijakautuut myös tilateissa, joissa perusjoukko ei ole ormaalijakautuut. 6. Tehdas valmistaa auloja. Nauloje pituus vaihtelee satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje joukosta poimittii yksikertaie satuaisotos, joka koko oli 30. Otoskeskiarvoksi saatii 9.99 cm ja otosvariassiksi 0.0 cm. (a) Määrää 95 %: luottamusväli auloje pituude odotusarvolle. (b) Määrää 90 %: luottamusväli auloje pituude variassille. (a) Jos X i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot X i ovat riippumattomia, ii otoskeskiarvo X N µ, Koska variassi o tutemato ja se pitää estimoida, odotusarvo µ luottamusväli o muotoa s X ± tα / Luottamuskerroi t α/ saadaa ehdosta Pr(t > t α/ ) = α/ jossa t ~ t( ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä X = 9.99 s = 0. α = 0.05 = 30 Ilkka Melli (004) 0/3
11 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku t-jakauma taulukosta saadaa: t α / =.045 Site luottamusväliksi saadaa: 9.99 ± /sqrt(30) = 9.99 ± = (9.953,0.07) (b) Jos X i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot X i ovat riippumattomia, ii otosvariassille pätee: ( ) s χ ( ) Variassi luottamusväli o muotoa ( ) s ( ) s, χα/ χ α/ Luottamuskertoimet χ ja χ saadaa ehdoista α Pr( χα / χ ) = α Pr( χ α / χ ) = jossa χ χ ( ) α/ α/ ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä s = 0.0 α = 0.0 = 30 χ -jakauma taulukosta saadaa: χ α / α / χ == Site luottamusväliksi saadaa: (9 0.0/4.557, 9 0.0/7.708) = (0.0068, 0.064) Ilkka Melli (004) /3
12 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku 7. Kutaa suuitellaa ydivoimala raketamista. Kua asukkaide mielipiteet halutaa selvittää yksikertaisee satuaisotataa perustuvalla kyselytutkimuksella. Kuika suuri otos kutalaiste joukosta o poimittava, jotta saataisii 99 %: varmuus siitä, että otoksesta laskettu kaattajie suhteellie osuus ei poikkea eempää kui 0.5 %- yksikköä todellisesta kaattajie osuudesta. Suhteellise osuude p luottamusväli o tyyppiä P ± a jossa P o otoksesta laskettu suhteellie osuus. Luottamusväli lausekkeesta (ks. tehtävä 4) saadaa yhtälö PQ zα / = a josta voidaa ratkaista: zα / PQ = a Haluttu varmuus saavutetaa (edellyttäe, että variassi o arvioitu oikei), jos :ksi valitaa piei kaava atamaa arvoa suuremmista kokoaisluvuista. Koska P o tutemato (se arvo saadaa selville vasta, ku otos o poimittu), korvataa P sillä arvolla, joka ataa maksimaalise : arvo. Tämä P: arvo o /. Tällöi tarvittava otoskoko saadaa lausekkeesta Tehtävässä zα / = a a = α = 0.99 z α/ =.58 Kaava ataa = jote :ksi pitää valita vähitää Huomaa kuika iso tarvittava otoskoko o! Ilkka Melli (004) /3
13 Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku 8. Tölkitety tuoremehu -vitamiiipitoisuus (mg/dl) vaihtelee joki verra valmistuserästä toisee. Laboratorio haluaa selvittää erää tuoremehumerki keskimääräise -vitamiiipitoisuude mittaamalla pitoisuudet myyissä olevista tuoremehupakkauksista poimitusta yksikertaisesta satuaisotoksesta. Arvio pitäisi olla ii tarkka, että 95 %: varmuudella voidaa päätellä, että otoksesta laskettu keskimääräie -vitamiiipitoisuus ei poikkea todellisesta -vitamiiipitoisuudesta eempää kui 0.5 mg. Määrää tarvittava otoskoko, ku aikaisempie tutkimuste perusteella tiedetää, että - vitamiiipitoisuude otoshajota o tavallisesti mg. Odotusarvo µ luottamusväli o tyyppiä Ka ± a jossa Ka o otoksesta laskettu aritmeettie keskiarvo. Luottamusväli lausekkeesta (ks. tehtävä 5) saadaa yhtälö a= zα / josta voidaa ratkaista: zα / = a Haluttu varmuus saavutetaa (edellyttäe, että variassi o arvioitu oikei), jos :ksi valitaa piei kaava atamaa arvoa suuremmista kokoaisluvuista. Tehtävässä a = 0.5 α = 0.95 z α/ =.96 = Kaava ataa = 6.47 jote :ksi pitää valita vähitää 6. Ilkka Melli (004) 3/3
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTeoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotKURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA
KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotParametrien oppiminen
38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotVäliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotLuku 7. Parametrien estimointi. 7.1 Parametriset jakaumat. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017 7.1 Parametriset jakaumat Tarkastellaa tutematota datalähdettä, joka tuottaa toisistaa stokastisesti riippumattomia ja tiheysfuktio
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
Lisätiedot